Edukacijsko-rehabilitacijski fakultet Sveučilišta u Zagreb S T A T I S T I K A Skripta Pripremio: Branko Nikolić Zagreb 2015./2016.

Транскрипт

1 Edukacijko-rehabilitacijki fakultet Sveučilišta u Zagreb S T A T I S T I K A Skripta Pripremio: Branko Nikolić Zagreb 05./06.

2 LITERATURA: Obvezna:. Petz B., Kolearić, V., Ivanec, D. (0): Petzova tatitika. Jatrebarko: Naklada lap: (9-58), (76-36), (49-68,8,97), ( , , )

3 . Što je tatitika i čime e bavi? Definicija. Statitika je naučna metoda koja adrži potupke za analizu podataka, dobivenih metodama i redtvima naučnog itraživanja. Zbog čega je oobama koje e bave tručnim i znantvenim radom potrebno poznavanje tatitike? - zbog praćenja literature - zbog obrade rezultata prikupljenih itraživanjem u vrhu analize tih rezultata - zbog zaključivanja iz konkretnog lučaja na "opći zakon" - zbog planiranja itraživanja i ekperimenta Podaci, koji e analiziraju upotrebom tatitičkih metoda, dobiveni u nekim mjerenjem.. Mjerne kale Prema razini preciznoti, najčešće e pominju četri vrte mjernih kala. Ove kale razlikuju e po preciznoti, količini informacija koje nam daju te koje matematičke operacije dopuštaju korititi. To u: - nominalne kale - ordinalne kale - intervalne kale - omjerne kale. N o m i n a l n e k a l e Kod nominalnih kala mjerenje e atoji u upotrebi broja kao oznake za neku klau ili kategoriju. Broj ocijalnih lučajeva u Zagrebu prema polu u 964. godini prikazan je u tablici.. Tablica. Broj ocijalnih lučajeva u Zagrebu 964. godini obzirom na pol Spol Broj lučajeva. Muškarci 570. Žene 70 Ukupno 80 3

4 Statitički potupci koji e mogu korititi: Mod, proporcije, χ²- tet, Q-koeficijent korelacija, φ-koeficijent korelacije. Kod nominalnih kala nema odnoa među kategorijama u milu veće-manje ili boljelošije.. O r d i n a l n e k a l e Karakteritike ovih kala potojanje je odnoa među kategorijama u milu veće-manje, ali razlike među kategorijama niu jednake (ekviditantne). Tipičan primjer podataka u ordinalnoj kali školke u ocjene. Pozitivna kala Skala u kojoj je prva kategorija labija od druge, druga labija od treće, treća labija od četvrte kategorije itd. Negativna kala k < k < k3 < k4 <... Skala gdje je prva kategorija bolja od druge, druga bolja od treće, treća bolja od četvrte itd. k > k > k3 > k4 >... Pored vih tatitičkih potupaka za nominalne kale ovdje e još može korititi i koeficijenti rang korelacija..3 I n t e r v a l n e k a l e To u mjerne kale kod kojih je poznat redolijed i razlika među rezultatima na vakom dijelu kale. Bodovi na tetu iz biologije, na tetu iz matematike ili na tetu iz fizike pripadaju intervalnim kalama. Kod ovih kala mogu e računati: - aritmetičke redine - tandardne devijacije - z-vrijednoti - r-koeficijent korelacije 4

5 .4 O m j e r n e k a l e Pojeduju va vojtva intervalnih kala i još imaju apolutnu nulu. Primjeri podataka u omjernoj kali u: težina i viina čovjeka. Svi tatitički potupci, koji e primjenjuju u intervalnim kalama mogu e korititi i u omjernim kalama. Podaci opiani u nominalnim kalama zovu e kvalitativni podaci, a kala e naziva kvalitativna kala. Podaci opiani u ordinalnim, intervalnim i omjernim kalama zovu e kvantitativni podaci, a kale e jednim imenom zovu kvantitativne kale. 3. T e o r i j a v j e r o j a t n o t i 3. V j e r o j a t n o t Vjerojatnot ima jednu od najznačajnijih uloga u tatitici. Definicija 3. Vjerojatnot je omjer broja lučajeva povoljnih za natanak nekog događaja i ukupnog broja lučajeva. Označimo li a A povoljne, a a B nepovoljne lučajeve, onda e vjerojatnot pojavljivanja povoljnih lučajeva može napiati: p A A B Ukupan broj događaja N = A+B. Vjerojatnot e može napiati kao p A N Vjerojatnot natupanja nekog događaja označava e p, a vjerojatnot nenatupanja nekog događaja q. Prema tome vjerojatnot nenatupanja nekog događaja bit će q p 5

6 Ako je potpuno igurno da će e neki događaj dogoditi onda je vjerojatnot toga događaja p=, a takav događaj naziva e iguran događaj (npr. Polije noći dolazi dan). Ako je potpuno igurno da e neki događaj neće dogoditi onda je vjerojatnot toga događaja p=0, a takav događaj naziva e nemoguć događaj (npr. Viina čovjeka je 00 metara). Događaji čija je vjerojatnot natupanja veća od 0 i manja od nazivaju e vjerojatni događaji, a njihova vjerojatnot je 0 < p <. Samo vjerojatni događaji predmet u izučavanja. Dva u onovna zakona u teoriji vjerojatnoti i to: - zakon adicije, - zakon multiplikacije. Ova dva zakona bit će prezentirana preko teorema bez dokaza. Teorem adicije: Ako je dato a, a, a3,...,an povoljnih, međuobno iključivih, elementarnih događaja onda je vjerojatnot da će e dogoditi bilo koji od tih događaja ai (i=,,...,n) jednaka zbroju vjerojatnoti natupanja pojedinih događaja. To znači da je: p = p(a)+p(a)+p(a3)+...+p(an). Teorem multiplikacije: Ako u dati povoljni elementarni događaji a, a, a3,...,an koji e međuobno ne iključuju (mogu e itovremeno pojaviti), vjerojatnot da će natupiti više takvih nezavinih događaja itovremeno jednaka je umnošku vjerojatnoti pojavljivanja vakog od tih događaja. To znači da je p = p(a).p(a).p(a3)...p(an). Primjer 3. Napravimo li ekperiment a dva uzatopna bacanja nekog novčića, vidjet ćemo da mogu natupiti lijedeći događaji: A = (P,P) (PISMO,PISMO) A = (P,G) (PISMO,GLAVA) A3 = (G,P) (GLAVA,PISMO) A4 = (G,G) (GLAVA,GLAVA) 6

7 Vjerojatnot da oba novčića pokažu glavu je: p 0,5 4 Vjerojatnot da e pojavi pimo i glava je: p 4 0,5 3. Uvjetna vjerojatnot Primjeru 3. dodajmo još događaj "u prvom bacanju pojavilo e pimo". A5 = ((P,P);(P,G)) Vjerojatnot natupanja događaja A5 je: m( A 5 ) p 0,5 n 4 Želimo li izračunati vjerojatnot natupanja događaja A, ako je poznato da je natupio događaj A5, to možemo napiati p(a/a5). Ovo je vjerojatnot da oba novčića pokažu pimo, ako je poznato da je prvi novčić već pokazao pimo. Ta vjerojatnot karakterizira "šanu" pojavljivanja događaja A, kad je igurno da je u prvom bacanju natupilo pimo (A5). Vjerojatnot P(A/A5) proporcionalna je vjerojatnoti itovremenog natupanja događaja A i A5. Odnono p(aa5). Kako je A = AA5, p(aa5) = p(a) = 0,5 lijedi da je p ( A / A ) p( A A5 ) 0,5 p( A ) 0, ,5 Definicija 3.. Vjerojatnot natupanja nekog događaja a, ako je poznato da je prethodno natupio događaj b naziva e uvjetna vjerojatnot i definira e kao 7

8 8 ) ( ) ( ) / ( 5 b p A A p b a p Za događaje a i b kažemo da u nezavini ako vrijedi ) ( ) / ( ) ( ) ( ( 5 ) b p a b p b p a p A A p Jednadžba u prethodnoj definiciji može e napiati i kao ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) ( b a p b p a b p a p b a p 3.3 Proporcije i matematičko očekivanje Definicija 3.3. Ako a predtavlja dio elemenata nekog kupa, a n ve elemente tog itog kupa, tada e kvocjent između a i n naziva proporcija i računa kao n a p Neka je data vjerojatnot pojavljivanja nekog događaja kao n m p gdje je m broj povoljnih događaja, a n ukupan broj događaja. Definicija 3.3. Ako je poznata vjerojatnot p i ukupan broj događaja n, onda e očekivani broj povoljnih događaja m naziva matematičko očekivanje i računa kao p n m 3. 4 K o m b i n a t o r i k a 3.4. Permutacije Definicija Permutacije nataju međuobnim razmještanjem određenog broja elemenata tako da vaki razmještaj adrži ve elemente i razlikuje e od vih otalih razmještaja.

9 Zadatak 3.4. Neka u zadana tri elementa (lova) a,b,c. Potrebno je izveti va moguća razmještanja ovih elemenata. Rješenje: abc acb bac bca cab cba Ova tri elementa mogu e razmjetiti (permutirati) na 6 različitih načina. Ako u vi elementi međuobno različiti onda e takve permutacije nazivaju permutacije bez ponavljanja. Formula za računanje permutacija bez ponavljanja glai: n! čita e kao n-faktorijela, a računa: Pn = n! n! = n x (n-) x (n-) x (n-3)... 3 x x. N a p o m e n a! 0! =,! =. Tri elementa iz prethodnog zadatka možemo razmjetiti na P3 = 3! = 3xx = 6 načina. Ako u neki elementi u permutaciji iti onda e takve permutacije nazivaju permutacije ponavljanjem. Formula za računanje permutacija ponavljanjem n! P! r! k! n - broj elemenata u permutaciji (nizu),,r,k - broj itih elemenata u permutaciji. Mora biti zadovoljen uvjet: + r + k n 9

10 3.4. Kombinacije Definicija Kombinacije nataju kada e od n elemenata, koji u na rapolaganju, formiraju grupe od r elemenata, tako da ni u jednoj grupi vi elementi niu iti. Neka je n ukupan broj elemenata, a r broj elemenata u grupi, tada e broj kombinacija (grupa) može izračunati po formuli: n C n r n n! n n n ; ; r r r!( n r)! r n r Ako u grupi ili kombinaciji nema itih elemenata onda u to kombinacije bez ponavljanja. Formiraju li e grupe u kojima može biti itih elemenata tada u to kombinacije ponavljanjem. Formula za računanje kombinacija ponavljanjem glai: Varijacije n r C n r Definicija Varijacije nataju kad e od n elemenata formiraju grupe od r elemenata vodeći računa o redolijedu elemenata u grupama. Varijacije u kombinacije + permutacije. Ako u u formiranim grupama vi elementi različiti onda u to varijacije bez ponavljanja. Računaju e po formuli: V n n! r n ( n r)! ; 0

11 Ako u formiranim grupama ima itih elemenata tada u to varijacije ponavljanjem. Formula za računanje varijacija ponavljanjem glai: _ V n n r 4. Onovni tatitički parametri Definicija 4. Populacija je kup elemenata koji itodobno potoje u protoru ili e ponavljaju u vremenu, a definirani u određenim vojtvima. Populaciju je potrebno definirati: - pojmovno, - protorno, - vremenki. Primjer 4. Studenti prve godine, na zagrebačkom veučilištu, 008./009. godine. Definicija 4. Varijable u ona vojtva po kojima e međuobno razlikuju elementi populacije, identični obzirom na njezinu definiciju. Varijable mogu biti: - kvantitativne ili mjerene - kvalitativne ili nominalne Kvantitativne varijable a) dikretne ili dikontinuirane u one varijable kod kojih u vrijednoti odjeljene jedne od drugih najmanje jednom utvrđenom veličinom (primjer: broj djece). b) kontinuirane u one varijable kod kojih e jedinica mjerenja neke varijable može dijeliti na manje dijelove do bekonačnoti (primjer: viina ili težina). Definicija 4.3 Broj elemenata u nekom razredu naziva e frekvencija i obilježava f.

12 5. Mjere centralne tendencije 5. Aritmetička redina Definicija 5.. Suma vih rezultata na nekoj varijabli podijeljena a brojem tih rezultata naziva e aritmetička redina. Aritmetička redina, koja e još naziva i proječna vrijednot, računa e po formuli n i n i gdje je i i-ti rezultat, a n broj ipitanika. Zadatak 5. Djeca a oštećenjem vida potigla u lijedeće rezultate na varijabli "auditivno razumjevanje" (AR): Izračunati aritmetičku redinu. Rješenje: , M e d i j a n Definicija 5.. Centralni rezultat koji dijeli ditribuciju rezultata u nekoj varijabli na dva jednaka dijela naziva e medijan. Ako e u ditribuciji nalazi neparan broj rezultata, medijan je redišnji rezultat. Ako e ditribucija atoji od parnog broja rezultata, medijan je jednak proječnoj vrijednoti dvaju redišnjih rezultata. Zadatak 5.. Pronaći medijan u ditribuciji rezultata, prikazanoj u zadatku 5..

13 Rješenje: - poredati rezultate, na varijabli "AR", po veličini izračunati medijan 3 44 M Zadatak 5.. Pronaći medijan u navedenoj ditribuciji rezultata Rješenje: M M o d Definicija 5.3. Rezultat u nekoj varijabli koji ima najveću frekvenciju naziva e mod. Mod je ujedno i dominantna vrijednot u nekoj varijabli. U zadatku 5.. vidi e da najveću frekvenciju (5) ima rezultat i on predtavlja dominantnu vrijednot odnono mod. 6. Ditribucija frekvencija 6. Ditribucija frekvencija neke varijable Poredaju li e rezultati u varijabli "AR" (zadatak 5.) po veličini, od najmanjih do najvećih, te odredi li e broj pojedinih rezultata, dobit će e ditribucija frekvencija te varijable. 3

14 Tablica 6. Ditribucija frekvencija varijable auditivno razumijevanje (AR) Rezultati frekvencije * 5 * Ako e u varijabli nalazi veliki broj različitih rezultata, nepretno je izvršiti ditribuciju frekvencija na prethodni način. U tom lučaju potrebno je kreirati razrede i izvršiti grupiranje rezultata u navedene razrede. 6. Ditribucija frekvencija neke varijable u razrede Ditribuiranje rezultata neke varijable u razrede izvodi e na lijedeći način:. Pronađe e najmanji rezultata u varijabli min =. Pronađe e najveći rezultat u varijabli max = Pronađe e rapon rezultata R = max - min R = 37 - = 6 4

15 4. Odredi e broj razreda, u koje će e grupirati rezultati, te širina tih razreda. k - broj razreda, i - širina razreda. Neka je i = 5, onda je R k i 6 k 5 5. Izvrši e grupiranje rezultata u razrede Tablica 6. Ditribucija rezultata varijable auditivno razumijevanje (AR) u razrede Rezultati Frekvencije f Izračunavanje kumulativnih i relativnih frekvencija u ditribuciji Na temelju apolutnih frekvencija u Tablici 6. mogu e izračunati kumulativne i relativne frekvencije, a na temelju granica razreda računaju e redine razreda. Tablica 6.3 Apolutne, kumulativne i relativne frekvencije, te redine razreda varijable AR Rezultati Frekvencije f Relativne frekvencije fr Kumulativne frekvencije fk Kumulativne relativne frekvencije (fk)r Sredine razreda r 6 3 0,09 3 0,09 3, ,5 0,34 8,5 6 0,35 0,69 3, ,9 8 0,86 8, ,09 3 0,97 33, ,03 3,00 38,5 3,00 5

16 Zadatak 6.4. Grafički prikazati ditribuciju frekvencija varijable "auditivno razumijevanje" (AR) 6.4. Grafički prikaz ditribucije frekvencija pomoću h i t o g r a m a Hitogram 0 Frekvencije Mod (dominantna vrijednot) iznoi Grafički prikaz ditribucije frekvencija pomoću poligona frekvencija Poligon frekvencija 0 Frekvencije ,5 8,5 3,5 8,5 33,5 38,5 6

17 6.4.3 Grafički prikaz kumulativnog niza Kumulativni graf 35 Kumulativne frekvencije Određivanje medijana iz kumulativnog grafa. Odrediti medijalnu frekvenciju kao: f Me 3 n 6. Na temelju ove frekvencije očitati iz grafa medijan Me= Određivanje kvartila iz kumulativnog grafa Definicija Prvi kvartil (Q) ona je vrijednot varijable koja dijeli ditribuciju frekvencija na dva dijela tako da e 5% rezultata nalazi ipod a 75% rezultata iznad te točke. Definicija Treći kvartil (Q3) je ona vrijednot varijable koja dijeli ditribuciju frekvencija na dva dijela tako da e 75% rezultata nalazi ipod a 5% rezultata iznad te točke. Iz kumulativnog grafa mogu e procijeniti kvartili na lijedeći način. 7

18 . Odrediti frekvenciju prvog i trećeg kvartila f f Q Q3 n n Očitati prvi i treći kvartil a grafa Q = 0, Q3 = 8 7. Mjere varijabilnoti ili raipanja 7. V a r i j a n c a Definicija 7. Zbroj kvadrata odtupanja vakog rezultata od aritmetičke redine podijeljenog brojem tih rezultata naziva e varijanca. Varijanca e računa po formuli: gdje u: - oznaka za umiranje rezultata xi- rezultat i-tog ipitanika n n ( xi x) n i n i x i x 7. Standardna devijacija Definicije 7. Srednje kvadratno odtupanje rezultata od aritmetičke redine naziva e t a n d a r d n a d e v i j a c i j a. Računa e po formuli: 8

19 Neke karakteritike tandardne devijacije: - računa e iključivo uz aritmetičku redinu - veća tandardna devijacija označava veće rapršenje rezultata - tandardna devijacija pokazuje koliko dobro aritmetička redina reprezentira rezultate iz kojih je dobivena Zadatak 7. Izračunati varijancu i tandardnu devijaciju varijable auditivno razumijevanje "AR". n n i x i x 34,56 5, ,5 3 34, Koeficijent varijabilnoti Ako je poznata aritmetička redina i tandardna devijacija neke varijable onda je tu varijablu moguće upoređivati a drugim varijablama. Da bi e upoređivale varijabilnoti različitih pojava korite e koeficijenti varijabilnoti. Definicija 7.3 Koeficijent varijabilnoti pokazuje koliki pototak aritmetičke redine iznoi tandardna devijacija. Koeficijent varijabilnoti proporcionalan je tandardnoj devijaciji a obrnuto je proporcionalan aritmetičkoj redini. Izračunava e po formuli: V 00 % x Zadatak 7.3 Kod 3 djece a oštećenjem vida dobiveni u lijedeći rezultati na varijabli "AR": x 3,5; 5,88 9

20 Ito tako ipitano je 3 djece bez metnji u razvoju, itog uzrata, i dobivene u lijedeće vrijednoti na varijabli "AR": x 36,00;,7 k Da li na varijabli "AR" više variraju rezultati djece oštećenjem vida ili djece bez metnji u razvoju? k V V k 00 5,8800 % 5,3% x 3,5 00,700 % 3,03% x 36 Na varijabli "AR" više variraju rezultati djece bez metnji u razvoju. 8. Vrte ditribucija 8. Simetrična ditribucija Me 0

21 8. Pozitivno aimetrična ditribucija Me 8.3 Negativno aimetrična ditribucija Me 9. Vagana ili ponderirana aritmetička redina Vagana aritmetička redina računa e u lučaju različitih težinkih vrijednoti za pojedina obilježja. n i i n f i f i i

22 Zadatak 9. Neka je formiran poklon paket koji e atoji od tri vrte bombona na lijedeći način: Vrta bombona Cijena 0,40 kg po 30 Eura/kg 0,0 kg po 80 Eura/kg 0,5 kg po 50 Eura/kg 0,75 kg 60 Eura/kg Kolika je cijena paketa ovako pakirane mješavine bombona? Krivi način računanja: ,33Eura / kg 3 0,7553,33 39,9975Eura Ipravan način računanja: 300,40800,0 500,5 47,33Eura / kg 0,40 0,0 0,5 47,330,75 35,4975Eura 0. Binomna ditribucija Teorijka ditribucija temeljena na teoriji vjerojatnoti vakako je binomna ditribucija ili razdioba. Model binomne ditribucije objanit će e pomoću vjerojatnoti pojavljivanja pima ili glave kod ukceivnog bacanja četri novčića. 0. Ihodi prilikom bacanja 4 novčića Novčići ihod frekvencija. GGGG 4G. GGGP 3. GGPG 3G 4 4. GPGG 5. PGGG 6. GGPP

23 7. GPGP 8. GPPG G 6 9. PGPG 0. PPGG. PGGP. GPPP 3. PGPP 4. PPGP G 4 5. PPPG 6. PPPP 0G 6 Iz ove ditribucije vidi e da je vjerojatnot pojavljivanja 4 glave i 4 pima /6 = 0,065; vjerojatnot pojavljivanja 3 glave i glave iznoi 4/6 = 0,5 dok je vjerojatnot pojavljivanja glave 6/6 = 0, Grafički prikaz binomne ditribucije frekvencija Grafički prikaz binomne ditribucije Frekvencije Broj glava 0.3 Onovni tatitički pokazatelji Binomne ditribucije Srednja vrijednot ili aritmetička redina računa e po formuli n p Varijanca i tandardna devijacija računaju e 3

24 n p q gdje u: n - broj elemenata p - vjerojatnot natupanja nekog događaja q - (-p) vjerojatnot nenatupanja nekog događaja. Ako e želi izračunati vjerojatnot da e neki događaj dogodi x puta onda e to može potići primjenom zakona Binomne ditribucije koji glai P( x) n gdje u: n - broj elemenata x broj događanja nekog događaja p - vjerojatnot natupanja nekog događaja q - (-p) vjerojatnot nenatupanja nekog događaja. x p x q nx Zadatak 0.3 Ako bacamo 3 novčića koliko će e u projeku pojaviti glava? Koliko je rednje kvadratno odtupanje rezultata od projeka? p = 0,5 q = -p = -0,5 = 0,5 n = 3 n p 30,5,5 n p q 30,5 0,5 0,75 0,75 0,866 4

25 . Normalna ditribucija Ako u vi rezultati nekog mjerenja jednaki tada grafički prikaz te ditribucije izgleda kao: Svi rezultati u iti 0 Frekvencija Rezultat Kad bi vi rezultati bili međuobno različiti i ako ne bi bilo grupiranja rezultata oko neke rednje vrijednoti onda bi grafički prikaz takve ditribucije bio kao: Grafički prikaz ditribucije ako je frekvencija rezultata, Frekvencije 0,8 0,6 0,4 0, Rezultati () Ovi ektremni lučajevi niu predmet tatitičke analize! Analiziraju e rezultati koji e grupiranju oko neke rednje vrijednoti i imaju tendenciju rapršenja oko te vrijednoti. 5

26 Takvi rezultati ditribuiraju e prema n o r m a l n o j ili G a u o v o j krivulji. Neka je zadana binomna ditribucija kod koje je broj elemenata n jako velik. Grafički prikaz takve ditribucije prikazan je na lijedećoj lici: 5,4 45 7,9 40,09 4, ,4 ija 30 c n4, 5 e 8,97 v k 0 33,3 re 5 F 36, , 5 39, , ,83 33,3 Broj elemenata 8,97 Binomna ditribucija za dovoljno velik broj n prelazi u normalnu. Krivulja normalne ili Gauove ditribucije ima lijedeći oblik: Simetrična ditribucija ije c n e v k re F =Me=Mo 6

27 Grafički prikaz dvije normalne ditribucije koje imaju ite aritmetičke redine a različite tandardne devijacije i grafički prikaz dvije normalne ditribucije koje imaju različite aritmetičke redine a ite tandardne devijacije. = < σ< σ σ = σ Površine ipod normalne krivulje 7

28 -3σ -σ -σ 0 σ σ 3σ. Standardizirane ili z-vrijednoti Svaki rezultat na nekoj varijabli može e izraziti u djelovima tandardne devijacije. Definicija. Izražavanje rezultata u dijelovima tandardne devijacije naziva e t a n d a r d i z a c i j a ili pretvaranje u z-vrijednoti. Ako e žele upoređivati rezultati više ipitanika na više od jedne varijable, prethodno je potrebno rezultate tandardizirati i zbrojiti, pa tek onda zaključiti tko je bolji a tko lošiji. Standardizacija rezultata izvodi e na lijedeći način Z gdje je 8

29 -rezultat koji treba tandardizirati -aritmetička redina -tandardna devijacija. Određivanje položaja nekog ipitanika u grupi Primjer. Mjereći viinu neke grupe ipitanika dobiveni u lijedeći rezultati 70cm 0cm Koliko je poto ipitanika viših od 80 cm? Z 0 0 Grafički prikaz primjera nalazi e na lijedećoj lici 50% 50% -3σ -σ -σ 0 σ σ 3σ p = p(z) = = 0.6 = 6% Odgovor: U ovoj grupi ima 6% ipitanika viših od 80 cm. 9

30 Primjer. Neko dijete oštećenjem vida potiglo je na varijablama "AR" i "AAS" po 8 bodova. Na kojoj varijabli dijete ima bolji rezultat ako u zadane lijedeće vrijednoti? " AR": 3,5; 5,88; 8 " AAS ":,7; 8,77; 8 Z Z AR AAS 8 3,5 0,8 5,88 8,7 0,7 8,77 Odgovor: Dijete je potiglo bolji rezultat na varijabli "AR" (0,8). Primjer.3 Dijete broj potiglo je na varijabli "AR" rezultat 3, a na varijabli "AAS" rezultat 5. Dijete broj 9 potiglo je na varijabli "AR" rezultat 0, a na varijabli "AAS" rezultat 7. Koje od ovo dvoje dijece ima bolji rezultata na obje varijable zajedno? " AR": 3,5; 5,88 " AAS":,7; 8,77 Varijable. dijete 9. dijete AR 3 0 AAS ,5 5,7 Z 0,04; Z 0,37 5,88 8,77 0 3,5 7,7 Z 0,55; Z 0,60 5,88 8,77. dijete: Z Z Z 0,04 0,37 0,33 9. dijete: Z 9 Z Z 0,55 0,60 0,05. dijete ima bolji rezultat na obje varijable zajedno! 30

31 Primjer.4 U kupini od 000 mladića nađena je proječna viina koja iznoi 7,5 cm i proječno odtupanje rezultata od aritmetičke redine koje iznoi 9,8 cm. Koliko je mladića viok između 7 i 75 cm? Z Z 77,5 0,05 9,8 757,5 0,36 9,8 Iz tatitičkih tablica dobiva e površina ipod Normalne ili Gauove krivulje od aritmetičke redine do Z = 0,05 i ona iznoi: P(Z) = 0,0990 Ito tako dobiva e i površina ipod Normalne krivulje od aritmetičke redine do Z = 0,36 i ona iznoi: P(Z) = 0,4060 Površina ipod Normalne krivulje dobivena kao P = P(Z) - P(Z) = 0,406 0,099 = 0,07 = % predtavlja pototak mladića viokih između 7 i 75 cm. Broj mladića = 0,07 x 000 = 0 Primjer.5 Koliki pototak djece oštećenjem vida ima razultat manji od 7 bodova na varijabli "AR"? " AR": 3,5; 5,88; 7 3,5 Z,06 5,88 7 Površina ipod Normalne krivulje dobivena kao P = 0,5 - P(Z) = 0,5 0,3554 = 0,446 = 4,46% Rezultat manji od 7 bodova na varijabli "AR" ima 4,46% djece a oštećenjem vida. 3

32 Primjer.6 Koliki pototak djece oštećenjem vida ima rezultat između 4 i 7 bodova na varijabli "AR"? Z Z 4 3,5 0,3 5,88 7 3,5 0,64 5,88 Temeljem površina ipod Normalne krivulje, od aritmetičke redine do 0,3 i 0,64 tandardne devijacije izračunava e pototak djece na lijedeći način P = P(Z) - P(Z) = 0,389 0,057 = 0,87 = 8,7% Rezultate između 4 i 7 bodova na varijabli "AR" ima 8,7% djece oštećenjem vida. Primjer.7 Ipod kojeg e rezultata nalazi 30% najlabije djece a oštećenjem vida na varijabli "AR"? P(Z) = 0,50 0,30 = 0,0 Temeljem površine ipod Normalne krivulje, od aritmetičke redine do Z vrijednoti, koja iznoi 0,0 može e iz tatitičkih tablica pročitati odgovarajuća Z vrijednot i to -0,53. Rezultat ipod kojega e nalazi 30% najlabije djece izračunat će e na lijedeći način Z ; Z 0,53; 0,53 3,5 0,535,88; 0 3,5 ; 5,88 Odgovor: 30% najlabije djece ima rezultate manje od 0 bodova. Primjer.8 Između kojih e granica nalazi 50% djece a redišnjim rezultatima na varijabli "AR"? Rješenje: Pototak djece razdijeli e na dva jednaka dijela, pa e dobije 5% djece na vakoj trani Normalne krivulje, ipod i iznad aritmetičke redine. Za vrijednot površine 5%=0,5 pronađe e u tatitičkim tablicama Z vrijednot koja iznoi 0,68. S obzirom da e površina od 0,5 nalazi iznad i ipod aritmetičke redine, pojavit će e dvije Z vrijednoti -0,68 i 0,68. Uvrte li e odgovarajuće vrijednoti u formulu za tandardizaciju rezultata dobit će e: 3

33 3,5 0,68 ; 5,88 3,5 0,68 ; 5,88 3,5 0,685,88; 3,5 0,685,88; 9,5; 7,5; 9 7 Odgovor: Između rezultata 9 i 7 bodova nalazi e 50% djece a redišnjim rezultatima na varijabli "AR". 3. P o i o n o v a ditribucija Definicija 3. Ditribucija rijetkih događaja koja e primjenjuje pod uvjetima: p 0, n 50 m n p n p q naziva e Poionova ditribucija. Zakon Poionove ditribucije glai: m P( x) e x! x m gdje u: P(x) - vjerojatnot da e promatrani događaj dogodi x puta. - lučajna varijabla e - baza prirodnog logaritma e =,78 m - aritmetička redina i varijanca Primjer 3. Vjerojatnot da pacijent ne podnoi injekciju eruma crnih boginja je p = 0,00. Kolika je vjerojatnot da od 500 pacijenata više od 3 neće podnijeti injekciju? n= 500 p = 0,00 x = 3 33

34 m P( x) x e x! m m n p 5000, e P(3) 3! 3 70,0498 0, M e t o d a u z o r a k a Definicija 4. Uzorak predtavlja dio populacije ili onovnog kupa. Ako je populacija na kojoj želimo provjeriti neke varijable velika ili čak neizmjerna, neophodno je iz takve populacije formirati uzorak koji mora biti dobar reprezentant te populacije. Uzorak e formira zbog - procjene parametara populacije - tetiranja hipoteza 4. Formiranje uzoraka Potoji nekoliko načna formiranja uzoraka iz populacije. Prema načinu formiranja uzorke dijelimo na ) namjerne ili pritrane ) lučajne 4.. Namjerni uzorak Kod ovoga uzorka ne vrijedi teorija vjerojatnoti i ne može e kontrolirati pogreška. Reprezentativnot uzorka ovii o anketaru pa je generalizacija rezultata dobivenih na ovakvim uzorcima povezana a velikim rizikom. Primjeri ovakvog uzorka u: - kad liječnik kao najprikladniji uzorak za ipitivanje upješnoti novog lijeka uzima bolenike koji e nalaze u bolnici gdje radi - kad itraživači kao uzorak za ipitivanje uzimaju one ubjekte koji u im pri ruci (učenici nekog razreda) 34

35 4.. Slučajni uzorci 4... Pravi lučajni uzorak Definicija 4.. Uzorak u kojem vaki element populacije ima jednaku vjerojatnot da bude izabran u uzorak, a izbor jednog elementa ne utječe na izbor drugog naziva e lučajni uzorak. Slučajni uzorak dobro reprezentira populaciju iz koje je izvučen. Kod njega vrijedi teorija vjerojatnoti a pogreška e može kontrolirati. Nedotaci u mu vioki troškovi itraživanja. Formiranje lučajnih uzoraka obavlja e pomoću tablice lučajnih brojeva ili pomoću kompjutora Uzorak atavljen od kupina ( Cluter ampling ) Definicija 4... Razdjeli li e populacija na područja i "po lučaju" e odabere područje iz kojega će e formirati lučajni uzorak takav uzorak naziva e Cluter ampling. Ako je broj područja u populaciji dovoljno velik, onda e uzorak ne razlikuje mnogo od lučajnog, pa je moguće kontrolirati pogrešku i korititi teoriju vjerojatnoti Stratificirani uzorak Definicija Ako e nehomogena populacija podijeli na kupine i u uzorak e izabere onoliki pototak entiteta, iz vake kupine, koliko ona udjeluje u definiranju populacije, tada e tako odabran uzorak naziva tratificirani uzorak. Kad god je populacija nehomogena, obzirom na predmet itraživanja, bolji rezultati potižu e korištenjem tratificiranog uzorka. Kod tratificiranog uzorka vrijedi teorija vjerojatnoti i pogreška e može kontrolirati. Bavit ćemo e amo l u č a j n i m u z o r c i m a! Zbog jezičnih razloga koritit ćemo ponekad i riječ ampling umjeto uzorak Frakcija odabiranja Definicija Obilježi li e veličina populacije a N, a veličina uzorka izvučenog iz te populacije a n, onda e omjer između veličine uzorka i veličine populacije naziva frakcija odabiranja. 35

36 Formula za računanje frakcije odabiranja glai gdje je n - veličina uzorka N - veličina populacije f n N 4. Sampling varijacija i ampling ditribucija Pretpotavimo da iz populacije veličine N želimo formirati uzorak veličine n. To e može učiniti na načina. C Ako e za vaki uzorak izračuna aritmetička redina i tandardna devijacija, te ako e ditribuiraju aritmetičke redine vih uzoraka, dobit će e ampling ditribucija. Sampling ditribucija je normalna ditribucija kod koje u aritmetičke redine uzoraka ditribuirane oko aritmetičke redine populacije. N n Sampling ditribucija ima voje parametre - aritmetičku redinu - tandardnu devijaciju Parametri populacije procjenjuju e pomoću parametara uzorka koji je reprezentativan za tu populaciju. 4.. Procjena aritmetičke redine populacije Sampling ditribucija prikazana je na lijedećoj lici. 36

37 Sampling ditribucija Frekvencije _,5%,96S x 0,96S x,5% _ za 95% površine Z =,96 za 99% površine Z =,58 Ako je 0, 96 S,96 S 0 Onda je, 96 S,96 S 0 Na temelju ovoga može e napiati interval pouzdanoti kao: Z S 0 Z S gdje u 0 - aritmetička redina populacije - aritmetička redina uzorka 37

38 Z - tandardizirana vrijednot koja za 95% pouzdanoti ili 5% pogreške iznoi,96 a za 99% pouzdanoti ili % pogreške iznoi,58 - procjena tandardne pogreške aritmetičke redine odnono tandardna devijacija S ampling ditribucije 4.. Procjena tandardne pogreške aritmetičke redine Formula za izračunavanje pogreške koja e veže uz neku aritmetičku redinu glai S S 0 n N n n Parametri populacije u: S, N 0, 0 a ampling ditribucije:, S, n 0 Kod uzoraka kod kojih je n > 30 korekcijki faktor jednak je. To znači da je N n n pa nadalje lijedi da je S n S 0 38

39 4... Procjena tandardne devijacije populacije Ako je n 30 tada je S 0 procjena tandardne devijacije populacije. Procjena tandardne devijacije ampling ditribucije je S S 0 n n - tandardna devijacija uzorka n - veličina uzorka Ako je n < 30 tada je S 0 n n procjena tandardne devijacije populacije. Procjena tandardne devijacije ampling ditribucije je S S 0 n n n n n 5. Tetiranje hipoteza Hipoteze koje e tetiraju mogu biti:. Ditribucija frekvencija ima određeni oblik. Uzorak pripada određenoj populaciji 3. Dva uzorka pripadaju itoj populaciji 4. Dvije varijable u nezavine 5. Koeficijent korelacije populacije jednak je nuli Potupak tetiranja hipoteze: 39

40 . Odrediti granicu značajnoti kojom e radi. Napiati hipoteze 3. Izabrati uzorak ili uzorke te izračunati parametre 4. Odrediti granice odbacivanja nulte hipoteze (H0) 5. Utvrditi da li e nulta hipoteza može odbaciti 6. Napiati zaključak 5. Određivanje granice značajnoti Područje odbacivanja Područje prihvaćanja H 0 hipoteze Područje odbacivanja H 0 hipoteze H 0 hipoteze Granica značajnoti predtavlja područje odbacivanja H0 hipoteze 5. Potavljanje hipoteza Hipoteze e obično potavljaju u obliku: H0 : H : NULTA HIPOTEZA ALTERNATIVNA HIPOTEZA 40

41 5.3 Određivanje granica odbacivanja nulte hipoteze POGREŠKE KOD TESTIRANJA HIPOTEZE - Vjerojatnot pogreške TIPA I. - Vjerojatnot pogreške TIPA II. H 0 NE ODBACUJEMO H 0 ODBACUJEMO H0 ISTINITA + Pogreška TIPA I H0 LAŽNA Pogreška TIPA II + Granice značajnoti -,58 -,96 H,96,58 Područje prihvaćanja Ho hipoteze za 5% Područje prihvaćanja H 0 hipoteze za % Granica značajnoti označava područje odbacivanja H0 hipoteze. Zbog toga je vjerojatnot pogreške TIPA I jednaka granici značajnoti. Vjerojatnot pogreške TIPA II označavamo a. i u obrnuto proporcionalne veličine. Kad je veća je manja i obrnuto. 4

42 6. Tetiranje normalnoti ditribucije frekvencija Normalnot ditribucije može e tetirati Kolmogorov-Smirnov tetom. Potupak tetiranja normalnoti ditribucije frekvencija bit će prezentiran kroz rješavanje lijedećeg zadatka. Zadatak 6. Neka je zadana ditribucija frekvencija varijable auditivno razumijevanje (AR). Razlikuje li e ditribucija od normalne ili Gauove krivulje. Rješenje: Za tetiranje normalnoti ditribucije frekvencija potrebno je imati zadanu aritmetičku redinu i tandardnu devijaciju varijable. _ = 3,5 = 5,88 f fk (fk)r (ft)r D ,09 0, -0, ,34 0,35-0,0-6 0,69 0,68 0, ,86 0,9-0, ,97 0,99-0, ,00,00 0,00 (ft)r - kumulativna teorijka relativna frekvencija za normalnu razdiobu Z Z Z Z Z Z ,5,3; P 0,5 0,09 0, 5,88 3,5 0,38; P 0,5 0,48 0,35 5,88 6 3,5 0,47; P 0,5 0,8 0,68 5,88 3 3,5,3; P 0,5 0,4 0,9 5, ,5,7; P 0,5 0,49 0,99 5,88 4 3,5 3,0; P 0,5 0,5,00 5,88 Standardizacijom gornjih granica razreda i izračunavajući površine ipod normalne krivulje od početka ditribucije do tandardizirane vrijednoti, dobiju e kumulativne teorijke 4

43 relativne frekvencije. Ako e od kumulativnih relativnih frekvencija vakog razreda oduzmu kumulativne teorijke relativne frekvencije za normalnu razdiobu dobiju e odtupanja empirijke ditribucije od normalne ili Gauove krivulje za vaki pojedini razred. D = (fk)r - (ft)r Uz dozvoljenu pogrešku % Kolmogorov-Smirnov tet računa e prema formuli TEST,63,63 0,88 n 3,63 kontanta za % pogreške n - broj ipitanika Da bi e donio zaključak o normalnoti ditribucije frekvencija, potrebno je prethodno pronaći najveći D (po apolutnoj vrijednoti) i uporediti ga tetom. Najveće odtupanje od normalne krivulje nalazimo kod 4 razreda i ono iznoi MA D = 0,05 Najveće odtupanje empirijke ditribucije od normalne krivulje upoređuje e Kolmogorov-Smirnov tetom koji iznoi 0,88. 0,05 < 0,88 što znači da je MA D < TEST Na temelju toga može e zaključiti da ditribucija frekvencija varijable auditivno razumijevanje ne odtupa značajno od normalne ili Gauove krivulje. Zaključak: Dok je MA D TEST ditribucija frekvencija ne odtupa značajno od normalne ili Gauove krivulje. Kada MA D > TEST empirijka ditribucija frekvencija značajno odtupa od normalne krivulje. 43

44 7. Analiza varijance Jednofaktorka analiza varijance Tetiranje hipoteze da e aritmetičke redine uzoraka međuobno ne razlikuju, tj. da uzorci pripadaju itoj populacije predtavlja cilj ove analize. Hipoteze e potavljaju u obliku H H 0 : : 3 3 m m gdje u _ - aritmetičke redine m - broj grupa Imamo li na rapolaganju N entiteta, podijeljenih u m grupa i želimo li tetirati da li u aritmetičke redine grupa jednake, najprije je potrebno izračunati ukupnu varijancu (varijancu totala) po formuli N T ( i T ) N i N N i i T T _ - varijanca totala T - aritmetička redina totala. Definirajmo umu kvadrata totala na lijedeći način SST = T. (N - ) SST - uma kvadrata totala, odnono varijanca totala koja nije podijeljena brojem ipitanika. Definirajmo varijancu unutar vake grupe na lijedeći način n g ( ig g ) v n i g 44

45 gdje u ng - broj entiteta u grupi v - varijanca za vaku grupu v=,,m m - broj grupa g m i m i Prema H0 hipotezi lijedi da u varijance unutar vih grupa jednake. To znači da će varijanca vake grupe biti jednaka proječnoj varijanci vih grupa. Proječna varijanca potaje varijanca vake grupe amo u ovoj analizi. Definirajmo potom umu kvadrata za grupu g na lijedeći način i umu kvadrata za ve grupe SSg = g.(ng - ) m SSW = SSg i= Iz jednadžbe koja kaže da je ukupna varijanca (varijanca totala) jednaka zbroju varijance unutar grupa i varijance oko aritmetičke redine (odnono između grupa) lijedi a odatle e dobiva T = B + W odnono SST = SSB + SSW SSB = SST - SSW SSB predtavlja umu kvadrata između grupa a može e izračunati na lijedeći način ng - broj entiteta u grupi g m SSB = ng (g - T) i= 45

46 Ako e SSB podijeli brojem tupnjeva lobode onda e dobiva procjena varijance između grupa MS B SS DF B B gdje u MSB - procjena varijance između grupa DFB = m- - broj tupnjeva lobode između grupa Ako e SSW podijeli brojem tupnjeva lobode onda e dobiva procjena varijance unutar grupa SSW MSW DF gdje u MSW - procjena varijance između grupa DFW = N-m - broj tupnjeva lobode unutar grupa W Broj tupnjeva lobode za ve entitete (total) je DFT = N - Najbolji način za tetiranje H0 hipoteze vakako je primjenom F (Fiherova) teta. MS F MS B W Pri tom je potrebno izračunati tupnjeve lobode za varijancu u brojniku i varijancu u nazivniku na lijedeći način DFB = m - DFW = N - m F tet ima voju ditribuciju koja e naziva Snedecor-ova ili ditribucija F vrijednoti. Očekivana vrijednot F je. SNEDECOR je 946. atavio tablice F - ditribucije za 5% i % razine značajnoti. 46

47 Način tetiranja H0 hipoteze atoji e u uporedbi tablične ili očekivane vrijednoti F teta onom izračunatom kao Fiherov tet. Za određeni broj tupnjeva lobode DFB i DFW očita e iz tablica očekivana vrijednot ili teorijki Ft. Ako je F izračunati (Fiherov tet) veći od F teorijkog odbacuje e H0 a prihvaća H hipoteza. U obrnutom lučaju ne odbacuje e H0 hipoteza. Analiza varijance završava prihvaćanjem ili odbacivanjem H0 hipoteze na lijedeći način Ako je Ft Fi vrijedi H0, Ako je Ft < Fi vrijedi H 8. Razlike između aritmetičkih redina 8. Razlika između aritmetičkih redina velikih nezavinih uzoraka Najčešći problem u edukacijkoj rehabilitaciji vezan je uz tetiranje značajnoti razlika između aritmetičkih redina dvaju velikih nezavinih uzoraka. Tetiranje razlika između aritmetičkih redina velikih uzoraka izvodi e na temelju tandardne pogreške između dviju aritmetičkih redina tih uzoraka x x Budući da je N tandardna pogreška razlika između aritmetičkih redina računa e po formuli: 47

48 d N N gdje je procjena tandardne devijacije. uzorka, a procjena tandardne devijacije. uzorka. Razlika između aritmetičkih redina je d Tetiranje značajnoti razlika između dviju aritmetičkih redina velikih nezavinih uzoraka obavlja e pomoću t ili tudentova teta na lijedeći način: t d x x d d Ovako izračunata t vrijednot jednaka je tandardiziranoj ili z vrijednoti. Prije tetiranja razlika između aritmetičkih redina potrebno je potaviti hipoteze i to: H H 0 : : Primjer: Na tetu auditivnog razumijevanja kod 3 djece a oštećenjem vida dobivena je aritmetička redina 3,5 i tandardna devijacija 5,88. Na itom tetu, 30 djece a mentalnom retardacijom potiglo je proječno 7,34 boda uz tandardnu devijaciju 6,36. Da li je razlika na auditivnom razumijevanju između ove dvije kupine ipitanika tatitički značajna? 48

49 Rješenje: N 3,5; 5,88; 3; N 7,34 6,36 30 d d t d x d x 3,57,34 5,9 N 5,9 3,788,56 N 34, ,4496, Dobiveni t veći je od tabličnog t=z=,96 za 5% pogreške, može e reći da e aritmetičke redine ovih dvaju uzoraka međuobno razlikuju. 8. Tetiranje razlika između dvije aritmetičke redine i neke unaprijed zadane vrijednoti Značajnot razlika između neke aritmetičke redine i unaprijed zadanog rezultata tetirali mo prilikom određivanja intervala pouzdanoti u kome e nalazi aritmetička redina populacije. U lučaju kad je potrebno tetirati da li e mala razlika između dvije aritmetičke redine razlikuje od unaprijed zadane vrijednoti, potupak će biti ličan tetiranju razlika između aritmetičkih redina velikih nezavinih uzoraka. Primjer: Jedna profeorica edukacijke rehabilitacije izradila je program za otklanjanje i ublažavanje nepoželjnih ponašanja kod ooba mentalnom retardacijom. Prema njenim zapažanjima, polije provedenog rehabilitacijkog programa, broj nepoželjnih ponašanja trebao bi e manjiti za najmanje 5%. Da bi e donijela ocjena o validnoti programa formirana u dvije, obzirom na proječan broj nepoželjnih ponašanja, izjednačene kupine ooba mentalnom retardacijom. Prvi kupina (ekperimentalna) podvrgnuta je rehabilitacijkom programu, dok druga nije. Nakon provedbe rehabilitacijkog programa, kod obje kupine izračunate u aritmetičke redine i tandardne devijacije nepoželjnih ponašanja. 49

50 Tetirati na razini značajnoti 5% da li je došlo do manjenja proječnog broja nepoželjnih ponašanja kod ekperimentalne kupine za više od 5%. Kontrolna N Ekperimntala N Rješenje: d z d x x N N ,943 t d t d tab z 50 5,30 0,943,96 5,30 Zaključak: Rehabilitacijki program uvjetovao je manjenje broja nepoželjnih ponašanja kod ooba mentalnom retardacijom za više od 5%. 8.3 Razlike između aritmetičkih redina velikih zavinih uzoraka Za razliku od velikih nezavinih uzoraka, kod tetiranja razlika između dviju aritmetičkih redina dvaju velikih zavinih uzoraka potrebno je uzeti u obzir korelaciju između rezultata mjerenja. To znači da e formula za izračunavanje tandardne pogreške razlika mijenja i glai: 50

51 Sve otalo vrijedi kao i kod velikih nezavinih uzoraka. Primjer: r, x x x x x x Grupa profeora rehabilitatora izradila je program za otklanjanje i ublažavanje nepoželjnih ponašanja kod ooba mentalnom retardacijom. Da bi e donijela ocjena o valjanoti programa formirana je kupina ooba mentalnom retardacijom koja je podvrgnuta rehabilitacijkom programu. Prije provođenja tretmana ipitana u nepoželjna ponašanja te u izračunate aritmetička redina i tandardna devijacija. Nakon provedbe rehabilitacijkog programa, ponovno u ipitana nepoželjna ponašanja te u izračunate aritmetička redina i tandardna devijacija nepoželjnih ponašanja. Tetirati na razini značajnoti 5% da li je došlo do manjenja proječnog broja nepoželjnih ponašanja kod ooba mentalnom retardacijom pod utjecajem provođenja rehabilitacijkog tretmana, ako je korelacija između mjerenja 0,65.. ipitivanje N ipitivanje N H H 0 Rješenje: : : d d t t tab d x d x 5 0,58,96 5, N N 5,8 r, x x ,650,740,63 0,

52 Zaključak: Ulijed provođenja rehabilitacijkog programa došlo je do tatitički značajnog manjenja broja nepoželjnih ponašanja kod ooba mentalnom retardacijom. 8.4 Tetiranje razlika između aritmetičkih redina malih nezavinih uzoraka Način računanja razlika između dvaju malih nezavinih uzoraka ličan je računanju razlika kod velikih uzoraka, oim što ovdje treba računati zajedničku tandardnu devijaciju za oba uzorka, uz pretpotavku da pripadaju itoj populaciji. Zajednička tandardna devijacija može e računati amo u lučaju da e tandardne devijacije uzoraka tatitički značajno ne razlikuju. To znači da e prije tetiranja razlika između aritmetičkih redina dvaju malih nezavinih uzoraka treba proveti tetiranje razlika među njihovim tandardnim devijacijama. Ako e utvrdi da e tandardne devijacije uzoraka ne razlikuju miju e tetirati razlike između njihovih aritmetičkih redina. Potupak e odvija na lijedeći način:. Izračuna e F tet kao omjer dviju varijanci (varijanca= ) F veće manja. Na temelju broja tupnjeva lobode varijanci u brojniku (DF=N-) i nazivniku (DF=N-) očita e iz Snedecor-ovih tablica tablični F, te donee zaključak o tome da li e varijance tatitički značajno razlikuju. Ako e varijance ne razlikuju potupak e natavlja. 3. Izračuna e zajednička tandardna devijacija na temelju tandardnih devijacija obaju uzoraka, na lijedeći način: N N N N 4. Izračuna e tandardna pogreška razlika između aritmetičkih redina uzoraka na lijedeći način: 5

53 53 5. Izračuna e t tet 6. Na temelju broja tupnjeva lobode i dozvoljene pogreške od 5% iz tablica Studentove ditribucije očita e ttab i uporedi a izračunatim t tetom. Ako je izračunati t veći od tabličnog t razlika je tatitički značajna, a ako nije onada razlika nije značajna. Broj tupnjeva lobode računa e kao DF=(N-)+(N-) Ako e varijance razlikuju, za tetiranje značajnoti razlika koriti e metoda Cochran i Cox-ove: 7. Izračuna e tandardna pogreška razlike između dvije aritmetičke redine na lijedeći način: N N N N x x x x t d d x x d d t N N

54 8. Nađe e tablični t za broj tupnjeva lobode prvog uzorka (DF=N-), te tablični t za broj tupnjeva lobode drugog uzorka (DF=N-), na razini značajnoti 5%. Izračuna e novi t tet po formuli: t g x x N t x ; x x x t N Ako je ovako izračunati tg manji od t izračunatog u točki 7 onda e aritmetičke redine tatitički značajno razlikuju na granici značajnoti 5%. 8.5 Razlike između aritmetičkih redina malih zavinih uzoraka Za analizu razlika između aritmetičkih redina malih uzoraka koji međuobno koreliraju polužit će nam metoda diferencije. Potupak metode diferencije vodi e na izračunavanje razlika rezultata za vakog ipitanika u. i. mjerenju. Izračuna e aritmetička redina i tandardna devijacija razlika rezultata te tandardna pogreška aritmetičke redine razlika rezultata što odgovara tandardnoj pogrešci razlika između aritmetičkih redina rezultata u. i. mjerenju. Potupak računanja obavlja e na lijedeći način:. Izračuna e razlika rezultata.(r) i.(r) mjerenja za vakog ipitanika raz=r-r. Sumiraju e razlike rezultata te izračuna aritmetička redina razlika rezultata, tandardna devijacija razlika rezultata, tandardna pogreška aritmetičke redine razlika rezultata i t tet prema formulama: 54

55 x raz d raz raz N raz d ; N x raz t x N 3. Za broj tupnjeva lobode DF=N- očita e tablična vrijednot t teta za 5% razinu značajnoti. 4. Ako je izračunati t veći od tabličnog t razlika je tatitički značajna. U obrnutom lučaju razlika nije značajna. 55

56 9. Korelacije Povezanot ili aocijacija između dviju varijabli naziva e korelacija. Korelacije mogu biti pozitivne ili negativne. Definicija 9. Pozitivna korelacija nataje kad linearnom poratu rezultata na prvoj varijabli odgovara linearni porat rezultata na drugoj varijabli. Pozitivna korelacija je korelacija između viine i težine čovjeka. Definicija 9. Negativna korelacija nataje kad linearnom poratu rezultata na prvoj varijabli odgovara linearni pad rezultata na drugoj varijabli. Negativna korelacija je korelacija između broja ati treninga atletičara i potignutog vremena na 000 metara. Definicija 9.3 Ako promjena rezultata na prvoj varijabli ne odgovara niti poratu niti padu rezultata na drugoj varijabli, korelacija između tih varijabli ne potoji, tj. jednaka je nuli. Kao mjera za određivanje viine (intenziteta povezanoti) korelacije korite e koeficijenti korelacije. Ako je r = 0 nema korelacije između dvije varijable - < r < 0 korelacija je negativna 0 < r < korelacija je pozitivna 9. Pearonov koeficijent korelacije r koeficijent korelacije Primjenjuje e iključivo kad u obje varijable normalno ditribuirane. Ako u u obje korelirane varijable rezultati zadani u intervalnoj ili omjernoj kali onda e r koeficijent korelacije računa pomoću formule 56

57 r N Y ( )( Y) N N Y Y gdje u ΣY uma umnožaka pojedinih parova rezultata N broj ipitanika ili parova rezultata Σ i ΣY uma kvadriranih rezultata u i Y varijablama U lučaju da u poznate tandardne devijacije i kovarijanca između varijabli onda e Pearonov koeficijent korelacije može izračunati po formuli xy r x y gdje je σxy - kovarijanca između varijable i Y σx tandardna devijacija varijable σy - tandardna devijacija varijable Y Ako u vi rezultati u obje varijable tandardizirani (Z-vrijednoti) tada e r koeficijent korelacije može računati po formuli gdje u z x z r N zx tandardizirane vrijednoti rezultata u x varijabli zy tandardizirane vrijednoti rezultata u y varijabli y 57

58 9. Tetiranje značajnoti r koeficijenta korelacije Da bi e utanovilo je li neki r koeficijent korelacije tatitički značajan (različit od nule) potrebno je izvršiti njegovo tetiranje. To e potiže primjenom tudentovog ili t teta. Potupak tetiranja značajnoti Pearonovog ili r koeficijenta korelacije je lijedeći:. Potaviti hipoteze. Izračunati t funkciju po formuli H0 : r = 0 H : r 0 t r N r Ovako izračunati t tet uporedi e teorijkim, dobivenim iz tablica tudentove ili t ditribucije, uz broj tupnjeva lobode izračunat kao DF = N Ako je izračunati t veći od teorijkog ili tabličnog, za određenu razinu značajnoti, odbacuje e H0 hipoteza i prihvaća alternativna (H). Međutim, ako je izračunati t manji ili jednak tabličnom, ne može e odbaciti H0 hipoteza već e matra da je r = Koeficijent rang korelacije Spearmanov koeficijent korelacije Ako u varijable ordinalnog tipa nije dozvoljeno računati Pearonov (r) koeficijent korelacije kao mjeru tupnja povezanoti između varijabli. Ito tako ako e za intervalne ili omjerne varijable, koje niu normalno ditribuirane, želi izračunati koeficijent korelacije to neće biti Pearonov ili r koeficijent korelacije. U ovim lučajevima kao zamjena za r koeficijent korelacija koriti e Spearmanov koeficijent rang korelacije (ρ). Potupak računanja koeficijenta rang korelacije je: 58

59 . Rangirati rezultate u varijablama od najboljeg do najlošijeg.. Zamijeniti originalne rezultate odgovarajućim rangovima. 3. Izračunati razliku među rangovima za vakog ipitanika. 4. Sumirati kvadrate razlika među rangovima vih ipitanika. 5. Izračunati koeficijent rang korelacije po formuli 6 N N d pri čemu u: d - razlike među rangovima prve i druge varijable, N - broj ipitanika. Značajnot koeficijenta rang korelacije tetira e na iti način kao i značajnot r koeficijenta korelacije. Primjer: Na klizačkom natjecanju dva uca ocijenila u 9 klizača. Prvi udac je dao voje ocjene u rangovima, a drugi je dao voje ocjene kao broj bodova za vakog natjecatelja. Odrediti koeficijent korelacije između ovih udaca. KLIZAČ SUDAC. SUDAC. RANG. RANG. di di A 59,5 -,5,5 B C ,5 0,5 0,5 D E F G H I d = 9,5 Prvi udac dao je ocjene u rangovima, dok je drugi udac voje ocjene dao u bodovima, pa ih je potrebno rangirati. To e izvodi na lijedeći način: provizorni rangovi 59

60 3, ,5, pravi rangovi 6 N d 6 9,5 N 98 0, Koeficijent parcijalne korelacije Pretpotavimo da je na uzorku školke djece od 7 do 5 godina izmjerena viina i poobnot računanja. Izračuna li e koeficijent korelacije između ovih varijabli dobit će e vrlo vioka korelacija. Naravno, ovako dobivena korelacija nije i tvarna korelacija između promatranih varijabli. Da bi dobili tvarnu korelaciju između viine i poobnoti računanja potrebno je eliminirati utjecaj kronološke dobi djece na obje ipitivane varijable. Potupak eliminacije utjecaja neke varijable na one ipitivane naziva e parcijalizacija. Parcijalizirajući utjecaj treće varijable na dvije ipitivane, moguće je dobiti pravi koeficijent korelacije, koji e naziva koeficijent parcijalne korelacije. Parcijalna korelacija predtavlja korelaciju između dvije varijable kod kojih je iključen utjecaj treće varijable. Koeficijent parcijalne korelacije računa e prema formuli: r / 3 r r 3 3 r 3 r r 3 gdje u: r/3 - koeficijent korelacije između. i. varijable parcijalizirajući 3. r - r koeficijent korelacije između. i. varijable r3 - r koeficijent korelacije između. i 3. varijable r3 - r koeficijent korelacije između. i 3. varijable 60

61 Primjer: Izračunati koeficijent korelacije između varijable "viina" i varijable "poobnot računanja", parcijalizirajući utjecaj varijable "dob". Korelacija između "viine" i "poobnoti računanja" iznoi r=0,69, korelacija između "viine" i "dobi" iznoi r3=0,90 a korelacija između "poobnoti računanja" i "dobi" iznoi r3=0,75. r 0,69 0,90 0,75 / 3 0,90 0,75 Pravi koeficijent korelacije između varijabli "viina" i "poobnot računanja" iznoi 0,03 što je ravno nuli. 0,03 Značajnot parcijalne korelacije Kao i kod otalih koeficijenta korelacija značajnot e tetira t - tetom na lijedeći način: r t / 3 r N / 3 Teorijki t očitava e iz tablice tudentove ditribucije uz broj tupnjeva lobode određen pomoću: DF = N - 3 Primjer: Tetirati značajnot koeficijenta parcijalne korelacije između "viine" i "poobnoti računanja" uz 5% pogreške koji je odbijen kod 50 entiteta i iznoi r/3 = 0,03. 0,03 50 t 0, 0,0009 DF t teor,96 t < tteor ; ne odbacujemo H0 hipotezu. 6