KUPA Kupa je oblo feometrijko telo čija je onova krug, a omotač je deo obrtne konune površi a vrhom u tački S. S r Oa kupe je prava koja prolazi kroz vrh kupe i centar onove kupe. Ako je oa normalna na onovu kupe reč je o pravoj kupi, inače e radi o kooj kupi. S O r oa kupe Obeležavanje: - r je poluprečnik onove( r je prečnik onove) - je viina kupe - je izvodnica kupe - B je baza (onova) - M je omotač - P površina, V zapremina
Opšte početne formule za površinu i zapreminu kupe ite u kao i formule za P i V piramide. B+ M i V = B Pogledajmo najpre mrežu kupe. M = rπ B= r π B+ M V = B r π + rπ V = r π rπ ( r+ )
Pogledajmo i oni preek: Oni preek je trougao, čija je površina: P op rr oni preek r = to jet Pop = r Još trebamo paziti da ako u tektu zadatka kaže da e radi o ravnotranoj kupi, onda je oni preek jednakotranični trougao i važi da je : r= Znajte da kupa može natati i obrtanjem pravouglog trougla oko jedne od vojih kateta: c b c= b= c b c= b=r a a=r a a= Obrtanje oko katete b Obrtanje oko katete a
r= 6cm = cm. V =? V = B V = r π V 6 π = V = 6 π kratimo 6 i a V = π V = πcm 4
V = πcm B= πcm? Najpre tražimo viinu primenjujući početnu formulu za zapreminu: V = B π = π ovde kratimo trojke i π = = cm Iz površine baze ćemo lako naći poluprečnik B= r π π = r π r = r= cm Primenom Pitagorine teoreme ćemo naći izvodnicu : = + r = + = 9+ = = = 4 = cm I konačno, površina je: 5
rπ ( r+ ) π ( + ) π π π 9πcm V = 800πcm r : = 5: 6 ( prečnik onove i viina u u razmeri 5:6)? r= 5 odavde izrazimo r = 5 Sada ovo menjamo u formulu za zapreminu: V = r π r 800 π = r π pokratimo... 5 4r 800= 5 4r = 4000 r = 000 r = 0 r= 0cm Dalje nam treba izvodnica, koju ćemo naći preko Pitagorine teoreme: = r + = 0 + 4 = 00+ 576 = 676 = 676 = 6cm 6
Konačno, površina je: rπ ( r+ ) 0 π (0+ 6) 0π 6 60πcm O= 6rcm = 4cm A) =? B)? V ) V =? Iz obima onove ćemo naći poluprečnik onove r O= rπ 6π = rπ r= 6 r= cm r Primenom Pitagorine teoreme dobijamo izvodnicu: = r + = + 4 = 9+ 6 = 5 = 5 = 5cm Dalje nije teško naći površinu i zapreminu: 7
rπ ( r+ ) π (+ 5) π 8 4πcm π V = r V V V π 4 = = 9 π 4 = πcm 90πcm B= 5πcm V =? Krećemo od opšte formule za površinu: B+ M 90π = 5π + M M = 90π 5π M = 65πcm Iz baze ćemo lako naći poluprečnik r B= r π 5π = r π r = 5 r= 5 r= 5cm Vratimo e u omotač da nañemo izvodnicu 8
M = rπ 65π = 5 π naravno, kao i uvek, kratimo π 65= 5 65 = 5 = cm Sad upotrebimo Pitagorinu teoremu = r + = 5 + 69= 5+ = 69 5 = 44 = 44 = cm V = r π 5 V = π V = 5 π kratimo i a V=00π cm r= 8cm 6πcm P op =? Kako e beše izračunava površina onog preeka? Pogledajmo liku: rr oni preek 9
P op r = to jet : Pop = r Iz r = 8,jano je da je r = 9cm Nadjimo viinu: rπ ( r+ ) 6π = 9 π (9 + ) kratimo π 6= 9(9 + ) 6 9+ = 9 9+ = 4 = 4 9 = 5cm = + r 5 = + 9 5= + 8 = 5 8 = 44 = 44 = cm Sad je lako: P = r P P op op op = 9 = 08cm Pop? = 6 cm 60 0 60 0 60 0 r = r oni preek Oni preek je jednakotranični trougao to nam govori da je r = 0
Za površinu onog preeka ćemo upotrebiti formulu za površinu jednakotraničnog trougla: a P = 4 6 = kratimo 4 6= 4 = 6 4 = 64 = 64 = 8cm Kako je r =, onda je r = 8, pa je jano: r = 4cm rπ ( r+ ) 4 π (4+ 8) 4π 48πcm Uočimo par činjenica: - viine u im ite - dužina onovne ivice piramide je : a= 6 - da nañemo poluprečnik onove kupe...tu će nam pomoći pogled odozdo :
r=d/ a a Uočavamo da je poluprečnik onove kupe utvari polovina dijagonale kvadrata! d a 6 6 Dakle: r= = = = = 6cm Izračunajmo ada odno zapremina: r π a Vkupa : Vpiramida = : ( ovde kratimo, jer u im ite, i trojke) = r π : a Šta primećujemo? a = ( ) π: a a 4 π = : ( proširimo a ) = π : = π : a (pokratimo a i i 4) Pa podatak da je poluprečnik onove kupe d a 6 6 r= = = = = 6cm nam nije ni trebao i podatak da je a= 6 je takoñe nepotreban! Dovoljno je znati da je : d a r= =
O= 6πcm A)? B) V=? Uočimo najpre na lici trougao BOS. S 45 0 A O =r On je očigledno jednakokrako pravougli trougao! kvadrata čija je tranica r. r 45 0 B To nam govori da je = r. Izvodnica je utvari dijagonala Iz obima onove ćemo naći poluprečnik r, onda itovremeno imamo i, a izvodnica ćemo kao dijagonalu kvadrata naći kao : = r O= rπ 6π = rπ 6= r r= 8cm = 8cm = 8 cm
rπ ( r+ ) 8 π (8+ 8 ) ovde, ako e etite, izvučite 8 kao zajednički ipred zagrade) 8π 8(+ ) 4 π (+ ) cm π V = r V V V 8 π 8 = = 4 π 8 = 944πcm O= 8πm = m V =? O= rπ 8π = rπ r= 8 r= 4m V = r π 4 π V = V = 6πm 4
5