UDŽBENIK 2. dio

UDŽBENIK 2. dio

Pročitaj pažljivo Primjer 1. i Primjer 2. Ova dva primjera bi te trebala uvjeriti u potrebu za uvo - denjem još jedne vrste brojeva. Primjer 1. Živa u termometru pokazivala je temperaturu 36 C. Nakon sat vremena ona se promijenila za 3 C. Koliku temperaturu pokazuje termometar u tom trenutku? Rješenje: Ako se temperatura povisila za 3 C, termometar pokazuje 36 + 3 = 39 C. Ali, što termometar pokazuje ako se temperatura spustila za 3 C? Primjer 2. Po Jadranskoj magistrali kreće se autobus brzinom od 70 km/ h. On je udaljen od Omiša 50 km. Kolika će njegova udaljenost biti za sat vremena? Rješenje: Ako se autobus kreće od Omiša, njegova će udaljenost biti 50 + 70 = 120 km. Kolika će ta udaljenost biti ako se on kreće prema Omišu? U oba primjera susrećeš suprotne pojmove: smanjenje temperature povećanje temperature i kretanje u jednom smjeru kretanje u suprotnom smjeru. POZITIVNI I NEGATIVNI BROJEVI Suprotni pojmovi označavaju se brojevima suprotnih predznaka, pozitivnim brojevima ispred kojih je znak + i negativnim brojevima ispred kojih je znak. Na primjer: temperature ispod nule temperature iznad nule, dubine ispod razine mora visine iznad razine mora, negativna gol razlika pozitivna gol razlika, južna geografska širina sjeverna geografska širina, gubitak dobitak, dolje gore, natrag naprijed, rashod prihod, izdati primiti, lijevo desno,... 2

Primjer 3. Koristeći pozitivne i negativne brojeve, napiši izjave: 1 Temperatura mora je 15 C. 2 Temperatura zraka je 5 C ispod nule. 3 Vodostaj Kupe je 60 cm ispod normale. Rješenje: Uprvomslučaju napisat ćeš da je temperatura mora +15 C. U drugom slučaju je temperatura 5 C. Vodostaj Kupe je 60 cm. Zadatak 1. Napiši pomoću pozitivnih i negativnih brojeva izjave: 1 Najviši vrh Velebita je 1757 m iznad mora. 2 Račun u banci je u minusu za 1 200 kn. Ako ispred cijelog broja nema predznaka, podrazumijeva se da je on pozitivan. Za opisivanje količinskih odnosa u životu nije dovoljno poznavati samo skup prirodnih brojeva ( N) i skup prirodnih brojeva s nulom ( N 0 ), treba upoznati i druge vrste brojeva u prvom redu pozitivne i negativne brojeve s kojima će se označavati količinske odnose suprotnih veličina. Brojevi..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,...nazivaju se cijeli brojevi. Oničine skup cijelih brojeva koji se označava velikimslovom Z. Skup cijelih brojeva može se pisati kraće: {0, ±1, ±2, ±3, ±4,...}. Dakle, skup cijelih brojeva sadrži negativne cijele brojeve, nulu i pozitivne cijele brojeve (prirodne brojeve). SKUP CIJELIH BROJEVA Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Broj 0 je granica izme - du negativnih cijelih i pozitivnih cijelih brojeva. Nula nije niti negativna, niti pozitivna. njem. Zahl broj 3

BROJEVNI PRAVAC Većznaš da kad se na pravcu odaberu točke O kojoj se pridruži broj 0 i točka E kojoj se pridruži broj 1, dobiješ organizirani pravac (brojevni pravac) na kojeg možešsmještavati prirodne brojeve ( N) i prirodne brojeve s nulom ( N 0 ). Desnoodnulemožeš redom smještavati prirodne brojeve. Taj se smjer naziva pozitivnim smjerom, označava ga strelica. Na istom pravcu u suprotnom smjeru, koji se naziva negativnim smjerom, možeš tako - der točkama pravca istom jediničnom dužinom pridruživati brojeve 1, 2, 3, 4,..., kojima predznakom minus ( ) daješznačenje brojeva suprotnih onima na desnoj strani (čitaj ih: minus jedan, minus dva, minus tri, minus četiri,...). O E Zadatak 2. Što naznačuje slika? Zadatak 3. Koji su sve cijeli brojevi izmedu: - 1 4 i5; 2 0i6; 3 5 i0; 4 3 i3? 4

Zadatak 4. Iz skupa cijelih brojeva Z naznači: 1 cijele pozitivne brojeve (Z + ); 2 cijele negativne brojeve (Z ); 3 cijele negativne brojeve s nulom (Z 0 ); 4 cijele pozitivne brojeve s nulom (Z + 0 ). Zadatak 5. Koju temperaturu naznačuju termometri? Zadatak 6. Pročitaj sa slike: 1 visinu brda; 2 dubinu mora. 5

Zadatak 7. Što možeš pročitati sa slike? 1 2 3 4 5 6

Suprotni brojevi Cijeli brojevi smješteni na pravcu simetrično u odnosu na broj 0 me - dusobno su suprotni brojevi. Broju 5 suprotan je broj 5, a broju 3 suprotan je broj 3. Svaki od zadanih cijelih brojeva na pravcu OE ima sebi suprotan broj (simetričnu sliku) u odnosu na broj 0 (početak ili ishodište). SUPROTNI BROJEVI Broju 8 suprotan je broj 8. Zadatak 8. Prepiši tablicu, a zatim je dopuni odgovarajućim brojevima: z 5 1 0 5 z 4 2 4 Broju 0 suprotan je broj 0. Zadatak 9. Nacrtaj pravac s jediničnom dužinom OE, a zatim točkama pravca pridruži cijele brojeve 4, 5, 3, 2 i njima suprotne brojeve. Cijelom broju z suprotan je broj z. Tako je, na primjer, ( 4) suprotan broju 4. Me - dutim, u zadatku 9. vidiš da je 4 suprotan broju 4. Zaključuješ da vrijedi 4 = ( 4). Slično se može za svaki cijeli broj z napisati z = ( z). 7

ZBIRKA ZADATAKA 2. dio

3.1. Napiši pomoću pozitivnih i negativnih brojeva izjave: 1 Temperatura zraka je 22 C iznad nule. 2 Temperatura zraka je 4 C ispod nule. 3 Vrh Biokova je 1762 m iznad razine mora. 4 Split je 43.5 sjeverne geografske širine. 5 Vodostaj rijeke Save je 80 cm ispod razine normale. 3.2. Napiši deset neparnih cijelih brojeva ako su: 1 svi brojevi pozitivni, 2 svi brojevi negativni, 3 tri petine brojeva negativni brojevi, 4 sedam desetina brojeva pozitivni brojevi. 3.3. Napiši deset parnih cijelih brojeva ako su: 1 svi brojevi pozitivni, 2 svi brojevi negativni, 3 dvije petine brojeva pozitivni brojevi, 4 polovina brojeva negativni brojevi. 1 svi brojevi pozitivni, 2 svi brojevi negativni, 3.4. Napiši deset uzastopnih cijelih brojeva ako su: 3 četiri broja pozitivna, 4 tri broja negativna. 1 u pozitivnom smjeru, 2 u negativnom smjeru. 3.5. Nacrtaj trokut, zatim njegove vrhove označi slovima A, B i C : 3.6. Nacrtaj kutove od: 1 60, 2 60. 126

1 4, 3, 2,... 2 6, 4, 2,... 3 6, 5, 4,... 16, 14, 12,... 5 20, 15, 10,... 6 13, 10, 7,... 3.7. Dopiši još pet cijelih brojeva u nizu: 4 3.8. Koji se brojevi za: 1 3razlikujuod5, 2 6razlikujuod1? 1 4 C, 2 12 C, 3 16 C? 3.9. Temperatura alkohola je 10 C. Kolika je temperatra alkohola ako ga rashladimo za: 3.10. Vanjska temperatura zraka je 5 C, a sobna temperatura je +19 C. Kolika je razlika izme - du vanjske i sobne temperature? 3.11. Temperatura se izmjenila sa 1 Cna+6 C. Za koliko se stupjeva izmjenila temperatura? 3.12. U tijeku noći živa se u termometru spustila za 7 C. Kolika je bila temperatura ujutro ako je navečer bila +5 C? 3.13. Kolikojeimaonovacačovjek kojemu je nakon vraćanja duga od 300 kn, preostalo 700 kn? 1 2i6, 2 1 i4, 3 8 i 2, 4 5 i0. 3.14. Nacrtaj pravac OE ( OE = 1 cm), zatim bojom naglasi dio pravca izme - du brojeva: 3.15. Na pravcu organiziranom za pridruživanje brojeva njegovim točkama, naznači točke A, B, C, D, F i G kojima su prodruženi brojevi +4, 1, +2, 0, 5 i 3. 3.16. Ako je mjerni broj udaljenosti od M do N dva, odredi mjerni broj udaljenosti od točke M do točke: 1 B, 2 E, 3 D, 4 Q, 5 F, 6 C, F Q B D P M C N A E p 3.17. Na pravcu organiziranom za smještavanje brojeva naznači točke kojima se pridružuju cijeli brojevi izmedu - 6 i+6, ako je jedinična dužina: 1 duljine 1 cm, 2 duljine 7 mm, 3 proizvoljne duljine. 127

3.18. Točkama A i B pravca, pridruženi su cijeli brojevi 2 i+3. Konstruiraj kvadrat ako je dužina AB : 1 stranica kvadrata, 2 dijagonala kvadrata. 3.19. Točkama S 1 i S 2 pravca pridruži cijele brojeve 4 i+2, zatim: 1 Konstruiraj kružnice k 1 i k 2 jednakih polumjera, koje se dodiruju, ako su im središta S 1 i S 2. 2 Koji cijeli broj je pridružen njihovoj dodirnoj točki? 3.20. Točkama P, Q, R, S pravca pridruženi su cijeli brojevi 4, 1, +3, +5. 1 Konstruiraj trokut čije su stranice jednake dužinama PQ, QR i QS. 2 Postoji li trokut čije su stranice dužine PR, QR i RS? Objasni. Suprotni brojevi 3.21. Dopuni tablicu: a 3 0 3 6 a 5 2 1 3.22. Nacrtaj pravac s jediničnomdužinom OE, zatim točkamapravca pridruži cijele brojeve 4, 3, 2 i njima suprotne brojeve. 3.23. Nacrtaj pravac s jediničnom dužinom OE, odaberi po volji desno od nule točku kojoj je pridružen cijeli broj z, zatim konstruiraj točku kojoj se pridružuje broj suprotan broju z. 3.24. Nacrtaj pravac s jediničnom dužinom OE, odaberi po volji lijevo od nule točku kojoj je pridružen cijeli broj z, zatim konstruiraj točku kojoj se pridružuje broj suprotan broju z. 1 7, 2 ( 3), 3 14, 4 ( ( 2)), 5 ( ( ( ( 1)))). 1 pozitivan broj, 2 prirodan broj, 3 nula, 4 negativan broj. 3.25. Koji je broj suprotan broju: 3.26. Je li a pozitivan lil negativan broj ako je a : 128

1 ( 11)+m = 0, 2 63 + q = 0, 3 t +( 20) =0, 4 ( 53)+p = 0. 3.27. Riješi jednadžbu: 1 m = 4, 2 m = 5, 3 m = 0. 3.28. Izračunaj m +( m) ako je: 1 x + 17 = 0, 2 ( 43)+x = 0, 3 ( 51)+x = 0, 4 x +( 75) =0, 3.29. Koji odgovarajući cijeli broj može zamijeniti znak x u jednakostima: Apsolutna vrijednost 3.30. Sljedeće cijele brojeve: 2,+3,+1, 7,+6, 9, poredaj po apsolutnoj vrijednosti. 3.31. Koji su cijeli brojevi po apsolutnoj vrijednosti: 1 manji od 5, 2 manji od 6 a veći od 3? 3.32. Nacrtaj pravac s naznačenom jediničnom dužinom OE, zatim bojom naglasi dio pravca na kojom će biti smješteni brojevi x za koje vrijedi: 1 3 < x, 2 x < 3, 3 x < 3, 4 x > 4. 1 2 < z < 7, 2 9 < z < 3, 3 1 < z < 4, z < 3, 5 z + 1 < 5, 6 z 1 < 6? 3.33. Za koje brojeve z vrijedi: 4 1 a = b, 2 a > b, 3 a < b. 3.34. Ako je a = b,može li biti: 1 a > b, 2 a = b, 3 a < b. 3.35. Ako je a > b,može li biti: 1 a > b, 2 a = b, 3 a < b. 3.36. Ako je a > b,može li biti: 1 x 1 = 3, 2 7 + x = 12, 3 x + 3 = 9, 4 8 x = + 5. 3.37. Riješi jednadžbu: 129

3.38. Za koje vrijednosti od x je: 1 1 + x = 1, 2 1 + x > 1? 3 Može li biti 1 + x < 0i1+ x > 1? Objasni. 3.39. Koji je najmanji, a koji najveći od brojeva: 1,6,0, 9,3? 3.40. Poredaj po veličini brojeve: +2, 5,+3, 7,+8, 8,+1, 3. 3.41. Poredaj brojeve 2,10,0, 10, 2, tako da svakisljedećibroj budeveći odprethodnogbroja. 3.42. Poredaj brojeve 9, 6,0,3, 4, tako da svaki sljedeći broj bude manji od prethodnog broja. 1 2 4, 2 30 0, 3 15 20, 4 3 12. 1 9 < z < 5, 2 0 < z < 7, 3 0 > x > 4. 3.43. Prepiši zadatke, zatim u kvadrat stavi odgovarajući znak uspore - divanja: 3.44. Za koje cijele brojeve z vrijedi: 3.45. Koji je od brojeva 4 i 9 veći i za koliko? 3.46. Zadani su cijeli brojevi 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3. Na brojevnom pravcu naznači točke kojima su pridruženi: 1 neposredni sljedbenici zadanih brojeva, 2 neposredni prethodnici zadanih brojeva. 3.47. Za koje vrijednosti broja a je: 1 a < 0, 2 a = 0, 3 a > 0? 1 a = b i b = c, usporedi a i c, 2 a > b i b > c, usporedi a i c, 3.48. Ako su a, b, c tri cijela broja i ako je: 3 a < b i b < c, usporedi a i c, 4 a = c,moželi biti a < b i b < c? Kakvi su u ovom slučaju brojevi a, b, c? 3.49. Neka su x, y, z tri cijela broja, kakvi su brojevi: 1 y i z ako je x < y < z i x > 0? 2 x i y ako je x < y < z i z < 0? 3 y ako je x < y < z i x < 0, z > 0? Može li biti y = 0? 130