Matematika horvát nyelven középszint 171 ÉRETTSÉGI VIZSGA 018. május 8. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA
Važne informacije Formalni propisi: 1. Molimo vas da radnju ispravite čitko i kemijskom olovkom čija se boja razlikuje od one kakvom je pisao pristupnik.. U prvom od dvaju sivih pravokutnika koji se nalaze pored zadatka upisan je maksimalni broj bodova za dani zadatak, a broj bodova koje daje profesor koji ispravlja radnje upisuje se u pravokutnik pored njega. 3. U slučaju besprijekornog rješenja vas molimo da pored upisivanja maksimalnog broja bodova, upisivanjem znaka kvačice signalizirajte da ste danu misaonu cjelinu vidjeli i vrednovali kao dobru. 4. U slučaju manjkavih/netočnih rješenja vas molimo da pored označavanja pogreške i pojedine parcijalne bodove zapišete na radnju. Ako ispravak radnje time biva pregledniji, onda se može prihvatiti i zapisivanje izgubljenih parcijalnih bodova. Neka ne ostane takvih dijelova rješenja o kojima nakon ispravka nije jasno radi li se o ispravnom, pogrešnom ili suvišnom dijelu. 5. Tijekom ispravljanja koristite sljedeće oznake: ispravan korak: znak kvačice pogreška u načelu: dvostruko podcrtavanje pogreška u računanju ili druga pogreška koja nije pogreška u načelu: podcrtavanje jednom crtom pravilan korak učinjen pogrešnim početnim podatkom: isprekidani ili precrtani znak kvačice manjkavo obrazloženje, manjkavo nabrajanje ili neki drugi nedostatak: znak da nešto nedostaje nerazumljiv/nejasan dio: upitnik i / ili valovita crta 6. One dijelove rješenja koji su pisani grafitnom olovkom osim crteža nemojte vrednovati. Pitanja u svezi sa sadržajem: 1. Kod pojedinih smo zadataka dali i bodovanje više rješenja. Ukoliko ste dobili rješenje koje odstupa od danih, potražite one dijelove rješenja koji su ekvivalentni rješenjima Upute i na osnovi toga bodujte.. Bodovi Upute se mogu dalje dijeliti, osim ako u Uputi nije predviđeno drukčije. Međutim, bodovi koji se daju mogu biti samo cijeli. 3. Ako rješenje sadrži netočnost, pogrešku u računanju, učenik ostaje bez bodova samo za onaj dio zadatka gdje je učinio pogrešku. Ako s pogrešnim parcijalnim rješenjem, ali pravilnim postupkom učenik radi dalje i problem koji se mora riješiti u biti ne mijenja, onda mu se moraju dati sljedeći parcijalni bodovi. 4. U slučaju pogreške u načelu, u okviru jedne misaone cjeline (one su u Uputi označene dvostrukom crtom) se ne dodjeljuju bodovi niti za formalno pravilne matematičke korake. Međutim, ako učenik s pogrešnim rezultatom koji je dobio primjenom pogrešnog načela kao polaznim podatkom pravilno računa u sljedećoj misaonoj cjelini ili dijelu pitanja, onda za taj dio mora dobiti maksimalni broj bodova ako se problem koji se mora riješiti nije bitno promijenio. 171 írásbeli vizsga / 15 018. május 8.
5. Ako su u Uputi za ispravljane i vrednovanje primjedbe ili jedinice za mjerenje navedene u zagradama onda je i bez njih rješenje potpuno. 6. Od više pokušaja rješenja zadatka može se vrednovati onaj jedan koji je pristupnik označio. Tijekom ispravljanja radnje nedvosmisleno označite koju ste varijantu vrednovali, a koju niste. 7. Za rješenja zadataka se ne mogu dati nagradni bodovi (više od maksimalnog broja bodova za rješenje zadatka ili dijela zadatka). 8. Ukupni broj bodova dan za zadatak ili dio zadatka ne može biti negativan. 9. Ne oduzimaju se bodovi za one pogrešne parcijalne izračune i korake koje pristupnik u stvari nije koristio pri rješavanju zadatka. 10. Za razlaganje slijeda promišljanja se korištenje džepnog kalkulatora bez daljnjeg matematičkog objašnjenja može prihvatiti za sljedeće operacije: zbrajanje, n oduzimanje, množenje, dijeljenje, stupnjevanje, korjenovanje, n!, izračunavanje, k supstitucija tablica koje se nalaze u priručnim tablicama (sin, cos, tg, log i njihove inverzije), zadavanje približne vrijednosti brojev π i e, definiranje korijena kvadratne jednadžbe uređene na nulu. Bez daljnjeg matematičkog objašnjenja se smiju koristiti džepni kalkulatori za izračunavanje prosjeka i standardne deviacije u onim slučajevima kada se tekstom zadatka izričito ne traži prikazivanje detaljnih izračuna u svezi s tim. U ostalim slučajevima se izračuni obavljeni strojem tretiraju postupkom bez opravdanja, stoga se za to ne daju bodovi. 11. Korištenje prikaza (naprimjer očitavanje podataka mjerenjem) kao odlučujućeg argumenta se ne može prihvatiti. 1. Kod navođenja vjerojatnosti (ako zadatkom to nije drugačije definirano) može se prihvatiti i pravilan odgovor naveden u postotcima. 13. Ako tekstom zadatka nije propisana obveza zaokruživanja, onda se može prihvatiti racionalnim i pravilnim zaokruženjem dobiveni dio rješenja i konačno rješenje koje odstupa od rješenja danih u Uputi. 14. Od 3 naznačena zadatka niza zadataka II. B dijela mogu se vrednovati samo rješenja zadatka. Kandidat je, pretpostavljamo, u polje kvadrata namijenjenog u tu svrhu upisao redni broj zadatka čija se ocjena neće pribrojiti sveukupnom broju bodova. Sukladno tome se eventualno rješenje naznačenog zadatka ne mora ispraviti. Ako pristupnik nije označio koji zadatak ne želi da se vrednuje i izbor nije nedvosmisleno jasan niti iz radnje, onda je automatski posljednji u nizu navedenih zadataka onaj koji neće biti vrednovan. 171 írásbeli vizsga 3 / 15 018. május 8.
1. boda boda. 6 boda boda 3. 3 (= 18) boda I. boda 4. A: istinita B: lažna C: istinita boda boda Za ispravna odgovora, za 1 ispravan odgovor 0 bodova. 5. 3 boda boda 6. prvo rješenje 95 00 Snižena cijena je 100 = 11 000 = 85% prvotne cijene. Snižena cijena je za 15% niža od prvotne cijene. 3 boda 6. drugo rješenje Sniženje iznosi 11 000 95 00 = 16 800 (ft.). 16800 Snižena cijena je za 100 = 11 000 za 15% niža od prvotne cijene. 7. 3 boda 3 4 7 x 4 = 3 x = 7 3 boda 171 írásbeli vizsga 4 / 15 018. május 8.
8. a b ab ab 4 boda a b boda Primjedba: Ako pristupnik u svome odgovoru ne daje točnu vrijednost izraza onda može dobiti najviše. 9. 331 4 ft. boda boda Primjedba: Može se prihvatiti i odgovor kada vrijednost nije zaokružena na cijele forinte ili 331 5 ft. 10. prvo rješenje log 3 5 x 8 5 3768 Dakle, istina je da je x > 3 000. 3 boda 10. drugo rješenje log 8 3 000 4,99 log 3 5 (Budući da je funkcija log 8 x strogo monotono rastuća) dakle, istina je da je x > 3 000. 3 boda 11. Područje definicije nacrtane funkcije je [ 5; 3], Naprimjer: njeno područje vrijednosti je [1; 5], i funkcija je strogo monotono padajuća. 3 boda Primjedba: Ako pristupnik zamijeni područje definicije s područjem vrijednosti onda može dobiti najviše boda. Ako pristupnik prikaže funkciju na otvorenom ili poluotvorenom intervalu onda neka za to izgubi ukupno. 171 írásbeli vizsga 5 / 15 018. május 8.
1. Nakon dva bacanja možemo dobiti 6 = 36 vrsta dvoznamenkastih brojeva (broj svih slučajeva). Od svih mogućih ishoda su sa 7 djeljivi 14, 1, 35, 4, 56 i 63, tako je broj povoljnih slučajeva 6. 6 1 Tražena vjerojatnost je 6 6 4 boda 13. a) II. A 1 x 18 x Oslobodivši se zagrada:. 5 11 Pomnoživši obje strane sa zajedničkim nazivnikom: 11 x + 90 5x = 110. Uređivanje: 7x = 189. Od toga: x = 7. Provjera uvštavanjem ili pozivanjem na ekvivalentne postupke. 5 bodova 13. b) Kvadriranje obje strane jednadžbe: 7 x x 10 x 5. boda Uređivanje: x 11x 18 0. x = ili x = 9. boda Na osnovi uvrštavanja je korijen, * a 9 nije korijen jednadžbe. * 7 bodova Primjedba: boda označena znakom * se daju i onda ako pristupnik ustanovi da korijeni jednadžbe mogu biti samo elementi skupa [ 5; 7] i poziva se na to da je kvadriranje na tom skupu ekvivalentni postupak, tako je korijen, a 9 nije korijen jednadžbe. 171 írásbeli vizsga 6 / 15 018. május 8.
14. a) Od devedeset brojeva ima 15 takvih koji su djeljivi sa 6, i 10 takvih koji su djeljivi s 9. 5 je takvih brojeva od devedeset brojeva, koji su djeljivi i sa 6 i sa 9 (to jest s 18) (te smo ubrojili među one koji su djeljivi i sa 6 i s 9). boda Aron može birati od 90 15 10 + 5 = 70 brojeva. 5 bodova Primjedba: Ovo je tih 70 brojeva (na bijeloj podlozi) od kojih Aron može birati. 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 14. b) prvo rješenje 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5 53 54 55 56 57 58 59 60 61 6 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7 73 74 75 76 77 78 79 80 81 8 83 84 85 86 87 88 89 90 86 je takvih brojeva koji odgovaraju uvjetima. 86 Broj povoljnih slučajeva: (= 34 86 30). 5 90 Broj svih slučajeva: (= 43 949 68). 5 3486 30 Tražena vjerojatnost: 43949 68 0,79. 14. b) drugo rješenje 5 bodova Ovaj se bod daje i onda ako misao/ideja postaje vidljiva samo u rješenju. 86 je takvih brojeva koji odgovaraju uvjetima. Ovaj se bod daje i onda ako misao/ideja postaje vidljiva samo u rješenju. Vjerojatnost da će prvi izvučeni broj biti u skladu sa 86 Panninom željom:. 90 Vjerojatnost toga da će i drugi, i treći, i četvrti, i peti broj biti u skladu sa željom je redom: 85 84 83 8,,,. 89 88 87 86 Tražena vjerojatnost je njihov umnožak, to jest otpr. 0,79. 5 bodova Ako pristupnik zadatak riješi metodom vraćanja uzorka onda može dobiti najviše 3 boda. 171 írásbeli vizsga 7 / 15 018. május 8.
15. a) (Šesterokutnik podijelimo na jedan trokut i na jedan pravokutnik.) Zapisivanjem kosinusnog poučka u trokutu ABC: AC 3 3 3 3 cos10. Odavde AC 7 ( 5, cm), tako CD 10 7 ( 4,8 cm). Opseg šesterokutnika: K 6 10 3 (10 7 ) = = 38 7 ( 3,8) cm. 3 3 sin10 Površina trokuta: AC 3 sin 60 Površina trokuta ABC je jednaka površini istostraničnog trokuta čije su stranice 3 cm: 3 3 4 3,9 (cm ). Površina pravokutnika je 60 (cm ), tako je površina šesterokutnika otpr. 63,9 cm. 10 bodova Primjedba: Ako pristupnik niti u jednom svom odgovoru ne koristi jedinice mjerenja, onda neka zbog toga izgubi ukupno. 171 írásbeli vizsga 8 / 15 018. május 8.
15. b) Ovaj se bod daje za pravilno identificiranje traženog kuta.. Na osnovi Pitagorinog poučka: AC 63 16 65 (cm). 7 Označivši traženi kut s a, tg α ( 1,108). 65 Iz toga je α 47,9. 4 boda Dijagonala tijela EC 63 16 7 = = 97 (cm). 7 sin α ( 0,74) 97 II. B 16. a) prvo rješenje Ako zbrojimo broj partija koje su odigrali pojedini igrači (onda svaku utakmicu brojimo dva puta, to jest) zbroj mora biti parni broj. Da je igrač označen znakom F odigrao tri partije nogotenisa, onda bi zbroj partija koje su odigrali pojedini igrači bio 19. 19 je neparan broj, dakle nije moguće da je igrač označen znakom F odigrao tri partije. 3 boda 171 írásbeli vizsga 9 / 15 018. május 8.
16. a) drugo rješenje Budući da su igrači označeni znakovima B i E odigrali partiju sa svim igračima, tako su igrači označeni znakovima A, C i D samo protiv njih mogli odigrati po dvije partije. Stoga je i igrač označen znakom F mogao odigrati partiju samo protiv igrača označenih znakovima B i E, tako je mogao odigrati dvije partije. Dakle, nije moguće da je igrač označen znakom F odigrao tri partije. 3 boda 16. b) Na početku utakmice je zbroj visine 11 igrača 186 11 046 (cm). Nakon zamjene igrača je zbroj visine igrača postao 188 11 068 (cm). Visina igrača koji je ušao u igru je za 068 046 = = cm viša od zamijenjenog suigrača. 4 boda Igrač koji je ušao u igru ( ( 188 186 ) 11 =) 11 16. c) Lopta je za 1 sekundu nakon udarca bila na visini od h(1) 5 1 15 1 10 metara. boda boda 16. d) (Trenutak udarca lopte je t = 0 (s), zato) traženo vrijeme daje pozitivna nultočka funkcije. Rješenje jednadžbe 5t 15t 0 ( 1 0 boda Dakle, lopta je bila u zraku 3 sekunde. Ukupno : 4 boda Ovaj se bod daje i onda ako misao/ideja postaje vidljiva samo u rješenju. 171 írásbeli vizsga 10 / 15 018. május 8.
16. e) prvo rješenje Polinom 5t 15t pretvorimo u potpuni kvadrat: 5( t 3t) 5( t 1,5) 11,5. boda (Funkcija h na mjestu t = 1,5 ima maksimum, čija je vrijednost 11,5), dakle lopta je na svojoj putanji na 11,5 metara bila na najvišoj točki. Ukupno : 16. e) drugo rješenje Kvadratna funkcija t at bt c (a 0) na b mjestu t prima ekstremnu vrijednost. a 4 boda Vrijednost maksimuma funkcije h na mjestu 0 3 15 t 1,5 1, 5 ( 5) Slika dane funkcije je jedna prema dolje otvorena parabola. Maksimum funkcije je kod aritmetičke sredine njenih nultočki. h (1,5) = 11,5. Dakle, lopta je na svojoj putanji na 11,5 metara bila na najvišoj točki. Ukupno : 17. a) Onih pet pitanja na koje ispravno odgovorimo (odnosno ono jedno na koje odgovorimo neispravno) možemo izabrati na 6 načina. (Odgovoriti na ta pitanja se može samo na jedan način.) Na pitanja na koje smo pogrešno odgovorili možemo dati dvije vrste odgovora. Broj odgovarajućih mogućnosti ispunjavanja je 6 = 1. 4 boda 3 boda 171 írásbeli vizsga 11 / 15 018. május 8.
17. b) prvo rješenje 8 Estera od osam zadataka dva može izabrati na (= 8) načina (svi slučajevi). Ako za rješenje barem jednog od izabranih zadataka treba znati odrediti sjecište pravaca, onda su oba takva ili samo jedan. * 3 Ako su oba takva, onda se oni mogu izabrati na * (= 3) načina. Ako je samo jedan takav, onda je to moguće u 3 5 (= 15) slučajeva. * 1 1 Broj povoljnih slučajeva je 3 + 15 = 18. * Ovaj se bod daje i onda ako misao/ideja postaje vidljiva samo u rješenju. 18 Tražena vjerojatnost je ( 0,64). 8 6 bodova 4 boda označena znakom * se daje i za sljedeći slijed promišljanja: Broj povoljnih slučajeva ćemo dobiti ako od broja svih slučajeva oduzmemo broj nepovoljnih slučajeva boda (kada niti u jednom izabranom zadatku ne treba računati sjecište). 5 Broj nepovoljnih slučajeva: 10. Broj povoljnih slučajeva je 8 10 = 18. Ova boda se daju i onda ako misao/ideja postaje vidljiva samo u rješenju. 171 írásbeli vizsga 1 / 15 018. május 8.
17. b) drugo rješenje U kojem od dva zadatka, po kriteriju poznavanja određivanja sjecišta pravaca, razlikujemo tri slučaja. Vjerojatnost toga da za rješavanje oba izabrana 3 zadatka treba to znati je:. 8 7 Vjerojatnost toga da je samo prvoizabrani zadatak 3 5 takav:, 8 7 5 3 da je samo drugi takav:. 8 7 Tražena vjerojatnost je njihov zbroj, 36 9 to jest ( 0,64). 56 14 6 bodova Ovaj se bod daje i onda ako misao/ideja postaje vidljiva samo u rješenju. 17. b) treće rješenje Prvo određujemo vjerojatnost komplementarnog događaja (niti u jednom izabranom zadatku ne treba računati sjecište). Vjerojatnost toga da se za rješenje prvoizabranog 5 zadatka ne mora znati odrediti sjecište pravaca je:. 8 Vjerojatnost da je i drugi po redu izabrani zadatak 4 takav:. 7 Ovaj se bod daje i onda ako misao/ideja postaje vidljiva samo u rješenju. Dakle, vjerojatnost komplementarnog događaja je: 5 4. 8 7 5 4 Tražena vjerojatnost 1 8 7 = 14 9 ( 0,64). 6 bodova 171 írásbeli vizsga 13 / 15 018. május 8.
17. c) Preslikana slika točke A na pravac e je A (11; 36). boda Jedan normirani vektor pravca A B je n(5; 0) (jedan smjerni vektor v(0; 5), njegov nagib 1,5). boda n(5; 4) ili v(4; 5) Jednadžba pravca A B: 5 x 0 y 445. 5x 4y = 89 Prva koordinata točke E je x = 3. Uvrštavajući to u jednadžbu pravca A B: 5 3 0 y 445, 5 3 4 y 89 iz čega je druga koordinata točke E: y = 6. 8 bodova 18. a) 1 Jednom se kosilicom za jedan sat pokosi dio 8 površine. Ako su do okončanja posla prvom kosilicom radili x sati, onda su s drugom kosilicom radili (x 3) sati, 1 1 tako x ( x 3) 1. 8 8 Iz toga x 3 8, Prvom je kosilicom do 3 10 sati pokošen dio 8 površine. Od 10 sati s dvije kosilice od preostalih 5 dijelova površine za 8 sat vremena pokose 8 to jest x = 5,5 sati Provjera uvrštavanjem u tekst. (Prvom je kosilicom 11 za 5,5 sati pokošen dio površine, drugom 16 kosilicom je za,5 sati pokošen 16 5 dio površine. 11 5 1, dakle, pokošena je cijela površina.) 16 16 Kosilicama je košnja livade završena za 1 sati i 30 minuta. 6 bodova dio površine. To jest, za daljnjih,5 sati će pokositi cijelu površinu. Ovaj se bod daje i onda ako pristupnik ispravno radi bez jednadžbe. 171 írásbeli vizsga 14 / 15 018. május 8.
18. b) Radijus osnovne kružnice valjka je 0,6 m, a visina 1, m, tako je volumen 0,6 π 1, 1,36 m 3. Masa jedne bale sijena je otpr. 1,36 160 (= 17,6 kg), što je traženim zaokruživanjem 0 kg. 5 bodova Ovaj se bod ne daje ako pristupnik nije zaokružio ili je pogrešno zaokružio rezultat. 18. c) Prosjek uzorka je 119 cm, tako je prosjek zadovoljavajući. Devijacija uzorka: 4 3 0 5 3 1 10 5 3 1 7 3,79, što je manje od 4, tako je i devijacija zadovoljavajuća. Stroj će dobiti ocjenu zadovoljio. 6 bodova Ovaj se bod daje i onda ako pristupnik devijaciju izračuna kalkulatorom. 171 írásbeli vizsga 15 / 15 018. május 8.