matka 59 str

atka E-mail Matke: matka@math.hr Web stranica Matke: www.math.hr/matka NAGRADNI NATJE»AJ BROJ 55 Ne mijenjajuêi redoslijed znamenaka 1 2 3 4 5 6 7 8 9, izmeappleu svakih dviju od njih upiπite znak raëunske operacije tako da konaëni rezultat bude 2007. Odgovore πaljite iskljuëivo na dopisnicama na adresu: Uredniπtvo atke (za nagradni natjeëaj broj 55) 10002 Zagreb BijeniËka cesta 30 p.p. 335 Uz ime i prezime te mjesto stanovanja navedite πkolu, razred i kuênu adresu. Rjeπenja se primaju do kraja lipnja 2007. godine. Na istu adresu do kraja lipnja 2007. godine primamo i rjeπenja strip zadatka Koliko ima godina? s posljednje stranice, koja Êemo posebno nagraditi. Dobitnici nagrada bit Êe odreappleeni izvlaëenjem. Rezultate Êemo objaviti u broju 61. Rjeπenje nagradnog zadatka broj 53 potraæite na stranici 214. Glavni i odgovorni urednik: Petar MladiniÊ (Zagreb) PomoÊnica glavnog urednika: Renata Svedrec (Zagreb) Urednice: Nikol RadoviÊ (Sisak), Tanja Soucie (Zagreb) GrafiËki i likovni urednik: Ninoslav Kunc (Zagreb) Lektorica: Ivana BabiÊ (Zagreb) Ornamenti: Darko ÆubriniÊ (Zagreb) Korektorica: Ivana KokiÊ (Dugi Rat) Crteæi: Sanja BoljeviÊ (Zagreb) Redakcijski kolegij: Luka»elikoviÊ (Osijek), Vladimir Devidé (Zagreb), Blaæenka Divjak (Varaædin), Jasenka uroviê (Rijeka), Marija Golac (Zagreb), Ines Kniewald (Zagreb), Zdravko Kurnik (Zagreb), Anappleelko MariÊ (Sinj), Maja MariÊ (Zagreb), Margita PavlekoviÊ (Osijek), Mate Prnjak (Knin), Marija Rako (Zagreb), Zvonimir ikiê (Zagreb), Nikica UgleπiÊ (Split), Vladimir Volenec (Zagreb), Petar VranjkoviÊ (Zadar) Slog i prijelom: Alegra d.o.o. Zagreb Tisak: TISKARA ZELINA d.d. Sv. Ivan Zelina Æiro-raËun HMD-a (za Matku): 2360000-1101530802 Devizni raëun: ZagrebaËka banka d.d. Zagreb SWIFT ZABA HR 2X, account no. 2500-03688780 (za Matku). Cijena pojedinog primjerka je 20 kn, za inozemstvo 5 eura. Godiπnja je pretplata 60 kn, za europske zemlje 20 eura, za ostale 40$. Ovaj je broj Ëasopisa izaπao uz potporu Ministarstva znanosti, obrazovanja i πporta Republike Hrvatske. atka 15 (2006./2007.) br. 59

izlazi tijekom πkolske godine u Ëetiri broja atka Ëasopis za mlade matematiëare SADRÆAJ Izdaje osnivatelj HRVATSKO MATEMATI»KO DRU TVO Zagreb, BijeniËka 30»lanci Nikol RadoviÊ, Inverzne iluzije...............................146 Vladimir Devidé, Torus II...................................152 Jelena GusiÊ, Brojimo sjemenke..............................155 Vlado StoπiÊ, Trapez II.....................................156 Æeljko BrËiÊ, O matematici na televiziji........................160 Æeljko Boπnjak i Sanja Varoπanec, Konstrukcije trokuta pomoêu sliënosti.........................164 MatemagiËar Franka Miriam Brückler, Trik s papirnatom trakom...............167 Intervju Lucija GusiÊ, Koen Stulens..................................170 Povijest Tanja Soucie, Georg Mohr..................................172 Æeljko Buranji, Zadatci s vremensko-prostornih meridijana.........173 Brojevi i poëetci matematike.................................174 Kutak za kreativni trenutak Mozgalica TO»KE...........................................175 Kriæaljke za atkaëe........................................176 Enigmatka.................................................180 Natjecanja Regionalno natjecanje uëenika 4., 5. i 6. razreda osnovnih πkola.....182 Zadatci za atkaëe poëetnike.................................187 Odabrani zadatci............................................191 Iz svijeta Natjecanje George Mohr.......................................194 Sudoku....................................................196 RaËunala Ivana KokiÊ, Koordinatni sustav i analiza podataka...............197 Tvrtko TadiÊ, Dobar postupak - netoëan rezultat.................201 Matematika i πah Siniπa Reæek, SkakaËev kruæni put............................203 Rjeπenja zadataka...........................................206 Kutak za najmlaapplee...........................................216 atka 15 (2006./2007.) br. 59 145

INVERZNE ILUZIJE Nikol RadoviÊ, Sisak Pri promatranju svijeta oko sebe najëeπêe smo licem okrenuti prema objektu/predmetu. No, πto bi bilo kada bismo sve predmete/objekte promatrali i naopako? Bi li to znaëilo da Êe predmeti/objekti visjeti/lebdjeti u zraku? "Naopak" pogled osnovna je karakteristika osme skupine geometrijskih iluzija, tzv. inverznih iluzija. Prema πkolskom RjeËniku stranih rijeëi lat. invertere znaëi izvrnuti ili okrenuti. Slika 1. Reprodukcija igraêih karata, slika 1., proizvedenih u Francuskoj na prijelazu iz 17. u 18. stoljeêe tipiëan je primjer inverznih iluzija. Sve slike (kraljevi, dame i deëki) su jednake. Naime, par oëiju odreappleuje deset razliëitih lica; pri Ëemu je puno lice, dva profila u bijelom, dva profila u crnom relativno lako naêi. No joπ ih nedostaje pet. Pokuπajte otkriti gdje se skrivaju! Na slici 2. moæete vidjeti princezu. Okretanjem slike ( atke), gle Ëuda, princeza postade dama u godinama. Slika 2. IduÊe slike prikazuju inverzne iluzije. Pokuπajte otkriti tko (ili πto) se na njima skriva. Slika 3. Sudac ili gimnazijalac? Slika 4. Konj ili vojnik? Slika 5. Sretno ili tuæno lice? 146 atka 15 (2006./2007.) br. 59

Slika 6. Student ili profesor? Slika 7. Gospodin ili gospoapplea? Slika 8. Mornar ili vlastelin? Slika 9. Ljut ili veseo? Slika 10. Slika 11. Muπkarac ili æena? Slika 12. Mladi ili stari par (I)? Slika 13. Mladi ili stari par (II)? Slika 14. Cirkus ili klaun? Slika 15. Plamenac ili slon? atka 15 (2006./2007.) br. 59 147

Slika 16. Pomaæe li isto okretanje slike i pri promatranju slike 16.? Jesu li crni dijelovi (na slici) olujni oblaci iznad bijelih oblaka ili su bijeli dijelovi (na slici) zastori u kazaliπtu, pri Ëemu je scena u mraku (crni dio)? Dilema, zar ne? Iluzija na slici 16. nastala je kombinacijom inverzne i prikrivene iluzije ( atka 51.) Iluzija na slici 17., primjer je iluzije nastale kombinacijom inverzne i neodreappleene iluzije ( atka 50.). Na prvi pogled moæete vidjeti Georgea i Marthu Washington koji kroz prozor promatraju vojnike. No, okretanjem slike ( atke), gle Ëuda, oni postadoπe prvi ameriëki predsjednik Washington. Joπ jednom paæljivo pogledaje sliku 17. Zanemarite oëito Marthu i Georgea Washingtona. UoËit Êete konture prvog ameriëkog predsjednika kako "dubi" na glavi. Slika 17. Na slici 18. prikazan je govornik. Promijenom perspektive, tj. okretanjem slike, govornik postade profil Abrahama Lincolna. Slika 18. Marketing i iluzije? Najbolji primjer je inverzna iluzija na slici 19. Joker iz igraêih karata na naljepnici πkotskog viskija sugerira da konzumiranje viskija u velikim koliëinama utjeëe na raspoloæenje. Slika 19. 148 atka 15 (2006./2007.) br. 59

Ponekad slova i brojevi koji se Ëine simetriënima, okretanjem to viπe nisu. Pogledajte sliku 20. to moæete reêi o brojkama 8 i slovima S na toj slici? Jesu li simetriëni? to se dogaapplea ako sliku okrenete? Slika 20. Promotrimo sliku 21. ProuËavajuÊi prikrivene iluzije ( atka 51.) zakljuëili smo da je povrπina vode pozadina za kopno na kartama. ZnaËi, na slici 21. je karta. No, karta Ëega? To je veê problem. Pokuπajte okretanjem atke!? Slika 21. Inverzne iluzije inspirirale su i izdavaëe magazina Omni pri organiziranju natjeëaja. Zadatak natjeëaja bio je naêi rijeëi koje se pri okretanju ne mijenjaju veê ostaju iste. Na slikama 22. i 23. su neke od rijeëi tog svojstva. Postoje li u hrvatskome jeziku rijeëi sa sliënim svojstvom? Razmislite. Slika 22. Slika 23. atka 15 (2006./2007.) br. 59 149

Paæljivo pogledajte sliku 24. Treba li i nju okretati kako bismo otkrili πto se na njoj skriva? Slika 24. Do sada smo imali primjere inverznih iluzija koje su nastale kombinacijom s prikrivenim odnosno neodreappleenim iluzijama. Na slici 25. je iluzija dobivena je kombinacijom nemoguêe ( atka 53.) i inverzne iluzije. Slika 25. Znano je da Ëovjek posjeduje sposobnost prepoznavanja razliëitih lica. Bilo da se ta lica nalaze na karikaturama, u stripovima, ili ih netko imitira. Prepoznavanje olakπavaju oblik nosa, oëiju, usta ili neka druga karakteristika. Provjerite svoju sposobnost prepoznavanja nekih poznatih liënosti na 150 atka 15 (2006./2007.) br. 59

iduêim slikama. Je li problem to πto su slike okrenute naopako ili ne? Ugodnu zabavu. Slika 26. A - Elizabeth Taylor, B - Richard Nixon, C - Ronald Reagan, D - Elvis Presley, E - Jimmy Carter, F - George Bush, H - Clark Gable. Sve slike iz ovog Ëlanka moæete naêi na sljedeêim Internet adresama: http://otica.fateback.com/thduas.html/11.01.2007./ http://home.tiscali.be/planetperplex/en/upside_down_faces.html/11.01.2007./ http://grand-illusions.com/15.01.2007./ http://members.lycos.nl/13.01.2007./ http://www.ilusaodetica.com/15.01.2007./ http://www34.brinkster.com/13.01.2007./ http://lookmind.com/illusions.php?cat=8/15.01.2007./ http://media.log-in.ru/i/flamingo_or_elephant.jpg/15.01.2007./ atka 15 (2006./2007.) br. 59 151

TORUS II. Vladimir Devidé, Zagreb 4. Obujam i oploπje torusa*. Obujam i oploπje torusa moæemo lako izraëunati ako znamo Guldinova pravila za obujam i oploπje rotacijskih tijela. Ona glase: slika 6. slika 7. I. Obujam V tijela T, koje nastaje rotacijom lika L u ravnini w oko nekog pravca p te ravnine (uz uvjet da je L Ëitav u jednoj od poluravnina od w odreappleenih sa p), iznosi V= P$ 2r d, gdje je P ploπtina lika L, a d udaljenost teæiπta lika L od pravca p ( 2rd je, dakle, put πto ga teæiπte lika L opiπe prilikom jednog punog okreta lika L oko pravca p). II. Oploπje O tijela T iznosi O= S$ 2rd, gdje je S duljina rubne krivulje K lika L, a d udaljenost teæiπta krivulje k od pravca p (2rd je, dakle, put πto ga teæiπte krivulje K opiπe prilikom jednog punog okreta lika L oko pravca p). Za torus je P= r 2 r, S= 2rr i, kako se teæiπte kruga i njegova ruba (kruænice) poklapa se srediπtem kruga, d = d = R. Odatle za obujam V i oploπje O torusa dobivamo: 2 2 2 V= r r$ 2rR= 2r r R, O= 2rr$ 2rR= 4r 2 rr. Posebno je, za graniëni sluëaj torusa kojemu je R 2 3 2 2 V= 2r r, O= 4r r. = r: 5. Topoloπka svojstva torusa. Razmotrimo joπ neka svojstva povrπine torusa koja su topoloπkog karaktera, tj. - grubo govoreêi - ne ovise o njenim neprekinutim deformacijama: drugim rijeëima, ostaju saëuvana ako se povrπina torusa bilo kako steæe ili rasteæe, ali bez kidanja (na primjer, povrπina torusa na sl. 6. "topoloπki je ekvivalentna" povrπini iz sl. 7.). Popularno bi se moglo reêi da je topologija (u ovom smislu) "geometrija gume". * Usp. atka br. 56. Guldinovi stavci 152 atka 15 (2006./2007.) br. 59

a) Sve paralele torusa su na njemu "topoloπki ekvivalentne" u smislu da se neprekinutim deformiranjem i gibanjem po povrπini torusa mogu prevesti jedna u drugu. Isto vrijedi i za meridijane, a i za treêu i Ëetvrtu obitelj kruænica na torusu (usp. 3). Meappleutim, paralele nisu u ovom smislu na torusu "topoloπki ekvivalentne" niti s meridijanima, niti s kruænicama treêe ili Ëetvrte obitelji, jer ih, kao πto se lako moæemo uvjeriti, neprekinutim deformacijama i gibanjem po povrπini torusa ne moæemo prevesti jedne u druge. Ni kruænice treêe ili Ëetvrte obitelji nisu (u istom smislu) na torusu "topoloπki ekvivalentne" s meridijanima, a ni jedne s drugima. b) Zamislimo povrπinu torusa razrezanu duæ jedne paralele a i jednog meridijana b. Tada ga moæemo neprekinuto deformirati u pravokutnik (sl. 8.). Postupku ponovnog "spajanja", "zatvaranja" torusa "πivanjem" rezova a i b odgovara "identificiranje" (po definiciji) nasuprotnih toëaka u pravokutniku, kako je to oznaëeno na sl. 8. Pravokutnik s tako identificiranim parovima rubnih toëaka moæe posluæiti kao "topoloπki model" torusa. slika 8. c) Za kuglu (i ravninu) postao je glasovitim problem Ëetiriju boja. Radi se o ovom pitanju: Koliki je najmanji broj boja s kojim Êe se bilo kakva dana "zemljopisna karta" na kugli (ili ravnini) moêi obojiti tako da svaka dva podruëja (dvije "zemlje"), koja imaju zajedniëku granicu (a ne moæda samo zajedniëke graniëne toëke), budu uvijek obojena razliëitim bojama? Dokazano je da je s pet boja uvijek moguêe provesti bojenje na traæeni naëin, no nije se uspjela konstruirati ni jedna karta koja se ne bi mogla "propisno" obojiti i s Ëetiri boje. Meappleutim, tek je u novije vrijeme dokazano da se svaka karta moæe propisno obojiti s najviπe Ëetiri boje. slika 9. slika 9.a atka 15 (2006./2007.) br. 59 153

Zanimljivo je da je za "kompliciraniju" povrπinu torusa odgovarajuêi problem propisnog bojenja veê dugo do kraja rijeπen: Sa sedam boja moæe se propisno obojiti svaka karta na torusu, ali ima i karata koje se s manje od sedam boja ne mogu propisno obojiti. Ispravnost drugog dijela ove tvrdnje daje primjer karte koja se sastoji od sedam podruëja, od kojih svako graniëi sa svih πest ostalih - pa je takvu kartu oëito nemoguêe propisno obojiti s manje od sedam boja. Jedna takva karta dana je na sl. 9. skicom na topoloπkom modelu (prema b) torusa. (Istim brojevima oznaëeni su dijelovi istog - identifikacija rubova! - podruëja.) Sl. 9. a pokazuje kako to izgleda na torusu. slika 10. d) U gumenoj povrπini torusa izreæimo otvor, zahvatimo kroz taj otvor Ëitavu "utrobu" torusa i, izvukavπi je kroz otvor, "iskrenimo" torus. Nakon toga zatvorimo opet torus. Kakva je po obliku povrπine time nastala? Sl. 10. daje "topoloπki model" torusa s otvorom. Ako ga izvrnemo preko otvora na naëin koji odgovara opisanom iskretanju torusne povrπine, dobit Êemo opet isti pravokutnik, samo Êe mu prednja i straænja strana biti izmijenjene. Ako nakon toga opet zatvorimo otvor, dobit Êemo opet topoloπki model torusa. Prema tome, traæena povrπina i opet je povrπina torusa, koja se od polazne razlikuje u tome πto je vanjska strana polazne postala unutarnja strana dobivene i obrnuto, i πto su meridijani polazne preπli u paralele dobivene i obratno. e) Uzmimo da je πahovska ploëa "povezana" na naëin koji odgovara identificiranju rubova kod pravokutnika koji smo u b) uveli kao "topoloπki model" torusa. Ako se kraljica nalazi na polju b3 (sl. 11.), koja sva polja (inaëe prazne slika 11 slika 12 ploëe) ona napada? Naravno, smatramo da se kraljica moæe gibati i preko rubova ploëe onako kako bi to bio sluëaj da je ploëa "namotana" na torus. Rjeπenje daje sl. 12. 154 atka 15 (2006./2007.) br. 59

BROJIMO SJEMENKE Jelena GusiÊ, Zagreb Danica je odmah zapoëela priëati: Neki dan slavila sam roappleendan. Prvi su doπli Ante i Jurica, a onda i moje dvije prijateljice joπ iz vrtiêkih dana. Dok smo Ëekali ostale, sjetila sam se πto mi je Dave priëao proπlo ljeto kad je bio u Hrvatskoj na ljetovanju, pa sam im to ispriëala. Zamislite, jednog im je dana doπao nastavnik matematike, svakome dao vreêicu sjemenki i papir na kojemu je bila nacrtana krivulja, te rekao da bace sadræaj vreêice iznad krivulje. Dok sam to priëala, ono Ëetvero me Ëudno gledalo, ali im ne zamjeram; nisam ni ja vjerovala Daveu dok je priëao. Ipak su Ëekali da Ëuju πto Êe dalje biti. E, pa zadatak uëenika je bio da prebroje sjemenke koje su pale na oznaëeni dio ispod krivulje, odnosno koliko ih je ukupno palo ispod krivulje i odrede omjer tih brojeva. Dave je rekao da su nakon brojanja bili iznenaappleeni koliko je teorija blizu realnosti i kako je sve to povezano s Teoremom o velikim brojevima koji su uëili iz statistike. Kad sam zavrπila priëu, svatko je imao komentar. Ana je rekla da bi ona rado iπla u Ameriku pa da na satima matematike broji sjemenke; Jurica se Ëudom Ëudio πto se na satu matematike ima iπta brojati... Na kraju su odluëili brojanjem prekratiti vrijeme dok doappleu drugi. U knjizi sam naπla krivulju. Ante ju je nacrtao uveêanu, pa smo πaku nekih okruglastih sjemenki bacili po papiru i poëeli brojati. Kako su ostali gosti poëeli pristizati svi su poæeljeli provesti taj ameriëki. eksperiment, a i vidjeti kakva je to matematika s brojanjem. Skupili smo dosta rezultata, jer su neki i viπe puta tijekom veëeri bacali sjemenke. Ante je poëeo objaπnjavati πto ti rezultati znaëe, ali ne bih sad o detaljima. Najbolje da MatkaËi sami naprave pokus. Zaπto ne biste posluπali Danicu? Evo vam nacrtane slike, pa je poveêajte tako da bude veliëine velike biljeænice. Uzmite neke male sjemenke, kamenëiêe, ili neπto po vaπem izboru, ali da nije veliko, da su svi sliëne veliëine i da moæete brojati. Trebate ih imati viπe, najmanje stotinjak. Potom odredite omjer broja predmeta na potamnjenom dijelu u odnosu na ukupan broj predmeta koji su ispod krivulje (one koji su otiπli izvan ne brojite). Pa kad veê brojite, moæete odrediti i omjer ukupnog broja na svjetlijem i tamnijem dijelu u odnosu na ukupan broj ispod krivulje. Sva bacanja bi trebala rezultirati sliënim omjerima. Bacajte viπe puta i poπaljite nam vaπe rezultate, pa Êemo vidjeti je li i kod MatkaËa realnost u skladu s teorijom! atka 15 (2006./2007.) br. 59 155

TRAPEZ II. Vlado StoπiÊ, Zagreb Trapez je po mnogo Ëemu poseban lik. U to Êemo se uvjeriti i u sljedeêim zadatcima...* Zadatak 5. Dokaæi da sjeciπte dijagonala trapeza, toëka u kojoj se sijeku pravci koji sadræe krakove trapeza i poloviπta obiju osnovica trapeza pripadaju jednom pravcu. Rjeπenje. Neka su AB i CD osnovice trapeza ABCD, toëka M presjek pravaca AD i BC, toëka S presjek dijagonala trapeza i neka su toëke E i F presjek pravca pravca MS s osnovicom CD odnosno AB. Rijeπimo zadatak metodom sliënih trokuta. D DE ME 1. Zbog sliënosti DMDE~ DMAF vrijedi razmjer =. AF MF EC ME 2. Zbog sliënosti DMEC~ DMFB vrijedi razmjer =. FB MF Kako su desne strane ovih dvaju razmjera jednake, nuæno slijedi i jednakost njihovih lijevih strana, tj. = EC DE AF FB ili DE AF =. EC FB DE SE 3. Zbog sliënosti DSED~ DSFB vrijedi razmjer =. FB SF EC SE 4. Zbog sliënosti DSEC~ DSFA vrijedi razmjer =. AF SF I ovdje zbog jednakosti desnih strana dvaju razmjera slijedi jednakost njihovih lijevih strana, tj. = EC DE FB AF ili DE FB =. EC AF DE AF DE FB M Dobiveni razmjeri = i = EC FB EC AF imaju jednake lijeve strane, a to znaëi da su im jednake i desne strane, tj. =. Iz toga slijedi da FB AF AF FB 2 2 E C je AF = FB, a zbog AF > 0 i FB > 0 dobivamo da je AF = FB. S A F B * Nastavak Ëlanka iz atke broj 57. 156 atka 15 (2006./2007.) br. 59

Dalje, iz dobivenog razmjera DE AF EC = nakon zamjene za AF = FB FB DE EC dobivamo razmjer =. Kako su to dva jednaka razlomka jednakih AF AF nazivnika, nuæno slijedi da su im jednaki i brojnici, tj. DE = EC. Time smo dokazali da je toëka E poloviπte stranice CD, a toëka F poloviπte stranice AB, a to znaëi da dane Ëetiri toëke pripadaju jednom pravcu. Zadatak 6. a) Dokaæite da se u svakom trapezu simetrale kutova koji leæe uz jedan krak sijeku pod kutom od 90. b) Dokaæite da u svakom trapezu sjeciπte simetrala kutova uz jedan krak leæi na srednjici tog trapeza. D C Rjeπenje. a) Neka su AB i CD osnovice trapeza ABCD. Neka je E BAD = a, E CDA = d. Neka je toëka S presjek simetrala kutova EBAD i E CDA. Tada je E DAS = a 2, a E ADS = d 2. BuduÊi da je a+ d = 180c, jer su to kutovi uz presjeënicu AD, slijedi da je a 2 + d 2 = 90c. Primjenom pouëka o zbroju kutova u trokutu na trokut ADS vrijedi jednakost a 2 + d 2 + EASD = 180c, ili 90c+ EASD = 180c, tj. EASD = 90c, a to je i trebalo dokazati. A S B b) Neka su AB i CD osnovice trapeza ABCD. Neka je toëka M poloviπte kraka AD, a toëka N poloviπte kraka BC. Tada je duæina MN srednjica trapeza ABCD. Nacrtamo simetralu kuta E ADC. Neka je toëka E presjek simetrale kuta EADC i srednjice MN, a toëka F presjek te iste simetrale i osnovice AB trapeza ABCD. Zbog AM = MD i MN AB, zakljuëujemo da je toëka E poloviπte duæine DF, D C tj. DE = EF (vidi atku br. 29, Odabrani zadatci, zadatak M E N 426. b). Osim toga je EAFD = ECDF, jer su to dva πiljasta kuta uz presjeënicu DF. Zbog EADF = ECDF, prema definiciji simetrale kuta slijedi da je EAFD = EADF. To znaëi da je trokut AFD jednakokraëan s osnovicom DF, pa je A F B AF = AD. Pri tomu je toëka E poloviπte osnovice jednakokraënog trokuta AFD. BuduÊi da je pravac koji spaja vrh jednakokraënog trokuta nasuprot osnovice s poloviπtem osnovice ujedno i simetrala tog trokuta, zakljuëujemo da je pravac AE simetrala kuta E FAD, tj. EBAD trapeza ABCD. Time smo atka 15 (2006./2007.) br. 59 157

dokazali da se simetrala kuta EBAD i simetrala DF kuta EADC ABCD sijeku u toëki E koja leæi na srednjici trapeza ABCD. trapeza D S Iz Ëinjenice da trapez ima dvije stranice usporedne, slijede neka zanimljiva svojstva u vezi s povrπinom trapeza. Zadatak 7. Dan je trapez ABCD kojemu su AB i CD osnovice i toëka S sjeciπte njegovih dijagonala. Dokaæite da je pads ( ) = pbcs ( ). Rjeπenje. Lako se pokaæe da trokuti ABD i ABC imaju jednaku povrπinu. Naime, oba trokuta imaju zajedniëku stranicu AB, a zbog CD AB slijedi da oni imaju i jednaku visinu. Osim toga, oba navedena trokuta imaju zajedniëki dio, tj. trokut ABS. Zato vrijede redom ove jednakosti: C pabd ( ) = pabc ( ), pabd ( )- pabs ( ) = pabc ( )- pabs ( ), tj. pads ( ) = pbcs ( ), a to je i trebalo dokazati. A B Zadatak 8. Dan je trapez ABCD kojemu su AB i CD osnovice. Ako je toëka M poloviπte kraka BC, onda je povrπina trokuta AMD jednaka polovini povrπine trapeza ABCD. Dokaæite. A D C p K Rjeπenje 1. ToËkom M nacrtamo pravac p tako da je p AD. Neka je toëka K presjek pravca p i pravca AB i neka je toëka L presjek pravca p i pravca CD. Tada je Ëetverokut AKLD paralelogram. Dokaæimo da je DKBM, D LCM. Naime, BM = MC prema uvjetu zadatka, EKMB = ECML jer su to vrπni kutovi i EKBM = ELCM jer su to kutovi uz presjeënicu KL. Iz dokazane sukladnosti trokuta slijedi da je pkbm ( ) = pcml ( ). To znaëi da paralelogram AKLD i trapez ABCD imaju jednaku povrπinu, tj. M pakld ( ) = pabcd ( ). Kako trokut AMD i paralelogram AKLD imaju zajedniëku stranicu AD i jednaku visinu, zakljuëujemo da je povrπina trokuta AMD jednaka polovini povrπine paralelograma B AKLD, tj. pamd ( ) = 2 1 pakld ( ), a to znaëi da je pamd ( ) = 2 1 pabcd ( ). 158 atka 15 (2006./2007.) br. 59

Rjeπenje 2. Neka je toëka E presjek pravca DM i pravca AB. Dokaæimo da je DBME, D CMD. Naime, BM = CM prema uvjetu zadatka, EBME = ECMD jer su to vrπni kutovi i EMBE = EMCD, jer su to kutovi uz presjeënicu BC. Iz dokazane sukladnosti trokuta slijedi da je EM = MD i pbme ( ) = pcmd ( ). To znaëi da trokut AED i trapez ABCD imaju jednaku povrπinu, tj. paed ( ) = pabcd ( ). Kako je duæina AM teæiπnica trokuta AED, slijedi da je pamd ( ) = 2 1 paed ( ), a to znaëi da je pamd ( ) = 2 1 pabcd ( ). D C M A B E Zadatci 9. U svakom je trapezu zbroj duljina krakova uvijek veêi od razlike duljina njegovih osnovica. Dokaæite. 10. Konstruirajte trapez ABCD, kojemu su AB i CD osnovice, ako je zadano: AB = a, CD = c, AC = e, BD = f, pri Ëemuje c< a. 11. Dokaæite ovaj kriterij jednakokraënog trapeza: Ako dijagonale trapeza imaju jednaku duljinu, onda je taj trapez jednakokraëan. 12. Dan je trokut ABC. ToËkom D na stranici BC, koja nije poloviπte stranice BC, nacrtajte pravac p koji dijeli trokut ABC na dva dijela jednakih povrπina. 13. Dokaæite da je duæina koja spaja poloviπta dijagonala trapeza usporedna s osnovicama trapeza i da je duljina te duæine jednaka polurazlici duljina osnovica tog trapeza. Nagradit Êemo svakog MatkaËa koji nam poπalje rjeπenja najmanje triju postavljenih zadataka. atka 15 (2006./2007.) br. 59 159

O MATEMATICI NA TELEVIZIJI Æeljko BrËiÊ, Vinkovci Matematika na televiziji? I povrπni pratitelji zbivanja na malom ekranu znaju da je matematike na domaêim televizijama malo. Jedan moj prijatelj kaæe da je to logiëno jer je cilj televizijskih emisija privuêi, a ne odbiti gledatelje. No, ako je matematika omraæeni predmet u πkoli, mora li biti izgnana s TV ekrana? Postoji li naëin da se matematika pribliæi televizijskim gledateljima?»lanak koji Ëitate ne daje odgovore na ta pitanja, ali govori o primjeru kako ne treba raditi. Postoji kviz na jednoj domaêoj televiziji u kojemu simpatiëna voditeljica postavi pitanje, a gledatelji, pozivom na telefonski broj s posebnom tarifom, pokuπavaju toëno odgovoriti i tako zaraditi nekoliko stotina kuna. Jednom sam, nakratko, pogledao emisiju i primijetio pitanje o broju trokuta na prikazanoj slici. Bio sam zadovoljan Ëinjenicom da se i matematika poëela pojavljivati u takvim kvizovima, no kada sam se, za otprilike pola sata, ponovno vratio na isti kanal moje je zadovoljstvo splasnulo. Vidio sam istu voditeljicu, istu sliku i isto pitanje. Niπta se nije promijenilo ni u iduêih pola sata. Izbezumljena voditeljica stalno je ponavljala: Koliko trokuta vidite na slici? Razmislite malo. Æelim samo toëan odgovor!. Na njenu æalost, gledatelji su redom odgovarali pogreπno. Nekoliko minuta prije podneva, nakon puna dva sata igre, voditeljica je odluëila pomoêi otkrivajuêi drugu znamenku 1. Kako ni to nije upalilo, a curile su posljednje sekunde koje su programskom shemom predviappleene za emisiju, voditeljica je dala posljednju uputu: ili je 61 ili je 71. Prvi gledatelj koji se javio rekao je 71, izmuëena voditeljica brzo mu je Ëestitala i odjavila emisiju, a ja sam ostao u πoku. Ne samo zbog porazne Ëinjenice da ni jedan gledatelj nije mogao, u puna dva sata, prebrojati neke trokute, nego joπ viπe zbog spoznaje da je odgovor koji je mlaappleahna voditeljica ponudila bio pogreπan. Pitanje na koje je trebalo u emisiji odgovoriti glasilo je: Koliko trokuta vidite na slici? 160 atka 15 (2006./2007.) br. 59

Odgovor na ovo pitanje bilo je moguêe dobiti na viπe naëina, a u ovom Ëlanku pokazat Êu tri naëina: pogaappleanje, prebrojavanje i raëunanje. Najjednostavnije bi bilo sluπati ostale gledatelje, eliminirati njihove netoëne odgovore i tako, metodom pokuπaja i pogreπaka, doêi do ispravnog rjeπenja. Da su gledatelji za odgovor nudili redom sve prirodne brojeve od 1 pa nadalje uz prosjek od 4 javljanja u minuti do broja 71 doπli bi veê za dvadesetak minuta, a do toënog rezultata i prije. Na æalost, u njihovim odgovorima nije bilo nikakvog sustava, pa je i voditeljica u jednom trenutku zavapila: Nemojte mi viπe govoriti 13. Taj sam odgovor Ëula barem sedam puta. Drugi naëin rjeπavanja zadatka sastoji se u prebrojavanju trokuta koji su prikazani na slici. Naravno, i tu mora postojati nekakav sustav, jer je vrlo lako previdjeti neki trokut ili pak neki drugi ubrojiti viπe puta. Zato je dobro obiljeæiti (primjerice, brojevima od 1 do 9) likove koje smo dobili "rezanjem" velikog pravokutnog trokuta (jedan je Ëetverokut, a svi ostali su trokuti), te slaganjem dvaju, triju, itd likova promatrati dobivamo li trokute ili ne. 7 8 6 2 9 5 3 4 1 Rezultati takvog prebrojavanja trokuta prikazani su u tablici (napomena: oznaka 234 znaëi da je trokut sastavljen od tri mala trokuta broj 2, 3 i 4): Od koliko likova su trokuti sastavljeni: 1 2 3 4 5 9 Od kojih su likova sastavljeni: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 23, 28, 34, 39, 45, 67, 78, 89 234, 278, 369, 569, 589 1234, 1278, 2389 34569, 56789 123456789 Koliko ima takvih trokuta: 8 8 5 3 2 1 atka 15 (2006./2007.) br. 59 161

Dakle, osim jednog velikog (pravokutnog) trokuta i 8 malih trokuta unutar njega, postoji joπ 18 trokuta koji se dobiju promatrajuêi zajedno po dva, tri, Ëetiri ili pet dijelova velikog trokuta. Prema tome, na slici se ukupno vidi 27 trokuta. TreÊi naëin rjeπavanja zadatka je raëunanje, odnosno primjena matematiëkog naëina miπljenja. Tim putem Êemo ujedno pokazati kako je voditeljica doπla do broja 71, te objasniti zaπto taj broj ne predstavlja toëan rezultat. A D B G H E I F C Na slici smo sva sjeciπta duæina (ima ih 9) oznaëili slovima od A do I. Ako spojimo tri toëke dobijemo jedan trokut. Pitanje je, dakle, na koliko naëina moæemo od 9 prikazanih toëaka izabrati 3 toëke? Prvu toëku moæemo izabrati na 9 naëina (to moæe biti bilo koja toëka), drugu na 8 naëina (prvu izabranu toëku moæemo spojiti sa svakom drugom toëkom, osim s njom samom), a treêu na 7 naëina (sve, osim prve dvije izabrane toëke). Prema poznatom pouëku o prebrojavanju, koji se Ëesto koristi i u osnovnoj πkoli, ukupan broj naëina na koji moæemo izabrati 3 od 9 toëaka je: 9$ 8$ 7= 504. Ukupan broj trokuta 6 puta je manji jer, primjerice, svi izbori ABC, ACB, BAC, BCA, CAB i CBA (a isto vrijedi i za bilo koju drugu trojku) vode do istog trokuta ABC. Prema gornjem izraëunu, trokuta bi trebalo biti 504 : 6, odnosno 84, no taj rezultat nije toëan jer neke trojke leæe na istom pravcu pa uopêe ne tvore trokut. Sa slike se vidi da postoji pet pravaca (duæina) na kojima su po tri toëke (ABD, ACE, BCF, DEG i DFH), te dva pravca na kojima leæe po Ëetiri toëke (AGIF i BHIE). BuduÊi da od Ëetiri toëke moæemo sastaviti Ëetiri trojke, a od tri toëke samo jednu trojku, ukupan broj trokuta koji "ne postoje" je 162 atka 15 (2006./2007.) br. 59

2$ 4+ 1$ 5= 13. Ako taj broj oduzmemo od ranije izraëunatog broja 84, dobivamo da na slici postoji 71 trokut, πto je u emisiji ponuappleeno kao rjeπenje. No, trokuta na slici ipak ima znatno manje, odnosno u broj 71 uraëunati su i neki trokuti koji zapravo ne postoje. Od naπih bi se 9 toëaka zaista mogao napraviti 71 trokut, ali samo ako bismo sve toëke meappleusobno spojili. No, one na slici nisu sve spojene. Primjerice, trojka toëaka ACD ne odreappleuje trokut jer nije nacrtana duæina CD. Osim nje, nisu nacrtane ni duæine CG, CH, CI, AH, BG, DI i GH. zato je potrebno izraëunati koliko postoji trokuta kojima je stranica neka od tih duæina. Trokuta kojima je duæina AH jedna od stranica ima 7 jer te dvije toëke moæemo spojiti s bilo kojom od preostalih 7 toëaka. To isto vrijedi i za duæine BG i DI. Duæinu CD takoappleer moæemo spojiti s preostalih 7 toëaka, ali smo trokut CDI veê imali kada smo duæinu DI spojili s toëkom C, pa ga neêemo joπ jednom brojati. SliËna se stvar dogaapplea i s duæinama CG, CH, CI i GH, odnosno trokutima koje te duæine tvore. U donjoj su tablici pregledno prikazani svi trokuti koji "ne postoje", a ubrojeni su meappleu televizijsko rjeπenje od 71 trokuta: Duæina koja nije nacrtana AH BG DI CD CG CH CI GH Trokuti koji na slici ne postoje AHB, AHC, AHD, AHE, AHF, AHG, AHI BGA, BGC, BGD, BGE, BGF, BGH, BGI DIA, DIB, DIC, DIE, DIF, DIG, DIH CDA, CDB, CDE, CDF, CDG, CDH CGA, CGE, CGF, CGH, CGI CHB, CHE, CHF, CHI CIA, CIB, CIE, CIF GHD, GHE, GHF, GHI Ukupno: Trokuti koje smo veê ubrojili u nepostojeêe Broj nepostojeêih trokuta 7 CDI (DIC) 6 CGB (BGC), CGD (CDG) CHA (AHC), CHD (CDH), CHG (CGH) CID (DIC), CIG (CGI), CIH (CHI) GHA (AHG), GHB (BGH), GHC (CGH) 7 7 5 4 4 4 44 Ukupan broj trokuta koji su uraëunati u ranije naveden broj 71, a zapravo na slici ne postoje, je 44. Ako od 71 oduzmemo 44, dobivamo da trokuta zapravo ima 27, πto se slaæe s rezultatom dobivenim prebrojavanjem. atka 15 (2006./2007.) br. 59 163

KONSTRUKCIJE TROKUTA POMO U SLI»NOSTI Æeljko Boπnjak i Sanja Varoπanec, Zagreb U sedmom razredu susreêemo se sa sliënoπêu trokuta koja osim u raznim numeriëko-geometrijskim zadatcima ima primjenu i pri konstrukcijama trokuta i drugih figura. Naime, sliënost Êemo upotrijebiti u onim konstrukcijama trokuta koji meappleu zadanim elementima imaju ili: a) dva kuta trokuta ili b) omjer svih stranica ili c) omjer para stranica i jedan kut. Ilustrirajmo sva tri tipa zadataka kroz sljedeêe primjere. Primjer 1. Konstruirajmo trokut ako je zadano: a, b, t a. Analiza. Postoji beskonaëno mnogo trokuta koji se meappleusobno podudaraju u dva kuta a i b. Prema pouëku o sliënosti popularno zvanom K-K svi su ti trokuti meappleusobno sliëni. Meappleu svima njima treba naêi onaj kojemu je teæiπnica na stranicu a upravo sukladna zadanoj. Dakle, ideja je konstruirati bilo kakav trokut ABC l l l s kutovima a i b, te naêi njemu sliëan trokut s teæiπnicom t a. Konstrukcija. Dani elementi su: p B B' t a a b 1. Konstruiramo trokut ABC l l l s kutovima a i b i po volji odabranom stranicom AB l l. 2. Konstruiramo teæiπnicu AP l l iz vrha Al. A' 3. kat ( l, a ) + AP l l = { PP, 1}. P' C' 4. ToËkom P nacrtamo paralelu p sa stranicom BC l l. 5. p+ AB l l = { B}, p+ AC l ' = { C}. Trokut ABC l je rjeπenje zadatka. P C 164 atka 15 (2006./2007.) br. 59

Dokaz. Trokuti ABC l l l i ABC l su sliëni jer su im stranice BC l l i BC paralelne, te su prema pouëku o presjeënici kutovi s vrhom u B odnosno u Blsukladni, a isto tako sukladni su i kutovi s vrhom u Cl odnosno u C. BuduÊi da je trokut ABC l l l bio konstruiran tako da su mu kutovi E BAC l l l = a i E ABC l l l = b, slijedi da i njemu sliëan trokut ABC l ima ta dva kuta a i b. Osim toga, trokut ABC l je i konstruiran tako da mu je teæiπnica na stranicu a upravo jednaka zadanoj teæiπnici, pa slijedi da trokut ABC l ima upravo sve zadane elemente, tj. trokut ABC l je rjeπenje zadatka. % Rasprava. Zadatak ima jedinstveno rjeπenje ako je a+ b<180. Primjer 2. Konstruirajmo trokut ako je zadano: abc : : = 645 : :, va= 2 cm. Analiza. Prema pouëku o sliënosti trokuta S-S-S, dva su trokuta sliëna ako su im stranice proporcionalne. A' Dakle, bilo koji trokut ABC l l l kojemu se stranice odnose kao 5 k 4 k al: bl: cl = 645 : :, sliëan je traæenom trokutu ABC. Da bismo v ' a dobili upravo trokut s traæenom visinom, treba produljiti ili skratiti visinu na stranicu al trokuta ABC l l l na zadanih 2 cm. B' 6 k N' C' Konstrukcija. 1. Konstruiramo trokut ABC l l l sa stranicama duljine al= 3 cm, bl= 2 cm, cl= 25. cm. 2. Nacrtamo visinu AN l l iz vrha Al na nasuprotnu stranicu. 3. kav ( l, a ) + AN l l = { NN, 1}. 4. ToËkom N nacrtamo paralelu p sa stranicom BC l B' l. p 5. p+ AB l l = { B}, p+ AC l ' = { C}. B Trokut ABC l je rjeπenje zadatka. N' N A' C' C Rasprava. BuduÊi da stranice u danim omjerima zadovoljavaju nejednakosti trokuta, zadatak ima jedno rjeπenje. Primjer 3. Konstruirajmo trokut ako je zadano: c, ab : = 32 :, b+ c. Analiza. Prema pouëku o sliënosti trokuta S-K-S, svi trokuti koji imaju omjer stranica 3 : 2 i kut izmeappleu njih jednak zadanom c meappleusobno su sliëni. Ima ih beskonaëno mnogo, a meappleu njima treba naêi onaj kojemu je zbroj stranica b i c jednak danom zbroju. atka 15 (2006./2007.) br. 59 165

Konstrukcija. Dani elementi su: c 1. Konstruiramo trokut ABC l l l sa stranicama duljine al= 3 cm, bl= 2 cm i kutom c. 2. Stranice b i c odreappleujemo primjenom b+c Talesovog pouëka na duæinama bl+ cl i b+ c na sljedeêi naëin: Na polupravac Op nanesemo duæine AC l li AB l l. Time smo dobili toëke M l i Nl. Na drugi polupravac Oq nanesemo zadanu duæinu b+ c s krajnjom toëkom N. Spojimo toëke N i Nl, te toëkom M l nacrtamo paralelu s duæinom NNl. Ta paralela sijeëe polupravac Oq u toëki M i OM = b, MN = c. 3. Na pravac AC l l nanesemo duæinu duljine b; time je dobivena toëka C. 4. Na pravac AB l l nanesemo duæinu duljine c; time je dobivena toëka B. C C' A' B B' O b' M' c' N' b M b+c c N q p Rasprava. Zadatak ima jedinstveno rjeπenje. U treêem primjeru zadani kut nalazi se izmeappleu stranica kojima je omjer zadan. Postoje joπ dvije moguênosti: 1) zadani kut je kut nasuprot veêoj stranici od onih dviju stranica koje se pojavljuju u omjeru; 2) zadani kut je kut nasuprot manjoj stranici od onih dviju stranica koje se pojavljuju u omjeru. U prvom sluëaju zadatak ima jedinstveno rjeπenje, dok u drugom sluëaju zadatak moæe imati dva, jedno ili nijedno rjeπenje, ovisno o veliëini zadanih elemenata. Zadatci: Konstruirajte trokut ako je zadano: 1. ab,,v a, 2. bc,,a+ 2b, 3. ac,,t b, 4. abc : : = 753 : :, t a, 5. abc : : = 10: 6: 9, a+ vb, 6. ab : = 43 :, c, vc, 7. bc : = 13 :, c, a, 8. bc : = 13 :, b, tc. 166 atka 15 (2006./2007.) br. 59

MATEMAGI»AR MATEMAGIcAR TRIK S PAPIRNATOM TRAKOM Franka Miriam Brückler, Zagreb Danaπnja oprema Dagoberta je puno papirnatih traka (koje su popriliëno dulje nego πto su πiroke), πkara i selotejp. I iznenaappleenje: Dagobert danas ne treba dobrovoljca. Danas Êete svi biti moji dobrovoljci. Evo svakome papirnata traka i πkare! Dok dijeli papirnate trake, Dagobert dijeli i selotejp, govoreêi: Svatko neka zalijepi papirnatu traku u prsten. Imate izbor: napravite obiëni prsten ili pak prije lijepljenja jedan kraj trake zaokrenite jednom (tj. za 180 ) ili dvaput (tj. za 360 ). Verzija sa zaokretom za 180 trebala bi izgledati pribliæno ovako: Verzija sa zaokreotm za 360 izgleda sliëno, samo je viπe "zafrknuta". Sad kad svi imate svoje trake, primam oklade na koliko Êe se dijelova raspasti te trake ako ih reæete uzduæ i po sredini. Imamo odvojene kladionice za one s obiënim prstenovima, one s prstenovima s jednim i one s dva zaokreta. Dagobert je odluëio voditi kladionicu na ploëi. Svi (osim jednog) koji imaju obiëni prsten kladili su se da Êe se prsten raspasti na dva dijela. Taj jedan uëenik iznimka, Kreπo, u polusnu je promumljao: Tri dijela. Tablica klaappleenja za obiëne prstene dala je, dakle, omjer 10 : 1 (2 dijela : 3 dijela). Klaappleenje oko prstena s jednim zaokretom ispalo je bitno neizvjesnije. Dagobert je dobio omjer 2 : 13 (ostat Êe u komadu : dobit Êemo dva prstena). SliËno se dogodilo i s klaappleenjem oko prstena s dva zaokreta (omjer 2 : 7 za jedan odnosno dva dijela nakon rezanja). O.K. Sad prvo molim sve koji imaju obiëni prsten da ga razreæu uzduæ. Kreπo, probudi se i reæi! Nakon marljivog rezanja, svi su dobili po dva tanka prstena. ToËan odgovor postao je oëit i Kreπi koji se probudio dok je rezao. Ima li koga od onih s jednim zaokretom u prstenu da æeli izmijeniti svoje klaappleenje? Ne? Onda sad vi reæite! UËenici s prstenom s jednim zaokretom reæu, dakle, uzduæ linije oznaëene atka 15 (2006./2007.) br. 59 167

toëka-crtom na iduêoj slici: Nakon malo vremena, rezultati su iznenaappleujuêi: svima je traka ostala u * komada! Ne- Êemo otkriti koliko je *. Probaj sam/a! Ima li sad izmjena oklada u treêoj grupi? Oni s trakom s dvostrukim zaokretom? Dvoje je odluëilo promijeniti svoju okladu: jedan koji je prije tvrdio da Êe traka ostati u komadu promijenio je okladu na dva dijela, a jedna koja je prije tvrdila da Êe se traka raspasti na dva dijela, promijenila je odluku na jedan. Kojoj bi se okladi ti pridruæio/la? Imaπ li predodæbu kako bi rezultat mogao izgledati s obzirom na broj zaokreta u dobivenoj/im traci/trakama? Sad molim sve one s trakom s dvostrukim zaokretom da svoje trake razreæu po istom principu tj. uzduæ! I πto se sad dogodilo? Otkrit Êemo vam samo ovo: neovisno o tome na koliko si se dijelova kladio/la, ovaj rezultat sigurno nisi oëekivao/la (osim ako si trik veê vidio/la)! Ovaj trik spada u podruëje matematike koje se zove topologija. To nema veze s topovima, nego je rijeë o vrsti geometrije pozicije (topos = lat. mjesto) u kojoj su nebitini kutovi i udaljenosti, veê se umjesto toga promatra iz koliko se nepovezanih dijelova neki objekt sastoji, koliko strana ima i joπ neka druga svojstva o kojima Êemo moæda drugom prilikom. U sluëaju gornjih traka radi se o tome da je njemaëki matematiëar August Ferdinand Möbius sredinom 19. st. otkrio svojstvo prstena s jednim zaokretom (koji se po njemu zove Möbiusova traka), a koje glasi: Möbiusova traka ima samo jednu stranu. Traka nastala neparnim brojem zaokreta ima jednu stranu, a ona nastala parnim brojem zaokreta ima dvije strane. Kako biste se u to uvjerili? Najjednostavniji naëin je da se dogovorimo: ako povlaëim olovkom liniju uzduæ svoje trake, nisam promijenio/la stranu dok ne moram diêi olovku. Pokuπajte olovkom obiêi toëka-crta liniju Möbiusove trake bez dizanje olovke kraj Êe se spojiti s poëetkom. Kod obiënog prstena i trake s dvostrukim zaokretom to neêe biti tako. Imate li ideju koja je veza izmeappleu broja strana trake i broja dijelova na koje se ona raspada pri uzduænom rezanju? Ili, teæe pitanje: πto mislite koja je veza izmeappleu broja strana i zaokreta trake prije rezanja i broja strana/zaokreta nakon rezanja? Na kraju slijedi zanimljivost: Möbiusova traka je (prema dosad poznatim podatcima) prvi put navedena kao magiëarski trik u knjizi Gastona Tissandiera Les recréations scientifiques (Znanstvene rekreacije) objavljenoj godine 1881. u Parizu. 168 atka 15 (2006./2007.) br. 59

INTERVJU INTERVJU Koen Stulens Lucija GusiÊ, Zagreb " eêer na kraju" ove trilogije vezane uz 8. susret nastavnika matematike je Koen Stulens i dolazi nam iz Belgije. Na putovanje je poveo i svoju æenu, profesoricu engleskog. Ovako je izgledao naπ razgovor. atka: Recite nam neπto o sebi i predstavite nam obrazovni sustav u Belgiji kroz svoje obrazovanje. K. Stulens: Rodio sam se 1966. godine. Sa πest godina iπao sam u osnovnu πkolu i zavrπio je s dvanaest. U tom razdoblju matematika nije niπta viπe od pukog raëunanja. Od 12. do 18. godine ide se u srednju πkolu, od Ëega su prve tri godine opêenite naobrazbe, a nakon toga se biraju predmeti (sadræaji). Ja sam odabrao matematiku i od treêeg razreda pa do kraja πkolovanja imao sam 8 sati matematike na tjedan. Nakon toga sam otiπao na fakultet. Da bi se magistriralo, treba se πkolovati dodatne dvije godine (i mi to zovemo kandidat u matematici), nakon Ëega dolaze joπ dvije godine i tada se dobiva neπto πto zovemo licencijat u matematici. Tako je bilo kada sam ja studirao, pa sve do ove godine (2006.) kada se sve promijenilo. Sada, nakon zavrπene dvije godine, treba joπ dodane tri godine za magisterij. atka: Je li Vas se neki profesor dojmio i utjecao na Vas? K. Stulens: Ne mogu reêi da su neki profesori imali utjecaj na mene da odaberem matematiku. Moj otac je takoappleer bio profesor matematike, ali je li to pomoglo u mom odabiru, ne znam. Oduvijek sam se volio baviti matematikom, tako da od tuda dolazi moj izbor. atka: Putujete li Ëesto? K. Stulens: U posljednje vrijeme da. ZapoËeo sam kao profesor matematike u srednjoj πkoli koja je bila blizu moje kuêe i tamo sam radio 4 godine. U Belgiji je problem dobiti stalan posao profesora matematike u srednjoj πkoli. Lagano je naêi posao i dobiti ugovor na jednu godinu, pa na joπ jednu godinu. PosreÊilo mi se kad sam dobio posao na sveuëiliπtu u Briselu 1993. kao asistent. Opet se nisam puno pomaknuo jer mi je fakultet bio deset minuta od kuêe. Na sveuëiliπtu sam zaduæen za pomoê studentima na njihovoj prvoj atka 15 (2006./2007.) br. 59 169

godini fizike, matematike i informatike. Kako imamo jako mali broj studenata koji studiraju matematiku, to sam organizirao i razne aktivnosti za studente druge godine srednje πkole kako bi ih se privuklo matematici. Takoappleer sam bio zaduæen i za organiziranje seminara za nastavnike. Tako sam se i ukljuëio u T 3 projekt Texas Instrumentsa 1 i postao konzultant za obrazovanje. Opet organiziram teëajeve za profesore samo na malo komercijalniji naëin. Idem po πkolama i objaπnjavam kako mogu naπe proizvode integrirati u obrazovanje. To je uvod u Texasove instrumente viπe nego obrazovni teëaj. Trenutno sam ukljuëen u nekoliko europskih projekata, zbog Ëega mi se pruæila moguênost putovanja. Ove godine boravio sam u Parizu, BeËu, NjemaËkoj, Stockholmu, Zagrebu. Isto tako Texas stvara novu tehnologiju zbog koje moram Ëesto putovati u Dallas na izobrazbu. atka: Kako vam se sviapplea Zagreb? K. Stulens: Jako mi se viapplea. Ne znam zaπto, ali ovdje se osjeêam kao da sam kod kuêe. Svi su ljubazni. Kada hodaπ od Glavnog kolodvora do katedrale, vidiπ gdje sve moæeπ iêi, dobre restorane, kafiêe, duêane. Nije pretjerano velik; nakon pola dana æena mi je rekla da se veê dobro snalazi. Osim toga je Ëist, πto nije sluëaj s ostalim velikim europskim gradovima. Moæe se jesti s poda. atka: Osim nastavnika, Vi i djecu upoznajete s Texasovim instumentima? K. Stulens: Trudim se naêi sadræaje vezane uz matematiku koji su manje ili viπe primjenjivi u stvarnom svijetu i koje oni mogu razumjeti. Trenutno radimo fraktale i dinamiëne sustave za predviappleanje buduênosti na burzi i drugim podruëjima. To prije nije bilo moguêe jer za to trebaju raëunala i kalkulatori, treba tehnologija. Druga stvar koju radimo je kriptografija, koja im se jako sviapplea, pa teorija grupa koju sam ja uëio u drugom razredu, ali danas viπe nije u programu. To sam kombinario s tehnologijom, pa traæim da programiraju na kompjutoru ili kalkulatoru kako bi mogli poslati poruku i onda je dekodirati. atka: Predajte li Vi ili samo organizirate ta predavanja? K. Stulens: Organiziram predavanja i dræim ih sam bez pomoêi drugih kolega. atka: Kako odabirete djecu? K. Stulens: Podijelim prospekt πkolama i profesorima i onda oni odluëuju hoêe li doêi na fakultet na predavanja. UkljuËene su πkole koje su u krugu od 1 3 T je kratica od Teachers Teaching with Technology πto znaëi nastavnici pouëavaju uz pomoê tehnologije. 170 atka 15 (2006./2007.) br. 59

30 km od fakulteta, a pozivam samo razrede koji imaju preko 6 sati matematike na tjedan, jer ostali ne mogu pratiti program. Zadovoljan sam onima koji pohaappleaju predavanja; lako je komunicirati s uëenicima koji su zainteresirani za matematiku i nova znanja. Matematika je prije bila popularna, ali viπe nije. To nije problem samo u Belgiji. I u drugim zemljama Europe teπko je naêi uëenike koji æele studirati matematiku, ali ne samo matematiku, veê i ostale znanstvene predmete. Na jednom sveuëiliπtu u Belgiji postoji samo jedan student koji studira fiziku. Kada sam ja studirao, bilo je otprilike 35 studenata na matematici, a sada ih je tek petnaestak. Danas se mladi ljudi sve viπe odluëuju za druπtvene znanosti. atka: Jesu li profesori u Belgiji zainteresirani za nove tehnologije? K. Stulens: Moram reêi da jesu, ali ne svi, recimo njih 80%. S Texasovim programom zapoëeli smo 1998. i u to vrijeme su svi priëali o kompjuterima. U to su vrijeme savjetnici koji pomaæu πkolama u prilagodbi poëeli poticati nastavnike na uporabu tehnologije iako ih nisu obvezivali.»etiri godine kasnije profesori koji predaju u drugom razredu matematiku na viπoj razini obavezni su u 20% programa koristiti tehnologiju. Koriste uglavnom dæepno raëunalo, jer je teπko svaku πkolu tako opremiti da svaki uëenik ima svoj kompjutor. Svaka πkola ima od jedne do tri informatiëke uëenice, ali one se koriste za sve predmete; jezik, ekonomiju... atka: Imate li natjecanja za darovitu djecu? K. Stulens: Da, imamo Olimpijce koje dobivamo kroz tri kruga. Prvi krug je πkolsko natjecanje, pa regionalno, nakon Ëega je finalno. Na natjecanju su prije mogli sudjelovati samo zadnja dva razreda srednje πkole, a od prije Ëetiri godine mogu sudjelovati veê od dvanaeste godine, i oni su juniorski olimpijci. atka: Imate li poruku za Ëitatelje? K. Stulens: Hm, trebala li biti vezano uz obrazovanje? Svojoj djeci uvijek govorim da pokuπaju naêi neπto πto vole, πto im je manje ili viπe hobi, neπto u Ëemu uæivaju i da o tome nauëe πto je moguêe viπe. Moæda jednog dana od toga naprave profesiju. Mislim da je to vaæno i to bih poruëio Ëitateljima. Mislim da je nemoguêe prisiliti nekoga da studira i zavrπi neπto πto ne voli. Nadamo se da vam se svidio ciklus intervjua s gostima 8. susreta nastavnika matematike. atka 15 (2006./2007.) br. 59 171

POVIJEST POVIJEST Georg Mohr Tanja Soucie, Zagreb Danski matematiëar Georg Mohr rodio se u Kopenhagenu 1. travnja 1640. godine, a umro je u njemaëkom gradu Kieslingswaldeu 26. sijeënja 1697. godine. Georgea Mohra nauëili su Ëitati i pisati njegovi roditelji od kojih je stekao i dovoljno znanja matematike da bi se odluëio nastaviti je dalje izuëavati. Godine 1662. Mohr je otiπao u Nizozemsku kako bi izuëavao matematiku pod mentorstvom matematiëara Huygensa, a zatim i u Francusku i Englesku. Godine 1672. u Amsterdamu izdao je knjigu Euclides Danicus (Danski Euklid) u kojoj je dokazao da se konstrukcije koje se mogu izvesti pomoêu ravnala i πestara mogu konstruirati i samo uz pomoê πestara. Zanimljivo je da je njegov rad ostao zaboravljen sve do 1928. godine kada je, prema priëi, student matematike sluëajno otkrio primjerak knjige u nekoj knjiæari. Do istog je dokaza, neovisno od Mohra, doπao i Lorenzo Mascheroni u knjizi Geometrija πestara objavljenoj 1797. godine. Po njemu se pouëak (Svaki konstruktivni zadatak koji se rjeπava πestarom i ravnalom, moæe se rijeπiti i samo πestarom.) i zvao Mascheronijevim pouëkom iako ga je dokazao Ëak 125 godina nakon objave Mohrove knjige! Danas pouëak nazivamo Mohr-Mascheronijev pouëak. Mohr je dio svoga æivota proveo u Nizozemskoj, a dio u Danskoj. Borio se u dansko-francuskom ratu gdje je bio i ratni zatvorenik. Za vrijeme svoga æivota dopisivao se s nekolicinom matematiëara ukljuëujuêi i Leibnitza. U njegovu Ëast jedno dansko matematiëko natjecanje nosi njegovo ime. Zadatke s proπlih natjecanja Georg Mohr moæete pronaêi u Matkama broj 34, 37, 40, 46, 53 i 55. Zadatci s ovogodiπnjeg natjecanja objavljeni su u ovom broju atke. 172 atka 15 (2006./2007.) br. 59

ZADATCI S VREMENSKO-PROSTORNIH MERIDIJANA Æeljko Buranji, Zagreb NJEMA»KA Otac je obeêao sinu za svaki toëno rijeπeni zadatak staviti u kasicu po 10 pfeninga. Za svaki netoëno rijeπeni zadatak sin je obavezan vratiti ocu po 5 pfeninga. Nakon πto je bilo rijeπeno 20 zadataka, u sinovljevoj kasici se nalazilo 80 pfeninga. Koliko je zadataka sin rijeπio netoëno? Rozi trenira u πkolskom πportskom klubu. Jedna od vjeæbi je ritmiëko hodanje s naklonima. Vjeæbanje se provodi na stazi duljine 30 metara, na Ëijem poëetku i kraju stoji koplje sa zastavicom. Rozi vjeæba ovako: dva koraka naprijed, jedan natrag, dva naprijed, jedan natrag, itd. Koliko koraka ona uspijeva uëiniti od jednog do drugog koplja sa zastavicom ako je duljina njezina koraka 50 cm? AUSTRIJA Bolji matematiëari iz 5. a razreda pokuπali su pogoditi prirodni broj o kojem su drugi iskazali sljedeêe tvrdnje. Wolfgang: Taj broj je prost. Karin: Taj broj je 9. Peter: Taj broj je paran. Rosewitta: Taj broj je 15. Poznato je kako su Wolfgang i Karin skupa iskazali toëno jednu istinitu tvrdnju (baπ kao i Peter i Rosewitta). Koji je to broj? DIOFANT (3. st.) Za brojeve 200 i 5 naêi treêi broj takav da pomnoæen s prvim danim brojem daje potpuni kvadrat, a pomnoæen s drugim danim brojem daje kvadratni korijen iz prethodno dobivenog potpunog kvadrata. VIJETNAM Stari vijetnamski seljani, uzgajivaëi riæe, voljeli su zadavati ovaj zadatak svojoj mladeæi. Tako je on prelazio s naraπtaja na naraπtaj. Za hranjenje 100 bivola pripremljeno je 100 naramaka sijena. Vrijedni mladi bivol dobiva 5 naramaka sijena. Lijeni mladi bivol dobiva 3 naramka sijena. Tri stara bivola dobivaju 1 naramak sijena. Koliko je vrijednih mladih bivola, koliko lijenih mladih bivola, a koliko starih bivola? Nagradit Êemo svakog postavljenih zadataka! atkaëa koji nam poπalje rjeπenja najmanje triju od atka 15 (2006./2007.) br. 59 173