VII Диферeнцни поступак Користи се за решавање диференцијалних једначина. Интервал на коме је дефинисана тражена функција се издели на делова. Усвоји се да се непозната функција између сваке три тачке мреже мења по закону квадратне параболе. слика 7. Зеленом испрекиданом линијом је приказана стварна функција угиба а црном линијом њена апроксимација квадратном параболом. Особина квадратне параболе је да је нагиб тангенте у тачки једнак нагибу сечице па на основу тога изводи непознате функције угиба могу да се напишу као: dw d w w + w w w w + d w w + w + d d d d w w + w w + w w d d d + + + w w + w w + + d + d d d + d d d d w w + w w w + w w w + w + + + + d w w + 6w w + w + + d VII-
Примена диференцног поступка за решавање савијања кружних плоча на еластичној подлози Z() - задато спољашње оптерећење слика 7. Z() - реактивни отпор тла усваја се по Winle-овој претпоставци да је: C - константа (отпор) тла Z Cw. Диференцијална једначина савијања кружне плоче на еластичној подлози при ротационо симетричном оптерећењу је: dw Z( ) Z( ) Z ( ) Z( ) Cw d d d d + +. Када се све непознате пребаце на леву страну добија се: dw Cw Z d d d d ( ) + + +. Ова диференцијална једначина се пише преко коначних разлика у свакој тачки мреже у којој је померање непознато: ( w w + 6w w + w ) + ( w w + w w ) + + + + + + C Z ( w w + w ) + ( w w ) + w + + Лева и десна страна једначине се помноже са и λ : λ C λ Z + + + + + + + + + w+ w+ w w w ( λ ) ( λ ) ( λ ) 6 λ ( λ ) ( λ ) ( λ ) - полупречник у посматраној тачки мреже. Изрази за пресечне силе преко коначних разлика су: ν dw νλ νλ + w + + w + w d d λ λ ν + w ν + ν w + w ν dw ϕ d d + T w w w w w dw + + + ( λ + λ) λ + ( + λ+ λ) d d d VII-
Пример 7.. За кружну плочу оптерећену ротационо симетричним површинским оптерећењем која је ослоњена на еластичну подлогу приказану на слици одредити вредности угиба и пресечних сила у означеним тачкама мреже. За одређивање отпора тла користити Winle-ову претпоставку. E 0 Gpa ν 0. d pl 0..0 Z 0 0 N/ C 5000 N/ Решење слика 7. Диференцијална једначина савијања написана преко коначних разлика треба да се напише у свакој тачки мреже у којој је померање непознато. 0 0 λ 0. Једначина у центру кружне плоче која се добија помоћу апроксимације функције угиба и њених извода у околини нуле помоћу Talo-овог реда je: 8 C Z + + +. 0 ( w w 6w w w ) w + + Пошто се ради о ротационој симетрији: w w претходи израз постаје: C 6 6 Z 6+ w w + w 0 0 слика 7. 0 ɺ + ɺ...() 6.w.w 5.w. 0 VII-
λ C 0 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) + w + + w + + + w + + w + w w 6.5w + 8.w.5w 0.96 0 0 Гранични услов: {.5w0 + 8.w 6.5w 0.96 0...() λ 0.5 0.5 + w + + w+ 6+ + w + + w+ w C 0 Гранични услов: { 0.5w.5w 8.05w 0.8 0 слика 7.5 0 +...() Решавањем система од три линеарне једначине добијају се угиби у траженим тачкама: w0.099 0 w 0.855 0 Одређивање пресечних сила: w 0.5 0. 0. λ ɺ. νλ νλ 08.ɺ w w w ( 0.5 0 ).75 N / + + λ λ 08.ɺ ϕ w ν ν w w ν ( 0.5 0 0.).875 N / + + T w 5 w + w + w + + w VII-
Задаци за домаћи Пример 7.. За кружну плочу оптерећену ротационо симетричним површинским оптерећењем која је ослоњена на еластичну подлогу приказану на слици одредити вредности угиба и пресечних сила у означеним тачкама мреже. За одређивање отпора тла користити Winle-ову претпоставку. E 0 Gpa ν 0. d pl 0..0 Z 0 0 N/ C 5000 N/ Напомена: слика 7.6 Када се буде писала једначина у тачки појавиће се и угиб у тачки w. Он може да се изрази у функцији угиба тачака плоче преко граничног услова: νλ { w w νλ + Пример 7.. За кружну плочу оптерећену константним ротационо симетричним површинским и линијским оптерећењем приказану на слици одредити вредности угиба и пресечних сила у означеним тачкама мреже. Напомена: слика 7.7 E 0 Gpa ν 0. d pl 0..0 Z 0 0 N/ P 0 N/ Када се буду писалe једначинe у тачкaма и 5 појавиће се и угиби у тачкама 6 и 7 w 6 и w 7. Они могу да се изразе у функцији угиба тачака плоче преко граничних услова: 5 { VII-5
Примена диференцног поступка на решавање диференцијалне једначине савијања правоугаоне плоче Правоугаона плоча се издели на мрежу као што је приказано на слици: слика 7.8 Треба да се напише диференцијална једначина савијања у тачки путем коначних разлика. За то су потребни следећи изводи функције угиба: w w w w+ w+ + w w w w+ w+ + 6w w + w w w w w wl wi wh + w w wl 6w wi wh + +. Мешовити изводи који ће бити неопходни су: w w w l i - први извод по координати првог извода по координати w wl+ wl wi+ + wi w w w l i - први извод по другог извода по координати w wl+ wl + wl wi+ + wi wi VII-6
w w w + - први извод по другог извода по координати w wl+ w+ + wi+ wl + w wi w w w + w l i ( ) - други извод по другог извода по координати w w wl + wi + w+ + w + wl+ + wl + wi+ + wi Ако се са α означи однос: α диференцијална једначина савијања у посматраној тачки плоче к написана преко коначних разлика је: w 6 α 8 + + ( + α )( w+ + w ) + + ( wl + wi) + α α α + ( wi + wl + wi+ + wl+ ) + α ( w+ + w ) + ( w + wh) Z α Ако је α претходна једначина се упрошћава и постаје: w ( w+ + w + wl + wi) + ( wi + wl + wi+ + wl+ ) + w+ + w + w + wh Z 0 8 Шема коефицијената: слика 7.9 VII-7
Пример 7. За правоугаону плочу оптерећену константним површинским оптерећењем приказану на слици одредити угибе у означеним тачкама мреже. E0 Gpa ν 0.5 d pl 0. Z 0 5 N/ Решење слика 7.0 Треба да се скицира деформисани облик плоче (испрекидана линија): слика 7. На основу њега може да се закључи да је довољно издвојити и посматрати само једну четвртину плоче: слика 7. VII-8
Диференцијална једначина савијања написана преко коначних разлика треба да се напише у свакој тачки мреже у којој је померање непознато. Непозната су само померања w и w која ће се одредити из система две линеарне једначине. слика 7. ( ) ( ) 0 8 + + + + + + + + + + + 060.58 ( ) ( ) 0 8 + + + + + + + + + + + 060.58 Гранични услови: w w + ν ( + ν ) 0 w w w 8 + ν ( + ν ) 0 w w w 6 + ν ( + ν ) 0 w 0 - систем од две једначине се две непознате w 0 и w7 w0 w w7 0. 0 9 9 0 - систем од две једначине се две непознате w и w5 w w w5 0. 0 w6 w + w w9 w + w + ν 0 w 6 w( + ν) w w8 w6 + w w6 w5 w6 + w7 w8 + w w T + ( ν) 0 ( ν)( ) ( ν) ( ν) w8 w6 w w8 w + w. Систем једначина: 6w 5.7 7. 0 w...().w +.7w 7. 0...() Решење система односно тражени угиби су: w 0.99 0 w.0 0. VII-9