Microsoft Word - STO_VALJA_ZAPAMTITI_11.doc

Транскрипт

1 EHANIKA FLUIDA I Što valja zapamtt 40 Zaon očuvanja momenta olčne gbanja Dencja zaona očuvanja momenta olčne gbanja za materjaln volumen: Brzna promjene momenta olčne gbanja materjalnog volumena jednaa je zbroju momenata vanjsh sla (masenh površnsh) oje djeluju na materjaln volumen. atematč zaps zaona očuvanja momenta olčne gbanja za materjaln volumen: σ U strujanju luda u polju masene n sle uočen je materjaln r volumen V oj je od oolnog j S luda odjeljen materjalnom v površnom S. Na svau čestcu luda djeluje elementarna V j dm=ρ masena sla ρ. Udaljenost čestce luda od shodšta je denrana radjus vetorom r ρ d, V čje su omponente j, a O moment masene sle u odnosu na shodšte oordnatnog sustava je ε d j jρ V (l r ρ ). Na Sla uz dencju zaona momenta olčne gbanja sva djelć površne S djeluje elementarna površnsa sla σ, pr čemu je vetor naprezanja σ denran s pomoću tenzora naprezanja relacjom σ = nrσr. oment elementarne površnse sle u odnosu na shodšte je εj jσ (l r σ ). oment olčna gbanja čestce luda je ε ρ v (l r ρv ). j j σ D ( jσ ) r j j v j j j j nr r j j ε ρ = ε ρ + ε σ = ε ρ + V V S V r Brzna promjene momenta uupn moment masenh uupn moment površnsh σ r j olčne gbanja V sla na V sla na V j + σ r r r σ j Gornj zraz se može preuredt u obl D( v j ) σ r εjρ = εj jρ j σ j + + V V r D j Dv v+ j v j retpostavlja se da u ludu nema momenata raspodjeljenh po materjalnom volumenu l materjalnoj površn.

2 EHANIKA FLUIDA I Što valja zapamtt 45 tj. V Dv σ r εj j ρ ρ = εjσ j r V 0 jednadžba olčne gbanja l εjσ j = 0 što znač da je tenzor naprezanja smetrčan ( σ j = σ j ). Napomena: Relacja smetrčnost tenzora naprezanja σ j = σ j na oju se svod zaon momenta olčne gbanja se pretpostavlja unaprjed (vdjet zalne osnove) što znač da je ova jednadžba već zadovoljena (može se tvrdt da je sorštena da ne nos navu novu normacju, u odnosu na jednadžbu olčne gbanja, oja je sorštena u gore prazanom zvodu). U derencjalnom prstupu se ona neće uzmat u sup osnovnh jednadžb (naravno ao se pretpostav smetrčan tenzor naprezanja), a u ntegralnom prstupu ova će jednadžba za slučaj staconarnog strujanja služt za određvanje momenta sle luda na stjenu (nepromočv plašt) ontrolnog volumena. rmjena zaona momenta olčne gbanja za ontroln volumen rmjenom Reynoldsova transportnog teorema na ljevu stranu jednadžbe momenta olčne gbanja za materjaln volumen, sljed jednadžba momenta olčne gbanja za ontroln volumen s mrujućm grancama d εj jρv + εj jρvvrnr = εj jρ + εj jσd dt S KV K KV K Brzna promjene momenta roto momenta olčne uupn moment masenh olčne gbanja KV gbanja roz K sla na KV uupn moment površnsh sla na K Uz sljedeće pretpostave:. strujanje je nestlačvo staconarno. masena sla je sla težne 3. ontrolna površna se sastoj od ulaznog, zlaznog djela površne plašta, u w K = S + S + S 4. vetor naprezanja σ = pn + σ jednadžba momenta olčne gbanja prmjenjena na ontroln volumen, služ za određvanje momenta sle ojom lud djeluje na plašt w ( F ) = ( G ) ε ρv v n + pn σ j j r r r u moment sle moment sle S + S vn luda na plašt težne Sljed z pravla da je dvostru salarn umnoža antsmetrčnog smetrčnog tenzora jedna nul. Buduć da je ε j antsmetrčan u odnosu na ndese j, tenzor naprezanja mora bt smetrčan.

3 EHANIKA FLUIDA I Što valja zapamtt 46 rmjena jednadžbe momenta olčne gbanja za određvanje momenta sle luda na plašt cjev O =g p,v () j () p,v () 3 p 3,v (3) 4 p 4,v (4) Sla prazuje jedan ontroln volumen oj obuhvaća unutrašnjost račvaste cjev, a na ontrolnoj površn se mogu uočt dva ulazna presjea (presjec ) dva zlazna presjea (3 4). U tm su presjecma strujnce međusobno paralelne, a vetor brzne su oomt na presje. Na gornjoj slc je taođer ucrtan radjus vetor do težšta prvog presjea. Ao se zanemare moment vsoznh sla na ulaznm zlaznm presjecma, tada b jednadžba momenta olčne gbanja za prazan ontroln volumen (uzmajuć u obzr da je na ulaznom presjeu vetor brzne orjentran suprotno od vanjse normale, a na zlaznom u smjeru normale) glasla w ( ) = ( ) ε ( ρ + ) F G n v p j j ( ) moment sle moment sle A luda na plašt težne Ao su površne poprečnh presjea male u odnosu na velčnu radjus vetora, tada se mogu zanemart promjene radjus vetora po površn poprečnog presjea zamjent ga u gornjem ntegralu s onstantnm radjus vetorom do težšta presjea. U tom se slučaju umnoža ε j jn može zlučt spred ntegrala, pa ntegral označuje mpulsnu uncju denranu u zaonu olčne gbanja, te vrjed w ( ) w ( ) ( ) ( ) = ( ) + ε l ( F ) = ( G) + r I F G I j j Dale za slučaj strujanja roz cjev, na svaom ulazno/zlaznom presjeu se postavlja mpulsna uncja, oja se za potrebe proračuna sle luda na plašt cjev momenta te sle u odnosu na odabranu toču (občno je to shodšte oordnatnog sustava), tretra ao vanjsa sla. rema jednadžb olčne gbanja sla luda na plašt jednaa je sum vanjsh sla oje djeluju na ontroln volumen (mpulsne uncje sla težne), a moment sle ojom lud djeluje na plašt cjev je jedna sum momenata vanjsh sla na ontroln volumen (sum momenata mpulsnh uncja momentu sle težne). roblem se dale svod na prmjenu uvjeta ravnoteže sla momenata, ao u lasčnoj mehanc, odnosno statc luda.

4 EHANIKA FLUIDA I Što valja zapamtt 47 Zaon netče (mehanče) energje Dencja zaona netče energje za materjaln volumen: Brzna promjene netče energje materjalnog volumena jednaa je zbroju vanjsh sla (masenh površnsh) oje djeluju na materjaln volumen, te snaz unutarnjh sla oje djeluju u materjalnom volumenu 3. atematč zaps zaona netče energje za materjaln volumen: O n j S Sla uz dencju zaona olčne gbanja σ V U strujanju luda u polju masene sle uočen je materjaln volumen V oj je od oolnog luda odjeljen materjalnom površnom S. Na svau čestcu luda, ojoj je netča energja ρ v, djeluje elementarna masena sla ρ, a te sle je ρ v. Na sva djelć površne S elementarna površnsa sla σ, a njena je σ v, pr čemu je vetor naprezanja σ denran zbrojem tlačnh vsoznh sla σ = pn + σ. ovršnse sle oje djeluju po materjalnoj površn su za materjaln volumen vanjse sle (sle dodra zmeđu čestca materjalnog volumena oolne), a unutar materjalnog volumena (među čestcama materjalnog volumena) djeluju unutarnje površnse sle. U nestlačvom strujanju je sla tlaa jednaa nul (jer nema promjene obujma čestca luda), te snagu unutarnjh sla denraju samo vsozne sle. Vsozne sle uvje pretvaraju mehanču energju u unutrašnju, te će uvje vodt smanjvanju mehanče energje. Ao se unutarnjh sla označ s F denra ao poztvna velčna, tada će se u jednadžb netče energje ona pojavljvat s negatvnm predznaom, jer smanjuje netču energju materjalnog volumena. atematč zaps zaona je: D v v v F ρ = ρ + σ V V S dm=ρ unutrašnjh Brzna promjene masenh vanjsh sla unutar netče energje V sla na V površnsh V sla na V ρ d V v 3 U zaonma olčne gbanja momenta olčne gbanja se unutarnje sle njhov moment međusobno ponštavaju po Trećem Newtonovom zaonu (prncp acje reacje). Buduć je salarn umnoža vetora sle vetora brzne, snage sle acje reacje na dvje čestce neće bt jednae, buduć da se čestce mogu gbat razlčtm brznama.

5 EHANIKA FLUIDA I Što valja zapamtt 48 rmjena zaona netče energje na jednodmenzjso strujanje u cjevovodu Formulacja zaona za ontroln volumen d v v ( vjnj) v v F dt ρ + ρ = ρ + σ KV K KV K Formulacja za jednodmenzjso strujanje A v j =-vn j ds j =dse j =Ads A A S w v j =vn j retpostave:. Flud je nestlačv. asena sla je sla gravtacje = gδ3 3. Vetor brzne oomt na presjee, a uvod se ator orecje netče energje u oblu 3 α = v 3 v A sr A Integracjom jednadžbe netče energje, po ontrolnom volumenu prema slc, dobje se d v v ( vjnj) v v F dt ρ + ρ = ρ + σ KV K KV K v ρqg ( ) ( z ) ( ) d z Q p p ρq s ρqv v s gdje su v v prosječne brzne na presjecma A A, a Q proto roz cjev. Zaon netče energje za jednodmenzjso strujanje označuje modcranu Bernoulljevu jednadžbu, oja glas v v v αρ + p + ρgz Q = αρ + p + ρgz Q F ρq ds s na zlazu z cjev na ulazu u cjev brzna promjene netče energje KV Ao u cjevovodu zmeđu presjea postoj stroj (pumpa oja predaje snagu ludu l turbna oja oduzma snagu T od luda), onda se modcrana jednadžba može poopćt u sljedeć obl v v v αρ + p + ρgz Q = αρ + p + ρgz Q F ρq ds + T s na zlazu z cjev na ulazu u cjev brzna promjene netče energje KV umpa je pogonjena motorom, pr čemu motor predaje pump snagu, pa je ator orsnost pumpe η =. Turbna občno pogon generator, pr čemu generatoru predaje G snagu G, pa je ator orsnost turbne denran odnosom η G =. T U gore prazanom oblu modcrane Bernoulljeve jednadžbe, sva član ma dmenzju snage, a orste se sljedeć oblc te jednadžbe

6 EHANIKA FLUIDA I Što valja zapamtt 49 Obl Dmenzja v v F T p gz p gz v ds αρ + + ρ = αρ + + ρ ρ Q + volumen proto s Q Q F T α v p gz α v p gz v ds + + = + + ρ ρ ρq + masen proto s ρq ρq F T α v p z α v p z v ds + + = + + g ρg g ρg ρgq g + težns proto s ρgq ρgq U zadnjem oblu modcrane Bernoulljeve jednadžbe občno se uvode oznae h = =vsna dobave pumpe, ρgq T ht = =pad vsne energje u turbn ρgq F hf = =vsna gubtaa mehanče energje (energje pretvorene u unutarnju energju) ρgq Za slučaj račvanja cjevovoda oblc modcrane Bernoulljeve jednadžbe z gornje tablce postavljaju se duž strujnce. rmjer: Sla prazuje račvastu cjev s dva ulazna presjea ( ) te dva zlazna presjea (3 4). Između točaa 5 6 se nalaz pumpa oja predaje ludu snagu. rema jednadžb ontnuteta uupn proto roz pumpu je Q= Q+ Q = Q3+ Q4. U točama 5 6 vsna energje je jednoznačno denrana, bez obzra s oje strane se u te toče dolaz. Integraln obl zaona netče energje za staconarno strujanje luda aže da je na zlazu z KV (presjec 3 4) jednaa snaz na ulazu (presjec ) uvećanoj za snagu pumpe umanjenoj za snagu vsoznh sla, tj. v3 v4 v v α ρ p ρgz Q α ρ p ρgz Q αρ p ρgz Q α ρ p ρgz = Q F odcrana Bernoulljeva jednadžba postavljena zmeđu točaa do5 je: v 5 p 5 v p α5 z 5 α z F5 + + = + + hf5 g ρg, gdje je h F5 = g ρg ρgq odcrana Bernoulljeva jednadžba zmeđu točaa 5 6 glas v 6 p 6 v 5 p 5 α6 z 6 α5 z F = h hf56 g ρg, gdje su h g ρg F56 = h =, ρgq ρgq a zmeđu točaa 6 3 v3 p 3 v p 6 α3 z 3 α6 z F = hf63 g ρg, gdje je h F63 = g ρg ρgq3 Iz ombnacje prethodnh jednadžb dobje se modcrana Bernoulljeva jednadžba zmeđu presjea 3 v 3 p 3 v p α3 z 3 α z + + = h hf5 hf56 hf63 g ρg g ρg Dale modcrana Bernoulljeva jednadžba vrjed duž strujnce. Analogno se dobje zraz za modcranu Bernoulljevu jednadžbu zmeđu presjea 4 l zmeđu presjea 3 l zmeđu presjea 4. Važno je zapamtt da se vsoznh sla dobje množenjem vsne gubtaa h F s prpadajućm težnsm protoom, ao pumpe (u ovom prmjeru = ρg( Q + Q ) h ).