UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU ARITMETIKA KARDINALA I ORDINALA MASTER RAD Mentor: Prof. Dr. Vlada Pavlović S

Транскрипт

1 UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU ARITMETIKA KARDINALA I ORDINALA MASTER RAD Mentor: Prof. Dr. Vlada Pavlović Student: Aleksandar Cvetković Niš, 2013.

2

3 2...videh protok sopstvene tamne krvi, videh kako se usklad uje ljubav i menja smrt, videh Alef sa svih strana, videh u Alefu Zemlju, i u Zemlji opet Alef i u Alefu Zemlju, videh svoje lice i utrobu, videh tvoje lice, videh tvoje lice... -Horhe Luis Borhes, Alef

4 Sadržaj 1 Uvod: Istorija i filozofija beskonačnosti 4 2 ZF(C) O formalnoj metodi L ZF C Aksiome ZFC Ekstenzionalnost i komprehenzija Klase Relacije, funkcije i dobro ured enje Dobro ured eni skupovi Ordinali Indukcija i rekurzija Prirodni brojevi Svojstva ordinala Transfinitna indukcija i rekurzija Aritmetika ordinala Kardinali Pojam kardinala Aritmetika kardinala Kofinalnost Beskonačne sume i proizvodi Kontinuum Literatura 91 3

5 Poglavlje 1 Uvod: Istorija i filozofija beskonačnosti Beskonačnost! Ni jedno drugo pitanje nije tako duboko pokretalo duh čovekov; ni jedna druga ideja nije tako plodonosno podsticala čovekov intelekt; ipak, ni jedan drugi koncept nije tako nerazjašnjen, kao što je to koncept beskonačnosti. -Hilbert Odvajkada je za čoveka Beskonačnost predstavljala Misteriju, Pitanje koje ga je privlačilo, zanosilo i plašilo. To Pitanje je tesno povezano sa čovekovim doživljajem Vremena i Prostora. S tim u vezi čovek se pitao: da li Vreme ima početak i kraj, ili je Vremenu svojstveno večno trajanje? da li je Kosmos ograničen ili je bezgraničan? Na žalost, ili na sreću, na to pitanje čovek još uvek nema definitivan odgovor. Dovodi se u pitanje i sama Beskonačnost: da li Beskonačnost postoji sama po sebi? ako ne kao deo fizičke stvarnosti, da li kao deo matematičke realnosti? da li smo u stanju da uopšte zamislimo Beskonačnost, ili samo zamišljamo što veće, odnosno manje, konačnosti? Starogrčka civilizacija je bila jedna od prvih koja se bavila pitanjem beskonačnosti. Med utim, kod starih Grka beskonačnost nije bila nešto što je na dobrom glasu. Izraz aperion, tj. beskonačno, neograničeno, nesvodljivo, nedefinabilno je imao negativnu konotaciju. Sam Aristotel se oštro protivio beskonačnosti. On je smatrao da matematika u stvari nikada i ne koristi beskonačnost, niti da joj je beskonačnost potrebna. Ipak, Aristotel je verovao u potencijalnu beskonačnost: za svaku konačnu grupu postoji konačna grupa veća od nje. Ako je N najveći broj koji se da zamisliti, tada postoji i N + 1 i N 2, ali to su i dalje konačne veličine. Aristotelov model univerzuma (koji je bio opšteprihvaćen) je bio model konačnog univerzuma, sa Zemljom u sredini. Pitagorejci su verovali da postoji konačno mnogo prirodnih brojeva. Euklid takod e nije verovao u beskonačnost, ali je prihvatao koncept potencijalne beskonačnosti. Za njega prava nije nešto što je beskonačno, što nema pocetka ni konca; za njega je prava matematički objekat koji se može produžiti onoliko koliko nam je neophodno. Med utim, nisu se u staroj Grčkoj svi slagali sa ovakvim finitisičkim pogledom na stvari. Zenon, čuven po svojim paradoksima koji uključuju beskonačnost, i Elejska Škola Filozofa su dovodili u pitanje smislenost poimanja sveta bez podrazumevanja postojanja beskonačnosti, kao i Aristotelovu tvrdnju da je beskonačnost bespotreban matematički aparat. Eelejci su razmatrali da se površina kruga može izračunavati upisivanjem malih trouglova u krug, te zbrajanjem površina upisanih trouglova. Oni su ustanovili da što su upisani trouglovi manji, tj. što je njihov broj u krugu veći, to će se dobiti preciznija mera površine kruga. 4

6 Zbir beskonačno mnogo beskonačno malih trouglova upisanih u krug daće tačnu površinu kruga. Tako su mislili Elejci. Ovakav način razmišljanja predstavlja osnovu infitezimalne matematike koja će uslediti mnoštvo vekova nakon nestanka starogrčke civilizacije. U prvom veku pre nove ere Lukrecije je razmatrao mogućnost beskonačnog univerzuma. U svojoj poemi De Rerum Natura je favorizovao bezgranični univerzum. On je čak i pokazao da Univerzum nema granica: Pretpostavimo da je univerzum konačan. Tada bi on imao granicu. Ako bi neko došao do granice i bacio neku stvar ka njoj, tada ne bi postojalo ništa sto bi zaustavilo taj objekat da se kreće. Jer, kada bi postojalo nešto sto bi zaustavilo kretnju objekta, to nešto bi se moralo naći van konačnog univerzuma, a ništa ne sme da postoji izvan univerzuma. Med utim, ni nezaustavljivo kretanje nije moguće u konačnom univerzumu. Zbog ovih kontradikcija univerzum mora biti beskonačan. Judeizam, i kasnije Hrišćanstvo su pojam beskonačnosti poistovećivali sa Bogom. Bog je svemoguć, sveznajuć, sveprisutan. Bog i samo Bog je beskonačnost. Zbog ovakvog načnina poimanja stvari, misao da je univerzum beskonačan je bila jeres, jer je univerzum tek jedna konačna Božja tvorevina. I, upravo zbog ovoga je u petnaestom veku Nikola iz Kuse doveden pred Inkviziciju. Kako ni delikatne metode islednika Inkvizicije nisu uspele da od njega iznude da prizna da je univerzum konačan, on je na kraju spaljen na lomači. Primetimo još i da je Nikola iz Kuse tvrdio da su zvezde u stvari daleka sunca, što je bila jeretička misao svoje vrste. Sveti Toma Akvinski je odbacivao svaku beskonačnost: Postojanje pravog beskonačnog mnoštva je nemoguće. Ni jedan broj nije beskonačan. Galileo Galilej je svojim delom znatno unapredio čovekovo razumevanje beskonačnosti. Galileo bi možda rekao i više o ovoj temi, ali podučen iskustvom svoga savremenika Nikole iz Kuse morao je biti obazriv. Galileo je uspeo da uspostavi 1-1 korespodenciju izmed u prirodnih brojeva i njihovih kvadrata. Kako je ova korespodencija bila moguća, on je smatrao da postoji isti broj potpunih kvadrata i svih prirodnih brojeva. U svom eseju O Dvema Novim Naukama Galileo je razmatrao ovaj paradoks da skup ima isti broj članova kao i njegov pravi podskup: Još više je zbunjujuće to da ćemo, ukoliko uzmemo skup svih prirodnih brojeva i od njega oduzmemo istobrojni skup svih potpunih kvadrata, dobiti skup svih brojeva koji nisu potpuni kvadrati, skup koji je takod e beskonačan...ukupnost svih brojeva je beskonačna, kao i ukupnost svih potpunih kvadrata; niti je broj potpunih kvadrata manji od ukupnosti svih brojeva, niti je potonje veće od pred ašnjeg; konačno, svojstva jednak, veći ili manji nisu primenjiva na beskonačne, već samo na konačne količine.. Galileo je napomenuo i da našim konačnim umovima nikad nećemo moći pravilno da razumemo beskonačne veličine sve dokle god im pripisujemo ista svojstva koje imaju konačne količine. Kabalističko učenje je prvo koje razmatralo različite vidove beskonačnosti: sa jedne strane beskonačnost kao beskrajna kolekcija diskretnih komponenti, a sa druge - beskonačnost kao kontinuum. Alef (ℵ) je, kao što je poznato, prvo slovo u alfabetu svetog jezika. Ne stoji slučajno u nazivu moje priče. Po Kabali to slovo označava En Sof, bezgranično, suštastveno božanstvo; govorilo se i da ima oblik čoveka koji pokazuje nebo i Zemlju kako bi označio da je donji svet ogledalo i mapa gornjeg; u Mengelehu je ono simbol transfinitnih brojeva, u kojima celina nije veća od bilo kog pojedinačnog dela. -Horhe Luis Borhes, Alef Džon Volis je 1655 uveo simbol za beskonačnost. On je odabrao ovaj simbol kao znak za beskonačnost jer predstavlja krivu koja se može zaobići beskonačno mnogo puta. 5

7 6 POGLAVLJE 1. UVOD: ISTORIJA I FILOZOFIJA BESKONAČNOSTI U sedamnaestom veku Gotfrid Vilhelm von Lajbnic i Isak Njutn su, nezavisno jedan od drugog, razvili infinitezimalni račun, tj. račun beskonačno malih veličina, koji je začetak matematičke analize: grane matematike koja će nekoliko vekova biti centralna grana matematike. I jedan i drugi su za izgradnju infinitezimalnog računa koristili koncept beskonačnosti, tako, bilo da je beskonačnost fakat ili fikcija, bez nje ne bi smo imali infinitezimalni račun, a samim tim ni matematičku analizu. Bez matematičke analize, pak, ne bi smo imali jedan od najmoćnijih alata za poimanje i opisivanje pojava iskustvene stvarnosti, pa i samog oblikovanja te stvarnosti. Sa Georg Kantorom ( ) dolazi do prave revolucije u poimanju matematičke beskonačnosti. I do dana današnjeg matematika beskonačnost gleda očima Kantora. Nekoliko vekova nakon kabalističkog razmatranja više vrsta beskonačnosti, Kantor svojim dijagonalnim argumentom pokazuje da postoje različite beskonačnosti. Kantor svakom skupu pripisuje njegovu moć (Mächtigkeit), odnosno broj elementa tog skupa. Ukoliko dva skupa imaju isti broj elemenata, ta dva skupa imaju istu moć, čak i ako su ta dva skupa različita. Ukoliko se uspostavi bijekcija izmed u dva skupa, tada ta dva skupa imaju istu moć. Kantor pokazuje da postoji bijekcija izmed u skupa celih brojeva i prirodnih brojeva, kao i postojanje bijekcije izmed u skupa racionalnih i skupa prirodnih brojeva. Dakle, celih brojeva, odnosno racionalnih brojeva, ima isto koliko i prirodnih brojeva. Med utim, dijagonalnim argumentom Kantor pokazuje da realnih brojeva ima više od prirodnih brojeva, i to samo realnih brojeva u segmentu [0, 1]! Dajemo skicu ovog dokaza. Kantorov dijagonalni argument: Načinimo niz {s n } n N brojeva segmenta [0, 1] na sledeći način: s 1 = 0, s 2 = 0, s 3 = 0, s 4 = 0, s 5 = 0, s 6 = 0, s 7 = 0, Definišimo broj s sa s = 0, k 1 k 2 k 3 k 4..., pri čemu je k i = 0 ukoliko je cifra koja je na i- tom decimalnom mestu broja s i jednaka jedinici, a k i = 1 ukoliko je cifra koja je na i-tom decimalnom mestu broja s i jednaka nuli. Biće dakle, s = 0, Kako je i-to decimalno mesto broja s različito od i-tog decimalnog mesta broja s i to je s s i. Štaviše: s s n za svako n N. Kako je s [0, 1] zaključujemo da realnih brojeva u segmentu [0, 1] mora imati više od ukupnosti prirodnih brojeva. Na ovaj način Kantor pokazuje dve bitne stvari: 1. Postoje dve različite beskonačnosti. Beskonačnost realnih brojeva i beskonačnost prirodnih brojeva. Kantor je, po analogiji sa kabalističkim učenjem, beskonačnost prirodnih brojeva nazvao diskretna, prebrojiva beskonačnost, a beskonačnost realnih brojeva kontinuum. Moć skupa prirodnih brojeva, odnosno prebrojivu beskonačnost je (nimalo slučajno) označio

8 sa ℵ 0, a kontinuum sa c. 2. Da je beskonačnost prirodnih brojeva manja od beskonačnosti realnih brojeva, tj. da važi ℵ 0 < c. Uprkos Galilejevom verovanju da se beskonačne veličine ne mogu upored ivati, Kantor radi upravo to. Kako onda upored ivati beskonačnosti? Ako su A i B dva beskonačna skupa, i ukoliko postoji injekcija iz skupa A u skup B, tada je moć skupa A manja od moći skupa B, tj. beskonačnost skupa A će biti manja od beskonačnosti skupa B. Ukoliko je, pak, moguće uspostaviti bijekciju izmed u ova dva skupa, tada će njihvoe beskonačnosti biti jednake. Kantor je jednom svojom teoremom (poznatom kao, jel te, Kantorova teorema) pokazao još i to da: 3.Postoji beskonačnost veća od kontinuuma. Još više: za svaku beskonačnost postoji beskonačnost veća od nje. Kantorova teorema zapravo tvrdi da je za svaki skup A moć njegovog partitivnog skupa P(A) strogo veća od moći skupa A. Pa, ukoliko je A beskonačan skup, to će beskonačnost skupa P(A) biti strogo veća od beskonačnosti skupa A. Specijalno, kontinuum je strogo manja beskonačnost od beskonačnosti skupa P(R). Kantor definiše dve vrste brojeva: ordinalne i kardinalne brojeve, odnosno ordinale i kardinale. Ordinalni broj nekog skupa predstavlja način na koji su elementi tog skupa ured eni, dok kardinalni broj nekog skupa predstavlja količinu elemenata tog skupa, odnosno moć tog skupa. Beskonačne ordinale i kardinale Kantor naziva transfinitni brojevi. Kako bi razvio ove koncepte Kantor je na kraju devetnaestog veka stvorio teoriju skupova koja se danas naziva naivna teorija skupova. U ovoj teoriji se prirodni brojevi definišu na sledeći način: ako je 0 prazan skup, tada je 1 = {0}, 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2},... Konačni ordinali su upravo prirodni brojevi. Najmanji beskonačni ordinal je skup prirodnih brojeva N, koji se označava još i sa ω. Transfinitni ordinali koji slede nakon ω su ω+1, ω+2, ω+3,... Ovo brojanje se može nastaviti, i kao što niz prirodnih brojeva 1, 2, 3,... teži ordinalu ω, niz ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3,... će težiti odrinalu ω + ω = ω 2. Nizanje ordinala se, naravno, može nastaviti i nakon ordinala ω 2 (ω 2 + 1, ω 2 + 2,...) i tako sve do ordinala ω 2, pa i preko toga do ordinala ω ω, pa i preko toga, u sve veće beskonačnosti. Ordinali se mogu razumeti kao izvesno uopštenje prirodnih brojeva u beskonačnosti. Kardinali predstavljaju ordinale kojim se meri moć nekog skupa. Skup A = {7, ω, 5} nije ordinal, ali kako je moguće uspostaviti bijekciju izmed u skupa 3 = {0, 1, 2} i ovog skupa, to oni imaju istu moć. Kažemo da je 3 kardinalni broj skupa A, odnosno da skup A ima 3 elemenata, tj. da je kardinalnost skupa A tri, i to označavamo sa A = 3. Skup prirodnih brojeva je kardinal, a kao što je ranije rečeno, Kantor je broj svih prirodnih brojeva označio sa ℵ 0. Dakle, ℵ 0, odnosno ω je najmanji transfinitni kardinal. Kako je još Galileo utvrdio da potpunih kvadrata ima isto kao i prirodnih brojeva, to Kantorovim jezikom govoreći, možemo reći da ima ukupno ℵ 0 potpunih kvadrata (nije pogrešno ni reći da potpunih kvadrata ima ω). Kantor je sve beskonačne kardinale pored ao u niz alefa {ℵ 0, ℵ 1, ℵ 2,..., ℵ ω,...}. Iako skup ω ima ℵ 0 elemenata, skup ω + 1 nema ℵ 1 elemenata. Pokazuje se da je ω + 1 = ℵ 0, tj. da ω + 1 ima ℵ 0 elemenata. Dakle, iako je ω = ℵ 0 ne važi ω + 1 = ℵ 1. Kako ni jedan skup ne može imati ω +1 elemenata (jer, kada bi takav skup postojao, tada bi on imao i ω elemenata što bi dovelo do kontradikcije ω = ω + 1), to se ordinal ω + 1 ne može koristi za meru moći skupa, pa ordinal ω + 1 nije kardinal. Analogno važi i za ordinale ω + 2, ω + 3, ω 7, ω ω,... Zapravo, najmanji kardinal veći od kardinala ℵ 0, tj. kardinal ℵ 1, je mnogo, mnogo, mnogo veći ordinal od ordinala ω + 1. Kantorova teorija, naravno, nije prošla bez kritike. Ona je bila predmet kritike i unutar matematičkih krugova, i van njih. Jedan od najoštrijih kritičara Kantorove teorije bio je Leopold Kroneker. Kroneker je pripadao fintističkoj školi matematičkog mišljenja. Finitisti smatraju da je beskonačnost stvar filozofije i teologije, a da taj koncept nema šta da 7

9 8 POGLAVLJE 1. UVOD: ISTORIJA I FILOZOFIJA BESKONAČNOSTI traži u matematici. Ekstremni finitisti, takozvani ultrafinitisti, smatraju da beskonačnost ne postoji ni u kom obliku, i da je beskonačnost uobrazilja ljudskog uma. Bog je stvorio cele brojeve, sve ostalo je delo čoveka, izjavio je Kroneker. O Kantorovoj teoriji Kroneker je rekao: Ne znam šta preovlad uje u Kantorovoj teoriji - filozofija ili teologija, ali sam sasvim siguran da tu nema matematike. Anri Poenkare je bio takod e vatreni kritičar Kantorove teorije, rekaši da su Kantorovi transfinitni brojevi bolest matematike od koje će se ona sigurno jednom izlečiti. Pojedinci veruju da neke avanture Alise, junakinje knjige Alisa u zemlji čuda matematičara Luis Kerola, predstavljaju alegoričnu kritiku Kantorovih transfinitnih brojeva. Nemački filozof Vitgenštajn takod e je osporavao Kantorovu teoriju. Neki hrišćani su napali Kantorove transfinitne brojeve tvrdeći da koncept mnošto različitih beskonačnosti predstavlja neku vrstu paganskog mnogobožanstva, nasuprot jedinstvenoj, apsolutnoj, beskonačnosti Boga. Na sreću, uticaj katoličke Crkve na med i izmed u devetnaestog i dvadesetog veka je dosta opao, Inkvizicija je bila stvar prošlosti, te Kantor se nije morao bojati da će podeliti sudbinu sa zlosrećnim Nikolom iz Kuse zbog svoje jeretičke matematike. Sam Kantor je bio duboko religiozan monoteista, ali nije video da njegovi tranfinitni brojevi ni na koji način ugrožavaju Apsolutnu Beskonačnost Boga; štaviše, po Kantorovom mišljenju, ovi brojevi još jače oslikavaju veličinu beskonačnosti Boga. Kantor je još i mislio da je Bog upravo njega odabrao kao pereceiver-a, koji će ljudima obznaniti transfinitne brojeve. Kada smo kod kritike i Kantora, i sam Kantor je, zanimljivo, bio žestok kritičar beskonačnosti. On je kritikovao beskonačno male veličine, tj. infinitezimale. Kao što je Poenkare smatrao Kantorove beskonačno velike veličine bolešću matematike, tako je Kantor, sa svoje strane, bolešću matematike smatrao beskonačno male veličine. Sa druge strane, veliki broj matematičara je Kantorovu teoriju prihvatio oberučke. Hilbert je bio jedan od najvećih zastupnika Kantorove teorije: Niko nas neće isterati iz raja koji je Kantor sagradio za nas!, čuvena je Hilbertova izjava (na koju je Vitgenštajn podrugljivo replicirao: Ako Kantorovu teoriju neko može da smatra rajem, zašto je neko drugi ne bi mogao smatrati sprdnjom? ). Bez obzira na sav kriticizam, Kantorova teorija skupova je postala osnova za formalnu, aksiomatsku teoriju skupova koja predstavlja srž moderne i savremene matematike. Mnogi matematičari su sticanjem novih saznanja o osobinama Kantorovih transfinitnih brojeva znatno unapredili samu matematiku. U današnjoj matematici izučavanje ordinala i kardinala je analogno izučavanju subatomskih čestica, koje predstavljaju suštastvo grad e fizičkog univerzuma. Sam Kantor je verovao da će jednoga dana transfinitni brojevi biti važno sredstvo za otkrivanje istina fizičke stvarnosti. Kantor je preminuo u bedi, nestabilnog mentalnog zdravlja godine. Moja teorija je čvrsta kao stena; svaka strela upućena ka njoj će se brzo vratiti ka strelcu. Kako znam ovo? Zato što sam je tokom mnoštva godina izučio sa svih strana; zato što sam je ispitao sa svih strana; zato što sam ispitao sve prigovore koji su ikada načinjeni protivu beskonačnih brojeva, i iznad svega, zato što sam pratio njene korene do, takoreći, nepobitnog prauzroka svih stvorenih stvari. -Kantor Što se fizičke beskonačnosti tiče, danas u teorijskoj fizici preovlad uje mišljenje da je naš univerzum tek deo Multiverzuma koji se sastoji od beskonačnog mnoštva univerzuma. A u takvom Multiverzumu je moguće sve za šta postoji i najmanja verovatnoća. Negde u Multiverzumu neki majmum sedi, i nasumice tipkajući slova po tastaturi, kuca upravo ovakav tekst. Negde u Multiverzumu tvoj dvojnik, potpuno identičan tebi, u potpuno identičnom okruženju u kojem si ti sada čita iste ove redove, kao da se ogledate u ovoj stranici. Jer,

10 9 takva je veličina Beskonačnosti. Ovaj rad se sastoji iz tri glavne sekcije: 1. ZF(C) Veliki filosof, pisac i matematičar Bertrand Rasel je svojim paradoksom pokazao neispravnost Kantorove teorije skupova. Ovim, med utim, Rasel nije hteo da u potpunosti diskredituje Kantorovu teoriju, već da ukaže da je Kantorovu teoriju neophodno formalno, uz upotrebu logike zasnovati, tako da ne dolazi do paradoksa. Ernst Zermelo i Abraham Frenkel su izvršili formalnu rekonstrukciju Kantorove teorije skupova uvodeći sistem aksioma i matematičku logiku. Ova teorija je nazvana Zermelo-Frenkelova (ZF) teorija skupova, dok je Kantorova teorija skupova nazvana naivna teorija skupova. Ukoliko se aksiomatskom sistemu ZF teorije doda aksioma izbora, tada dobijamo Zermelo-Frenkelovu teoriju skupova sa aksiomom izbora, tj. ZFC teoriju skupova. U prvoj glavnoj sekciji biće reči o aksiomama teorije ZFC, kao i o konstrukcijama te teorije koje su bitne za definisanje i izučavanje ordinala i kardinala. 2. Ordinali U drugoj glavnoj sekciji se definišu ordinali. Posmatraju se svojstva konačnih ordinala, tj. prirodnih brojeva, kao i beskonačnih ordinala. Pokazaće se, izmed u ostalog, da za sabiranje beskonačnih ordinala komutativnost ne važi: 1 + ω nije isto što i ω + 1. Možda Galilej nije bio u pravu kada je rekao da se beskonačne veličine ne mogu porediti, ali je dobro predvideo da beskonačne veličine nemaju ista svojstva kao i konačne. 3. Kardinali U poslednjoj glavnoj sekciji ovog rada su predstavljeni kardinali, i u njoj se izučavaju njihova svojstva. To infinity, and beyond! -Captain Buzz Lightyear

11 10 POGLAVLJE 1. UVOD: ISTORIJA I FILOZOFIJA BESKONAČNOSTI Figure 1.1: Georg Kantor

12 Poglavlje 2 ZF(C) O God, I could be bounded in a nutshell and count myself a King of infinite space. - W. Shakespeare Neophodnost strogog formalnog izlaganja javlja se usled činjenice da je govorni jezik suviše bogat, pa omogućava konstrukciju raznih paradoksa.ričardov paradoks na najbolji način ilustruje nevolje do kojih može da dovede upotreba govornog jezika pri zasnivanju matematičkih objekata i svojstava. Ričardov paradoks: Neka je X skup svih prirodnih brojeva koji se mogu definisati sa ne više od sto reči srpskog jezika. Kako prirodnih brojeva ima beskonačno mnogo, a reči srpskog jezika konačno mnogo, zaključujemo da je skup X konačan. Obzirom da princip najmanjeg elementa važi za prirodne brojeve (tj. da svaki neprazan podskup skupa prirodnih brojeva ima najmanji element) i da je komplement N \ X skupa X neprazan, zaključujemo da skup N \ X ima najmanji element, recimo n. Ovim smo upravo definisali broj n sa manje od sto reči, pa on pripada skupu X. Eto nama paradoksa: skup X i njegov komplement imaju neprazan presek! Prvi korak u prevazilaženju problema ovoga tipa sastoji se u tome što u opisu skupova koristimo isključivo formalni jezik prvog reda L ZF C koji se sastoji od tačno jednog binarnog relacijskog simbola. U narednim sekcijama ćemo dati par reči o formalnoj metodi kao i o predikatskom računu prvog reda. 2.1 O formalnoj metodi Analizirajući strukturu svake definicije, vidimo da se novi pojmovi uvode preko ranije uvedenih, što nužno dovodi do zaključka da neki pojmovi moraju ostati nedefinisani. Takve pojmove zovemo osnovnim ili primitivnim pojmovima. Slično, u dokazu nekog tvrd enja pozivamo se na neka druga (ranija) tvrd enja, pa opet vidimo da se sva tvrd enja ne mogu dokazati. Polazna tvrd enja koja ne dokazujemo zovemo aksiomama. Matematizacija deduktivne metode je dovela do pojma formalne teorije kao čisto sintaksnog okvira u kome se izlaže matematika. Formalna teorija (formalni sistem) se sastoji od sledećih komponenti: Nepraznog skupa simbola, koji nazivamo i jezikom formalne teorije; Skupa svih konačnih nizova simbola jezika formalne teorije, koji nazivamo i skupom reči formalne teorije; 11

13 12 POGLAVLJE 2. ZF(C) Skupa formula, koji je podskup skupa svih reči; Skupa aksioma, koji je podskup skupa formula; Pravila izvod enja, koja su neke relacije med u formulama. Ako je R n + 1-arno pravilo izvod enja, onda se za formulu ϕ kaže da se dobija iz formula ϕ 1,..., ϕ n po pravilu R ukoliko je R(ϕ 1,..., ϕ n, ϕ). Uobičajeno je da se pravila izvod enja zapisuju na sledeci način: ϕ 1,..., ϕ n ϕ R. Primer Neka je dat jezik L = {a, b} i neka se skup formula poklapa sa skupom reči nad L. Dalje, neka su jedine dve aksiome a i b i neka su R 1 i R 2 sledeća pravila izvod enja: R 1 Xa Xab R 2 Xb Xba, pri čemu je X proizvoljna reč (moguće prazna). Na ovaj način smo definisali jednu formalnu teoriju. Iskazni račun takod e predstavlja jednu formalnu teoriju. Jezik L prvog reda (ili relacijsko-operacijski jezik) je skup simbola koji pored logičkih simbola, interpunkcijskih znakova i prebrojivog skupa promenljivih eventualno sadrži i simbole konstanti, relacijske simbole i funkcijske simbole. Uz svaki relacijski i funkcijski znak koji se nalazi u jeziku L data je i njegova arnost, odnosno broj argumentnih mesta. Primer (Peanova aritmetika) Jezik Peanove aritmetike L P A sastoji se od dva binarna funkcijska simbola + i, jednog unarnog funkcijskog simbola S i jednog simbola konstante 1. Primer (Bulova algebra) Jezik teorije Bulovih algebri L BA se sastoji od dva binarna funkcijska simbola i, jednog unarnog funkcijskog simbola, jednog binarnog relacijskog znala i dva simbola konstanti 0 i 1. Kako će nama od interesa biti samo jedna konkretna formalna teorija, gorenavedene pojmove nećemo precizno definisati, već čitalac upćuje na [2][10]. 2.2 L ZF C Osnovni simboli formalnog jezika L ZF C su,,, (, ),, = i v j za svaki prirodan broj j, gde važi v i v j kad god je i j. Simbol znači i (konjunkcija), znači ne (negacija), postoji (egzistencijalni kvantifikator), označava pripadnost, = jednakost; v 0, v 1,... su promenljive, a zagrade se korise za izgradnju izraza. Izraz je svaki konačan niz osnovnih simbola, kao što je )v 19 ( (. Intuitivna interpretacija simbola nam ukazuje koji su izrazi smisleni, a koji ne; one izraze koji imaju smisla nazivamo formulama. Preciznije, definišemo formulu kao svaki izraz koji se gradi upotrebom sledećih pravila: (1) v i v j, v i = v j su formule za svako i, j. (2) Ako su ϕ i ψ formule, onda su to i (ϕ) (ψ), (ϕ) i v i (ϕ), za svako i. Tako, na primer, izraz v 0 ( v 1 ((v 0 v 1 ) (v 1 v 0 ))) jeste formula.

14 2.2. L ZF C 13 Napomenimo da se promenljive u formulama teorije ZFC interpretiraju kao skupovi. Može se kao veliki nedostatak ovog formalnog jezika učiniti nemogućnost da se njime izraze neki najosnovniji logički pojmovi kao što je, na primer, univerzalni kvantifikator ( za svaki ). Med utim, ovo zapravo i nije nikakav nedostatak jer sa ( v i ( (ϕ))) izražavamo v i (ϕ). Slično važi i za (disjunkcija), (implikacija) (ekvivalencija) koje se sve mogu izraziti samo upotrebom i. Kako ne bismo uvek morali pisati ove duge izraze, koristićemo sledeće skraćenice: (1) v i (ϕ) skraćuje ( v i ( (ϕ))). (2) (ϕ) (ψ) skraćuje (( (ϕ)) ( (ψ))). (3) (ϕ) (ψ) skraćuje ( (ϕ)) (ψ). (4) (ϕ) (ψ) skraćuje ((ϕ) (ψ)) ((ψ) (ϕ)). (5) v i v j skraćuje (v i = v j ), a v i / v j skraćuje (v i v j ). Pored ovih skraćenica, kao dodatnu olakšicu koristimo i standardne konvencije o izostavljanju zagrada (videti [9]). Ostala slova engleskog, grčkog i hebrejskog alfabeta, sa ili bez indekasa, se koriste kao promenljive. Na primer α(x α y x y α) će nam predstavljati neku od formula oblika α(v i v j v k v i v k v i ), za neke prirodne brojeve i, j i k. Pored ovih gorenavedenih postoji još mnoštvo drugih skraćenica. U matematičkoj teoriji se formula (formula u smislu formalnog jezika, kao specijalni vid reči formalnog jezika) retko javlja (a gotovo nikad formula koja sadrži samo osnovne simbole formalnog jezika). Gotovo uvek se definicije kojima opisujemo matematičke objekte, matičke teoreme, dokazi tih teorema, itd. iskazaju terminima govornog jezika (ili mešavinom govornog i formalnog jezika). Med utim, treba imati u vidu da svaku aksiomu, definiciju, teoremu, itd. možemo uvek zapisati koristeći samo osnovne simbole formalnog jezika. Na primer, možemo reći postoje skupovi x, y, z takvi da je x y y z, umesto v 0 ( v 1 ( v 2 ((v 0 v 1 ) (v 1 v 2 )))). Iz ovog primera se jasno vidi da su neki od glavnih razloga upotrebe mešavine govornog i formalnog jezika kao i formalnih skraćenica ekonomičnost i preglednost: na primer, skup realnih brojeva označavamo sa R; no, kada bismo taj skup opisali samo koristeći osnovne simbole jezika L ZF C, bilo bi nam potrebno mnogo, mnogo, mnogo više prostora i vremena od onog koje oduzima zapisivanje simbola R; ali, moramo uvek imati u svesti da se skup realnih brojeva uvek može opisati osnovnim simbolima formalnog jezika, ma koliko takvo opisivanje oduzimalo vremena (i prostora). Podformula formule ϕ je podniz niza simbola formule ϕ koji je i sam formula. Na primer, 5 podformula formule ( v 0 (v 0 v 1 )) ( v 1 (v 2 v 1 )) (2.2.1) su v 0 v 1, v 0 (v 0 v 1 ), v 2 v 1, v 1 (v 2 v 1 ), kao i sama formula (2.2.1). Opseg dejstva kvantifikatora v i je (jedinstvena) podformula koja počinje tim kvantifikatorom. Na primer, opseg dejstva v 0 u (2.2.1) je podformula v 0 (v 0 v 1 ). Ukoliko se promenljiva pojavljuje u opsegu dejstva nekog (egzistencijalnog) kvantifikatora (ili, drugačije rečeno, pod dejstvom nekog kvantifikatora) tada tu promenljivu nazivamo vezana promenljiva (ili kažemo da se u formuli pojavljuje vezano); promenljivu koja se ne javlja pod dejstvom ni jednog kvantifikatora nazivamo slobodna promenljiva (ili kažemo da se pojavljuje slobodno u formuli). Na primer, u (2.2.1) prvo pojavljivanje promenljive v 1 je slobodno, ali drugo je vezano. v 0 se

15 14 POGLAVLJE 2. ZF(C) javlja kao vezana dok se v 2 pojavljuje kao slobodna promenljiva. Formula izražava svojstvo promenljive koja se u njoj javlja slobodno, dok se vezane promenljive upotrebljavaju da bi se iznele tvrdnje o postajanju (objekta); promenom vezanih promenljivih se suštinski smisao formule ne menja. Naime, formula (2.2.1) ima potpuno isto značenje kao i formula ( v 4 (v 4 v 1 )) ( v 4 (v 2 v 4 )). Primetimo to da univerzalni kvantifikator v i vezuje promenljivu budući da predstavlja skraćenicu za v i. Sa druge strane, simboli poput,,,, itd. ne vezuju promenljive. Formula se često označava sa ϕ(x 1,..., x n ) kako bi se naglasila njena zavisnost od promenljivih x 1,..., x n. Ako su y 1,..., y n neke nove promenljive onda će ϕ(y 1,..., y n ) označavati formulu dobivenu zamenom promenljive x i odgovarajućom promenljivom y i pri svakom slobodnom javljanju promenljive x i. Takvu zamenu nazivamo slobodnom ili legitimnom onda kada nijedno slobodno javljanje promenljive x i nije u opsegu dejstva kvantifikatora y i. Ideja je ta da ϕ(y 1,..., y n ) govori o y 1,..., y n istu stvar koju ϕ(x 1,..., x n ) govori o x 1,..., x n, što se neće desiti ukoliko zamena nije slobodna, te neko y i postane vezano kvantifikatorom. Na primer, neka je ( v 0 (v 0 v 1 )) formula koju ćemo označiti sa ϕ(v 1 ). Tada će ϕ(v 2 ) biti dok je ϕ(v 0 ) ( v 0 (v 0 v 2 )), ( v 0 (v 0 v 0 )). Poslednja zamena nije slobodna - njom je izmenjeno značenje formule ϕ. Formulom ϕ(v 1 ) se tvrdi da v 1 ima element, dok se formulom ϕ(v 0 ) tvrdi da postoji skup koji je element samom sebi. Napomenimo da zapis ϕ(x 1,..., x n ) ne označava to da se svi x i javljaju slobodno u ϕ(x 1,..., x n ), već time samo naglašavamo pojavljivanje promenljivih x i u njoj, kao i to da formula označena sa ϕ(x 1,..., x n ) može sadržati i druge slobodne promenljive koje ne naglašavamo. Navedimo logičke aksiome. A1: (α (β γ)) ((α β) (α γ)); A2: α (β α β); A3: α β α, α β β; A4: (α β) (β α); A5: xα α x,y, ako se formula α x,y dobija tako što se promenljiva x zameni promenljivom y na svim mestima gde se promenljiva x slobodno javlja, i ako je ta zamena promenljive x promenljivom y u formuli α legitimna; A6: α xα, pri čemu promenljiva x nema slobodnih javljanja u formuli α; A7: x(α β) ( xα xβ); A8: yα x,y xα ako se α x,y dobija kao što je opisano u A5 i ako se promenljiva y ne javlja u formuli α; A9: x = x; A10: x = y (α α x,y ), za sve one formule α koje su oblika z 1 = z 2, z 1 z 2, ili nisu oblika xβ, xβ; A11: Ako je α formula iz A1-A10, a n neki prirodan broj, onda je i x 1 x 2,..., x n α logička aksioma. Ako je S neki skup formula, a ϕ formula, tada sa S ϕ neformalno označavamo da se odgovarajućom logičkom argumentacijom ϕ može dokazati iz S. Preciznije: S ϕ ako postoji formalno izvod enje, tj. dokaz tvrd enja ϕ iz S.

16 2.3. AKSIOME ZFC 15 Dokaz je konačan niz ϕ 1,..., ϕ n formula takvih da je formula ϕ poslednja u nizu (tj. ϕ n je ϕ); da za svako i je ϕ i ili iz S ili logička aksioma ili postoje različiti prirodni brojevi j i k, oba manja od i, tako da se formula ϕ k poklapa sa formulom ϕ j ϕ i. Ako je S prazan skup i S ϕ, tada pišemo ϕ i kažemo da je tvrd enje ϕ logički validno. Ako je (ϕ ψ), tada kažemo da su tvrd enja ϕ i ψ logički ekvivalentna. Ako je ϕ formula, univerzalno zatvorenje formule ϕ je formula koja se dobija univerzalnom kvanitfikacijom svih slobodnih promenljivih formule ϕ. Na primer, ako je sa ϕ označena formula x = y z(z x z y) x yϕ i y xϕ su univerzalna zatvorenja za ϕ. Rečenica je formula koja ne sadrži slobodne promenljive. ZFC predstavlja jedan skup rečenica. Kažemo da je formula ϕ teorema teorije ZFC, odnosno da ϕ važi (u ZFC), ukoliko važi ZF C ϕ. U narednoj sekciji ćemo navesti i interpretirati aksiome teorije ZFC. 2.3 Aksiome ZFC U ovoj sekciji izlažemo aksiome teorije ZFC i konstruišemo neke od najosnovnijih matematičkih objekata čiju će nam egzisteniju garantovati upravo aksiome koje ćemo navesti. No, pre svega napravimo pregled aksioma teorije ZFC. Napomenimo da u ovim aksiomama, kao i svuda nadalje u radu različitim simbolima označavamo različite promenljive. Aksioma 1 (Postojanje skupa) Aksioma 2 (Aksioma ekstenzionalnosti) x(x = x). x y(x = y z(z x z y)). Aksioma 3 (Shema separacije ili shema komperhensije) Za svaku formulu ϕ ZFC teorije u kojoj se promenljiva y ne javlja slobodno, univerzalno zatvorenje formule je aksioma. Aksioma 4 (Aksioma para) Aksioma 5 (Aksioma unije) Aksioma 6 (Shema zamene) z y x(x y x z ϕ) x y z(x z y z). x y z(z y w(w x z w)). x 0 ( x 2 (x 2 x 0!x 3 ϕ(x 2, x 3 )) x 1 x 3 (x 3 x 1 x 2 (x 2 x 0 ϕ(x 2, x 3 ))))

17 16 POGLAVLJE 2. ZF(C) Aksioma 7 (Aksioma izbora) A R(R dobro ured uje A). Aksioma 8 (Aksioma partitivnog skupa) Aksioma 9 (Aksioma beskonačnosti) Aksioma 10 (Aksioma regularnosti) x y z(z x z y). y(0 y ( x y(x {x} y)). ( x 0)( y x x y = 0). Ukoliko iz aksiomatskog sistema ZFC teorije izbacimo aksiomu izbora, dobijamo aksiomatski sistem teorije ZF Ekstenzionalnost i komprehenzija Aksioma 1 (Postojanje skupa) x(x = x). Ova nam aksioma garantuje da univerzum skupova nije ništavilo; da skup kao fundamentalni pojam teorije ZFC postoji. Aksioma 2 (Aksioma ekstenzionalnost) x y(x = y z(z x z y)). Prevedena na govorni jezik, aksioma ekstenzionalnosti nam garantuje da svaka dva skupa koja imaju potpuno istovetne elemente možemo smatrati jednakim. Takod e, ova aksioma izražava ideju da je svaki skup odred en svojim elementima. Kažemo da je skup A podskup skupa B, u oznaci A B, ukoliko je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Dakle, A B skraćuje x(x A x B). Za skup A kažemo da je pravi podskup skupa B, u oznaci A B, ako je A B i A B. Stav Za proizvoljne skupove x, y, z važi: (i) x x; (ii) Ako je x y i y x, onda su skupovi x i y jednaki; (iii) Ako je x y i y z, onda je x z; (iv) Ako je x y onda nije y x; (v) Ako je x y i y z, onda je x z. Aksioma 3 (Shema komprehensije ili shema separacije) Za svaku formulu ϕ u kojoj se promenljiva y ne javlja slobodno, univerzalno zatvorenje formule je aksioma. z y x(x y x z ϕ)

18 2.3. AKSIOME ZFC 17 Shema separacije nam garantuje da za svaki skup A i svaku formulu ϕ postoji skup B svih elemenata skupa A za koje je ϕ tačna (koji su svedoci za ϕ). Aksioma ekstenzionalnosti nam garantuje da je skup B (B A) jedinstven; označavamo ga sa {x x A ϕ(x)}, ili sa {x A ϕ(x)}. Cilj sheme separacije je formalizacija izgradnje skupova oblika {x P (x)}, pri čemu sa P (x) označavamo neko svojstvo promenljive x. Stoga, shemu separacije možemo zadati i na sledeći način: Shema separacije Ako je P neko svojstvo, onda za svaki skup A postoji skup B = {x A P (x)} koji sadrži sve one x A koje imaju svojstvo P. Možemo postaviti jedno pitanje u vezi sa shemom separacije: zašto uvek moramo da imamo neki unapred zadat skup (skup A) iz koga ćemo izdavjati one elemente koje koje imaju svojstvo P (i tako formirati skup B koji je podskup od A); zašto ne bismo mogli shemu separacije zadati na sledeći nacin: Shema separacije (pogrešna) Ako je P neko svojstvo, tada postoji skup B = {x P (x)}? Odgovor na ovo pitanje daje Raselov Paradoks: Posmatrajmo skup S čiji su elementi svi oni (i samo takvi) skupovi koji nisu sami sebi članovi: S = {X X / X}. Da li S sadrži S? Ako S sadrži S, onda S nije sam sebi član, pa važi S / S. Sa druge strane, ako S / S, onds S pripada samom sebi. U svakom slučaju imamo kontradikciju. Dakle, moramo zaključiti da objekat {X X / X} nije skup. Ovo nam ukazuje da nisu svi matematički objekti skupovi. Shema separacije, kako je prvobitno definisana, ne samo da nam garantuje postojanje objekta {x P (x)} već nam garantuje i to da je ovaj objekt skup kao podskup nekog unapred zadatog skupa. Dakle, shema separacije nam daje garanciju da ćemo se uvek kretati univerzumom skupova. Razmotrimo još jednom aksiomu 3. Može se postaviti još jedno pitanje sa njom u vezi: zašto se zahteva da se promenljiva y ne javlja slobodno u ϕ? Ovo činimo kako bi smo izbegli samoreferentne definicije skupa, odnosno takve definicije skupa koje u svom opisu sadrže sam skup koji se tom definicijom definiše. Na primer, ako bismo iz aksiome 3 izostavili uslov da se promenljiva y mora javiti vezana u ϕ, tada bi, ukoliko bismo za ϕ uzeli formulu x / y, formula y x(x y x z x / y) bila nekonzistentna sa postojanjem nepraznog skupa z, čije će postojanje, koristeći navedene aksiome, dokazati: Teorema i takav skup je jedinstveno odred en. y x(x / y) Dokaz. Aksioma 1 nam garantuje postojanje skupa. Neka je z taj skup. Za formulu x x i za skup z, po aksiomi komprehensije postoji skup {x z x x} koji je podskup skupa z. Ovaj skup ne sadrži nikakve članove. Iz aksiome ekstenzionalnosti ovaj skup je jedinstven: ako ovaj skup označimo sa A, a sa B skup koji je različit od A ali takod e ne sadrži ni jedan element, tada će oba skupa A i B imati iste članove, pa će po aksiomi ekstenzionalnosti biti jednaki. Prazan skup označavaćemo sa 0. Važi: 0 A za svaki skup A.

19 18 POGLAVLJE 2. ZF(C) Aksiomama 1, 2 i 3 se može dokazati jedino postojanje praznog skupa, odnosno y(y = 0) se ne može opovrgnuti. (detaljnije o ovome videti u [9]) Dakle, kako bismo izgradili neprazne skupove moramo uvesti još aksioma. Njih ćemo uvesti u sledećoj sekciji, dok ćemo se u ovoj zadržati još da pokažemo nepostojanje univerzalnog skupa, tj. skupa koji sadrži sve skupove. Teorema z x(x z) Dokaz. Pretpostavimo da z x(x z). Tada će, po shemi separacije, za skup z (skup svih skupova) i svojstvo x / x (skup ne sadrži sebe samog) postojati skup {x z x / x} = {x x / x}, kao skup svih skupova koji ne sadrže sebe same. Med utim, postojanje ovakvog skupa dovodi do Raselovog paradoksa. Dakle, ne sme postojati skup koji sadrži sve skupove. Napomenimo još i da shema komprehensije, iako izražava jednu ideju, ona generiše beskonačan broj aksioma: po jednu za svaku formulu ϕ Klase Raselov paradoks nam je ukazao da ne moraju sve kolekcije {x ϕ(x)}, pri čemu je ϕ neka data formula (svojstvo), biti skupovi. Za formulu ϕ(x) = x / x dokazali smo da kolekcija {x x / x} nije skup. Med utim, jako je korisno razmotriti kolekcije {x ϕ(x)} koje nisu nužno skupovi. Ove kolekcije neformalno zovemo klase. Klase se u ZF(C) teoriji ne definišu formalno, mada postoje teorije skupova u kome se one formalno zadaju. Zadavši neku formulu ϕ(x) mi smo zapravo zadali klasu {x ϕ(x)}, pri čemu su u formuli pored slobodne promenljive x mogu javiti i druge slobodne promenljive koje predstavljaju parametre od kojih klasa zavisi. Ukoliko kažemo da neki skup a pripada nekoj klasi {x ϕ(x)}, to znači da a ima svojstvo ϕ (tj. da je ϕ(a) teorema teorije ZF(C)); ukoliko kažemo da skup a ima svojstvo ϕ, pod time podrazumevamo da skup a pripada klasi {x ϕ(x)}; imamo zapravo a {x ϕ(x)} ϕ(a). Klase ćemo obično označavati velikim boldovanim (masnim) slovima: K,L,A,B,C,... Dakle, ako klasu {x ϕ(x)} označimo sa K, tada je y K formula ϕ(y). Označimo sa L klasu {x ψ(x)}. Pod K = L podrazumevamo formulu x(ϕ ψ). Klasa K je podklasa klase L, u oznaci K L ako i samo ako je z(z K z L), tj. z(ϕ(z) ψ(z)); možemo još i reći da zapis K L skraćuje formulu z(ϕ(z) ψ(z)). K je prava podklasa klase L, u oznaci K L, ukoliko važi formula K L K L. Za klasu K kažemo da je skup ako i samo ako se formula y z(z y ϕ(z)) može dokazati u ZF(C)teoriji. Ukoliko je klasa {x ϕ(x)} skup, tada formulu ϕ nazivamo formula skupovnog tipa. Klasa K je prava klasa ako i samo ako se y(y K) može dokazati u ZF(C) teoriji. Možemo reći da je neka klasa prava klasa ukoliko predstavlja kolekciju koja nije skup. Takva je upravo kolekcija {x x / x}. Slikovito možemo prave klase opisati kao kolekcije koje su preobimne da bi bile skup. Ako je klasa {x ϕ(x)} prava klasa, tada formula ϕ(x) nije formula skupovnog tipa. Nije ni formula x = x skupovnog tipa, na šta ukazuje naredni Primer Klasa svih skupova ( univerzum skupova ) je prava klasa. Nju definišemo sa V = {x x = x}.

20 2.3. AKSIOME ZFC 19 Možemo definisati i uniju, presek i razliku klasa K i L redom: K L = {x ϕ(x) ψ(x)}; K L = {x ϕ(x) ψ(x)}; K \ L = {x ϕ(x) ( ψ(x))}. Dakle, y K L je ekvivalentno sa ϕ(y) ψ(y). Uniju klase K definišemo sa K = {x a(ϕ(a) x a}; uniju klase možemo interpretirati kao klasu svih elemenata svih skupova a za koje važi formula ϕ. Presek klase K definišemo sa K = {x a(ϕ(a) x a)}; neki skup x biće član klase K ukoliko je član svakog skupa a za koji važi formula ϕ(a). Teorema Neka je K = {x ϕ(x)} neprazna klasa. Tada je K skup. Dokaz. Neka je skup a takav da važi ϕ(a). Pretpostavimo da skup x pripada klasi K. Tada za svaki skup y takav da važi ϕ(y) mora biti i x y, odakle sledi da je x a. Znači da je K a (ovde smo inkluziju upotrebili u kontekstu klasa), pa je po shemi separacije K skup Relacije, funkcije i dobro ured enje Aksioma 4 (Aksioma para) x y z(x z y z). Aksioma para nam garantuje da za svaka dva skupa A i B postoji skup S čiji su elementi skupovi A i B. Pokažimo da postoji jedinstveni skup C, pri čemu je skup C = {A, B}. Za skup S i formulu x = A x = B postoji na osnovu sheme separacije skup {x x S (x = A x = B)}. Upravo ovaj skup je skup C. Jedinstvenost skupa C nam garantuje ekstenzionalnost. Dakle, za svaka dva skupa A i B postoji jedinstven skup koji sadrži ta dva skupa i ni jedan drugi skup. Skup čiji su jedini elementi skupovi A i B označavamo sa {A, B}. Važi, za proizvoljne skupove A i B, {A, B} = {B, A}, kao i {A, A} = {A}. Aksioma para nam, kao što vidimo, dozvoljava izgradnju jednočlanih (singlton) i dvočlanih skupova. Definicija (Ured eni par) Neka su x i y proizvoljni skupovi. Ured eni par x, y definišemo sa x, y = {{x}, {x, y}}. Skup x nazivamo prvom koordinatom, a skup y drugom koordinatom ured enog para x, y. Lako se pokazuje da za proizvoljne skupove A, B, C, D važi A, B = C, D A = C B = D. Možemo uz pomoć ured enog para definisati ured enu trojku: x, y, z = x, y, z. Analogno se definišu ured ene četvorke, petorke, šestorke... Aksioma 5 (Aksioma unije) x y z(z y w(w x z w)).

21 20 POGLAVLJE 2. ZF(C) Što prevedeno na govorni jezik znači: za svaki svaki skup A postoji unija B njegovih elemenata, tj. svaki element skupa B pripada nekom od elemenata skupa A. Jedinstvenost ovakvog skupa B nam, naravno, garantuje ekstenzionalanost. Skup B, odnosno uniju elemenata skupa A obeležavamo sa A. Kako je x A zapravo formula y(y A x y) to se pokazuje da ZF 0 = 0, tj. neformalno govoreći A = 0 ako je A = 0. Definicija Neka su x, y, z proizvoljni skupovi. Skupove x y i {x, y, z} definišemo na sledeći način: x y = {x, y}; {x, y, z} = {x} {y} {z}. Prethodna definicija pokazuje kako aksioma unije (u sprezi sa prethodno navedenim aksiomama) dozvolja izgradnju višečlanih skupova. Stav Za proizvoljne skupove x, y, z važi: (i) x x = x; (ii) x 0 = x; (iii) x y = y x; (iv) x (y z) = (x y) z; (v) (x y) = ( x) ( y); (vi) y x y x; (vii) x, y = {x, y}. Možemo definisati presek i razliku skupova. Definicija Neka su x i y proizvoljni skupovi. Skupove x y i x \ y definišemo na sledeći način: x y = {z z x z y}; x \ y = {z z x z / y}. Stav Za proizvoljne skupove x, y, z važi: (i) x 0 = 0; (ii) x x = x; (iii) x y = y x; (iv) x (y z) = (x y) z; (v) x (x y) = x; (vi) x (x y) = x; (vii) x (y z) = (x y) (x z); (viii) x (y z) = (x y) (x z); (ix) x \ (y z) = (x \ y) (x \ z); (x) x \ (y z) = (x \ y) (x \ z); (xi) x y x \ y = 0; (xii) x y x y = x; (xiii) x y x y = y. Aksioma 6 (Shema zamene) Neka je ϕ formula ZFC teorije u kojoj promenljiva x 1 nema slobodnih javljanja. Tada je univerzalno zatvorenje formule x 0 ( x 2 (x 2 x 0!x 3 ϕ(x 2, x 3 )) x 1 x 3 (x 3 x 1 x 2 (x 2 x 0 ϕ(x 2, x 3 )))) (2.3.2) aksioma.

22 2.3. AKSIOME ZFC 21 Shemom zamene se zapravo tvrdi sledeće: za proizvoljan skup A postoji skup B koji nastaje zamenom svakog elementa a skupa A odgovarajućim jedinstvenim skupom b takvim da važi ϕ(a, b). Postojanje jedinstvenog skupa b nam garantuje leva strana implikacije u (2.3.2) ( x 0 ( x 2 (x 2 x 0!x 3 ϕ(x 2, x 3 ))), dok nam egzistenciju skupa B kao skupa koji objedinjuje sve b ove garantuje desna strana implikacije u (2.3.2) ( x 1 x 3 (x 3 x 1 x 2 (x 2 x 0 ϕ(x 2, x 3 ))). Naravno, ekstenzionalnost nam garantuje jedinstvenost skupa Ovaj skup možemo i skraćeno zapisivati sa B = {b a(a A ϕ(a, b))}. B = {b a a A}, pri čemu je za svako a A skup b a jedinstveni svedok za ϕ(a, b a ). Za svaki unapred zadat skup i zadatu formulu shema zamene nam generiše novi skup. Kao i kod sheme separacije i ovde nije dovoljno unapred zadati samo formulu, već i skup i formulu kako bismo bili sigurni da je novodobijeni objekat zaista skup. Takod e, kao i kod sheme separacije, i u formulaciji sheme zamene je neophodno naglasiti da se promenljiva kojom se označava skup koji će biti generisan shemom zamene (promenljiva x 1 ) ne sme javiti slobodno u formuli ϕ kako bi se izbeglo samoreferentno definisanje tog skupa. I kao i shema komperhensije i shema zamene takod e generiše beskonačno mnogo aksioma: po jednu za svaku formulu ϕ. Definicija (Dekartov proizvod) Za proizvoljne skupove A i B definišemo Dekartov proizvod A B = { x, y x A y B}. Kako bismo opravdali ovu definiciju moramo pokazati postojanje skupa A B. U tu svrhu primenićemo shemu zamene dva puta. Prvo, za svako y B, skup A i formulu z = x, y imamo da x A!z(z = x, y ), pa, po shemi zamene sve ovako nastale z ove možemo objediniti u skup koji cemo definisati sa: prod(a, y) = {z x A(z = x, y )}. Još jednom upotrebom sheme zamene za skup B i formulu z = prod(a, y) imamo da y B!z(z = prod(a, y)). Sada, objedinavajući ovako nastale skupove (z ove) možemo definisati skup prod (A, B) = {z y B(z = prod(a, y))} = {prod(a, y) y B}. Konačno, definišemo: A B = prod (A, B). Na primer, ako bi bilo A = {a, b, c}, a B = {a, b}, tada bi prva primena sheme zamene dala skupove prod(a, a) = { a, a, b, a, c, a } i prod(a, b) = { a, b, b, b, c, b }; druga primena sheme zamene bi dala skup prod (A, B) = {{ a, a, b, a, c, a }, { a, b, b, b, c, b }}. Najzad, bilo bi A B = prod (A, B) = { a, a, b, a, c, a, a, b, b, b, c, b }. Možemo razmatrati i Dekartov proizvod klasa. Dekartov proizvod klasa K = {x ϕ(x)} i L = {x ψ(x)} definišemo sa K L = { x, y ϕ(x) ψ(y)}, pri čemu je za neku formulu φ(x, y) koristimo notaciju { x, y φ(x, y)} = {z x y(z = x, y ϕ(x, y))}. Na osnovu do sada izloženih aksioma možemo definisati relacije i funkcije.

23 22 POGLAVLJE 2. ZF(C) Definicija (Relacija) Skup R je relacija ukoliko su svi njegovi članovi ured eni parovi. Skup domr = {x y( x, y R)} nazivamo domen relacije, a skup kodomen ili rang relacije. ranr = {y x( x, y R)} Ove definicije imaju smisla za bilo kakav skup R, ali se uobičajno koriste kada je R relacija. U tom slučaju biće R domr ranr. Definišemo R 1 = { x, y y, x R}. Ako je R relacija, važi (R 1 ) 1 = R (ukoliko R ne bi bila relacija tada bi bilo (R 1 ) 1 R). Za klasu R kažemo da je relacija ako važi R V V, tj. ako ZFC x(ϕ(x) y z(x = y, z )), gde je ϕ formula kojom je klasa R odred ena. Definicija f je funkcija ako je f relacija i ako x domf!y ranf( x, y f). Sa f : A B označavamo da je f funkcija, A = domf i ranf B. Ako je f : A B i x R, tada je f(x) jedinstveno y za koje je x, y f. Za klasu F odred enu formulom ϕ(x, y) kažemo da je funkcija ako važi F V V i ZFC x y 1 y 2 (ϕ(x, y 1 ) ϕ(x, y 2 ) y 1 = y 2 ). Kada funkciju obeležavamo velikim latiničnim slovom, time ističemo činjenicu da se radi o klasi koja je funkcija u smislu kako smo to upravo definisali. Definicija Ako je C A, tada je f C = f (C B) restrikcija funkcije f na C i f[c] = ran(f C) = {f(x) x C}. Definicija f : A B je 1-1 ili injekcija ako je f 1 funkcija; na ili sirjekcija ako je ranf = B; bijekcija ako je i 1-1 i na. Bez dokaza dajemo sledeću teoremu: Teorema Ako je f bijekcija, onda postoji jedinstvena funkcija takva da za proizvoljne a A i b B važi g : B A g(b) = a f(a) = b. Ovu funkciju g zovemo inverzna funkcija funkcije f i označavamo je sa f 1. Neka je A proizvoljan skup. Identičko preslikavanje skupa A, u oznaci id A, definišemo sa id A (a) = a, a A.

24 2.3. AKSIOME ZFC 23 Definicija Neka su dati skupovi A, B i C i funkcije f : A B, g : B C. Kompozicija funkcije f i g, u oznaci f g, je funkcija f g : A C, zadata sa (f g)(x) = g(f(x)), x A. Ako je R relacija tada se umesto x, y R obično piše xry. Definicija Ako je R relacija na skupu A (R A A) tada je R refleksivna ako x A(xRx); irefleksivna ako x A( (xrx)); simetrična ako x y(xry yrx); antisimetrična ako x y(xry yrx x = y); tranzitivna ako x y z(xry yrz xrz); relacija ekvivalencije ako je refleksivna simetrična i tranzitivna; relacija poretka ako je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna; relacija strogog poretka ako je irefleksivna i tranzitivna. Sa < ćemo označavati relaciju strogog poretka na skupu A, a sa odgovarajuću dopunu relacije < do relacije poretka. Precizinije: =< {x A A a(a A x = a, a )}. Definicija Par A, je parcijalno ured en skup (parcijalno ured enje) ako je relacija poretka na skupu A. Par A, < je strogo parcijalno ured enje ako je < relacija strogog poretka na skupu A. Definicija Parcijalno ured enje A, je linearno ako su svaka dva elementa uporediva, tj. ako za proizvoljne a, b A je a b, ili je b a. Strogo parcijalno ured enje A, < je linearno ako su svaka dva različita elementa uporediva, tj. ako za svako a, b A takve da je a b važi a < b b < a. Definicija Neka je A, parcijalno ured enje, X neprazan podskup skupa A i neka je a A. a A je majoranta (gornja granica) skupa X ako za proizvoljno x X važi x a. Ako za proizvoljno x X važi a x, onda za a kažemo da je minoranta (donja granica) skupa X. Najmanju gornju granicu skupa X, ukoliko postoji zovemo supremumom skupa X; u tom slučaju ovaj element skupa A, čije se jedinstvenost jednostavno utvrd uje, označavamo sa supx. Ako supx pripada skupu X onda za njega kažemo da je maksimum skupa X, ili najveći element skupa X. Najveću donju granicu skupa X, ukoliko postoji, zovemo infimumom skupa X; u tom slučaju ovaj element skupa A, čije se jedinstvenost jednostavno utvrd uje, označavamo sa infx. Ako infx pripada skupu X onda za njega kažemo da je minimum skupa X, ili najmanji element skupa X. Kažemo da je a minimalni element skupa X ukoliko ni za jedno b a nije b a. Za a kažemo da je maksimalni element skupa X ukoliko ni za jedno b a nije a b. Svi pojmovi definisani u prethodnoj definicije se mogu definisati i za strogo parcijalna ured enja.