Правоугли координатни систем у равни Na mapi grada postavqena je koordinatna mre`a kao na slici. ko su koordinate bioskopa (, ), odredi koordinate: a) pozori{ta b) `elezni~ke stanice v) biblioteke g) stadiona. stadion biblioteka `.stanica pozori{te bioskop a) Napi{i koordinate ta~aka, B, C i D. b) Nacrtaj u istom koordinatnom sistemu ta~ke: M(, 0), N(, ) i P(0;,5). D B C ko ta~ka B ima koordinate B(,; 0,5), napi{i koordinate ostalih datih ta~aka. C E B F G Q H D M P 9
Odredi polo`aj ta~aka u datom koordinatnom sistemu: (,; ), B(,; ), C(,6; 0,8), D(0, 0,5), E(0,;,) Nacrtaj koordinatni sistem na milimetarskoj hartiji. 5 Date su ta~ke u koordinatnom sistemu. Kojim }e{ ta~kama pridru`iti date koordinate? Popuni tabelu koordinate (,) (, ) (, ) (, ) (, ) ta~ka B C D O E 6 Nacrtaj ta~ke u koordinatnom sistemu: (, ), B(, ), C(, ), D(, ), E(, ), F(, ) a) Koje su ta~ke jednako udaqene od -ose? b) Koje su ta~ke jednako udaqene od -ose? udaqenost ta~ke od ose udaqenost ta~ke od ose 7 Kojem kvadrantu pripadaju date ta~ke? Popuni tabelu. ta~ka (,; ) B(,; ) C(,6; 0,8) E(0,;,) kvadrant 8 a) Kojim kvadrantima pripadaju ta~ke ~ije koordinate imaju isti predznak? b) Kojim kvadrantima pripadaju ta~ke ~ije koordinate imaju razli~ite predznake? v) Kojim kvadrantima pripadaju ta~ke ~ije koordinate imaju pozitivne -koordinate? g) Kojim kvadrantima pripadaju ta~ke ~ije koordinate imaju pozitivne -koordinate? 9
9 Nacrtaj -osu. a) b) (, ) (, ) 0 Nacrtaj -osu. a) b) (, ) (,) Data je ta~ka (, ) u koordinatnom sistemu O. - Kada se -osa pomeri za jednu jedinicu udesno, koordinate ta~ke bi}e (, ). Odredi koordinate ta~ke ako se: a) -osa pomeri za dve jedinice udesno b) -osa pomeri za tri jedinice ulevo v) -osa pomeri za dve jedinice nagore g) -osa pomeri za dve jedinice nadole. - a) U kakvom su polo`aju ta~ke ( ; ) i B(; ) u odnosu na -osu? b) U kakvom su polo`aju ta~ke C(; ) i D(; ) u odnosu na -osu? v) U kakvom su polo`aju ta~ke ( ; ) i B(; ) u odnosu na koordinatni po~etak? 95
Koje su ta~ke na slici simetri~ne u odnosu na: a) -osu b) -osu v) koordinatni po~etak? Napi{i wihove koordinate. G H J T S F K P E M I B Q N U C D L R V Z Nacrtaj ta~ke simetri~ne ta~ki S(, ) u odnosu na -osu i -osu i napi{i wihove koordinate. B S Решење Ta~ka (, ) simetri~na je ta~ki S u odnosu na -osu. Ta~ka B(,) simetri~na je ta~ki S u odnosu na -osu. Odredi koordinate ta~aka koje su sa ta~kom M(, ) simetri~ne u odnosu na: a) -osu b) -osu v) koordinatni po~etak. 5 Nacrtaj i napi{i koordinate ta~ke B simetri~ne ta~ki u odnosu na pravu a na slici. a) b) v) a a a 6 a) Nacrtaj i napi{i koordinate ta~ke C simetri~ne ta~ki ( 5, 8) u odnosu na pravu a,koja sadr`i ta~ku B(0, ) i paralelna je sa -osom. b) Nacrtaj i napi{i koordinate ta~ke C simetri~ne ta~ki ( 5, 8) u odnosu na pravu a, koja sadr`i ta~ku B(, 0) i paralelna je sa -osom. v) Nacrtaj i napi{i koordinate ta~ke D simetri~ne ta~ki ( 5, 8) u odnosu na pravu a, koja je simetrala prvog i tre}eg kvadranta. 96
7 Kojoj vrsti trouglova prema uglovima pripada trougao ~ija temena imaju koordinate: a) (, ), B(, ), C(6, ) b) (, ), B(, ), C(, ) v) (, ), B(, ), C( 6, )? Nacrtaj ta~ke u koordinatnoj ravni. 8 Kojoj vrsti pripada ~etvorougao ~ija temena imaju koordinate: a) (, ), B(, ), C(, ), D(, ) b) (, ), B(, 0), C(, ), D(, 0)? 9 ko su i B temena kvadrata BCD, nacrtaj ga u koordinatnoj ravni i zapi{i koordinate preostalih temena. Koliko ima re{ewa? a) (, ), B(, ) b) (, ), B(, ) 0 ko su, B, C temena paralelograma BCD, nacrtaj taj paralelogram i zapi{i koordinate temena D. a) (, ), B(, ), C(, ) b) (, ), B(, ), C(, ) v) (, ), B(, ), C(, Oboj u koordinatnoj ravni ta~ke ~ije su koordinate: a) (0, ), R b) (, 0), R v) (, ), R g) (, ), R d) (, ), R ) (, ), R e) (a, a), a R `) (a, a), a R Na slici je osen~en deo koordinatne ravni. Koje od ta~aka pripadaju osen~enom delu? (, ), B( 5, ), C(6,), D(, ), E(, ), F(,), G(, ), H(, ), I( 6, 5) a) b) - v) g) 97
Koji uslov zadovoqavaju koordinate ta~aka koje pripadaju osen~enom delu ravni? a) b) v) - -5 Решење a) Ta~ke koje pripadaju osen~enom delu zadovoqavaju uslov. b) Sve ta~ke koordinatne ravni ~ije koordinate zadovoqavaju uslov pripadaju osen~enom delu ravni. v) 5 Koji uslov zadovoqavaju koordinate ta~aka u ravni koje pripadaju osen~enom delu? - 6 - Osen~i u koordinatnoj ravni deo ~ije ta~ke zadovoqavaju uslov: a) b) 0 v) g) 0 d) ) 0 e) 5 i 6 98
Растојање између две тачке Izra~unaj u jedini~nim du`ima rastojawe od ta~ke do koordinatnog po~etka. a) (, ) b) (, ) v) (, ) g) ( 5, 7) O rastojawe od ta~ke do koordinatnog početka Koliko je rastojawe izme u ta~aka: a) ( 6, 0) i B(0, 8) b) (,; ) i B(,5; ) v) (0; 5) i B(0; 8) g) ( ;,) i B(, )? Izrazi rastojawe izme u ta~aka u jedini~nim du`ima. 5 6 Izra~unaj koliko jedini~nih du`i ima du` d ako su date koordinate wenih krajwih ta~aka. a) (0, 5), (5, 0) b) (, 5), (5, ) v) (0, 5), (5, ) g) (, 5), (5, 0) Date su ta~ke (, 0), B(, ), C(, 5) i D(0, 5). Koliko je rastojawe izme u ta~aka: a) i B b) C i B v) i D g) C i D d) B i D? Nacrtaj ta~ke (0, ) i B(, 0) u koordinatnom sistemu. Nacrtaj bar jo{ dve ta~ke, C i D, koje su od ta~ke udaqene isto koliko i ta~ka B i zapi{i wihove koordinate. ko je du`ina jedini~ne du`i jednaka 0,, popuni tabelu. du` B C BD du`ina u jedini~nim du`ima du`ina u centimetrima D C B 7 Izra~unaj du`inu izlomqene linije EFGHM ako je du`ina jedini~ne du`i jednaka 0,5 cm. E F G H M 99
8 Odredi koordinate sredi{ta du`i: a) B b) CD v) E g) C d) CB C D B E 9 Odredi koordinate sredi{ta M du`i B ako je: a) (, 0) i B(, 0) b) (,; ) i B(,8; ) v) (0, ) i B(0, ) g) ( ;,) i B(, ) 0 Ta~ke (,), B(, ), C(, 6) i D jesu temena pravougaonika. Odredi koordinate temena D i koordinate ta~ke O preseka dijagonala. Nacrtaj u koordinatnoj ravni pravougaonik BCD Date su koordinate tri temena paralelograma BCD. Odredi koordinate ~etvrtog temena i koordinate ta~ke O preseka dijagonala. a) (, ), B(0, 0), C(, 0) b) (, ), C(0, 0), D(, 0) Nacrtaj u koordinatnoj ravni date tri ta~ke. Konstrui{i ~etvrto teme paralelograma i pro~itaj wegove koordinate. Izra~unaj du`ine te`i{nih du`i trougla BC ako je: a) (, 0), B(, 0) i C(0; ) b) (, ), B(, 0) i C(, ) Podseti se da su krajwe ta~ke te`i{ne du`i teme trougla i sredi{te naspramne stranice. Odredi koordinate ta~aka i B simetri~nih, redom, ta~kama (, ) i B(, ) u odnosu na osu i izra~unaj obim ~etvorougla BB. Izra~unaj obim trougla BC. a) (, 0), B(, 0) i C(0, ) b) (, ), B(, 0) i C(, ) 5 Izra~unaj obim trapeza BCD. a) (, ), B(, ), C(, 0), D(, 0) b) (, ), B(0, 5), C(0, 7), D(, 0) 00
6 a) ko je ta~ka M sredi{te du`i CD, nacrtaj ta~ku D i napi{i wene koordinate. b) ko je ta~ka P sredi{te du`i B, nacrtaj ta~ku i napi{i wene koordinate. v) ko je ta~ka Q sredi{te du`i EF, nacrtaj ta~ku F i napi{i wene koordinate. C E Q M P B Neka je ta~ka M(, ) sredi{te du`i CD. Odredi koordinate ta~ke C ako je D(, ). Решење ko su (, ) i (, ) koordinate krajwih ta~aka du`i, onda se koordinate ( S, S ) sredi{ta du`i ra~unaju po formuli: + + s =, s = Dakle, = +, odakle sledi + =, odnosno = 5. Na isti na~in dobijamo: + = + = 6 = C 5 M D 7 ko je ta~ka S sredi{te du`i B, odredi koordinate ta~ke B. a) S(, ), (0, ) b) S(, 0), (, ) v) S(, 0), (0, ) g) S(, ), (, ) d) S(, ), (, ) 8 Ta~ka O(, ), je presek dijagonala, a ta~ke (, 7) i B(0, ) jesu temena paralelograma BCD. Odredi koordinate temena C i D 9 Izra~unaj povr{inu pravougaonika BCD ako je (, ), B(, ), C(, ). 0 Izra~unaj povr{inu trougla BC ako je: a) (, ), B(, ), C(, ) b) (, ), B(5, ), C(, ) 0
Izra~unaj povr{inu paralelograma BCD ako je jedini~na du` 0,5 cm. a) b) D D C C B B Izra~unaj povr{inu trapeza u zadatku 5. Izra~unaj povr{inu trougla BC ako je (, ), B(, ) i C(, ). Решење Du`ine du`i u koordinatnoj ravni izra`ene su u jedini~nim du`ima. Jedinica mere za povr{inu u koordinatnoj ravni je jedini~ni kvadrat, to jest kvadrat stranice. P PQR = 7 6 = P PB = 6 = P BQC = 6 = 9 P CR = 7 = 0,5 P BC = ( + 9 + 0,5) =,5 = 9,5 R C P B Na primer, du`ina du`i P je 6 jedini~nih du`i, povr{ina pravougaonika PQR je jedini~na kvadrata. Q Izra~unaj povr{inu trougla BC ako je: a) (, 5), B(, ), C(, ) b) (, ), B(5, ), C(, ) Izra~unaj povr{inu ~etvorougla BCD na slici. a) b) D - C B D B C 0
5 Izra~unaj povr{ine trouglova u zadatku. 6 Izra~unaj povr{inu petougla BCDE ako je (, ), B(, ), C(, 0), D(0, ), E(, ). 7 Du` B preslikaj centralnom simetrijom u odnosu na ta~ku S na du` B. Izra~unaj obim i povr{inu ~etvorougla B B ako je (, ), B(, ) i S(0, ) Директно пропорционалне величине. Графички приказ директно пропорционалних величина Da li su veli~ine i date u tabeli direktno proporcionalne? Objasni., 0,6,6 0 0,8 Veli~ine i su direktno proporcionalne. Odredi koeficijent proporcionalnosti i popuni tabelu. 6 9 U tabeli je dat broj fotokopija koje se mogu napraviti za odre eno vreme na ma{ini za fotokopirawe. broj fotokopija vreme (u minutima) 875 750 65 8 750 5 50 75 50 a) Da li su vreme i broj fotokopija direktno proporcionalne veli~ine? b) Koliko se fotokopija mo`e napraviti za 000 minuta? 0
Veli~ine i direktno su proporcionalne. Zapi{i formulom zavisnost veli~ina i i nacrtaj grafik. a) b) 8 6 5 Nacrtaj grafik zavisnosti veli~ina i datih formulom: a) = b) = 5 Prvo napravi tabelu vrednosti za promenqive i. Za crtawe grafika dovoqno je da izabere{ dve vrednosti za i da izra~una{ odgovaraju}e vrednosti za. 6 7 8 U jednoj kutiji nalazi se 6 markera koji se koriste broj markera = 6 broj kutija za pisawe po beloj tabli. a) Napravi tabelu kojom }e{ predstaviti zavisnost broja markera od broja kutija. b) Zapi{i formulom tu zavisnost. v) Nacrtaj odgovaraju}i grafik. Iz rezervoara zaprmine 750 l svakog minuta istekne 5 l vode. a) Koliko vode istekne za, 5, 8,, minuta? b) Da li su vreme i koli~ina vode u ovom zadatku direktno proporcionalne veli~ine? v) Koliko je vremena potrebno da istekne sva voda iz rezervoara? Za minuta pri punom gasu elisa na avionu napravi 0 800 obrtaja. a) Koliko obrtaja pri punom gasu elisa napravi za jedan minut? b) Koliko obrtaja pri punom gasu elisa napravi za 6,5 minuta? v) ko je elisa pri punom gasu napravila 600 obrtaja, koliko je minuta radila? Ласта са клипноелисним мотором vion dvosed Lasta napravqen u na{oj fabrici aviona Utva opremqen je klipnoelisnim motorom koji ima maksimalan broj obrtaja 700 u minuti, {to avionu daje maksimalnu brzinu od 00 km/h. 0
Директно и обрнуто пропорционалне величине Veli~ine i su direktno proporcionalne. Odredi koeficijent proporcionalnosti i popuni tabelu. 5 8 8 Veli~ine a i b obrnuto su proporcionalne. Odredi koeficijent proporcionalnosti i popuni tabelu. 6 0,5 Da li su vrednosti za i date u tabeli direktno proporcionalne? Objasni. 5 5 5, 6 Bojan vozi bicikl prose~nom brzinom od 0 kilometara na sat. a) Koliko kilometara Bojan pre e za sata, sata, sata, 5 sati? b) Da li su pre eni put i vreme izra~unati pod a) direktno proporcionalne veli~ine? s = vt 5 Povr{ina paralelograma je 0 cm. a) Izra~unaj h a i h b ako je a = 6 cm i b =5 cm. b) Da li su du`ine stranice a i visine h a, kao i stranica b i visine h b datog paralelograma obrnuto proporcionalne veli~ine? Objasni. Kra}oj stranici datog paralelograma odgovara du`a visina, a du`oj stranici odgovara kra}a visina. h a a h b b 05
6 a) Na osnovu grafikona popuni tabelu kao {to je zapo~eto. O (cm) 0 5 0 5 0 5 5 6 7 obim jednakostraničnog trougla obim pravilnog petougla a (cm) b) Da li su obim i du`ina stranice direktno proporcionalne veli~ine? obim jednakostrani~nog obim pravilnog stranica (cm) trougla (u cm) petougla (u cm) 5 06
7 Povr{ina pravougaonika je cm. a) Popuni tabelu ako su a i b stranice pravougaonika. a 5 b 6 b) Da li su du`ine stranica datog pravougaonika obrnuto proporcionalne veli~ine? 8 Da li su veli~ine i date u tabeli direktno ili obrnuto proporcionalne? Objasni. a 6,5 5 b 0,6 9 Na grafiku je predstavqena zavisnost pre enog puta (izra`enog u metrima) od vremena (izra`enog u minutima). pređeni put (m) 50 00 50 00 50 00 50 vreme (min) pre eni put (m) 0 6 6 vreme (min) a) Koliki je put pre en za minuta? b) Koliko je vremena potrebno da se pre e put od 00 metara? v) Popuni tabelu. g) Da li su veli~ine pre eni put i vreme direktno proporcionalne? Objasni. 07
0 Mama je za 0,5 kg mesa platila 5 dinara. Koji su odgovori ta~ni? a) Za kg mesa platila je 70 dinara. b) Za,8 kg mesa platila je 658 dinara. v) a 700 dinara mo`e se kupiti 0 kg mesa. g) Za 50 dinara mo`e se kupiti vi{e od 5 kg mesa. Vojinov auto na 00 km potro{i 6,5 l benzina. a) Koliko litara benzina }e auto potro{iti na putu du`ine 00 km? b) Koliko litara benzina }e auto potro{iti na putu du`ine 50 km? v) Koliko litara benzina }e auto potro{iti na putu du`ine 50 km? g) Koliki put mo`e da pre e Vojin sa svojim autom ako je kupio 6 l benzina? Пропорција Od kojih brojeva mo`e{ sastaviti proporciju? a),6; 9; ; 0 b) 8; 0,8 80; 0,08 v),,, Izra~unaj vrednost nepoznatog ~lana proporcije. a),6 : = 9, : b) a : = 5 : 9 v) 00 : = : 0, 5 Izra~unaj vrednost nepoznatog ~lana proporcije. a) : ( + ) = 6 : b) : ( 5) = : v) : = : ( + ) 5 Stranice pravougaonika su u razmeri a : b = 6 : 9. ko je a = cm, izra~unaj stranicu b i povr{inu pravougonika. Dat je kvadrat stranice a = cm. a) Odredi povr{inu drugog kvadra tako da odnos stranica prvog i drugog kvadrata bude :. b) Odredi povr{inu tre}eg kvadrata tako da odnos stranica drugog i tre}eg kvadrata bude :. Stranicu b ra~una{ na osnovu proporcije : b = 6 : 9 U delu zadatka pod a) stranicu b tra`enog kvadrata ra~una{ na osnovu proporcije : b = :. 08
6 Kuvar Mile pravi proju tako {to pome{a kukuruzno i p{eni~no bra{no u odnosu 5 :, pa doda ostale sastojke. Koliko mu je potebno p{eni~nog bra{na ako ima 500 g kukuruznog bra{na? Rastojawe na karti izme u Beograda i Novog Sada iznosi 0 cm. Koliko je rastojawe u prirodi izme u tih gradova ako je karta ra ena u razmeri : 50 000. :50 000 Решење Ozna~imo sa tra`eno rastojawe. Razmera : 50 000 zna~i da cm na karti odgovara 50 000 cm u prirodi, pa rastojawu od 0 cm na karti odgovara cm u prirodi. Novi Sad Na osnovu podataka sastavimo proporciju. : 50 000 = 0 : = 0 50 000 = 7 500 000 cm = 75km Beograd 7 8 Na karti razmere : 50 000 rastojawe izme u dva mesta iznosi 9 cm. Koliko je to rastojawe u prirodi? Beograd je od Pariza udaqen 5 km. Koliko je rastojawe izme u ova dva grada na karti ako je ona ra ena u razmeri : 000 000? 9 Model prema kojem je izra ena kupola katedrale Santa Marija del Fiore ra en je u razmeri :. ko je pre~nik modela,5 m, koliki je pre~nik kupole? Катедрала у Фиренци Katedrala Santa Marija del Fiore nalazi se u italijanskom gradu Firenci i jedna je od najlep{ih gra evina podigutih u Evropi od XIII do XV veka. Izgradwa je trajala vi{e od 50 godina jer su Firentinci `eleli katedralu s najve}om kupolom. Gra ani Firence raspisali su javni konkurs na kojem je pobedio Filipo Bruneleski, firentinski zlatar, skulptor i arhitekta nadma{iv{i mnoge poznate renesansne umetnike. Bruneleskijava genijalnost ogledala se u tome {to za konstrukciju kupole, zidanu od opeke, nisu bile potrebne drvene potpore ona je sama sebe podupirala. 09
Petar i Vera treba da podele eparac od 00 dinara u odnosu 7 : 5. Koliko dinara treba da dobije Petar, a koliko Vera? Re{ewe Obele`imo sa P deo sume koji treba da dobije Petar, a sa V deo sume koji treba da dobije Vera. P + V = 00 zbir suma je 00 P : V = 7 : 5 odnos wihovih suma je 7 : 5 P : 7 = V : 5 P 7 = k, V 5 = k P = 7k, V = 5k P + V = k unutra{wi ~lanovi u proporciji mogu zameniti mesta ko sumu od 00 dinara treba podeliti u razmeri 7 : 5, to zna~i da 00 dinara treba podeliti na jednakih delova, od ~ega Petar dobija 7 tih delova, a Vera 5. Zakqu~ujemo da je: k = 00 k = 00 Petar dobija: 7 k = 7 00 = 00 dinara. Vera dobija: 5 k = 5 00 = 000 dinara. 0 U bokalu zapremine,5 l napravqen je sok od vode i sirupa u odnosu :. Koliko je decilitara vode i koliko decilitara sirupa potrebno da bi se napravio sok? U jednoj {koli odnos de~aka i devoj~ica je : 5. a) Kolika je razmera broja de~aka i ukupnog broja u~enika? b) Kolika je razmera broja devoj~ica i ukupnog broja u~enika? v) ko u {koli ima 50 de~aka, koliko ima devoj~ica? O{tri uglovi u pravouglom trouglu odnose se kao 7 :. Izra~unaj mere tih uglova. Zbir o{trih uglova u pravouglom trouglu je 90. Obim jednakokrakog trougla je 9 cm. ko je odnos kraka prema osnovici 5 :, izra~unaj du`ine osnovice i kraka. O = a + b Bronza je legura bakra i kalaja u razmeri :. Koliko kilograma je te{ka statua kowanika odlivenog od ove legure ako je u woj 0 kg kalaja. Бронза Bronza je najstarija legura, napravqena jo{ u preistoriji. Dobijena je stapawem bakra i kalaja koji su u ~istom obliku nala`eni u prirodi. Prednost legura jeste u tome {to se one lak{e tope i obra uju od osnovnih metala, a imaju ve}u ~vrsto}u i postojanost od wih. 0
Примена директне и обрнуте пропорционалности Veli~ine i date u tabeli direktno su proporcionalne. Odredi koeficijent proporcionlnosti i popuni tabelu kao {to je zapo~eto. a) b) 6 7 8,5 a) Veli~ine i obrnuto su proporcionalne. Popuni tabelu. b) Koliki je koeficijent proporcionalnosti? 8 6 5 6 Veli~ine a i b obrnuto su proporcionalne. Koeficijent proporcionalnosti je 6. Popuni tabelu. a b Da li su veli~ine i date u tabeli direktno ili obrnuto proporcionalne? Objasni. Popuni tabelu., 0,5 5 5 6 0, 5 Baka Marina pravi em od kajsija tako {to na 800 g kajsija potro{i 00 g {e}era. a) Koliko joj je {e}era potrebno za 5 kg kajsija? b) Koliko joj je kajsija potrebno ako je kupila 8 kg {e}era? Koli~ine kajsija i {e}era jesu direktno proporcionalne veli~ine. Za vi{e kajsija potrebno je vi{e {e}era.
6 na pretr~i 60 m za sekundi. Za koliko }e sekundi pretr~ati 00 m ako bude tr~ala istom brzinom? Za du`u stazu potrebno je vi{e vremena. 7 Igor za 0 minuta pro~ita 5 strana kwige. Koliko mu je potrebno vremena da pro~ita kwigu koja ima 00 strana? Mo`e{ da ra~una{ i ovako: 5 strana 0 minuta strana 0 : 5 = minuta 00 strana 00 minuta 8 Pakovawe od,5 kg medewaka ko{ta 60 dinara. Koliko ko{ta pakovawe od 850 g 9 Neki travwak 5 kosa~a pokosi za 9 sati. Koliko je kosa~a porebno da se isti travwak pokosi za 5 sati? Mawe kosa~a pokosi isti travwak za vi{e sati. Broj kosa~a i broj sati jesu obrnuto proporcionalne veli~ine. 0 \or e je nameravao da kupi 50 akova po 60 kg semenskog kukuruza. U prodavnici su imali samo akove od 75 kg. Koliko je akova od 75 kg potrebno \or u da bi kupio koli~inu semenskog kukuruza koja mu je potrebna? U toku godine u jednom preduze}u obavi se prose~no 8 08 telefonskih razgovora. Kolko se prose~no razgovora obavi u tom preduze}u za dve nedeqe? Za 600 g suvih kajsija potrebno je,5 kg sve`ih. Koliko je sve`ih kajsija potrebno za kg suvih kajsija? Od jednog stabla oraha mo`e se dobiti 8 dasaka debqine,5 cm. Koliko se dasaka debqine cm mo`e dobiti od istog stabla? Od 5 m kartona napravi se 75 kutija. Koliko se kutija mo`e napraviti od 6 m kartona? 5 6 Centrifuga ve{-ma{ine napravi 900 okretaja u minutu. a) Koliko okretaja napravi za 0 sekundi? b) Koliko okretaja napravi za 5 sata? Milkin pas prose~no za 8 dana pojede pakovawe hrane od kg. Koliko hrane prose~no pojede Milkin pas za dana?
Примена пропорциja у процентном рачуну Popuni tabelu. razlomak decimalni broj 0,5 Nau~ili smo da se procentom izra`ava deo od 00, to jest procentni zapis broja je %. 00 procenat 7% Izra~unaj. a) % od 00 b) % od 56 000 v) 95% od 5 00 g),6% od 000. Izra~unati 5% od broja 00 zna~i izra~unati vrednost proizvoda: 5% 00 = 5 00 00 Crna ~okolada sadr`i 80% kakaoa. Koliko grama kakaoa ima u pakovawu od 90 g crne ~okolade? Решење Prvi na~in Ra~unamo vrednost proizvoda: 80% 90 = 80 00 90 = 7 U ~okoladi od 90 g ima 7 g kakaoa. Drugi na~in U re{avawu ovakvih i sli~nih zadataka mo`e{ koristiti proporciju. grami procenti 90 00 80 90 : = 00 : 80 00 = 700 = 7 U ~okoladi od 90 g ima 7 g kakaoa. Grami i procenti su direktno proporcionalne veli~ine Prilikom mlevewa p{enice oko 5% otpada na mekiwe. Koliko se kilograma mekiwa dobija od 70 kg p{enice?
5 6 7 Na kesici pr`enih krompiri}a nalazi se tabela o hranqivoj vrednosti proizvoda. hranqiva vrednost u 00 gr proteini 5, gr ugqeni hidrati 5,5 gr masti 5, gr energetska vrednost 58 kcal a) Koliko grama masti ima u 50 g pr`enih krompiri}a? b) Koliko }emo kalorija uneti u organizam ako pojedemo g krompiri}a? v) Izrazi rezultat pod b) u ulima. Kosilica za travu koristi me{avinu benzina i uqa. U rezervoar kosilice mo`e se sipati l me{avine benzina koja sadr`i,5% uqa. a) Koliko mililitara uqa sadr`i ta me{avina? b) Koliko decilitara benzina sadr`i ta me{avina? U jednom odeqewu 0% u~enika zavr{ilo je godinu sa odli~nim uspehom, 50% sa vrlo dobrim, a 6 u~enika imalo je dobar uspeh. Dovoqnih i nedovoqnih u~enika nije bilo. a) Koliko je u~enika u ovom odeqewu? b) Koliko je u~enika sa odli~nim uspehom? U me unarodnom sistemu mera (SI) merna jedinica za energiju je ul. kcal =,858 kj U toku jedne poslovne godine preduze}e je ostvarilo 8% prihoda od prodaje usluga, 70% od prodaje proizvoda i % od drugih poslova. ko prihod od drugih poslova iznosi 00 000 dinara, izra~unaj prihod od: a) prodaje usluga b) prodaje proizvoda. l = 000 ml l = 0 dl Dobar uspeh imalo je 0% u~enika. Килокалорије Nepohodan unos kilokalorija u organizam zavisi od uzrasta, pola i, naravno, nivoa fizi~ke aktivnosti pojedinca. Da bi se devoj~ice normalno razvijale i rasli u periodu adolescencije neophodno je da u proseku dnevno unesu prose~no 00 kcal, dok je de~acima potrebno 00 kcal dnevno.
8 Cena automobila bez poreza iznosi 999 evra. a) Kolika je cena u evrima s porezom od 8%? b) ko je na dan pla}awa sredwi kurs evra bio 05, dinara, kolika je vrednost tog automobila u dinarima? Prvi na~in a) 999 + 8% 999 Drugi na~in Ozna~imo sa cenu sa porezom u evrima dinari procenti 999 00 8 Mo`e{ koristiti digitron. 9 Patike ko{taju 7 0 dinara. Vlada je na prole}noj rasprodaji kupio patike po ceni ni`oj za 0%. Koliko je Vlada platio patike? Prvi na~in 7 0 0% 7 0 Drugi na~in dinari procenti 7 0 00 80 0 Cena cipela smawena je sa 7 800 na 6 96 dinara. Koliko to sni`ewe iznosi u procentima? Na prijemnom ispitu Nikola je od 7 zadataka ta~no uradio 5. Koliki je procenat ta~no ura enih zadataka? Pro{le {kolske godine u prvi razred gimnazije upisano je 80 u~enika. Ove godine upisano je 0% vi{e. Koliko je sada u~enika upisanih u prvi razred? U prodavnici je u toku jedne nedeqe zbog lo{eg vremena prodaja ki{obrana porasla u odnosu na prethodnu nedequ za %, {to iznosi 0 komada. a) Izra~unaj koliko je ki{obrana prodato prethodne nedeqe, a koliko tokom te nedeqe. b) Izra~unaj koliko }e se ki{obrana prodati naredne nedeqe ako prodaja opadne za 0% u odnosu na tu nedequ. Cena kilograma soli je 65 dinara. So je prvo poskupela za 0%, a onda je pojeftinila za 0%. Koliko iznosi cena kilograma soli posle pojeftiwewa? Prvi korak Prvo izra~unaj cenu posle poskupqewa od 0%. Drugi korak Izra~unaj sni`ewe od 0% na cenu koju si dobio u prvom koraku. 5
5 Cena nekog proizvoda je 500 dinara. Posle pojeftiwewa od % do{lo je do poskupqewa od 5%. Kolika je cena proizvoda posle tih promena? 6 Od 0 u~enika {estog razreda 80% bavi se sportom, a od wih 50% trenira fudbal. Koliko u~enika {estog razreda trenira fudbal? 7 Na sajmu kwiga Janko je kwigu,s popustom od 5%, platio 676 dinara. Koliko je kwiga ko{tala pre pojeftiwewa? Neka je cena kwige pre pojeftiwewa. Kako je popust 5%, to zna~i da 85% od po~etne cene kwige iznosi 676 dinara. Prvi na~in 85% = 676 Drugi na~in dinari procenti 676 85 00 8 Nada je izvesnu sumu novca stavila na {tedwu. Posle godinu dana Nada je, uz dobijenu kamatu od 5%, na svom ra~unu imala 56 700 dinara. Kolika je suma koju je Nada dala na {tedwu? Примена пропорција Od kojih brojeva mo`e{ sastaviti proporciju? a) 5, 5, 9, b) 0,5; 0,5; 0,6; 0,96 v) 5 7 ; ; 6 9 ; 5 5 Izra~unaj vrednost nepoznatog ~lana proporcije. a) : 6 = : b) 99 : 7 = : v) 8 0 : = 9 5 : 7 Maja testo za kola~e pravi tako {to stavi jajeta, 80 g {e}era i 00 g bra{na. Koliko je {e}era i bra{na Maji potrebno ako `eli da napravi testo od 6 jaja? Polupre~nici krugova su u razmeri :. ko je polupre~nik maweg kruga 6 cm, izra~unaj obim i povr{inu ve}eg kruga. 6
5 U zelenoj zoni cene kilovat-sata (kwh) po ni`oj i vi{oj tarifi odnose se kao :. Ukoliko je cena kilovat-sata po ni`oj tarifi,0 dinara, koliko }emo platiti ako potro{imo 8 kwh po vi{oj tarifi i kwh po ni`oj tarifi? 6 Podeli broj na dva dela koji se odnose kao : 5. 7 Jedan unutra{wi ugao trougla je 6, a druga dva ugla odnose se kao : 5. Izra~unaj uglove trougla. 8 Podeli broj 700 na dva dela koji se odnose kao : Na primer, iz proporcije: a:b=: zakqu~ujemo da su veli~ine a i b proprocionalne brojevima i, {to zapisujemo: a = k b = k Sli~no tome, za tri veli~ine ili vi{e wih mo`emo formirati produ`enu proporciju. Na primer, zapis: a:b:c=5 :7:9 jeste produ`ena proporcija. Na osnovu produ`ene proporcije zakqu~ujemo da su veli~ine a, b i c, redom, proporcionalne bojevima 5, 7 i 9, odnosno da je: a = 5k b = 7k c = 9k Потрошња електричне енергије у домаћинству Doma}instva pla}aju ra~un za elektri~nu energiju na osnovu utro{enih kilovat-sati. Utro{eni kilovat-sati, bez obzira na vrstu brojila, raspore eni su po zonama na slede}i na~in: zelena do 50 kwh, plava od 5 do 600 kwh i crvena od 60 kwh. U svakoj zoni postoje dve tarife vi{a je od 8 h do h, a ni`a od h do 8h. 7
Podeli 660 dinara na tri osobe tako da sume koje će one dobiti budu u odnosu : :. Re{ewe Obele`imo sa a deo sume koji će dobiti prva osoba, sa b deo sume koji će dobiti druga osoba, a sa c deo sume koji će dobiti tre}a osoba. a + b + c = 660 zbir wihovih suma iznosi 600 dinara a : b : c = : : odnos wihovih suma je : : a = k, b = k, c = k k + k + k = 660 6k = 660 k = 60 a = 60 dinara, b = 0 dinara, c = 80 dinara Sumu od 600 dinara podelili smo na 6 jednakih delova. Prva osoba je dobila jedan takav deo, druga osoba dva takva dela, a tre}a tri. 9 0 Metalni nov~i} od dva australijska dolara napravqen je od legure bakra, cinka i nikla u razmeri 6 : :. ko je jedan takav nov~i} te`ak 0 grama, koliko kilograma bakra, cinka i nikla ima u 0 000 nov~i}a? Izra~unaj unutra{we uglove trougla ako se oni odnose kao : :. Katete pravouglog trougla odnose se kao :. ko je du`ina hipotenuze 90 cm, izra~unaj obim i povr{inu trougla. Re{ewe Neka su a i b katete pravouglog trougla. a : b = : a = k, b = k Da bismo izra~unali obim pravouglog trougla, neophodno je da primenimo Pitagorinu teoremu. a + b = c ( k) + ( k) = ( 90 cm) 9k + 6k = 800 cm 5k = 800 cm k = cm k = 8 cm a = 5 cm, b = 7 cm O = 5 cm + 7 cm + 90 cm = 6 cm P = 5 cm + 7 cm = 9 cm Odnos jedne katete i hipotenuze pravouglog trougla je : 5. ko je druga kateta du`ine cm, izra~unaj obim trougla. Stranice pravougaonika odnose se kao 7 : 5, a wegov obim je 8 cm. Izra~unaj povr{inu pravougaonika. 8
leksa put od 0 km automobilom pre e za sata. a) Koliko }e kilometara leksa pre}i za,5 sata ako se kre}e istom brzinom? b) Koliko mu je sati potrebno da pre e 80 km ako se kre}e istom brzinom? h = 60 min Celokupnu koli~inu peska sa jednog stovari{ta mo`e da razveze 6 kamiona nosivosti 5 t. Koliko je kamiona nosivosti 8 t potrebno da se razveze ista koli~ina peska? 5 Cena pakovawa od,5 kg luka iznosi,5 dinara. Koliko ko{ta pakovawe od 500 g luka? 6 Putni~ki voz pre e razdaqinu izme u dva grada za,5 h voze}i prose~nom brzinom od 80 km h a) Koliko bi vremena trebalo vozu da pre e tu razdaqinu ako se kre}e prose~nom brzinom od 60 km h? b) Kolika je prose~na brzina voza koji tu razdaqinu mo`e da pre e za, sata? 7 Ra~un Infostana za mesec juli iznosi 870 dinara. Uplatom do 5. 7. ostvaruje se popust od 5%. Koliko iznosi ra~un u dinarima? 8 Za koliko }e sati pe{ak pre}i 7 km ako za minuta pre e km? 9 Za jedan dan 5 radnika prose~no nabere 500 kg vi{awa. a) Koliko vi{awa nabere 5 radnika za jedan dan? b) Koliko je radnika potrebno da bi se u jednom danu nabralo prose~no 800 kg vi{awa? v) Koliko kilograma vi{awa prose~no nabere 5 radnika za pet radnih dana? 0 Kanal za vodovodne cevi iskopa 6 radnika za 8 sati. Koliko je radnika je potrebno da bi se taj isti kanal iskopao za 6 sati? U fabrici bezalkoholnih pi}a jednom vrstom soka napuweno je 600 boca od,5 l. Koliko bi se fla{a zapremine l napunilo tim sokom? Posle sni`ewa od 0 dinara pantalone se prodaju za 90 dinara. Koliko je sni`ewe u procentima?. Prvo izra~unaj cenu pre sni`ewa 9
Prodajna cena patika je 6 0 dinara. ko je trgova~ka mar`a 7%, kolika je nabavna cena patika? nabavna cena + trgova~ka mar`a = prodajna cena 5 6 Cena nao~ara za sunce iznosi 500 dinara. Posle letwe sezone, cena tih nao~ara prvo je sni`ena za 0%, a onda za 0%. Kolika je cena nao~ara posle oba sni`ewa? Kada je Sa{a pre{ao 50 m puta od ku}e do prodavnice, ostalo mu je da pre e jo{ 60% puta. Koliko je prodavnica udaqena od Sa{ine ku}e? Rastojawe izme u Pariza i Wujorka ^arls Lindberg je 97. godine prvi uspeo da preleti avionom za,5 sati, lete}i prose~nom brzinom od 67 km h. a) Tipi~ni putni~ki avioni, kao {to je boing 77, danas prele}u ovu relaciju prose~no za 7,5 sati. Kojom prose~nom brzinom danas lete putni~ki avioni? b) Najbr`i putni~ki avion konkord na ovoj relaciji leteo je prose~nom brzinom od 56 km h. Koliko je sati prose~no trajao wegov let na toj relaciji? Пробај и ово 7 Stranice pravougaonika su a = 0 cm i b = cm. Za koliko }e se procenata pove}ati wegova povr{ina ako se stranica a pove}a za 0%, a stranica b smawi za 0%? Prvi korak Izra~unaj a = a + 0%a i b = b 0%b. Drugi korak Izra~unaj P = a b. Tre}i korak Razliku povr{ina P P izrazi procentom u odnosu na povr{inu P. 8 Sve`e gro` e sadr`i 80% vode, a suvo 8% vode. Koliko kilograma sve`eg gro` a treba za 6 kg suvog gro` a? 9 Ruda sadr`i 60% primesa. Posle prerade metal sadr`i 6% primesa. Koliko se metala dobija iz tone ove rude? 0