UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU MASTER RAD Lokalno solidne topologije na Risovim prostorima i primene Mentor: Prof.dr Dragan Đorđević Student: Katarina Stojković Broj indeksa 143 Niš, 2018.
Zahvaljujem se mentor profesoru dr. Draganu Đorđeviću na svim savetima, sugestijama i pruženoj pomoći tokom izrade ovog rada. Takođe, zahvaljujem se članovima komisije, svim ostalim profesorima sa kojima sam sarađivala tokom osnovnih i master akademskih studija, kao i svim kolegama i koleginicama sa kojima je studiranje bilo lepo iskustvo. Najveću zahvalnost dugujem porodici na podršci i razumevanju tokom školovanja i života.
Sadržaj Uvod. 1 Glava 1... 2 1.1.Osnovni pojmovi vektorskog prostora. 2 1.2.Opšti pojmovi topoloških prostora... 4 1.3.Neprekidnost na topološkim prostorima.. 6 1.4.Klasifikacija topoloških prostora. 7 1.5.Konvergincija u topološkim prostorima 8 Glava 2.. 10 2.1.Osobine Risovih prostora 10 2.2.Razdvojeni vektori...... 20 2.3.Solidni podskupovi Risovih prostora.. 22 2.4.Ideali,trake i Risovi potprostori... 27 2.5.Razdvojeni komplementi..... 32 Glava 3.. 35 3.1.Linearne topologije na Risovim prostorima. 35 3.2.Osnovne teoreme o lokalno solidnim topologijama... 42 3.3 Lokalno konveksno-solidne topologije......... 45 3.4.Topološko komplementiranje lokalno solidnih Risovih prostora... 52 Glava 4.. 56 4.1.Opšta ravnoteža... 56 4.2.Funkcija preference i funkcija korisnosti... 58 4.3.Ekonomija razmene.... 63 4.4.Efikasnost, cene, Prva i Druga teorema blagostanja... 66 Literatura.. 68 Biografija.. 69
Uvod U ovom radu razmatraćemo lokalno solidne topologije na Risovim prostorima, sa primenama u ekonomiji. Prva glava predstavlja pogled na uopštene pojmove iz oblasti topologije i realnog vektorskog prostora dok će se u drugoj glavi razmatrati osnovni pojmovi Risovih prostora. Definisaće se Birkofov identitet, rezultat koji predstavlja osnovu Teorije Risovih prostora. U trećoj glavi razmatraće se linearne topologije i konveksno-solidne topologije, kao i topološko komplementiranje lokalno solidnih Risovih prostora. Rad završavamo primenama lokalno solidnih topologija na Risovim prostorima u ekonomiji. 1
Glava 1 1.1. Osnovni pojmovi vektorskog prostora Polazni pojam u definisanju pojma vektorskog prostora je pojam polja F=( F,+, ) kao algebarske strukture. Napomenimo da neutralni element za sabiranje označavamo sa 0 FF i neutralni element za množenje označavamo sa 1 FF. Elemente polja F nazivamo skalarima. Definicija 1.1.1. Neka je V neprazan skup čije elemente zovemo vektorima i neka je F=(F,+, ) polje skalara. Algebarska struktura V = (V, +, ) naziva se vektorski prostor V nad poljem F ako za binarnu operaciju sabiranja vektora + : VV 2 VV i spoljnu operaciju množenja skalara i vektora : FF VV VV važe sledeće aksiome : (VV 1 ) αα + (ββ + γγ) = (αα + ββ) + γγ, za svako αα, ββ, γγ V; (VV 2 ) postoji 0 FF FF sa svojstvom αα + 0 FF = 0 FF + αα, za svako αα V; (VV 3 ) za svaki αα VV postoji αα VV tako da je αα + ( αα) = αα + αα = 0; (VV 4 ) αα + ββ = ββ + αα, za svako αα, ββ VV; (VV 5 ) αα(ββββ) = (αααα)γγ, za svako αα, ββ, γγ VV; (VV 6 ) postoji 1 FF FF sa svojstvom 1 FF αα = αα 1 FF, za svako αα VV; (VV 7 ) za svaki αα VV, αα 0, postoji αα 1 VV tako da je αααα 1 = αα 1 αα = 1; (VV 8 ) αααα = ββββ, za svako αα, ββ VV; (VV 9 ) αα(ββ + γγ) = αααα + αααα, za svako αα, ββ, γγ V. Drugim rečima, vektorski prostor V možemo odrediti uređenim parom (V, F) tako da važi : (i) V neprazan skup (njegove elemente zovemo vektorima). (ii) F je polje (njegove elemente zovemo skalarima). (iii) U skupu V je definisana binarna operacija + : VV 2 VV, koju nazivamo sabiranje vektora, takva da važi aksioma (VV 1 ). (iv) Defnisana je spoljna operacija FF VV VV, koju zovemo množenje vektora skalarom (tj. elementom) polja F za koju važe aksiome (VV 2 ), (VV 5 ). Napomena 1.1.1. Uobičajeno je da skalare označavamo malim slovima grčkog alfabeta αα, ββ, γγ, i da vektore označavamo malim slovima abecede: a,b,c, d, e, f, Treba napomenuti da se pod αα + ββ podrazumeva αα + FF ββ, kao i da je αααα, zapravo αα FF ββ. U daljim razmatranjima ćemo nulu polja 0 FF označavati sa 0, a jedinicu polja 1 FF sa 1, respektivno. Napomena 1.1.2. Neka je V vektorski prostor nad poljem skalara F. Ako je F =R, tada vektorski prostor nazivamo realnim vektorskim prostorom. Definicija 1.1.2. Neka je V vektorski prostor nad poljem skalara F. Skup vektora {xx 1, xx 2,, xx } V jeste generatorski skup za vektorski prostor V ako važi: LL({xx 1, xx 2,, xx }) = V. 2
Definicija 1.1.3. Neka je V vektorski prostor nad poljem skalara F. Skup vektora B = {xx 1, xx 2,, xx }, pri čemu je {xx 1, xx 2,, xx } V, jeste bazni skup (baza) za vektorski prostor V ako važi: 1) Skup {xx 1, xx 2,, xx } jeste generatortski, tj. LL({xx 1, xx 2,, xx }) = V, 2) Skup {xx 1, xx 2,, xx } jeste linearno nezavisan skup vektora u V.. Definicija 1.1.4. Vektorski prostor V nad poljem F realnih ili kompleksnih skalara (F = R ili F = C) naziva se unitarni ili pred-hilbertov prostor ako za skalarni ili unutrašnji proizvod (, ) : V 2 F važe aksiome: (S1) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), za svako x, y,z V; (S2) (αα x, y) = αα (x, y), za svako αα F i x, y V; (S3) (x, y) = (yy,, xx) za svako x, y V; (S4) (x, x) 0, za svako x V; (S5) (x, x) = 0 x = 0, za svako x V. Na osnovu (S3), primetimo da i u slučaju kompleksnog unitarnog prostora vrednosti (x, x), za x V, jesu realni brojevi i dotano na osnovu (S4), jesu nenegativni realni brojevi. Definicija 1.1.5. Norma (intezitet) vektora x, iz unitarnog prostora V, je nenegativan broj: xx = (xx, xx). Za tako određenu normu kažemo da je norma indukovana skalarnim proizvodom. Definicija 1.1.6. Vektorski prostor V nad poljem skalara F naziva se normiran vektorski prostor ako za normu VV RR važe aksiome: (N1) xx 0, za svako x V; (N2) xx = 0 x = 0, za svako x V; (N3) αα xx = αα xx, za svako αα F i x V; (N4) xx + yy xx + yy, za svako x, y V. Definicija 1.1.7. Neka je vektorski prostor V normiran normom, tada se funkcija dd: VV 2 RR : d = d (x, y) = xx yy, naziva metrika na V. Definicja 1.1.8. Metrički prostor je par (X, d) skupa X i nenegativne funkcije (metrika ) na skupu XX XX, sa sledećim osobinama: (M1) d (x, y) = 0 x = y, za svako x, yy X; (M2) d (x, y) = d (y, x), za svako x, yy X,(simetričnost); (M3) d (x, y) dd(xx, zz) + dd(zz, yy), za svako x, yy, zz X (nejednakost trougla). Neka je zadat vektorski prostor X sa normom. Tada se baza sa okolinom u nuli može definisati preko norme. Definicija 1.1.9. Na normiranom prostoru definišemo otvorenu kuglu oko nule sa poluprečnikom r: 3
K(0; rr) = { xx XX takvih da je xx rr}. Definicija 1.1.10. Definišemo otvorena kuglu poluprečnika r, sa centrom u x, kao podskup: B(xx, rr) = dd{yy XX dd(xx, yy) < rr}. Stoga je baza otvorena kugla BB = {K(0; ss) X, pri čemu je ss RR + }. Napomena 1.1.3. Ako se skup svih otvorenih kugli metričkog prostora uzme za predbazu, dobija se tzv. metrička topologija. U odnosu na nju, zatvorene kugle (u definiciji otvorene kugle se znak <, zameni sa ) postaju zatvoreni skupovi. 1.2. Opšti pojmovi topoloških prostora Daljom analizom se dolazi do pojmova okoline tačke i konvergencije. Njihova najopštija formulacija se daje u topološkim prostorima. Stoga je topologija, disciplina koja ih prou - čava, postala jedna od osnovnih oblasti matematike: direktno se nastavlja na teoriju skupova, a ugrađena je u većinu drugih matematičkih teorija. Danas je već sasvim jasno da je upoznavanje sa elementima topologije nezaobilazno u teorijskoj fizici. Definicija 1.2.1. Neka je X neprazan skup. Familija O podskupova skupa X koja ima svojstva: (O1), X O ; (O2) A, B O A BB O ; (O3) {AA ii ii II} O ii II AA ii O, naziva se topologija na skupu X, dok se za uređenu dvojku (X,O) kaže da je topološki prostor. Definicija 1.2.2. Elementi topologije O nazivaju se otvorenim skupovima, dok se komplementi otvorenih skupova nazivaju zatvorenim skupovima. Svojstvo (O2) se može induktivno proširiti na konačno mnogo otvorenih skupova. Definicija 1.2.3. Topološki prostor (X,O) je diskretan ako je O = P(X), a antidiskretan ako je O = {, XX}. Sve topologije na istom skupu uređene su parcijalnim uređenjem, i u smislu te relacije, antidiskretna topologija je najmanja, diskretna topologija najveća topologija na datom skupu. Definicija 1.2.4. Pokrivač skupa X je skup podskupova u X, takav da njihova unija daje ceo skup X, i naziva se otvorenim ako se sastoji iz otvorenih podskupova. 4
Na istom skupu se mogu zadati različite topologije, što znači da struktura topološkog prostora nije određena samim skupom X, već se posebno uvodi, u zavisnosti od osobina koje prostor treba da ima. Uspostavljanje topolške strukture eksplicitnim nabrajanjem svih otvorenih skupova je moguće samo u krajnje jednostavnim primerima. Umesto toga, koristi se predbaza. Definicija 1.2.5. Predbaza je svaki podskup skupa ττ iz koga se dozvoljenim operacijama (proizvoljne unije preseka konačno mnogo podskupova) može dobiti svaki neprazan otvoreni skup, i time rekonstruisati ττ. Svaki pokrivač skupa X je predbaza neke topologije. Definicija 1.2.6. Topologija ττ je finija od topologije ττ na istom skupu ako je ττ ττ. Lema 1.2.1. Neka je (X, O) topološki prostor. Tada familija C svih zatvorenih skupova zadovoljava sledeće uslove: (C1) Prazan skup i skup X su zatvoreni; (C2) Unija dva (pa i konačno mnogo) zatvorenih skupova je zatvoren skup; (C3) Presek proizvoljne familije zatvorenih skupova je zatvoren skup. Otvoreni skupovi su osnova za određivanje pojma okoline, što konačno omogućuje razvijanje ideje bliskih tačaka u R n. Definicjija 1.2.7. Okolina Ox tačke x je svaki podskup skupa X koji sadrži otvoren skup kome pripada x. Definicija 1.2.8. Kvaziokolina tačke x je okolina te tačke iz koje je izuzeta sama tačka x. Definicija 1.2.9. Neka je (X, τ) topološki prostor. Tada za kolekciju B τ, kažemo da je baza topologije, ako za svaki skup U τ, i svaki element x U, postoji skup B B, tako da važi: x B U. Definicija 1.2.10. Neka je (X, τ) topološki prostor i x X proizvoljan fiksiran element prostora X. Tada, za kolekciju B x τ kažemo da je lokalna baza topologije u x, ako za svaki skup U τ, i svaki element x U, postoji skup B B x, tako da važi: x B U. Defnicija 1.2.11. Neka je (X,ττ) topološki prostor i E X. Topologija ττ EE skupa E indukovana inkluzijom i: E X, zove se relativna topologija na E, a par (E, ττ EE ) je potprostor prostora (X, ττ). Dakle, τ E = {ii 1 (V ) V ττ } = {E V V ττ } i i : E X je neprekidno preslikavanje, a ττ EE je najgrublja topologija skupa E za koju je i neprekidno. 5
1.3. Neprekidnost na topološkim prostorima Neprekidnost preslikavanja topoloških prostora je osnovni pojam koji ima značajnu ulogu pri rešavanju problema ekvivalentnosti topoloških prostora i dobijanja novih prostora. Neprekidnost preslikavanja topoloških prostora može se definisati na dva načina: lokalno u tačkama domena i globalno na čitavom domenu preslikavanja. Definicija 1.3.1. Funkcija f: R R kažemo da je neprekidna u tački xx 0 R, ako za svako εε > 0, postoji δδ > 0, tako da za svako x RR za koje je x xx 0 < δδ, važi: f (x) f (xx 0 ) < εε. Ako je zadovoljen ovaj uslov, kažemo da je funkcija f neprekidna u tački xx 0. Ako je f neprekidna u svim tačkama skupa D R, onda jednostavno kažemo da je f neprekidna na D. Naravno, od interesa bi bilo definisati ovaj pojam i u proizvoljnom topološkom prostoru, tj. i kada nemamo apsolutnu vrednost niti oduzimanje. Sledećom (ekvivalentnom) definicijom, takođe dobijamo pojam neprekidnosti funkcije ali nešto opštije. Definicija 1.3.2. Funkcija f: R R je neprekidna u tački xx 0 RR, ako za svaki interval (f (xx 0 ) εε, f (xx 0 ) + εε ), pri čemu je εε > 0, postoji δδ > 0 takav da je f (x) (f (xx 0 ) εε, f (xx 0 ) + εε), kad god je je x ( xx 0 δδ, xx 0 + δδ). Neka je f : (X,ττ) (X,ττ ) preslikavanje topološkog prostora (X,ττ) u prostor (X,ττ ). Definicija 1.3.3. Preslikavanje f je neprekidno u tački x X ako, za svaku otvorenu okolinu V tačke f (x) X u prostoru (X,ττ ), postoji otvorena okolina U tačke x u prostoru (X ττ), tako da je f (U) V. Teorema 1.3.1. Neka je f: (X, ττ) (X,ττ ) preslikavanje topološkog prostora (X, ττ) u prostor (X,ττ ). Tada preslikavanje f je neprekidno ako i samo ako je f -1 (V) otvoren skup u X, za svaki otvoren skup V u X. Definicija 1.3.4. Neprekidno preslikavanje f: (X, ττ) (X,ττ ) zove se faktorsko preslikavanje ako je skup f -1 (V) X otvoren (zatvoren) ako i samo ako je skup V X otvoren (zatvoren). Definicija 1.3.5. Preslikavanje f: (X,ττ) (X,ττ ) je otvoreno (zatvoreno) ako je slika svakog otvorenog (zatvorenog) skupa, takođe, otvoreni (zatvoreni) skup. Definicija 1.3.6. Neprekidno preslikavanje f: (X,ττ) (X,ττ ) prostora X na prostor X, koje je 1 1 i čije je inverzno preslikavanje f -1 neprekidno, zove se homeomorfzam ili topološko preslikavanje. Definicija 1.3.7. Dva prostora (X,ττ) i (X,ττ ) su homeomorfna ako postoji homeomorfizam prostora (X,ττ) na prostor (X,ττ ). 6
Ako su dva prostora homeomorfna, piše se (X,ττ) (X,ττ ), ili kraće X X. Napomena 1.3.1. Relacija homeomorfnosti u klasi svih topoloških prostora je jedna relacija ekvivalencije. Zato sledi da se klasa svih topoloških prostora razlaže na kolekciju klasa ekvivalencije za relaciju. Definicija 1.3.8. Ako dva prostora pripadaju jednoj istoj klasi ekvivalencije za relaciju, reći će se da su ti prostori topolški ekvivalentni ili da imaju isti topološki tip. Definicija 1.4.9. Svako svojstvo prostora koje imaju svi njemu ekvivalentni prostori zove se topolško svojstvo ili topološka invarijantna. Napomena 1.4.2. Dva homeomorfna topološka prostora se u topološkom smislu, ne mogu razlikovati. Pošto homeomorfizam uspostavlja uzajamno jednoznačnu korespondenciju između tačaka dva prostora i između otvorenih skupova tih prostora, svako svojstvo prostora definisano pomoću otvorenih skupova je topološko svojstvo. Zato se topologija često definiše kao nauka koja proučava topološka svojstva ili topološke invarijante topoloških prostora. Navedimo neke topološke invarijante: Svojstvo da prostor ima prebrojivu bazu okolina ili da ima prebrojivu topološku bazu su dve topološke invarijante; Postoje i numeričke topološke invarijante kao dimenzija prostora; Povezanost, kompaktnost, separabilnost topoloških prostora su takođe topološke invarijante. 1.4. Klasifikacije topoloških prostora Teorija topoloških prostora razvijala se kao i druge grane apstraktne matematike na sledeći način: primećujući sličnosti i ponavljanja gotovo istih argumenata u raznim situacijama, čime je usledilo popštavanje zajedničkih ideja i pojmova i stvaranje teorije koja sadrži polazne primere kao specijalne slučajeve. Defnicija 1.4.1. Za topološki prostor X kaže se da je T0 prostor, i piše se XX T0, ako za svake dve različite tačke važi da bar jedna od ovih tačaka ima okolinu koja ne sadrži drugu tačku. Defnicija 1.4.2. Za topološki prostor X kaže se da je T1 prostor, i piše se X T1, ako za svake dve različite tačke ovog prostora postoje okoline ovih tačaka takve da one ne sadrže drugu tačku. Defnicija 1.4.3. Za topološki prostor X kaže se da je T2 - prostor ili Hausdorfov prostor, i piše se XX T2, ako za svake dve različite tačke ovog prostora postoje disjunktne okoline. Definicija 1.4.4. Za topološki prostor X kaže se da je T4 - prostor ili normalan prostor, i piše se X T4, ako za svaka dva zatvorena i disjunktna skupa iz X postoje disjunktne okoline ovih skupova. 7
1.5. Konvergencija u topološkim prostorima Definicija 1.5.1. Neka je (X, τ) topološki prostor. Za niz (xx ) N iz X kažemo da konvergira ka x u X, i pišemo(xx ) N x, ako za svaku okolinu U tačke x postoji 0 = 0 (U) NN, tako da za sve prirodne brojeve n 0 važi xx U. Tada kažemo da okolina tačke U sadrži skoro sve članove niza(xx ) N. Proširimo sada pojam niza, a zatim će nam trebati neki novi pojmovi. Definicija 1.5.2. Neka je dat skup X i relacija " tako da za svaka tri elementa x, y, z X važi: 1) x x (refleksivnost); 2) x y y x x = y (antisimetričnost); 3) x y y z x z (tranzitivnost). Tada za uređeni par (X, ) kažemo da je parcijalno (delimično) uređen skup. Definicja 1.5.3. Ako su svaka dva elementa parcijalno uređenog skupa (XX, ) uporediva, tada za njega kažemo da je linearno (kompletno) uređen skup (lanac). Definicija 1.5.4. Neka je (D, ) parcijalno uređen skup. Za (D, ) kažemo da je usmeren udesno (mreža) ako za svaka dva elementa αα, ββ skupa D, postoji element γγ takođe iz D, tako da važi: γγ αα γγ ββ. Definicija 1.5.5. Neka je (X, τ) topološki prostor i (D, ) usmeren skup. Tada svako preslikavanje φφ : D X zovemo uopšteni niz (mreža). Stavljajući φφ (αα) = xx αα XX, uopšteni niz označavamo sa (xx αα ) αα D. Definicija 1.5.6. Kaže se da niz (xx αα ) αα D konvergira ka x X, i piše se (xx αα ) αα D xx, ako za svaku okolinu UU, pri čemu je xx UU, postoji αα 0 D, tako da za svako ββ D, važi: ββ αα 0 xx ββ UU. Teorema 1.5.1. U Hausdorfovim prostorima uopšteni niz može da konvergira najviše jednoj tački. Dokaz: Pretpostavimo suprotno, da uopšteni niz iz Hausdorfovog prostora (xx αα ) αα D X konvergira ka tačkama x, y X, i x y. Dokažimo da je to nemoguće. Kako je X Hausdorfov prostor i x y to postoje okoline U, xx U i V, y V takve da važi U V =. Međutim, iz pretpostavki da (xx αα ) αα D x i (xx αα ) αα D y sledi: (1) (xx αα ) αα D xx onda postoji αα 1 = αα 1 (UU) DD, za svako αα DD pri čemu je αα αα 1, onda je xx αα DD, (2) (xx αα ) αα D yy onda postoji αα 2 = αα 2 (VV) DD, za svako αα DD pri čemu je αα αα 2, onda je xx αα DD. 8
Skup D je usmeren udesno, pa za αα 1, αα 2 D postoji αα 0 D tako da važi αα 0 αα 1 i αα 0 αα 2. Odavde, i iz (1) i (2) sledi xx αα0 UU V, što je u suprotnosti sa izborom okolina UU i V (UU V = ). Teorema 1.5.2. Neka su X i Y topološki prostori i f: X Y preslikavanje. Tada f je neprekidno u x X ako i samo ako za svaki niz (xx αα ) αα DD xx važi: (f (xx αα )) αα DD ff (xx). Dokaz: ( ): Neka je preslikavanje f neprekidno i (xx αα ) αα DD XX proizvoljan uopšteni niz. Iz neprekidnosti funkcije f u tački x XX sledi da za proizvoljnu okolinu V, f (x) VV postoji okolina U, x UU takva da je f (U) V. Za tu okolinu U, iz konvergencije uopštenog niza (xx αα ) αα D xx zaključujemo da postoji αα 0 = αα 0 (UU) DD, tako da za svako αα DD, pri čemu je αα αα 0 (UU), važi xx αα UU. Međutim, tada je i f (xx αα ) ff(uu) VV. Drugim rečima, za proizvoljnu okolinu V, f (x) VV, postoji element αα 0 = αα 0 (VV) DD, tako da za svako αα αα 0 (VV), važi ff(xx αα) VV, tj. (f (xx αα )) αα D ff(xx), što je i trebalo dokazati. ( ): Neka važi desna strana ekvivalencije. Pretpostavimo suprotno, da f nije neprekidna u x X. Tada postoji okolina V, f (x) V, takva da za svaku okolinu U, x U nije ispunjeno f (U) V. Neka je Bxx lokalna baza u x. Tada je (Bxx, ) usmeren skup i, na osnovu prethodnog, važi da za svaki skup B lokalne baze Bxx, i za svaku tačku tog skupa xb, važi : f (xx BB ) f (B)\ VV. Posmatrajmo sada uopšeni niz (xx BB ) BB Bxx. Kako važi da niz (xx BB ) BB BBxx konvergira ka x, tada po pretpostavci mora biti da niz (ff (xx BB ) BB BBxx ) konvergira ka tački f (x). Međutim, za odabranu okolinu V, pri čemu je f (x) iz V, važi f (xx BB ) VV, odakle sledi da (ff (xx BB ) BB BBxx ) ne konvergira ka f (x), što je u kontradikciji sa ranije dokazanim. Do kontradikcije nas je dovela pretpostavka da funkcija f nije neprekidna u x X. Dakle, funkcija f je neprekidna u x XX. 9
GLAVA 2 Risovi prostori 2.1. Osobine Risovih prostora U matematičkim modelima ekonomije koriste se realni parcijalno uređeni vektorski prostori. Uređeni realni vektorski prostori, sa određenim dodatnim osobinama, jesu Risovi 1 prostori. Imamo u vidu samo realne vektorske prostore, te ovu činjenicu nećemo posebno naglašavati. Definicija 2.1.1. Neka je X vektorski prostor. Parcijalno uređenje na X,, biće kompatibilno sa algebarskom strukturom prostora X, ako važe sledeća svojstva: (1) Za svaka tri elementa x, y, z X važi: xx yy xx + zz yy + zz; (2) Za svaka dva elementa x, y X, i svako λ R, λ 0 važi : x y λx λy. Tada je (X, ) uređen vektorski prostor. Možemo izvesti neke očigledne zaključke: Ako je x, y X i x y, onda je ravnopravna oznaka y x. Ako je x y i x y, onda je x < y, ili, ekvivalentno y > x. Elemenat x X je pozitivan, ako je x 0. Skup svih pozitivnih elemenata u (X, ) označen je sa XX +. Ako je x 0, onda je x + ( x) x, odnosno 0 x. Slično, ako je x y, onda je x y. Definicija 2.1.2. Neka je X vektorski prostor, i neka je K X. Skup K je konveksan konus, ako važi: (1) K + K K; (2) Za svako λ R, λ 0, je λk K; (3) K ( K) = {0}. Jednostavno je dokazati sledeći rezultat. 1 Frigyes Riesz (1880-1956), mađarski matematičar 10
Teorema 2.1.1. Neka je (X, ) uređen vektorski prostor, i neka je XX + skup svih pozitivnih elemenata u X. Tada je XX + konveksan konus. U vektorskom prostoru sa konusom definiše se na prirodan način parcijalno uređenje. Teorema 2.1.2. Neka je K konveksan konus uređenog vektorskog prostora (X, ). Definišemo relaciju na X na sledeći način: x y ako i samo ako y x K. Tada je parcijalno uređenje na X, a K je skup pozitivnih elemenata u odnosu na uređenje. Posmatrajmo neka važna svojstva uređenog vektorskog prostora (X, ) i skupa A koji je podskup u X. Elemenat m X je gornja granica skupa A, ako za svako a A važi a m. Elemenat u X je supremum skupa A, ako je u najmanja gornja granica skupa A, odnosno ako u je gornja granica skupa A, i ako je b gornja granica skupa A tada je u b. Analogno, n X je donja granica skupa A, ako za svako a A važi n a. Elemenat v X je infimum skupa A, kako je v najveća donja granica skupa A, odnosno ako je v donja granica skupa A, i ako je c donja granica skupa A onda je c v. Supremum skupa A se označava sa sup A, a infimum skupa A je označen sa inf A. Ako je A proizvoljan skup uređenog vektorskog prostora (X, ), onda ne moraju postojati donje ili gornje granice skupa A. U slučaju da postoje donje i gornje granice skupa A, ne sledi da obavezno postoje inf A ili sup A. Definicija 2.1.3. Neka je (X, ) uređen vektorski prostor. Ako za svaki konačan podskup A skupa X postoji sup A X, tada je X Risov prostor, ili vektorska rešetka. Teorema 2.1.3. Neka je (X, ) uređen vektorski prostor. X je Risov prostor, ako i samo ako za svaka dva elementa x, y X postoji sup{x, y} X. Sada dokazujemo teoremu o dualnosti postojanja supremuma i infimuma u uređenom vektorskom prostoru. Teorema 2.1.4. Neka je (X, ) uređen vektorski prostor. X je Risov prostor, ako i samo ako za svaka dva vektora x, y X postoji inf {xx, yy} X. 11
Dokaz: Neka je X Risov prostor, i neka je xx, yy X. Prema pretpostavci, postoji ssssss{ xx, yy } = zz. Neka je w = z. Kako je x, y z, sledi da je x, y z = w. Dakle, w je donja granica skupa {x, y}. Neka je u bilo koja donja granica skupa {x, y}. Tada je u x, y, te je u x, y. Sledi da je u gornja granica skupa { x, y}. Sa druge strane z je najmanja gornja granica skupa { x, y}, te je z u, odnosno u w. Dokazali smo da je w najveća donja granica skupa {x, y}, odnosno w = inf {x, y} X. Drugi deo dokaza sledi analogno. Koriste se i jednostavnije oznake supremuma i infimuma skupova u Risovim prostorima. Neka je x, y,xx 1,..., xx X i neka je K X. Tada je: x yy = ssssss{x, y} i ii=1 xx ii = ssssss {xx 1,..., xx }, x yy = iiiiii{x, y} i ii=1 xx ii = iiiiii{xx 1,..., xx }. Ako postoji supremum skupa K u X, onda je: sup K = xxxxxx xx XX. Analogno, ako postoji infimum skupa K u X, onda je : inf K = xxxxxx xx XX. U skladu sa novim oznakama, formulišemo jednostavan rezultat. Teorema 2.1.5. Ako je X Risov prostor, tada za svako x, y X važi xx yy = ( xx) ( yy) ii xx yy = ( xx) ( yy). Definicija 2.1.4. Neka je X Risov prostor, i neka je xx XX. Tada: -pozitivan deo elementa xx jeste xx + = xx 0, -negativan deo elementa xx jeste xx = xx 0, -apsolutna vrednost elementa xx jeste xx = xx ( xx). 12
Smatramo i operacije višeg prioriteta od operacije + i u Risovim prostorima. Dakle, xx + y z = x + ( y z ), xx yy z = x ( yy z ), za svako xx, yy, zz XX. Operacije i su ravnopravne sa operacijom množenja vektora skalarom, te pišemo precizno (λλλλ) yy i xx (λλλλ), za xx, yy XX, λ RR. Teorema 2.1.6. (Fundamentalni identiteti) Neka je X Risov prostor, i neka je xx, yy, zz XX i λ RR. Tada je: (1) x + y z = (x + y) (x + z), (2) x y z = (x y) (x z) i x y z = (x y) (x z); (3) x y = (x y) + + y = (y x) + + x; (4) λ(x y) = (λx) (λy) i λ(x y) = (λx) (λy), λ 0; (5) λx = λ x ; (6) x y = 1 (x + y + x y ) i x y = 1 (x + y x y ); 2 2 (7) x + y = x y + x y; (8) x = x + x i x + x = 0; (9) x = x + + x ; (10) x = 0 ako i samo ako x = 0; (11) x y = x y x y; (12) x + y x y = x + y ; (13) x y = 1 ( x + y + x y ); 2 (14) x y = 1 x + y x y. 2 13
Dokaz: 1)Neka je t = y z. Tada je y t i z t, te je x + y x + t i x + z x + t. Sledi da je x + t gornja granica za x + y i x + z. Pretpostavimo da je s proizvoljna gornja granica za x + y i x + z, odnosno neka je x + y s i x + z s. Tada je y s x i z s x.tada je t = y z s x, odnosno x + t s. Dakle, x + t je najmanja gornja granica za x + y i x + z, odnosno: x + t = (x + y) (x + z). 2) Drugi deo ovog tvrdenja se dokazuje analogno. 3) Na osnovu same definicije pozitivnog dela nekog elementa važi: (x y) + + y = (x y) 0 + y = (x y + y) (0 + y) = x y. 4) Ako je λ = 0, onda je ovo tvrđenje trivijalno. S toga, predpostavimo da je λλ > 0. Na osnovu x x y i y x y, sledi da je λx λ(x y) i λy λ(x y). Dakle, λ(x y) je gornja granica za λx i λy, te je (λx) ( λy) λ(x y). Sada neka je t gornja granica za λx i λy, odnosno za λx tt i λy tt. Tada je xx tt λλ i yy tt λλ, odakle sledi da je (x y) tt λλ. Proizilazi i da je λ(x y) najmanja gornja granica za λx i λy. (5) Pretpostavimo da je λ 0. Tada, po definiciji apsolutne vrednosti vektora, kao i prema upravo dokazanom tvrđenju (4), važi: Neka je sada λ < 0. Tada je λ = λ, i važi: λx = (λx) ( λx) = λ(x ( x)) = λ x. λx = (λx) ( λx) = λ(( x) x) = λ x. (6) Koristimo definiciju apsolutne vrednosti vektora, kao i tvrđenje (4): 1 2 (xx + yy + xx yy ) = 1 2 xx + yy + (xx yy) (yy xx) = 1 (2xx) (2yy) = xx yy. 2 Slično, koristimo tvrđenje (2): 1 (xx + yy xx yy ) = 1 xx + yy + (xx yy) (yy xx) = 1 (2xx) (2yy) = xx yy. 2 2 2 (7) Ovo tvrđenje sledi direktno sabiranjem dobijenih jednakosti u tvrđenju (6). (8) Neka je y = 0 u (7), a zatim iskoristimo odnos supremuma i infimuma: x = x 0 + x 0 = x 0 ( xx) 0 = xx + xx. 14
Takođe, x + x = (x + x + x ) x = (x + x ) 0 + x = x 0 + x = (( x) 0) + x = x + x = 0. (9) Na osnovu definicije apsolutne vrednosti, kao i tvrđenja (4) i (8), proizilazi: x = x ( x) = (2xx) 0 xx = 2(xx 0) (xx + xx ) = 2 xx + (xx + xx )= xx + + xx. (10) Ako je x = 0, onda je x = x 0 = 0. Ako je x = 0, onda je x + + x = 0. Kako je x +, x X + i X + je konveksan konus: Iz x + = x sledi x + = x = 0, te je i x = x + x = 0. (11) Koristeći dokazana tvrđenja proizilazi da važi: x y = (xx yy) (yy xx) =x + y (x + y) = (2x) (2y) (x y + x y) =2(x y) (x y + x y) = (x y) (x y). (12) Nakon svega dokazanog, sledi: x + y x y = ((x + y) ( x y)) ((x y) (y x)) = ((x + y) (x y)) (( x y) (y x)) = ( x + (y ( y)) ( x + (( y) y)) = (x + y ) ( x + y ) = (x ( x)) + y = x + y. (13) Kako bi dokazali ovo tvrđenje, koristimo tvrđenje (6). (14) Koristimo redom tvrđenja (11), (7), (12), (7): xx + yy xx yy = xx + yy xx yy xx + yy xx yy = xx + yy xx yy ( xx + yy + xx yy xx + yy xx yy ) =2( xx + yy xx yy ) ( xx + yy + xx yy ) 15
=2( xx + yy ) 2( xx yy ) =2( xx yy ). Teorema 2.1.7. Neka je X Risov proctor, A X i x X. (1) Ako postoji sup A, onda postoji i sup (x + A), pri čemu važi jednakost: x + sup A = sup (x + A). (2) Ako postoji inf A, onda postoji i inf (x + A), pri čemu važi: x + inf A = inf (x + A). (3) Ako postoje sup A i inf A, onda važe sledće formule: x sup A = inf (x A), x inf A = sup (x A), λ sup A = sup (λa), λ inf A = inf (λa), ako je λ 0. Koristeći dobijene rezultate, dobijamo uzajamnu distributivnost supremuma i infimuma. Teorema 2.1.8. Neka je X Risov prostor, A X i x X. (1) Ako postoji sup A, onda postoji i sup{x a : a A}, pri čemu važi: x sup A = sup{x a : a A}. (2) Ako postoji inf A, onda postoji i inf {x a : a A}, pri čemu važi: x inf A = inf {x a : a A}. (3) Specijalno, ako je A = {a1,..., an}, onda važe formule: x ( ii=1 aa ii ) = ii=1 (xx aa ii ), i x ( ii=1 aa ii )= (xx aa ii Dokaz: Neka je x X i s = sup A. Tada je za svako a A ispunjeno: x a x, x a a s. ii=1 ). Dakle, x a x s za svako a A, odnosno x s je gornja granica skupa {xx aa aa AA}. 16
Neka je t X proizvoljna gornja granica skupa {x a : a A}. Tada je x a t za svako a A. Iskoristimo dokazanu jednakost: Dakle, x + a x a t za svako a A. x + a x a = x a. Sledi da je a t + x a x t + x s x za svako a A. Sledi da je t + x s x gornja granica skupa A, te je s t + x s x. Još jednom iskoristimo formulu : x s = x + s x s, odakle sledi x s t. Proizilazi da je x s najmanja gornja granica skupa {x a : a A}, odnosno Preostala tvrđenja dokazuju se analogno. Dokazujemo važnu Birkofovu 2 teoremu. sup{x a : a A} = x sup A. Teorema 2.1.9. (Birkofov identitet) Neka je X Risov prostor, i neka je x, y, z X. Tada važ i: x z y z + x z y z = x y. Dokaz : Koristimo redom sledeće nejednakosti iz Teoreme 2.1.6, (11), distributivnost, (7) i (11) : x z y z + x z y z = = (xx zz) (yy zz) (xx zz) (yy zz) + ((xx zz) (yy zz) (xx zz) (yy zz)) = zz (xx yy) zz (xx yy) + zz (xx yy) zz (xx yy) = zz (xx yy) + zz (xx yy) zz (xx yy) + zz (xx yy) =(zz + xx yy) zz + (xx yy) = xx yy xx yy = xx yy. Koristeći prethodne rezultate u mogućnosti smo da formulišemo i dokažemo važne nejednakosti na Risovim prostorima. 17
Teorema 2.1.10. Neka je X Risov prostor i neka je x,y, z, xx 1,...xx XX. Tada važi: (1) xx yy (xx + yy + ii yy xx ); (2) xx yy xx + yy xx + yy (nejednakost trougla); (3) xx zz yy zz xx yy i xx zz yy zz xx yy (ova nejednakost je inače poznata kao Birkofova nejednakost ); (4) x,xx 1,..., xn XX + x (xx 1 + + xn ) x x1+ + x xn. Ako za svako i j važi x xi xj = 0, onda prethodna nejednakost postaje jednakost: (4) n(xx 1 + xx + )= n(xx 1 xn) + (xx 1 + + xn) +. Dokaz: (1) Neka je x y. Tada je x y y 0 = y +. Kako je i 0 y +, sledi da je x + = x 0 y +. Iz y x sledi, analogno y + x. (2) Očigledno važi : xx + yy xx + yy, kao i (xx + yy) = xx yy xx + yy. Stoga je : xx + yy = (xx + yy) ( (xx + yy)) xx + yy. Kako bi pokazali drugu nejednakost, primetimo da važi x = (x + y) y x + y + y, Odakle sledi nejednakost: xx yy xx + yy. Analogno dokazujemo nejednakost : yy xx xx + yy, te je : xx yy =( xx yy ) ( yy xx ) xx + yy. (3) Neposredno slede iz Birkofovog identiteta. (4) Neka je x, xx 1, xx 2 XX +. Jednostavnosti radi, neka je y = x (xx 1 + xx 2 ). Tada je y xx 1 + xx 2, odakle sledi da je y xx 1 xx 2. Takođe je y xx 1 y x, te je y xx 1 x xx 2. Sledi da je y x xx 2 xx 1. Koristeći nejednakost y x xx 2 y x dobijamo: y x xx 2 x xx 1 i y x xx 1 + x x2. Ako je x xx 1 xx 2 = (x xx 1 ) (x xx 2 ) = 0, onda na osnovu 18
x (xx 1 + xx 2 ) x xx 1 + x xx 2 = (x xx 1 ) (x xx 2 ) + (x xx 1 xx 2 ) = (x xx 1 ) (x xx 2 ) = x (xx 1 xx 2 ) x (xx 1 + xx 2 ), sledi da važi: x (xx 1 xx 2 ) = x xx 1 + x xx 2. Primetimo da smo iskoristili činjenicu: xx 1 + xx 2 = xx 1 xx 2 + xx 1 xx 2 xx 1 xx 2 ako je x1 0 i xx 2 0. Opšti slučaj dokazuje se indukcijom po n. (5) Na osnovu nejednakosti: n(xx 1 xn) xx 1 + + xn n(xx 1 xn) (xx 1 + + xn) +. Primetimo da važi: n(xx + + 1 xx ) = [(xx 1 0) (xx 0)] = [(xx 1 xx 2 xx ) 0] = (xx 1 xx 2 xx ) +. Time je dokaz završen. 2 Garrett Birkhoff (1911 1996), američki matematičar 19
2.2. Razdvojeni vektori Pojmu ortogonalnosti vektora u Risovim prostorima odgovara razdvojenost vektora. Definicija 2.2.1. Neka je X Risov prostor, i neka je x, y X. Vektori x i y su uzajmno razdvojeni ili ortogonalni, u oznaci x y, ako je x y = 0. Ako je A, B X, onda su A i B uzajamno razdvojeni, u oznaci A B, ako za svako a A i svako b B važi a b. Vektor x X je razdvojen u odnosu na C u oznaci x C, ako za svako c C važi x c, pri čemu je C X. Teorema 2.2.1. Neka je X Risov prostor i x, y, z X i λ, µ R i A X. Važe sledeća tvrđenja: (1) Ako je x y i x z, onda je x (λy + µz); (2) x y ako i samo ako je x + y = x y ; (3) Ako je x y, onda je xx + yy = xx yy = xx + yy = xx yy = xx yy. (4) Ako se skup A sastoji od uzajamno razdojenih nenula vektora, tada je skup A linearno nezavisan. Dokaz: (1) Pretpostavimo da je x y i x z. Tada je : 0 xx λλλλ + µzz xx ( λλλλ + µzz ) = xx ( λλ yy + μμ zz ) xx ( λλ yy ) + xx ( μμ zz ) (1 + λλ ) xx (1 + λλ ) yy + (1 + μμ ) zz = (1 + λλ )( xx yy ) + (1 + μμ )( xx zz ) =(1 + λλ )0 + (1 + μμ )0 = 0. Stoga je xx λλλλ + µzz = 0, odnosno x (λy + µz) (2) Primetimo da smo ranije dokazali identitet: xx yy = 1 xx + yy xx yy. 2 Na osnovu ovog identiteta odmah sledi da je: x y xx yy = 0 xx + yy = xx yy. (3) Pretpostavimo da je ispunjeno x y. Tada je xx yy = xx + yy. Primenimo isti zaključak na vektore xx i yy : 20
xx yy = xx + yy = xx + yy = xx yy + xx yy = xx yy. Sada je : xx + yy = xx yy = xx + yy xx yy = xx + yy. (4) Pretpostavim da su xx 1.., xx A uzajamno razdvojeni vektori, i neka je αα 1 xx 1 + + αα xn = 0 za neke skalare, αα 1..., αn R. Koristimo sada prethodnu činjenicu da za razdvojene vektore nejednakost trougla u stvari jeste jednakost, te je 0 = αα 1 xx 1 + + αα xx = αα 1 xx 1 + + αα xx = αα 1 xx 1 + + αα xx. Odavde sledi da je αα ii xi = 0 za svako i = 1,..., n. Kako je xi > 0 za svako i, sledi da je α αα ii = 0 za svako i. Dakle, vektori xx 1.., xx su linearno nezavisni. U istraživanjima u vezi Risovih prostora fundamentalnu ulogu ima Risova osobina o dekompoziciji. Teorema 2.2.2. (Risova teorema o dekompoziciji) Neka je X Risov prostor, i x, yy 1,.., yy X, tako da je x yy 1 + + yy. Tada postoje elementi xx 1,..., xx X, tako da je xi yi za svako i, kao i x = xx 1 + + xx. Osim toga, ako je x pozitivan vektor, onda se može podesiti da su i vektori xx 1.., xx takođe pozitivni. Dokaz: Dokazaćemo tvrđenje za n = 2, a ostatak sledi indukcijom po n. Neka je x,yy 1, yy 2 XX i xx yy 1 + yy 2. Neka je xx 1 = xx ( yy 1 ) yy 1. Na osnovu nejednakosti yy 1 xx ( yy 1 ) i yy 1 yy 1, sledi da je yy 1 xx 1, odnosno xx 1 yy 1. Sa druge strane, iz x1 yy 1 sledi xx 1 = ( xx 1 ) xx 1 yy 1. (Ako bi dodatno bilo x 0, onda bi važilo x ( yy 1 ) = x, te je x x1 = x yy 1 0.) Neka je xx 2 = x xx 1. (Još jednom, ako je x 0, onda je 0 xx 2 x). Tada je: xx 2 = x (xx ( yy 1 )) yy 1 = (0 (xx + yy 1 )) (x yy 1 ). Kako je x yy 1 + yy 2, sledi da je: yy 1 yy 2 x yy 1 + yy 2. Stoga je: y2 = ( yy 2 ) 0 (x + yy 1 ) 0 xx 2 = (0 (xx + yy 1 )) (x yy 1 ) 0 (x yy 1 ) yy 2. 21
2.3 Solidni podskupovi Risovih prostora Definicija 2.3.1. Neka je X Risov prostor, i neka je S X. Skup S je solidan, ako važi implikacija: (xx XX i yy SS i xx yy xx SS). Skup S je balansiran, ako za svako λ [0, 1] i svako x S važi λx S. Ako je S solidan skup u Risovom prostoru X, onda je S balansiran skup. Na osnovu očigledne nejednakosti x x, ako je S solidan skup, onda trivijalno važi ekvivalencija: x S ako i samo ako x S. Definicija 2.3.2. Neka je X Risov prostor i neka je A X. Solidna obvojnica skupa A u X jeste skup: Sol(A) = {y X, tako da postoji element x skupa A, tako da je y x }. Sledeće tvrđenje opisuje najmanji solidan skup koji sadržii proizvoljan podskup Risovog prostora. Teorema 2.3.1. Neka je X Risov prostor i neka je A X. Tada je Sol(A) najmanji solidan skup koji sadrzi skup A. Dokaz: Sol(A) je trivijalno solidan skup u X. Neka je S bilo koji solidan skup u X, za koji važi A S. Neka je y Sol(A). Tada postoji x A S, tako da je y x. Skup S je solidan, te je y S. Dakle, Sol(A) S. Definicija 2.3.3. Neka je X Risov prostor i A X. Konveksna obvojnica skupa A u X jeste skup: Co(A) = {x X, tako da postoje elementi xx 1, xx 2,, xx AA, i postoje realni brojevi za koje je λλ 1, λλ 2,, λλ [0,1) i ii=1 λλ ii = 1, tako da je x= ii=1 λλ ii xx ii }. Dokazujemo važan rezultat o konveksnoj obvojnici solidnog skupa. Teorema 2.3.2. (Namioka) Neka je X Risov prostor, i neka je S solidan podskup od X. Tada je konveksna obvojnica od S, odnosno skup Co(S) takođe solidan u X. Dokaz: Neka je S solidan podskup od X, i neka je x CCCC(SS) i neka je y X sa svojstvom y x. Tada, postoje vektori xx 1, xx 2,, xx SS i skalari λλ 1, λλ 2,, λλ [0,1),sa svojstvom ii=1 λλ ii = 1, tako da je x= ii=1 λλ ii xx ii. Bez gubljenja opštosti neka je λλ ii 0, za svako ii = 1,. 22
Kako je y x = ii=1 λλ ii xx ii, na osnovu Risove dekompozicije, sledi da postoje vektori yy 1, yy 2, yy XX tako da je: yy ii λλ ii xx ii = λλ ii xx ii, za svako ii = 1,, i yy = Neka je zz ii = 1 λλ ii yy ii. Na osnovu zz ii xx ii, sledi ja je zz ii SS, za svako ii = 1,. S toga je, yy = ii=1 yy ii = ii=1 λλ ii zz ii CCCC(SS), odnosno CCCC(SS) je solidan skup. Razmatraćemo pojam uređajne konvergencije mreža na Risovim prostorima. Neka je X Risov prostor, i neka je (xx αα ) αα Ʌ rastuća mreža. ii=1 yy ii. Drugim rečima, ako je α, β Λ i α β, tada je xx αα xx ββ. Pri tome vodimo računa da smo istim simbolom označili uređenje u indeksnom skupu Ʌ i u Risovom prostoru X. Mreža je (xx αα ) αα Ʌ opadajuća, ako iz α β sledi xx αα xx ββ. Ako je (xx αα ) αα Ʌ rastuća mreža u Risovom prostoru, i ako postoji x = sup{xx αα : α Λ}, onda je oznaka xx αα x. Ako je (xx αα ) αα Ʌ opadajuća mreža u Risovom prostoru, i ako postoji x = inf{xx αα : α Λ}, onda je oznaka xx αα x. Definišemo konvergenciju mreže u odnosu na uređenje (uređajnu konvergenciju) u Risovom prostoru. Definicija 2.3.4. Neka je X Risov prostor, neka je x X i neka je (xx αα ) αα Ʌ mreža u X. Mreža (xx αα ) αα Ʌ konvergira ka x u odnosu na uređenje (uređajno konvergira), u oznaci oo x, ako postoji mreža (yy αα ) Ʌ, tako da je yy αα 0 i x a yy αα, za svako α Λ. U tom slučaju je x uređajna granica (xx αα ) αα Ʌ. Napominjemo da, u prethodnoj definiciji zahtevamo isti usmeren skup Λ za mreže(xx αα ) αα Ʌ i (yy αα ) αα Ʌ. Dokazujemo da je uređajna granica mreže jedinstveno određena. Teorema 2.3.3. Neka je X Risov prostor. Ako mreža (xx αα ) αα Ʌ uređajno konvergira onda postoji tačno jedna uređajna granica ove mreže. Dokaz: Pretpostavimo da je xx αα oo xx i xxαα oo yy.tada postoje mreže (uuαα ) i (vv αα ) sa svojstvom uu αα 0 ii vv αα 0, kao i xx αα xx uu αα i xx αα yy vv αα, za svako αα. Tako da za svako αα važi: xx yy xx xx αα + xx αα yy uu αα + vv αα. Kako je (uu αα + vv αα ) 0, sledi da je xx yy = 0, te je xx = yy. 23
Dokazujemo osnovna svojstva uređajne konvergencije u Risovim prostorima. Teorema 2.3.4. Neka je X Risov prostor i neka za mreže (xx αα ) αα Ʌ i (yy ββ ) ββ ΔΔ važi da xx αα oo xx i yyββ oo yy. Tada važe sledeća tvrđenja: (1) xx αα oo xx ; (2) λλxx αα + μμyy oo ββ λλλλ + μμμμ; oo + (3) xx αα xx + ii xx oo αα xx ; (4) xx αα yy ββ oo xx yy ii xxαα yy ββ oo xx yy. Napominjemo da u tvrđenjima (2) i (3) ove teoreme kao indeksni skup koristimo Ʌ ΔΔ. Podsetimo se da ovaj skup jeste usmeren u odnosu na uređenje: (αα 1, ββ 1 ) (αα 2, ββ 2 ) (αα 1 αα 2 ii ββ 1 ββ 2 ). Dokaz : Postoje mreže (xx ) Ʌ i (yy ββ ) ββ ΔΔ tako da važi : (1) Na osnovu nejednakosti trougla važi: xx αα xx xx αα 0 i yy ββ yy vv ββ 0 xx αα xx xx αα xx xx αα 0. Prema tome, xx αα oo xx. (2) Važi: λλxx αα + μμyy ββ λλλλ μμμμ λλ xx αα xx + μμ yy ββ yy λλ xx αα + μμ vv ββ. Nije teško proveriti da važi ( λλ uu αα + μμ vv ββ ) 0, odakle sledi da je λλxx αα + μμyy ββ oo λλλλ + μμμμ. (3) Iz xx = xx + xx i xx = xx + + xx, sledi da je xx + = 1 ( xx + xx) i 2 xx = 1 ( xx xx). 2 Na osnovu tvrđenja (1) i (2) sledi: xx αα + = 1 2 ( xx αα + xx αα ) oo 1 2 ( xx + xx) = xx+. Drugi deo tvrđenja se dokazuje analogno. (4) Podsetimo se sledećih identiteta: x yy = 1 (xx + yy + xx yy ) i xx yy = 1 (xx + yy xx yy ). 2 2 Na osnovu dokazanih tvrđenja (1) i (2) sledi: xx y = 1 2 xx αα + yy ββ + xx αα yy ββ oo 1 2 (xx + yy + xx yy ) = xx yy. Drugo se tvrđenje dokazuje analogno. 24
Teorema 2.3.5. Neka je X Risov prostor, i neka je (xx αα ) αα Ʌ mreža u X. Tada važe tvrđenja: (1) Ako xx αα 0 ili xx αα 0, onda xx αα oo 0; (2) Ako xx αα x ili xx αα x, onda xx αα oo x; (3) Neka postoji αα 1 Λ tako da je za svako α αα 1 ispunjeno xx αα z, onda je x z; (4) Ako je xx αα oo x, onda je x zz; (5) Ako je xx αα i xx αα oo x, onda xx x. Dokaz: (1) Pretpostavimo da je xx αα 0, onda je trivijalno xx αα 0 xx αα 0, odakle sledi xx αα oo 0. Drugi deo tvrđenja je analogan. (2) Pretpostavimo da je xx αα x. Pretpostavimo da je xx αα = xx αα xx. Tada je yy αα oo 0, odakle sledi xx αα oo x. Drugo tvrđenje sledi analogno. (3) Pretpostavimo da je za svako α αα 1 ispunjen uslov xx αα z, kao i xx αα oo x. Neka je x > z i pri tome α αα 1. Tada je x z > 0 i z xx αα 0. S toga je x xx αα = x z + z xx αα x z. Postoji mreža (uu αα ) αα tako da je x xx αα = x xx αα u 0. Tada sledi da je (x z) uu αα 0, te je x = z. Sledi da nije moguće x > z, te mora biti x zz. (4) Neka je xx αα i xx αα oo x. Pretpostavimo da je x < xx1 za neko αα 1 Λ. Tada za svako α αα 1 važi xx αα > x. Prema (3), ne može biti xx αα oo x. Stoga je i xx αα x za svako α Λ. Dakle, x je gornja granica skupa {xx αα : α Λ}. Pretpostavimo da je z bilo koja druga granica skupa {xx αα : α Λ}. Tada je i xx αα z za svako α Λ. Prema (3), mora biti x z odnosno x je najmanja gornja granica skupa {xx αα : α Λ}. Dakle, xx αα x. Neka je X Risov prostor i neka je M X. Skup M je uređajno zatvoren, ako M sadrži uređajne granice svih svojih uređajno konvergentih mreža. Drugim rečima, M je uređajno zatvoren, ako za svaku mrežu (xx αα ) αα Ʌ u M sa svojstvom xx αα x, važi x M. Ako je (Λ, ) (N, ), odnosno usmereni skup je skup prirodnih brojeva sa prirodnim uređenjem, onda dobijamo slabiju vrstu uređajne konvergencije. Neka je (xn)n niz u Risovom 25
prostoru X. Niz (xn)n uređajno konvergira ka x X, ako postoji niz (yn)n tako da je yn 0 i xn x yn za svako n N. Oznaka je xn x. oo Skup M je σ-zatvoren u X, ako M sadrži uređajne granice svih svojih uređajno konvergentnih nizova. Drugim rečima, M je σ-uređajno zatvoren, ako za svaki niz (xn)n u M sa svojstvom oo xn x, važi x M. Skup N je specijalno usmeren skup. Stoga svaki uređajno zatvoren skup mora biti i uređajno σ-zatvoren. Obrnuto tvrđenje, u opštem slučaju, ne važi. Jednostavno je opisati uređajnu zatvorenost solidnih skupova. Teorema 2.3.6. Neka je X Risov prostor, i neka je S solidan skup u X. Sledeća tvrđenja su ekvivalentna: (1) S je uređajno zatvoren; (2) Za svaku mrežu (xx αα ) αα Ʌ u S, ako je 0 xx αα x, onda x S. Dokaz: (1) (2) Dokaz očegledno sledi iz uređajne zatvorenosti skupa S. (2) (1) Predpostavimo da važi svostvo (2), i neka je (xx αα ) αα Ʌ proizvoljna mreža u S sa oo svojstvom xx αα xx. Postoji mreža (yyαα ) αα Ʌ sa svojstvom yy αα 0 i xx αα xx yy αα, za svako αα. Primetimo da je: 0 ( xx yy αα ) +. Iz yy αα 0 sledi ( xx yy αα ) xx, te je i ( xx yy αα ) + xx Na osnovu yy αα 0 sledi y 0, te je y = y. Sada je x xx αα xx xx αα x xx αα yy αα, te je x yy αα = x yy αα xx αα. Sledi da je ( x yy αα ) + yy αα. Kako je xx αα S, i skup S je solidan, sledi da je ( x yy αα ) + S za svako α. Na osnovu ( x yy αα ) x i osobine (2) sledi da je x S. Još jednom, x x i S je solidan skup, te je x S. Na taj način je dokazano da je S uređajno zatvoren skup. 26
2.4. Ideali, trake i Risovi potprostori Razmatramo specijalne vektorske potprostore Risovih prostora. Definicija 2.4.1. Neka je X Risov prostor, i neka je Y vektorski potprostor od X. Ako je Y solidan, onda je Y ideal u X. Ako je Y ideal u X, i ako je Y uređajno σ-zatvoren, onda je σσ-ideal u X. Ako je Y ideal u X, i ako je Y uređajno zatvoren, onda je Y traka u X. Dokazujemo nekoliko jednostavnih tvrđenja. u X. Teorema 2.4.1. Ako je X Risov prostor i ako su M, N ideali u X, onda je M + N ideal Dokaz: M i N su vektorski potprostori od X, te je trivijalno M + N vektorski potprostor od X i neka je x X i y M + N, tako da je x y. Tada je y = u + v, pri čemu je u M i v N. Sledi da je x u + v. Na osnovu Risove teoreme o dekompoziciji, postoje vektori uu 1 M i vv 1 N, tako da je xx = uu 1 +vv 1, uu 1 u i vv 1 v. Skupovi MM i NN su solidni te važi : uu 1 M i vv 1 N. Dakle, x = uu 1 + vv 1 M + N. Proizilazi da je M + N solidan skup, te je M + N ideal u X. Teorema 2.4.2. Neka je M ideal u Risovom prostoru. Tada je: (1) M je traka, ako i samo ako: iz 0 x x i x M za svako αα Λ, sledi x M; (2) M je σ-ideal, ako i samo ako: iz 0 xn x i xn M za svako n N, sledi x M. Dokaz: (1) Neka je M ideal u X. Važi sledeći lanac ekvivalencija: M je traka, ako i samo ako M je uređajno zatvoren, ako i smo ako M sadrži supremume svih rastućih mreža u M. (2) Analogno sa (1). Neka je M podskup Risovog prostora X. Presek svih ideala u X, koji sadrže skup M jeste: Ideal (M)= YY jjjj iiiiiiiiii uu XX MM YY YY. Teorema 2.4.3. Ideal(M) je najmanji ideal koji sadrži M. Dokaz: Ideal(M) je očigledno vektorski potprostor od X, jer je definisan kao presek vektorskih prostora. Takođe, Ideal(M) je solidan skup, jer je definisan kao presek solidnih skupova. Sledi da je Ideal(M) ideal u X. Ideal(M) je ideal generisan skupom M. 27
Definicija 2.4.2. Element e X je uređajna jedinica (stroga jedinica) ako je e > 0 i Ideal(e) = X. Ekvivalento, e >0 je uređajna jedinica u X, ako za svako x X postoji λ > 0 tako da je x λe (ili, takođe ekvivalentno, x λe). Teorema 2.4.4. Ako je M X, onda je Idea (M )= xx XX za xx 1, xx 2,, xx MM, postoji λλ 0, tako da je xx λλ xx ii. Dokaz: Označimo sa N skup na desnoj strani: N= xx XX za xx 1, xx 2,, xx MM, postoji λλ 0, tako da je xx λλ xx ii. Očigledno je M N (n = 1, xx 1 = xx MM). Neka je x, y NN, αα, ββ RR.Tada postoje xx 1, xx 2,, xx MM i λ 0, tako da je mm xx λλ ii=1 xx ii. Takođe, postoje yy 1, yy 2,, yy mm MM i λ 0, tako da je yy μμ ii=1 yy ii. Neka je γγ = mmmmmm{λλ αα + μμ ββ }. Tada je αααα + ββββ γγ( xx 1 + + xx + yy 1 + + yy mm ). Time je dokazano da je αααα + ββββ NN. Dakle, N je vektorski potprostor od X. Neka je z XX sa svojstvom zz xx. Tada je trivijalno zz λλ ii=1 xx ii. Ovim je dokazano da je N solidan skup. Dokazali smo da je N ideal koji sadrži skup M, te je Ideal(M) N. U cilju dokazivanja obrnute inkluzije, pretpostavimo da je Y proizvoljan ideal u X sa svojstvom M Y. Neka je xx NN. Kao u prethodnom delu važi xx λλ ii=1 xx ii, pri čemu je xx 1, xx 2,, xx MM i λ 0. Kako je Y vektorski prostor,sledi da je λλxx 1, λλλλ 2,, λλλλ YY. YY je solidan skup, te je x YY. Dokazali smo da je N Y. Proizilazi da je N sadržan u svakom idealu Y sa svojstvom M Y. S toga je NN IIIIIIIIII(MM). Posledica 2.4.1. Ako je x XX, oooooooo jjjj ii=1 Ideal (x)={yy XX postoji λλ 0, tako da je yy λλ xx } Definicija 2.4.3. Neka je X Risov prostor, i neka je Y vektorski potprostor od X. Y je Risov potporostor, ako je Y Risov prostor sam za sebe. Ekvivalentno, Y je Risov potprostor od X ako i samo ako za svako x, y Y važi x y Y, pri čemu je x y uzet kao supremum u X. Dokazaćemo nekoliko jednostavnijih tvrđenja. ii=1 28
Teorema 2.4.5. Neka je Y vektorski potprostor Risovog prostora X. Y je Risov potprostor od X ako i samo ako za svako x Y važi x + Y. Dokaz: Pretpostavimo da je Y Risov potprostor od X. Neka je x Y je x + = x 0 Y. Obratno, predpostavimo da za svako z Y važi z + Y. Neka je x, y Y. Tada je (Teorema 2.1.6 (3)) x y = (x y) + + y. Po pretpostavci, (x y) + Y. Takođe, Y je vektorski prostor, te je (x y) + + y Y. Time je dokazano x y Y, odakle sledi da je Y Risov potprostor. Teorema 2.4.6. Ako je Y ideal u Risovom prostoru X, tada je Y Risov potprostor od X. Dokaz: Y je solidan skup, te podsećamo na ekvivalenciju x Y ako isamo ako x Y. Ako je x Y, onda na osnovu 0 x + x sledi x + Y. Iz Teoreme 2.4.5 proizilazi da je Y Risov potprostor. Obrnuto tvđenje ne važi u opštem slučaju, što pokazuje sledeći primer. Primer 2.4.1. Posmatrajmo Risov prostor R 2, pri čemu je uređenje koordinatno definisano. Dakle, (x, y) (u, v) ako i samo ako x u i y v. Neka je Y = {(x, x) : x R}. Tada je Y Risov potprostor od R 2 ali nije ideal u R 2. Nije teško dokazati sledeći rezultat. Teorema 2.4.7. Neka je Y Risov potprostor Risovog prostora X. Sledeće tvrđenja su ekvivalentna: (1) Y je ideal u X; (2) Za svako xx, yy XX takvi da 0 xx yy ii yy YY xx YY. Definicija 2.4.4. Neka je X Risov prostor, i neka je Y Risov potprostor od X. Utapanje Y X čuva proizvoljne supremume i infimume, ako za svaki podskup M Y važi: (1) Ako postoji y = sup M u Y, onda postoji i x = sup M u X, pri čemu je x = y; (2) Ako postoji y = inf M u Y, onda postoji i x = inf M u X, pri čemu je x = y. Analogno se definiše utapanje koje čuva supremume i infimume prebrojivih skupova. Iz činjenice da je Y Risov podprostor sledi da utapanje Y X čuva konačne supremume i infimume. Stoga prethodna definicija ima netrivijalnu primenu samo ako je M beskonačan skup. 29
Definicija 2.4.5. Neka je Y Risov potprostor Risovog prostora X. (1) Y je regularan, ako utapanje Y X čuva proizvoljne supremume i infimume; (2) Y je σ-regularan, ako utapanje Y X čuva supremume i infimume prebrojivih skupova; (3) Y je majorirajući, ako za svako x X postoji y Y tako da je x y. Teorema 2.4.8. Neka je X Risov prostor, i neka je Y Risov potprostor od X. Sledeća tvrđenja su ekvivalentna: (1) Y je regularan Risov potprostor od X; (2) Ako je (xx αα ) αα Ʌ u Y zadovoljava xx αα 0 u Y, onda je xx αα 0 i u X; (3) Ako je (xx αα ) αα Ʌ u Y zadovoljava xx αα 0 0 u Y, onda xxαα 0 0 u Y i u X. Dokaz : (1) (2) : Neka je mreža (xx αα ) αα Ʌ u Y koja zadovoljava yy αα 0 u Y. Sledi da je (xx αα ) αα Ʌ opadajuća mreža u Y, a samim tim i u X. Takođe, 0 =inf {xx αα αα Ʌ} u Y. Kako je Y regularan, sledi da je 0 = inf {xx αα αα Ʌ} u X, te je xx αα 0 u X. (2) (3) Pretpostavimo da mreža (xx αα ) αα Ʌ u Y zadovoljava xx αα 0 0 uu YY. Tada postoji mreža (yy αα ) αα Ʌ u Y, tako da je x xx αα yy αα 0 u Y. Prema pretpostavci (2), sledi da je yy αα 0 u Y u X, te je xx αα 0 0 u X. (3) (1) Neka je M Y i x = sup M u Y. Dokazaćemo da postoji mreža (xx αα ) αα Ʌ u Y, sa 0 svojstvom xx αα 0 u Y. Ako je x M, onda se trivijalno može uzeti xxαα = x, pri čemu je αα = x Y i Y je indeksni skup. Pretpostavimo da x M. Neka je x1 M. Tada je x1 < x. Na osnovu osobina supremuma, postoji x2 M tako da je x1 < x2 < x. Ako takvo x2 ne bi postojalo, onda bi bilo x1 = sup M, što je po pretpostavci nemoguće. Na ovaj način konstruišemo prebrojiv niz (xn)n u Y sa očiglednim svojstvom xx αα 0 xx u Y. Prema pretpostavci (3) xxαα 0 xx u X, sledi da je x = sup M u X. Kao posledicu prethodne teoreme, formulišemo sledeći rezultat. Posledica 2.4.2. Neka je X Risov prostor. Ako je Y ideal u X, onda je Y regularan Risov potprostor od X. Razmatramo osobinu uređajne gustine. 30