Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

Транскрипт

1 Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : ( ) ; в) ( : ) ; г) : ( ). 3. Одреди бројевну вредност израза a b c ако је: а) a = 6, b = 3, c = 2; б) a = 2, b = 5 6, c = 2 3 ; в) a = 0,5, b = 2,7, c = 3,41; г) a = 2, b = 8, c = Попуни дату табелу: а b c a + b c a c b a (b c) (a c) (a + b) b a : c ,3 7,7 0,5 5. Запиши три произвољна алгебарска израза у којима учествује променљива х. 6. Запиши пет произвољних алгебарских израза. 7. Одреди бројевну вредност алгебарског израза: а) а 2 2а за а = 2; б) 1 3 а3 а 2 + 2а + 5 за а = 3; в) аb 2 + а 2 b + 4ab за а = 1 2, b = 2; г) а5 а 4 + а 3 а 2 + а за а = 1; д) а3 4 b4 2 c 2 за а = 2, b = 2, c = Израчунај вредност алгебарског израза: а) 10a2 + 0,9 a за а = 0,1; б) 4a2 + 3 a за а = 1; в) (2х + 3) 2 4 (х 2 + 3х) за х = ; г) 2x4 + 3x 2 15 за х = 3; x 2 1 д) (a + 2) 2 (4a 1)2 за а = 0,

2 9. Одреди бројевну вредност алгебарског израза: а) 0,5a2 b 3 (ab) ab за а = 0,1, b = 10; б) за x = 3, y = 3, z = 3. Полиноми 1. Који су од следећих алгебарских израза полиноми: а) аb + c; б) a 3 b 2 c xy 2 ; в) 2x2 3y 3 д) x 3 2x 2 + 3x 4; ђ) 3zx2 2y ; 5 е) 3c 2b + a 2ab 2 + c? ; г) a + b c d ; 2. Израчунај бројевну вредност полинома: а) 5а 2 2а + 3 за а = 4; б) х 4 + 2х 3 3х 2 4х + 5 за х = Израчунај бројевну вредност полинома: а) 2аb 3bc + 4ac за а = 1, b = 2, c = 4; б) x 2 y + х 2 y 2 хy 2 + 5х за х = 1, y = Међу датим изразима издвој мономе: а) a; б) b 2 ; в) 5; г) 2c; д) 1 2 x4 ; ђ) a 3 b 2 c; е) a 3 + b 2 + c; ж) 5. Напиши пет различитих монома. 1 xy ; з) 3xy3 z За дате мономе одреди коефицијенте: а) 2a; б) 10b 2 ; в) 3 7 xy; г) 1 2 ; д) ef 2 g Одреди бројевну вредност монома: а) 5х 2 за х = 10; б) 4а 70 за а = 1; в) 2 3 у2009 за у = 1; г) 0,3х 2 у за х = 5, у = 4; д) 5a3 b 2 c 72 за а = 2, b = 3, c = Међу датим мономима издвој пет група сличних монома: 5x, 1 2 y, 2x, x2 y, 4xy, 4xy 2, 3 8 xy, 2 9 x2 y, 12y и 19xy 2. 52

3 9. Напиши четири пара сличних монома. 10. Напиши четири слична монома. 11. Запиши три различита бинома. 12. Од монома 2а и 3b састави и запиши све могуће биноме. Колико их има? 13. Од монома x 3, 2x 2, 3x и 4 запиши неколико бинома. 14. Одреди бројевну вредност бинома: а) 2а 2 3а за а = 7; б) х 1000 х 1001 за х = 1; в) х х 1001 за х = Одреди бројевну вредност бинома: а) 5а + 4b за а = 8, b = 7; б) 20x 2 5xy за x = 1 2, y = 10; в) а 3 b 2 c 2ab 2 c 3 за а = 3, b = 5, c = Од монома 1 2, а, 2а2, 3а 4 запиши неколико тринома. 17. Одреди бројевну вредност тринома: а) x 3 + 2x 2 3x за x = 3; б) y 50 + y 100 y 150 за y = 1; в) z 99 z 100 z 101 за z = Одреди бројевну вредност тринома: а) x 3 + 3xy 5y за x = 2, y = 6; б) ab 2 3ac 2 + 5bcза а = 8, b = 3, c = Запиши формуле помоћу којих израчунавамо обим геометријске фигуре, а затим закључи да ли је то моном, бином, трином или полином. Геометријска фигура Обим Квадрат 4а моном Правоугаоник Троугао Једнакостранични троугао Једнакокраки троугао Ромб Паралелограм Трапез Једнакокраки трапез 53

4 Сабирање полинома 1. Израчунај збир монома: а) 2а + 3а; б) 9b 7b; в) 3ab 6ab; г) 1 2 x + 4x; д) 2 7 y2 5 7 y2 ; ђ) 13,5abc 6,8abc; е) 3 4 ax ax; ж) x2 y x 2 y; з) 2,8ab 2 c ab2 c Упрости изразе: а) а + 2а + 3а; б) 2b + 4b 5b; в) 5c 7c + 12c 10c; г) 5ab ( 2ab) 9ab; д) 2 3 abc abc ( 1 6 abc); ђ)4xyz (2 xyz 1 2 xyz); е) 9x + ( 4x) (2x 12x); ж) (5yz 9yz) (2yz + 4yz). 3. Одреди супротан моном монома М ако је: а) M = 5x; б) M = 2аb; в) M = 0,7xyz 2 ; г) M = p3 q 2 r. 4. Одреди супротан бином бинома Р ако је: а) Р = 2а + b; б) Р = 4x 5y 2 ; в) Р = mn 6a; г) Р = 5,5xy + 2y Одреди супротан полином полинома Р ако је: а) Р = 2а; б) Р = 3b; в) Р = 5x 2 + 4x; г) Р = 3x 2 2x + 1; д) Р = 8аb 2 + 9ab 6a 2 b; ђ) Р = 7y 2 x 2 8yz + 9xy 2 10x 2 y. 6. Који су од датих полинома сређени: А = 2а 3b, B = 5x 2 3x + 1, C = 2y 3y 2 + 4y, D = 4a + ab + 5b и E = 5x 2 2x 2 y 2 + 6x 2 y 2 3y 2? 7. Одреди степен монома: а) 8а 2 ; б) 4х 5 ; в) ab; г) xy 2 ; д)xy 2 z 3. (Када моном има једну променљиву, његов степен је одређен степеном те променљиве, а када има више променљивих, његов степен одређујемо тако што сабирамо степене тих променљивих). 8. Одреди степен бинома: а) x 2 4x; б) b ; в) c4 c 3 ; г) x 2 y + y 2 ; д) x 2 y 3 z 4 + x 4 y Среди полиноме, па им одреди степен: а) 5а 3а + 4; б) 4x + x 7 3; в) 5b 2 7b + 4b b; г) 2a + 5a + b 4a 7b; д) y 2 2y y 2 2y +3; ђ) 15a (6a + 4a); е) (3xy + 5y) (2x + 5xy); ж) (5x + 3y 6) (x 7) + ( 5y + 4x); з) 9a 3 + 5a 2 6a + 2a a + 12a 2. 54

5 10. Среди полином Р, па одреди њему супротан полином Р: а) Р = x 3 2x 2 + 3x 2 6x 2x + 1; б) Р = 3a 2 b 2 + 5a 2 b 2ab + 8a 2 b 7ab + 4ab 2 ; в) Р = (5abс 7ab) (3aс + 5ab 2abс); г) Р = ( 11a 5 9a 3 + a 1) (a 2 + 4а 3 5a 5 ). Упореди степен сваког полинома са степеном њему супротног полинома. Шта закључујеш? 11. Одреди збир полинома и степен збира полинома А и В ако је: а) А = 2а 3 и В = 3а + 7; б) А = 4а и В = 2а 9; в) А = 5а 2 + 6а + 7 и В = 2а 2 + а; г) А = 2а 3 + 3а 2 + 5а 2 и В = 2а 3 7а 2 + 2а Среди полиноме А и В, па одреди њихов збир ако је А = 5x 2 3x 7x x и В = 4x 2 2x 2 + 5x 6 + 2x 2 5x За дате полиноме A и В напиши њихову разлику А В у сређеном облику ако је: а) А = 3x + 2 и В = 2x + 3; б) А = 5x + 4 и В = 2x 2 7; в) А = 2x 2 3x 4 и В = 2x 2 1; г) А = x 3 2x 2 + 3x 4 и В = 5x 3 6x 2 7x + 8. Одреди степен полинома А В. 14. Ако је А = 3у + 1, В = 4у 2 и С = 5у + 3, напиши сређени облик полинома: а) А + В + С; б) А + В С; в) А В + С; г) А В С. Одреди степен добијених полинома. 15. Ако је А = 5x 2 4x + 1, В = 2x 2 2x + 1 и С = 4 3x + 8x 2, напиши сређени облик полинома: а) А + В + С; б) C A + B; в) В + А С; г) А (В + С); д) C (A + B); ђ) В (А + С). 16. Дати су полиноми А = 2x 5 3x 3 + 2x, В = 5x 5 + 2x 4 7x и С = 9x 4 7x 3 + 3x. Запиши у сређеном облику полиноме: а) А + В + С; б) А В С; в) А (В С); г) (А С) (В + С); а затим одреди њихове степене. 17. Од полинома А = 3abc + 4аb 5c одузми полином В = 9abc + 3ab + 8c, па добијеној разлици додај полином С = 2abc 6ab + 3c. 18. Од збира бинома 2а 3 и 5а + 2 одузми збир бинома 2а 1 и 4а Од разлике бинома 3х + 4у и 2у 5х одузми разлику бинома 7х 2у и 4х 4у. 20. Од тринома 5а 2 3а + 1 одузми збир бинома 10а + 2 и 2а 2 7а. 21. Покажи да вредност израза 3х 2 + 5х 2 (2х 2 + х) (х 2 + 4х 6) не зависи од х. 22. Покажи да вредност израза 5х 2у 6 (7х 3у) (8 + у 6х) не зависи од у. 23. Среди полином 3а 3 2а 2 + 2а + 1 (3а 3 2а 2 + 5а + 6), па израчунај његову вредност за а = Среди полином 4а 2 (2а 2 7а + 8) (4а + 1), па израчунај његову вредност за а = 1. 55

6 25. Среди полином 5ху 2х у 2 (9у 2 3ху + 6 х 2 ), па израчунај његову вредност за х = 2 и у = Одреди полином Р ако за њега важи да је: а) Р + 2x 2 3x + 1 = 7x 2 2x + 3; б) Р (x 2 + 7x + 3) = x 2 2x 1; в) 3x 2 4x + 5 Р = 2x Одреди полином Р и његов степен ако је: а) 3x 2 6x Р = 7x 2 + 2x 3; б) 6x 2 + 4x 2 Р = 6x 2 7х Један сабирак је а 2 + аb b 2, a збир 2а 2 аb 5b 2. Одреди други сабирак. 29. Збир три узастопна природна броја је 186. Одреди те бројеве. 30. Збир четири узастопна парна броја је 84. О којим бројевима је реч? 31. Збир четири броја од којих је сваки за три већи од претходног је 158. Одреди те бројеве. 32. Дужине страница неког троугла су а = 4х + 1, b = 6х 2 и c = 2х + 5, где је х R и х > 3 4. a) Одреди обим тог троугла; б) Израчунај обим тог троугла за х = За коју вредност променљиве х бројевни израз 3х + 1 2х + 5 има вредност 13? 34. Реши једначине: а) 2х + 3х 4х + 5х = 18; б) 3х (5 4х) = 2; в) 2х 7 (3х + 1) = 2; г) 10х (7 3х) 14 = 5; д) (4х 3) (7 2х) = 2; ђ) 4х (2х + 5) (4 3х) = 9; е) 4 х ( 4 (2х 3)) = 11; ж) 3,2 + 0,4х (2,7х 4) 0,2х = 4,8; з) 3 4 x ( x ) ( 2 3 x 1 4 ) = Одреди вредност променљиве х за коју троугао са страницама х + 4, 2х + 3 и 3х + 1 има обим једнак обиму квадрата странице х + 3. Множење полинома 1. Одреди производ монома А и В ако је: а) А = 5а, В = 3; б) А = 2b, В = 4b; в) А = 5а 2, В = 1 5 a; г) А = 7аbc, В = 2 7 a2 b; д) А = 0,6а 3 bc 2, В = 2,2a 2 b 3 c Одреди производ А В С монома ако је: а) А = 2, В = 3х, С = 4х 2 ; б) А = 3 4 y3, В = 2 3 y2, С = 2 5 y; 56 в) А = 2ху 2, В = 8хуz, С = 3х 3 z; г) А = 4 9 xyz, В = 3 5 x5 y 3 z, C = xy2 z 4.

7 3. Одреди А 2 и А 3 ако је: а) А = 3ab; б) А = 2ab 2 c 3 ; в) А = 3 4 a4 bс Одреди: а) (2х 2 у) 3 ; б) ( 5хy 2 z 3 ) 2 ; в) ( 1 2 a2 b 3 c 5 ) 3 ; г) (3x 5 y 3 z 2 ) Упрости изразе: а) 9а 2 ( 1 3 ) b3 ; б) 4а ( а)2 ( а 2 ); в) 12а 2 ( 2а 3 ) ( а) 3 ; г) 7xy 2 z 3 ( 2xz) 2 7 y2 z 5 ; д) ( 1 3 ) 2 ab2 6a 2 b 5 ; ђ) ( 1 2 ab2 c ) 4 6. Упрости изразе: а) 5х ( 2у) + 3ху; б) 8х 2 у 2ху 4х; в) 2х 2 ( 1 2 ) y2 1 2 ху 8ху; г) 3х2 ( 2х 2 ) х 3 4х 5х ( 7х 3 ). 7. Одреди производ полинома Р и монома М ако је: а) Р = 2х + 3, М = 4х; б) Р = 3p 2q, М = 2p 2 ; в) Р = 2a 3b + 5c, М = 5abc; г) Р = 4ab + 16ac 8bc, М = 1 2 bc. 3 (8a 3 b 2 c) Помножи и среди добијене полиноме: а) (х 4 2х 2 х) ( 7х 2 ); б) 3abc (2ab 4abc + 6a 2 b 3 c 4 ); в) 2 7 xy2 (14x 2 7xy + 21xy 3 ); г) (2x 3 y 3 x 2 y 2 3xy) 9x 2 y 3 ; д) 4xy ( 3 8 x2 y x4 y x8 y ) 6 Одреди степен сваког од добијених полинома. ; ђ) ( a3 b 2 c 0,75a 3 bc 3 + 3ab 2 c 3 ) ab2 c Среди полиноме и одреди њихов степен: а) 5х 3 + 2х (х 2 3); б) (2х 3у) 5х + 12ху; в) ( 2х + у) 3у 4х (5х 2у); г) 2 (х 2 + у 2 ) 3х (х у) + 6х 2 ; д) х 2 (2х 7) х (5х + 4х 2 ) + 7 (х 3 х); ђ) 4х 2 (3х 2 7х + 1) 2х (5х 2 + 4х 3); е) 3х ( 3х 3 + 2х 2 + 9х 1) + 7х 2 (х 2 2х + 1). 10. Дати су полиноми А = 2а 2 3а + 7, В = а 2 и С = 9а 2 5а + 4. Одреди полином 4А 3ВС и утврди његов степен. 11. Провери тачност једнакости: (а 2 3а + 2) ( 3а 2 ) (2а + 3а 2 2а 3 ) 2а = а 4 + 3а 3 10а Одреди производ бинома: а) х + 2 и 2х 1; б) 3х + 5 и 2 4х; в) 4х и 3х 7; г) 2а 3b и 3a + 2b. 57

8 13. Одреди производ полинома А и В ако је: а) А = 5х 3у и В = 2х + у; б) А = а 2 + 5а и В = 4а 1; в) А = 3а 5 и В = 4а 2 + а 3; г) А = 2а 2 + 3а 1 и В = 5а 2 + 4а; д) А = а b и В = а 2 + аb + b 2 ; ђ) А = а 2 аb + b 2 и В = а + b; е) А = x 1 и В = x 3 + x 2 + x + 1; ж) А = x 3 x 2 + x 1 и В = x Упрости изразе: а) а 2 (а + 2) + (2а 2 1) (3 2а); б) (х 2) (х + 1) + (2х + 3) (х 4); в) (8х + 5) ( 2х 1) + (4х 3) (4х + 3); г) (х + 3) (2х 1) + (3х + 1) (х 2); д) (2х 5х 2 ) (2 3х) (4х + 3х 2 ) (1 2х); ђ) (2х + 3х 2 ) (4 х) (4 2х) (х 2 1). 15. Упрости изразе: а) х 2 (х 1) (2х 1); б) (5х 2 4) (3х 2) (6х + 1) х Ако је А = 2а + 3, В = а 2 4 и С = 3 4а, одреди и среди полиноме: а) А В С; б) А В С; в) А + В С; г) А С В С. 17. Дати су полиноми: A = x 2 + 1, B = 4x + 5, C = 4x 2 5x + 1. Одреди: a) A B + C; б) A C B; в) C A B; г) B (A C). Утврди који је степен сваког од добијених полинома. 18. Упрости изразе: а) (3а 2 + 2а 6) (2а 2 4а + 7) 5а (4а 4 3а 3 + 2а 2 а + 10); б) 10b 4 3b 3 (b 2 + 2b 1) + (b 1) (b + 5). 19. Покажи да вредност израза (2х 6) (5 2х + 3х 2 ) 6х (х 2 4х + 4) 2х 2 + 2х не зависи од х. 20. Покажи да вредност израза 2а (15а 11b) (b 3a) (4b 10a) + 4b 2 7 не зависи од а и b. 21. Биному 2х 2 + 4х додај производ бинома 3х 1 и 5 4х. 22. Од тринома 3а 2 2а + 1 одузми производ бинома 2а + 3 и 3а Производу бинома х у и х + у додај производ монома 2ху и тринома х 2 + ху у Од производа бинома ху и 2х 3у одузми разлику тих бинома. 25. Производу збира и разлике монома 2а и 3b додај разлику квадрата тих монома. 26. Одреди моном М тако да важи: а) М (3х 2 4х + 5) = 6х 3 8х х; б) М (2а 2 b 2 + 5ab 3 7ab) = 8а 3 b 4 20a 2 b a 2 b 3 ; в) ( 4аb 2 c ac 2 3b 2 c) М = 12а 4 b 3 c 5 30a 4 bc 4 + 9a 3 b 3 c За коју вредност променљиве х полином 2х 2 2х (х 2) 3 има вредност 9? 58

9 28. Реши једначине: а) 3х 2 (5 4х) = 12; б) х 2 + (х 1) 2х 3х (х + 2) = 16; в) 5 (х 2) 7х + 4 = 4; г) (х 5) (х 2) (х 1) (х + 4) = 14; д) (3х 1) (2х + 5) 6х 2 = 8; ђ) (2х 3) (2х + 1) 4х 2 = Упрости израз, па израчунај његову вредност: а) (а 3 5а + 4) (а 5) а 4 за а = 3; б) (а 3 3) (а + 3) (а + 1) за а = 1; в) (b 2) (b + 3) (b + 1) (b 3) за b = 2; г) 6с 4 3с 3 (с 2 + 2с 1) + (с + 4) (с 2) за с = 2; д) (2х у) (3у + 4) (ху + 2) ( 3ху) за х = 5, у = 2; ђ) 10ху ( 3х 2 + 5ху 2у 2 ) (х 2 у 2ху 2 ) (2х + у) за х = 3, у = 1 3. Квадрат бинома 1. Заокружи једнакости које су тачне за свако х: а) (3х + 1) 2 = 9х 2 3х + 1; б) (3х + 1) 2 = 9х 2 + 6х + 1; в) (3х + 1) 2 = 9х 2 + 1; г) (3х + 1) 2 = 9х 2 + 3х + 1; д) (3х 1) 2 = 9х 2 6х 1; ђ) (3х 1) 2 = 9х 2 3х + 1; е) (3х 1) 2 = 9х 2 6х + 1; ж) (3х 1) 2 = 9х Одреди квадрат бинома Р ако је: а) Р = х + 3; б) Р = 2х + 5; в) Р = 5х + 1; г) Р = х 1; д) Р = 3х 4; ђ) Р = 9х Одреди квадрат бинома: а) 2а + 3b; б) 5х 3у; в) 4х + у; г) a; д) 1 2 x y; ђ) 6ab + 5; е) 4abc 3; ж) 3x2 7y. 4. Одреди: а) ( x ) 2 ; б) ( 2a 1 2 x ) 2 ; в) ( 0,2а 5а 2 ) 2 ; г) ( 3x + 5y) 2 ; д) (0,5а 0,3b) 2 ; ђ) (0,1 5a 3 ) 2 ; е) ( 2a 8b) 2 ; ж) ( 3a 7) ( 7 3a); з) ( 1 2 a + 2 ) ( a ). 5. Дате триноме запиши као квадрате бинома: а) 1 10х + 25х 2 ; б) 49а аb + 4b 2 ; в) 9a 2 b 2 + 3ab ; г) 1 25 x4 1 5 x2 yz y2 z 2 ; д) 3x 2 +18xy +27y 2. 59

10 6. Упиши у квадрате одговарајуће мономе тако да једнакост буде тачна: а) ( ) 2 2 = + х + ; б) ( 11b ) = 64a 2 + ; = cd d2. 2 в) ( 2xy ) = хy + ; г) ( + ) 2 7. Упрости изразе: а) (5х 2) 2 5х (5х + 2); б) (х + у) 2 + (х у) 2 ; в) (а 2) 2 + (а + 2) 2 ; г) (2а + 5) 2 + (3а 1) ( 2а); д) (3х + 5) (2 х) (4х 1) 2 ; ђ) (3b + 8) 2 (2b 7) Упрости изразе: а) (7х + 5) 2 (9х + 11) (4х 3); б) (2х 3) 2 (3х 2) (2x + 3) + 12x; в) (3х 2y) 2 (2x 3y) 2 2x( 3х); г) 5 (а 2) 2 + 2a (а 2) 4 (а + 2); д) 2a (2а 1) 2 + (а 2a 2 ) ( 6a); ђ) 3 (3b 4) 2 15 (3b + 2) ; е) (а b) 2 a 2 (а + b) 2 + 2ab b 2 ; ж) 5 (5 3а) 2 11 (1 3a) 45a Упрости израз (4x 3y) 2 (2x y) (8x 9y), па израчунај његову вредност за x = 1,5 и y = 0, Упрости израз (3x 9y) (6x y) (5x 3y) 2, па израчунај његову вредност за x = 1 7 и y = Покажи да је бројевна вредност израза рационалан број: а) ( 5 + 4) 2 + (4 5) 2 ; б) ( 2 12) 2 (6 8) Триному 2х 2 + 5х 7 додај квадрат бинома 2х Од полинома 4х 3 3х 2 + 2х 1 одузми квадрат бинома х Од квадрата бинома 5х 9 одузми квадрат бинома 2х Од квадрата збира монома 5а и 8b одузми квадрат разлике тих монома. 16. Од полинома 16x 2 11x + 1 одузми квадрат бинома 4x 1. Одреди бројевну вредност добијеног полинома за x = Од полинома 9x 2 23x + 8 одузми квадрат бинома 3x 4. Одреди бројевну вредност добијеног полинома за x = Користећи квадрат бинома израчунај: а) ; б) 98 2 ; в) ; г) 95 2 ; д) 89 2 ; ђ) Реши једначине: а) (х + 5) 2 (х 2 4х + 1) = 6; б) (3х 2) (3х + 4) (3х 5) 2 = 3; в) (2х 1) 2 (2х + 3) (2х 4) = 5; г) (4х 2) 2 (4х 3) 2 =

11 20. Дати су полиноми A = 2x 3 и B = 3 4x. Одреди: a) A B; б) A B 2 ; в) A 2 2 B. 21. Ако је А = 3х + 1, В = 2х 3 и С = 2 х, одреди и среди полиноме: а) А 2 + В 2 + С 2 ; б) А 2 В 2 + А С; в) (А + С) 2 В 2 ; г) (В С) 2 + А 2 ; д) (А В) 2 (В С) Дијагонала правоугаоника је х + 1, а једна страница х 2. За коју вредност х је друга страница тог правоугаоника 9cm? 23. Ако је а = 3х 1, b = 4x +3 и c = 5x + 2, за коју вредност х дужи a, b и c могу бити странице правоуглог троугла (с је хипотенуза). 24. Израчунај обим и површину правоуглог троугла ако је дужина једне катете 24cm, а хипотенуза је за 16cm дужа од друге катете. 25. Израчунај обим и површину правоуглог троугла ако је дужина једне катете 12cm, а друга катета је за 4cm краћа од хипотенузе. 26. Дужина једне странице правоугаоника је 15cm, а друга је за 9cm краћа од дијагонале тог правоугаоника. Одреди обим и површину тог правоугаоника. 27. Дужина једне катете правоуглог троугла је 18cm, а збир дужина друге катете и хипотенузе је 54cm. Одреди површину тог троугла. 28. Телефонски стуб који је био висине 25m преломљен је услед невремена и врхом додирује земљу на удаљености 5m од подножја. На којој висини је преломљен стуб? 29. Странице два квадрата се разликују за 2cm, а њихове површине за 40cm 2. Одреди дужине страница тих квадрата. 30. Израчунај површину ромба ако је дужина његовог обима 60cm, а збир дужина дијагонала 42cm. Разлика квадрата 1. Разлику квадрата запиши у облику производа: а) х 2 9; б) 25х 2 16; в) 4а 2 49b 2 ; г) c 2 3; д) a 2 b 2 36; ђ) 4у Трансформиши производ користећи једнакост (А В)(А + В) = А 2 В 2 : а) (2 х) (2 + х); б) (а 10) (а + 10); в) ( b + 4а) (4а + b); г) (3а 8b) (3а + 8b); д) (10x + y) (10x y); ђ) (c 2 + 1) (c 2 1); е) (0,7а 2b) (2b + 0,7а); ж) ( 3 4 a 1 )( ) ; з) ( 4 9 x y )( 4 9 x 5 8 y ). 61

12 3. Трансформиши производ користећи једнакост (А В)(А + В) = А 2 В 2 : а) (4аb 3c) (4аb + 3c); б) (5xyz + 2abc) (5xyz 2abc); в) (1,2mn 2,5pq) (1,2mn + 2,5pq); г) ( 9 10 a2 b 5 11 c ) ( 9 10 a2 b c ) ; д) ( 2x + y) (2x + y); ђ) (x 2 9) (x 2 + 9); е) (a 2 16b 2 ) (a b 2 ); ж) (а 5) (а + 5) (a ); з) (12 b 2 ) (b ); и) (z 1) (z + 1) (z 2 + 1). 4. Користећи разлику квадрата израчунај: а) ; б) ; в) ; г) ; д) 5,3 2 4,3 2 ; ђ) ( ) 2 ( ) Израчунај: а) ; б) ; в) ; г) ; д) 8,122 1, ,6 2 9,4 2 ; ђ) 2,72 17,3 2 2,3 2 12, У квадрате упиши моном тако да добијеш тачну једнакост: а) ( а ) ( а + ) = 36; б) ( 5 ) ( 5 + ) = х2 ; в) ( 2а ) ( + 3b ) = 4a 2 ; г) ( 1 4 y ) ( + ) = 9 16 x4. 7. Дати производ трансформиши у разлику квадрата, па израчунај: а) ; б) ; в) 55 45; г) 24 16; д) 81 79; ђ) 49 31; е) 5,1 4,9; ж) 1,01 0, Упрости изразе: а) (а 1) (а + 1) + 5а (2а 1); б) (6а 5) (6а + 5) + (2а + 1) (5 18а); в) (3х + 7у) (2у 9х) (4х 3у) (4х + 3у); г) 4 (а 5) (а + 5) (2а 3) (2а + 3); д) 9 (5 4х) (5 + 4х) 4 (3х + 7) (3х 7) + 27х. 9. Реши једначине: а) (x + 3) (x 3) (x 2 4x) = 9; б) (2 +y)(2 y) (2y 1) + y 2 = 5; в) (3x 2)(3x + 2) (3x 5) 2 = 1; г) (2x 3)(2x + 3) (4x 2 5x + 1) = 15; д) (2 y) (2 + y) (6y y 2 ) = 4; ђ) (x 2)(x + 2) (x + 3) 2 = Реши једначине: a) (x + 2) 2 (x 3) (x + 3) = 1; б) (2x 1) 2 (2x + 3) (2x 3) = 2; в) (2x + 1) (2x 1) (2x 3) 2 = 2; г) (4x + 7) 2 (4x 3) (4x + 3) = 114; д) (3x 5)² (2x + 3) 2 5 (x 2) (х + 2)= Дати су полиноми P = a + 2b, Q = a + b, R = a b. Одреди Q R P Разлика квадрата два узастопна природна броја је 43. Који су то бројеви? 62

13 13. Разлика квадрата два узастопна парна природна броја је 68. О којим бројевима је реч? 14. Производ два узастопна непарна природна броја је 143. Који су то бројеви? 15. Дужине страница правоугаоника су а = 2х 5 и b = 2х + 5. Ако је површина тог правоугаоника 119cm 2, одреди његов обим. 16. Докажи да је разлика квадрата два узастопна природна броја увек непаран број. 17. Докажи да је разлика квадрата два узастопна непарна броја дељива са Упрости изразе: а) (3x 5)(3x + 5) + 3x 2 (5x 2); б) (5x + 11)(2x 1) (3x + 4)( 3x 4); в) (2x 3) 2 (3x + 2)(3x 2); г) (5x + 2) 2 (2x 5)(2x + 5); д) 4 ( y 1 2 x )( y x ) 9 ( y 1 3 x ) 2 ; ђ) 4 ( x ) 2 9 ( Упрости изразе, па израчунај њихове вредности: а) (р 2) 2 (р 3) 2 + (р 4) (р + 4) за р = 1; б) (q + 4) 2 (q + 2) (q 2) (q 6) 2 за q = Израчунај: а) ; б). 21. Израчунај А 2 ако је А =. 3 x + 1 )( 1 3 x 1 ). Растављање на чиниоце 1. Издвој заједнички чинилац испред заграде: а) 3x 3y; б) 12a + 12b; в) 5xy 15yz; г) ab b 2 ; д) 7a a; ђ) 10ab 2 5b Дати полином Р трансформиши у производ, па реши једначину Р = 0: а) х 2 7х; б) 2х 2 + 8х; в) 12х 2х 2 ; г) х х; д) 3х 2 6х; ђ) 4х х Реши једначине: а) 7х 2 14х = 0; б) 25х х = 0; в) 2х 2 5х = 0; г) 4х 3х 2 = 0; д) 3х 5х 2 = 0; ђ) 6х 3 8х 2 = Растави на чиниоце: а) 2ab + 2bc + 2ac; б) 12a 20b + 16ab; в) x 5 + x 3 x; г) 10a 2 15a + 35a 3. 63

14 5. Растави на чиниоце: а) 10x 2 6y 2 8xy; б) a 5 + a 4 a 3 + a 2 ; в) 4a 3 b 2 c + 10a 2 b + 20ab 2 c 3 ; г) 9x 3 y 2 18x 2 y + 12x 2 y Полином Р растави на чиниоце груписањем чланова: а) Р = 2х + 2у + 3 (х + у); б) Р = ах + ау + bх + bу; в) Р = 4a + 4b + a 2 + ab; г) Р = x 3 x 2 + x 1; д) Р = x 2 6x + xy 6y; ђ) Р = x 2 y + 3xy + 2x Растави на чиниоце разлику квадрата: а) 9 х 2 ; б) а 2 25; в) х 2 4у 2 ; г) 16а 2 1; д) 4а 2 9b 2 ; ђ) 49x 2 9y 2 ; е) 64x 2 1; ж) с 2 81d Растави на чиниоце разлику квадрата: a) 16a 2 b 2 49c 2 ; б) x 2 9y 4 ; в) 121m 2 144n 2 ; г) 16a 4 b 2 25c 2 d 2 ; д) x2 36 1; ђ) 1 9 x y2 ; е) x2 ; ж) 0,09а 2 0,25у 2 ; з) 0,81х 2 у 2 0,25z 2 ; и) a b2. 9. Растави на чиниоце: а) a 4 b 4 ; б) 1 c 4 ; в) х 4 16; г) 16а 4 81b 4 ; д) 5а 2 5; ђ) a 2 b b; е) 7a 7ax 2 ; ж) ах 2 9а; 10. Растави на чиниоце: а) 5a 2 b 2 45a 2 ; б) ap 2 aq 2 ; в) m 4 m 2 ; г) 12а 2 3; д) 8a 8a 3 ; ђ) 8ax 2 50ay 2 ; е) a 3 bc abc 3 ; ж) 27а 3 3ab Растави на чиниоце: а) x4 k 4 ; б) 2r 4 32s 4 ; в) 3a 6 b 2 3a 2 b 6 ; г) 5x 7 y 2 80x 3 y Растави на чиниоце: а) (х 1) 2 9; б) (х + 1) 2 16; в) (х + 2) 2 х 2 ; г) (х + 2) 2 (х 1) Реши једначине: а) x 2 9 = 0; б) x 2 25 = 0; в) 16 x 2 = 0; г) 81у 2 1 = 0; д) 4x 2 = 49; ђ) 36у = Реши једначине: а) 1 7 x2 = 7; б) 3 4 x2 = 4 3 в) x 2 15 = 0; г) 16x 2 3 = 0; д) 4x 2 5 = 0; ђ) 2у 2 = Реши једначине: а) 5x 2 = 12; б) 8х 2 1 = 0; в) (х 1) 2 4 = 0; г) (х + 1) 2 25 = 0; д) (х + 3) 2 х 2 = 0; ђ) (2х + 1) 2 (х 2) 2 = 0. 64

15 16. Реши једначине: а) 2x 2 32 = 0; б) 8x = 0; в) 45x 2 20 = 0; г) х 3 49х = 0; д) 49х 4x 3 = 0; ђ) 27х 48х 3 = Дати трином трансформиши у квадрат бинома: а) х 2 + 2ху + у 2 ; б) х 2 + 6х + 9; в) а 2 + 8а + 16; г) у 2 + 2у + 1; д) 9а 2 + 6а + 1; ђ) m + 25m 2 ; е) 16х 2 + 8х + 1; ж) b b; з) 49 + х х. 18. Растави на чиниоце: а) х 2 12х + 36; б) a 2 14a + 49; в) 81а 2 36аb + 4b 2 ; г) 36 96а + 64a 2 ; д) 49а 2 42а + 9; ђ) 0,01b 2 bc + 25c 2 ; е) a 2 a + 0,25; ж) 16x 2 24xy + 9y 2 ; з) 25a 2 40ab + 16b Растави на чиниоце: а) 0,25х 2 y 2 0,1хy + 0,01; б) 0,09a 2 + 0,12ab + 0,04b 2 ; в) 1 4 x + x2 ; г) a ab b2 ; д) c 4 8c ; ђ) c 4 2c 2 d 2 + d Растави на чиниоце: а) 3х 2 + 6х + 3; б) x x x; в) 5х 2 30х + 45; г) x 4 2x 2 + 1; д) 100a a 2 b b 2 ; ђ) 2a 2 b 2 12abc + 18c 2 ; е) 11 66а 2 99а 4 ; ж) 5у у 20; з) 5х 3 у х 2 у + 5х; и) 27х 3 90х х; ј) 242а 2 х + 308ах + 98х; к) 5b 3 60b b. 21. Реши једначине: а) х х + 25 = 0; б) y 2 6y + 9 = 0; в) х 2 12х + 36 = 0; г) a 2 + 4a + 4 = 0; д) 1 8х + 16х 2 = 0; ђ) 4х х + 25 = 0; е) 36 96х + 64х 2 = 0; ж) 8х х + 8 = 0; з) 27а а + 3 = Дати израз трансформиши у квадрат бинома, па израчунај његову вредност: а) ; б) ; в) ; г) Испитај тачност једнакости: а) (x 2b) (x 2 5bx + b 2 ) + (2b x) (x 2 6bx + b 2 ) = bx (x 2b); б) (a 3c) (2a 2 7ac c 2 ) (3c a) (c 2 + 7ac a 2 ) = a 2 (a 3c). 24. Ако су у троуглу АВС странице а = х 2 у 2, b = 2xy и c = х 2 + у 2, х > у, докажи да је тај троугао правоугли. 65