JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 28. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

Транскрипт

1 MJER I ITEGRL 2. kolokvij 28. lipja 29. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!). (ukupo 6 bodova) eka je (, F, µ) prostor mjere. (a) ( bod) Što to zači da je izmjeriva fukcija f : R µ-itegrabila? avedite primjer jede itegrabile i jede fukcije koja ije itegrabila (defiirae a ekom prostoru mjere). Sve tvrdje detaljo obrazložite. (b) (2 boda) Precizo iskažite Lebesgueov teorem o domiiraoj kovergeciji. (c) (3 boda) Pokažite sljedeću poopćeu verziju Lebesgueovog teorema o domiiraoj kovergeciji. eka je {f } iz izmjerivih fukcijoji g.s. kovergira fukciji f. adalje, pretpostavimo da postoje µ-itegrabile i gotovo svuda eegative fukcije {g } i g takve da vrijedi f (x) g (x) i g (x) g(x) za sve i gotovo sve x te g dµ gdµ. Tada je f dµ fdµ. (a) Izmjeriva fukcija f : R je µ-itegrabila ako itegral od f postoji i koača je. eka je R, F B(R) i µ λ. Tada je fukcija f(x) očito itegrabila, dok fukcija f(x) ije itegrabila. (b) Vidi Teorem 8.7 u skripti. (c) Uočimo prvo da gorje pretpostavke impliciraju da su fukcije f i f µ-itegrabile. Primjejujući Fatouovu lemu a iz {g + f }, koji g.s. kovergira prema g + f, dobivamo gdµ + fdµ if (g + f )dµ gdµ + if f dµ. Dakle, fdµ if f dµ. alogo, primjejujući Fatouovu lemu a iz {g f } dobivamo fdµ sup f dµ, što dokazuje rezultat. apomea: U formulaciji zadatka a testu ije pisala pretpostavka g dµ gdµ. Tvrdja tada e mora vrijediti, a jedostavi protuprimjer je (, F, µ) (R, B(R), λ), f g [,+], f g. Radi te pogreške svi studeti će dobiti maksimala 3 boda a.(c) zadatku.

2 2. (ukupo 6 bodova) (a) (4 boda) Iskažite i dokažite Egorovljev teorem. (b) (2 boda) eka λ ozačava jedodimezioalu Lebesgueovu mjeru. Pretpostavimo da je (f k ) iz eegativih Borel-izmjerivih fukcija sa [, ] u R takvih da za svaki k vrijedi f [,] kdλ te da postoji broj M, + takav da za svaki k i t [, ] imamo f k (t) M. adalje pretpostavimo da je ( ) iz eegativih realih brojeva zojeg vrijedi +. Dokažite da postoji Borelov skup E [, ] takav da je λ(e) > i da za svaki t E vrijedi f k (t) +. (a) To je teorem.6 iz skripte s predavaja. (b) Defiirajmo g (t) : f k (t). Kada tvrdja zadatka e bi vrijedila, mogli bismo defiirati { g(t) : f k (t) ukoliko taj red kovergira, iače te bi iz (g ) kovergirao prema g λ-g.s. a [, ]. Uzmimo ε :. Po Egorovljevom 2M teoremu bi postojao Borelov skup [, ] takav da je λ([, ] \ ) < i da (g 2M (t)) kovergira prema g uiformo a. Posebo to zači da postoji dovoljo veliki takav da vrijedi sup t [,] g (t) g(t), odakle je g(t) +M. Dakle, g je ograičea a te je λ() < + pa svakako imamo gdλ < +. Sada račuamo odakle je [,] f k dλ f k dλ + 2 f k dλ + M 2M f k dλ. [,]\ f k dλ + 2 f k dλ, Puštajem a es kada i korištejem Beppo Levi teorema dobivamo ( 2 f k dλ 2 f k )dλ 2 gdλ < +, što je u kotradikciji s pretpostavkom zadatka.

3 3. (ukupo 6 bodova + 2 dodata boda) eka je (, F, µ) prostor s mjerom. (a) ( bod) Iskažite Čebiševljevu ejedakost. (b) (3 boda) eka je g : [, + [, + eegativa rastuća fukcija. Dokažite da za svaku F-izmjerivu fukciju f : R i za svaki α [, vrijedi g(α)µ({ f α}) g f dµ. (c) (2 boda) eka su p, q [, + takvi da je q > p. adalje, eka je f : R F-izmjeriva fukcija takva da je f L q (). Dokažite da vrijedi α + αp µ({ f α}). (*) (d) (2 dodata boda) Dokažite da vrijedi (*) čak i ako je q p, odoso ako za fukciju f pretpostavimo f L p (). (a) Pogledajte korolar 6. s predavaja ili zadatak 7.2. s vježbi. (b) Za svaki x iz ejedakosti f(x) α slijedi g( f(x) ) g(α). Iz ovoga možemo iščitati { f α} {g f g(α)}. Po mootoosti mjere i po Čebiševljevoj ejedakosti slijedi g(α)µ({ f α}) g(α)µ({g f ) g(α)}) g(α) g f dµ g f dµ, g(α) kad god je g(α). U slučaju g(α) ejedakost trivijalo vrijedi obzirom da je itegral eegative fukcije takoder eegativa. apomea. Primijetimo da se u iskazu zadatka e spomije da je g Borelova fukcija, što bi am jako dobro došlo kako bismo bili siguri da ima smisla promatrati itegral g f dµ, kao i vrijedost µ({g f g(α)}) koja se pojavljuje u ovom rješeju. Medutim, može se pokazati da je svaka mootoa reala fukcija reale varijable ujedo i Borelova. (c) Za α > vrijedi α p µ({ f α}) α p f q dµ α p q f q α q L q (), pri čemu druga ejedakost slijedi iz (b) dijela zadatka uvrštavajem g dae s g(x) : x q za x [, +, što je eegativa rastuća fukcija. Obzirom da je f L q () < + i p q <, puštajem α + te primjeom teorema o sedviču zaključujemo da vrijedi (*). (d) Za α > vrijedi α p µ({ f α}) α p { f α} dµ f p { f α} dµ.

4 eka je (α ) proizvolja iz realih brojeva takav da je + α +. Za svaki defiirajmo f : f p { f α}. Primijetimo da vrijedi + f ; aime, fukcija f e može poprimiti vrijedost + (čak i da je to slučaj, skup točki koje bi f preslikavao u beskoačost bio bi skup mjere ula; vidjeti zadatak 7.4. s vježbi). Uz to, f f p za svaki te, po pretpostavci, f p dµ f p L p () < +. Primjeom Lebesgueovog teorema o domiiraoj kovergeciji slijedi + f p { f α}dµ LTDK Zbog proizvoljosti odabraog iza (α ) slijedi f p { f α} dµ, α + ( + f )dµ. a oda zbog počete ocjee i po teoremu o sedviču dobivamo i (*). apomea. Potpuo isti postupak daje rješeje za (c) dio zadatka, osim što za raspis uzimamo α > te dodato a samom početku raspisa ocijeimo α p α q.

5 4. (ukupo 6 bodova) (a) (4 boda) Izračuajte: x x dx. (b) (2 boda) Postoji li fukcijoja se alazi u prostoru L 2 (R, B(R), λ), ali e i u prostoru L (R, B(R), λ)? Ovdje B(R) ozačava Borelovu σ-algebru a R, a λ ozačava jedodimezioalu Lebesgueovu mjeru. (a) Promatramo prostor s mjerom ([, ], B([, ]), λ), gdje je λ Lebesgueova mjera. Defiirajmo fukcije f (x) x x [ ], (x),. Primijetimo da su fukcije f Riema-itegrabile a [, ] jer su eprekide a [, ], za svaki. Koristeći da je, za y >, dobijemo sljedeće: y +y (i) f (x) x x /3 +x [ ], (x) x /3 : g(x), (ii) gdλ x 3 dx 3 < +, 2 budući da je fukcija g eegativa i λ-g.s. eprekida a [, ] pa po apomei s vježbi zaključujemo da su jezii Riemaov i Lebesgueov itegral jedaki, (iii) budući da za svaki x [, ] postoji takav da je f (x), za sve slijedi da je f (x) : f(x), za svaki x [, ]. Ovime su ispujee sve pretpostavke za LTDK pa imamo: x 2 3 dx + x + f (x)dx + f dλ f dλ + fdλ, gdje u drugoj jedakosti poovo koristimo apomeu o jedakosti Riemaovog i Lebesgueovog itegrala. (b) Da. U prostoru beskoače mjere e mora vrijediti L q () L p (), za p < q <. a primjer, promotrimo prostor s mjerom (R, B(R), λ) i fukciju f(x) x 3 4 [,+ (x). Tada je pa f / L (R), a s druge strae f + x 3 4 dx +, pa vrijedi f L 2 (R). f x 3 2 dx 2 < +,

6 5. (ukupo 6 bodova) Da je prostor s mjerom (, P (), µ), gdje je µ brojeća mjera. (a) (2 boda) eka je f :, defiiraa sa f () ( 2 3). Odredite L 2 (, P (), µ) ormu fukcije f. (b) (4 boda) Da je iz fukcija (g ), defiiraih sa g :, g (m) m {,2,...,}(m) (i) Kovergira li iz (g ) µ-g.s.? (ii) Kovergira li iz (g ) u L? (iii) Kovergira li iz (g ) u L2? (a) f 2 L 2 f 2 dµ f L f() 2 ( ) ( ) (b) (i) iz µ-g.s. kovergira prema fukciji g :, g (m). Zaista, eka je m, tada m je za svaki m g (m) g (m). m (ii) Kako smo u (i) dijelu zadatka pokazali da g µ-g.s. g jedii kadidat za es iza (g ) u L je fukcija g. Kako je g dµ g(m) m m m +, fukcija g ije iz L (, P (), µ) pa zaključujemo da iz (g ) e kovergira u L. lterativo mogli smo promatrati g g dµ g (m) g(m) m {,2,...,}(m) m m +, m m m+ za svaki, pa dolazimo do istog zaključkao raije. µ-g.s. (iii) Kako smo u (i) dijelu zadatka pokazali da g g jedii kadidat za es iza (g ) u L 2 je fukcija g. Kako je g 2 dµ g(m) 2 m π2 2 6 < +, m i g g zaključujemo da su fukcije g, g L 2 (, P (), µ),. Budući da je g g 2 dµ g (m) g(m) 2 m {,2,...,}(m) 2 m m 2 m m m m+ rep kovergetog reda zaključujemo da je g g L 2, odoso da iz (g ) kovergira u L 2 prema fukciji g.