Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Površina i zapremina poliedara -master radkandidat Miljana Stojanović 65 mentor Prof. dr Ljubica Veli

Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Površina i zapremina poliedara -master radkandidat Miljana Stojanović 65 mentor Prof. dr Ljubica Velimirović Niš, oktobar 2015.

Sadržaj 1 Uvod 3 2 Platonova tela 5 2.1 Tetraedar............................. 6 2.2 Oktaedar.............................. 7 2.3 Heksaedar............................. 8 2.4 Ikosaedar............................. 9 2.5 Dodekaedar............................ 10 3 Karakteristike 11 3.1 Poliedarska površ......................... 11 3.2 Broj strana............................ 12 3.3 Topološke karakteristike..................... 12 3.4 Dualnost.............................. 14 3.5 Površina poliedara........................ 15 3.5.1 Površina prizme...................... 15 3.5.2 Površina piramide..................... 17 3.5.3 Površina zarubljene piramide.............. 18 3.6 Zapremina poliedra........................ 19 3.6.1 Zapremina prizme..................... 19 3.6.2 Zapremina piramide................... 23 3.6.3 Zapremina zarubljene piramide............. 26 3.6.4 Pravilni poliedri...................... 27 3.6.5 Orijentisani poliedri.................... 28 4 Poliedri u R 3 i njihove opšte zapremine 29 4.1 Zapremina nekih prostih poliedara................ 30 4.2 Poliedar kao algebarska varijacija................ 32 5 Centralni rezultat 34 6 Kejli-Mengerova jednačina 36 7 Centralna lema 43 7.1 Dokaz teoreme 5.1........................ 52 8 Primena 54 8.1 Izometrijske realizacije...................... 54 8.2 Zapremina kao algebarski broj.................. 54 1

9 Literatura 55 10 Biografija 57 2

1 Uvod Najraniji pisani dokumenti vezani za poliedre javljaju se kod starih Grka, koji su ujedno i prvi dali matematičke opise istih. Najpre su bili zainteresovani za pravilne konveksne poliedre koji su bili poznati kao Platonova tela. Pitagora je znao za tri takva tela, a Tetet je opisao sva pet. Konačno je Euklid u svojoj knjizi Elmenti opisao njihovu konstrukciju. Geometrijski sistem opisan u Elementima je dugo smatran za jedinu moguću geometriju. Danas se taj sistem odnosi na Euklidsku geometriju da bi se napravila razlika sa ostalim takozvanim ne-euklidskim geometrijama koje su matematičari otrkrili u 19. veku. Na kraju je Arhimed proširio svoja saznanja na konveksne uniformne poliedre koji danas po njemu nose ime. U elementarnoj geometriji, poliedar je geometrijsko telo sa tri dimenzije, ograničeno sa četiri ili više mnogouglova. Reč poliedar potiče od starogrčke reči poly(mnogo)-hedron(osnova). Prizma i piramida su jedne od vrsta poliedra. Skup površi mnogouglova takvih da je svaka stranica svakog mnogougla ujedno i stranica još samo jednog mnogougla, obrazuju zatvorenu površ koja se naziva poliedarska površ. Deo geometrijskog prostora koji ograničava (zatvorena) poliedarska površje unutrašnjost poliedarske površi. Dakle poliedar predstavlja uniju poliedarske površi i njene unutrašnjosti. Površi mnogouglova, od kojih se sastoji poliedarska površ, nazivaju se strane poliedra, a stranice tih mnogouglova nazivaju se ivice poliedarske površi i poliedra. Rogljevi koje obrazuju strane poliedra sa jednim zajedničkim temenom su rogljevi poliedra, a vrhovi tih rogljeva su temena poliedra. Svaka duž koja spaja dva temena poliedra, a ne pripada nijednoj strani poliedra predstavlja dijagonalu poliedra. Svaka ravan koju odredjuju tri temena poliedra i ne sadrži nijednu stranu poliedra predstavlja dijagonalnu ravan poliedra. Poliedar je konveksan ukoliko svaka duž koja spaja njegove dve proizvoljne tačke pripada tom poliedru, u suprotnom slučaju poliedar je nekonveksan odnosno konkavan. 3

Slika 1: Skeletni poliedar Leonarda da Vinčija Moderna definicija poliedra definiše poliedar kao injektivnu funkciju realnog prostora. Svaki poliedar može nastati od nekoliko ražličitih elemenata, a svaki od tih elemenata je vezan za dimenziju prosotra. Kada je u pitanju trodimenzionalan prostor poliedar je ograničen površima i kao takav može, a i ne mora biti geometrijsko telo. U dvodimenzionalnom prostoru površ je mnogougao ograničen dužima. Ove površi zajedno čine poliedarsku površ. U jednodimenzionalnom prostoru ivica predstavlja duž koja se nalazi u preseku dve površi. Sve ivice zajedno čine skelet poliedra koji je dat na Slici 1. Različiti pristupi i definicije mogu zahtevati različite realizacije. Ponekad unutrašnja zapremina se smatra kao deo poliedra, ponekad se samo površina smatra, a povremeno samo kostur ivica ili čak samo skup čorova. U elementarnoj geometriji poliedar se obično shvata kao trodimenzionalni primer opšteg politopa u bilo kom broju dimenzija. Na primer poligon ima dvodimenzionalno telo i nema lica, dok je 4-politop ima četvorodimenzionalno telo i dodatni skup trodimenzionalnih "ćelija". U drugim matematičkim disciplinama, pojam "poliedar" se može odnositi na različite specijalizovane konstrukcije, neka geometrijska i druga čisto algebarska ili čak apstraktna tela. Termin se ponekad koristi u takvim situacijama da se ne odnosi na neku vrstu politopa već za nešto drugo. 4

2 Platonova tela Platonova tela su dobila naziv po starogrčkom filozofu Platonu, zbog njihove upotrebe u "Timeju" gde su pojavama četiri elementa dodeljivani oblici geometrijskih tela. Tetraedar je bio povezan sa vatrom, oktaedar vazduhom, ikosaedar vodom, a heksaedar zemljom, dok je dodekaedar bio na raspolaganju Tvorcu da predstavi vasionu. Platonova tela zadovoljavaju dva uslova kojim se karakterišu pravilni poliedri: sve strane su im pravilni međusobno podudarni mnogouglovi i svi rogljevi su im pravilni, medusobno podudarni i konveksni. Ovakvih tela ima tačno pet. Njima su se bavili i Pitagorejci koji su bili čak i očarani, a najviše pažnje izazivala činjenica da pravilnih poligona ima beskonačno mnogo, a ovakvih pravilnih tela samo 5. Sam dokaz da pravilnih poliedara ima pet izveli su, znatno kasnije od starogrčke ere, Rene Dekart i Leonard Ojler. Platonova tela su: tetraedar, oktaedar, heksaedar, ikosaedar i dodekaedar. Slika 2: Platonova tela 5

2.1 Tetraedar Tetraedar ima 4 temana, 6 ivica i 4 strane. Njegove strane su pravilni trouglovi. Slika 3: Tetraedar Slika 4: Formule 6

2.2 Oktaedar Oktaedar ima 6 temana, 12 ivica i 8 strana. trouglovi. Njegove strane su pravilni Slika 5: Oktaedar Slika 6: Formule 7

2.3 Heksaedar Heksaedar ima 8 temana, 12 ivica i 6 strane. četvorouglovi-kvadrati. Njegove strane su pravilni Slika 7: Heksaedar Slika 8: Formule 8

2.4 Ikosaedar Ikosaedar ima 12 temana, 30 ivica i 20 strana. Njegove strane su pravilni trouglovi. Slika 9: Ikosaedar Slika 10: Formule 9

2.5 Dodekaedar Dodekaedar ima 20 temana, 30 ivica i 12 strana. Njegove strane su pravilni petouglovi. Slika 11: Dodekaedar Slika 12: Formule 10

3 Karakteristike 3.1 Poliedarska površ Najistaknutija karakteristika skoro svih vrsta poliedara je da su dve strane povezane preko zajedničke ivice. Isto tako svaka ivica spaja samo dva temena, jedan na svakom kraju. Ove dve karakteristike su dualne jedna drugoj i one obezbeđuju da je poliedarska površ neprekidno povezana. Iz istih razloga, površina ne može da bude deljiva na dva dela tako da svaki deo bude validan poliedar. Ovo isključuje i samo-ukrštanje jedinjenja poliedara ili figura pridruženih samo preko jedne strane, temena ili ivice, kao što su dva tetraedra pridružena u zajedničkom vrhu. Svaki jednostavan (bez samopresecanja) poliedar ima najmanje dve strane sa istim brojem ivica. Slika 13: Klajnova boca 11

3.2 Broj strana Poliedri se mogu klasifikovati i često su nazivani prema broju strana. Imenovanje je bazirano na sistemu koji su uspostavili stari Grci, na primer tetraedar (4), pentaedar (5), heksaedar (6), i tako dalje. 3.3 Topološke karakteristike Topološka klasa poliedra definisana je Ojlerovim karakteristikama i orijentaciji. Definicija 3.1 Ojlerova karakteristika χ je: χ = V E + F. je V broj temena, E broj ivica i F broj površi poliedra. Iz ove perspektive, bilo koja poliedarska površ može se kvalifikovati kao određena vrsta topološke mnogostrukosti. Na primer, površina konveksnog ili zaista bilo kog jednostavno povezanog poliedra je topološka sfera. Ovo je jednako topološkoj Ojlerovoj karakteristici njegove površine. Za konveksan poliedar ili bilo koji jednostavno povezan poliedra χ = 2. Za komplikovanije oblike, Ojlerova karakteristika odnosi se na broj toroidnih rupa i biće manja od 2. Ojlerovo otkriće karakteristika označilo je početak moderne discipline topologije. Neki poliedri, kao što su svi konveksni poliedri, imaju dve različite strane na njihovoj površini, na primer jedna strana se može obojiti u crnu boju a druga u belu. Tada kažemo da je ta figura orijentisana. Ali za neke poliedre, kao što je tetrahemiheksadron, to nije moguće, i površina je jednostrana. Tada se za poliedar kaže da je neorijentisan. Svi poliedri sa neparnom Ojlerovom karakteristikom su neorijentisani. Data figura sa neparnim χ < 2 može a i ne mora biti orijentisana. Na primer, jednorupčasti toroid i klajn boca oboje imaju χ = 0, pri čemu je prvi orijentisan a drugi ne. Definicija 3.2 Prost poligon kome su stranice ivice nekog poliedra tj. poliedarske površi nazivamo povratnom linijom te poliedarske površi. Povratna linija može, ali ne mora, da razlaže površ dotičnog poliedra na dva dela. Definicija 3.3 Maksimalan broj povratnih linija neke poliedarske površi koje međusobom nemaju zajedničkih tačaka i koje ne razlažu tu poliedarsku površna dva ili više delova nazivamo rodom te poliedarske površi. 12

Definicija 3.4 Dve površi su homeomorfne ako između njih postoji bijektivno i bikontinualno preslikavanje. Slika 14: Povratna linija sfere Sfera ima za povratnu liniju neki krug Slika 14 i on razlaže površ sfere na dva dela. Znači sfera je površ nultog roda, tj. g = 0. Torus takođe ima za povratnu liniju neki krug ali taj presek ne razlaže torus na dva dela. Ako konstruišemo bilo koji drugi povratni presek bez zajedniških tačaka sa prvim, onda će površ sfere sa ta dva povratna preseka biti razložena na dva dela. Znači torus može imati najviše jednu Slika 14 povratnu liniju koja ga ne razlaže, pa je torus površ prvog roda, tj. za torus je g = 1. Generisanje površi proizvoljnog roda n možemo izvršiti "slepljivanjem" n torusa ili konstrukcijom sfere sa n ručki. Za svaku ovako dobijenu površ može se konstruisati homeomorfna poliedarska površ. To znači da poliedarske površi mogu biti proizvoljnog roda g = 1, 2,.... Posebno su interesantne poliedarske površi nultog roda tj. poliedarske površi homeomorfne sa sferom. Teorema 3.1 (Ojlerova karakteristika za poliedarske površi nultog roda) Ukupan broj temena V i površi F bilo koje poliedarske površi nultog roda za 2 je veći od broja njegovih ivica E, tj. V + F = E + 2. Na osnovu definicije 3.1 prethodna teorema se može preformulisati u Teorema 3.2 Ojlerova karakteristika prozvoljne poliedarske površi nultog roda je χ = 2. Dokaz se nalazi u [15]. Definicija 3.5 Poliedar je topološki pravilan ako sve površi poliedra imaju jednak broj stranica i u svakom temenu poliedra sustiče se jednak broj ivica. 13

Teorema 3.3 Postoji pet i samo pet različitih vrsta topološki pravilnih poliedara. Dokaz se nalazi u [15]. Neka je m broj strana svake površi, n broj ivica koje se spajaju u jednom temenu poliedra. Što se tiče Platonovih tela oni imaju sledeće Ojlerove karakteristike: Ako je m = 3, n = 3 tada je V = 4, E = 6 i F = 4. Takav poliedar naziva se tetraedar. Ako je m = 3, n = 4 tada je V = 6, E = 12 i F = 8. Takav poliedar naziva se oktaedar. Ako je m = 3, n = 5 tada je V = 12, E = 30 i F = 20. Takav poliedar naziva se ikosaedar. Ako je m = 4, n = 3 tada je V = 8, E = 12 i F = 6. Takav poliedar naziva se heksaedar. Ako je m = 5, n = 3 tada je V = 12, E = 30 i F = 12. Takav poliedar naziva se dodekaedar. 3.4 Dualnost Za svaki poliedar postoji dualni poliedar koji ima: 1. strane na mestu originalnih temena obratno, 2. isti broj ivica, 3. istu Ojlerovu karakteristiku i orijentisanost Dualni poliedar konveksnog poliedra i mnogih drugih poliedara može se dobiti pomoću postupka polarnog reciprociteta. Dualni poliedri postoje u parovima. Dvostruki dualni poliedar je ponovo samo originalni poliedar. Neki poliedri su samo-dualni, što znači da je dualni poliedar sam taj poliedar. Pod poliedromn dualnim datom poliedru možemo smatrati poliedar kome su temenima prethodnog dodeljene površi dualnog, a svakoj površi dualnog teme prethodnog. Prema tome tetraedar je dualan samom sebi; oktaedar i heksaedar su dualni, a takođe ikosaedar i dodekaedar. 14

3.5 Površina poliedara Kako su prizme i piramide najistaknutiji predstavnici poliedra njima ćemo posvetiti posebnu pažnju. 3.5.1 Površina prizme Saglasno definiciji poliedra svaki poliedar je ograničen sa konačnim brojem mnogouglova, prirodno je da površinu poliedra definišemo kao zbir površina tih mnogouglova. Definicija 3.6 Površina poliedara je zbir površina svih mnogouglova koji obrazuju njegovu poliedarsku površ. Prizma je poliedar. Ako označimo sa P površinu prizme, sa B površinu osnove i sa M površinu omotača, tada saglasno napred navedenoj definiciji, površina prizme jednaka je zbiru površina svih mnogouglova koji je ograničavaju odnosno P = 2B + M. Teorema 3.4 Površina omotača bilo koje prizme jednaka je proizvodu obima normalnog preseka (s) i dužine njene bočne ivice (b) M = sb. Dokaz: Neka je A 1 A 2...A n A 1A 2...A n prizma i B 1 B 2...B n njen normalni presek obima s. Neka je b dužina bočne ivice. Da bismo dobili površinu omotača, treba da saberemo površine bočnih strana. Sve bočne strane su paralelogrami, a strnice normalnog preseka su njihove visine kao rastojanja naspramnih stranica. Dakle, za površine bočnih strana prizme važe sledeće jednakosti Sabiranjem ovih jednakosti dobija se P A1 A 2 A 2 A 1 P A1 A 2 A 2 A 1 = b B 1 B 2, P A2 A 3 A 3 A 2 = b B 2 B 3,..., P An A 1 A 1 A n = b B nb 1. + P A2 A 3 A 3 A 2 +... + P An A 1 A 1 A n = b B 1B 2 + b B 2 B 3 +... + b B n B 1 15 = b( B 1 B 2 + B 2 B 3 +... + B n B 1 ).

Slika 15: Kako je sledi M = P A1 A 2 A + P 2 A 1 A2 A 3 A +... + P 3 A 2 An A 1 A 1 A n s = B 1 B 2 + B 2 B 3 +... + B n B 1 M = sb. Ako je prizma prava, normalni presek je mnogougao podudaran osnovi prizme, a visina prizme jednaka je bočnoj ivici prizme. Neka je p obim osnove prizme, a H njena visina onda je p = s, H = b i prema napred navedenoj teoremi važi M = ph. Drugim rečima površina omotača prave prizme jednaka je proizvodu obima osnove p i njene visine H. Površina kvadra (pravouglog paralelopipeda) Neka su dimenzije kvadra a, b, c. Ako za osnovu uzmemo pravougaonok sa stranicama a i b tada je prema gore navedenoj teoremi M = ph. 16

Obim osnove kvadra je p = 2a+2b, a visina H = c odatle sledi M = 2ac+2bc. Kako je osnova pravougaonik sa stranicama a i b onda važi B = ab, dakle površina kvadra je P = 2ab + 2ac + 2bc, odnosno Površina kocke P = 2(ab + ac + bc). Neka je ivica kocke a. Kako je osnova kvadrat sa stranicom a tada je prema gore navedenoj teoreme M = ph. Obim osnove kocke je p = 4a, a visina H = a odatle sledi M = 4a 2. Kako je osnova kvadrat sa stranicom a onda važi B = a 2, dakle površina kocke je P = 2B + M = 2a 2 + 4a 2, odnosno 3.5.2 Površina piramide P = 6a 2. Piramida je poliedar. Zato je njena površina jednaka zbiru površina mnogouglova koji je ograničavaju. Površina omotača piramide jednaka je zbiru svih bočnih strana, odnosno M = P A1 A 2 V + P A2 A 3 V +... + P AnA 1 V. Ako se površini omotača piramide M doda površina osnove B dobija se ukupna površina piramide P, P = B + M. Teorema 3.5 Površina omotača pravilne piramide jednaka je poluproizvodu obima osnove (p) i dužine apoteme (h). Dokaz: Neka je V A 1 A 2...A n pravilna n-tostrana piramida. Neka je h dužina apotema i AA 1 = AA 2 =... = AA n = a ivica osnove. Bočne strane pravilne piramide su podudarni jednakokraki trouglovi površine ah. Kako je broj tih 2 trouglova n, sledi M = n ah 2 = nah 2 = ph 2 = ph 2, gde je p = na obim osnove, a h dužina apoteme. Dakle, površina omotača pravilne piramide jednaka je poluproizvodu obima osnove (p)i dužine apoteme (h). 17

Slika 16: 3.5.3 Površina zarubljene piramide Površina omotača zarubljene piramide jednaka je zbiru površina svih njenih bočnih strana. M = P A1 A 2 B 2 B 1 + P A2 A 3 B 3 B 2 +... + P AnA 1 B 1 B n. Teorema 3.6 Površina omotača pravilne zarubljene piramide jednaka je proizvodu poluzbira obima dve njene osnove i dužine apoteme. Dokaz: Neka je A 1 A 2...A n B 1 B 2...B n pravilna zarubljena piramida. Neka je dalje, A 1 A 2 = A 2 A 3 =... = A n A 1 = a, B 1 B 2 = B 2 B 3 =... = B n A 1 = a 1, gde je p = na obim donje osnove, a p = na 1 obim gornje osnove, i h dužina apoteme. Bočne strane su podudarni jednakokraki trapezi. Površina bilo kog trapeza u omotaču jednaka je sa površinom trapeza A 1 A 2 B 2 B 1 P A1 A 2 B 2 B 1 = a + a 1 h. 2 18

Površina omotača je n puta veća, pa važi M = n a + a 1 2 h = na + na 1 2 h = p + p 1 h. 2 3.6 Zapremina poliedra 3.6.1 Zapremina prizme U dosadašnjem izučavanju matematike većinom smo merili i izračunavali dužine i površine. Sada ćemo rešavati problem odredjivanja zapremine nekih geometrijskih tela, u prvom redu poliedara. Pri odredjivanju dužine (rastojanja) koristili smo neku jedinicu za merenje dužine i označavali sa e (m, dm, cm, mm,...). Kao jedinicu za merenje površine uzimali smo površinu kvadrata sa dužinom ivice jednakom jedinici za merenje duži e. Rekli smo da je površina tog jediničnog kvadrata e 2 (m 2, dm 2, cm 2, mm 2,...). Jedinicom za merenje zapremine smatraćemo kocku sa ivicom jedinične dužine e. Tu zapreminu obeležavamo sa e 3 (m 3, dm 3, cm 3, mm 3,...). Tada se svaka zapremina izražava u obliku V = v e 3, gde je v brojčana vrednost zapremine V za datu jedinicu za merenje zapremine e 3. Smatrajući da je jedinica za merenje zapremine izabrana, govorićemo najčešće samo o brojnoj vrednosti zapremine V. Zadatak se sastoji u tome da se svakom geometrijskom telu T pridruži jedinstven nenegativan realan broj V (T ) 0 koji ćemo zvati zapremina tog tela, koja ima sledeća svojstva: 1. Ako su geometrijska tela T 1 i T 2 podudarna, onda je V (T 1 ) = V (T 2 ); 2. Ako su T, T 1 i T 2 geometrijska tela takva da je T = T 1 T2 i T 1 T2 =, onda je V (T ) = V (T 1 ) + V (T 2 ); 3. Ako je geometrijsko telo T sadržano u geometrijskom telu T 1 odnosno T T 1, onda je V (T ) V (T 1 ); 4. Ako je E kocka sa ivicom jedinične dužine e, onda je V (E) = 1. Najčešće umesto V (T ) pišemo samo V ako je iz konteksta jasno o kom se geometrijskom telu radi. Zapremina kvadra (pravouglog paralelopipeda) Teorema 3.7 Zapremina pravouglog paralelopipeda jednaka je proizvodu njegove tri dimenzije. Dokaz: Razmotrimo prvo slučaj kad su dimenzije paralelopipeda a, b i c prirodni brojevi. U tom slučaju, sa pravama koje su paralelne stranicama osnove paralelopipeda, ta osnova može da se izdeli na ab jediničnih kvadrata. 19

Ako se na svaki od tih kvadrata postavi jedinična kocka, dobiće se sloj čija je visina jednaka jedinici dužine. Ceo paralelopiped može se popuniti sa c takvih slojeva. Dakle, pravougli paralelopiped je popunjen sa abc disjunktnih jediničnih kocaka pa je njegova zapremina V = abc. Slika 17: Ako se dimenzije a, b i c pravouglog paralelopipeda izraze racionalnim brojevima, tada se svodjenjem tih brojeva na zajednički imenilac n dobija a = p n, b = q n, c = r n, gde su p,q i r celi brojevi. Paralelopiped je popunjen sa pqr kocaka sa ivicom dužine 1 n. Kako je jedinična kocka sastavljena od n3 takvih kocaka, zapremina svake od njih je 1 n 3. Prema tome, zapremina celog paralelopipeda je: V = pgr 1 n 3 = p n q n r n = abc. Tvrdjenje je tačno i u slučaju kad su a, b i c iracionalni brojevi. Dokaz izostavljamo zbog složenosti. Dakle, u svakom slučaju je zapremina pravouglog paralelopipeda jednaka proizvodu njegovih dimenzija, odnosno V = abc. 20

Kavaljerijev princip Bonaventura Frančesko Kavaljeri (1598-1647) italijanski matematičar koji je 1635. izašao sa idejom da se površina figura sastoji od nedeljivih linija, a zapremina od nedeljivih površina i upotrebio svoj princip za merenje zapremine tela, prethodno otkriven od Kineza (Cu Gengzi 480-525.). Kavaljerijev princip u ravni: ako su preseci neke dve figure u ravni i bilo kojih pravih koje ih seku, a paralelne su nekoj datoj pravoj, jednakih dužina, tada su i površine datih figura jednake. Slika 18: Ako su odsečci a 1 i a 2, preseka proizvoljne prave a paralelne datoj pravoj p sa datim figurama F 1 i F 2 medjusobno jednaki, onda su površine figura jednake. Koristeći Kavaljerijev princip u ravni lako možemo pokazati naprimer da je površina paralelograma jednaka površini pravougaonika, ako je dužina osnovice paralelograma jednaka dužini pravougaonika, a visina paralelograma jednaka širini pravougaonika. Slika 19: Kavaljerijev princip za tela glasi: ako su preseci neka dva tela i bilo koje ravni koja ih seče, a paralelna je nekoj datoj ravni, figure jednakih površina, tada su zapremine tih tela jednake. Ako su površine α 1 i α 2, preseka proizvoljne ravni α paralelne datoj ravni β sa datim telima F 1 i F 2 medjusobno jednake, onda su zapremine tela jednake. 21

Slika 20: Kavalierijev princip prihvatamo bez dokaza jer dokaz zahteva znanje više matematike. Taj princip ćemo koristiti u daljem izlaganju jer omogućava dokazivanje mnogih teorema koje se odnose na zapremine geometrijskih tela. Dokaz: Slika 21: Teorema 3.8 Zapremina prizme jednaka je proizvodu površine osnove i visine. Neka je B površina osnove prizme A 1 A 2...A n B 1 B 2...B n, i H visina te prizme. Posmatramo istovremeno pravougli paralelopiped visine c = H čija osnova ima površinu B = ab i koja je jednaka površini mnogougla A 1 A 2...A n. Osim toga, neka osnove prizme i paralelopipeda leže u paralelnim ravnima α i β. Presecimo prizmu i paralelopiped sa proizvoljnom ravni γ koja je paralelna sa ravnima α i β (γ α β). Preseci su mnogouglovi C 1 C 2...C n i D 2 E 2 F 2 G 2. Kako se translacijom mnogougao C 1 C 2...C n može preslikati u mnogougao A 1 A 2...A n onda su oni podudarni pa su i njihove površine jednake. Naravno ovo možemo dokazati i primenom podudarnosti trouglova i osobina 22

paralelograma da su naspramne stranice jednake koja se opet dokazuje iz podudarnosti trouglova. Posmatrajmo paralelograme A 1 A 2 C 2 C 1, A 2 A 3 C 3 C 2, A 1 A 3 C 1 C 3 njihove naspramne stranice su jednake dakle važi: A 1 A 2 = C 1 C 2, A 2 A 3 = C 2 C 3, A 1 A 3 = C 1 C 3. Dalje posmatrajmo trouglove A 1 A 2 A 3 i B 1 B 2 B 3, oni su podudarni jer imaju sve tri odgovarajuće stranice podudarne, a iz podudarnosti sledi da je A 1 A 2 A 3 = B 1 B 2 B 3. Nastavljajući ovaj postupak dokažzaćemo da navedeni mnogouglovi C 1 C 2...C n i A 1 A 2...A n imaju sve jednake odgovarajuće stranice i sve jednake odgovarajuće uglove, dakle podudarni su. Slično, možemo zaključiti da su paralelogrami D 2 E 2 F 2 G 2 i DEF G podudarni pa su im površine takodje jednake. Znamo da su površine osnova jednake B A1 A 2...A n = B DEF G = ab = B, znači da su i površine preseka sa ravni γ jednake, odnosno B C1 C 2...C n = B D2 E 2 F 2 G 2 = ab = B. Dakle, preseci prizme i pravouglog paralelopipeda bilo kojom ravni γ koja je paralelna sa ravni α imaju jednake površine. Na osnovu Kavaljerijevog principa ta dva tela imaju jednake zapremine. Medjutim, zapremina paralelopipeda je V = abc = (ab)c = BH pa je i zapremina prizme jednaka V = BH. 3.6.2 Zapremina piramide Teorema 3.9 Dve piramide sa osnovama jednakih površina i jednakim visinama imaju jednake zapremine. Dokaz: Slika 22: Neka su date dve piramide V A 1 A 2...A n i V 1 B 1 B 2...B m jednakih visina (H) i jednakih površina osnova B A1 A 2...A n = B B1 B 2...B m = B koje pripadaju ravni α. Neka je γ proizvoljna ravan paralelna ravni α (γ α) koja ima preseke 23

C 1 C 2...C n i D 1 D 2...D m sa datim prizmama. Dokažimo da su odgovarajući preseci slični osnovama. Posmatrajmo V A 1 A 2 i V C 1 C 2 oni su slični C pa su stranice proporcionalne pa važi: 1 C 2 A 1 A 2 = V C 1 V A 1 = k. Medjutim ako posmatramo V OA 1 i V O 1 C 1 oni su slični pa su stranice proporcionalne tako da važi V C 1 V A 1 = V O 1 = H x, gde je x rastojanje izmedju ravni γ i α, a V O H O 1 i O tačke prodora normale iz vrha piramide V sa ovim ravnima. Dakle dokazali smo da važi C 1 C 2 A 1 A 2 = H x = k. x Ovo važi za sve odgovarajuće stranice. Dalje ako posmatramo naprimer V A 1 A 3 i V C 1 C 3 i oni su slični pa su stranice proporcionalne, odnosno C 1 C 3 A 1 A 3 = k. Sada ako posmatramo C 1 C 2 C 3 i A 1 A 2 A 3 oni imaju odgovarajuće stranice proporcionalne C 1C 2 A 1 A 2 = C 1C 3 A 1 A 3 = C 2C 3 A 2 A 3 = k, dakle slični su pa su im odgovarajući uglovi jednaki C 1 C 2 C 3 = A 1 A 2 A 3. Ovo važi za sve odgovarajuće uglove. Dakle svi odgovarajući uglovi mnogougla C 1 C 2...C n su jednaki odgovarajućim uglovima mnogougla A 1 A 2...A n i sve stranice su P proporcionalne pa su oni slični. Za njihove površine važi C1 C 2...Cn B A1 = k 2, i A 2...An kako je B A1 A 2...A n = B sledi P C1 C 2...C n = k 2 B. Sada posmatrajmo piramidu V 1 B 1 B 2...B m. Na sličan način možemo pokazati da je P D1 D 2...D m = k 2 B, a odatle sledi P C1 C 2...C n = P D1 D 2...D m, pa prema Kavaljerijevom principu piramide imaju jednake zapremine. Dokaz je mogao biti i jednostavniji da smo koristili definiciju homotetije. Teorema 3.10 Zapremina piramide jednaka je trećini proizvoda površine osnove i visine. Dokaz: Posmatrajmo trougaonu piramidu V ABC visine H sa površinom osnove V. Neka je ABCA 1 V C 1 trougaona prizma koja sa tom piramidom ima zajedničku osnovu ABC, a jedna od bočnih ivica prizme se poklapa sa bočnom ivicom piramide, naprimer BV. Jasno je da je visina dobijene prizme takodje jednaka H. Odsecimo od prizme posmatranu piramidu V ABC, a preostali deo prizme presecimo sa ravni koja sadrži tačke V, C i A 1. Na taj način je prizma razložena na tri piramide: V ABC,V ACA 1 i V A 1 CC 1. 24

Slika 23: Uporedimo zapremine te tri piramide. Posmatrajmo piramide V ACA 1 i V A 1 CC 1. Očigledno je P ACA1 = P A1 CC 1, i rastojanje od tačke V do ravni trougla ACA 1 jednako je rastojanju od tačke V do ravni trougla CC 1 A 1. Na osnovu Teoreme 1.5.1. prizme sa jednakim površinama osnova i jednakim visinama imaju jednake zapremine sledi jednakost (1) V V ACA1 = V V A1 CC 1. Posmatrajmo sada piramide V ABC i CV A 1 C 1. Očigledno je da važi P ABC = P V A1 C 1, i rastojanje od tačke V do ravni trougla ABC jednako je rastojanju od tačke C do ravni trougla V A 1 C 1. Kako prizme sa jednakim površinama osnova i jednakim visinama imaju jednake zapremine sledi jednakost (2) V V ABC = V CV A1 C 1. Iz (1) i (2) sledi jednakost zapremina sve tri piramide V V ABC = V V ACA1 = V V A1 CC 1. Dakle, prizma je razložena na tri piramide jednakih zapremina pa je zapremina svake od tih piramida jednaka trećini zapremine prizme. Dakle zaključujemo da zapremina piramidene ne zavisi od oblika osnove, nego samo od površine osnove i visine. Prema tome, zapremina bilo koje piramide jednaka je trećini zapremine prizme koja ima sa tom prizmom jednaku površinu osnove B i jednaku visinu H. Iz formule za zapreminu prizme sledi da je zapremina piramide V = 1 3 BH. 25

3.6.3 Zapremina zarubljene piramide Teorema 3.11 Ako je H visina zarubljene piramide, a B i B 1 njenih osnova, onda je zapremina V te piramide data formulom površine V = H 3 (B + BB 1 + B 1 ). Dokaz: Slika 24: Dopunimo zarubljenu piramidu do pune piramide. Dobijena piramkda ima osnovu površine B, visinu h i zapreminu V 2, a dodata piramida ima osnovu površine B 1, visinu h 1 = h H i zapreminu V 1. Zapremina zarubljene piramide može se predstaviti kao razlika zapremine ove dve piramide. Dakle, V = V 2 V 1, gde je V 2 = Bh i V 3 1 = B 1h 1. Odavde sledi V = 1(Bh B 3 3 1h 1 ). 26

B B 1 Na osnovu svojstva sličnosti paralelnog preseka piramide sa osnovom važi = h2 odakle je B = B 1h 2, zamenom u formuli za zapreminu dobijamo h 2 1 h 2 1 V = 1 3 ( B1 h 2 h ) B 1 h 1 h 2 1 Kako je B B 1 = B 1 3 h3 h 3 1 h 2 1 = B 1 3 (h h 1)(h 2 + hh 1 + h 2 1) h 2 1 = B 1H 3 = B 1H 3 = h2 h, sledi h 2 1 h 1 = h2 + hh 1 + h 2 1 h 2 1 ( h 2 + h + 1 h 1 h 2 1 B B 1, dakle važi ). V = B 1H 3 = B 1H 3 = B 1H 3 ( B B ) + + 1 B 1 B 1 ( B B B1 ) + + 1 B 1 B 1 B + BB 1 + B 1 B 1. Posle skraćivanja dobijamo formulu za zapreminu zarubljene piramide V = H 3 (B + BB 1 + B 1 ). 3.6.4 Pravilni poliedri Svaki pravilni poliedar može da se podeli na podudarne piramide, pri čemu svaka piramida ima površ poliedra kao svoju bazu i centar poliedra kao svoj vrh. Visina piramide je jednaka unutrašnjem poluprečniku poliedra. Ako je površina strane A a unutrašnji poluprečnik r tada je zapremina piramide jednaka trećini proizvoda osnove i visine, odnosno Ar. Za pravilan poliedar 3 sa n strana, njegova zapremina je jednaka Zapremina = nar 3. 27

Na primer, kocka sa ivicom dužine L ima šest strana, svaka strana je kvadrat sa površinom A = L 2. Unutrašnji poluprečnik od centra strane ka centru kocke je r = L. Tada je zapremina 2 Zapremina = 6 L2 L 2 3 što predstavlja formulu za zapreminu kocke. = L 3, 3.6.5 Orijentisani poliedri Zapremina bilo kog orijentisanog poliedra može se izračunati pomoću teoreme divergencije. Posmatrajmo vektorsko polje: F ( x) = 1 3 x = (x 1 3, x 2 3, x 3 3 ), čija je divergencija jednaka 1. Teorema divergencije podrazumeva da je zapremina jednaka površinskom integralu od F (k): Zapremina(Ω) = Ω F dω = F ñds. Kada je Ω region ograđena poliedrom, budući da su lica nekog poliedra planarna i imaju konstantne normalne vektore, dobijamo zapremina = 1 3 strana i S x i ñ i A i gde je x i centar mase i-te strane, ñ i je njegov normalni vektor, a A i je njegova površina. Kada su strane razlože na skup ne-preklapajućih trouglova sa površinskim normalama čiji je smer suprotan od smera zapremine, zapremina je jednaka šestini sume mešovitog proizvoda devet kartezijanskih koordinata temena trouglova. Obzirom da može doći do problema prilikom nabrojanja strana, računanje zapremine može predstavljati izazov, a samim tim postoje i specijalizovani algoritmi za određivanje zapremine (mnogi od njih se odnose na konveksne politope u višim dimenzijama). 28

4 Poliedri u R 3 i njihove opšte zapremine Neka je P poliedarska površ u R 3. Kontinuirana deformacija od P naziva se savijanje ako menja samo ugao između ravni poliedra P pri čemu su sve površi kongruentne. Prvi primer savitljivog poliedra iz R 3 je otrkiven od strane Connelly-ija [6]. Ubrzo nakon što je uočeno da se zapremina Connelly-jevog savitljivog poliedra, kao i drugih poliedara konstruisanih kasnije, ne menja tokom savijanja Connelly [7] je predložio da ova osobina bude zajednička za sve savitljive poliedre. Od tada njegova pretpostavka (nazvana pretpostavka mehova) se smatra jednom od najinteresantnijih problema u teoriji savijanja. Prvi pokušaj da se reši ovaj problem je izradio Sabitov [12] i zasnovan je na pristupu predloženom u [9] i [11]. Ovi pristupi se prvi put javljaju kod Pavlove [10] za slučaj nekih jednostavnih poliedra. Trenutno su dva dokaza pretpostavke poznata [8], [13] ; oba se temelje na istoj geometrijskoj ideji date u [12], ali koriste različite algebarske alate za njegovu realizaciju. Ovde cemo dati proširenu Englesku verziju [13] sa nekim izmenama u načinu dokaza. Poliedar u R 3 sa kombinatornom strukturom K se definiše kao neprekidno preslikavanje P : K R 3, gde je K nosač od K. Naravno, za preslikavanje P pretpostavljamo da je linearno na svakom simpleksu od K. Često za poliedar smatramo sliku P ( K ) R 3 pre nego preslikavanje P. Tu sliku ćemo ponekad obeležavati sa P kada ne dolazi do zabune. Primećujemo da preslikavanje P ne mora biti injektivno na K, čak ni na simplex-u od K, što znači da poliedarska površp može imati degenerativne površi, samorakrsnice ili čak samosuperpozicije. Da bi smo definisali zapreminu ovih posebnih slučajeva, koristimo koncept uopštenih zapremina. Poliedar P sa orijentacijom prirodno nasledjenom od K se zove orijentisani poliedar. Izabraćemo tačku O R 3 i izračunaćemo sumu V i koherentno orijentisanih zapremina svih tetraedra obuhvaćenih tačkom O i stranama od P. Definicija 4.1 V = V i se naziva opšta orijentisana zapremina od P. Očigledno vrednost uopštene zapremine ne zavisi od izbora tačke O. Jasno je takodje da za svaki ugradjen poliedar njegova orijentisana zapremina i njegova uopštena zapremina se podudaraju. Podsećanja radi orijentisana zapremina tetradra sa temenima O, M 1, M 2, M 3 je jednaka jednoj šestini mešovitog proizvoda vektora OM i, i = 1, 2, 3, pa je uopštena zapremina V (P ) polinom dobijen od tačaka poliedra P. 29

4.1 Zapremina nekih prostih poliedara Slika 25: Tetraedar Slika 26: Poliedar sa pet tačaka Zapremina tetraedra. Poznato je da se zapremina V tetraedra Slika 25 sa datim dužinama ivica l 1, l 2, l 3, l 4, l 5, l 6 može izračunati po formuli: V 2 = 1 144 [l2 1l 2 5(l 2 2 + l 2 3 + l 2 4 + l 2 6 l 2 1 l 2 5) + l 2 2l 2 6(l 2 1 + l 2 3 + l 2 4 + l 2 6 l 2 2 l 2 5) + l 2 3l 2 5(l 2 1 + l 2 2 + l 2 5 + l 2 6 l 2 3 l 2 4) l 2 1l 2 2l 2 4 l 2 2l 2 3l 2 5 l 2 1l 2 3l 2 6 l 2 4l 2 5l 2 6]. (4.1) Tako orijentisana zapremina V bilo kog tetraedra se može smatrati kao koren polinomijalne jednačine oblika Q(V ) = V 2 + a(l) = 0, gde l = (l 2 1,..., l 2 6) predstavlja skup kvadrata dužina ivica, a a(l) je polinom od l sa racionalnim koeficijentima. 30

Opšta zapremina poliedra sa pet tačaka. Lako je pokazati da takav poliedar P uvek ima tri temena stpena 4 i dva temena stepena 3. Pa tako kombinatorna struktura od P se jedinstvemo izračunava, a prikazana je na Slici 26, gde je osnova četvorostrane piramide presečena jednom svojom dijagonalom. Rastavljajući P na dva tetraedra Ap 1 p 2 p 4 i Ap 2 p 3 p 4 imamo da je V = V A124 + εv A234 = ±1. Tako imamo da je V 4 2(V1 2 + v2)v 2 2 + (V1 2 V2 2 ) 2 = 0, gde je V 1 = V A124 i V 2 = V A234. Zamenjujući V1 2 i V2 2 sa njihovim vrednostima datim u (4.1), dobijamo da je zapremina bilo kog poliedra sa pet tačaka koren polinomijalne jednačine: Q(V ) = V 4 + a 1 (l)v 2 + a 2 (l) = 0, (4.2) gde l predstavlja skup kvadrata dužina ivica poliedra, a a 1 i a 2 su polinomi sa racionalnim koeficijentima. Želimo da naglasimo da je jednačina (4.2) validna za sve poliedre sa pet tačaka nezavisno od njihovog rasporeda u R 3. Na primer, posmatrajmo sledeće slučajeve: 1. V 1 = V 2 0. Tada imamo da je Q(V ) = V 4 4V 2 1 V 2 = 0. Tada je V = ±2V 1 u slučaju kada su tačke p 1 i p 3 odvojene sa ravni koja prolazi kroz tačke p 2, p 4 i A; i V = 0 u slučaju kada tačke p 1 i p 3 nisu podeljene. U oba slučaja zapremina poliedra P je koren iste jednačine (4.2). 2. V 2 = 0, V 1 0 (Slika 27). Tada je Q(V ) = (V 2 V 2 1 ) 2 = 0, odnosno V = ±V 1. 3. l A2 = l A4, L 24 = 0. Tada je V 1 = 0 i V 2 = 0, pa sledi da je Q(V ) = V 4 = 0 i prema tome V = 0. U ovom slučaju poliedar P (Slika 29) ima netrivijalna savijanja, tj. rotaciju tri površi Ap 2 p 3, Ap 3 p 4 i p 2 p 3 p 4 oko osa Ap 2 = Ap 4. U svakom slučaju vrednost zapremine je uvek koren jednačine Q(V ) = V 4 = 0. Slika 27: Tetraedar 31

Slika 28: Poliedar sa pet tačaka Na osnovu ovoga zaključujemo da u najprostijem slučaju zapremina poliedra zadovoljava polinomijalnu jednačinu sa koeficijentima nezavisnim od položaja tačaka i zavisnim jedino od kvadrata dužina ivica. 4.2 Poliedar kao algebarska varijacija Kao što znamo poliedar u R 3 se definiše kao preslikavanje P : K R 3, pri čemu K predstavlja nosač od K. Pošto su sve površi od K trouglovi i P je linearno na svakoj površi, sledi da je preslikavanje P u potpunosti odredjeno sa slikama n temena M i (x i, y i, z i ), 1 i n, od K. Prema tome, svakom poliedru P u R 3 možemo dodeliti tačku M(x 1, y 1, z 1,..., x n, y n, z n ) R 3n i obrnuto. Broj ivica od P je e = 3n 6 + 6g, gde je g 0 toploški rod poliedra P. Pretpostavimo da su ivice numerisane indeksom k = k(i, j), 1 k e, gde su i i j brojevi temena ivice k. Dužine ivica su date sledećim jednačinama: (x i x j ) 2 + (y i y j ) 2 + (z i z j ) 2 = l 2 k, 1 k e. (4.3) Sada ćemo posmatrati sva rešenja (x 1,..., z n ) jednačine (4.3) imajući u vidu da su dužine l k fiksirane. Tako dobijamo sve poliedre u R 3 sa krutim površima izometrične sa P, pri čemu svi imaju isti kombinatornu strukturu. Da bi smo isključili poliedre dobijene sa paralelnom translacijom od P, dodajemo još tri jednačine: x i = 0, y i = 0, z i = 0. (4.4) i i Lako je pokazati da su rešenja jednačina (4.3) (4.4) smeštena u R 3n u lopti B R 3n konačnog poluprečnika r koji zavisi od kombinatorijalne strukture K i kvadrata dužina ivica l = (l1, 2..., le). 2 Dakle skup P poliedra u R 3 izometričan sa P koji ima istu kombinatorijalnu strukturu K je u homeomorfnoj relaciji sa algebarskom varijacijom à koja je definisana sistemom i 32

(4.3) (4.4). Ipak, à u lopti B može imati samo konačan broj kompaktnih komponenti. Ako dodamo još tri nove jednačine u sistemu (4.3) (4.4) izuzimajući neprekidnu rotaciju od P, tada bilo koja jedno-tačkasta komponenta iz à odgovara strogom poliedru u P, a ostale se sastoje iz savitljivih poliedara u P. Dakle došli smo do druge obzervacije: ako je pretpostavka mehova tačna, tada zapremine svih poliedara u P imaju samo konačan broj mogućih vrednosti. 33

5 Centralni rezultat Polazeći od prethodnih posmatranja, predlažemo da umesto traženja dokaza pretpostavke mehova uzimajući u obzir samo savitljive poliedre, pokušamo da dokažemo uopšteniju pretpostavku, naime, zapremina bilo kog poliedra P u R 3 predstavlja koren nekih polinomijalnih jednačina Q(V ) = 0 sa koeficijentima koji zavise samo od njihove metričke i kombinatorijalne strukture. U stvari, dokazujemo sledeću teoremu: Teorema 5.1 Neka je P orijentisana poliedarska površ u R 3 sa datom kombinatorijalnom strukturom K i datim vrednostima dužina ivica l k, 1 k e,gde je e broj ivica površi P. Neka je P skup svih poliedara u R 3 sa istom kombinatorijalnom strukturom K i sa istim dužinama ivica kao i P. Tada postoji polinomijlana jednačina Q(V ) = V 2N + a 1 (l)v 2N 2 +... + a N (l) = 0 (5.5) takva da je opšta zapremina bilo kog poliedra iz P koren ove jednačine. Šta više, koeficijenti a i su polinomi u (l) = (l 2 1,..., l 2 e) sa racionalnim koeficijentima zavisnih od K. Posledica 5.1 Za sve poliedre izometrične sa datim poliedrom, postoji samo konačan broj mogućih vrednosti njihovih zapremina. Prema tome možemo reći da je zapremina poliedra funkcija poliedraske metrike koja ima konačnu vrednost, pa zbog toga teoremu možemo da interpretiramo kao uopštenje Heronovog obrazca za površinu trougla. Posledica 5.2 Pretpostavka mehova je tačna. Zaista, zapremina V savitljivog poliedra P je neprekindna funkcija položaja njegovih temena. Medjutim na osnovu Posledice 5.1 u procesu savijanja površi P, V može uzeti samo konačan broj vrednosti, pa zapremina V ostaje konstantna. Napomene: 1. Algebarsko značenje teoreme je sledeće: Označimo sa ψ k (x 1,..., z n ), 1 k e, polinome u levoj strani jednakosti (4.3). Zapremina V (P ) je polinom sa istim promenljivama (x 1,..., z n ). Teorema tvrdi da je polinom V (x 1,..., z n ) algebarski zavisan od polinoma ψ k, odnosno, postoji polinom Q(V, ψ 1,..., ψ k ) takav da je 34

Q(V (x 1,..., z n ), ψ 1 (x 1,..., z n ),..., ψ e (x 1,..., z n )) 0 nad prstenom R(x 1,..., z n ). Izgleda da postojanje polinomijalnog identiteta za V i ψ k nije teško uspostaviti, kao što je prikazano u [12], međutim, u opštem slučaju svi koeficijenti za V u Q mogu biti jednaki 0 za neke vrednosti (l). U [13] je prikazano postojanje takvog polinoma Q(V ) sa glavnim koeficijentom 1. Nakon toga u [8] takođe je uspostavljeno postojanje takvog polinoma nad prstenom celih brojeva čiji je glavni koeficijent takođe 1. Za naš polinom Q(V ) u (5.5) ne samo da znamo za njegovo postojanje, veći za njegovu konstrukciju. Numerički koeficijenti u a i (l) su racionalni brojevi, ali u stvari za Ṽ = 12V koeficijenti odgovarajućeg polinoma su integralni. 2. Naš metod za konstruisanje traženog polinoma nam daje mnogo takvih polinoma. Ipak, izuzimajući slučaj oktaedra u [3], ne znamo niti minimalni stepen ovih jednačina, niti njihovu kanonsku formu. Naravno, koristeći ovaj metod, možemo konstruisati sve moguće polinome Q(V ) i uzeti njihov najveći zajednički delilac nad prstenom R[l 2 1,..., l 2 e], ali ne znamo da li je on traženi polinom minimalnog stepena. 3. Teorema je tačna takođe i za poliedre sa netrougaonim strogim stranama, zato što možemo da ih rastavimo na trouglove dodajući im dijagonale. 4. Aleksandrov je u [2] konstruisao primer savitljivog poliedra u trodimenzionalnom sfernom prostoru S 3 gde se zapremina menja usled savijanja. Dakle osobina da gustina može biti funkcija poliedarske metrike nije stabilna jer u Aleksandrovom primeru zakrivljenje prostora S 3 može proizvoljno biti blisko nuli. 5. Poznato je da pored zapremine V poliedra, postoji još jedna geometrijska magnituda zvana glavno zakrivljenje H poliedra, koje takođe očuvava svoju vrednost tokom savijanja [1]. Po definiciji H = k l k(π ψ k ), gde su l k dužine ivica, ψ k uglovi između odgovarajućih ivica, a suma je uzeta po svim ivicama poliedra. Ukoliko znamo vrednost zapremine V u opštem slučaju možemo naći samo konačan broj poliedara koji imaju tu zapreminu, odnosno konačan broj mogućih vrednosti H. U tom slučaju javljaju se dva pitanja: (a) Koja vrsta relacije f(v, H) = 0 postoji između V i H; naročito da li je polinomijalna ili ne? (b) Ukoliko su date neke konzitentne vrednosti V i H, da li one jedinstveno definišu odgovarajući poliedar ili ne? 35

6 Kejli-Mengerova jednačina Poznato je da deset rastojanja između pet tačaka u R 3 ne mogu biti proizvoljno izabrana, ali moraju da zadovolje Kajli-Mengerovu jednačinu [4] [5]. Označimo sa l i odgovarajućim indeksima rastojanje između odgovarajućih tačaka, kao na Slici 29 gde je nacrtan graf od pet tačaka. Tada se Kejli- Mengerova jednačina može zapisati u sledećoj formi Slika 29: 0 1 1 1 1 1 1 0 la1 2 la2 2 la3 2 l 2 A4 1 l1a 2 0 l12 2 l13 2 l14 2 1 l2a 2 l2 21 0 l23 2 l24 2 = 0. 1 l3a 2 l2 31 l32 2 0 l34 2 1 l4a 2 l2 41 l42 2 l43 2 0 Naš cilj je da predstavimo ovu jednačinu u odgovarajućoj formi. Za početak izračunajmo determinantu sa leve strane jednačine. Stavimo da je x = l13, 2 y = l24 2 i predstavimo elemente svake kolone koja sadrži x i y kao sumu ovih elemenata sa nulom; koristeći poznatu osobinu determinanti dobijamo 0 1 + 0 1 + 0 1 + 0 1 + 0 1 + 0 1 0 la1 2 + 0 l2 A2 + 0 l2 A3 + 0 l2 A4 + 0 = 1 l1a 2 0 + 0 l12 2 + 0 0 + x l14 2 + 0 1 l2a 2 l21 2 + 0 0 + 0 l23 2 + 0 0 + y 1 l3a 2 0 + x l32 2 + 0 0 + 0 l34 2 + 0 1 l4a 2 l41 2 + 0 0 + y l43 2 + 0 0 + 0 36

0 1 1 1 + 0 0 1 + 0 1 0 la1 2 la2 2 + 0 0 l2 A4 + 0 0 1 + 0 0 1 + 0 0 1 + 0 1 0 l = 1 l1a 2 0 l12 2 + 0 x l14 2 A1 2 + 0 + 0 0 0 l2 A4 + 0 1 l2a 2 l2 21 0 + 0 0 0 + y + 1 l1a 2 0 l12 2 + 0 x l14 2 + 0 1 l 1 l3a 2 0 l32 2 + 0 0 l34 2 2A 2 0 0 + 0 0 0 + y + 0 1 l 1 l4a 2 3A 2 x l32 2 + 0 0 l34 2 + 0 l2 41 0 + y 0 0 + 0 1 l4a 2 0 0 + y 0 0 + 0 0 1 1 1 + 0 1 1 + 0 1 0 la1 2 la2 2 + 0 l2 A4 la4 2 + 0 0 1 + 0 0 1 + 0 1 1 + 0 1 0 l + 1 l1a 2 0 l12 2 + 0 0 l14 2 A1 2 + 0 + 0 0 l2 A3 la4 2 + 0 1 l2a 2 l2 21 0 + 0 l23 2 0 + y + 1 l1a 2 0 l12 2 + 0 0 l14 2 + 0 1 l 1 l3a 2 0 l32 2 + 0 0 l34 2 2A 2 0 0 + 0 l23 2 0 + y. + 0 1 l 2 1 l4a 2 l2 41 0 + y l43 2 3A x l32 2 + 0 0 l34 2 + 0 0 + 0 1 l4a 2 0 0 + y l43 2 0 + 0 Primenjujući ovu proceduru za kolone koje sadrže sume 0 + y predstavićemo kao sumu 16 determinanti: 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 la1 2 la2 2 0 la4 2 1 0 l = 1 l1a 2 0 l12 2 x l14 2 A1 2 0 0 l 2 A4 1 l2a 2 l2 21 0 0 l24 2 + 1 l1a 2 0 0 x l 2 14 1 l 1 l3a 2 l2 31 l32 2 0 l34 2 2A 2 l2 21 0 0 l 2 24 1 l 2 1 l4a 2 3A l2 41 y 0 0 l2 31 0 0 l34 2 1 l4a 2 l2 41 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 la1 2 la2 2 0 0 1 0 l + 1 l1a 2 0 l12 2 A1 2 0 0 0 x 0 1 l2a 2 l2 21 0 0 y + 1 l1a 2 0 0 x 0 1 l 1 l3a 2 l2 31 l32 2 2A 2 0 0 l2 21 0 0 y 1 l 2 1 l4a 2 3A l2 41 0 0 0 l2 31 0 0 0 1 l4a 2 l2 41 y 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 la2 2 0 0 + 1 l1a 2 0 1 0 0 0 0 0 l2 12 x 0 1 l2a 2 0 0 0 y + 1 l1a 2 0 0 x 0 1 l3a 2 x 1 l2a 2 l2 32 0 0 0 0 0 y 1 l4a 2 0 0 0 0 1 l3a 2 x 0 0 0 1 l4a 2 0 y 0 0 37

0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 la2 2 0 la4 2 + 1 l1a 2 0 1 0 0 0 0 l 2 l2 12 x l14 2 A4 1 l2a 2 0 0 0 0 + 1 l1a 2 0 0 x l2 14 1 l3a 2 x 1 l l2 32 0 l34 2 2A 2 0 0 0 0 1 l4a 2 0 0 0 0 1 l3a 2 x 0 0 l2 34 1 l4a 2 0 y 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 la1 2 la2 2 la3 2 la4 2 1 0 l + 1 l1a 2 0 l12 2 0 l14 2 A1 2 la2 2 la3 2 0 1 l2a 2 l2 12 0 l23 2 0 + 1 l1a 2 0 l12 2 0 0 1 l 1 l3a 2 0 l32 2 0 l34 2 2A 2 l2 12 0 l23 2 0 1 l 2 1 l4a 2 l2 41 0 l34 2 3A 0 l32 2 0 0 0 1 l4a 2 l2 41 0 l34 2 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 la1 2 0 la3 2 la4 2 1 0 l + 1 l1a 2 0 0 0 l14 2 A1 2 0 la3 2 0 1 l2a 2 l2 12 0 l23 2 0 + 1 l1a 2 0 0 0 0 1 l 1 l3a 2 0 0 0 l34 2 2A 2 l2 12 0 l23 2 y 1 l 2 1 l4a 2 l2 41 y l34 2 3A 0 0 0 0 0 1 l4a 2 l2 41 y l34 2 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 la2 2 la3 2 la4 2 + 1 l1a 2 0 1 0 0 l l2 12 0 l14 2 A2 2 la3 2 0 1 l2a 2 0 0 l2 23 0 + 1 l1a 2 0 l2 12 0 0 1 l3a 2 x 1 l l2 32 0 l34 2 2A 2 0 0 l2 23 y 1 l4a 2 0 0 1 l3a 2 l2 34 0 x l2 32 0 0 1 l4a 2 0 0 l2 34 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 la3 2 la4 2 + 1 l1a 2 0 0 0 1 0 0 0 la3 2 0 l2 14 1 l2a 2 0 0 l2 23 0 + 1 l1a 2 0 0 0 0 1 l3a 2 x 0 0 1 l2a 2 l2 0 0 l2 23 y. 34 1 l4a 2 0 y 1 l3a 2 l2 34 0 x 0 0 0 1 l4a 2 0 y l2 34 0 Označimo svaku determinantu u gore navedenoj sumi sa i, 1 i 16, gde broj i odgovara poziciji determinante i u sumi. Direktnim izračunavanjem svake determinante i dobijamo 38

0 1 1 1 1 1 0 la1 2 la2 2 l 2 A4 1 = 13 = x 1 l2a 2 l2 21 0 0, 1 l3a 2 0 l32 2 l34 2 1 l4a 2 l2 41 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 2 + 3 = xy 1 0 la1 2 la2 2 1 l3a 2 0 l32 2 1 0 la1 2 l 2 A4 1 l 2 1 l4a 2 2A l2 41 0 l2 21 0, 1 l3a 2 0 l34 2 4 = 16 = xy 2 (l1a 2 + l3a), 2 5 = 8 = yx 2 (l 2 2A + l 2 4A), 6 = x 2 y 2, 7 = x 2 (l2a 2 l4a), 2 12 = y 2 (l1a 2 l3a) 2 2, 0 1 1 1 1 1 0 la1 2 la2 2 l 2 A3 10 = 11 = y 1 l2a 2 0 l21 2 0, 1 l3a 2 0 l32 2 0 1 l4a 2 l2 41 0 l34 2 0 1 1 1 0 1 1 1 14 + 15 = xy 1 0 la3 2 la4 2 1 l1a 2 0 l14 2 1 0 la2 2 l 2 A3 1 l 2 1 l2a 2 1A l2 23 0 l2 12 0, 1 l4a 2 0 l34 2 a za sada 9 ne menjamo: 0 1 1 1 1 1 1 0 la1 2 la2 2 la3 2 l 2 A4 9 = 1 l1a 2 0 l12 2 0 l14 2 1 l2a 2 l2 12 0 l23 2 0. 1 l3a 2 0 l32 2 0 l34 2 1 l4a 2 l2 41 0 l34 2 0 Uzmimo da je l12 2 = p, l14 2 = q. Na isti način dobijamo: 1 + 13 = 39

0 1 1 1 1 1 0 l2a 2 2x l2 3A l2 0 1 1 1 0 1 1 1 4A 1 l1a 2 0 0 0 + p 1 0 l3a 2 l2 4A 1 l2a 2 0 l23 2 0 1 l2a 2 l2 23 0 + q 1 0 l2a 2 l2 3A 1 l 2 1 l4a 2 0 l34 2 0 1 l4a 2 2A 0 l23 2, l2 34 0 1 l4a 2 0 l34 2 10 + 11 = 0 1 1 1 1 1 0 l1a 2 2y 2pql2 3A + l2 2A l2 0 1 1 1 0 1 1 1 3A 1 l1a 2 0 0 0 p 1 0 la1 2 l 2 A3 1 l3a 2 0 l23 2 0 1 l3a 2 0 0 + q 1 0 la2 2 l 2 A3 1 l 2 1 l4a 2 0 0 l34 2 1 l4a 2 0 l34 2 1A 0 0, 1 l3a 2 l2 23 0 2 + 3 + 14 + 15 = 0 1 1 1 0 1 1 1 2xy 1 0 l1a 2 l2 2A 1 l3a 2 0 l23 2 1 0 l2a 2 l2 0 1 1 3A 1 l 2 1 l4a 2 1A 0 0 q 1 0 l 2 2A 0 0 1 l4a 2 0 l34 2 1 l3a 2 l2 p 0 1 1 1 0 l3a 2 13 1 l4a 2 l2, 34 9 = 17 p( 18 + 19 ) q( 20 + 21 ) = 2pq 22 + p 2 23 + q 2 24 0 1 1 1 1 1 1 0 l1a 2 l2 2A l2 3A l2 4A 0 1 1 1 17 = 1 l1a 2 0 0 0 0 1 l2a 2 0 0 l23 2 0, 22 = 1 0 l2a 2 l2 3A 1 l 1 l3a 2 0 l23 2 0 l34 2 3A 2 l2 23 0, 1 l 2 1 l4a 2 0 0 l34 2 4A 0 l34 2 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 l1a 2 18 = l2 3A l2 4A 1 0 l 1 l2a 2 0 l23 2 2A 2 0, 19 = l2 3A l2 4A 1 l 1 l3a 2 0 0 l34 2 1A 2 0 0 0, 1 l 2 1 l4a 2 0 l34 2 3A 0 l2 23 0 l34 2 1 l4a 2 0 l34 2 0 40

0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 l1a 2 20 = l2 2A l2 3A 1 0 l 1 l2a 2 0 0 l23 2 2A 2, 21 = l2 3A l2 4A 1 l 1 l3a 2 0 l23 2 1A 2 0 0 0, 0 1 l 2 1 l4a 2 0 0 l34 2 2A 0 l23 2 0 1 l3a 2 l2 23 0 l34 2 0 1 1 1 0 1 1 1 23 = 1 0 l3a 2 l2 4A 1 l3a 2 0 l34 2, 24 = 1 0 l3a 2 l2 4A 1 l 2 1 l4a 2 2A l2 34 0 l2 23 0. 1 l3a 2 0 l34 2 Primetimo da je koeficijent 23 kod p 2 jednak sa 16vol 2 (trougao p 3, p 4, A ) a kod q 2 je 16vol 2 (trougao p 2, p 3, A ). Kasnije ćemo dosta koristiti Kejli-Mengerovu jednačinu kad god su tačke A, p 1, p 2, p 3, p 4 temena poliedra P. Zato moramo ovu jednačinu da prikažemo na jednostavniji način. Označimo sa l A skup (l 2 1A, l2 2A, l2 3A, l2 4A, l2 23, l 2 34). Kejli- Mengerova determinanta se može posmatrati kao polinom sa promenljivama x, y, p, q i koeficijentima zavisnim od l A. Kada nikoje tri od pet tačaka A, p 1, p 2, p 3, p 4 ne leže na istoj pravoj, neki koeficijenti će sigurno biti različiti od nule, na primer 23 i 24 kod p 2 i q 2. Obeležime ih sve sa indeksom a. Koeficijenti koji mogu biti jednaki nuli za neke vrednosti (l A ) obeležićemo sa indeksom b, na primer koeficijenti kod x i y. Sada se Kejli-Mengerova jednačina = 0 može predstaviti na sledeći način: = 6 ( 5 + 8 ) ( 7 + 12 ) ( 4 + 1 6) ( 10 + 11 ) ( 1 + 13 ) ( 2 + 3 + 14 + 15 ) 9 =x 2 [y 2 + a 1 (l A )y + b 1 (l A )] + x[a 2 (l A )y 2 + b 2 (l A )py + b 3 (l A )qy + b 4 (l A )p + b 5 (l A )q + b 6 (l a )y + b 7 (l A )] [a 3 (l A )p 2 + a 4 (l A )q 2 + b 8 (l A )y 2 + a 5 (l A )pqy + b 10 (l A )pq + b 11 (l A )py + b 12 (l A )qy + b 13 (l A )p + b 14 (l A )q + b 5 (l A )y + b 16 (l A )] =0. (6.6) Takođe će nam trebati određena interpretacija Kejli-Mengerove jednačine kao polinomijalne jednačine jedne od promenljivih p i q. Tako da je korisno imati ovo predstavljanje, recimo za p: 41

ap 2 +(aqy + bxy + bq + bx + by + b)p +(x 2 y 2 + axy 2 + ayx 2 + aq 2 + bx 2 + by 2 + bqxy +bqx + bqy + bxy + bq + bx + by + b) = 0. (6.7) Ovde smo izostavili indekse za koeficijente zato što smo vodili računa samo o raspodeli stepena promenljivih x, y i q uz koeficijente p 2, p i p 0. Jednačina za q ima sličan oblik. Napomena: Važno je primetiti da koeficijent [y 2 + a(l A )y + b(l A )] kod x 2 je jednak l 4 34+l 4 2A +l4 4A +2l2 2A l2 4A + 2l2 34l 2 4A 2l2 2A l2 34 = vol 2 (trougao p 2, p 4, A ). 42

7 Centralna lema Na početku ćemo izvršiti određene izmene sa terminologijom. Kažemo da poliedar P ima osobinu Q ako za P i za sve poliedre iz P prethodna teorema važi. Kažemo da je 3-ciklus (ciklus sastavljen od tri ivice) L prazan ukoliko nije granični ciklus površi poliedra P. Kažemo da je simpleks kompleks K klase K 0 ako K ima barem jedno teme koje nije povezano sa nekim praznim 3-ciklusom. Primetimo da ukoliko K ima vrh stepena 3, tada je K klase K 0. Sada formulišimo lemu. Lema 7.1 Pretpostavimo da svi poliedri sa n tačaka i datim rodom g 0 ima osobinu Q. Neka je P poliedar sa n + 1 temenom koje ima kombinatorijalnu strukturu klase K 0 sa istim rodom g. Tada P ima osobinu Q takođe. Dokaz: Pretpostavimo najpre da poliedar P sa n + 1 temena i kombinatorijalnom strukturom tipa K 0 je u opštoj poziciji, tj. koordinate njegovih temena su algebarski nezavisne. Počinjemo indukciju sa stepenom m temena koje nije povezano ni sa jednim praznim 3-ciklusom. Ako P ima teme A stepena m = 3, onda je lema očigledna. Pre nego što napravimo indukcijski korak "od m ka m + 1" uzimajući proizvoljno m, zadržaćemo se na koraku "od 3 ka 4" koji će nam pomoći da demonstriramo našu ideju u opštem slučaju. Dakle, neka je A teme stepena 4 koje nije povezano ni sa jednim praznim 3-ciklusom i neka St A predstavlja zvezdu temena A. Nabrojmo temena granice St A u cikličnom redosledu, recimo p 0, p 1, p 2, p 3 počev od proizviljnog temena. Na osnovi poliedra P konstruišimo dva poliedra P 1 i P 2, pri čemu oba imaju teme stepena 3. Naime, za konstrukciju poliedra P i uklonimo ivicu Ap i, i = 1, 2, sa dve povezane strane p i 1 Ap i, p i Ap i+1 i zamenimo ih novim stranama p i 1 p i p i+1 i i p i 1 Ap i+1 kao na Slici 30. Ove operacije su moguće zato što dijagonale p 0 p 2 i p 1 p 3 nisu ivice u poliedru P i zato su u novim poliedrima P 1 i P 2 obe povezane sa tačno dve strane. 43