Microsoft Word - 01-NASLOVNA.doc

Транскрипт

1 I. polavle UVOD 1. OPĆENITO 1.1. Mehana čvrsto deformablno tela Teora elastčnost plastčnost e dscplna oa prpada znanost o čvrstom deformablnom telu, al e sto tao do mehane ontnuuma u onom delu o se odnos na čvrsto deformablno telo s elastčnm plastčnm svostvma. Postupc formulace zadaća, što se ovde prmenuu, općent su u to mer da se mou lao prošrt na zadaće s drum svostvma držanma tela naprenuth delovanem pola vansh sla l općento vansm utecama. Zadaće o deformac, zoblčenu l promen obla, čvrsto deformablno tela te o prpadnom polu naprezana proučavau se u drum dscplnama, posebce u Otpornost materala, s btno razlčtm prstupom u matematčom modelranu. Metode otpornost materala nedostatne su za ezatno opće rešene postavlene zadaće, pa se stoa unose pretpostave o načnu deformrana oe vrede samo za posebne supove zadaća što se rešavau na elementarnm prmenenm modelma mehane ontnuuma. Stoa se područe rešena u otpornost materala zadržava na razn ednodmenzonalno modela štapa štapnh onstruca, a od toa se orst matematč aparat dferencalno nteralno računa. U prstupu teore elastčnost plastčnost orste se metode matematče fze za točno rešene zadaće. Postupa modelrana provod se na matematčm modelma prmenene teore elastčnost plastčnost, no s tom razlom što se polaz od opće rešena mehane ontnuuma, na tm modelma se rešene postže metodama matematče fze. Realno čvrsto telo e sup elementarnh čestca, prmerce moleula, atoma td. Na mrorazn zadaće o neovo rađ vladanu predmet su stražvana atomse fze fze čvrsto tela. Ao se zamrznu promene položaa elementarnh čestca, nhova međusobna udalenost od delovana

2 6 I. POGLAVLJE vansh sla, dobe se model apsolutno ruto tela o se rab u nematc dnamc ao temeln model Newtonove mehane. U mehanc čvrsto deformablno tela, promatrau se poave uzroovane vansm delovanma na marorazn, pa e stoa mehana ontnuuma zrađena na fenomensom determnstčom prstupu. Temelna marosopsa poava e deformaca ao posledca promene obla. Dale, nteralne posledce procesa na mrorazn mou se opažat ao nezavsn fenomens termodnamč parametr. Kao e deformaca čsta eometrsa tvorevna, no se prpsuu atrbut o mplcte sadrže fzalna svostva radva tela, pa se ovor o elastčno l pa plastčno deformac. Dale, elastčnost plastčnost su svostva tela sazana neovm vladanem u procesu deformrana, a u termodnamčom smslu označuu reverzblnost l pa reverzblnost procesa, što se odražava u neovom matematčom modelu. Kod vsoelastčnh vsoplastčnh tela proces deformrana ovs o vremenu. Ta svostva prpadau reološom vladanu tela. Klasčna podela mehane čvrsto deformablno tela povezana e s vladanem tela u procesu deformrana. Mehana elastčno deformablno tela nazva se stoa teora elastčnost, a analono plastčno tela teora plastčnost. Nadale, del se ona na reolou l posebce na teoru vsoelastčnost teoru vsoplastčnost. Temeln lasčn fzaln model realno čvrsto tela, opsan u druom polavlu, model materalno ontnuuma zaednč e u svm navedenm teorama, pa su stoa one posebn delov mehane ontnuuma čvrsto deformablno tela. U zadaćama mehane čvrsth deformablnh tela araterstčnh obla posebno opterećenh uvode se pretpostave suladne ponašanu modela oe su pretežto nematče narav, što znatno poednostavlue matematč model. Tav model, ao što su ploče luse, spadau u prmenene modele mehane čvrsto deformablno tela, a predmet su zučavana teore ploča, teore lusaa l uopćeno plošnh nosača. Naednostavn taav model e ednodmenzonaln model štapa. Analza mehanzama prenosa opterećena od tavh modela, te postupa modelrana u ovru rančnh slučaeva, spada u nženerso modelrane onstruca Rubne zadaće Zadaće mehane čvrsto deformablno tela spadau u rubne zadaće matematče fze. Na odabranom fzalnom modelu realno tela prrodne poave proces opsuu se ednadžbama matematče fze oe u pravlu čne sustav parcalnh dferencalnh ednadžb. Zaedno s rubnm uvetma u neom odabranom početnom trenutu vremena tvore one matematč model rubne zadaće. Dale, z

3 UVOD 7 rubnh uveta ednadžb matematče fze treba odredt sve fenomene prrodnh poava. Kod deformablno čvrsto tela su to pola naprezana deformace. Vrlo raznole poave z fze mehane opsuu se rubnm zadaćama, prmerce z aerodname, eletrodname, fze plazme, hdrodname, vantne fze, opte, teore elastčnost, teore ravtace, teore transporta td. No, razlčte fzalne mehanče poave mou mat st zaednč matematč model, pa se rubne zadaće u matematčo fzc razvrstavau prema matematčom modelu, a ne prema podretlu poave. Prmerce, vansa unutarna Drchletova Neumanova zadaća esu matematč model rubnh zadaća razlčth poava, pa se rešene edne od th zadaća može analono prment na sve ostale. Otuda prozlaz moućnost da se zadaća o torz štapa promatra ao analono rešene zadaće naprenute membrane, er obe poave opsue st matematč model Drchletove rubne zadaće. 1.. Razvta mehane ontnuuma Razvta mehane ontnuuma čvrsto deformablnoa tela započne teorom savane rede ou su postavl Jaob Bernoull ( ) Leonhard Euler ( ). Posebce e od toa značaano što postavom "prncpa presea" L. Euler uvod nfntezmaln račun ao osnovu dferencalne formulace promatranh zadaća. Od tada se teora elastčnost razva u prvo polovc devetnaesto stoleća ao važna rana matematče fze na temelnm doprnosma oe su dal Galleo Galle, E. Marotte, R. Hooe dru znanstvenc sedamnaesto osamnaesto stoleća. Posebce se u povest mehane ontnuuma, teore elastčnost, stče odna ada e R. Hooe obavo zaon "ut tenso sc vs" o e dve odne rane postavo u oblu anarama "cenosssttuv". Razvou lnearne nelnearne teore elastčnost btno doprnose Joseph Lous de Larane ( ), Lous Naver ( ), Gabrel Lamé ( ), Sméon Dens Posson ( ), te Auustn Cauchy ( ) o odne uvod poam naprezana, te poazue da e stane naprezana u oolšu toče određeno tenzorom naprezana. Posebce e značana poava oblovana rešena rubne zadaće teore elastčnost u pomacma za zotropne lnearno elastčne materale opsana Lamé-Naverovm parcalnm dferencalnm ednadžbama. U prmeneno teor elastčnost obluu se nov model postavla prpadna teora. Gustav Robert Krchhoff ( ), J. L. Larane Sophe German utemeluu teoru ploča, do Edward Houh Love ( ) osnva teoru lusaa. Znatan doprnos razvou teore plošnh nosača dae Stepan P.

4 8 I. POGLAVLJE Tmošeno. Geore Bdell Ary ( ) uvod funcu naprezana ao potencal rešena ravnnsh zadaća teore elastčnost, što znatno doprnos razvou teore vsoostenh nosača. Razvta eneretse, varacse formulace zadaća, započne radovma Wllam Rowan Hamltona ( ). Neov tzv. Hamltonov prncp vred za slučaeve s orančenma u slama vezama. Za deformrano elastčno telo postavla Peter Gustav Leeune Drchlet ( ) prncp mnmuma potencalne enere sustava. Taav prstup rešenu zadaća teore elastčnost temel se na razvou varacso računa. Neov početc nalaze se u radovma Gottfreda Wlhelma Lebntza ( ), a Karl Fredrch Gauss ( ) dae mu onačnu matematču formulacu. Daln doprnos razvou nelnearne mehane ontnuuma te formulranu prpadnh varacsh prncpa dal su u svom radovma E. Trefftz R. Kappus. Kao posebn do mehane ontnuuma razva se teora plastčnost u oo e obuhvaćeno ponašane tela s plastčnm deformacama. Razvou te teore posebce su doprnel Tresca, R. von Mses, M. T. Huber, H. Hency, W. Praer, R. Hll D. C. Drucer. Tao odne postavla Tresca rter plastčno tečena poznat ao hpoteza posmčnh naprezana, a prva teorsa stražvana ednadžb onsttuce plastčnh materala provode De Sant Venant Levy (1870). Huber odne von Mses 191. odne svom radovma uvode eneretsu formulacu zadaća teore plastčnost što uzroue nezn brz napreda. Razvo teore analtčh funca omplesne varable u prvo polovc dvadeseto stoleća znatno e utecao na sustavno analtčo stražvane temelnh ravnnsh zadaća teore elastčnost. Prmenom onformno preslavana rešene su opće zadaće oncentrace naprezana puotnsh stana, što e omoućlo razvta mehane loma. U navedenom područu posebn doprnos dal su P. F. Papovtsch, H. Neuber, H. M. Westeraard, G. V. Kolosov, N. I. Mushelšvl G. N. Savn. U sto vreme A. E. Green W. Zerna uvode u mehanu ontnuuma tenzorsu analzu, što potče razvta posebno prstupa mehanc o se oleda u dscpln pod nazvom raconalna mehana. Posebce su značan doprnos u tom poledu dal Trusdell, Gurtn, Noll, Rvln, Green, Günther, Nahd te vše druh stražvača nove doba. Razvtom numerčh metoda, posebce metode onačnh elemenata, ao u e nazvao Clouh odne, usporedo s olemom espanzom računalstva, započne doba sveole realzace složenh teorsh rešena mehane ontnuuma. Osm toa, prmena računala omoućla e tvorbu složenh fzalnh modela što e uzroovalao neslućen razvta novh rana mehane, prmerce mehane loma. Značan doprnos u prošrenu nženerse prmene numerčh metoda dal su Arrys, Gallaer, Zenewcz te Oden o e metodu onačnh elemenata uveo u područe nelnarne analze.

5 UVOD 9 2. ZAPIS 2.1. Indesn nvarantn zaps U Descartesovu l Kartezevu pravoutnom oordnatnom sustavu orst se pretežto ndesna notaca velčna tenzorsh vetorsh pola, a od toa se orst Enstenova onvenca o zbraanu. Prmerce, pole ubrzana oe se označava sa a l a ma omponente a1, a2, a, te se u odabranom oordnatnom sustavu može označt s a, =12,,. Isto tao se tenzor naprezana T opsue u ndesno notac sa σ,, =12,,. Prv obl zapsa e tzv. nvarantn zaps er ne azue nšta o zboru oordnatno sustava te predstavla ops fzalnh l eometrsh poava nhovh međusobnh odnosa, do se u druom oblu zapsa prepoznae sla th velčna u odabranom oordnatnom sustavu. Prema Enstenovom pravlu se pr zbraanu zostavla zna zbroa Σ u ednostrum všestrum zbroevma. Prmerce, ednostru besonačn zbro napsat će se u oblu Φ= A n Φ n= 1 n, (1.1) Φ = A Φ, n= 1,2,, (1.2) n n de e n nem ndes. Preslavane vetorso pola x na pole b b= Ax (1.) oe obavla lnearn operator A opsano e u pravoutnom oordnatnom sustavu ednadžbama b1 = A11x1+ A12x2 + A1x b2 = A21x1+ A22x2 + A2x, (1.4) b = A1x1+ A2x2 + Ax

6 10 I. POGLAVLJE što se može prazat općm zrazom za -tu ednadžbu, omponentu b vetora b, u oblu zbroa b = A x = 1. (1.5) Prema Enstenovom pravlu spustt će se zna zbroa napsat rato b = A x,, = 1,2,. (1.6) Indes u ornem zrazu zove se slobodn ndes, a suladno značenu u sustavu (1.) ma ednae vrednost u svm članovma leve desne strane -te ednaost, do se zbraane obavla po nemom ndesu. Bro slobodnh ndesa ne orančen. Prmerce, desna strana ednaost (1.5) predstavla matematč obet od tr člana označen slobodnm ndesom =12,,, do velčna B = A n n,,,, l= 12,, (1.7) l l predstavla matematč obet od devet članova označen s dva slobodna ndesa, =12.,, Desna strana ednaost (1.6) e dvostru zbro o s lasčnm oznaama ma obl B = A n n,, = 12,,. (1.8) l l = 1 l= Zaps u osoutnom oordnatnom sustavu Za osoutnu vetorsu bazu bra se reper {,, } e e e, (1.9) 1 2 de su vetor e neomplanarn vetor o nsu ednčn uzaamno ortoonaln vetor. Volumen razapet baznm vetorma određen e zrazom ( ) V = e e e, (1.10) 1 2

7 UVOD 11 de se orste parne permutace uz uvet da e V> 0. Odabrana vetorsa baza se nazva osnovna l ovarantna baza. Svao osnovno baz može se prdružt recpročna l ontravarantna baza oa se nazva oš dualnom bazom, a određena e reperom { 1, 2, } e e e, (1.11) od tru vetora o su određen vetorma osnovne baze zrazma e 1 = e, 2 = 1, 2 e e e e e = e1 e 2. (1.12) V V V Međusobn odnos vetora osnovne recpročne baze određen e postavom (1.12), 0, e e = =, (1.1) 1, = de e, = 1,2,. Salarn produt vetora u osnovno recpročno baz označuu se velčnama e e =, (1.14) e e =. Očledno e da recpročna baza od recpročne postae osnovna, a volumen nad recpročnom bazom određen e odnosom R V = e ( e e ) =. (1.15) V sla Sva vetor a može se prazat u obe baze. U osnovno baz neova e a e, (1.16) = a de su a ontravarantne omponente vetora a, do e u recpročno baz prazan zrazom a= a e, (1.17)

8 12 I. POGLAVLJE u oem su a ovarantne oordnate vetora a. Kontravarantne ovarantne oordnate određene su salarnm produtma vetora odovaraućh baznh vetora prema zrazma ae = ae e = a = a, (1.18) ae = a e e = a = a, (1.19) de e = 1, 2,. Međusobn odnos ontravarantnh ovarantnh omponent vetora su a a a =, (1.20) = a, (1.21) de su modul baznh vetora određen zrazma e = ; e =. (1.22) Fzalne omponente vetora a esu neove proece na bazne vetore e l određene su odnosma e, a () a () = ; a =. (1.2) a Rastav vetora a u osnovnom dualnom osoutnom oordnatnom sustavu prazan e na slc 1.1. Salarn produt dvau vetora a b može se prazat u osnovnom dualnom sustavu, no sto tao se ta umnoža može prazat zbroem umnožaa ontravarantnh ovarantnh omponent. Tao se u prvom slučau prazue zrazma ab = ab = ab, (1.25)

9 UVOD 1 Sla 1.1. l u mešovtom prazu ao ab = ab = ab. (1.26) Kvadrat vetora a e nvarantna vadratna forma, te se prema ornm zrazma može napsat u oblu a = a a = aa = aa. (1.27) 2 Iz toa zlaz da su velčne oefcent vadratne forme, te stovremeno element smetrčno tenzora II. reda. Koefcent metrčo tenzora određuu utove zmeđu baznh vetora, o se mou odredt z zraza cosγ =, (1.28) cosγ =. (1.29) Nadale, buduć da vred odnos =, (1.0) to su matrce metrčh tenzora nverzne, l

10 14 I. POGLAVLJE 1 =, (1.1) te stoa vred temeln odnos a= a, (1.2) što zorno uazue na ulou metrčo tenzora u osoutnom sustavu. Ao se determnanta metrčo tenzora označ s, onda e razapet volumen određen zrazom = det, (1.) V =, (1.4) a element nverzne matrce mou se odredt pomoću ofatora A elemenata prema A =. (1.5) Vetors produt dvau vetora a b u ovarantnm ontravarantnm oordnatama prazue se u oblu = ab a b e e, (1.6) a b= abe e. (1.7) Ao se u orne zraze uvrste vrednost za vetorse produte baznh vetora, dobu se poodn zraz o lase e e e e e e = det a1 a2 a det a a a = 1 2 b1 b2 b b b b a b. (1.8)

11 UVOD 15 baze Transformaca osoutno sustava zadana e zborom nove ovarantne {,, } e e e, (1.9) 1 2 oa e sa starom bazom povezana odnosom e = α e ; α = e e, (1.40) pr čemu e det α 0. Obrnuto, vrede odnos e = α e, α = e e, (1.41) a z odnosa e = ααe mora bt spuneno 0, αα = δ =. (1.42) 1, = Za ontravarantnu bazu vred odnos obrnuto e e ee e, (1.4) = = α e e e e. (1.44) = = α Transformaca ovarantnh omponent vetora a provod se u sladu s ornm odnosma, tao da vred de e a= ae = ae α = a e, (1.45) a = α a. (1.46) Analonm se postupom dobu transformrane ontravarantne omponente vetora, dale vred de e a= ae = aα e = a e, (1.47) a = α a. (1.48)

12 16 I. POGLAVLJE Za salarn produt dvau vetora a b vred odnos ab = =. (1.49) ab a b Pretvorba omponenata metrčo tenzora zlaz z nhove defnce prema zrazu = e e = α e α e = α α, (1.50) l l l l = αα. (1.51) l l Isto tao vred obrnuto l l = αα ; = αα. (1.52) l l Transformaca omponent tenzora A druo reda provod se općento prema zrazma o vrede za omponente metrčo tenzora, dale A = αα A, (1.5) l l A = αα A. (1.54) l l Tenzor se druo reda može u osoutnom sustavu prazat na četr načna. Posledca e to čnence da vetor osnovne recpročne baze tvore četr vrste dada - ee, ee, ee, ee, te se prpadn tenzor može prazat ontravarantnm A, ovarantnm A, ontra-ovarantnm A, o-ontravarantnm omponentama. Tenzor vše reda mau n omponent de e n uupn bro ovarantnh ontravarantnh ndesa. Tenzor sto reda sth svostava prpadau sto las. Tao e tenzor A dva puta ontravarantan te tr puta lm ovarantan. Pr transformac oordnatno sustava neove se omponente vladau po zaonu n p r st lm l m s t npr A A = ααααα A. (1.55) Za navedene lase tenzora vrede opća pravla. Tao su dva tenzora ednaa ao su m ednae sve odovarauće omponente, a zbraat se mou samo tenzor sto reda sth svostava. Nadale se orst zamena ndesa pr operacama smetrrana alternace, no od toa se ne mou zamenvat orn don ndes. Osm toa se nad tenzorom opće obla može provest operaca sužena l ontrace.

13 UVOD Zaps u rvocrtnom oordnatnom sustavu Nea e zadana vetorsa baza {,, } toče M određen e s radvetorom e e e odabrano shodšte O. Položa 1 2 r = x e, (1.56) de e = 1, 2,. Kod afne transformace nove oordnate x određene su zrazma x = α x, (1.57) pr čemu e spuneno det α 0. Vetor novo repera određen su odnosma e = α 1 2 Preslavane se uopćava uvođenem funca (,, ) ( 1, 2, ) e. (1.58) f x x x, tao da e x = f x x x ; = 1,2,, (1.59) 1 2 uz uvet da posto nverzno ednoznačno preslavane ( x, x, x ) određue velčne 1 2 (,, ) x x x x ϕ oe = ϕ. (1.60) Velčne x nazvau se rvocrtnm l rvulnm oordnatama na Ω. Za oba preslavana vred det 0 ; det 0 x x. (1.61) No ao e tao e = δ, (1.62)

14 18 I. POGLAVLJE = = δ, (1.6), matrce preslavana su nverzne. Položa toče M može se prema (1.56) odredt radvetorom r = ϕ e + ϕ e + ϕ e. (1.64) Dervrauć po x dobu se tr vetora 1 2 r = e 1 + e 2 + e (1.65) oa su međusobno nezavsna zbo reularno preslavana, te h se stoa odabre za vetorsu bazu u toč M. Loaln reper čn shodšte M vetorsa troa,, pr čemu e uvedena oznaa { } 1 2 r =, = 1,2,. (1.66) Bazn vetor su tanencaln na oordnatne lne x što nastau presecma oordnatnh ploha. Nadale se prelaz na uobčaene oznae oordnata 1 2 x, x, x s bazom { 1, 2, }. Novom transformacom rvocrtnh oordnata dobe se nova loalna vetorsa baza za ou u svao toč M vred za transformacu sustava u toč M dobe se =, (1.67) α =. (1.68) Za besonačno mal oolš toče vred r r = =. (1.69) x d dx dx

15 UVOD 19 Analono vred za promenu baznh vetora oa se može prazat zrazma a ao se uvede oznaa r d dx dx 2 = =, (1.70) 2 r r =, (1.71) x x promena baznh vetora bt će rato zapsana u oblu d = dx r. (1.72) Nadale, vetor r mou se rastavt u loalnom reperu, te se dobe =Γ r, (1.7) pr čemu su oefcent rastava zbo r = r sto tao smetrčn Γ =Γ, (1.74) te funce položaa toče M, dale 1 2 (,, ) Γ =Γ. (1.75) x x x Konačno se prrast bazno vetora, naon provedene analze ponašana u besonačno malom oolšu toče, može prazat u oblu d =Γ dx. (1.76) Iz odnosa (1.67) može se zvest zraz za transformacu pola oefcenata rastava o las Koefcent prmerce 2 x Γ = + Γ. (1.77) Γ označuu se ponead u lteratur na dru načn uporabom zarada,

16 20 I. POGLAVLJE Γ = Metra se u rvocrtnom sustavu uvod s velčnama. (1.78) = =, (1.79) de e omponenta tenzorso pola Prelazom na nove rvocrtne oordnate menau se po zaonu 1 2 (,, ) = x x x. (1.80) = 1 2 omponente metrčo tenzora x, x, x. (1.81) Za recpročn loaln sustav u toč M s vetorsom bazom { 1, 2, }, (1.82) vrede sv rane prazan opć odnos o povezuu osnovn recpročn sustav. Polazeć od ednaost (1.7) oa se pomnož sa l, dale dobe se Ao se uvede oznaa može se odnos (1.84) napsat u oblu r = Γ, (1.8) l r =Γ. (1.84) l l [ l] r =Γ =, (1.85) l l,, Γ =Γ. (1.86) l, l Nadale, dervranem ednaost = po zamenom tr ednadžbe prema (1.85) oe lase l l m x, dobu se clčom

17 UVOD 21 l Γ lm, +Γ lm, = m lm Γ lm, +Γ ml, = m Γ ml, +Γ lm, = l. (1.87) Oduzme l se treća ednadžba od zbroa prvh dvu, dobe se 1 Γ = + 2 l lm m lm, m l. (1.88) Iz zraza (1.86) sled onačno l Γ = Γ l,, (1.89) 1 l l l Γ = + 2 l. (1.90) Velčne Γ, Γ nazvau se Chrstoffelovm smbolma prve drue vrste. Dervace omponent vetora a a, a, (1.91) nemau tenzors arater. Stoa se uvod ovarantno l apsolutno dervrane vetora tenzora. Dervaca vetora a ao složeno zraza e a a = a a = + Γ, (1.92) a a = +Γ a. (1.9)

18 22 I. POGLAVLJE Na st načn se dobe dervaca s ovarantnm omponentama oa las a a = Γ a. (1.94) Operace na omponentama vetora a = +Γ = a a a, (1.95) a a = Γ a = a, (1.96) esu ovarantne l apsolutne dervace ontravarantnh ovarantnh omponent vetora a, te predstavlau ontravarantne ovarantne omponente vetora a = a = a. (1.97) Kovarantna dervaca prošrue se na tenzor blo oe reda. Prmerce, za tenzor druo reda A vrede odnos de e Vred taođer de e operator A l = A l + A ( Γ l +Γ l ) = (1.98) A m m = +Γ ml A +Γml A, l A = l la, (1.99) A = +Γ +Γ m m la l lma lma. (1.100) A = l la, (1.101)

19 UVOD 2 te onačno s operatorom A A = Γ A Γ A m m l l l m l m, (1.102) A = l la, (1.10) A = Γ Γ m m m la l lam la Rezultat dferencrana salarno pola ϕ ϕ( x 1, x 2, x ) u sledećm oblcma: ϕ Iz ovh zraza zlaz da e {,, }, te e 1 2 dϕ = dx = ϕ d = ϕ dx. (1.104) = može se prazat r. (1.105) ϕ ovarantna omponenta vetora ϕ u baz ϕ ϕ = radϕ =. (1.106) Slčno se određue totaln dferencal vetora a, dale a da a= = r = r a= a, (1.107) dr d dx d d dx de se tenzor a prazue dadno u oblu a a=. (1.108) Iz pravla dferencrana sled praz operatora u oblu =. (1.109) Dverenca vetora a zlaz z prethodnh rezultata, te se može prazat u oblcma

20 24 I. POGLAVLJE dva= a= a= a = a = a = +Γa. (1.110) Ova zraz edna e trau zraza (1.95). No ao vred odnos 1 Γ = 2, (1.111) dobe se zraz za dverencu vetora a u oblu 1 a dva =. (1.112) Rotor vetora a može se zrazt u oblu a l rot a= a= a = є Γ al, (1.11) l na dru načn 1 a rot a= e. (1.114) l Gradent vetora a može se odredt prema zrazma a a a= = a = Γ a, (1.115) a = +Γ a a. (1.116) Tenzor deformace defnra se zrazom 1 T 1 a a def ( ) a= a+ a = + Γ a. (1.117) 2 2

21 UVOD 25 Dverenca tenzora A druo reda određena e zrazom l l dv A= A= A = A = l l l A l l = l +Γ A +Γ A (1.118) Može se poazat da slčno zrazu za dva orn zraz poprma obl l A 1 l dv A= l + A + A. (1.119) Delovane Laplaceovo operatora na salar ψ dae se zrazma ψ 2 2 ψ ψ ψ = ψ = = Γ, (1.120) l sraćenm zapsom ψ = Γ 2 2 ψ ψ. (1.121) Laplaceova operaca nad vetorom a prazue se zrazma a 2 l l a= a= l a = Γ l a, (1.122) a a x x x x x 2 2 l a a a= Γ l l Γ l Γ l a Γ Γ Γ Γ Γ Γ m m l m m l m l. (1.12) Posebn sluča rvocrtnh oordnata su ortoonalne rvocrtne oordnate. Metrč tenzor postae daonalan er e

22 26 I. POGLAVLJE 0, = (1.124) 2 H, =. Velčne H nazvau se Laméovm oefcentma. Buduć da e vrednost determnante = det = H1H2H, (1.125) lao se odrede vetor recpročne baze prema zrazu z oe zlaz 1 1 = =, (1.126) 2 H H 1 =. (1.127) Prelaz na osnovnu bazu s ednčnm baznm vetorma () određen e Laméovm oefcentma, dale 1 = = H () H. (1.128) Taozvane fzče omponente vetora a, oe se označuu s a () određuu se z odnosa a () a = ; a = Ha(). (1.129) H Slčno se određuu fzče omponente tenzora prema zrazma A ( ) = ; = ( ), (1.10) A A H H A HH H H A = A ; A = A H H Kontravarantne omponente metrčo tenzora određene su velčnama ( ) ( ). (1.11)

23 UVOD 27 0, = 1 2, =, H (1.12) oe određuu ovarantne omponente sto tenzora te Chrstoffelove smbole. Tao e prmerce, za sluča a za sluča = Γ, = [, ] = 0, Γ = = 0, (1.1) H H H Γ, = H, Γ = 2 x H x, (1.14) H 1 H Γ, = H, Γ = x H x pr čemu se na desno stran ednaost sumra po ndesu. U ortoonalnm rvocrtnm oordnatama se ub općentost tenzorso računa, te se stoa zraz za poedne operace zvode z odnosa od prelasa z sustava u sustav. U prmen se občno prelaz z Descartesovo oordnatno sustava u loaln rvocrtn sustav, načešće ortoonalan. Krvocrtne oordnate označuu se ,, ξ, ξ, ξ, no ponead se za načešće oznaama ( q q q ), l pa troom ( ) ontravarantne oordnate stavla don ndes. Promatra se, ao prmer, rvocrtn oordnatn sustav vezan na polazn Descartesov sustav u oem će se zadržat ontravarantne oznae oordnata. Za ortonormranu bazu { e1, e2, e } vrede odnos te de e očledno x x e e = δ, (1.15) r e, (1.16) = x. Za bazne vetore vred r e = = e = δ e = e (1.17)

24 28 I. POGLAVLJE Sla 1.2. Uvede l se reularno preslavane 1 2 (,, ) x x ξ ξ ξ = (1.18) de e = 1, 2,, s odovaraućm nverznm preslavanem pr čemu su spunen uvet ξ ( x 1, x 2, x ) = ξ, (1.19) ξ det 0, det 0 ξ, (1.140) mou se odredt ovarantn bazn vetor rvocrtno sustava z zraza r r = = e, ξ ξ (1.141) ξ e =. x (1.142) Vetor recpročne baze određuu se z zraza

25 UVOD 29 ξ = e, x (1.14) e =, ξ (1.144) pr čemu e e = e. Dale e mouće odredt elemente metrčo tenzora te Chrstoffelove oefcente rastava. U prmeru za lustracu provod se postupa za clndrčne oordnate x = ξ cosξ x = ξ snξ, (1.145) x = ξ 1 2 l ao se oš označue ξ = r, ξ = φ ξ = z. Bazn vetor rvocrtno sustava određuu se z odnosa (1.141) 1 = e1cosφ+ e2snφ 2 = e1rsnφ + e2rcosφ = e (1.146) a recpročn vetor z zraza (1.14) 1 1 = ; 2 =, 1 = 2 2. (1.147) r Matrce metrčo tenzora su r 0 = 0 0 1, (1.148)

26 0 I. POGLAVLJE = r (1.149) Element traa matrce (1.148) esu uedno vadrat Laméovh oefcenata, a sustav e očledno ortoonaln rvocrtn sustav. U nastavu se lao odrede Crstoffelov smbol, od oh se navode on razlčt od nule. Tao e: r Γ 221 = ; Γ 122 =Γ 212 = r ; r. (1.150) Γ = Γ =Γ = r Izvedene velčne rvocrto sustava dostatne su za prevođene u zabran rvocrtn oordnatn sustav svh pola nhovh odnosa o su defnran u Descartesovom oordnatnom sustavu.