Zajedni ki sveu ili²ni poslijediplomski doktorski studij matematike Sveu ili²ta u Zagrebu, Sveu ili²ta J. J. Strossmayera u Osijeku, Sveu ili²ta u Rij

Транскрипт

1 Zajedni ki sveu ili²ni poslijediplomski doktorski studij matematike Sveu ili²ta u Zagrebu, Sveu ili²ta J. J. Strossmayera u Osijeku, Sveu ili²ta u Rijeci i Sveu ili²ta u Splitu Jurica Peri Nova metoda pobolj²avanja klasi nih nejednakosti Voditelj: akademik Josip Pe ari Sveu ili²te u Zagrebu Zagreb, 0.

2 Ova disertacija je predana na ocjenu Matemati kom odsjeku Prirodoslovno - matemati kog fakulteta Sveu ili²ta u Zagrebu, u svrhu stjecanja znanstvenog stupnja doktora prirodnih znanosti iz podru ja matematike. i

3 Hvala mom voditelju akademiku Josipu Pe ari u na velikoj pomo i i podr²ci te ukazanom razumijevanju pri nastajanju ove disertacije. Hvala svim lanovima Seminara za nejednakosti i primjene u Splitu i Zagrebu za ugodnu suradnju, korisne primjedbe i savjete. ii

4 Sadrºaj Uvod iv. Konverzna Jensenova nejednakost.. Konverzna Jensenova nejednakost - varijante Pobolj²anja i generalizacije Giaccardi-Petrovi eva nejednakost Pobolj²anje konverzne Hölderove i Minkowskijeve nejednakosti Varijante Jensenove nejednakosti 47.. Jessen-Mercerova nejednakost Jessen-Mercerove razlike Jensenova operatorska nejednakost Hermite-Hadamardova nejednakost Uvod Pobolj²anja Hermite-Hadamardove nejednakosti Hammer-Bullenove razlike Bibliograja 08 Saºetak 4 Summary 5 šivotopis 6 iii

5 Uvod U disertaciji emo se baviti pobolj²avanjem i generaliziranjem varijanti nekih klasi nih nejednakosti. Metoda kojom emo pobolj²avati nejednakosti se temelji na sljede em rezultatu [5, str. 77, Teorem ]: Ako je f konveksna funkcija na intervalu I R, x = x,..., x n I n n, p i q pozitivne n-torke takve da p q to jest, p i q i, i =,..., n, P n = n p i, Q n = n, tada vrijedi p i fx i P n f p i x i q i fx i Q n f q i x i 0. P n Osnovni rezultat iz kojega su se kasnije nejednakosti razvijale je poznata nejednakost danskog matemati ara J. L. W. Jensena iz 905. godine dobivena u radu [8]: Neka je I interval u R, funkcija f : I R konveksna na I, te neka je za n N, p = p,..., p n pozitivna realna n-torka, te neka je P n = p i > 0. Tada za svako x = x,..., x n I n vrijedi nejednakost f p i x i P n P n p i fx i Ako je f strogo konveksna, nejednakost je stroga osim ako x = x = = x n. Ako je f konkavna funkcija, vrijedi suprotna nejednakost. Usko povezana uz Jensenovu nejednakost je konverzna Jensenova nejednakost, jedna varijanta je poznata Lah-Ribari eva nejednakost dobivena u radu [37] iz 973. godine. Nakon dobivenih pobolj²anja, gdje je mogu e, denirat emo linearne funkcionale za koje emo dati dva teorema srednje vrijednosti Cauchyjevog tipa, te emo se baviti pojmom n-eksponencijalne i eksponencijalne konveksnosti. Iz ve ine rezultata emo dobiti i neka pobolj²anja nejednakosti izmežu sredina, posebno kvaziaritmeti kih, potencijalnih i onih Stolarskyjevog tipa. U prvom poglavlju dajemo rezultate vezane uz konverznu Jensenovu nejednakost. Navodimo jednu od vaºnijih varijanti konverzne Jensenove nejednakosti, Lah- Ribari evu nejednakost, te dajemo generalizaciju na pozitivne normalizirane linearne funkcionale iz rada [4]. Osnovni rezultat nam je pobolj²anje generalizirane Lah- Ribari eve nejednakosti rezultat iz rada [35]. Iz tog rezultata dobivamo i pobolj- ²anja ostalih rezultata iz rada [4]. Takožer, dobivamo pobolj²anja nekih nejednakosti Hermite-Hadamardovog tipa. Dajemo generalizaciju na konveksne ljuske. Navodimo McShaneovu nejednakost, koja je generalizacija Jessenove nejednakosti na konveksne skupove u R k. Osnovni rezultat nam je pobolj²anje generalizacije Lah-Ribari eve iv Q n

6 UVOD v nejednakosti koju su dali J. Pe ari i S. Iveli. Kao specijalan slu aj konveksnih ljuski promatramo k-simplekse u R k. Baricentri ke koordinate kod k-simpleksa su nenegativni linearni polinomi, te ih je mogu e prikazati preko k-dimenzionalne Lebesgueove mjere. Kao specijalan slu aj ovih rezultata dobivamo k-dimenzionalnu verziju Hammer-Bullenove nejednakosti, te u jednoj dimenziji pobolj²anje klasi ne Hermite-Hadamardove nejednakosti. Jo² jedna varijanta konverzne Jensenove nejednakosti je Giaccardijeva nejednakost, te kao specijalan slu aj Petrovi eva nejednakost. Dajemo njihova pobolj²anja, te pokazujemo da smo te rezultate mogli dobili i iz generalizacije i pobolj²anja Lah-Ribari eve nejednakosti. Koristimo dobivene rezultate za deniranje dva linearna funkcionala Giaccardi-Petrovi eve razlike. Za njih prvo dajemo dva teorema srednje vrijednosti Cauchyjevog tipa. Tu prvi puta uvodimo pojam n-eksponencijalne i eksponencijalne konveksnosti. Koristimo ideju iz rada [7] i dajemo elegantnu metodu za dobivanje n-eksponencijalno konveksnih i eksponencijalno konveksnih funkcija primjenjuju i denirane funkcionale na danu familiju funkcija sa istim svojstvom. Zavr²avamo sa nekoliko primjera gdje konstruiramo velike familije funkcija koje su eksponencijalno konveksne. Takožer dobivamo neke rezultate vezane uz nejednakosti izmežu sredina Stolarskyjevog tipa. Za kraj ovog poglavlja promatramo konverznu Hölderovu nejednakost za funkcionale, diskretnu verziju konverzne Beckenbachove nejednakosti, te konverznu Minkowskijevu nejednakost za funkcionale. Za sve tri nejednakosti dajemo pobolj²anja. Dajemo i konverziju neprekidnog oblika Minkowskijeve nejednakosti "konverzna Minkowskijeva integralna nejednakost". Koriste i rezultate za Minkowskijevu nejednakost dobivamo pobolj²anja nejednakosti izmežu mje²ovitih sredina. U drugom poglavlju se bavimo dvjema varijantama Jensenove nejednakosti. Prva je Jessen-Mercerova nejednakost. Navodimo Jessenovu nejednakost, ²to je generalizacija Jensenove nejednakosti na pozitivne normalizirane linearne funkcionale, zatim Jensen-Mercerovu nejednakost koju je dao A. McD. Mercer u radu [43] iz 003. a u kojoj se pojavljuju i rubne to ke, te na kraju varijantu Jessen-Mercerove nejednakosti generalizacija na pozitivne normalizirane linearne funkcionale, uklju uje rubne to ke dobivenu u radu []. Glavni rezultat su nam dva teorema koja daju pobolj- ²anja zadnje nejednakosti, to jest niza nejednakosti iz istog rada. Zatim dajemo generalizaciju Jessen-Mercerove nejednakosti na konveksne ljuske. Koriste i dobivene rezultate deniramo dva funkcionala Jessen-Mercerove razlike. Za njih provodimo isti postupak kao i nad linearnim funkcionalima u prethodnom poglavlju. Takožer dobivamo neke rezultate vezane uz nejednakosti izmežu sredina Stolarskyjevog tipa. Druga varijanta Jensenove nejednakosti kojom se bavimo je Jensenova operatorska nejednakost, to jest generalizacija na operatorski konveksne funkcije. Cilj nam je pobolj²anje Jensenove operatorske nejednakosti bez operatorske konveksnosti dobivene u radu [44]. Koriste i dobivene rezultate pobolj²at emo neke nejednakosti izmežu kvaziaritmeti kih sredina, te neke rezultate u svezi monotonosti tih sredina. Takožer, pobolj²at emo jedno pro²irenje Jensenove operatorske nejednakosti bez operatorske konveksnosti iz istog rada [44]. Specijalno, dobivamo neke rezultate u svezi potencijalnih sredina kao specijalan slu aj kvaziaritmeti kih sredina. U zadnjem poglavlju prou avamo jednu od najslavnijih nejednakosti, Hermite- Hadamardovu. Ona glasi:

7 UVOD vi Neka je f konveksna funkcija na intervalu [a, b] R, gdje je a < b. Tada a + b f b a b a fxdx fa + fb. Prva nejednakost je ja a od druge: ako je f konveksna na [a, b], tada b a b a a + b fxdx f fa + fb b a b a fxdx. i tu nejednakost zovemo Hammer-Bullenova nejednakost. Fejér je 906. godine dao pro²irenje Hermite-Hadamardove nejednakosti s teºinskom fukcijom, a u radu [6] je dana generalizacija na pozitivne normalizirane linearne funkcionale. Glavni rezultat e nam biti dva pobolj²anja generalizacije iz rada [6]. Koriste i ta pobolj²anja dobivamo i pobolj²anja ostalih varijanti Hermite- Hadamardove nejednakosti do sada spomenutih. Na kraju ponovo deniramo dva funkcionala zovemo ih Hammer-Bullenove razlike nad kojima provodimo isti postupak kao i u prija²njim poglavljima.

8 Poglavlje. Konverzna Jensenova nejednakost Pobolj²avamo razne varijante konverzne Jensenove nejednakosti, sa posebnim naglaskom na Lah-Ribari evu nejednakost. Posebno, pobolj²avamo Giaccardi-Petrovi evu nejednakost, s tim da na kraju pokazujemo da taj rezultat moºemo dobiti kao specijalan slu aj prethodnih rezultata. Koriste i dobivene rezultate kreiramo dva funkcionala za koja dokazujemo dva teorema srednje vrijednosti Cauchyevog tipa, te uspostavljamo na in dobivanja n-eksponencijalno konveksnih i eksponencijalno konveksnih funkcija. Dajemo generalizaciju Lah-Ribari eve nejednakosti na konveksne ljuske, posebno na k-simplekse. Takožer, pokazujemo da iz ovih generaliziranih rezultata dobivamo pobolj²anje klasi ne Hermite-Hadamardove nejednakosti i k-dimenzionalnu varijantu Hammer-Bullenove nejednakosti... Konverzna Jensenova nejednakost - varijante Usko povezana uz Jensenovu nejednakost je konverzna Jensenova nejednakost vidjeti [37]. Jedna od vaºnijih varijanti konverzne Jensenove nejednakosti je Lah-Ribari eva nejednakost vidjeti npr. [9]. Teorem... Ako je f : [a, b] R R konveksna funkcija na [a, b], x i [a, b], p i 0 za sve i =,..., n i p i =, tada vrijedi p i fx i b n p n ix i fa + p ix i a fb. b a b a i Ako je f strogo konveksna, tada je. stroga osim ukoliko x i {a, b} za svaki i {j : p j > 0}. Rezultat vezan uz ovu nejednakost moºemo prona i u radu [5] vidjeti takožer [5, str. 690] gdje su autori dokazali sljede i teorem. Teorem... Neka je x = x,..., x n n-torka u I n, p = p,..., p n nenegativna n-torka takva da P n = n p i > 0, m = min {x,..., x n } i M = max {x,..., x n }.

9 . Konverzna Jensenova nejednakost Ako je f : I R diferencijabilna i f strogo rastu a, tada vrijede nejednakosti f p i x i p i f x i λ + f p i x i. P n P n P n gdje je λ = f M f m f f M f m M m M m Mf m mf M + f f f M f m. M m M m Neka je E neprazan skup i L vektorski prostor funkcija f : E R koji sadrºi konstantne funkcije, to jest L ima sljede a svojstva L f, g L a, b R af + bg L L L, odnosno ako vrijedi ft = za svaki t E, tada je f L. Ako L ima i dodatno svojstvo L3 f, g L min {f, g} L max {f, g} L, tada je re²etka. O ito, R E, sa standardnim urežajem je re²etka. Takožer se lagano moºe pokazati da je potprostor X R E re²etka ako i samo ako x X implicira x X. To je jednostavna posljedica injenice da za svaki x X funkcije x, x i x + moºemo denirati sa x t = x t, x + t = max {0, x t}, x t = min {0, x t}, t E, i x + + x = x, x + x = x, min {x, y} = x + y x y, max {x, y} = x + y + x y..3 Promatramo pozitivne linearne funkcionale A: L R, odnosno pretpostavljamo A f, g L a, b R Aaf + bg = aaf + bag linearnost A f Lf 0 = Af 0 pozitivnost. Ako je zadovoljen i dodatni uvjet A =, za A kaºemo da je pozitivan normaliziran linearni funkcional. Sljede i rezultat iz 93. je Jessenova generalizacija Jensenove nejednakosti na pozitivne normalizirane linearne funkcionale rad [30]. Teorem..3. Jessenova nejednakost Neka L zadovoljava L i L na nepraznom skupu E i neka je A pozitivan normaliziran linearan funkcional na L. Ako je φ neprekidna konveksna funkcija na intervalu I R, tada za svaki g L takav da je φ g L vrijedi Ag I i φag Aφg..4

10 . Konverzna Jensenova nejednakost 3 Idu i teorem, koji su dokazali P. R. Beesack i J. Pe ari u radu [4] vidjeti i [69], daje generalizaciju Lah-Ribari eve nejednakosti na pozitivne normalizirane linearne funkcionale. Teorem..4. Neka L zadovoljava L i L na nepraznom skupu E i A je pozitivan normaliziran linearan funkcional. Ako je ϕ: [m, M] R konveksna, tada za svaki g L takav da ϕ g L vrijedi nejednakost A ϕ g M A g M m ϕm + A g m ϕm..5 M m Primjedba..5. Desna strana nejednakosti.5 je rastu a funkcija po M i padaju a funkcija po m. To slijedi ako je zapi²emo u obliku ϕm + A g m ϕm ϕm M m = ϕm M A g ϕm ϕm M m te iz m A g M, dok su funkcije m ϕm ϕm M m konveksnosti od ϕ. i M ϕm ϕm M m rastu e zbog U istom radu [4] ili vidjeti [69, str. 00-0] dokazan je i sljede i teorem. Teorem..6. Neka su L, A i g kao u teoremu..4. i neka je ϕ: [m, M] R diferencijabilna funkcija. i Ako je ϕ strogo rastu a na [m, M], tada vrijedi Aϕg λ + ϕag.6 za neki λ takav da 0 < λ < M m µ ϕ m, gdje µ = ϕ M ϕ m M m. Preciznije, λ moºemo odrediti na sljede i na in: Neka je x jedinstveno rje²enje jednadºbe ϕ x = µ. Tada zadovoljava.6. λ = ϕ m + µ x m ϕ x ii Ako je ϕ strogo padaju a na [m, M] tada vrijedi ϕag λ + Aϕg.7 za neki λ takav da 0 < λ < M m ϕ m µ, gdje je µ deniran kao u i. Preciznije, za x deniran kao u i, imamo da zadovoljava.7. λ = ϕ x ϕ m µ x m

11 . Konverzna Jensenova nejednakost 4 Lagano se pokaºe da se desna strana nejednakosti. iz teorema... moºe dobiti kao specijalan slu aj od.6: samo promatramo E = [m, M], L = R E, g = id E, A f = n P n p if x i uz P n 0 i nakon nekoliko jednostavnih koraka dobijemo jednaki λ. Lijeva strana od. je o ito specijalan slu aj Jensenove nejednakosti. U [5] ili vidjeti [69, str. 0] Beesack i Pe ari su dali generalizaciju teorema..6. koja je istovremeno i generalizacija Knoppove nejednakosti za konveksne funkcije vidjeti [36]. Teorem..7. Neka su L i A kao u teoremu..4. Neka je ϕ: [m, M] R konveksna funkcija i J interval u R takav da ϕ [m, M] J. Ako je F : J J R rastu a funkcija po prvoj varijabli, tada za svaki g L takav da je ϕ g L vrijedi sljede a nejednakost M x F A ϕ g, ϕ A g max F x [m,m] M m ϕ m + x m ϕ M, ϕ x.8 M m = max F θϕ m + θϕ M, ϕ θm + θ M. θ [0,] tovi²e, desna strana od.8 je rastu a funkcija po M i padaju a funkcija po m. Lagano je dokazati da je teorem..6. specijalan slu aj teorema..7. Naime, ako primijenimo teorem..7. na ϕ koja je diferencijabilna i strogo konveksna na [m, M] u rubnim to kama x = m i x = M moºemo gledati derivacije slijeva i zdesna, respektivno u nekoliko koraka dobijemo nejednakost.6. Dajemo dokaz samo za prvi slu aj i; ii se dobije na sli an na in ako u teoremu..7. uzmemo F umjesto F i gledamo ϕ koja je diferencijabilna i strogo konkavna. Ako je F denirana sa F x, y = x y, nejednakost u.8 postaje A ϕ g ϕ A g gdje je f : [m, M] R denirana s max f x; m, M, ϕ,.9 x [m,m] f x := f x; m, M, ϕ = M x ϕ m + x m ϕ M M m ϕ x. Primijetimo da je f m = f M = 0 i f x = ϕ M ϕ m M m ϕ x = µ ϕ x. Kako je ϕ strogo konveksna, f je strogo padaju a na [m, M] i jednadºba f x = 0 to jest, ϕ x = µ vrijedi za jedinstveni x = x m, M. Slijedi da je f x 0 za sve x [m, M] sa jednako² u za x {m, M}. Posljedi no, maksimalna vrijednost desne strane od.9 se poprima za x = x, te za λ = M x ϕ m + x m ϕ M f x = ϕ x M m = ϕ m + µ x m ϕ x

12 . Konverzna Jensenova nejednakost 5 imamo da vrijedi Aϕg λ + ϕag. Diskretna verzija teorema..7. se moºe na i u [5, Teorem 8, str. 9-0]. Neki rezultati ovog tipa su promatrani u [8], gdje je dobivena i generalizacija za pozitivne linearne operatore. Daljnje generalizacije za pozitivne linearne operatore su dane u [49]. Neki rezultati vezani za konveksne funkcije vi²eg stupnja se mogu na i u [6], [63] i [64]. Nedavno su S. Iveli i J. Pe ari u radu [5] dobili generalizacije teorema..7. za konveksne funkcije na konveksnim ljuskama. Povijesne napomene Pokazat emo da su neki od rezultata objavljenih posljednjih godina u svezi konverzne Jensenove nejednakosti ve otprije poznati rezultati iz nekih standardnih monograja, npr. iz [5] ili [69] ili su specijalni slu ajevi rezultata radova ve objavljenih u matemati kim asopisima. Neka je I R interval, x i n niz takav da x i I, i =,..., n, i p i n niz pozitivnih teºina takav da p i =. Sljede i teoremi su dokazani u [74]. Teorem..8. Ako je f konveksna na I, tada [ max p µ f x µ + p ν f x ν p µ + p ν f µ<ν n ] pµ x µ + p ν x ν p µ + p ν p i f x i f p i x i i ograda je najbolja mogu a. Teorem..9. Ako je x i n [a, b]n, tada a + b p i f x i f p i x i fa + fb f := S f a, b Mežutim, teorem..8. je sadrºan u teoremu 3.4 i korolaru 3.5 koje emo sada navesti objavljenim u [69, str. 87]. Tvrdnja o najboljoj mogu oj ogradi u teoremu..8. je o ita jednakost se postiºe za n =. Teorem..0. Neka je f : U R konveksna funkcija, gdje je U konveksan skup u realnom vektorskom prostoru M. Neka su I i J kona ni poskupovi u N takvi da I J =. Neka je x i i I J niz takav da x i U, i I J i p i i I J je realan niz takav da P I > 0, P J > 0 i P I J > 0, gdje P K = k K p k za K I J. Ako P I i I p ix i U, P J i J p ix i U, P I J i I J p ix i U, tada gdje F K = P K f P K F I J F I + F J,.0 k K p kx k k K p kf x k. Primijetimo da funkcija F iz teorema..0. opisuje suprotnu Jensenovu razliku od razlike u teoremima..8. i..9.

13 . Konverzna Jensenova nejednakost 6 Korolar... Neka je f konveksna funkcija na U, gdje je U konveksan skup na proizvoljnom realnom vektorskom prostoru M. Neka je x i n niz takav da x i U, i =,..., n, i p i n je realan niz. Ako p i 0, i =,..., n i I k = {,..., k}, tada F I n F I n F I 0 i F I n { min p i + p j f i<j n pi x i + p j x j p i + p j } p i fx i p j fx j. Primjedba... Primijetimo da su rezultati vezani uz teorem..0. i korolar..., te impliciraju i teorem..8. objavljeni prethodno u [0], [], [50], [59], [84] i [85]. Teorem..9. je dokazao prethodno isti autor u radu objavljenom jednu godinu prije [74], to jest, bio je glavni rezultat u [73]. To nije spomenuto u [74]. Spomenuto je u [9] da se taj glavni rezultat iz [73], i stoga teorem..9. moºe dobiti iz korolara 3 i 4 iz [40]. tovi²e, ti korolari daju sljede a pobolj²anja teorema..9. Teorem..3. Neka je [a, b] R, x i n niz takav da x i [a, b], i =,..., n i p i n niz pozitivnih teºina takav da n p i =. Ako je f : [a, b] R konveksna funkcija, tada p i fx i f p i x i a + b f a + b p i x i f + a + b fa + fb f = S f a, b p i f x i Sljede a generalizacija i pobolj²anje teorema..9. je dokazano u [9]. Teorem..4. Neka L zadovoljava L i L i neka je Φ konveksna funkcija na I = [a, b]. Tada za svaki pozitivan normaliziran linearan funkcional A na L i za svaki g L takav da Φg L imamo AΦg ΦAg { + b a a + b } Ag S Φ a, b. U radu [67] su dane generalizacije i pobolj²anja teorema..8.,..9., te pobolj- ²anje teorema..4. U sljede em teoremu dajemo dvije generalizacije teorema..8. Za sli ne rezultate dobivene druk ijim metodama vidjeti [4]. Teorem..5. Neka je f konveksna funkcija na U, gdje je U konveksan skup u proizvoljnom realnom vektorskom prostoru M. Neka je x i n niz takav da x i U, i I n = {,..., n}, i p i n pozitivan niz.

14 . Konverzna Jensenova nejednakost 7 i Ako je S familija podskupova od I n, tada F I n min F S + F I n \ S min F S + max F I n \ S min F S. S S S S S S S S. ii Ako je S familija disjunktnih podskupova od I n, tada F I n S S F S,. gdje je F funkcija denirana u teoremu..0. Dokaz. i Jednostavna posljedica teorema..0. ii O ito I n = S S S i/ S S {i}, te. slijedi iz teorema..0. i F {i} = 0. Pobolj²anje teorema..4., koji je generalizacija i pobolj²anje teorema..9., dobivamo iz sljede e leme za n =. Lema..6. Neka je ϕ konveksna funkcija na intervalu I R, x = x,..., x n I n i p = p,..., p n nenegativna n-torka takva da p i =. Tada vrijedi [ ] min{p,..., p n } ϕx i nϕ x i n p i ϕx i ϕ p i x i.3 [ max{p,..., p n } ϕx i nϕ n Dokaz. Jednostavna posljedica od [5, str. 77, Teorem ]. ] x i..4 Teorem..7. Neka L zadovoljava L, L i L3 i neka je Φ konveksna funkcija na I = [a, b]. Tada za svaki pozitivan normaliziran linearan funkcional A na L i za svaki g L takav da Φg L imamo AΦg ΦAg { } a + b Ag b a + A a + b g S Φ a, b..5 Dokaz. Prvo primijetimo da Φg L takožer zna i da je kompozicija Φg dobro denirana, stoga ge [a, b]. Slijedi Ag [a, b]. Neka su funkcije p, q : [a, b] R denirane sa px = b x b a, qx = x a b a.

15 . Konverzna Jensenova nejednakost 8 Za svaki x [a, b] moºemo pisati b x Φx = Φ b a a + x a b a b = Φ pxa + qxb. Kako je Ag [a, b], imamo ΦAg = ΦpAga + qagb i po lemi..6. za n = slijedi ΦAg pagφa + qagφb max{pag, qag}s Φ a, b { = pagφa + qagφb + a+b Ag } S Φ a, b. b a Ponovo po lemi..6. za n = imamo Φx pxφa + qxφb min{px, qx}s Φ a, b. Imamo pg, qg L i ako primijenimo A na gornju nejednakost dobivamo AΦg ApgΦa + AqgΦb A min{pg, qg} S Φ a, b = ApgΦa + AqgΦb A g a+b S Φ a, b b a = pagφa + qagφb A g a+b S Φ a, b. b a.6.7 Sada iz nejednakosti.6 i.7 dobivamo traºenu nejednakost.5 Kako je Ag [a, b], o ito je da je teorem..7. pobolj²anje teorema Pobolj²anja i generalizacije Sada navodimo rezultate iz rada [35]...6. Za dobivanje pobolj²anja koristimo lemu Prvo dajemo pobolj²anje teorema..4. Teorem... Neka L zadovoljava L, L i L3 na nepraznom skupu E i neka je A pozitivan normaliziran linearan funkcional. Ako je ϕ konveksna funkcija na [m, M], tada za svaki g L takav da ϕ g L imamo Ag [m, M] i gdje A ϕ g M A g M m A g m ϕ m + M m ϕ M A g δ ϕ,.8 g = g m+m M m, δ ϕ = ϕ m + ϕ M ϕ m + M.

16 . Konverzna Jensenova nejednakost 9 Dokaz. Prvo primijetimo da ϕ g L takožer zna i da je kompozicija ϕ g dobro denirana, stoga g E [m, M]. Sada imamo m g M i m = A m A g A M = M. Neka su funkcije p, q : [m, M] R denirane sa p x = M x M m, q x = x m M m. Za svaki x [m, M] moºemo pisati M x ϕ x = ϕ M m m + x m M m M = ϕ p x m + q x M. Po lemi..6. za n = dobivamo ϕ x p x ϕ m + q x ϕ M [ m + M min {p x, q x} ϕ m + ϕ M ϕ ]. Neka je g L takav da ϕ g L. Imamo p g, q g L, te kada primijenimo A na gornju nejednakost uz x g x dobivamo A ϕ g A p g ϕ m + A q g ϕ M [ m + M A g ϕ m + ϕ M ϕ gdje je funkcija g denirana na E sa g x = min {p g, q g} x = g x m+m M m ], i po L3 pripada u L. Kako su p i q linearne funkcije, po svojstvima od A imamo A p g = p A g i A q g = q A g, te stoga ²to je.8. A ϕ g p A g ϕ m + q A g ϕ M A g δ ϕ, Primjedba... Teorem... je pobolj²anje teorema..4., jer pod postavljenim uvjetima imamo A g δ ϕ = A g m+m m + M ϕ m + ϕ M ϕ 0. M m Idu i korolar pokazuje da je teorem... pobolj²anje i generalizacija Lah-Ribari eve nejednakosti.

17 . Konverzna Jensenova nejednakost 0 Korolar..3. Neka je p nenegativna n-torka uz P n = n p i 0 i x [m, M] n. Ako je ϕ: [m, M] R konveksna funkcija, tada vrijedi P n p i ϕ x i.9 M x x m ϕ m + M m M m ϕ M δ ϕ P n p i xi m+m M m, gdje je x = P n n p ix i i δ ϕ deniran u teoremu... Dokaz. Ako uzmemo E = [m, M], L = R [m,m], g = id E, A f = n P n p if x i, nejednakost.8 postaje.9. Koristimo teorem... za dobivanje pobolj²anja jo² nekih do sada spomenutih nejednakosti. Prvo dobivamo pobolj²anje teorema..7. za specijalan slu aj F x, y = x y. Teorem..4. Uz pretpostavke teorema... vrijede sljede a nejednakost i jednakost A ϕ g ϕ A g { M x max x [m,m] M m ϕ m + x m } ϕ M ϕ x A g δ ϕ M m = max {θϕ m + θϕ M ϕ θm + θ M} A g δ ϕ, θ [0,] gdje su g i δ ϕ denirani kao u teoremu... Dokaz. To je direktna posljedica teorema... Identitet slijedi iz zamjene varijable θ = M x tako da za x [m, M] imamo θ [0, ] i x = θm + θ M. M m Zatim dajemo pobolj²anje teorema..6. Razmatrat emo samo slu aj kada je ϕ strogo rastu a i stoga je ϕ konveksna, jer analogan rezultat za ϕ strogo padaju u moºemo dobiti na sli an na in. Teorem..5. Neka su L i A kao u teoremu... Ako je ϕ: [m, M] R diferencijabilna takva da je ϕ strogo rastu a na [m, M], tada za svaki g L takav da je ϕ g L vrijedi nejednakost Aϕg λ + ϕag A g δ ϕ.0 za neki λ koji zadovoljava 0 < λ < M m µ ϕ m, gdje je µ = ϕ M ϕ m M m i g, δ ϕ denirani kao u teoremu... Preciznije, λ moºemo odrediti na sljede i na in: Neka je x jedinstveno rje²enje jednadºbe ϕ x = µ. Tada zadovoljava.0. λ = ϕ m + µ x m ϕ x

18 . Konverzna Jensenova nejednakost Dokaz. Dokaz slijedi istim argumentiranjem kao u dokazu teorema..6., jer po teoremu..4. imamo A ϕ g ϕ A g max f x; m, M, ϕ A g δ ϕ x [m,m] gdje je f denirana kao u.9. Jo² jedna zanimljiva posljedica teorema... je sljede a nejednakost Hermite- Hadamardovog tipa, ²to je pobolj²anje rezultata iz [6]. Teorem..6. Neka su L i A kao u teoremu... Ako je ϕ: [m, M] R neprekidna konveksna funkcija, tada za svaki g L takav da ϕ g L vrijede nejednakosti pm + qm pϕ m + qϕ M ϕ A ϕ g A g δ ϕ. p + q p + q gdje su p i q nenegativni realni brojevi takvi da A g = i g, δ ϕ su denirani kao u teoremu... pm + qm p + q. Dokaz. Prvo primijetimo da ϕ g L implicira Ag [m, M], stoga postoji jedinstveni nenegativan realan broj λ [0, ] takav da A g = λm + λ M. Ako su p, q nenegativni realni brojevi koji zadovoljavaju. tada o ito p p + q = λ, q p + q = λ. Iz Jessenove nejednakosti.4 imamo pm + qm ϕ = ϕ A g A ϕ g, p + q ²to je prva nejednakost u.. Kako je M A g M m A g m ϕ m + M m ϕ M = p p + q ϕ m + q p + q ϕ M po.8 imamo pϕ m + qϕ M A ϕ g A g δ ϕ, p + q ²to je druga nejednakost u.. Kao korolar teorema..6. dobivamo rezultat iz [8] gdje je dokazano da trapezno pravilo daje ve u gre²ku nego pravilo sredi²nje to ke. Korolar..7. Ako je ϕ: [m, M] R neprekidna konveksna funkcija, tada vrijede nejednakosti M ϕ m + ϕ M ϕ x dx.3 M m m M m + M ϕ x dx ϕ 0. M m m

19 . Konverzna Jensenova nejednakost Dokaz. Ovo je specijalan slu aj teorema..6. za E = [m, M], L = C [m, M], g = id E, A f = M f x dx, p = q =. Dobivamo M m m m + M M ϕ ϕ x dx.4 M m m ϕ m + ϕ M δ M ϕ g x dx. M m m Jednostavan ra un daje stoga = M g x dx = M m m 4, δ ϕ M ϕ m + ϕ M g x dx M m m ϕ m + ϕ M [ ] m + M ϕ m + ϕ M ϕ 4 + = ϕ m + M Iz.4 i.5 dobivamo m + M ϕ ϕ m + ϕ M..5 4 M ϕ x dx M m m m + M ϕ m + ϕ M ϕ +, ²to je ekvivalentno sa m + M M ϕ ϕ x dx M m m M m + M ϕ x dx ϕ M m m ϕ m + ϕ M M ϕ x dx. M m m Po Hermite-Hadamardovoj nejednakosti za konveksne funkcije znamo M m + M 0 ϕ x dx ϕ, M m stoga je.3 dokazano. Pogledajmo jo² dvije posljedice teorema..5. m Korolar..8. Neka su L i A kao u teoremu... Ako je g L takav da log g pripada u L i g E [m, M] R +, tada exp S M m A g exp Alogg ] A g, [ m+m 4mM gdje je S Spechtov omjer i g je deniran kao u teoremu...

20 . Konverzna Jensenova nejednakost 3 Dokaz. Specijalan slu aj teorema..5. za ϕ = log. U ovom slu aju.0 postaje Alogg λ log Ag A g δ log, to jest gdje stoga exp log Ag = A g exp Alogg + λ A g δ log = exp λ exp Alogg exp A g δ log, δ log = log m log M + log m + M m + M = log 4mM, log m log M µ = M m, x = µ = M m log M log m, λ = log m + µ x m + log x log m log M M m = log m + M m log M log m m M m + log log M log m m M M m M m = log + log m m log M m M m M m m = log e log m M M m m = S M m gdje je S Spechtov omjer vidjeti npr. [8, str. 7] deniran sa Uzimaju i sve u obzir dobivamo, S h = h h, h R e log h + \ {}. h A g exp Alogg exp S M m ] A g. [ m+m 4mM Korolar..9. Neka su L i A kao u teoremu... Ako je p L takav da log p pripada u L i p E [m, M] R +, tada A p exp Alog p + M m M S A p m + M mm,.6 log M m m gdje je S Spechtov omjer i p je deniran sa p = log p log mm log M log m.

21 . Konverzna Jensenova nejednakost 4 Dokaz. Specijalan slu aj teorema..5. za ϕ = exp i g = log p. U ovom slu aju.0 postaje gdje stoga Aexp logp λ + exp Alog p A p δ exp, δ exp = exp log m + exp log M exp µ = log m + log M = m + M mm, M m log M log m, x = log µ = log M m log M log m, λ = exp log m + µ x log m exp x M m M m = m + log log M log m log M log m log m = m + M m log M m = m + M m log M m log e log M m M m M m m m M m [ M m ] m M m log e log m M M m m [ M = m + M m ] m M m log + M m S log M m log M m m = M m M S. log M m m M m Uzimaju i sve u obzir dobivamo.6. Sada ºelimo generalizirati i pobolj²ati Lah-Ribari evu nejednakost na konveksne ljuske, i specijalno na k-simplekse u R k. Navodimo rezultate iz rada [70]. Prvo gledamo trivijalno pro²irenje Jensenove nejednakosti na konveksne skupove u R k. Neka je U konveksan podskup od R k i n N. Ako je f : U R konveksna funkcija, x,..., x n U i p,..., p n nenegativni realni brojevi uz P n = n p i > 0, tada vrijedi Jensenova nejednakost f p i x i p i fx i..7 P n P n Konveksna ljuska vektora x,..., x n R k je skup { } α i x i : α i R, α i 0, α i = i ozna avamo ga sa K = co{x,..., x n }.

22 . Konverzna Jensenova nejednakost 5 Baricentri ke koordinate nad K su neprekidne realne funkcije λ,..., λ n na K sa sljede im svojstvima: λ i x 0, i =,..., n λ i x = x = λ i xx i.8 Ako su x x,..., x n x linearno nezavisni vektori, tada svaki x K mo- ºemo zapisati na jedinstveni na in kao konveksnu kombinaciju od x,..., x n u obliku.8. Takožer, promatramo k-simplekse S = co{v, v,..., v k+ } u R k, to jest konveksne ljuske vrhova v,..., v k+ R k, gdje su vektori v v,..., v k+ v R k linearno nezavisni. U ovom slu aju k-simpleks ozna avamo sa S = [v,..., v k+ ]. Baricentri ke koordinate λ, λ,..., λ k+ nad S su nenegativni linearni polinomi na S i imaju specijalan oblik vidjeti [6]. Sa L k ozna avamo linearnu klasu funkcija g : E R k deniranih sa gt = g t,..., g k t, g i L i =,..., k. Za dani linearni funkcional A promatramo linearni operator à = A,..., A: Lk R k deniran sa Ãg = Ag,..., Ag k..9 Ako je zadovoljeno i A =, tada koriste i A dobivamo A3 Afg = fãg za svaku linearnu funkciju f na Rk. Primjedba..0. Ako uzmemo F x, y = x y, jednostavna posljedica teorema..7. je Afg f Ag max [θfm + θfm fθm + θm]..30 θ [0,] Ako uzmemo F x, y = x, za f > 0 slijedi y Afg f Ag max θ [0,] [ θfm + θfm fθm + θm ]..3 Dodatnu generalizaciju Jessenove nejednakosti.4 je dao E. J. McShane vidjeti [4], [69, str. 48]. Teorem... McShaneova nejednakost Neka L zadovoljava svojstva L i L na nepraznom skupu E, A je pozitivan normaliziran linearan funkcional na L i à deniran kao u.9. Neka je f neprekidna konveksna funkcija na zatvorenom konveksnom skupu U R k. Tada za svaki g L k takav da ge U i fg L, imamo Ãg U i fãg Afg..3

23 . Konverzna Jensenova nejednakost 6 J. Pe ari i S. Iveli u radu [5] su dali generalizaciju teorema..4. Teorem... Neka L zadovoljava svojstva L i L na nepraznom skupu E i A je pozitivan normaliziran linearan funkcional na L. Neka x,..., x n R k i K = co{x,..., x n }. Neka je f konveksna funkcija K i λ,..., λ n baricentri ke koordinate nad K. Tada za svaki g L k takav da g E K i fg, λ i g L, i =,..., n imamo Afg A λ i g f x i. Sada dajemo generalizacije i pobolj²anja teorema..7. i... To dobivamo koriste i lemu..6. generaliziranu na konveksne skupove u R k. Lema..3. Neka je ϕ konveksna funkcija na U gdje je U konveksan skup u R k, x,..., x n U n i p = p,..., p n je nenegativna n-torka takva da p i =. Tada [ ] min{p,..., p n } ϕx i nϕ x i n p i ϕx i ϕ p i x i [ max{p,..., p n } ϕx i nϕ n.33 ] x i..34 Dokaz. Jednostavna posljedica od [5, str. 77, Teorem ]. Za n N ozna avamo { } n = µ,..., µ n : µ i 0, i {,..., n}, µ i =. Takožer, ako je f funkcija denirana na konveksnom podskupu U R k x, x,..., x n U, ozna avamo Sf n x,..., x n = fx i nf x i. n O ito, ako je f konveksna, S n f x,..., x n 0. Sljede i teorem je pobolj²anje teorema... Teorem..4. Neka L zadovoljava svojstva L, L i L3 na nepraznom skupu E i A je pozitivan normaliziran linearan funkcional na L. Neka x,..., x n R k i K = co {x,..., x n }. Neka je f konveksna funkcija na K i λ,..., λ n baricentri ke koordinate nad K. Tada za svaki g L k takav da ge K i fg, λ i g L, i =,..., n imamo Afg A λ i g f x i A min {λ i g} Sf n x,..., x n..35 i

24 . Konverzna Jensenova nejednakost 7 Dokaz. Za svaki t E imamo gt K. Koriste i baricentri ke koordinate imamo λ i gt 0, i =,..., n, n λ igt = i gt = λ i gtx i. Kako je f konveksna, moºemo primijeniti lemu..3., te imamo fgt = f λ i gtx i [ λ i gtfx i min {λ i gt} fx i nf n Sada primijenimo funkcional A na zadnju nejednakost i dobijemo A fg A λ i gf x i min {λ i g} Sf n x,..., x n = ] x i..36 A λ i g f x i A min {λ i g} Sf n x,..., x n. Primjedba..5. Teorem..4. je pobolj²anje teorema..., jer pod danim pretpostavkama imamo A min {λ i g} S n f x,..., x n 0. Primjedba..6. Ako su zadovoljene sve pretpostavke teorema..4. i funkcija f je neprekidna, tada fãg Afg A λ i g f x i A min {λ i g} S n f x,..., x n. Prva nejednakost je teorem..., a druga teorem..4. Primjedba..7. Znamo da pod pretpostavkama teorema..4. imamo Afg A λ i g f x i A min {λ i g} Sf n x,..., x n. Podijelimo ovo sa f à g = f Aλ i gx i, za slu aj f > 0, te dobivamo A f g f à g n Aλ igfx i f n Aλ igx i A min {λ ig: i =,..., n} Sf f Ãg n x,..., x n n max µ ifx i n f n µ ix i A min {λ ig: i =,..., n} Sf f Ãg n x,..., x n

25 . Konverzna Jensenova nejednakost 8 ²to je ekvivalentno A f g max n n µ ifx i f n µ ix i f To je pobolj²anje nejednakosti.6 iz [5] à g A min {λ i g: i =,..., n} Sf n x,..., x n..37 Koriste i teorem..4. dokazujemo generalizaciju i pobolj²anje teorema..7. Teorem..8. Neka L zadovoljava L, L i L3 na nepraznom skupu E, A je pozitivan normaliziran linearan funkcional na L i à deniran kao u.9. Neka x,..., x n R k i K = co{x,..., x n }. Neka je f konveksna funkcija na K i λ,..., λ n baricentri ke koordinate nad K. Ako je J interval u R takav da fk J i F : J J R je rastu a funkcija u prvoj varijabli, tada za svaki g L k takav da g E K i fg, λ i g L, i =,..., n imamo F Afg, fãg F max n F A λ i g f x i A min {λ i g} S n f x,..., x n, fãg µ i fx i A min {λ i g} Sf n x,..., x n, f µ i x i..38 Dokaz. Za svaki t E imamo gt K. Koriste i baricentri ke koordinate imamo λ i gt 0, i =,..., n, n λ igt = i gt = λ i gtx i. Kako je A pozitivan normaliziran linearan funkcional na L i à linearan operator na L k, imamo à g = Ag,..., Ag k = A λ i g x i, gdje i A λ i g 0, i =,..., n A λ i g = A λ i g = A =. Stoga, à g K. Kako je F : J J R rastu a funkcija u prvoj varijabli, koriste i.35 imamo F Afg, fãg F A λ i g fx i A min {λ i gt} Sf n x,..., x n, fãg..39

26 . Konverzna Jensenova nejednakost 9 Supstitucijama slijedi A λ i g = µ i, i =,..., n, à g = µ i x i. Sada imamo F A λ i g fx i A min {λ i gt} Sf n x,..., x n, fãg = F µ i fx i A min {λ i gt} Sf n x,..., x n, f µ i x i max n F µ i fx i A min {λ i gt} Sf n x,..., x n, f µ i x i. Kombiniraju i.39 i zadnju nejednakost dobivamo.4. Primjedba..9. Ako uzmemo F x, y = x y, kao jednostavna posljedica teorema..8. slijedi Afg fãg max µ i fx i f µ i x i A min {λ i g} Sf n x,..., x n. n.40 Ako uzmemo F x, y = x, za f > 0 slijedi y n Afg max µ ifx i A min {λ i g} Sf nx,..., x n fãg n f n µ..4 ix i Nejednakosti.40 i.4 su generalizacije i pobolj²anja od.30 i.3. Ako zamijenimo F by F u teoremu..8. dobivamo sljede i teorem Teorem..0. Neka L zadovoljava L, L i L3 na nepraznom skupu E, A je pozitivan normaliziran linearan funkcional na L i à deniran kao u.9. Neka x,..., x n R k i K = co{x,..., x n }. Neka je f konveksna funkcija na K i λ,..., λ n baricentri ke koordinate nad K. Ako je J interval u R takav da fk J i F : J J R je padaju a funkcija u prvoj varijabli, tada za svaki g L k takav da g E K i fg, λ i g L, i =,..., n imamo F Afg, fãg F min n F A λ i g f x i A min {λ i g} S n f x,..., x n, fãg µ i fx i A min {λ i g} Sf n x,..., x n, f µ i x i..4

27 . Konverzna Jensenova nejednakost 0 Sada promatramo specijalan slu aj kada je konveksna ljuska k-simpleks u R k. Neka je S k-simpleks u R k sa vrhovima v, v,..., v k+ R k. Baricentri ke koordinate λ,... λ k+ nad S su nenegativni linearni polinomi koji zadovoljavaju Lagrangeovo svojstvo {, i = j λ i v j = δ ij =. 0, i j Poznato je vidjeti [6] da za svaki x S baricentri ke koordinate λ x,..., λ k+ x imaju oblik λ x = Vol k [x, v,..., v k+ ], Vol k S λ x = Vol k [v, x, v 3,..., v k+ ], Vol k S. λ k+ x = Vol k [v,..., v k, x],.43 Vol k S gdje Vol k ozna ava k-dimenzionalnu Lebesgueovu mjeru od S. Ovdje, na primjer, [v, x,..., v k+ ] ozna ava podsimpleks koji dobijemo ako zamijenimo v sa x, tj. podsimpleks nasuprot v kada dodamo x kao novi vrh. Volumen sa predznakom Vol k S je dan sa k + k + determinantom Vol k S = k! v v v k+ v v v k+... v k v k v k+k gdje v = v, v,..., v k,..., v k+ = v k+, v k+,..., v k+k vidjeti [7]. Kako su vektori v v,..., v k+ v linearno nezavisni, svaki x S moºemo zapisati na jedinstven na in kao konveksnu kombinaciju od v,..., v k+ u obliku x = Vol k [x, v,..., v k+ ] Vol k S, v + + Vol k [v,..., v k, x] v k+..44 Vol k S Sada dajemo analogon teorema..4. za konveksne funkcije denirane na k- simpleksima u R k. Teorem... Neka L zadovoljava L, L i L3 na nepraznom skupu E, A je pozitivan normaliziran linearan funkcional na L i à deniran kao u.9. Neka je f konveksna funkcija na k-simpleksu S = [v, v,..., v k+ ] u R k i λ,..., λ k+ su baricentri ke koordinate nad S. Tada za svaki g L k takav da g E S i fg L imamo k+ Afg A λ i g f v i A min {λ i g} S k+ f v,..., v k+.45 = Vol k [Ãg, v,..., v k+ ] Vol k S fv + + A min {λ i g} S k+ f v,..., v k+. Vol k [ v, v,..., Ãg ] Vol k S fv k+

28 . Konverzna Jensenova nejednakost Dokaz. Za svaki t E imamo gt S. Koriste i baricentri ke koordinate imamo λ gt = Vol k [gt, v,..., v k+ ] Vol k S = k! k! g t v v k+... g k t v k v k+k, v v v k+... v k v k v k+k. λ k+ gt = Vol k [v,..., v k, gt] Vol k S = k! k! v v k g t... v k v kk g k t, v v v k+... v k v k v k+k k+ k+ λ i gt = i gt = λ i gtv i. Kako je f konveksna na S, koriste i lemu..3. imamo [ k+ k+ ] k+ fgt λ i gtf v i min {λ i gt} fv i k + f v i. k + Koriste i Laplaceov razvoj determinante lagano se provjeri λ i g L za svaki i =,..., k +. Sada primijenimo A na zadnju nejednakost i dobivamo Afg A k+ λ i gfv i min {λ i gt} [ k+ ] k+ fv i k + f v i k + k+ = A λ i g f v i A min {λ i g} S k+ f v,..., v k+,.46

29 . Konverzna Jensenova nejednakost gdje A λ g = k! k! Ag v v k+... Ag k v k v k+k v v v k+... v k v k v k+k = Vol k [Ãg, v,..., v k+ ] Vol k S, A λ k+ g =..47 k! k! v v k Ag... v k v kk Ag k v v v k+... v k v k v k+k = Vol k [ v,..., v k, Ãg ] Vol k S Kombiniraju i.46 i.47 dobivamo.45. Koriste i teorem... dokazujemo analogon teorema..8. za k-simplekse u R k. Teorem... Neka L zadovoljava L, L i L3 na nepraznom skupu E, A je pozitivan normaliziran linearan funkcional na L i à deniran kao u.9. Neka je f konveksna funkcija na k-simpleksu S = [v, v,..., v k+ ] u R k i λ,..., λ k+ baricentri ke koordinate nad S. Ako je J interval u R takav da fs J i F : J J R rastu a funkcija u prvoj varijabli, tada za svaki g L k takav da g E S i fg L imamo F Afg, fãg.48 max F Volk [x, v,..., v k+ ] fv + + Vol k [v,..., v k, x] fv k+ x S Vol k S Vol k S A min {λ i g} S k+ f v,..., v k+, f x k+ k+ = max F µ i fv i A min {λ i g} S k+ f v,..., v k+, f µ i v i. k Dokaz. Kako za svako t E imamo gt S, slijedi Ãg S vidjeti prvi dio dokaza teorema..8...

30 . Konverzna Jensenova nejednakost 3 Kako je F : J J R rastu a funkcija u prvoj varijabli, po teoremu... imamo F Afg, fãg ] [ ] Vol k [Ãg, v,..., v k+ Vol k v,..., v k, Ãg F fv + + fv k+ Vol k S Vol k S A min {λ i g} S k+ f v,..., v k+, fãg max F Volk [x, v,..., v k+ ] fv + + Vol k [v,..., v k, x] fv k+ x S Vol k S Vol k S A min {λ i g} S k+ f v,..., v k+, f x..49 Nejednakost.48 je jednostavna posljedica supstitucija µ = Vol k [x, v,..., v k+ ] Vol k S,..., µ k+ = Vol k [v,..., v k, x], Vol k S i k+ x = µ i v i. Primjedba..3. Ako su sve pretpostavke teorema... zadovoljene, te ako je f neprekidna, tada fãg Afg k+ A λ i g f v i A min {λ i g} S k+ f v,..., v k+.50 = Vol k [Ãg, v,..., v k+ ] Vol k S fv + + A min {λ i g} S k+ f v,..., v k+. Prva nejednakost je teorem..., a druga teorem... Vol k [ v, v,..., Ãg ] Vol k S fv k+ Primjer..4. Neka je S = [v, v,..., v k+ ] k-simpleks u R k i f neprekidna konveksna funkcija na S. Neka je L = E, A, λ prostor mjere sa pozitivnom mjerom λ. Deniramo funkcional A: L R sa Ag = gtdλt. λe A je o ito pozitivan normaliziran linearan funkcional na L. Tada je linearan operator à deniran sa Ãg = gtdλt. λe E E

31 . Konverzna Jensenova nejednakost 4 Ozna avamo g = gtdλt. Ako g E S i fg L, tada iz.50 slijedi λe E f g Afg.5 Vol k [g, v,..., v k+ ] fv + + Vol k [v,..., v k, g] fv k+ Vol k S Vol k S min {λ i gt: i =,..., k + } dλt S k+ f v,..., v k+. λe E Primjedba..5. Neka je S = [v,..., v k+ ] k simpleks u R k. Ako stavimo E = S, g = id S i λ Lebesgueova mjera na S u primjeru..4., dobivamo id S = tdt = v = S S k + Afid S = ftdt S S k+ v i gdje je v baricentar od S. Sada imamo fv ftdt S S Vol k [v, v,..., v k+ ] fv + + Vol k [v,..., v k, v ] fv k+ S S [ ] k+ min {λ i t: i =,..., k + } dt fv i k + fv S S = k+ f v i k + [ ] k+ min {λ i t: i =,..., k + } dt fv i k + fv. S S.5 Za i =,..., k+, neka je S i simpleks iji su vrhovi v i svi vrhovi od S osim v i. Ozna imo sa v i baricentar od S i, i =,..., k +. Kako je Vol k S i = Vol k S j, i, j =,..., k +, slijedi iz.43 da t S j implicira min i λ i t = λ j t. Slijedi S k+ min λ i tdt = i λ j tdt. S j.53 j=

32 . Konverzna Jensenova nejednakost 5 Imamo λ j tdt S j = Vol k [v,..., t,..., v k+ ] dt S S j [ = ] S Vol k v,..., tdt,..., v k+ S j = S j S Vol k = [ v,..., v j,..., v k+ ] = k + Vol k k + Vol k [v,..., v,..., v k+ ] = Koriste i.53 i.54 dobivamo S min i λ i tdt = Ako stavimo.55 u.5, imamo fv ftdt S k k + S k+ [ v,..., v j,..., v k+ ] S..54 k + 3 S..55 k + fv i + k + fv ²to je dobiveno u [, Teorem 4.]. Lagano se pokaºe da je desna strana ove nejednakosti ekvivalentna k-dimenzionalnoj varijanti Hammer-Bullenove nejednakosti, naime ftdt fv S S k k+ k + fv i k ftdt.56 S S ²to je dokazano, na primjer, u [89]. U jednoj dimenziji dobivamo pobolj²anje klasi ne Hermite-Hadamardove nejednakosti a + b f b a b a ftdt fa + fb 4 S fa, b..3. Giaccardi-Petrovi eva nejednakost Giaccardijeva nejednakost kaºe: Teorem.3.. Neka je ϕ konveksna funkcija na intervalu I, p nenegativna n-torka takva da n p i = P n 0 i x realna n-torka. Ako su x I n i x 0 I takvi da n p ix i = x I, x x 0 i x i x 0 x x i 0, i =,..., n,

33 . Konverzna Jensenova nejednakost 6 tada gdje A = p i ϕx i Aϕ x + B p i ϕx 0, n p ix i x 0 n p ix i x 0, B = n p ix i n p ix i x 0. Jednostavna posljedica Giaccardijeve nejednakosti je Petrovi eva nejednakost: Korolar.3.. Neka je ϕ konveksna funkcija na [0, a], 0 < a <. Tada za svaku nenegativnu n-torku p i svaki x [0, a] n takav da n p ix i = x 0, a] i vrijedi sljede a nejednakost p i x i x j, j =,..., n, p i ϕx i ϕ x + p i ϕ0. Za vi²e detalja o Giaccardijevoj i Petrovi evoj nejednakosti vidjeti [69]. U radu [66] smo pobolj²ali teorem.3.. i korolar.3.. koriste i lemu..6. za n =. Teorem.3.3. Neka je ϕ konveksna funkcija na intervalu I, p nenegativna n-torka takva da n p i = P n 0 i x realna n-torka. Ako su x I n i x 0 I takvi da n p ix i = x I, x x 0 i x i x 0 x x i 0, i =,..., n,.57 tada gdje A = p i ϕx i Aϕ x +B p i ϕx 0 δ ϕ P n + δ ϕ n p ix i x 0 n p ix i x 0, B = x i x 0+ x p i x x 0 n p ix i n p ix i x 0, δ ϕ = ϕx 0 + ϕ x ϕ,.58 x0 + x. Dokaz. Uvjet x i x 0 x x i 0, i =,..., n, zna i da vrijedi x 0 x i x ili x x i x 0, i =,..., n. Promotrimo prvi slu aj drugi je analogan. Neka su funkcije p, q : [x 0, x] [0, ] denirane sa px = x x x x 0, qx = x x 0 x x 0.

34 . Konverzna Jensenova nejednakost 7 Za svaki x [x 0, x] moºemo pisati x x ϕx = ϕ x 0 + x x 0 x = ϕpxx 0 + qx x. x x 0 x x 0 Po lemi..6. za n = imamo za x [x 0, x] [ ] x0 + x min{px, qx} ϕx 0 + ϕ x ϕ pxϕx 0 + qxϕ x ϕpxx 0 + qx x i tada ϕx = ϕpxx 0 + qx x pxϕx 0 + qxϕ x min{px, qx} Mnoºe i ϕx i sa p i i sumiraju i, dobivamo p i ϕx i = ϕ x [ ϕx 0 + ϕ x ϕ x0 + x ]. [ x0 + x p i [px i ϕx 0 + qx i ϕ x min{px i, qx i } ϕx 0 + ϕ x ϕ = Aϕ x + B p i x i x 0 x x 0 + ϕx 0 p i x x i x x 0 δ ϕ p i ϕx 0 δ ϕ P n + δ ϕ p i min{px i, qx i } x i x 0+ x p i x x 0. ]] Primjedba.3.4. Teorem.3.3. je o ito pobolj²anje teorema.3.., jer pod postavljenim uvjetima imamo p i min{px i, qx i } 0. δ ϕ Jednostavna posljedica Giaccardijeve nejednakosti je Petrovi eva nejednakost, pa dajemo i njeno pobolj²anje. Teorem.3.5. Neka je ϕ konveksna funkcija na [0, a], 0 < a <. Tada za svaku nenegativnu n-torku p i svaki x [0, a] n takav da n p ix i = x 0, a] i p i x i x j, j =,..., n,.59 vrijedi sljede a nejednakost p i ϕx i ϕ x + p i ϕ0 gdje δ ϕ = ϕ0 + ϕ x ϕ x. δ ϕ P n + δ ϕ x i p i x,.60

35 . Konverzna Jensenova nejednakost 8 Dokaz. Specijalan slu aj teorema.3.3.; uzmemo x 0 = 0. Primjedba.3.6. Primijetimo da smo pobolj²anje Giaccardijeve nejednakosti mogli dobiti iz teorema... Gledamo specijalan slu aj tog teorema kao u korolaru..3. Pretpostavimo da x 0 < x. Ako deniramo m = x 0 i M = x, iz.57 imamo x [m, M] n i.9 daje p i ϕ x i P n x x ϕ x 0 + x x 0P n ϕ x δ ϕ x x 0 x x 0 P n + δ ϕ = Aϕ p i x i + B p i ϕ x 0 δ ϕ P n + δ ϕ x i x 0+ x p i x x 0 x i x 0+ x p i x x 0 Ako je x 0 > n p ix i deniramo m = n p ix i, M = x 0, te je ostatak dokaza sli an. Motivirani nejednakostima.58 i.60, deniramo dva funkcionala: Φ x, p, f = Af x + B p i fx 0 δ f P n x i x 0+ x + δ f p i x x 0 p i fx i,.6 gdje je f funkcija na intervalu I, p nenegativna n-torka, x realna n-torka i x, P n, δ f, A, B kao u teoremu.3.3., i Φ x, p, f = f x + p i f0 δ ϕ P n x i + δ f p i x p i f x i,.6 gdje je f funkcija na intervalu [0, a], p nenegativna n-torka, x realna n-torka i x, P n, δ f kao u korolaru Ako je f konveksna funkcija, tada teorem.3.3. i korolar.3.5. impliciraju Φ i x, p, f 0, i =,. Sada dajemo dva teorema srednje vrijednosti Cauchyevog tipa za funkcionale Φ i, i =,. Teorem.3.7. Neka je I = [a, b], p nenegativna n-torka takva da n p i = P n 0 i x realna n-torka Neka su x I n i x 0 I takvi da n p ix i = x I, x x 0 i vrijedi.57. Neka f C I. Tada postoji ξ I takav da gdje f 0 x = x. Φ x, p, f = f ξ Φ x, p, f 0,.63.

36 . Konverzna Jensenova nejednakost 9 Dokaz. Kako je f C I postoje realni brojevi m = min x [a,b] f x i M = max x [a,b] f x. Lagano se pokaºe da su funkcije f x i f x, denirane sa konveksne. Stoga i dobivamo Iz.64 i.65 dobivamo f x = M x fx, f x = fx m x Φ x, p, f 0 Φ x, p, f 0, Φ x, p, f M Φ x, p, f 0.64 Φ x, p, f m Φ x, p, f m Φ x, p, f 0 Φ x, p, f M Φ x, p, f 0. Ako je Φ x, p, x = 0 nemamo ni²ta za dokazati. Pretpostavimo Φ x, p, x > 0. Imamo m Φ x, p, f Φ x, p, x M. Stoga postoji ξ I takav da Φ x, p, f = f ξ Φ x, p, f 0. Teorem.3.8. Neka je I = [0, a], p nenegativna n-torka i x realna n-torka. Neka je x [0, a] n takav da n p ix i = x I i vrijedi.59. Neka f C I. Tada postoji ξ I takav da gdje f 0 x = x. Dokaz. Analogan dokazu teorema.3.7. Φ x, p, f = f ξ Φ x, p, f 0.66 Teorem.3.9. Neka je I = [a, b], p nenegativna n-torka takva da n p i = P n 0 i x realna n-torka. Neka su x I n i x 0 I takvi da n p ix i = x I, x x 0 i vrijedi.57. Neka f, g C I. Tada postoji ξ I takav da uz uvjet da su nazivnici razli iti od nula. Φ x, p, f Φ x, p, g = f ξ g ξ,.67

37 . Konverzna Jensenova nejednakost 30 Dokaz. Deniramo h C [a, b] sa gdje je h = c f c g, c = Φ x, p, g, c = Φ x, p, f. Sada koriste i teorem.3.7. postoji ξ [a, b] takav da f ξ g ξ c c Φ x, p, f 0 = 0. Kako je Φ x, p, f 0 0 ina e dobivamo kontradikciju sa Φ x, p, g 0 po teoremu.3.7., dobivamo Φ x, p, f Φ x, p, g = f ξ g ξ. Teorem.3.0. Neka je I = [0, a], p nenegativna n-torka i x realna n-torka. Neka je x [0, a] n takav da n p ix i = x I i vrijedi.59. Neka f, g C I. Tada postoji ξ I takav da Φ x, p, f Φ x, p, g = f ξ.68 g ξ uz uvjet da su nazivnici razli iti od nula. Dokaz. Analogan dokazu teorema.3.9. Uvodimo sada neka svojstva funkcija koja emo prou avati, a zatim emo dati neke karakterizacije tih svojstava. Denicija.3.. Funkcija ψ : I R je n exksponencijalno konveksna u Jensenovom smislu na I ako vrijedi xi + x j ξ i ξ j ψ 0 i,j= za svaki izbor ξ i R i x i I, i =,..., n. Funkcija ψ : I R je n eksponencijalno konveksna ako je n eksponencijalno konveksna u Jensenovom smislu i neprekidna na I. Primjedba.3.. Jasno je iz denicije da su -eksponencijalno konveksne funkcije u stvari nenegativne funkcije. Takožer, n-eksponencijalno konveksne funkcije u Jensenovom smislu su k eksponencijalno konveksne u Jensenovom smislu za svaki k N, k n. Sljede a propozicija slijedi iz denicije pozitivno semidenitnih matrica. Propozicija.3.3. Ako je ψ n-eksponencijalno konveksna u Jensenovom smislu, [ ] k xi + x j tada je ψ pozitivno semidenitna matrica za svaki k N, k n. i,j= [ ] k xi + x j Specijalno, det ψ 0 za sve k N, k n. i,j=

38 . Konverzna Jensenova nejednakost 3 Denicija.3.4. Funkcija ψ : I R je eksponencijalno konveksna u Jensenovom smislu na I ako je n eksponencijalno konveksna u Jensenovom smislu za svaki n R. Funkcija ψ : I R je eksponencijalno konveksna ako je eksponencijalno konveksna u Jensenovom smislu i neprekidna. Primjedba.3.5. Poznato je i lagano za pokazati da je ψ : I R + log-konveksna u Jensenovom smislu ako i samo ako x + y α ψx + αβψ + β ψy 0 vrijedi za sve α, β R i x, y I. Slijedi da je pozitivna funkcija log-konveksna u Jensenovom smislu ako i samo ako je -eksponencijalno konveksna u Jensenovom smislu. Takožer, iz elementarne teorije konveksnosti slijedi da je pozitivna funkcija log-konveksna ako i samo ako je -eksponencijalno konveksna. Trebat e nam i sljede i rezultat vidjeti npr. [69]. Propozicija.3.6. Ako je Ψ konveksna funkcija na I i ako x y, x y, x x, y y tada vrijedi sljede a nejednakost Ψx Ψx x x Ψy Ψy y y..69 Ako je Ψ konkavna na I vrijedi suprotna nejednakost. Kada promatramo funkcije razli itih stupnjeva glatko e, podijeljene razlike se pokazuju vrlo korisne. Denicija.3.7. Podijeljena razlika drugog reda funkcije f : I R u mežusobno razli itim to kama y 0, y, y I se denira rekurzivno sa [y i ; f] = fy i, i = 0,, [y i, y i+ ; f] = fy i+ fy i y i+ y i, i = 0, [y 0, y, y ; f] = [y, y ; f] [y 0, y ; f] y y Primjedba.3.8. Vrijednost [y 0, y, y ; f] je nezavisna o poretku to aka y 0, y i y. Deniciju moºemo pro²iriti na slu aj kada se neke to ke podudaraju. Naime, ako gledamo limes y y 0 u.70, dobivamo lim [y 0, y, y ; f] = [y 0, y 0, y ; f] = fy fy 0 f y 0 y y 0, y y y 0 y y 0 y 0 ukoliko f postoji, a ako uzmemo limese y i y 0, i =, u.70, dobivamo ukoliko f postoji. lim y y 0 lim [y 0, y, y ; f] = [y 0, y 0, y 0 ; f] = f y 0 y y 0

39 . Konverzna Jensenova nejednakost 3 Koristimo ideju iz [7] i dajemo elegantnu metodu za dobivanje n-eksponencijalno konveksnih i eksponencijalno konveksnih funkcija primjenjuju i funkcionale Φ i Φ na danu familiju funkcija s istim svojstvom. Teorem.3.9. Neka je Υ = {f s : s J}, gdje je J interval u R, familija funkcija deniranih na intervalu I u R, takva da je funkcija s [y 0, y, y ; f s ] n eksponencijalno konveksna u Jensenovom smislu na J za svake tri mežusobno razli ite to ke y 0, y, y I. Neka su Φ i i =, linearni funkcionali denirani kao u.6 i.6. Tada je s Φ i x, p, f s n eksponencijalno konveksna funkcija u Jensenovom smislu na J. Ako je funkcija s Φ i x, p, f s neprekidna na J, tada je n eksponencijalno konveksna na J. Dokaz. Za ξ i R, i =,..., n i s i J, i =,..., n, deniramo funkciju gy = i,j= ξ i ξ j f s i +s j Koriste i pretpostavku da je funkcija s [y 0, y, y ; f s ] n-eksponencijalno konveksna u Jensenovom smislu, imamo [y 0, y, y ; g] = i,j= y. ξ i ξ j [y 0, y, y ; f s i +s j ] 0, ²to povla i da je g konveksna funkcija na I, te stoga imamo Φ i x, p, g 0, i =,. Slijedi ξ i ξ j Φ i x, p, f s i +s j 0. i,j= Zaklju ujemo da je funkcija s Φ i x, p, f s n-eksponencijalno konveksna na J u Jensenovom smislu. Ako je funkcija s Φ i x, p, f s neprekidna na J, tada je s Φ i x, p, f s n-eksponencijalno konveksna po deniciji. Sljede i korolar je direktna posljedica prethodnog teorema. Korolar.3.0. Neka je Υ = {f s : s J}, gdje je J interval u R, familija funkcija deniranih na intervalu I u R, takva da je funkcija s [y 0, y, y ; f s ] eksponencijalno konveksna u Jensenovom smislu na J za svake tri mežusobno razli ite to ke y 0, y, y I. Neka su Φ i i =, linearni funkcionali denirani kao u.6 i.6. Tada je s Φ i x, p, f s eksponencijalno konveksna funkcija u Jensenovom smislu na J. Ako je funkcija s Φ i x, p, f s neprekidna na J, tada je eksponencijalno konveksna na J. Korolar.3.. Neka je Ω = {f s : s J}, gdje je J interval u R, familija funkcija deniranih na intervalu I u R, takva da je funkcija s [y 0, y, y ; f s ] eksponencijalno konveksna u Jensenovom smislu na J za svake tri mežusobno razli ite to ke y 0, y, y I. Neka su Φ i i =,, linearni funkcionali denirani kao u.6 i.6. Tada vrijede sljede e tvrdnje: i Ako je funkcija s Φ i x, p, f s neprekidna na J, tada je eksponencijalno konveksna funkcija na J, i stoga log-konveksna funkcija.