MEHANIKA VOŽNJE - Odsek za puteve, železnice i aerodrome

Транскрипт

1 MEHANIKA VOšNJE Odsek za puteve, ºeleznice i aerodrome Prof dr Stanko Br i Doc dr Stanko ori Doc dr Anina Glumac Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god. 2018/19

2 Sadrºaj 1 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem 2 Geometrija to kova i ²ina 3 Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" 4

3 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem Obrtno postolje - izmežu kabine i to kova

4 Osovinski sklop na ²inama Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem

5 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem Kotrljanje krutog to ka po krutoj podlozi 3.4 Contact Forces between Wheel and Guideway 117 a) m, I C b) M C C r v C ω M C C m, I C r v C ω O I e I ν 3 1 P Q, v P =0 O I 1 e I ν 3 Q P, v P < 0 M C M C f G C v C ω f G C v C ω f t P, v P =0 f t P, v P < 0 f t µ 0f n f t = µf nsgnv P f n f n f G = mg f G = mg Fig States of motion of a free rigid wheel on a rigid guideway: a) kinematic rolling; b) combination of rolling and sliding

6 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem Kotrljanje krutog to ka po krutoj podlozi Dva reºima kotrljanja krutog to ka po krutoj podlozi Kotrljanje bez klizanja ( isto kotrljanje) Kombinovano kotrljanje sa klizanjem Diferencijalne jedna ine ravnog kretanja Homogeni kruti to ak: masa m, moment inercije J C = 1 2 mr2, polupre nik r Na to ak deluje obrtni spreg M C = M C (t) U slu aju istog kotrljanja (bez klizanja), ta ka kontakta P je trenutni centar rotacije, odn. v P = 0

7 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem Sadrºaj 1 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem 2 Geometrija to kova i ²ina 3 Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" 4

8 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem Kotrljanje krutog to ka po krutoj podlozi Kotrljanje bez klizanja ( isto kotrljanje) Uslov kotrljanja bez klizanja: v C = ω r Na kontaktu to ka i podloge, u ta ki P, deluju reakcije veza f n i f t : f n 0 f t µ 0 f n Sila f n 0 predstavlja jednostranu vezu Sila f t = µ 0 f n je sila trenja u skladu sa Kulonovim zakonom trenja µ 0 je stati ki koecijent trenja

9 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem Kotrljanje krutog to ka po krutoj podlozi Kotrljanje bez klizanja ( isto kotrljanje) Diferencijalne jedna ine ravnog kretanja to ka 0 = mg f n m v C = f t J C ω = M C f t r (1) pri emu vaºi uslov kotrljanja bez klizanja v C = ω r (2)

10 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem Kotrljanje krutog to ka po krutoj podlozi Kotrljanje bez klizanja ( isto kotrljanje) Re²enje jedna ina ravnog kretanja to ka (imaju i u vidu da je J C = 1 2 mr2 ) v C = ω = v C r f n = mg M C/r m + J C /r 2 = 2 M C 3 m r (3) f t = m v C = 2 M C 3 r

11 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem Kotrljanje krutog to ka po krutoj podlozi Kotrljanje bez klizanja ( isto kotrljanje) U zavisnosti od zakona M C = M C (t) kao i od po etnih uslova kretanja, dobija se re²enje v C = v C (t) Iz uslova f t µ 0 f n se dobija ograni enje za obrtni momenat: Reakcija veze f t ne vr²i mehani ki rad (deluje u trenutnom centru rotacija) M C µ m g r (4)

12 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem Kotrljanje krutog to ka po krutoj podlozi 3.4 Contact Forces between Wheel and Guideway 117 a) m, I C b) M C C r v C ω M C C m, I C r v C ω O I e I ν 3 1 P Q, v P =0 O I 1 e I ν 3 Q P, v P < 0 M C M C f G C v C ω f G C v C ω f t P, v P =0 f t P, v P < 0 f t µ 0f n f t = µf nsgnv P f n f n f G = mg f G = mg Fig States of motion of a free rigid wheel on a rigid guideway: a) kinematic rolling; b) combination of rolling and sliding

13 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem Sadrºaj 1 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem 2 Geometrija to kova i ²ina 3 Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" 4

14 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem Kotrljanje krutog to ka po krutoj podlozi Kotrljanje to ka sa klizanjem U slu aju kotrljanja sa klizanjem trenutni centar rotacije je izmežu centra mase to ka C i ta ke kontakta P Brzina kontaktne ta ke P je data sa: v P = v C ω r (5) Odnos brzine klizanja kontaktne ta ke P i brzine kotrljanja centra mase to ka C je koecijent klizanja krutog tela: ν = v P v C = v C ω r v C (6)

15 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem Kotrljanje krutog to ka po krutoj podlozi Kotrljanje to ka sa klizanjem U ta ki kontakta P, osim normalne reakcije f n deluje i sila f t koja se posmatra kao aktivna sila koja sledi iz Kulonovog zakona trenja za slu aj klizanja: f t = µ f n v P v P = µ f n sgn( v P ) (7) gde je µ dinami ki koecijent trenja klizanja (µ < µ 0 ) Takože je f n 0 v P = v C ω r (8)

16 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem Kotrljanje krutog to ka po krutoj podlozi Kotrljanje to ka sa klizanjem Dif. jedn. ravnog kretanja (1) su iste i u slu aju kotrljanja sa klizanjem Re²avanjem jedna ina (1), uz relacije (7) i (8), dobija se re²enje za kinemati ke veli ine v C = µ g sgn(v C r ω) ω = 1 J C (M C rm v C ) (9) kao i re²enje za sile f n i f t : f n = mg f t = µ m g sgn(v C rω) (10)

17 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem Kotrljanje krutog to ka po krutoj podlozi Kotrljanje to ka sa klizanjem Re²enje (9) pretstavlja spregnut sistem i re²ava se iterativno Pretpostavi se znak brzine v P = v C rω, npr. v P < 0, pa se iz prve od jedn. (9) odredi v C Unose i u drugu od jedn. (9), za datu zavisnost M C = M C (t) i poznate po etne uslove, odredi se ω = ω(t) Pretpostavka o znaku v P sa zatim proveri i ponovi se re²avanje ako nije zadovoljena

18 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem Kotrljanje krutog to ka po krutoj podlozi Kotrljanje to ka sa klizanjem Sila f t je disipativna sila. Ona vr²i mehani ki rad A 1 2 = 2 1 f t ds = t 0 f t v P dt = t Razlike izmežu istog kotrljanja to ka, slu aj (a) i kotrljanja sa klizanjem, slu aj (b): 0 µ m g v P dt (11) - Ta ka kontakta je u slu aju (a) trenutni centar rotacije, a u slu aju (b) nije - U slu aju (a) sila trenja f t je reakcija veze, a u slu aju (b) je aktivna, disipativna, sila

19 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem Kotrljanje krutog to ka po krutoj podlozi Kotrljanje to ka sa klizanjem U slu aju (a) sila f t ne vr²i mehani ki rad, dok u slu aju (b) disipativna sila f t vr²i negativan rad U slu aju (a) stati ka sila trenja f t ubrzava centar to ka, pri emu postoji i odreženo ograni enje (4) za obrtni momenat U slu aju (b), usled trenja nastaje sila klizanja f t (suprotnog smera od brzine kontaktne ta ke P) U oba slu aja mogu da se odrede sve nepoznate v C, ω, f n, f t

20 Geometrija to kova i ²ina Sistemi krutih tela - modeli analize kretanja Analiza kretanja ²inskih vozila je nelinearna je - geometrijska nelinearnost - materijalna nelinearnost Geometrijska nelinearnost nastaje usled velikih rotacija i/ili velikih pomeranja pojedinih komponenti vozila Krivolinijska geometrija trase je izvor nelinearnosti Materijalna nelinearnost nastaje usled nelinearnih konstitutivnih relacija sila/pomeranje (plasti no ili viskoelasti no pona²anje) Dinami ka interakcija to ak/²ina zahteva odreživanje nelinearnih sila veze

21 Geometrija to kova i ²ina Sistemi krutih tela - modeli analize kretanja Modeliranje kretanja ²inskih vozila Speci nost modeliranja kretanja ²inskih vozila je u interakciji to kova i ²ina Postoje, na elno, dva tipa interakcije: - kontakt to ak/²ina - magnetska levitacija (ne posmatra se) Generisanje kretanja ²inskih vozila preko kotrljanja i klizanja to kova na ²inama Kontaktne sile u dinami koj interakciji to ak/²ina, kao i kinemati ke veli ine, mogu da budu izvor raznih nestabilnosti kretanja: - fenomen vijuganja ("hunting phenomenon") - iskakanje vagona iz ²ina ("derailment")

22 Geometrija to kova i ²ina Sadrºaj 1 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem 2 Geometrija to kova i ²ina 3 Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" 4

23 Geometrija to kova i ²ina Modeliranje kretanja ²inskih vozila Geometrija to kova i ²ina U analizi kontakta to kova i ²ina bitno je precizno prikazivanje geometrije i ²ina i to kova Ta no prikazivanje teorijske geometrije kontaktne povr²ine to kova i ²ina Procena o²te enja ²ina i to kova i odgovaraju eg prikazivanja u analizama Formulacija diferencijalnih jedna ina kretanja treba da obuhvati problem kontakta to kova i ²ina Ta nost numeri kog re²enja kontaktnog problema zavisi od procene lokacija kontaktnih ta aka

24 Geometrija to kova i ²ina Geometrija to kova i ²ina

25 Geometrija Modelsto kova for Support andi Guidance ²ina Systems Geometrija to kova i ²ina R R1 = r 0 R R2 P e K 1 P e K 2 R S2 e K 3 R S1 e K 3

26 Geometrija to kova i ²ina Geometrija krive linije u prostoru

27 Geometrija osovine trase pruge Geometrija to kova i ²ina

28 Geometrija krivolinijske povr²i Geometrija to kova i ²ina

29 Geometrija glave ²ine Geometrija to kova i ²ina

30 Izdizanje ²ina u krivini Geometrija to kova i ²ina

31 Geometrija to ka na ²ini Geometrija to kova i ²ina

32 Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" Sadrºaj 1 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem 2 Geometrija to kova i ²ina 3 Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" 4

33 Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" "Penjanje" to ka na ²inu - Nadalova formula

34 Modeliranje kretanja ²inskih vozila Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" "Penjanje" to ka na ²inu - Nadalova formula (1908) Kontakt to ka i ²ine se realizuje na an²i to ka i bo nom delu glave ²ine Sile kojima to ak deluje na ²inu, V i L (vertikalna i horizontalna sila) su u ravnoteºi sa reakcijama ²ine N i F Ako je ugao nagiba an²e to ka jednak α, a µ koecijent trenja izmežu to ka i ²ine, onda moºe da se izvede relacija (Nadal, 1908) L V = tan α µ (12) 1 + µ tan α

35 Modeliranje kretanja ²inskih vozila Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" "Penjanje" to ka na ²inu - Nadalova formula (1908) Ako odnos sila V i L prekora i desnu stranu relacije (12), moºe da dože do "penjanja" to ka na ²inu Problem kada odnos L/V prekora i neki iznos nije vezan samo za "penjanje" to ka Ako se kontakt to ka i ²ine realizuje u dve ta ke i ako je bo na sila to ka na ²inu relativno velika (ve a od nekog iznosa), moºe da nastane bo no iskliznu e iz ²ina To se naziva i pove anje razmaka ²ina ("gage widening")

36 Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" Sadrºaj 1 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem 2 Geometrija to kova i ²ina 3 Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" 4

37 Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" Bo no iskliznu e to ka - ²irenje koloseka

38 Modeliranje kretanja ²inskih vozila Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" Preturanje ²ine Ako odnos sila V i L prekora i neki iznos, moºe da dože do iskliznu a voza sa ²ina usled "preturanja" ²ine Ako je odnos sila ve i od geometrijskog odnosa, L V > D H moºe da dože do preturanja ²ine Ako je ta ka kontakta to ka i ²ine na unutra²njoj strani ²ine, pri emu je L/V [ ] (u zavisnosti od oblika ²ine), moºe da dože do preturanja ²ine (Blader, 1989)

39 Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" Iskliznu e to ka usled preturanja ²ine

40 Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" Sadrºaj 1 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem 2 Geometrija to kova i ²ina 3 Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" 4

41 Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" Vijuganje voza - "Hunting motion" 2.2 Kinematics 43 a a r0a λ = 2π tanδ0 r0 δ0 x y

42 Modeliranje kretanja ²inskih vozila Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" Vijuganje voza - "Hunting motion" (bo na nestabilnost voza) Jedan od problema bo ne stabilnosti kretanja voza je i vijuganje ("hunting motion") To je bo no kretanje osovine to kova u odnosu na sredinu koloseka Osovinski slog su dva to ka koji su kruto spojeni osovinom To kovi su konusnog oblika, sa nagibom 1:20 (ili 1:40), pri emu je ve i pre nik na unutra²njoj strani ²ina Takav oblik uti e da se osovinski sklop automatski sam centrira tokom kretanja u odnosu na osu koloseka i time se javlja manji kontakt izmežu an²e to ka i unutra²nje strane ²ine (Karnopp, 2004)

43 Polupre nici kotrljanja to kova Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion"

44 Modeliranje kretanja ²inskih vozila Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" Vijuganje voza - "Hunting motion" (bo na nestabilnost voza) Usled bilo kakvog poreme aja (imperfekcija ²ina), osovinski slog moºe da se bo no kre e U ravnoteºnoj konguraciji kretanja, osovinski slog je centriran u donosu na osu pruge: (y = 0) Zbog konusnog oblika (bandaºa) to kova (ugao γ), polupre nici kotrljanja levog i desnog to ka su R l i R r U ravnoteºnoj konguraciji (y = 0), polupre nici oba to ka su mežusobno isti, R 0, (ako su to kovi isti, ispravni i simetri no nasaženi na osovinu)

45 Modeliranje kretanja ²inskih vozila Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" Vijuganje voza - "Hunting motion" (bo na nestabilnost voza) Zbog konusnog oblika (ugao γ), ako se osovina bo no pomeri za (mali iznos) y, promena radijusa kotrljanja to ka je R = y γ Polupre nici kotrljanja to kova su tada dati sa R r = R 0 y γ R l = R 0 + y γ Ako se osovinski slog okre e sa ugaonom brzinom ω, brzine ta aka kontakta desnog i levog to ka su v r = R r ω v l = R l ω

46 Vijuganje osovinskog sloga Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion"

47 Modeliranje kretanja ²inskih vozila Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" Vijuganje voza - "Hunting motion" (bo na nestabilnost voza) Brzina sredi²ta osovine je jednaka v = v r + v l 2 = R 0 ω Za mali ugao skretanja (ugao rotacije oko vertikalne ose) je tan ψ ψ, pa je vremenska promena ugla skretanja data sa ẏ = dy dt = dy dx dx dt = ψ v = ψ R 0 ω (13) Promena ugla skretanja moºe da se prikaºe kao ψ = v r v l G = 2y ω γ G (14)

48 Modeliranje kretanja ²inskih vozila Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" Vijuganje voza - "Hunting motion" (bo na nestabilnost voza) Diferenciranjem jedn. (13) po vremenu i uno²enjem za ψ desne strane jedn. (14), dobija se jedna ina ÿ + ( 2R 0 ω 2 γ G ) y = 0 (15) Jedna ina (15) je oblika ÿ + Ω 2 y = 0 i re²enje je, ako je koecijent Ω 2 uz y pozitivan, dato sa y(t) = A sin(ωt + C) (16) gde se A i C odrežuju iz po etnih uslova

49 Modeliranje kretanja ²inskih vozila Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" Vijuganje voza - "Hunting motion" (bo na nestabilnost voza) Koecijent Ω je svojstvena frekvencija vijuganja Imaju i u vidu relaciju v = R 0 ω, dobija se kruºna frekvencija vijuganja 2R0 ω Ω = 2 γ 2γ = v (17) G R 0 G kao i preriod vijuganja λ = 2π Ω = 2π v R 0 G 2γ (18) Relacije (17) i (18) se zovu Klingelove formule (Klingel, 1883)

50 Modeliranje kretanja ²inskih vozila Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" Vijuganje voza - "Hunting motion" (bo na nestabilnost voza) Re²enje (16) pretstavlja oscilatrotno kretanje sa konstantnom amplitudom A Takvo kretanje vaºi samo ako je Ω 2 > 0 To e da bude ispunjeno samo ako je γ > 0, odn. ako su to kovi konusnog oblika sa pozitivnim nagibom Ako su to kovi cilindri ni, onda je γ = 0, pa je i Ω 2 = 0, odn. re²enje je prava linija Ako je Ω 2 < 0, odn. ako je to ak sa negativnim nagibom, γ < 0, onda kretanje osovinskog sloga nije oscilatorno

51 Vijuganje osovinskog sloga Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion"

52 Vijuganje voza - "Hunting motion" 44 2 Vehicle Models Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" a) b) c) x x x y y y Fig Wheelset motion with different conicities: a) stable motion; b) indifferent

53 y y y Vijuganje voza - "Hunting motion" Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" Fig Wheelset motion with different conicities: a) stable motion; b) indifferent motion; c) unstable motion

54 Osovinski sklop: kruta veza osovine i dva to ka To kovi su speci nog oblika: konusni u popre nom pravcu nagib konusa (1:20) sa padom ka spolja venac sa unutra²nje strane ²ina (grani nik) Osim kretanja u pravcu koloseka, osa x, kotrljanje sa klizanjem, stepeni slobode kretanja osovinskog sklopa su i: Popre no pomeranje (u pravcu ose y) Rotacija oko vertikalne ose (skretanje, α)

55 Stepeni slobode kretanja to kova

56 Koordinatni sistemi ²ine, to ka i kontakta

57 Kontakt izmežu to kova i ²ina Interfejs izmežu to ka i ²ine je mala kontaktna zona Sile velikih intenziteta, na maloj povr²ini: normalna i dve tangencijalne - normalna, gravitaciona, sila F z - tangencijalna poduºna (vu na sila ili sila ko enja) F x - tangencijalna popre na (sila bo nog voženja, parazitna) F y Kontaktni pritisci su prakti no koncentracija napona ( esto preko 1000 MPa) Analiza normalnih sila (Hertz-ova teorija,... ) Analiza tangencijalnih sila (Kalker-ova teorija)

58 Sile na kontaktu to ka i ²ine

59 Sadrºaj 1 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem 2 Geometrija to kova i ²ina 3 Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" 4

60 Heinrich Hertz ( ), dao osnove Mehanike kontakta (1882) Naponi pritiska i adhezije u pravcu normale na povr²ine kontakta Smi u i naponi (trenje) u tangencijalnoj ravni izmežu dva tela Hertz posmatrao kontakt dve pritisnute elasti ne sfere (bez adhezije) Polupre nici krivine povr²i oba tela su veliki u odnosu na kontaktnu povr²inu Radijusi krivine su konstantni u zoni mežusobnog kontakta

61 Hertz je pokazao da je kontaktna povr²ina ravna i oblika elipse sa poluosama a i b Naponi mežusobnog pritiska su respodeljeni u obliku polu-elipsoida Poluose elipse kontaktne povr²ine se izraºavaju preko elasti nih osobina tela, kao i geometrije povr²i tela (polupre nici glavnih krivina) Srednji kontaktni napon (za ukupnu normalnu silu N ), kao i najve i napon (u centru elipse): σ sr = N π a b σ max = 3 N 2 π a b

62

63 Kontakt dva tela (dve sfere)

64 Kontakt to ka i ²ine

65 Kontakt to ka i ²ine

66 Kontakt to ka i ²ine - tangencijalne sile i spreg M z

67 Kontakt to ka i ²ine i sile veze

68 Kontakt to ka i ²ine i sile veze

69 Kontakt to ka i ²ine i sile veze

70 Kontakt to ka i ²ine i sile veze

71 Sadrºaj 1 Kotrljanje to ka bez klizanja Kotrljanje to ka sa klizanjem 2 Geometrija to kova i ²ina 3 Penjanje to ka na ²inu Iskliznu e to ka: ²irenje koloseka i preturanje ²ine Vijuganje voza - "Hunting motion" 4

72 Mehanizmi ispadanje voza iz ²ina je usled gubitka bo nog voženja to kova po ²inama ƒetiri glavna mehanizma ispadanja voza iz ²ina: "Penjanje" an²e to ka na glavu ²ine Pro²irenje razmaka izmežu ²ina Preturanje ²ine Bo no smicanje koloseka

73 Penjanje to ka na glavu ²ine "Penjanje" an²e to ka na glavu ²ine moºe da se, na elno, dogodi na krivini Kombinacija relativno velike bo ne sile L i smanjene vertikalne sile V Velika bo na sila obi no nastaje pri velikom uglu skretanja (odn. napadnom uglu) to ka Uti e radijus krivine trase, lokalni uslovi povr²ina ²ine i to ka, karakteristike ve²anja obrtnog postolja, brzina kretanja voza, itd. Nadalova L/V formula (posmatra se samo jedan to ak)

74 Napadni ugao to ka u odnosu na ²ine

75 Faze penjanja to ka na ²inu

76 Nadalova formula - samo jedan to ak se posmatra

77 Modeliranje kretanja ²inskih vozila "Penjanje" to ka na ²inu - Nadalova formula (1908) Kontakt to ka i ²ine se realizuje na an²i to ka i bo nom delu glave ²ine Sile kojima to ak deluje na ²inu, V i L (vertikalna i horizontalna sila) su u ravnoteºi sa reakcijama ²ine N i F Ako je ugao nagiba an²e to ka jednak α, a µ koecijent trenja izmežu to ka i ²ine, onda moºe da se izvede relacija (Nadal, 1908) L V = tan α µ 1 + µ tan α

78 Nadalova formula - zavisnost od upadnog ugla

79 Ispadanje to ka usled bo nog ²irenja koloseka

80 Ispadanje to ka usled bo nog ²irenja koloseka

81 Ispadanje to ka usled preturanja ²ine

82 Primer labavog pri vrsnog sistema

83 Bo no klizanje celog koloseka

84 Ispadanje iz ²ina usled vijuganja

85 : odron kamenja