Konacne grupe, dizajni i kodovi

Konačne grupe, dizajni i kodovi Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) 1. veljače 2011. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 1 / 36

J. Moori, Finite Groups, Designs and Codes, NATO Science for Peace and Security, Series D: Information and Communication Security, Vol.29 (2011), 202-230. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 2 / 36

Osnovni pojmovi iz teorije dizajna Incidencijske strukture Definicija Incidencijska struktura D je uredena trojka (P, B, I), gdje su P i B neprazni disjunktni skupovi i I P B. Elementi skupa P se nazivaju točke, elementi skupa B blokovi, a relacija I relacija incidencije. Broj blokova koji su incidentni s točkom P naziva se stupanj točke P i broj točaka koje su incidentne s blokom x naziva se stupanj bloka x. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 3 / 36

Osnovni pojmovi iz teorije dizajna Za incidencijsku strukturu u kojoj je svaka od v točaka stupnja r i svaki od b blokova stupnja k vrijedi vr = bk. Definicija Incidencijska struktura je simetrična ako je broj točaka jednak broju blokova tj. P = B Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 4 / 36

Osnovni pojmovi iz teorije dizajna Neka je D = (P, B, I) konačna incidencijska struktura takva da je P = v i B = b. Označimo elemente skupa P sa P 1,..., P v i elemente skupa B sa x 1,..., x b. Matrica incidencije incidencijske strukture D je v b matrica M = (m ij ) { 1, (Pi, x m ij = j ) I, 0, (P i, x j ) / I. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 5 / 36

Osnovni pojmovi iz teorije dizajna Dualna struktura Struktura D = (P, B, I ), gdje je P = B, B = P, I = {(x, P) (P, x) I} naziva se dualna struktura strukture D. Komplementarna struktura Incidencijska struktura D = (P, B, Ĩ) gdje je Ĩ = P B I, tj. vrijedi (x, B) Ĩ (x, B) / I, naziva se komplementarna struktura strukture D. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 6 / 36

Osnovni pojmovi iz teorije dizajna Definicija Neka su D = (P, B, I) i D = (P, B, I ) incidencijske strukture. Bijektivno preslikavanje f : P B P B je izomorfizam iz D na D ako vrijedi: 1 f preslikava P na P i B na B 2 (P, x) I (f (P), f (x)) I, P P i x B Ako je D = D, onda se preslikavanje f naziva automorfizam. Skup svih automorfizama je grupa s obzirom na kompoziciju funkcija i naziva se puna grupa automorfizama strukture D. Samodualna struktura Struktura D naziva se samodualna struktura ako je izomorfna svojoj dualnoj strukturi. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 7 / 36

Dizajni Osnovni pojmovi iz teorije dizajna Definicija Konačna incidencijska struktura D = (P, B, I) je t (v, k, λ) dizajn ako vrijedi sljedeće: 1 P = v, 2 svaki element skupa B incidentan je s točno k elemenata skupa P, 3 svakih t elemenata skupa P incidentno je s točno λ elemenata skupa B. Definicija 2 (v, k, λ) dizajn naziva se blok dizajn. Definicija t (v, k, λ) dizajn takav da je v = b naziva se simetričan dizajn. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 8 / 36

Osnovni pojmovi iz teorije dizajna Grafovi Definicija Neka je G = (V, E, I) konačna incidencijska struktura. G je graf ako je svaki element skupa E incidentan s dva (ne nužno različita) elementa iz skupa V. Elementi skupa V se nazivaju vrhovi i elementi skupa E bridovi. Dva vrha u i v su susjedna ako su incidentna s istim bridom. Broj bridova incidentnih s vrhom v naziva se stupanj vrha v. Brid e koji spaja vrh v sa samim sobom naziva se petlja. Graf bez petlji u kojemu su svaka dva vrha incidentna najviše s jednim bridom naziva se jednostavan graf. Matrica susjedstva grafa G s n vrhova (v 1,..., v n ) je n n matrica A. Element a ij matrice A je broj bridova incidentnih s vrhovima v i i v j. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 9 / 36

Osnovni pojmovi iz teorije dizajna Put u grafu G je netrivijalan niz v 0 e 1 v 1 e 2...e k v k u kojemu su svi vrhovi i svi bridovi medusobno različiti, pri čemu su v 0,..., v k vrhovi grafa G i e i, i = 1,..., k bridovi koji su incidentni s vrhovima v i 1 i v i. Graf G je povezan graf ako za svaka dva vrha tog grafa postoji put koji ih povezuje. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 10 / 36

Osnovni pojmovi iz teorije dizajna Graf u kojem su svi vrhovi jednakog stupnja k naziva se k regularan graf. Definicija Neka je G = (V, E, I) graf sa n vrhova. Graf G je jako regularan graf s parametrima (n, k, λ, µ) ako vrijedi: 1 G je jednostavan k regularan graf, 2 svaka dva susjedna vrha imaju točno λ zajedničkih susjednih vrhova, 3 svaka dva nesusjedna vrha imaju točno µ zajedničkih susjednih vrhova. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 11 / 36

Osnovni pojmovi iz teorije dizajna Linearni kodovi Definicija Neka je q prim broj i neka je F konačno polje reda q te neka je n N. Linearan kod duljine n je linearni podprostor vektorskog prostora F n. Kod je binaran za q = 2. Elementi koda zovu se riječi koda. Oznaka: [n, k, d] F n je dimenzija vektorskog prostora k je dimenzija koda d je minimalna težina, tj. d = min{w(c) c C, c 0} Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 12 / 36

Osnovni pojmovi iz teorije dizajna Hammingova udaljenost Neka je x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) F n. Broj d(x, y) = {i 1 i n, x i y i } se naziva Hammingova udaljenost. Težina riječi koda Za x F n, težina w(x) od x je definirana sa Generirajuća matrica w(x) = d(x, 0) = {i N i n, x i 0} Matrica dimenzije k n čiji se retci sastoje od vektora baze koda [n, k, d] zove se generirajuća matrica. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 13 / 36

Dualni kod Osnovni pojmovi iz teorije dizajna Skalarni produkt Skalarni produkt vektora x = (x 1... x n ) i y = (y 1... y n ), x, y F n je skalar x, y = n i=1 x iy i F. Ako je x, y = 0, kažemo da su x i y ortogonalni. Dualni kod Za linearni kod C F n definiramo dualni kod C F n sa C = {x F n ( y C) x, y = 0} Ako je C [n, k] kod, tada je C [n, n k] kod. Paritetna matrica Neka je C F n kod. Paritetna matrica za kod C je generirajuća matrica za dualni kod C. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 14 / 36

Osnovni pojmovi iz teorije dizajna Težinski enumerator Težinski neumerator koda C je polinom A(x) = n A i x i, i=0 gdje je A i broj riječi koda težine i. Kod je paran ako su sve težine parne, a dvostruko paran (doubly-even) ako su sve težine djeljive s 4. Kod C je samoortogonalan, ako vrijedi: C C Kod C je samodualan, ako je C = C Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 15 / 36

Izomorfni kodovi Osnovni pojmovi iz teorije dizajna Dva koda iste duljine i nad istim poljem su ekvivalentna ako se jedan može dobiti iz drugoga permutacijom koordinata u svim riječima koda i množenjem koordinatne pozicije s ne-nul elementom polja. Dva koda iste duljine i nad istim poljem su izomorfna ako se jedan može dobiti iz drugoga permutacijom koordinata u svim riječima koda. Automorfizam koda C je bilo koja permutacija koordinatnih pozicija koja preslikava riječi koda u riječi koda. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 16 / 36

Osnovni pojmovi iz teorije grupa Djelovanja grupe na skup Definicija Grupa G djeluje na konačan skup Ω ako postoji preslikavanje f : G Ω Ω takvo da vrijedi 1 f (g 1, f (g 2, x)) = f (g 1 g 2, x), x Ω, g 1, g 2 G, 2 f (1, x) = x, x Ω. Slika djelovanja elementa g G na element x Ω označava se g.x ili x g. Definicija Skup G x = {g G g.x = x} G naziva se stabilizator elementa x za djelovanje grupe G. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 17 / 36

Osnovni pojmovi iz teorije grupa Na skupu Ω na kojeg djeluje grupa G može se definirati relacija x y ( g G)t.d.jeg.x = y. Relacija je relacija ekvivalencije na skupu Ω. Klasa ekvivalencije elementa x s obzirom na relaciju, G.x = {g.x g G}, naziva se orbita elementa x za djelovanje grupe G. Dugi način zapisa: x G = {x g, g G} Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 18 / 36

Osnovni pojmovi iz teorije grupa Definicija Grupa G djeluje tranzitivno na skup Ω ako postoji element x Ω takav da je G.x = Ω. Odnosno, cijeli skup Ω je jedna orbita. Grupa G je tranzitivna ako za svaki par točaka α, β Ω postoji g G takav da je α g = β. Propozicija Neka grupa G djeluje na skup Ω i neka je G x stabilizator elementa x Ω za djelovanje grupe G. Tada je G g.x = gg x g 1, g G. Posebno, ako G djeluje tranzitivno na skup Ω, onda su svi stabilizatori medusobno konjugirani. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 19 / 36

Osnovni pojmovi iz teorije grupa Neka grupa G djeluje na skup Ω. Proširimo to djelovanje na skup podskupova skupa Ω na sljedeći način: g.x = {g.x x X }, X Ω. Definicija Neka grupa G djeluje tranzitivno na skup Ω i neka je Ω. Ako za svaki g G vrijedi g. = ili g. =, onda se skup naziva blok. Trivijalni blokovi: Ω, {x}, za svaki x Ω. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 20 / 36

Osnovni pojmovi iz teorije grupa Definicija Ako grupa G djeluje tranzitivno na skup Ω tako da ne postoje netrivijalni blokovi, onda kažemo da je djelovanje primitivno i da je G primitivna grupa. Teorem Neka grupa G djeluje tranzitivno na skup Ω. To djelovanje je primitivno ako i samo ako je G x maksimalna podgrupa grupe G za svaki x Ω. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 21 / 36

Osnovni pojmovi iz teorije grupa Definicija Označimo sa S(Ω) skup svih bijekcija na skupu Ω. Skup S s obzirom na kompoziciju preslikavanja tvori grupu. Za konačan skup Ω, bijekcije na skupu Ω se nazivaju permutacije skupa Ω. Definicija Grupa svih permutacija skupa Ω zove se simetrična grupa i označava S n, n = Ω. Podgrupa grupe S n naziva se permutacijska grupa. Broj svih permutacija skupa Ω: S n = n! Korolar (Cayleyev teorem) Grupa G je izomorfna podgrupi grupe S(G). Posebno, svaka konačna grupa G reda n je izomorfna nekoj permutacijskoj grupi. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 22 / 36

Osnovni pojmovi iz teorije grupa Teorem (Klasifikacija konačnih jednostavnih grupa) Svaka konačna jednostavna grupa izomorfna je jednoj od sljedećih grupa: 1 Grupi prostog reda, 2 alternirajućoj grupi, A n, n 5, 3 konačnoj grupi Lievog tipa, 4 jednostavnoj sporadičnoj grupi. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 23 / 36

Konstrukcija J. D. Key, J. Moori: Codes, Designs and Graphs from the Janko Groups J 1 and J 2 J. Combin. Math. Combin. Comput. 40 (2002), 143-159. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 24 / 36

Konstrukcija Teorem (Key, Moori) Neka je Ω n člani skup, α element skupa Ω i neka je G konačna grupa koja djeluje primitivno na skup Ω. Neka je {α}, orbita za djelovanje stabilizatora G α na neki element β Ω, = {g.β g G α }. Ako je B = {g. g G}, δ i E = {g.{α, δ} g G}, tada je D = (Ω, B) simetričan 1 (n,, ) dizajn. Ako je samosparena orbita od G α, tada je Γ = (Ω, E) regularan povezan graf stupnja, dizajn D je samodualan i grupa G,kao grupa automorfizama, djeluje primitivno na svaku od ovih struktura. Ovom metodom moguće je konstruirati samo simetrične 1 dizajne. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 25 / 36

Konstrukcija Neka su β 1,..., β s elementi skupa Ω i neka je uz uvjet da je Ω. Tada je = G α.β 1... G α.β s, B = {g. g G} skup blokova samodualnog simetričnog 1 dizajna na kojega grupa G djeluje primitivno kao grupa automorfizama. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 26 / 36

Konstrukcija Lema Ako grupa G djeluje primitivno na simetričan dizajn D, onda se dizajn D može konstruirati na način opisan teoremom KM. Lema Neka je G jednostavna primitivna permutacijska grupa. Tada postoji samo jedna trivijalna orbita za djelovanje stabilizatora G α, α G. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 27 / 36

Rezultati Općenito o grupama J 1 i J 2 Jankova grupa J 1 je jednostavna grupa reda 175560, AutJ 1 = J1, Grupa J 1 ima sedam maksimalnih podgrupa, do na konjugaciju i odgovarajuće primitivne permutacijske reprezentacije na 266, 1045, 1463, 1540, 1596, 2926 i 4180 točaka. Jankova grupa J 2 je jednostavna grupa reda 604800, Puna grupa automorfizama grupe J 2 je izomorfna grupi J 2 : Z 2, Grupa J 2 ima devet maksimalnih podgrupa, do na konjugaciju i devet primitivnih permutacijskih reprezentacija na 100, 280, 315, 525, 840 1008, 1800, 2016 i 10080 točaka. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 28 / 36

Rezultati 1 dizajni i grafovi konstruirani iz grupe J 1 Propozicija Postoji točno 245 neizomorfnih samodualnih dizajna konstruiranih iz grupe J 1, na način opisan teoremom. Grupa J 1 djeluje primitivno kao puna grupa automorfizama na konstruirane dizajne. Autori ističu da su provjerili jaku regularnost konstruiranih grafova za neke od primitivnih reprezentacija grupe J 1, ali nisu dobili niti jedan jako regularan graf. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 29 / 36

Rezultati 1 dizajni i grafovi konstruirani iz grupe J 2 Propozicija Postoji točno 51 neizomorfnih samodualnih dizajna konstruiranih iz grupe J 2, na način opisan teoremom. Grupa J 2 djeluje primitivno na sve konstruirane dizajne. Konstruirani dizajni imaju punu grupu automorfizama izomorfnu grupi J 2 ili grupi AutJ 2. Za svaki dizajn kojemu je puna grupa automorfizama izomorfna grupi AutJ 2 konstruiran je njemu izomorfan dizajn iz orbite iste duljine. Dobivena tri jako regularna grafa: (100,36,14,12) (280,135,70,60) (280,36,8,4) Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 30 / 36

Rezultati Kodovi konstruirani iz grupa J 1 i J 2 Autori ističu dobivene samoortogonalne dvostruko parne kodove: Iz grupe J 1 : Iz grupe J 2 : dizajn kod grupa automorfizama 1 (1045, 421, 421) [1045, 20, 456] 2 J 1 dizajn kod grupa automorfizama 1 (100, 36, 36) [100, 36, 16] 2 J 2 : Z 2 1 (280, 108, 108) [280, 14, 108] 2 J 2 : Z 2 1 (315, 64, 64) [315, 28, 64] 2 J 2 : Z 2 1 (315, 80, 80) [315, 36, 80] 2 J 2 : Z 2 Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 31 / 36

Rezultati Oktade i dodekade Neka je Ω = {1, 2, 3,..., 24}. Promatramo Steinerov sustav S(5, 8, 24) definiran na ovom skupu. Svaki blok Steinerovog sustava zove se oktada i označava s 8 0. Postoji 759 oktada. Svake dvije oktade, O 1 i O 2 sijeku se u skupu čiji je kardinalni broj 0, 2, 4, 8. Ako vrijedi O 1 O 2 = 2 tada se O 1 O 2 zove dodekada i označava s 12 0. Postoji 2576 dodekada u S(5, 8, 24). Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 32 / 36

Rezultati Općenito o grupi Co 2 - Conway grupa Leech-ova rešetka Leech-ova rešetka, Λ, je 24 dimenzionalan Euklidski prostor R 24 čija je grupa automorfizama jednaka 2 Co 1. Pronašao ju je John Leech, a opisao u člancima iz 1964., 1965. i 1967. Povezana je s zatvorenim pokrivanjem sfere u u dimenziji 24. Λ se sastoji od (x 1, x 2,..., x 24 ) Z 24 t.d. vrijedi: (i) 24 i=1 x i 4m(mod8) (ii) x i m(mod2) (iii) {i : x i m(mod4)} za bilo koji zadani m jednak je praznom skupu, 8 0, 12 0 ili njihovim komplementima. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 33 / 36

Rezultati Conway grupa Leech-ova grupa je grupa Aut(Λ) = Co 0 Conway je dokazao da vrijedi: (i) Grupa N = 2 12.M 24 je maksimalna podgrupa od Co 0. (ii) Co 0 = 2 22 3 9 5 4 7 2 11 13 23 (iii) Co 0 je nova savršena grupa, Z(Co 0 ) = 2. (iv) Co 0 /Z(Co 0 ) je nova jednostavna grupa, Co 1. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 34 / 36

Rezultati Neka je Λ n = {x Λt.d. x = 4 n}. Grupa Co 0 djeluje tranzitivno na Λ i, i = 2, 3, 4. Vrijedi: Λ 2 = 196560, (Co 0 ) Λ2 = Co 2, nova jednostavna grupa Λ 3 = 16737120, (Co 0 ) Λ3 = Co 3, nova jednostavna grupa Λ 4 = 3980034000, (Co 0 ) Λ4 = Co 4 = 2 11.M 23, nije jednostavna grupa Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 35 / 36

Rezultati Rezultati dobiveni iz grupe Co 2 J.Moori, B.G. Rodrigues, Some designs and codes invariant under the simple group Co 2, Journal of Algebra 316(2007)649 661 Dobiveni dizajni su samodualni simetrični, a kodovi samoortogonalni dvostruko parni. dizajn grupa automorfizama kod grupa automorfizama 1 (2300, 892, 892) Co 2 [2300, 23, 892] Co 2 1 (2300, 1408, 1408) Co 2 [2300, 22, 1024] Co 2 Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 36 / 36