Skripte2013

Chapter 2 Algebarske strukture Preslikivanje f : A n! A se naziva n-arna operacija na skupu A Ako je n =2, kažemo da je f : A A! A binarna operacija na A Kažemo da je operacija f arnosti n, u oznaci ar f Algebarski sistem je struktura (A; f, g,,,, ) gde je A proizvoljan neprazan skup, f,g, operacije skupa A, a, skupa A, relacije Za strukturu A =(A; {f i : i 1}), gde su f i i 1, operacije skupa A, kažemo da je (univerzalna) algebra tipa (ar f 1, ar f 2, ) Za skup operacija F, skup svih n-arnih operacija iz F označavamo sa F (n) Operacije se obično navode tako da je ar f 1 ar f 2 U algebri obično podrazumevamo da je na skupu A definisana relacija jednakosti = Kažemo da je A nosač algebre, af i,i 1, su fundamentalne operacije Primer 201 Strukture (N, +), (N, ), (R, +,, apple) su algebarski sistemi Neka je A =(A; F ) algebra i B neprazni podskup od A Algebra (B; F )kojaje istog tipa kao A je podalgebra od A ako za svako f 2 F (n),n 0ix 1,,x n 2 B važi f(x 1,,x n ) 2 B 21 Grupoid, polugrupa, monoid i grupa 211 Grupoid Algebarsku strukturu 17

18 CHAPTER 2 ALGEBARSKE STRUKTURE tipa (2) zovemo grupoid (A;?) Primer 211 (i) Sledeće strukture su grupoidi: (N, +), (N, ), (Z, ) (ii) Ako je + sabiranje celih brojeva, onda struktura ({ zato što 1+1=262 { 1, 0, 1} 1, 0, 1}, +) nije grupoid, Binarna operacija na konačnom skupu se može predstaviti uz pomoć Kejlijeve tablice, kao što je to ilustrovano sledećim primerom Primer 212 Kejlijeva tablica gropida ({0, 1, 2}, min) : 212 Polugrupa i monoid min 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 2 Grupoid (A,?) je polugrupa (semigrupa, asocijativan grupoid) ako zadovoljava zakon asocijativnosti (8x, y, z 2 A) x?(y?z)=(x?y)?z Monoid je asocijativan grupoid sa jedinicom, tj algebra tipa (2, 0) u kojoj važi (A;?, e) (8x, y, z 2 A) x?(y?z)=(x?y)?z i (8x 2 A) x?e= e?x= x Kaže se da je e neutralni element (jedinica) grupoida (A;?) Primer 213 (N [{0}, +, 0) i (N,, 1) su monoidi Teorema 211 Grupoid (A,?) sadrži najviše jedan neutralni element Dokaz Pretpostavimo da postoje dva neutralna elementa, e 1 2 A i e 2 A Tada važi x?e= x i e 1?x= x Ako u prvoj jednakosti stavimo x = e 1, a u drugoj x = e, dobijamo e 1?e= e 1 i e 1?e= e odakle je e 1 = e

21 GRUPOID, POLUGRUPA, MONOID I GRUPA 19 213 Grupa Grupa je algebarska struktura tipa (2, 1, 0) u kojoj važi: (A;?, 1,e) (8x, y, z 2 A) x?(y?z)=(x?y)?z, (8x 2 A) x?e= e?x= x i (8x 2 A) x?x 1 = x 1?x= e Primer 214 (i) Strukture (N[{0}, +, 0) (N,, 1) i (Z,, 1) ne možemo proširiti unarnom operacijom tako da one postanu grupe (ii) (Z, +,, 0), (Q \{0},, 1, 1) jeste grupa Grupa je komutativna (Abelova) akko je? komutativna operacija tj (8x, y 2 A) x?y= y?x Teorema 212 Neka je (A,?, 1,e) grupa i a 2 A Tada za sve x, y 2 A važi: (a) x?a= y?a) x = y, (b) a?x= a?y) x = y, (c) (x 1 ) 1 = x, (d) (x?y) 1 = y 1?x 1 Dokaz (a) Neka je x?a= y?atada je x = x?e = x?(a?a 1 )=(x?a)?a 1 =(y?a)?a 1 = y?(a?a 1 )=y?e = y (b) Analogno kao pod (a) (c) (x 1 ) 1 =(x 1 ) 1?e =(x 1 ) 1?(x 1?x) =((x 1 ) 1?x 1 )?x = e?x = x (d) (x?y) 1 =(x?y) 1?e=(x?y) 1? (x?x 1 )=(x?y) 1? ((x?(y? y 1 ))?x 1 )=(x?y) 1? (x?y)? (y 1?x 1 )=e?y 1?x 1 = y 1?x 1 Grupa se često definiše kao algebarska struktura (A;?) tipa (2), gde se zahteva da važi: (8x, y, z 2 A) x?(y?z)=(x?y)?z, (9e 2 A)(8x 2 A) x?e= e?x= x i (8x 2 A)(9y 2 A) x?y= y?x= e

20 CHAPTER 2 ALGEBARSKE STRUKTURE 214 Homomorfizam grupoida Kažemo da je preslikavanje f : A! B grupoid B =(B, ) ako važi homomorfizam grupoida A =(A,?) u (8x, y 2 A) f(x?y)=f(x) f(y) (21) U tom slučaju kožemo da su grupoidi A i B izomorfni i pišemo A = B Ako je f bijekcija, kažemo da je f izomorfizam Ako je f izomorfizam grupoida (A,?) u samog sebe, onda kažemo da je f automorfizam Primer 215 Preslikavanje f = 0 1 2 b c a je izomorfizam grupoida ({0, 1, 2},?) u grupoid ({a, b, c}, ), gde su binarne operacije? i zadate sledećim Kejlijevim tablicama:? 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 a b c a a b c b b c a c c a b (Ako u Kejlijevoj tablici operacije? svuda zamenimo 0, 1, 2 redom sa b, c, a dobijamo Kejlijevu tablicu operacije : b c a b c a b c a b c a b c a u kojoj nakon toga navedemo vrste i kolone u uobičajenom abecednom redosledu, kao što je to zapisano iznad) Primer 216 Grupoidi? 0 1 2 0 1 1 0 1 2 0 1 2 0 1 1 a b c a b a c b b c b c c b b nisu izomorfni zato što za svako od 6 bijektivnih preslikavanja skupa {0, 1, 2} u {a, b, c} f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 0 a a b b c c 1 b c a c a b 2 c b c a b a

21 GRUPOID, POLUGRUPA, MONOID I GRUPA 21 postoji par elemenata x, y 2{0, 1, 2} koji ne zadovoljavaju (11) a = f 1 (0) = f 1 (0? 2) 6= f 1 (0) f 1 (2) = a c = c c = f 2 (1) = f 2 (0? 0) 6= f 2 (0) f 2 (0) = a a = b a = f 3 (1) = f 3 (0? 0) 6= f 3 (0) f 3 (0) = b b = c a = f 4 (2) = f 4 (1? 0) 6= f 4 (1) f 4 (0) = c b = b a = f 5 (1) = f 5 (0? 0) 6= f 5 (0) f 5 (0) = c c = b a = f 6 (2) = f 6 (1? 0) 6= f 6 (1) f 6 (0) = b c = b 215 Grupa permutacija Svako bijektivno preslikavanje p : A! A je permutacija skupa A Sliku p(i) elementa i kraće označavamo sa p i, a celu permutaciju Skup svih permutacija skupa A označavamo sa S A Primer 217 Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5} i neka su date 2 permutacije skupa A : 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 p = q = 2 3 4 5 1 1 3 2 5 4 Tada je p q = 1 2 3 4 5 2 4 3 1 5 odakle sledi da p q 6= q p q p = 1 2 3 4 5 3 2 5 4 1 Primer 218 Neka je A = {1, 2, 3} Tada je S 3 = {p 1,p 2,p 3,p 4,p 5,p 6 }, gde je 1 2 3 1 2 3 1 2 3 p 1 = p 1 2 3 2 = p 1 3 2 3 = 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 p 4 = p 2 3 1 5 = p 3 1 2 6 = 3 2 1 Kejlijeva tablica operacije je p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 p 1 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 p 2 p 2 p 1 p 5 p 6 p 3 p 4 p 3 p 3 p 4 p 1 p 2 p 6 p 5 p 4 p 4 p 3 p 6 p 5 p 1 p 2 p 5 p 5 p 6 p 2 p 1 p 4 p 3 p 6 p 6 p 5 p 4 p 3 p 2 p 1 odakle se vidi da je 1 A = p 1 i ( ) 1 p1 p = 2 p 3 p 4 p 5 p 6 Kako je p 1 p 2 p 3 p 5 p 4 p 6 kompozicija preslikavanja asocijativna, zaključujemo da je algebra (S 3,, 1, 1 A ) grupa,

22 CHAPTER 2 ALGEBARSKE STRUKTURE Teorema 213 (S A,, 1, 1 A ) je grupa Ako su i 1,,i p različiti elementi skupa {1,,n}, onda za permutaciju sa osobinom p(i 1 )=i 2,p(i 2 )=i 3,,p(i p 1 )=i p,p(i p )=i 1,p(i) =i, kažemo da je ciklus dužine p Prethodni ciklus kraće označavamo (i 1 i 2 i p ) Fiksne tačke, tj elemente za koje važi p(i) =i izostavljamo iz skraćenog zapisa Primer 219 (a) (3 2 4 5 1) = (b) (245) = (c) (13)(245) = 1 2 3 4 5 1 4 3 5 2 1 2 3 4 5 3 4 2 5 1, 1 2 3 4 5 3 4 1 5 2 Transpozicija p =(ij),i < j je ciklus (i j) tj permutacija definisana sa 8 < j x = i, p(x) = i x = j, : x u ostalim slučajevima 216 Podgrupa Neka je A =(A;?) grupa Neka je ;6= B A izasvex, y 2 B važi x?y2 B Ako je B =(B,?) grupa, onda kažemo da je B podgrupa od A i pišemo A B Za kardinalnost A skupa A kažemo da je red grupe Teorema 214 Neka je A =(A;?) grupa i B A Tada su sledeća tvrdjenja medjusobno ekvivalentna: (a) (B;?) (A;?), (b) B 6= ; i (8x, y 2 B) x?y2 B i x 1 2 B, i (c) B 6= ; i (8x, y 2 B) x?y 1 2 B, Teorema 215 (Lagrange) Ako je A konačna grupa i B A, onda B A 217 Reprezentacija grupe Teorema 216 (Kejlijevo tvrdjenje o reprezentaciji grupe) Svaka grupa je izomorfna nekoj podgrupi grupe permutacija

22 PRSTEN 23 Primer 2110 Neka je ({a, b, c},?) grupoid, gde je? definisana sa? a b c a a b c b b c a c c a b Neka su permutacije p a,p b i p c definisane sa p i (x) =i?x, i2{a, b, c} Tada je Kejlijeva tablica kompozicije premutacija skupa {p a,p b,p c } : p a p b p c p a p a p b p c p b p b p c p a p c p c p a p b Lako se proverava da je ({p a,p b,p c }, ) grupa, zato što su sve slike iz {p a,p b,p c }, kompozicija preslikavanja je asocijativna operacija, neutralni element je p a i pa 1 = p a,p 1 b = p c i pc 1 = p b Kako je ({p a,p b,p c }, ) grupa i a b c f : p a p b p c je izomorfizam grupoida ({a, b, c},?) u ({p a,p b,p c }, ), tada je i ({a, b, c},?) grupa 22 Prsten A =(A;+,,, 0) Prsten je algebarska struktura (A;, +,, sledeće identitete: (8x, y 2 A) x + y = y + x, (8x, y, z 2 A) x +(y + z) =(x + y)+z, (8x 2 A) x + 0 = x, (8x 2 A) x +( x) =0, (8x, y, z 2 A) x (y z) =(x y) z i, 0) tipa (2, 2, 1, 0) koja zadovoljava (8x, y, z 2 A) (x (y + z) =x y + x z ^ (y + z) x = y x + z x) za sve x, y, z 2 A Znači, (A;+,,, 0) je prsten akko je (A, +) Abelova grupa (A; ) je polugrupa važe leva i desna distributivnost prema +

24 CHAPTER 2 ALGEBARSKE STRUKTURE Primer 221 Sledeće algebraske strukture su prstenovi: (Z, +,,, 0), (R, +,,, 0), ({0, 1,,n 1}, + n, n,, 0) Teorema 221 Neka je (A, +,, (a) x 0 = 0, (b) x ( y) = (x y), (c) ( x) y = (x y), (d) ( x) ( y) =x y, 0) prsten Tada za svako x, y 2 A važi Dokaz (a) x 0 = x 0 + 0 = x +(x 0 +( (x 0))) = (x 0 + x 0)+( (x 0)) = x (0 + 0)+( (x 0)) = x 0 +( (x 0)) = 0 (b) Kako je x ( y)+x y = x ( y +y) =x 0 = 0, to je x y suprotni element za x ( y) što zapisujemo (x y) =x ( y) (c) Slično kao prethodno (d) ( x) ( y) = (x ( y)) = ( (x y)) = x y Ako je operacija komutativna, kažemo da je prsten komutativan Ako u prstenu postoji neutralni element za onda kažemo da je prsten sa jedinicom Kažemo da prsten (A;+,,, 0) nema delitelje nule ako važi (8x, y 2 A)(x 6= 0 ^ y 6= 0 ) x y 6= 0) Integralni domen je komutativan prsten sa jedinicom bez delitelja nule 23 Polja A =(A;+, ) Polje je algebarska struktura (A;+, ) tipa (2, 2) za koju je: (A;+) je Abelova grupa, (A \{0}, ) je Abelova grupa i važi zakon distributivnosti prema + Znači, polje je algebarska struktura (A;+,, zadovoljava sledeće: (8x, y 2 A) x + y = y + x, (8x, y, z 2 A) x +(y + z) =(x + y)+z, (8x 2 A) x + 0 = x, (8x 2 A) x +( x) =0, (8x, y 2 A) x y = y x,, 0, 1) tipa (2, 2, 1, 0, 0) koja

24 ZADACI 25 (8x, y, z 2 A) x (y z) =(x y) z, (8x 2 A) x 1 = x, (8x 2 A \{0}) (9y 2 A) x y = 1, (8x, y, z 2 A) x (y z) =(x y) z i (8x, y, z 2 A) (x (y + z) =x y + x z ^ (y + z) x = y x + z x) 24 Zadaci 1 Teorema 241 Ako su p =(i 1 i p ) i q =(j 1,,j q ) disjunktni ciklusi, onda je p q = q p Dokaz (p q)(i k )=p(q(i k )) = p(i k )=i k+1, 1 apple k apple p 1, (q p)(i k )=q(p(i k )) = q(i k+1 )=i k+1, 1 apple k apple p 1, (p q)(i p )=p(q(i p )) = p(i p )=i 1, (q p)(i p )=q(p(i p )) = q(i 1 )=i 1, (p q)(j k )=p(q(j k )) = p(j k+1 )=j k+1, 1 apple k apple q 1, (q p)(j k )=q(p(j k )) = q(j k )=j k+1, 1 apple k apple q 1, (p q)(j q )=p(q(j q )) = p(j 1 )=j 1, (q p)(j q )=q(p(j q )) = q(j q )=j 1 Za sve ostale lemente i važi p(q(i)) = p(i) = i = q(i) = q(p(i)) 2 Teorema 242 Svaka permutacija skupa {1,,n} je ciklus ili se može prikazati u obliku proizvoda disjunktnih ciklusa 3 Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5} Sledeće permutacije izraziti kao proizvod transpozicija: (a) (1 3 5), (b) (2 3 4 5), (c) (1 2 3 4 5) Rešenje: (a) (1 3 5) = (1 5) (1 3) = (3 5) (1 5); (b) (2 3 4 5) = (2 5) (2 4) (2 3) = (3 5) (3 4) (2 5); (c) (1 2 3 4 5) = (1 5) (1 4) (1 3) (1 2) Teorema 243 Svaki ciklus je proizvod transpozicija Dokaz Za svaki ciklus (i 1 i 2 i p ) važi (i 1 i 2 i p )=(i 1 i p ) (i 1 i 3 ) (i 1 i 2 ) Teorema 244 Svaka permutacija skupa {1,,n} se može dobiti od ciklusa (1 2 3 n) i transpozicije (12) primenom kompozicije

26 CHAPTER 2 ALGEBARSKE STRUKTURE (i i n Dokaz Tvrdjenje sledi na osnovu Teorema 142-143 i sledećih jednakosti (i j) = (1 i) (1 j) (1 i) (1 i) = (1 2) (i 2 i 1) (i 1 i) (2 3) (1 2) i+ 1) = (1 2 n) 1 (1 2) (1 2 n) (i 1) 4 Napisati sledeće permutacije skupa {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kao proizvod disjunktnih ciklusa: 1 2 3 4 5 6 7 (a) 3 5 4 1 7 6 2 (b) (2 4 6 7) (3 4 7) (c) (1 3 5) (3 4 5 6) (4 6 7) 5 Napisati sledeće permutacije skupa {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kao proizvod transpozicija (a) (1 3 5 7 8) (b) (124) 6 Izraziti permutaciju (1 2 3 4 5 6 7) 1 2 3 4 5 6 7 3 5 4 1 7 6 2 7 Neka je ({a, b, c, d};?) grupoid, gde je? definisana sa? a b c d a a b c d b b a d c c c d a b d d c b a kao kompoziciju (1 2) i Ispitati, koristeći Kejlijevu teoremu o reprezentaciji grupa, da li postoji 1 i e za koje je ({a, b, c, d},?, 1,e) grupa 8 Ako su B 1 i B 2 podgrupe grupe A, onda je i (B 1 \ B 2,? B1\B 2, 1 B1 \B 2,e) podgrupa grupe A 9 Svaka podgrupa ciklične grupe je ciklična grupa 10 Ispitati da li su sledeće algebarske strukture prsteni: (a) (N, +,,, 0) (b) ({5k : k 2 Z, +,,, 0) (c) (Q, +,,, 0) (d) (R,, +, 1) 11 Ispitati da li (Z, +,, 0), (Q, +,, 0) imaju delitelje nule 12 Dokazati da je (Q,,,, 1, 0, 1) polje gde su i definisane sa a b = a + b +1 a b = a + b + ab

24 ZADACI 27 13 Ako je (a, b, b, a) (c, d, d, c) = (a + c, b + d, b d, a + c) (a, b, b, a) (c, d, d, c) = (ac bd, ad + bc, ad bc, ac bd) odrediti preostale operacije tako da ({(a, b, b, a) :a, b 2 R},,,,, 0, 1) bude polje