Microsoft Word - Kruno Kantoci-NDU.doc

Транскрипт

1 Zavod za robotku automatzacju prozvodnh sustava Katedra za strojarsku automatku Semnarsk rad z kolegja NEZRAZTO DGTALNO UPRAVLJANJE Snteza P regulatora estmatora varjabl stanja elektromotornog pogona s elastčnm prjenosnm mehanzmom MEHROB

2 SADRŽAJ. SAŽETAK.... DNAMČK MODEL SUSTAVA Vremensk kontnuran model sustava Vremensk dskretn model sustava SNTEZA REGULACJSKOG SUSTAVA Optmum dvostrukog odnosa Snteza vremensk dskretnog regulatora stanja Snteza vremensk dskretnog estmatora stanja REZULTAT SMULACJA Režm malh sgnala Režm velkh sgnala ZAKLJUČAK PRLOG MATLAB skrpte Prelazak s kontnuranog na vremensk dskretn model procesa Snteza P regulatora prmjenom Ackermannove formule Snteza P regulatora estmatora stanja prmjenom Ackermannove formule Smulnk model Model procesa Regulacjsk krug s P regulatorom varjabl stanja Regulacjsk krug s P regulatorom varjabl stanja estmatorom varjabl stanja punog reda Model estmatora stanja punog reda LTERATURA... 3

3 . SAŽETAK U ovom radu bt će opsano projektranje P regulatora varjabl stanja punog reda, tj. regulatora stanja prošrenog ntegrrajućm djelovanjem po sgnalu regulacjskog odstupanja, elektromotornog pogona s elastčnom transmsjom, te prethodno realzranm podređenm regulacjskm krugom struje armature motora. Zbog pretpostavke da je uz struju armature jedno dostupno mjerenje brzne vrtnje tereta, potrebno je realzrat estmator varjabl stanja punog reda bez estmacje poremećajne velčne, tj. momenta tereta. Podešavanje regulatora estmatora varjabl stanja provedeno je prmjenjujuć Ackermanovu formulu uz zbor karakterstčnog polnoma prjenosne funkcje zatvorenog kruga prema krterju optmuma dvostrukog odnosa za dva razlčta znosa ekvvalentne vremenske konstante regulacjskog kruga T e, dok je ekvvalentna vremenska konstanta estmatora brana u rasponu T T 6 T /. Dobven regulator estmator varjabl eo e / e stanja, čja je snteza u potpunost provedena u vremensk dskretnom području uz vrjeme uzorkovanja T ms, smulacjama su sptan u programskm paketma MATLAB SMULNK, s obzrom na skokovtu promjenu referentne vrjednost brzne vrtnje za režm malh velkh sgnala, skokovtu promjenu momenta tereta, te šum mjerenja brzne vrtnje motora uz ampltudu šuma mjerenja kvantzacje sgnala pozcje od ± mpulsa. Parametr dvomasenog mehančkog sustava s elastčnom transmsjom te nkrementalnog davača kao senzora brzne dan su kako sljed: K, T e ms, K m Nm / A, e J kgm J, c 5Nm / rad, d,nms / rad, N 48mp / okr

4 . DNAMČK MODEL SUSTAVA Dnamčk model sustava elektromotornog pogona koj se sastoj od mehančkog sustava s dvje koncentrrane zamašne mase elastčne veze, te već prethodno realzranog podređenog regulacjskog kruga struje armature moguće je prkazat slkom. Rad jednostavnost sustava, uvode se sljedeće pretpostavke: Ostvarena je brza regulacjska petlja struje elektromotora upravljanog frekvencjskm pretvaračem Sve mase sustava su koncentrrane u rotrajućm masama na stran motora tereta s momentma nercje J J Element prjenosnog mehanzma su bez mase zračnost te posjeduju elastčnost određenu konstantama krutost c prgušenja d Sve promatrane velčne svedene su na osovnu motora (a) (b) Slka. Elektromotorn pogon s elastčnm prjenosnm mehanzmom: prncpjelna shema (a) blokovsk djagram (b) Dnamka elektromotora frekvencjskog pretvarača može se pojednostavljeno opsat prjenosnom funkcjom proporconalnog člana prvog reda: G e ( s) a ar ( s) K ( s) + T e e ( s) (.) 3

5 Zbog postupka uzorkovanja te utjecaja ekstrapolatora nultog reda, ekvvalentnoj vremenskoj konstant motora potrebno je prdružt dvje paraztske vremenske konstante od T /. Kako je K, dobvamo: e G ( s) (.) + ( T + T ) s + T s e.. Vremensk kontnuran model sustava Lnearan vremensk-nvarjantan kontnuran sustav (LT sustav) moguće je prkazat sljedećm blok-djagramom: Slka. Blok djagram LT sustava Blok djagram se može opsat matrčnom formom kako prkazuju jednadžbe (.3) (.4), koje opsuju otvoren sustav upravljanja. gdje je: () t () t () t () t & ( ) x y ( t) Cx( t) + Du( t) x ( t) Ax( t) + Bu( t) x& - vektor dervacja stanja dmenzje n x - vektor stanja dmenzje n u - vektor ulaza dmenzje m y - vektor zlaza dmenzje p A () t - matrca koefcjenata dmenzje n n B () t - matrca ulaza dmenzje n m C () t - matrca zlaza dmenzje p n D () t - matrca prjenosa dmenzje p m x (.3) (.4) n - broj varjabl stanja, m - broj ulaza, p - broj zlaza 4

6 Uz a, ω, α ω kao varjable stanja sustava (Slka ), dobvamo matematčk model u prostoru stanja: K e & a + ar (.5) TΣ TΣ ω& ( m m) (.6) J & α ω ω (.7) Ako u obzr uzmemo da je ω& ( m m ) (.8) J ( ) m c α + d ω ω (.9) m K m a (.) te uz zanemarenje djelovanja momenta tereta m koj predstavlja nemodelran poremećaj, dobvamo SSO sustav sa referencom struje ( ar ) kao ulazom, te brznom vrtnje na stran tereta ( ω ) kao zlazom: K e & a + ar (.) TΣ TΣ d c d ω K & m + (.) ω α ω J J J J & α ω ω (.3) d c d & ω + (.4) ω α ω J J J Spomenuto zanemarenje ma smsla jer će u zatvorenom regulacjskom krugu regulator kompenzrat utjecaj nemodelranog momenta tereta m kao poremećajnu velčnu. 5

7 6 Dobven vremensk-kontnuran model procesa može se zapsat u oblku sljedećh matrčnh jednadžb: { ar T e K a J d J c J d J d J c J d J m K T a B x A x + Σ Σ & & & & & & ω α ω ω α ω (.5) [ ] x C ω α ω ω a (.6) Ako se u zraze (.5) (.6) uvrste parametr sustava dan u prvom odlomku, dobvamo sljedeće rezultate: A ; 5 B ; [ ] C (.7) MATLAB funkcjom eg.m dobvamo polove vremensk kontnuranog modela sustava, koj su ujedno svojstvene vrjednost matrce A λ s s λ s λ λ s Dobven vremensk-kontnuran model procesa potrebno je transformrat u ekvvalentn vremensk-dskretn model. (.8)

8 .. Vremensk dskretn model sustava Vremensk-nvarjantan dskretn sustav moguće je prkazat sljedećm blok djagramom: Slka 3. Blok djagram vremensk dskretnog sustava Blok djagram vremensk dskretnog sustava prkazan na slc 3 moguće je opsat matrčnm zrazma (.9) (.): ( k ) Φx( k) Γu( k) x + + (.9) ( k) Cx( k) Du( k) y + (.) gdje su x(k) vektor stanja, y(k) vektor zlaza te u(k) vektor upravljanja. Matrce Φ Γ ovsne su o perodu uzorkovanja T, a dmenzje m odgovaraju dmenzjama matrca A B. Vrjednost pojednh parametara opsanog modela mogu se odredt na sljedeć načn: AT ( T ) e Φ (.) Γ ( ) A ( A T T e )B (.) gdje je pretpostavljen ZOH na ulazu procesa. Rješenje zraza za sstemsku matrcu Φ ( T ) matrcu ulaza Γ ( T ) nje uvjek moguće pronać u smbolčkom oblku pa se one često računaju numerčkm putem, npr. prmjenom MATLAB funkcje expm.m, naredbe [Ph,Gamma,Cd,Dd]cdm(A,B,C,D,T,'zoh') l razvojem u Tylorov red matrčne eksponencjalne funkcje: Φ n n 3 A T A T A T n!! 3! AT ( T ) e + AT + + n 3 (.3) 7

9 Γ n A T n! A T 3! AT ( T ) A ( e ) B A B BT n n AT! (.4) Uspoređujuć dobvene vrjednost za sva tr slučaja, uz odabr vremenske konstante uzorkovanja Tms, vdljvo je da prva dva postupka daju sto rješenje, a da b prmjena Tylorovog reda odgovarala stom tom rezultatu, blo je potrebno prmjent aproksmacju 7. reda Φ ; ,3935,44 Γ (.5) 5,939 4,593 MATLAB funkcjom eg.m dobvamo polove vremensk dskretnog modela sustava, koj su ujedno svojstvene vrjednost matrce Φ : z λ z λ,965, z λ,965, (.6) z 4 λ4,665 8

10 3. SNTEZA REGULACJSKOG SUSTAVA U ovom poglavlju bt razrađen postupak snteze regulacjskog sustava temeljen na optmumu dvostrukog odnosa. Postupkom snteze određuju se struktura parametr regulatora te estmatora varjabl stanja kojma se ostvaruje što kvaltetnje vladanje sljednog sustava s obzrom na referentnu poremećajnu velčnu. 3.. Optmum dvostrukog odnosa Clj optmuma dvostrukog odnosa je pronalaženje analtčke veze zmeđu koefcjenata karakterstčnog polnoma lnearnog regulacjskog sustava prozvoljnog reda, takve da sustav ma optmalno prgušenje koje odgovara prgušenju ζ / osclatorskog člana drugog reda. Kao prmjer za zvod bt će razmatran lnearan, vremensk-nvarjantan, zatvoren regulacjsk SSO sustav. Opć oblk prjenosne funkcje takvog sustava opsan je zrazom (3.) G () s y () s n n () s A() s a s + a s + + a s yr n n + (3.) Struktura sustava opsanog prjenosnom funkcjom (3.) može se prema slc 4 predočt blokovskom shemom s n kaskadno spregnuth ntegralnh članova. Koefcjent prjenosne funkcje (3.) uvedene vremenske konstante T,...,Tn međusobno su povezan općm zrazom a T j j T T T ;,..., n (3.) Slka 4. Blok shema kaskadne strukture lnearnog regulacjskog sustava 9

11 Odnosom vremenskh konstant susjednh ntegralnh članova defnran su bezdmenzonaln karakterstčn odnos T a a D ;,..., n (3.3) T a Prjenosne funkcje otvorenog zatvorenog kruga -te kaskade poprmaju redom oblke: Go () s ;,..., n (3.4) T s () s () s ( T + s ) + ( s) () s T T s + T y Go Gc () s (3.5) y + G R o + s + Preuređenjem (3.6), uzmajuć u obzr (3.3), te zjednačavanjem s najčešće korštenm oblkom osclacjskog člana. reda dobvamo G c () s D s + T s + T ζ + T o s + + Tos + (3.6) odakle sljed veza karakterstčnog odnosa D relatvnog koefcjenta prgušenja ζ : D (3.7) 4 ζ Kako je ranje spomenuto da je vrjednost koefcjenta prgušenja ζ / optmalno, uvrštavanjem u (3.7) dobvamo da je D.5 (3.8) Vrjednost bezdmenzonalnog člana dana sa (3.8) daje kvazperodsk oblk prjelazne funkcje osclacjskog člana.

12 Karakterstčn polnom A () s sustava (3.) može se prmjenom (3.3) zapsat u oblku A n n () s T T T s + T T T s + + T T s + T + n D D n n n n s D T s D D D D T T s n n n n n n n e + n n e + + e + e + T s s (3.9) pr čemu T e označava vremensku konstantu sustava. 3.. Snteza vremensk dskretnog regulatora stanja U ovom će poglavlju bt prkazano projektranje regulatora stanja. Podešavanje parametara regulatora provest će se postupkom zravnog podešavanja položaja polova zatvorenog regulacjskog kruga prmjenom Ackermannove formule uz zbor karakterstčnog polnoma prjenosne funkcje zatvorenog kruga prmjenom optmuma dvostrukog odnosa. Razmatrat će se lnearn, vremensk-nvarjantan, dskretn sustav čja je dnamka zadana u oblku sljedeće matrčne dferencjalne jednadžbe: ( k ) Φx( k) Γu( k) x + + (3.) Ako je vektor stanja u potpunost mjerljv, tada je moguće zatvort regulacjsku petlju po vektoru stanja, tako da dobvamo zraz za upravljačk sgnal, tj. zlaz regulatora stanja kako sljed: u ( k) Kx ( k) + w( k) (3.) gdje je K matrca konstantnh pojačanja a w(k) referentn vektor vođenja. Kombnranjem jednadžb (3.) (3.) dobvamo ( k ) [ Φ ΓK] x( k) Γw( k) x + + (3.) Snteza regulatora metodom podešavanja polova svod se na određvanje matrce pojačanja K, tako da bude zadovoljen zraz (3.3). d ( z) det[ z Φ + ΓK] ( z λ ) n (3.3)

13 U jednadžb (3.3) λ predstavljaju željene korjene sustava. Da b dobl asmptotsk stablan sustav, svojstvene vrjednost se braju takve da je zadovoljeno: λ <,,..., n (3.4) Regulator stanja defnran matrcom K je proporconalnog tpa. Njegov najveć nedostatak je taj da sustav mora bt astatčan, te da ne smju postojat nemodelran poremećaj, ako želmo osgurat statčku točnost. Da b se odstranlo trajno regulacjsko odstupanje u staconarnom režmu rada, regulatoru se dodaje ntegrrajuće djelovanje. Slka 5. prkazuje sustav sa P regulatorom stanja elektromotornog pogona s elastčnom transmsjom. Slka 5. Blok djagram regulacjskog SSO sustava S P regulatorom varjabl stanja z blokovskog djagrama na slc 5 sljed da je: u ε ( ) ω ( k) ω ( k) k R (3.5) ( k) Cx( k) ω (3.6) ( k ) u + ε ( k) + (3.7) Te konačno uvrštavanjem jednadžb (3.5) (3.6) u (3.7) dobvamo: u ( k ) u ( k) + ( k) Cx( k) + R ω (3.8) Varjabla stanja u predstavlja numerčko ntegrranje sgnala regulacjske pogreške ( k) ε. Ova varjabla stanja se kaskadra zvornom modelu procesa te se tme dobje prošren model procesa u prostoru stanja, gdje je, nul matrca/vektor:

14 ( k + ) ( k + ) ( k + ) Φ ( k ) ( k) ( k) x Φ x Γ + u k u u C { x x ( k ) Γ ω ( ) + ( k) R (3.9) Upravljačk sgnal, tj. zlaz regulatora stanja u tada glas: u x 443 u ( k) Kx( k) + K u [ K K ] K P ( k) ( ) k (3.) Za modfcran sustav regulacje, pojačanja po varjablama stanja pojačavanje ntegrrajućeg elementa dobju se na sljedeć načn: K P n [ K K ] [ ][ Γ Γ Φ Γ Φ ] p( Φ ) (3.) gdje je: p n ( Φ ) a + a Φ + a Φ + + a Φ n (3.) zraz (3.) nazva se Ackermannova formula za sustav n-tog reda. Kako je opsan sustav 5. reda, možemo zapsat da je: K P 3 4 [ ][ Γ Γ Φ Γ Φ Γ Φ Γ Φ ] p( Φ ) (3.3) p ( Φ ) a + a Φ + a Φ + a Φ + a Φ + a Φ (3.4) Vrjednost matrca Φ Γ z zraza (3.3) dobvene korsteć MATLAB su sljedeće: Φ ; Γ. (3.5).3 3

15 Koefcjente polnoma (3.4) a,...,a5 dobvamo optmumom dvostrukog odnosa. Kako je karakterstčn polnom A(s) u kontnuranom području, korsteć MATLAB funkcju cdm.m prebačen je u dskretno uz vrjeme uzorkovanja Tms vremensku konstantu Dobvena matrca pojačanja prmjenom Ackermannove formule tada je: T e 3ms. [ ] K (3.6) P Važno je napomenut da MATLAB funkcja acker.m nje numerčk pouzdana za vsoke redove procesa, tj. regulacjskog sustava. U tom se slučaju može korstt funkcja pole.m. Polov prošrenog regulacjskog kruga, koj su ujedno svojstvene vrjednost matrce Φ r Φ Γ K, dobven su kako sljed: P λ λ λ (3.6) λ λ Snteza vremensk dskretnog estmatora stanja Estmator stanja punog reda predstavlja egzaktnu kopju objekta upravljanja prošrenu povratnom vezom po zlazma. Njhova prmjena vrlo je važna sa stanovšta regulacje zbog toga što u većn slučajeva varjable stanja nsu mjerljve. Da b se estmator mogao korstt, potrebno je poznavanje svh parametara procesa. Njegov dnamčk model prkazan na slc 6., bez uključenja dnamke regulacjskog kruga estmatora (K), može se matrčno zrazt na sljedeć načn: ( k + ) Φxˆ ( k) + Γu( k) + K e ε ( k) xˆ (3.7) gdje je ( k) y( k) yˆ ( k) ε (3.8) 4

16 Slka 6. Regulacjsk SSO sustav s regulatorom varjabl stanja estmatorom zraz za dnamčko vladanje estmatora dobvamo uvrštavajuć y( k) Cx( k) u jednadžbu (3.7), pa je: ( k + ) ( Φ K C) xˆ ( k) + Γu( k) k Cx( k) x ˆ + (3.9) e e Da b dobl zraz za dnamku pogreške estmacje, koja pokazuje koj su uvjet za točno sljeđenje zlazne velčne, potrebno je usporedt stvarno željeno ponašanje sustava: ~ x + (3.3) ( k ) x( k + ) xˆ ( k + ) Φx( k) + Γu( k) ( Φ K ec)() xˆ k z toga sljed da je: ~ x + ~ (3.3) ( k ) ( Φ K ec) x( k) Jednadžba (3.3) pokazuje da pogreška estmacje mora težt k nul ako su modul svojstvenh vrjednost matrce regulatora stanja. To je uvjet za stablno ponašanje estmatora. Φ K C manj od jedan, jednako kao pr projektranju e 5

17 Postoj još jedno dobro svojstvo regulacjskog sustava s regulatorom varjabl stanja estmatorom. Name, snteza estmatora se može provest potpuno neovsno od snteze regulacjskog kruga, zahvaljujuć svojstvu separablnost. Promatrajuć slku 6 u potpunost, možemo zapsat: x xˆ ( k + ) ( k + ) Φ K ec ΓK Φ ΓK K e x C xˆ ( k) ( ) k (3.3) te supsttucjom dnamke pogreške estmacje dobvamo: x ~ x ( k + ) Φ ΓK ΓK ( k + ) Φ K C e (3.33) d z Φ ΓK det e z K ec Φ ΓK K ec (3.34) ( z) det[ z ( Φ ΓK) ] det[ z ( Φ K C) ] Uspoređujuć zraze (3.3) (3.34) jasno je vdljvo svojstvo separablnost. Važno je spomenut da se dnamka estmatora občno zabre da bude dva do šest puta brža od željene dnamke zatvorenog kruga s regulatorom stanja, ovsno o zahtjevma na potskvanje šuma. Na slc 7. dan je blok djagram regulacjskog SSO sustava s P regulatorom varjabl stanja estmatorom punog reda. Projektranje estmatora, koj je kako je već prje navedeno egzaktna kopja objekta upravljanja, zvršava se na slčan načn kao projektranje regulatora stanja. Slka 7. Regulacjsk SSO sustav s P regulatorom varjabl stanja estmatorom punog reda 6

18 Pr traženju karakterstčnog polnoma optmumom dvostrukog odnosa, treba vodt računa o tome da ntegrator nje do procesa. Nakon pronađenog karakterstčnog polnoma estmatora MATLAB funkcjom cdm.m uz vremensku konstantu estmatora naredbu Keacker(Ph.',Cd.',Pe).', dobvamo pojačanje estmatora: T ee ms, te korsteć [ ] K (3.35) e Svojstvene vrjednost matrce Φ K C dobvene su kako sljed: e λ λ λ (3.36) λ

19 4. REZULTAT SMULACJA U ovom će odlomku bt prkazan rezultat projektranh regulacjskh krugova. Najprje će se prkazat dnamka projektranog P regulatora varjabl stanja elektromotornog pogona s elastčnom transmsjom za režm malh velkh sgnala, a nakon toga prošren model sa projektranm estmatorom stanja punog reda. Skokovta promjena referentne vrjednost brzne vrtnje u režmu malh sgnala poprmat će vrjednost sgnala mn, a za režm velkh 8mn. Također, vremenske konstante regulacjskog kruga poprmat će u oba slučaja dvje vrjednost, estmatora je određena sa T e 4ms T e 6ms. Ekvvalentna vremenska konstanta T ee ms te se neće mjenjat. Model su sptan s obzrom na udarno opterećenje, uz šum mjerenja pozcje od ± mpuls. 4.. Režm malh sgnala Slka 8. Usporedn odzv brzna vrtnje, momenta tereta, struje armature te kuta uvjanja osovne modela sa P regulatorom varjabl stanja u režmu malh sgnala 8

20 Slka 9. Usporedn odzv brzna vrtnje, momenta tereta, struje armature te kuta uvjanja osovne modela sa P regulatorom varjabl stanja estmatorom stanja u režmu malh sgnala z slka vdljvo je da moguće zbjeć mjerenje brzne vrtnje na stran tereta. Naravno, potreban je oprez pr branju vremenske konstante estmatora. To najbolje pokazuje slka 9. Ako želmo brž odzv regulacjskog kruga s estmatorom, rskramo pojavu šuma, obrnuto. Odabr vremenske konstante regulatora od 4ms, davat će velk šum, a ako se odabere spod ms (za vremensku konstantu estmatora od ms), sgnal će bt neupotrebljv. 9

21 4.. Režm velkh sgnala Slka. Usporedn odzv brzna vrtnje, momenta tereta, struje armature te kuta uvjanja osovne modela sa P regulatorom varjabl stanja u režmu velkh sgnala

22 Slka. Usporedn odzv brzna vrtnje, momenta tereta, struje armature te kuta uvjanja osovne modela sa P regulatorom varjabl stanja estmatorom stanja u režmu malh sgnala Kao što je očekvano, jednako dobar odzv regulacjskog kruga sa estmatorom stanja dobva se pr režmu velkh sgnala. Ovdje je praćenje referentnog sgnala još bolje. Najbolje se to može vdjet uspoređujuć odzve brzna vrtnje.

23 5. ZAKLJUČAK Projektran regulacjsk SSO sustav s P regulatorom varjabl stanja estmatorom stanja punog reda, polučo je vrlo dobrm rezultatma u slučaju kada je jedno dostupno mjerenje brzne vrtnje tereta, pr elektromotornom pogonu s elastčnom transmsjom. Ackermannova formula pokazala se dobrom metodom pr zračunavanju pojačanja regulatora estmatora, s tme da je trebalo vodt računa o redu procesa, jer metoda nje numerčk pouzdana za vsoke redove regulacjskh sustava. Prmjenom estmatora varjabl stanja moguće je zbjeć mjerenje svh varjabl stanja, odnosno za regulacjske svrhe mogu se korstt samo one procesne varjable koje se standardno mjere. Također, pokazalo se da nema nepovoljnog utjecaja na stablnost regulacjskog sustava, odnosno prgušenje odzva, što je vrlo dobra osobna prncpa separablnost. Do zražaja je došao odabr vremenske konstante estmatora. Pokazuje se da se za razmjerno brz odzv unos relatvno malo kašnjenje u odzv varjabl stanja u usporedb sa slučajem kada se regulator stanja zasnva na mjerenju svh varjabl. Regulacja zasnovana na prkazanom estmatoru je statčk točna zbog prmjene regulatora stanja prošrenog ntegrrajućm djelovanjem.

24 6. PRLOG 6.. MATLAB skrpte 6... Prelazak s kontnuranog na vremensk dskretn model procesa close all clear all clc %parametr objekta upravljanja Ke; Tee-3; Km; J.; JJ; c5; d.; %vrjeme uzorkovanja Te-3; TsgTe+T; %kontnuran proces u prostoru stanja A[-/Tsg ;Km/J -d/j -c/j d/j; -; d/j c/j -d/j]; B[Ke/Tsg;;;]; C[ ]; D; sysss(a,b,c,d); %dskretzacja prmjenom funkcje cdm() [Ph Gamma Cd Dd]cdm(A,B,C,D,T,'zoh'); eye(4,4); Ph_Ty+A.*T; Ph_Ty+A.*T+((A^*T^)/factoral()); Ph_Ty7+A.*T+((A^*T^)/factoral())+((A^3*T^3)/factoral(3))+... ((A^4*T^4)/factoral(4))+((A^5*T^5)/factoral(5))+((A^6*T^6)/... factoral(6))+((a^7*t^7)/factoral(7)); ph_expm expm(t*a); Gamma_Ty(+((A*T)/))*B.*T; Gamma_Ty(+((A*T)/)+((A^*T^)/(**3)))*B.*T; Gamma_Ty7(+((A*T)/)+((A^*T^)/(**3))+((A^3*T^3)/(**3*4))+... ((A^4*T^4)/(**3*4*5))+((A^5*T^5)/(**3*4*5*6))+((A^6*T^6)/... (**3*4*5*6*7))+((A^7*T^7)/(**3*4*5*6*7*8)))*B.*T; 3

25 6... Snteza P regulatora prmjenom Ackermannove formule % close all % clear all % clc %parametr objekta upravljanja Ke; Tee-3; Km; J.; JJ; c5; d.; %vrjeme uzorkovanja Te-3; TsgTe+T; %parametr smulacje w8*p/3; Mt5; N48; var_nose.; ar_lmt; %kontnuran proces u prostoru stanja A[-/Tsg ;Km/J -d/j -c/j d/j; -; d/j c/j -d/j]; B[Ke/Tsg;;;]; C[ ]; D; sysss(a,b,c,d); %dskretzacja prmjenom funkcje cdm() [Ph Gamma Cd Dd]cdm(A,B,C,D,T,'zoh'); %regulacjsk sustav Ph_[Ph zeros(length(ph),); -Cd ]; Gamma_[Gamma;]; %Te4ms Te4e-3; %dnamka zatvorenog kruga prema ODO D.5; D3.5; D4.5; D5.5; num; den[d5*d4^*d3^3*d^4*te^5 D4*D3^*D^3*Te^4... D3*D^*Te^3 D*Te^ Te ]; [numd,dend]cdm(num,den,t,'zoh'); %koefcjent karakterstcnog polnoma a_dend(6); a_dend(5); a_dend(4); a_3dend(3); a_4dend(); a_5dend(); %karakterstcn polnom po matrc Ph_ pa_*eye(5)+a_*ph_+a_*ph_^+a_3*ph_^3+a_4*ph_^4+a_5*ph_^5; %matrca upravljvost Wctrb(Ph_,Gamma_); %Ackermannova formula K_P[ ]*nv(w)*p; Ph_rPh_-Gamma_*K_P; eg(ph_r); 4

26 %zeljen polov zatvorenog regulacjskog sustava Proots(dend); %Ackermannova formula (matlab) Kaacker(Ph_,Gamma_,P); eg(ph_-gamma_*ka); %smulacja sm('p_reg_st') fgure(); subplot(3); plot(t,nr,'--',t,n,'r','lnewdth',); legend('referenca','t_e 4 ms',' T_e 6 ms'); ylabel('n_ [mn^{-}]'); xlabel('t [s]'); grd on; hold on subplot(33); plot(t,n,'r',t,nr,'--','lnewdth',); ylabel('n_ [mn^{-}]'); xlabel('t [s]'); grd on; hold on subplot(3); plot(t,mt,'--',t,m,'r','lnewdth',); ylabel('m_, m [Nm]'); xlabel('t [s]'); grd on; hold on subplot(34); plot(t,a,'r','lnewdth',); ylabel('_a [A]'); xlabel('t [s]'); grd on; hold on subplot(36); plot(t,dalpha,'r','lnewdth',); ylabel('\delta\alpha [ ]'); xlabel('t [s]'); grd on; hold on %Te6ms Te6e-3; %dnamka zatvorenog kruga prema ODO D.5; D3.5; D4.5; D5.5; num; den[d5*d4^*d3^3*d^4*te^5 D4*D3^*D^3*Te^4... D3*D^*Te^3 D*Te^ Te ]; [numd,dend]cdm(num,den,t,'zoh'); %koefcjent karakterstcnog polnoma a_dend(6); a_dend(5); a_dend(4); a_3dend(3); a_4dend(); a_5dend(); %karakterstcn polnom po matrc Ph_ pa_*eye(5)+a_*ph_+a_*ph_^+a_3*ph_^3+a_4*ph_^4+a_5*ph_^5; %matrca upravljvost Wctrb(Ph_,Gamma_); %Ackermannova formula K_P[ ]*nv(w)*p; Ph_rPh_-Gamma_*K_P; eg(ph_r); %zeljen polov zatvorenog regulacjskog sustava Proots(dend); %Ackermannova formula (matlab) Kaacker(Ph_,Gamma_,P); eg(ph_-gamma_*ka); %smulacja sm('p_reg_st') fgure(); subplot(3); plot(t,n,'k','lnewdth',); hold on subplot(33); plot(t,n,'k','lnewdth',); hold on subplot(3); plot(t,m,'k','lnewdth',); hold on 5

27 subplot(34); plot(t,a,'k','lnewdth',); hold on subplot(36); plot(t,dalpha,'k','lnewdth',); hold on Snteza P regulatora estmatora stanja prmjenom Ackermannove formule % close all % clear all % clc %parametr objekta upravljanja Ke; Tee-3; Km; J.; J.; c5; d.; %vrjeme uzorkovanja Te-3; TsgTe+T; %parametr smulacje w8*p/3; Mt5; N48; var_nose.; ar_lmt; %kontnuran proces u prostoru stanja A[-/Tsg ;Km/J -d/j -c/j d/j; -; d/j c/j -d/j]; B[Ke/Tsg;;;]; C[ ]; D; sysss(a,b,c,d); %dskretzacja prmjenom funkcje cdm() [Ph Gamma Cd Dd]cdm(A,B,C,D,T,'zoh'); %regulacjsk sustav Ph_[Ph zeros(length(ph),); -Cd ]; Gamma_[Gamma;]; Cd_[Cd ]; %dnamka zatvorenog kruga prema ODO D.5; D3.5; D4.5; D5.5; %P regulator stanja Te4ms Te4e-3; num; den[d5*d4^*d3^3*d^4*te^5 D4*D3^*D^3*Te^4 D3*D^*Te^3 D*Te^ Te ]; [numd,dend]cdm(num,den,t,'zoh'); %zeljen polov zatvorenog regulacjskog sustava P_roots(dend); %Ackermannova formula (matlab) K_Packer(Ph_,Gamma_,P_); eg(ph_-gamma_*k_p); %estmator stanja Teee-3; nume; dene[d4*d3^*d^3*tee^4 D3*D^*Tee^3 D*Tee^ Tee ]; [numed,dened]cdm(nume,dene,t,'zoh'); %zeljen polov zatvorenog regulacjskog sustava 6

28 Peroots(dened); %Ackermannova formula (matlab) Keacker(Ph.',Cd.',Pe).'; eg(ph-ke*cd); %zapocn smulacju sm('p_reg_estmator'); fgure(); subplot(3); plot(t,nr,'--',t,n,'r','lnewdth',); legend('referenca','t_e 4 ms, T_e_e ms','t_e 6 ms, T_e_e ms'); ylabel('n_ [mn^{-}]'); xlabel('t [s]'); grd on; hold on subplot(33); plot(t,n,'r',t,nr,'--','lnewdth',); ylabel('n_ [mn^{-}]'); xlabel('t [s]'); grd on; hold on subplot(3); plot(t,mt,'--',t,m,'r','lnewdth',); ylabel('m_, m [Nm]'); xlabel('t [s]'); grd on; hold on subplot(34); plot(t,a,'r','lnewdth',); ylabel('_a [A]'); xlabel('t [s]'); grd on; hold on subplot(36); plot(t,dalpha,'r','lnewdth',); ylabel('\delta\alpha [ ]'); xlabel('t [s]'); grd on; hold on %P regulator stanja Te6ms Te6e-3; num; den[d5*d4^*d3^3*d^4*te^5 D4*D3^*D^3*Te^4 D3*D^*Te^3 D*Te^ Te ]; [numd,dend]cdm(num,den,t,'zoh'); %zeljen polov zatvorenog regulacjskog sustava P_roots(dend); %Ackermannova formula (matlab) K_Packer(Ph_,Gamma_,P_); eg(ph_-gamma_*k_p); %estmator stanja Teee-3; nume; dene[d4*d3^*d^3*tee^4 D3*D^*Tee^3 D*Tee^ Tee ]; [numed,dened]cdm(nume,dene,t,'zoh'); %zeljen polov zatvorenog regulacjskog sustava Peroots(dened); %Ackermannova formula (matlab) Keacker(Ph.',Cd.',Pe).'; eg(ph-ke*cd); %zapocn smulacju sm('p_reg_estmator'); fgure(); subplot(3); plot(t,n,'g','lnewdth',); hold on subplot(33); plot(t,n,'g','lnewdth',); hold on subplot(3); plot(t,m,'g','lnewdth',); hold on subplot(34); plot(t,a,'g','lnewdth',); hold on subplot(36); plot(t,dalpha,'g','lnewdth',); hold on 7

29 6.. Smulnk model 6... Model procesa 8

30 6... Regulacjsk krug s P regulatorom varjabl stanja 9

31 6..3. Regulacjsk krug s P regulatorom varjabl stanja estmatorom varjabl stanja punog reda 3

32 6..4. Model estmatora stanja punog reda 3

33 7. LTERATURA [] J. Deur, Kompenzacja učnka elastčnost trenja u prjenosnm mehanzmma sljednh sustava, Doktorska dsertacja, Fakultet elektrotehnke računarstva, Sveučlšte u Zagrebu, 999. [] B. Novakovć, Regulacjsk sstem, Sveučlšna naklada Lber, Zagreb, 985. [3] D. Pavkovć, Procjena varjabl stanja automoblskog pogona s prmjenama u regulacj, Doktorsk rad, Fakultet strojarstva brodogradnje, Sveučlšte u Zagrebu, 7. [4] G. F. Frankln, J. D. Poewell, and M. L. Workman, Dgtal Control of Dynamc Systems, Addson-Wesley Longman nc., Menelo Park, 997. [5] Blješke s predavanja vježb 3