Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су и две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да jе m k и n k, где су m, n > 0. Тада кажемо да су дужи и у размери m : n, и пишемо : m : n m n. Дефинициjа 2: За пар дужи и коjе су у размери као неки други пар дужи c и d кажемо да су пропорционалне и пишемо : c : d c d. Нека су и две произвољне дужи коjе су у размери k > 0, тj. важи, рецимо k. Поставља се питање, да ли можемо да пишемо, k? Одговор jе, под условом да су вектори и колинеарни, тj. (да jе ), и да су истог смера, jер k > 0. Талесова теорема: Нека су и две праве коjе се секу {}, и нека су и две праве коjе секу праве и, тако да jе {}, { 1 }, {} и { 1 }. 1 1 Тада важи: 1 1 1 1 11. доказ: ( ) Нека jе, тj. према слици, вектори и 1 1 су колинеарни, па су линеарно зависни, тj. постоjи k 0 тако да jе 1 1 k. Према слици jе, и 1 1 1 1, па jе 1 1 k ( ), тj. 1 1 k k, односно, 1 1 k 1 k 1. 1 1 Како су вектори на левоj страни jеднакости на двема различитим правама и, и при томе jеднаки, то значи да могу бити jеднаки само ако су нула-вектори. Дакле, k 1 0 и k 1 0. Тако jе 1 k и 1 k, односно важи, 1 k и 1 k, па важи 1 1 11 ( k). ( ) Обрнуто, претпоставимо да су дате праве као на првоj слици, и да важи пропорционалност одговараjућих дужи, тj. 1 1 11 ( k), и покажимо да су тада праве и паралелне. ( k) следи, 1 k, 1 и 1 1 k. Према слици, Из 1 1 11 1 1 2 1 1 2 (и аксиоми паралелности) постоjи права коjа садржи тачку 1 и паралелна jе правоj. Означимо ли са { 2 }, онда према првом делу теореме ( ) имамо, 1 2 12 ( k) што може да буде, само ако jе тачка 2 1, што значи да права мора бити паралелна правоj. 1 Талес jе старогрчки математичар из Милета - пети век пре нове ере 1
Неке последице Талесове теореме: Пример 1. Нека су, и c три праве коjе се секу у тачки, и нека их праве и секу као што показуjе слика 1 1 1 Ако jе 1 1 11, онда jе 1. c Пример 2. На датоj правоj конструисати тачку P коjа ће делити дуж у задатоj размери m : n. M Према Талесовоj теореми, праве и M ( M {P }) пресечене су двема паралелним m правама M и, па важи P n P M m n, тj. тачка P дели дуж у задатоj размери. Са друге стране, праве и P n P M ( M {P }), такође, пресечене су двема паралелним правама M и па важи P P M m n. Тачка P, такође, дели дуж у задатоj размери. Каже се да тачка P дели дуж спољашњом поделом а тачка P унутрашњом поделом. Напомена: Ако би било m n, тада би M, а тачка P би половила дуж. Питања: 1. Ако су и дужи, шта jе? 2. Ако су и вектори, шта jе? 3. Шта значи да су дужи и пропорционалне дужима и GH? 4. Да ли jе еквиваленциjа k k тачна? 5. Талесова теорема 6. Шта jе унутрашња, а шта спољашња подела дужи? Задаци из уџбеника: (148-1) Извршити унутрашњу поделу дужи у односу 5 : 4. (148-2) Извршити унутрашње поделе дужи тачакама и тако да важи : 7 : 2 и : 4 : 1. Из : 7 : 2 7k и 2k, а из : 4 : 1 4l и l, и распоред тачака jе као на слици:. Пошто jе + + 4l 7k + l + 2k 3l 9k l 3k. Сад можемо одредити : : ( + ) 7k : (3k + 2k) 7 : 5, такође, : 3k : 2k 3 : 2. 7 3 5 (149-8) Теме троугла jе ван листа свеске. Конструисати средиште дужи. 2
(881) Дате су дужи,, c. Конструисати дуж x тако да jе : c : x. анализа: Задатак ћемо решити применом Талесове теореме. пресечен са другим паром паралелних правих (у истоj равни). Скицираjмо слику; пар правих Ставимо, и c. Биће x. Права jе одређена тачкама и, а права садржи и паралелна jе правоj. Тачку добиjамо пресеком правих и. 1 ) {} 2 ), ;, 3 ) ; c 4 ) (, ),, 5 ) {}. доказ: Према Талесовоj теореми. (882) Ако су и дате дужи конструисати дуж: А) x Б) x В) x 2 А) x анализа: x x : : 1; 1,, 1 ) {} 2 ) ; 1,, 3 ) ; 4 ) (, ),, 5 ) {}. доказ: Према Талесовоj теореми Б) x анализа: x x : 1 : ; 1,, 1 ) {} 2 ) ; 1,, 3 ) ; 4 ) (, ),, 5 ) {}. доказ: Према Талесовоj теореми 3
В) x 2 анализа: x 2 x : : ; 1 Ставимо,, 1. Биће x, 1 1 ) {} 2 ) ;,, 3 ) 1 ; 1 4 ) ( 1, ),, 5 ) {}. доказ: Према Талесовоj теореми 1 1 (884) У троуглу (види слику) дуж. Наћи: ), ако jе 12, 4 и 24; б), ако jе 15, 3 и 25; в), ако jе 6, 14 и 7; г), ако jе 8, 20 и 6; д), ако jе, 4 и 9; ), ако jе 12, 4 и 24; Пошто jе, онда према Талесовоj теореми имамо, 24 4 12 8. б), ако jе 15, 3 и 25; Пошто jе, онда према Талесовоj теореми имамо, 25 3 15 5. в), ако jе 6, 14 и 7; + 6 + 14 20. Пошто jе, онда према Талесовоj теореми имамо, 20 7 14 10. г), ако jе 8, 20 и 6; 20 8 12, док jе према Талесовоj теореми, с обзиром да jе 28 6 12 4.,имамо, д), ако jе, 4 и 9; + +4 (1). Пошто jе, онда према Талесовоj теореми имамо, 4 9 ()2 36 6. Тада из (1) имамо, 6 + 4 10. (886) Симетрала унутрашњег угла код темена дели наспрамну страницу на одсечке пропорционалне осталим двема страницама, тj. :. Доказати. Нека jе симетрала унутрашњег угла код темена, и {}. Нека jе, {}. Затим,. Наjпре, покажимо да jе. Ова подударност следи на основу става (UU);,, (оба права). Одавде следи и. Из и следи. Из, на основу Талесове теореме следи, тj. (1). Са друге стране, из, на основу Талесове теореме следи (2). Тако да из (1) и (2) следи тврђење,. 4
(888) Кроз средиште M странице троугла конструисана jе права паралелна симетрали угла. Та права сече страницу у, а праву у. Доказати да jе. M M jе средиште странице троугла. Нека jе симeтрала угла, и {}. Нека jе права таква да jе M и. Затим, обележимо {} и {}. Из следи M, па према Талесовоj теореми имамо M ; при чему jе подеона тачка. 1 + 1 + M M M M M Ако узмемо да jе подеона тачка онда jе M M M 1 1 M M M M + Одавде jе M (1). M M M (2). M+M M Одузимањем (1)-(2) добиjамо M M M M 0, jер jе M средиште странице, тj. имамо, ; jер jе што jе последица чињенице да jе jеднакокрак. Заиста, симетрала угла па jе, затим, (као наизменични) и (као углови са паралелним крацима). Из ових jеднакости следи, односно, jеднакокрак. (894) Дат jе. Права коjа jе паралелна страници сече дужи и редом у тачкама и. Права коjа садржи тачку и паралелна jе правоj сече праву у тачки. Доказати да jе 2. Из и jе подеона тачка према Талесовоj теореми следи (1). Док из и jе подеона тачка, према Талесовоj теореми следи (2). Помножимо ли jеднакости (1) и (2) добиjамо, 1 2 1 2. (895) Дат jе и тачка на страници. Права коjа садржи тачку и паралелна jе страници сече страницу у тачки, а права коjа садржи тачку и паралелна jе страници сече страницу у тачки. Доказати да jе + 1. Права садржи тачку и. Затим, {}, тако да jе. Са друге стране, права садржи тачку и. Даље, { }, па jе. Из, и jе подеона тачка, према Талесовоj теореми имамо, 1 1 (1). Из и jе подеона тачка, према Талесовоj теореми иамамо, 1 1 (2). Сабирањем (1) и (2) добиjамо + + 1. проф. И.Jоксимовић 5