UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU PRIMENA NEKIH PROGRAMSKIH PAKETA ZA VIZUALIZACIJU U GEOMETRIJI MASTER RAD Men

UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU PRIMENA NEKIH PROGRAMSKIH PAKETA ZA VIZUALIZACIJU U GEOMETRIJI MASTER RAD Mentor : Prof. dr Ljubica Velimirović Student: Rašić Sandra Niš, Oktobar 2012

Sadržaj 1 Uvod 3 2 Programski paket AutoCad 4 2.1 Osnovni opis rada programa................... 4 2.2 Trodimenzionalni režim...................... 4 2.3 Dvodimenzionalni režim..................... 5 2.4 Rad u slojevima.......................... 5 2.5 Blokovi............................... 5 2.6 Uvodni koraci........................... 6 3 Kreiranje 2D objekata u ravni 10 3.1 Crtanje linije (Line)....................... 10 3.2 Crtanje prave ili poluprave (Construction line)......... 11 3.3 Crtanje polilinije (Polyline)................... 12 3.4 Crtanje poligona - jednakostraničnih mnogougaonika (Polygon) 13 3.5 Crtanje pravougaonika (Rectangle)............... 13 3.6 Crtanje luka (Arc)........................ 14 3.7 Crtanje kruga (Circle)...................... 15 3.8 Crtanje iskrivljene glatke linije (Spline)............. 15 3.9 Crtanje elipse(ellipse)...................... 16 3.10 Crtanje luka elipse (Ellipse Arc)................. 17 4 AutoCad i površi 18 4.1 Površi............................... 18 4.2 Razni načini zadavanja površi.................. 21 4.3 Pravolinijske površi........................ 23 4.4 Elipsoid.............................. 26 4.5 Hiperboloid............................ 28 4.5.1 Jednokrilni hiperbolid.................. 28 4.5.2 Dvokrilni hiperboloid................... 30 4.6 Paraboloid............................. 31 4.6.1 Eliptički paraboloid.................... 31 4.6.2 Hiperbolički paraboloid.................. 32 4.7 Konusna površ.......................... 34 4.8 Cilindarska površ......................... 35 4.9 Površ Apple............................ 37 4.10 Površ Lemon........................... 39 4.11 Površ Spindle torus........................ 40 4.12 Eliptički torus........................... 41 1

4.13 Kružni torus............................ 42 4.14 Pseudosfera............................ 43 4.15 Konoidna površ.......................... 44 5 Geodezijska krivina krive na površi i geodezijske linije 48 5.1 Definicija i geometrijsko tumačenje geodezijske krivine.... 48 5.2 Izračunavanje geodezijske krivine krive............. 50 5.3 Geodezijska krivina koordinatnih linija i Liuvilova teorema.. 51 5.4 Geodezijske linije na površi.................... 54 6 Razlike u vizualizaciji izmed u AutoCAD i Mathematica 58 6.1 Programski paket Mathematica................. 58 6.2 Razlike u vizualizaciji....................... 59 7 Zaključak 63 8 Biografija 65 2

1 Uvod U ovom radu predstavljena je vizualizacija u geometriji primenom programskog paketa AutoCAD. U prvoj glavi su dati osnovni podaci o programu AutoCAD i njegovom funkcionisanju, o dvodimenzionalnom, zatim trodimenzionalnom načinu rada, o radu u slojevima i blokovi. U drugoj glavi je predstavljeno kreiranje 2D objekata u ravni. U trećoj glavi je izvršena vizualizacija površi kao što su:elipsoid, paraboloid, hiperboloid, konoidna površ, cilindarska površ, konusna površ, površi apple, lemon, pseudosfera i torus. U četvrtoj glavi su definisane geodezijska krivina i geodezijske linije, data je Liuvilova teorema i predstavljena vizualizacija geodezijskih linija. U petoj glavi su predstavljene razlike u vizualizaciji izmed u programa Auto- CAD i Mathematica i primeri u arhitekturi koji se oslanjaju na matematičke strukture. Posebno bih se zahvalila svom mentoru Prof. dr Ljubici Velimirović na podršci i pomoći pri izradi rada. 3

2 Programski paket AutoCad AutoCad je jedan od najpoznatijih računarskih programa za računarsko projektovanje. Autor programa je kompanija AutoDesk koja nudi preko 75 specijalizovanih softverskih alata i pomagala za različita ekspertska područja kao što su : mašinogradnja, elektrika, elektronika, grad evinarstvo, arhitektura, kartografija, geodezija itd. 2.1 Osnovni opis rada programa Osnovni program AutoCad je sofisticirani projektantski alat široke, može se reci univerzalne namene, koji podržava dvodimenzionalno projektovanje, kojim se praktično zamenjuje klasično projektovanje na papiru, odnosno tablu za crtanje, šestar i lenjir, i trodimenzionalno modelovanje složenih objekata koji se u modelnom prostoru (engl. model space) mogu proizvoljno zumirati, naginjati, okretati, prikazivati u projekcijama, pogledima i presecima iz svih smerova, proizvoljno osvetljavati i renderovati, tako da trodimenzionalni prikaz imitira fotografiju virtuelnog objekta koji postoji samo u memoriji računara. Za razliku od alternativnih softverskih proizvoda za 2D i 3D modelovanje, AutoCad je specifičan po sofisticiranom, možda malo i prekomplikovanom sistemu merila i visoke preciznosti koja može ići i ispod milimikrona. Radni prostor AutoCad-a čini prostor za trodimenzionalno modelovanje i proizvoljan broj radnih prostora koji se mogu koristiti u režimima papir i model. U režimu model na radnim listovima se mogu otvarati projekcije i pogledi (engl. viewport) na trodimenzionalni model napravljen u prostoru za modeliranje. U režimu papir radni prostori nemaju nikakve korelacije sa trodimenzionalnim modelom i u tom se režimu pogledi ne mogu aktivirati. Modelni i papirni prostor se u načelu koriste odvojeno, odnosno ne organizuju se u istom radnom prostoru. 2.2 Trodimenzionalni režim Prostor za modelovanje i radni prostori u režimu model čine modelni prostor u kojem se definiše jedan trodimenzionalni model,koji med utim može biti veoma složen i sadržati veliki broj sastavnih elemenata. U radnim prostorima u režimu model mogu se otvarati projekcije na bilo koju ravan ili preseci 4

i pogledi iz bilo kog smera na trodimenzionalni model. Prostor za modelovanje i projekcije u radnim prostorima automatizovano sarad uju, tako da se svaka promena u bilo kom radnom prostoru ili na modelu u prostoru za modeliranje reflektuje na model, tj. automatski se ažurira na svim ostalim radnim listovima. Prostor za modelovanje je neograničen a model se može neograničeno zumirati bez gubitka preciznosti razmere ili rezolucije. 2.3 Dvodimenzionalni režim U režimu papir radni prostori predstavljaju nezavisne papire med u kojima nema nikakve povezanosti, pa se koriste na način uobičajen u klasičnom papirskom projektovanju za crtanje dvodimenzionalnih projekcija i preseka. Takve projekcije su pljosnate, tj. ne mogu se okretati u prostoru i nemaju promenljiv ugao gledanja. Na svakom radnom listu se može prikazati drugi objekat ili drugi element složenog objekta čiji je sastavni crtež sadržan u jednom ili više radnih prostora. Skup radnih prostora u režimu papir predstavlja papirni prostor AutoCad-a (engl. paper space). Pogledi i projekcije trodimenzionalnog modela ne mogu se aktivirati u papirnom prostoru, a objekti ucrtani u papirni prostor se ne prikazuju u prostoru za trodimenzionalno modelovanje. 2.4 Rad u slojevima U oba režima u svim radnim prostorima i pogledima ili projekcijama crtanje se izvodi na proizvoljnom broju prozirnih slojeva (engl. layers). Pojedini objekti ili grupe crtežnih elemenata (kote, šrafure, pomoćne konstruktivne linije i sl.) mogu se iscrtati u zasebnim slojevima. Svaki sloj se može zasebno formatirati (debljina, vrsta i boja linija) i po potrebi sakriti, tj. na njemu sadržani objekti mogu se učiniti nevidljivim u jednom ili vise radnih prostora. 2.5 Blokovi Blokovi su objedinjene grupe objekata ili grupe crtežnih elemenata koji čine zasebnu celinu i ponašaju se kao jedan element ili objekat. Blokovi napravljeni u jednom radnom prostoru ili projektu mogu se koristiti u drugom radnom prostoru ili projektu, mogu se kopirati, brisati itd. kao jedan element. Mogu se ponovo rastaviti na elemente od kojih su sačinjeni. 5

Često korišćene elemente ili objekte (vijci, instalacijski elementi, mašinski sklopovi, arhitektonski detalji, nameštaj itd.) zgodno je spremiti kao imenovane blokove,pa ih se po potrebi može pozvati i uklopiti u bilo koji radni prostor ili projekat. Kolekcije blokova štede konstruisanje istih konstruktivnih detalja i značajno skraćuju vreme projektovanja. 2.6 Uvodni koraci Pokazaćemo najpre kako pokrenuti program, zatim od čega se sastoji korisnički interfejs i objasniti te sastavne delove. 1. Pokrenuti ikonu na desktopu AutoCad 2. Na novom prozoru pritisnite na AutoCAD Classic tako da bude uokviren Kada pritisnete na OK pojavljuje se korisnički interfejs koji se sastoji iz 5 korisničkih delova: 1. Prostor za crtanje 2. Zona padajućih menija 3. Paleta sa alatkama 4. Komandna linija 5. Statusna linija Slika 2.1. Korisnički interfejs Prostor za crtanje-kao sto ime kaze koristi se za crtanje. Pozadina je obično crna. 6

Zona padajućih menija-zona gde se nalaze sve komande koje se odnose na program. Paleta sa alatkama -Koristi se za brže i preglednije korišćenje osnovnih komandi. Da bi dodali dodatne alatke desnim tasterom miša pritisnemo na paletu sa alatkama i pojaviće se kao na slici ispod Slika 2.2. Paleta sa alatkama Komandna linija-pri dnu ekrana nalazi se horizontalna površina koja služi za ispisivanje tekstualnih poruka vaznih za rad i praćenje izvršava nja komandi pa otuda i nosi naziv komandna linija. Kada je na njoj ispisano samo command znači da je AutoCAD spreman da prihvati komandu. Preko nje AutoCAD ustvari komunicira sa vama. Komandna linija služi i za beleženje toka prethodno izvršenih komandi. Takod e svaka komanda može da se pokrene iz komandne linije. Slika 2.3. Komandna linija 7

Statusna linija-statusnom linijom nazivamo horizontalnu traku koja se nalazi na samom dnu ekrana. Na njoj se vrši prikaz trenutnog stanja pojedinih pomoćnih aktivnosti. Pored toga na levom kraju statusne linije možemo pročitati koordinate trenutnog položja kursora. Slika 2.4. Statusna linija Statusi su dosta bitni i sada ćemo objasniti najbitnije statuse: Osnap -Ukoliko želite da usključite pritisnite levi taster miša na ime. Sa ovom funkcijom imaćete mogucnost da svaku liniju koju povlačite automatski vežete za neku karakterističnu tačku. Opcije vezivanja možete dobiti desnim pritiskom na osnap i dobićete prozor kao na slici ispod. Selektujte kao na slici da bi mogli lakše da radite. Slika 2.5. Osnap Orto je takod e bitna funkcija i ona predstavlja da sve što se crta bude prikazano ili po horizontali ili po vertikali. 8

Grid predstavlja pomoćnu mrežu. Din predstavlja dinamičko unošenje podataka, odnosno da dok crtate možete u okviru radnog dela da napisete dužinu linija. Lwt predstavlja prikaz debljina linija. 9

3 Kreiranje 2D objekata u ravni Svaki 2d crtež sastoji se od pojedinačnih i složenih objekata. U jednostavnije objekte spadaju: linije, kružnice, kružni lukovi, elipse, eliptični lukovi, tačke i prave. Smatra se da su oni zastupljeni sa više od 50 procenata u sastavu složenijih objekata. U složenije spadaju: pravougaonici, mnogougaonici (poligoni), multilinije, polilinije, splajn (glatke krive). U suštini, najveći deo za crtanje se nalazi u paleti Draw : Slika 3.1. Opcija Draw 3.1 Crtanje linije (Line) Procedura za crtanje linije: 1. Draw/Line 2. Izaberite početnu tačku ( možete koristiti miš ili da ukucate koordinate u komandnoj liniji) 3. Završite prvu liniju tako što ćete definisati kraj linije 4. Desni taster miša i enter Svaki pojedinačni segment linije može biti editovan nezavisno od ostalih segmenata u seriji. Možete da zatvorite sekvencu linijskih segmenata tako da prvi i poslednji segment budu spojeni. Možete da dodelite svojstva linijama kao što je boja, tip linije i debljina linije. Postoje i druge metode za kreiranje precizne linije. Veoma efikasne tehnike su offset (udaljenje) od već postojeće linije, a kasnije trim (odsecanje) ili extend (produženje) do željene dužine. Koristiti polyline umesto line u slučaju da želite da segmenti budu povezani u jedinstven objekat. Slika 3.2. Line 10

3.2 Crtanje prave ili poluprave (Construction line) Procedura je sledeća: Konstrukcijska linija označena dvema tačkama 1. Draw/Construction line 2. Izaberite tačku koja će da definiše koren konstrukcijske linije 3. Definišite drugu tačku kroz koju konstrukcijska linija treba da prod e 4. Nastaviti konstruisanje novih konstrukcijskih linija ukoliko je potrebno 5. Enter Konstruisanje Ray (zrak ili poluprava) 1. Draw/Ray 2. Definišite startnu tačku zraka 3. Definišite tačku kroz koju treba da prod e zrak 4. Enter Linije koje su beskonačne u jednom ili dva pravca poznate su kao rays (zraci, poluprave) i construction line (prave). Slika 3.3. Construction line 11

3.3 Crtanje polilinije (Polyline) Procedura za crtanje je sledeća : Polilinija sa pravim segmentima 1. Draw/Polyline 2. Definisati prvu tačku polilinije 3. Definisati krajnju tačku prvog segmenta polilinije 4. Nastaviti konstruisanje novih segmenta koliko je potrebno 5. Enter Polilinija kombinacije lukova i linija 1. Draw/Polyline 2. Definisati početnu tačku segmenta polilinije 3. Definisati krajnju tačku segmenta polilinije: Prebaciti na lučni mod kucanjem a na komandnoj liniji, vratiti na linijski mod kucanjem l na komandnoj liniji. 4. Enter Sledeća slika ilustruje ovaj potupak Slika 3.4. Polilinija 12

3.4 Crtanje poligona - jednakostraničnih mnogougaonika (Polygon) Procedura za crtanje poligona je : 1. Draw/Polygon 2. Na komandnoj liniji ukucati broj stranica poligona 3. Definisati centar poligona 4. Definisati da li poligon da bude upisan ili opisan krugom 5. Odrediti poluprečnik kruga Na sledećoj slici su prikazani pravilni šestougao, petougao, četvorougao i jednakostranični trougao koristeći opciju Polygon. Slika 3.5. Poligon 3.5 Crtanje pravougaonika (Rectangle) Postupak za crtanje je sledeći : 1. Draw/Rectangle 2. Definisati prvi ugao pravougaonika 3. Definisati drugi ugao pravougaonika Ovom komandom iscrtavamo poliliniju oblika pravougaonika. Ako hoćemo pravougaonik odred enih dimenzija posle 2. ukucati d zatim dužinu pa enter, zatim širinu pa enter. Ukoliko želimo da krajevi budu zaobljeni koristiti naredbu fillet, gde se zadaje radijus zakrivljenja. 13

Slika 3.6. Pravougaonik 3.6 Crtanje luka (Arc) Crtanje luka definisanjem tri tačke: 1. Draw/Arc/3Points 2. Definisati početnu tačku 3. Definisati tačku na luku 4. Definisati krajnju tačku Crtanje luka koristeći početnu tačku, centar i krajnju tačku : 1. Draw/Arc/Start, Centar, End 2. Definisati početnu tačku 3. Definisati centralnu tačku 4. Definisati krajnju tačku Možete da kreirate lukove na više načina. Sa izuzetkom u prvoj metodi lukovi se crtaju suprotno od kazaljke na satu od početne tačke ka krajnjoj tački. Možete da ih crtate: definisanjem 3 tačke, definisanjem starta, centra i kraja (centar je centar kruga čiji je luk deo), definisanjem starta, kraja i ugla (kada ne možete da nad ete centar), definisanjem starta, centra i dužine bisektrise, definisanjem starta, kraja, pravca/radijusa. Slika 3.7. Crtanje luka 14

3.7 Crtanje kruga (Circle) Crtanje kruga definisanjem centra i poluprečnika 1. Draw/Circle/Center, Radius 2. Definisati centar kruga 3. Definisati poluprečnik Crtanje kruga definisanjem centra prečnika 1. Draw/Circle/Center, Diametar 2. Definisati centar kruga 3. Definisati prečnik Na sledećoj slici je prikazan krug, zatim krug korišćenjem opcije Gradient i opcijom Hatch. Slika 3.8. Krug 3.8 Crtanje iskrivljene glatke linije (Spline) Nacrtaćemo spline definisanjem tačaka 1. Draw/Spline 2. Definisati početnu tačku spline-a (1) 3. Definisati tačke od 2 do 5 da bi kreirali spline i pritisnite enter 4. Definisati početne i krajnje tangente 6, 7 15

Slika 3.9. Spline Sledeci spline koristi iste tačke ali drugačije početne i krajnje tangente. Slika 3.10. Crtanje glatke iskrivljene linije sa drugačijim tangentama 3.9 Crtanje elipse(ellipse) Procedura za crtanje elipse je sledeća : 1. Draw/Ellipse/Axis, End 2. Definisati prvu tačku kraja prve ose (1) 3. Definisati drugu tačku kraja prve ose (2) 4. Povlačiti miša van sredine i pritisnuti da definišete rastojanje (3) Oblik elipse ograničen je dvema osama koje definišu dužinu i širinu. Duža osa se zove major osa, a kraća osa je minor osa. Slika 3.11. Elipsa 16

3.10 Crtanje luka elipse (Ellipse Arc) Postupak je sledeći: 1. Draw/Ellipse/Arc 2. Definisati prvu tačku kraja prve ose 3. Definisati drugu tačku kraja prve ose 4. Definisati rastojanje da se definiše polovina druge ose 5. Definisati početak ugla 6. Definisati kraj ugla Eliptični luk se crta u smeru suprotnom od kazaljke na satu izmed u početne i krajnje tačke. Slika 3.12. Luk elipse 17

4 AutoCad i površi U ovoj glavi ce biti reči o pojedinim površima kao što su : cilindarska površ, rotaciona površ, konusna površ, konoid, jednokrilni hiperboloid, hiperbolički paraboloid, helikoid itd. i njihovoj vizualizaciji u AutoCad. 4.1 Površi Neka je data jednačina u obliku z = f(x, y) (1) Pretpostavimo da se x menja u intervalu a x b, y u intervalu c y b tj. da tačka M(x, y) pripada pravougaonoj oblasti D. Pomoću jednačine (1) za svako M D možemo odrerditi neku vrednost promenljive z. Ako uzmemo pravougli Dekartov koordinatni sistem Oxy tako da se oblast D nalazi u ravni Oxy, onda u svakoj tački M oblasti D postavljamo normalu čija će dužina M P biti jednaka odgovarajućem z odred enom pomoću jednačine (1). Tako svakoj tački M(x, y) D odgovara pomoću jednačine (1) jedna tačka P (x, y, f(x, y)), (obično se posmatraju jednačine kod kojih je funkcija jednoznačna i neprekidna funcija u oblasti D). Skup svih tačaka P obrazuje neku površ, a jednačina (1) jeste jednačina te površi. Napomenimo da oblast ne mora biti pravougaona već ona može biti deo ravni ograničen ma kojom linijom. Uočimo sada opštiju jednačinu F (x, y, z) = 0. (2) Jednačina (1) je specijalan slučaj prethodne jednačine. Skup svih tačaka u prostoru, čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (2), zovemo površ, a (2) je jednačina te površi. Može se desiti da jednačinu (2) zadovoljavaju koordinate samo konačnog broja tačaka, ili da ne postoji ni jedna tačka prostora, čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (2). Na primer, jednačina x 2 + y 2 + z 2 = 0 zadovoljena je samo tačkom (0, 0, 0), a jednačina x 2 + y 2 + z 2 + 1 = 0 ne može biti zavodoljena nikakvom tačkom, čije su koordinate realni brojevi. Pokažimo da se jednačina F 1 (x, y) = 0 (3) 18

u odnosu na (pravougli) Dekartov koordinatni sistem Oxyz može protumačiti kao jednačina jedne površi. Cilindarsku površ definišemo, kao geometrijsko mesto pravih (izvodnica) koje su paralelne datoj pravoj (pravcu)i koje prolaze kroz datu krivu (vodilju) K. Neka su izvodnice paralelne osi Oz, a kriva K neka leži u ravni Oxy i neka je odredjena jednačinom (3). Da bi proizvoljna tačka P ležala na cilindarskoj površi, potrebno je i dovoljno da njena projekcija M na ravan Oxy bude uvek na krivoj K. Prema tome, da bi P (x, y, z) bila na cilindarskoj površi, potrebno je i dovoljno da njene koordinate x i y zadovoljavaju jednačinu (3)(treća koordinata z je proizvoljna). Drugim rečima, jednačina (3), ako je posmatramo kao jednačinu koja vezuje koordinate tačaka u prostoru, predstavlja jednačinu gornje cilindarske površi. Ako je u jednačini (2) funkcija F (x, y, z) polinom n-tog stepena po promenljivim x, y, z onda se odgovarajuća površ zove algebarska površ n-tog reda. Površi koje nisu algebarske zovu se transcedentne površi. Mi ćemo se u ovim izlaganjima uglavnom zadržati na algebarskim jednačinama prvog i drugog stepena. Neka je u prostoru R 3 zadat neki pravougli koordinatni sistem sa početkom O i ortovima i, j, k (jedinični koordinatni vektori, vektori baze u R 3 ). Definicija 4.1. Funkcija r:u R 3, gde je U R 2, definisana na sledeći način r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (4) pri čemu su x, y, z realne funkcije dveju promenljivih naziva se vektorska funkcija dvaju argumenata, dok su x, y, z odgovarajuće koordinatne funkcije.kažemo da je vektorska funkcija r klase C k, k 1 ukoliko su koordinatne funkcije klase C k. Definicija 4.2. Parametrizovana površ u R 3 je vektorska funkcija r:u R 3 klase C k, gde je U otvoren podskup u R 2. Pod parametrizovanom površi se podrazumeva odredjeno preslikavanje otvorenog skupa U R 2 u R 3. Prema klasičnoj definiciji-površ je skup tačaka u R 3 koje se dobijaju u funkciji dva realna parametra. Ovde ćemo takav skup zvati nosačem parametrizovane površi. Preciznije imamo sledeću definiciju: 19

Definicija 4.3. Neka je U R 2 otvoren skup. Slika r(u) = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) R 3 pri preslikavanju (4) je nosač parametrizovane površi (4) Definicija 4.4. Parametrizovana površ r : U R 3 klase C k je regularna parametrizovana površ klase C k ako je r u r v 0 za sve (u, v) U, gde su r u i r v parcijalni izvodi vektorske funkcije r po u i po v. Za k = 1 površ je glatka. Smatraćemo da je klasa regularnosti k dovoljno veliki prirodni broj kakav zahteva dotično razmatranje. Definicija 4.5. Neka su r:u R 3 i ρ:u R 3 dve regularne parametrizovane površi klase C k u R 3. One su ekvivalentne, u oznaci r ρ, ako postoji difeormofizam Φ:V U klase C k takav da je ρ= r Φ. Difeomorfizam Φ se u tom slučaju naziva smena parametra (reparametrizacija). Odnos ekvivalentnosti parametrizovanih površi je relacija ekvivalencije na skupu svih parametrizovanih površi. Definicija 4.6. Klasa ekvivalencije [r] je neparametrizovana (geometrijska) površ. Klasa ekvivalencije parametrizovane površi r:u R 3 je u sištini odredjena skupom slika r(u). Preciznije važi Teorema 4.7. Neka su r:u R 3 i ρ:v R 3 parametrizovane površi takve da je r(u)=ρ(v).za sve a U i b V takve da je r(a)=ρ(b) postoje njihove okoline U 1 U i V 1 V takve da su r U1 i ρ V1 ekvivalentne površi. Dakle, pojam nosač parametrizovane površi i površ možemo lokalno identifikovati. Pošto će dalja izlaganja imati uglavnom lokalni karakter, podrazumevaćemo lokalnu identifikaciju ovih pojmova i nećemo razlikovati ekvivalentne parametrizovane površi, već ćemo ih smatrati različitim parametrizacijama iste površi. 20

4.2 Razni načini zadavanja površi Površ u R 3 se može zadati na sledeće načine: -vektorski parametarski oblik r = r(u, v), (u, v) U R 2 (a) -skalarani parametarski oblik x = x(u, v) (u, v) U R 2 ; y = y(u, v) z = z(u, v) (b) -Eliminacijom parametara u i v iz prethodnih jednačina dobijamo eksplicitni skalarni oblik gde je f(x, y) C k, možemo staviti pa dobijamo oblik b odnosno z = f(x, y), (x, y) U (c) x = u, y = v, z = f(x, y), (u, v) U, (c ) r = (u, v, f(u, v)), (u, v) U, (c ) što predstavlja globalnu parametrizaciju i povraš je prosta. Ona je u ovom slučaju klase C k, jer je u c r C k, kad je f(x, y) C k, a regularna je zbog r u r v = (1, 0, f u ) (0, 1, f v ) = ( f u, f v, 1) 0. Dakle, iz oblika c smo dobili c, odnosno c, što se svodi na b, odnosno na a. Obrnuto, pretpostavimo da je data površ b regularna u okolini neke tačke (u 0, v 0 ) tj. r u (u 0, v 0 ) r v (u 0, v 0 ) 0. To znači da je u = u 0, v = v 0 : r u r v = (x u, y u, z u ) (x v, y v, z v ) = (y u z v y v z u, z u x v z v x u, x u y v x v y u ) = ( (x, y) (z, x) (x, y) ),, 0. (u, v) (u, v) (u, v) 21

To znači da je bar jedna od koordinata ovog vektora različita od nule. Neka je, (x,y) npr. 0. Tada se prve dve jednačine (b) prema teoremi o implicitnoj (u,v) funkciji u okolini tačke (u 0, v 0 ) mogu rešiti po u, v: u = u(x, y), v = v(x, y) (d) što zamenom u treću jednačinu (b) daje z = z[u(x, y), v(x, y)] = f(x, y) tj. oblik (c). -Ako je dat skup S = {(x, y, z) E 3 F (x, y, z) = 0 gradf 0}, (e) tada je S površ, pri čemu obično pišemo samo: S : F (x, y, z) = 0 (e ) i (d ) zovemo implicitni oblik jednačine površi. Ustvari, ako je u nekoj tački gradf = (F x, F y, F z ) 0 tada je bar jedna od koordinata ovog vektora različita od nule. Neka je npr., F x 0. Po teoremi o implicitnoj funkciji u okolini te tačke postoji rešenje jednačine (d ):z = f(x, y) tj. ovaj slučaj se svodi na eksplicitni skalarni oblik. Prema (b) svakoj tački (u, v) U odgovara tačka (x, y, z) S, a prema (d) tački (x, y, z) S, odgovara tačka (u, v) U, pri čemu je preslikavanje (u, v) (x, y, z) bijekcija. Zato se parametri u i v zovu krivolinijske (Gausive) koordinate na površi. Ako tački M (u, v) U odgovara tačka M(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) S, onda pišemo takod e M(u, v) S. Lema 4.8. Površ (b) je regularna ako i samo ako važi [ x rang u x v y u y v z u z v ] = 2 Takod e, jednačina površi u R 3 može se zadati i u odnosu na cilindarske, odnosno sferne koordinate jednačinama koje odgovaraju prethodnim. 22

4.3 Pravolinijske površi Opšta jednačina neke prave L se može predstaviti u oblik r a = b (1) y = mx + n, z = px + q, (2) i to pokazuje da se jednačina prave odred je sa četiri nezavisna parametra: m, n, p, q. Ako posmatramo svaku od jednačina (2) u koordinatnoj ravni Oxy, odnosno Ozx kao tragove (u tim koordinatnim ravnima) dveju ravni čiji je presek prava L, onda vidimo da veličine 1, m, p odred uju pravac prave, a velčine o, n, q tačku kroz koju prava prolazi. Na osnovu takvog geometrijskog značenja parametara m, n, p, q jasno je da su oni bitni za odred ivanje prave L i da promena svakog od njih povlači za sobom promenu položaja te prave. S druge strane jednačina (1) može biti smenjena sledećom jednačinom r = r0 + u a, (3) gde je r 0 = ( a b ) : a 2 vektor položaja jedne stalne tačke M 0 i gde svakoj tački prave odgovara neka odred ena vrednost parametra u. Jednačina (3) dozvoljava da se pred e na tzv. dvojni opšti oblik x x 0 a 1 = y y 0 a 2 = z z 0 a 3 (= u). (4) U ovoj jednačini parametri su x 0, y 0, z 0, a 1, a 2, a 3. Položaj ove prave neće se izmeniti ako mesto tačke (x 0, y 0, z 0 ) uzmemo neku drugu tačku, na primer tačku (0, n, q) preseka prave L sa ravni Oyz, a osim toga veličine a 1, a 2, a 3 koje odred uju pravac prave, mogu se zameniti proporcionalnim veličinama, na primer: 1, a 2 a 1 = m, a 3 a 1 = p. Dakle, mesto šest parametara x 0, y 0, z 0, a 1, a 2, a 3 možemo uzeti četiri n, q, m, p x o 1 y n m z q p, (5) a da se pri tome položaj prave nije izmenio. Pomenute četiri veličine potpuno odred uju pravu. Isto tako, ako je jednačina prave zadata kao presek ma koje dve ravni A i x + B i y + C i z + D i = 0, (i = 1, 2) (6) 23

onda od osam parametara A i, B i, C i, D i možemo uzeti svega četiri nezavisna parametra, na primer parametre m, n, p, q, jer se pod odred enim uslovima, jednačine (6) mogu svesti na obilk (2). Menjajući četiri takva parametra m, n, p, q na sve moguće načine dobiće mo sve moguće prave u prostoru. Ako ovde postoji jedna veza izmed u tih paramtara: f i (m, n, p, q) = 0, onda će svega tri parametra biti nezavisna. Kada ti parametri uzimaju sve moguće vrednosti, jednačine (2), uz postojeću vezu f 1 = 0, neće predstavljati sve moguće prave u prostoru, već samo jedan deo skupa tih pravih. Taj deo skupa pravih zovemo kompleks pravih. Ako postoje dve veze f i (m, n, p, q) = 0,(i=1,2), tada jednačine predstavljaju skup pravih koji zovemo kongruencija pravih. Ako postoje tri veze f i (m, n, p, q) = 0, (i=1,2), onda jednačine (2) predstavljaju skup pravih koji zavisi samo od jednog parametra. Eliminacijom tog parametra iz jednačina pravih dobijamo jednu vezu po x, y, z. Ta veza, kao geometrijsko mesto pravih, predstavlja površ koja se zove pravolinijska površ. Pomenute prave se zovu generatrise pravolinijske površi. Definicija 4.9. Posmatrajmo krivu C 0 : ρ = ρ(u) i kroz svaku tačku te krive jedinični vektor e = e(u) i skup pravih sa vektorima pravca e(u). Skup tačaka pravih toga skupa zove se pravolinijska površ. Kriva C 0 je direktisa (vodilja), a pomenute prave su generatrise (izvodnice) dobijene površi. Do pojma pravolinijskih površi dolazimo i polazeći od jednačine (3). Ako se u toj jednačini vektori r 0 i a 0 promenljivi i zavise od jednog nezavisnog parametra v, onda u tom slučaju jednačinu (3), kojoj vektor položaja r ma koje tačke zavisi sada od dva parametra u i v, smatramo kao jednačinu pravolinijske površi. Zaista, tačka M 0, pošto je njen vektor položaja r 0 (v), tj. zavisi od jednog parametra, opisuje neku krivu u prostoru-direktrisu površi, a naša prava-generatrisa površi-uvek prolazi kroz neku tačku te krive i menja svoj pravac, tj. vektor a 0 (v) zavisi od jednog parametra. Dakle, geometrijsko mesto promenljive prave jeste pravolinijska površ: r = r0 (v) + u a 0 (v). (7) Može se dati sledeće geometrijsko tumačenje parametrima u i v. Neka je r 0 = r 0 (v) jednačina prostorne krive L 0 L, direktrise pravolinijske površi. Vektor položaja svake tačke te krive neka je funkcija odstojanja te 24

tačke od stalne tačke L 0. Dakle, v uzimamo kao dužinu luka merenog od početne tačke L 0, a 0 (v) je promenljiv vektor generatrise, a u uzimamo da bude dužina odsečka generatrise P M, gde je M ma koja tačka površi. Vektor položaja r te tačke pravolinijske površi prema tome se odred uje jednačinom (7). Primeri pravolinijskih površi su: cilindarska površ, rotaciona površ, konus na površ, konoid, jednokrilni hiperboloid, hiperbolički paraboloid, helikoid itd. 25

4.4 Elipsoid U koordinatnoj ravni Oxz postavimo elipsu E 1 sa stalnim poluosama a i c, i u koordinatnoj ravni Oyz elipsu E 2, sa stalnim poluosama b i c. U pokretnoj ravni Ω, stalno paralelnoj ravni Oxy, uočimo elipsu E sa promenljivim poluosama α i β. Ta pokretna elipsa E, kao generatrisa, kreće se tako da bude stalno u ravni Ω, njen centar na osi Oz i njena temena klize duž elipse E 1 i E 2. Elipse E 1 i E 2 igraju ulogu direktrise. Površ koja nastaje ovakvim kretanjem elipse E naziva se elipsoid. Jednačinu elipsoida ćemo izvesti na sledeći način. Ako sa M(x, y, z) označimo koordinate ma koje tačke elipsoida, onda one moraju da zadovoljavaju jednačine elipse E: x 2 α + y2 = 1, z = y (1) 2 β2 gde je linija E predstavljena kao presek eliptičke cilindarske površi i ravni Ω: z = γ. Jednačine elipse E 1 i E 2 jesu x 2 a + z2 2 c = 1, y = 0; y 2 2 b + z2 = 1, x = 0, 2 c2 i zato promenljivi parametri α, β, γ, prema navedenom kretanju linije E, moraju zadovoljavati uslove α 2 a 2 + γ2 c 2 = 1, β 2 b 2 + γ2 c 2 = 1 (2) Rezultat eliminacije tri parametra α, β, γ iz četiri jednačine (1) i (2) daje nam kanonski (ili kanoničku) jednačinu elipsoida: x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 (3) Veličine a, b, c zovu se poluose elipsoida. Iz same jednačine (3), kao i iz opisanog načina nastajanja elipsoida, sledi da nivoske linije elipsoda, koje odgovaraju svakoj koordinatnoj ravni, predstavlja skupove elipsa. Poluose ovih elipsa zavise od poluosa elipsoida i odstojanja -od koordinatne ravniravni kojima se vrše preseci ove površi. Elipsoid u AutoCad-u crtamo na sledeći način: Na liniji menija izaberemo opciju Tools/Toolbars/AutoCAD i uključimo opciju Draw. Ova opcija je 26

uključena ukoliko se ispred nje pojavi simbol za tačno. U okviru ove opcije mi mozemo da nacrtamo pravu liniju, krivu liniju, pravougaonik, mnogougao, krug, elipsu, deo elipse. Da bi nacrtali elipsoid nacrtaćemo najpre pola elipse pomocu opcije Ellipse Arc. Prve dve tačke Ellipse Arc odred uju lokaciju i dužinu prve ose. Treca tačka odred uje rastojanje izmed u centra Ellipse Arc i krajnje tačke druge ose. Četvrta i peta tačka odred uju početak i kraj ugla. Sada selektujemo to sto smo nacrtali klikom miša i izaberemo opciju Revolve koja se nalazi u Tools/Toolbars/AutoCAD/Modeling. Opcija Revolve služi za stvaranje 3D objekta od 2D i to rotacijom 2D objekta oko odred ene ose, za odred eni ugao koji mi izaberemo, ovde je to 360 stepeni, ali ukoliko izaberemo manji ugao dobicemo neku otvorenu površ. Na ovaj način smo nacrtali elipsoid. Slika 4.1. Elipsoid Slika 4.2. Elipsoid Definicija 4.10. Neka su a, b, c > 0 dati realni brojevi. Realni elipsoid sa poluosama a, b, c je skup svih tačaka M R 3 čije koordinate (x, y, z) u odnosu na neki pravougli koordinatni sistem Oxyz zadovoljavaju jednačinu x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 Ako dve poluose imaju istu dužinu, onda ellipsoid zovemo sferoid, a ako su sve tri poluose jednake, u pitanju je sfera. Sfera se definiše kao skup 27

tačaka u trodimenzionalnom euklidskom prostoru na rastojanju r (radijus) od date tačke(centar). Dvostruki radijus se naziva prečnik. Sferu u programu AutoCAD crtamo jednostavnije nego elipsoid, zato što program ima već ponud enu opciju za crtanje sfere i to je opcija Sphere koja se nalazi u Tools/toolbars/AutoCAD/Modeling. Da bi nacrtali sferu program od korisnika zahteva da odredi centar sfere i poluprecnik sfere. Postupak je sledeći : 1. Uključimo opciju Sphere 2. Prva tačka koju unesemo je centar sfere 3. Druga tačka je poluprečnik sfere Slika 4.3. Sfera 4.5 Hiperboloid Ovde ćemo razmatrati jednokrilni i dvokrilni hiperboloid. 4.5.1 Jednokrilni hiperbolid Rotacijom hiperbole oko simetrale duži čiji krajevi predstavljaju žiže date hiperbole nastaje jednokrilni kružni hiperboloid. Ako za osu rotacije uzmemo z-osu, jednokrilni kružni hiperboloid ima kanonsku jednačinu x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 (8) 28

i parametarsku jednačinu x = a 1 + u 2 cos v y = a 1 + u 2 sin v z = cu (9) v [0, 2π) Druga parametrizacija je x(u, v) = a(cos u ± v sin u) y(u, v) = a(sin u ± v cos u) z(u, v) = ±cv (10) ili x(u, v) = a cosh v cos u y(u, v) = a cosh v sin u z(u, v) = sinh v (11) Prirodna generalizacija jednokrilnog kružnog hiperboloida biće jednokrilni eliptički hiperboloid. Jednokrilni kružni hiperboloid koristeći program AutoCAD dobijamo na sledeći način: 1. Iz opcije Draw izaberemo Arc i nacrtamo jednogranu hiperbolu 2. Zatim selektujemo odgovarajuću hiperbolu 3. Ukljućimo opciju Revolve 4. Izaberemo osu oko koje će hiperbola rotirati 5. Izaberemo ugao od 360 stepeni 6. Enter Na taj način smo nacrtali jednokrilni hiperboloid. 29

Slika 4.4. Jednokrilni hiperboloid 4.5.2 Dvokrilni hiperboloid Rotacijom hiperbole oko ose koja sadrži žiže te hiperbole nastaje dvokrilni kružni hiperboloid. Njegova kanonska jednačina je ili u parametarskom obliku gde je u (, + ) i v [0, π) x 2 a + y2 2 a z2 = 1 (14) 2 c2 x = a sinh u cos v y = a sinh u sin v) z = c cosh u (15) Uopštenje dvokrilnog kružnog hiperboloida je dvokrilni eliptički hiperpoloid. Definicija 4.11. Neka su dati pozitivni realni brojevi a, b, c. Dvokrilni eliptički hiperboloid u R 3, je skup svih tačaka u R 3 čije koordinate (x, y, z) zadovoljavaju jednačinu x 2 a + y2 2 a z2 = 1 (16) 2 c2 Za razliku od jednokrilnog hiperboloida, dvokrilni hiperboloid nije pravolinijska površ. Dvokrilni hiperboloid se takod e moze nacrtati u programskom paketu AutoCAD. 30

1. Nacrtati deo hiperbole 2. Uključiti opciju Revolve 3. Enter Slika 4.5. Dvokrilni hiperboloid 4.6 Paraboloid Prikazaćemo vizualizaciju eliptičkog paraboloida, kruznog paraboloida (koji je specijalan slučaj eliptičkog paraboloida) i hiperboličkog paraboloida. 4.6.1 Eliptički paraboloid Definicija 4.12. Neka su p i q pozitivni realni brojevi. Skup tačaka iz R 3 čije koordinate u odnosu na neki pravougli koordinatni sistem Oxyz zadovoljavaju jednačinu x 2 p + y2 = 2z (20) q naziva se eliptički paraboloid (s parametrima p i q). Parametarske jednačine eliptičkog paraboloida su: x = a u cos v y = b u sin v z = u (18) Iz jednačine (20) se zaključuje da je eliptički paraboloid smešten u poluprostor z 0 i da su njegovi preseci ravnima z = h > 0 realne elipse; kada je p = q ti preseci su kružnice, iz čega se zaključuje da je tada paraboloid rotacioni (dobijen rotacijom parabole x 2 = 2pz, y = 0 oko Oz ose). Kružni paraboloid u AutoCAD možemo konstruisati na sledeći način: 31

1. Uz pomoc opcije Spline konstruisaćemo jednu granu parabole 2. Uključimo opciju Revolve 3. Selektujemo parabolu 4. Enter 5. Oznacimo pravac rotacije za ugao od 360 stepeni 6. Enter Slika 4.6. Kružni paraboloid Slika 4.7. Kružni paraboloid 4.6.2 Hiperbolički paraboloid Definicija 4.13. Neka su p i q pozitivni realni brojevi. Hiperbolički paraboloid (sa parametrima p i q) je skup tačaka iz R 3 čije koordinate u odnosu na neki pravougli koordinatni sistem Oxyz zadovoljavaju jednačinu x 2 p y2 q 32 = 2z. (23)

Presek hiperboloida (23) i ravni x = h je parabola ) (P h ) y 2 = 2q (z h2, x = h 2p u ravni ( paralelnoj ) ravni x = h i sa osom paralelnom Oz osi. Teme te parabole je T h, 0, h2 i pripada paraboli x 2 = 2pz, y = 0, što se lako proverava. 2p Otuda zaključak da hiperbolički paraboloid (23) nastaje tako što (pokretna) parabola (P 0 ) : y 2 = 2qz, x = 0 (otvorena ka negativnom smeru Oz ose) klizi po nepokretnoj paraboli (P ) : x 2 = 2pz, y = 0 (otvorenoj ka pozitivnom smeru Oz ose) tako da (prolazeći kroz položaje (P h )) osa i ravan parabole (P 0 ) ostaju paralelni polaznoj poziciji i da joj teme klzi po paraboli (P ). Na taj način se zaključuje da hiperbolički paraboloid ima izgled sedla. Postupak za vizuelizaciju hiperboličkog paraboloida u obliku sedla je: 1. Konstruisati uz pomoc opcije Spline 3 parabole od kojih su 2 iste,a treća manja i uza od njih 2. Postaviti ih tako da raspored bude veća-manja-veća i to u istoj ravni 3. Zarotirati sve 3 parabole za 90 stepeni 4. Uključiti opciju Loft 5. Selektovati sve 3 parabole odgovarajućim redosledom 6. Enter Slika 4.8. Hiperbolički paraboloid Slika 4.9. Hiperbolički paraboloid 33

4.7 Konusna površ U principu, konus je piramida sa kružnom osnovom. Pravi konus je konus kod koga je teme konusa iznad centra svoje baze. Med utim, kada se koristi bez prefiksa pravi obično se podrazumeva da se radi o pravom konusu. U diskusijama o konusnim presecima, reč konus se koristi u smislu dupli konus tj. dva konusa čiji su vrhovi postavljeni jedan na drugi. Definicija 4.14. Neka su a,b,c pozitivni realni brojevi. Eliptički konus je skup svih tačaka u R 3 čije koordinate u odnosu na neki pravougli koordinatni sistem zadovoljavaju kanonsku jednačinu x 2 a + y2 2 b = z2 2 c 2 Parametarske jednačine eliptičkog konusa visine h i poluosa a, b su x = a h u cos v h y = b h u sin v h z = u (26) gde je v [0, 2π), u [0, h] U slučaju a = b konus nazivamo kružnim slike 4.10 i 4.11 Slika 4.10. Kružni konus Slika 4.11. Kružni konus 34

Za konus u AutoCAD imamo opciju Cone koja iscrtava konus odred enog poluprečnika i odred ene visine. Med utim ukoliko želimo dupli konus da nacrtamo postupak je drugačiji. 1. Iscrtaćemo izvodnice oba konusa 2. Uključiti opciju Revolve 3. Selektovati osu rotacije koja prolazi kroz tačku dodira izvodnica 4. Uneti ugao rotacije 360 stepeni 4.8 Cilindarska površ Unija pravih, paralelnih nekoj unapred zadatoj pravoj tj. osi, koje seku elipsu, hiperbolu ili parabolu naziva se redom (realni) eliptički, hiperbolički odnosno parabolički cilindar. Preciznije uvodimo sledeću definiciju: Definicija 4.15. Neka su a, b pozitivni realni brojevi. Skup tačaka u R 3 koje zadovoljavaju kanonsku jednačinu (27) x 2 a + y2 2 b = 1 2 x 2 (28) a y2 2 b = 1 2 (29) y 2 = 2px naziva se redom naziva se redom eliptički, hiperbolički i parabolički cilindar Parametarskim jednačinama možemo predstaviti eliptički cilindar visine h i poluosa a, b: x = a cos u gde je u [0, 2π), v [0, h]. i hiperbolički: (30) (31) y = b sin u z = v x = a cosh u y = b sinh u z = v Formirajmo cilindarsku površ čija je direktrisa krug poluprečnika R i čije si generatrise normalne na ravan kruga, u programskom paketu AutoCAD: 35

1. Uključimo opciju Line i nactrajmo liniju odred ene dužine 2. Selektujemo liniju 3. Ukljucimo opciju Revolve 4. Na odred enom rastojanju od prave selektujemo osu rotacije paralelnu sa datom pravom 5. Unesemo ugao rotacije od 360 stepeni 6. Enter Slika 4.12. Cilindarska površ Slika 4.13. Cilindarska površ Slika 4.12 je prikazana opcijom Realistic Visual Style,a slika 4.13 opcijom 3D Wireframe Visual Style. Na sledećim slikama su prikazani eliptički, hiperbolički i parabolički cilindar, koji su u progamu AutoCad dobijeni na sledeći način: 1. Draw/Ellipse/Ellipse Arc 2. Selektovati objekat 3. Extrude 36

4. Enter Slika 4.14a. Eliptički cilindar Na sličan način korišćenjem opcije Extrude dobijamo hiperboički i parabolički cilindar, koji su prikazani na slikama 4.14b. i 4.14c. Slika 4.14b. Hiperbolički cilindar Slika 4.14c. Parabolički cilindar 4.9 Površ Apple Ovu površ je definisao Kepler. Sastoji se od više od polovine kružnog luka koji rotira oko ose koja prolazi kroz krajnje tačke luka. Ova površ je jako interesantna i ima izgled jabuke, otuda je i dobila naziv apple (jabuka). Postupak predstavljanja ove površi u programskom paketu AutoCAD je : 1. Uključimo opciju Circle da konstruišemo krug 37

2. Odredimo klikom miša na ekranu tačku koja ce biti centar kruga i poluprečnik kruga 3. Uključimo opciju Modify/Break 4. Selektujemo deo kruga koji zelimo 5. Enter 6. Uključimo opciju Revolve 7. Selektujemo više od polovine kružnog luka 8. Izaberemo osu rotacije kroz krajnje tačke luka 9. Enter Izgled površi Apple je dat na slikama 3.15 i 3.16. Slika 3.15 je prikazana opcijom Realistic Visual Style, a slika 3.16 opcijom 3D Wireframe Visual Style. Slika 4.15. Apple površ Realistic Visual Style Slika 4.16. Apple površ opcijom 3D Wireframe Visual Style. 38

4.10 Površ Lemon Ova površ je definisana od strane Keplera. Sastoji se od manje od polovine kružnog luka koji rotira oko ose koja prolazi kroz krajnje tačke luka. Ova površ ima oblik limuna pa je po tome i dobila naziv. Američki fudbal je u obliku lemon površi. Ovu površ dobijamo sledećim postupkom : 1. Uključimo opciju Circle da konstruišemo krug 2. Odredimo klikom miša na ekranu tačku koja ce biti centar kruga i poluprečnik kruga 3. Uključimo opciju Modify/Break 4. Selektujemo deo kruga koji zelimo, manje od polovine 5. Enter 6. Uključimo opciju Revolve 7. Selektujemo manje od polovine kružnog luka 8. Izaberemo osu rotacije kroz krajnje tačke luka 9. Enter Sledeće 3 slike predstavljaju površ lemon u programu AutoCAD u 3 različita vid enja: 3D Wireframe Visual Style, Realistic Visual Style i Conceptual Visual Style redom. Slika 4.17. Lemon površ 3D Wireframe Visual Style 39

Slika 4.18. Lemon površ Realistic Visual Style Slika 4.19. Lemon površ Conceptual Visual Style 4.11 Površ Spindle torus Ova površ je jedna od tri standardna torusa.dat je parametarskom jednačinom x = (c + acosv)cosu y = (c + acosv)sinu z = asinv Spoljašnjost površi zovemo apple, a unutrašnjost lemon. Na prvoj slici je prikazan Spindle torus, na drugoj presečen sa xz ravni, dok je na trećoj slici prikazan spindle torus primenom opcije 3D Wireframe Visual Style. Slika 4.20. Površ Spindle torus 40

Slika 4.21. Površ Spindle torus presečen sa ravni Slika 4.22. Površ Spindle torus 3D Wireframe Visual Style 4.12 Eliptički torus Eliptički torus je generalizacija kružnog torusa. Nastaje rotacijom elipse koja ima horizontalnu poluosu a, vertikalnu poluosu b u xz ravni i nalazi se na daljini c od ose z (oko ose z rotira). Eliptički torus dat je parametarskom jednačinom: x = (c + acosv)cosu y = (c + acosv)sinu z = bsinv Eliptički torus dobijamo na sledeći način: 1. Uključimo opciju Ellipse 2. Izaberemo osu a, osu b i radijus 3. Uključimo opciju Revolve 41

4. Selektujemo elipsu 5. Enter 6. Na odredjenom rastijanju od elipse izaberemo osu rotacije 7. Enter Na sledećoj slici je prikazan eliptički torus. Slika 4.23. Površ Eliptički torus Conceptual Visual Style 4.13 Kružni torus U geometriji torus je obrtna površ koja se dobija kada se rotira kružnica u trodimenzionalnom prostoru oko ose komplanarne sa kružnicom, a koja ne dodiruje krug. Primeri torusa su krofna sa rupom u sredini ili unutrašnja guma. Na slici 3.24 je prikazan torus dobijen na sledeći način: 1. Odaberimo opciju Torus koja se nalazi u Tools/Toolbars/AutoCAD/ Modeling 2. Unesimo klikom miša centar i radijus Torusa 3. Enter Slika 4.24. Površ Kružni torus Realistic Visual Style 42

4.14 Pseudosfera Kriva zadata jednačinom : x = 0 y = asint z = a(lntgt/2 + cost) gde je a>0, 0 < t < π naziva se traktrisa. Površ koja nastaje njenom rotacijom oko Oz ose zove se površ Beltramija ili pseudosfera. Na njoj se realizuje geometrija Lobačevskog. Parametarska jednačina ove površi je: x = asinusinv y = acosusinv z = a(lntgv/2 + cosv) Postupak crtanja pseudosfere u programu AutoCAD je: 1. Nacrtati krivu koja ima izgled traktrise uz pomoć opcije Spline 2. Selektovati krivu 3. Izabrati opciju Revolve 4. Izabrati osu rotacije 5. Uneti vrednost za ugao rotacije 6. Enter Na sledećim slikama je prikazana pseudosfera sa različitim uglovima rotacije i u različitim vizuelnim stilovima: Slika 4.25. Pseudosfera Realistic Visual Style, ugao rotacije 360 stepeni 43

Slika 4.26. Pseudosfera 3D Wireframe Visual Style, ugao rotacije 360 stepeni Slika 4.27. Pseudosfera 3D Wireframe Visual Style, ugao rotacije 90 stepeni 4.15 Konoidna površ Definicija 4.16. Pravolonijska površ se zove konoidna površ ili konoida ako je generisana pravom paralelnom datoj ravni - direktorna ravan i seče fiksiranu pravu - osu konoida i fiksiranu (stalnu) krivu - direktrisu konoidne površi. Na sledećoj slici imamo slučaj konoidne površi kada je direktrisa sinusoida. Slika 4.28. Konoid generisan sinusoidom, Conceptual Visual Style 44

Slika 4.29. Konoid generisan sinusoidom, 3D Wireframe Visual Style Slika 4.30. Konoid generisan sinusoidom, Realistic Visual Style Procedura crtanja konoida generisanog sinusoidom: 1. Draw/Spline za crtanje sinusoide 2. 3D Rotate za ugao od 90 stepeni 3. Draw/Line za crtanje linije 4. Tools/Toolbars/Modeling/Loft 5. Selektovati sinusoidu i liniju 6. Enter Hiperbolički paraboloid je najprostiji konoid. Generisan je kretanjem prave paralelno ravni tako da preseca dve prave. Te dve prave su ose konoida. Prav helikoid je primer konoidne površi kojoj je osa koordinatna osa Oz, direktorna ravan Oxy ravan i direktrisa kružna cilindarska zavojnica čija je jednačina : x = acosu y = asinu 45

z = bu Jednačina pravog helikoida u parametarskom obliku je : x = vcosu y = vsinu z = bu Način na koji možemo nacrtati pravi helikoid je sledeći: 1. Tools/Toolbars/Modeling/Helix 2. Odrediti poluprečnik donje osnove, poluprečnik gornje osnove i visinu heliksa 3. Draw/Line 4. Odrediti početnu i krajnju tačku prave tako da jedan kraj heliksa bude početak prave 5. Tools/Toolbars/Modeling/Sweep 6. Selektovati pravu 7. Enter 8. Selektovati heliks 9. Enter Ukoliko se prvo selektuje heliks a zatim prava ništa se neće dobiti, zato je bitan redosled selektovanja. Prav helikoid je prikazan na slikama ispod. Slika 4.31 Prav helikoid, Conceptual Visual Style 46

Slika 4.32. Prav helikoid, Realistic Visual Style 47

5 Geodezijska krivina krive na površi i geodezijske linije U ovom delu ćemo definisati geodezijske linije, geodezijsku krivinu i prikazati vizualizaciju uz pomoć programskog paketa AutoCad. 5.1 Definicija i geometrijsko tumačenje geodezijske krivine Posmatrajmo na površi (Slika 5.1) krivu Slika 5.1. S : r = r(u 1, u 2 ) C : r = r[u 1 (s), u 2 (s)]. Vektor krivine ove krive možemo napisati u obliku K = r = Kn = Kν + λ 1 r 1 + λ 2 r 2 = Kν + λ p r p = K ν + K g = MP gde je vektor normalne krivine K ν = Kν = MN a vektor geodezijske krivine K g = λ p r p = MG 48

koji predstavlja normalnu projekciju vektora K na tangentnu ravan u tački M. Dalje imamo t ν i t n t ravan(ν, n) t MG = K g jer MG leži u ravni (ν, n). Normalni vektor ν orijentišimo na onu stranu od tangentne ravni, na koju je orijentisan vektor glavne normale krive r = MP = Kn. Vektor MG = Kg orijentiše se tako da se orijentacija triedra t, K g, ν poklapa sa orijentacijom triedra r 1, r 2, ν. Intenzitet vektora geodezijske krivine se zove geodezijska krivina krive na površi : K g = K g = MG Sada je K = MN = MP cosθ, Kg = MG = MP sinθ tj. K = Kcosθ, K g = Ksinθ gde je K krivina krive C. U vezi sa geometrijskim tumačenjem geodezijske krivine važna je sledeća teorema Teorema 5.1. Vektor geodezijske krivine K g krive C na površi u datoj tački poklapa se sa vektorom krivine normalne projekcije C 0 krive C na tangentnu ravan površi u toj tački. Dokaz: Projektujmo C normalno na tangentnu ravan τ u krivu C 0. Projektujuće prave čine cilindričnu površ Z, pa je Z S = C, Z τ = C 0 Posmatrajmo C i C 0 kao krive na Z. One imaju zajedničku tangentu t. Tangentna ravan cilindra u tački M je odred ena sa t i ν, pa je MG normala. Kriva C 0 je normalni presek Z u pravcu t. Ako C posmatramo kao krivu na Z, onda je MG vektor normalne krivine za C, odnosno vektor krivine normalnog preseka C 0, koji odgovara pravcu t. Ili K g = MG je vektor krivine ravne krive C 0 normalne projekcije krive C na τ. 49

5.2 Izračunavanje geodezijske krivine krive Teorema 5.2. Za geodezijsku krivinu krive r = r[u 1 (s), u 2 (s)] na površi r = r(u 1, u 2 ) važi obrazac K g = [r, r, ν] = [t, Kn, ν] n gde su izvodi po luku, K je krivina (fleksija) krive, t ort tangentne krive, ort glavne normale, ν ort normale površi. Dokaz: Ako sa g obeležimo ort vektora geodezijske krivine, biće K g = K g g pa r = Kν + K g g, g = ν t odakle množenjem prve jednačine sa g: K g = r g = r (ν t) = [t, r, ν]. Teorema 5.3. Geodezijska krivina krive na površi je objekat unutrašnje geometrije te površi i izražava se jednačinom K g = g(u 1 λ 2 u 2 λ 1 ) gde je g = g 11 g 22 (g 12 ) 2, u i = u i (s) su unutrašnje jednačine krive i λ i = u i + Γ i jku j u k Dokaz: Posmatrajmo krivu r = r[u 1 (s), u 2 (s)] na površi r = r(u 1, u 2 ). Odredićemo λ i u obrascu K g = λ i r i, (i = 1, 2) Diferenciranjem jednačine krive po s i primenom derivacionih formula: r = r 1 u 1 + r 2 u 2 = r j u j, r = r jk u j u k + r j u j = (Γ i jk r i + b jk ν)u j u k + r j u j, 50

U članu r j u j nemi indeks j zamenimo sa i u cilju grupisanja: r = K = ( u i + Γ i jku j u k ) r i + b jk u j u k ν, Ovde je koeficijent uz ν normalna krivina krive K = duj ds du k ds = b jkdu j du k (ds) 2 = II I Za tangentnu komponentu λ i r i dobijamo λ i = u i + Γ i jku j u k i K g = λ i r i = ( u i + Γ i jku j u k ) r i Zamenom r i r = λ i r i + Kν u K g = [r, r, ν] : K g = [r, r, ν] = [r 1 u 1 + r 2 u 2, λ 1 r 1 + λ 2 r 2 + Kν, ν] = [r 1 u 1, λ 2 r 2, ν] + [r 2 u 2 + λ 1 r 1, ν] = u 1 λ 2 [r 1, r 2, ν] u 2 λ 1 [r 1, r 2, ν] = u 1 λ 2 (r 1 r 2 ) ν u 2 λ 1 (r 1 r 2 ) ν Kako je r 1 r 2 = ν g i ν = 1 to se dobija tražena jednakost. Da je K g objekat unutrašnje geometrije vidi se iz pokazane jednakosti, jer osim krivolinijskih koordinata u i (s) figurišu samo g ij. 5.3 Geodezijska krivina koordinatnih linija i Liuvilova teorema Za koordinatne linije u 2 = const. i u 1 = const. vrednosti K g će nam biti potrebne u daljem, pa ćemo izvesti odgovarajuće obrasce. Teorema 5.4. Za geodezijsku krivinu koordinatnih linija u 2 = const. i u 1 = const. važe respektivno obrasci K g1 = (K g ) u 2 =const. = gγ 2 11/g 11 g11 K g2 = (K g ) u 1 =const. = gγ 1 22/g 22 g22 Dokaz: Polazeći od obrasca za geodezijsku krivinu krive na površi 51

K g = g(u 1 λ 2 u 2 λ 1 ) gde je λ 1 = u 1 + Γ 1 jku j u k = u 1 + Γ 1 11(u 1 ) 2 + 2Γ 1 12u 1 u 2 + Γ 1 22(u 2 ) 2 pa za u 2 = const. dobijamo K g1 = gu 1 λ 2 = gu 1 (0 + Γ 2 jku j u k ) = gγ 2 11(u 1 ) 3 u 1 = du1 ds = du1 = 1 dr dr = 1 du 1 r 1 = 1 g11 jer je dr = r 1 du 1 + r 2 du 2 = r 2 du 1 za u 2 = const. Teorema 5.5. (J.Liouville) Neka je C kriva na površi S : r = r(u, v), na kojoj su koordinatne linije ortogonalne. Ako je θ(s) ugao, koji C gradi sa u- linijom u posmatranoj tački M C, K g1, K g2 geodezijske krivine u, odnosno v-linije u M, tada za geodezijsku krivinu krive C u tački M vazi Liuvilova formula: Dokaz: K g = dθ ds + K g 1 cosθ + K g2 sinθ Neka su redom t, t 1, t 2 ortovi tangenata krive C u- i v-linije, pri čemu, kako t 1, t 2, ν, tako i t, g, ν čine desni triedar. Svi vektori (t 1, t 2, t, g) leže u tangentnoj ravni, jer su normalni na ν i t 1 t 2, t g. Iz obrasca množenjem sa g dobijamo Dalje imamo r = K = Kν + K g g K g = r g = dt ds g...(5.1) t = t 1 cosθ + t 2 sinθ g = t 1 cos(π/2 + θ) + t 2 cosθ = t 1 sinθ + t 2 cosθ...(5.2) dt = dt 1 cosθ t ds ds 1sinθ dθ + dt 2 sinθ + t ds ds 2cosθ dθ ds 52

tj. dt ds = dt 1 cosθ + dt 2 ds ds sinθ + g dθ ds Treba naći dt 1 i dt 2 kako bismo ih zamenili u prethodno navedenoj formuli. Imamo dt 1 = t 1 du + t 1 dv...(*) ds u ds v ds Ako sa s 1, s 2 obeležimo luk u-, odnosno v-linije, biće du ds 2 = 0, jer se duž U-linija menja sano s 1 i analogno dv ds 1 = 0. Iz tog razloga je što zamenom u (*) daje Zbog dv ds 1 = 0 je dt 1 (**) daje Kako je ds 1 = t 1 u du = du ds 1 ds ds 1 ds, dv = dv ds 2 ds ds 2 ds dt 1 = t 1 du ds 1 + t 1 dv ds 2...(**) ds u ds 1 ds v ds 2 ds du ds 1 + t 1 v dv ds 1 = t 1 du u ds 1 i dt 1 ds 2 = t 1 v dt 1 ds = dt 1 ds 1 ds 1 ds + dt 1 ds 2 ds 2 ds...(***) dr = r u du + r v dv = d u r + d v r, ds = dr, ds 1 = d u r, ds 2 = d v r, sinθ = d v r / dr = ds 2 /ds, to (***) i analogna jednačina za t 2 daju dv ds 2, što smenom u dt α ds = dtα ds 1 cosθ + dtα ds 2 sinθ (α = 1, 2) dt ds = dt 1 ds 1 cos 2 θ + ( dt 1 ds 2 + dt 2 ds 1 )sinθcosθ dt 2 ds 2 sin 2 θ + g dθ ds...(5.3) a zatim prema (5.1), (5.2), (5.3): K g = dt 1 ds 1 cos 2 θ( t 1 sinθ + t 2 cosθ) + ( dt 1 ds 2 + dt 2 ds 1 )sinθcosθ( t 1 sinθ + t 2 cosθ) + dt 2 ds 2 sin 2 θ( t 1 sinθ + t 2 cosθ) + (g g) dθ, ds pa pošto je dt α /ds β t α (t α je jedinični vektor) i g g = 1: K g = dt 1 ds 1 t 2 cos 3 θ + dt 1 ds 2 t 2 cos 2 θsinθ dt 2 ds 1 t 1 sin 2 θcosθ dt 2 ds 2 t 1 sin 3 θ + dθ ds, 53

Dalje imamo t 1 t 2 = 0 dt 1 ds 1 t 2 + t 1 dt 2 ds 1 = 0 t 1 dt 2 ds 1 = dt 1 ds 1 t 2 i analogno diferenciranjem po s 2 : t 2 dt 1 ds 1 = t 1 dt 1 ds 2, pa K g = dt 1 ds 1 t 2 cos 3 θ dt 2 ds 2 t 1 cos 2 θsinθ + dt 1 ds 1 t 2 cosθsin θ dt 2 ds 2 t 1 sin 3 θ + dθ ds Ali prema (5.1), ako umesto t zamenimo t 1, treba g zameniti sa t 2, s sa s 1 i K g sa K g1. Analogno, K g, t, s, g u (5.1) zamenjujemo redom sa K g2, t 2, s 2, t 1, pa dobijamo K g1 = dt 1 ds 1 t 2, K g2 = dt 2 ds 2 ( t 1 ) što zamenom u poslednju jednačinu za K g daje K g = K g1 cos 3 θ + K g2 cos 2 θsinθ + K g1 cosθsin 2 θ + K g2 sin 3 θ + dθ K ds g = dθ + K ds g 1 cosθ + K g2 sinθ. 5.4 Geodezijske linije na površi Geodezijska linija se može definisati na više ekvivalentnih načina. Mi polazimo od sledeće definicije: Definicija 5.6. Geodezijska linija je kriva na površi, u čijoj je svakoj tački geodezijska krivina nula. Teorema 5.7. Kriva C : r = r[u 1 (s), u 2 (s)] je geodezijska linija na površi r = r(u 1, u 2 ), akko je ispunjen bilo koji od uslova: 1. C je prava ili je u svakoj tački glavna normala krivine kolinearna sa normalom površi; 2. [r,r, ν] = 0 3. u 1 λ 2 u 2 λ 1 = 0, gde su λ i = u i + Γ i jku j u k ; 4. Oskulatorna ravan krive sadrži normalu površi; 54

5. I krivina (fleksija) krive po apsolutnoj vrednosti poklapa se sa normalnom krivinom. Dokaz: Po definiciji C je geodezijska linija akko K g = 0 1. K g = 0 Ksinθ = 0 K = 0 (C je prava) sinθ = 0 (θ {0, π}), tj. r (n) i ν su kolinearni. 2. Na osnovu (5.2) 3. Na osnovu (**) 4. Na osnovu 2), jer r, r, odred uju oskulatornu ravan 5. Kako je K = Kn = Kν + K g g to: K g = 0 Kn = Kν (n i ν su kolinearni) K = ±K. Na osnovu definicije geodezijskih linija ili na osnovu nekog drugog potrebnog i dovoljnog uslova, mogu se dobiti diferencijalne jednačine geodezijskih linija na površi. Ako je zadata jednačina površi r = r(u 1, u 2 ) uslov 2) u prethodnoj teoremi je diferencijalna jednačina geodezijskih linija. Kako je r = dr/ds, r = d 2 r/ds 2, to se uslov 2) može napisati u obliku [dr, d 2 r, ν] = 0 Ako iz jednačine površi nad emo dr, d 2 r, ν prethodna jednačina postaje φ(u 1, u 2, du 1, du 2, d 2 u 1, d 2 u 2 ) = 0. Geodezijska linija kao kriva na površi odred ena je jednačinom površi i vezom med u parametrima λ(u 1, u 2 ) = 0 ako smatramo ovde u 2 kao funkciju od u 1 : biće d 2 u 1 = 0 pa je u 2 = u 2 (u 1 ), φ 1 (u 1, u 2, du 2 /du 1, d 2 u 2 /(du 1 ) 2 ) = 0 Integracijom ove jednačine dobija se jednačina 55

f(u 1, u 2, C 1, C 2 ) = 0 koja zajedno sa jednačinom površi odred uje familiju geodezijskih linija. Uslov 3) u prethodnoj teoremi u 1 λ 2 u 2 λ 1 = 0 takod e daje diferencijalnu jednačinu geodezijskih linija. Zamenom λ 1, λ 2 u u i = du i /ds u i = d 2 u i /ds 2 iz prethodnog reda sledi du 1 = [ d2 u 2 + Γ 2 ds ds 2 jk duj du k ] du2 [ d2 u 1 + Γ 1 ds ds ds (ds) 2 jk duj du k ] = 0 ds ds Ovde imamo jednu diferencijalnu jednačinu, a dve nepoznate funkcije u 1 (s) i u 2 (s). Druga jednačina je ds 2 = g ij du i du j du g i du j ij = 1 ds ds Med utim, umesto rešavanja ovog sistema, pogodnije je postupiti na sledeći način. Prethodnu jednačinu pomnožimo sa (ds) 3 i geodezijske linije potražimo u obliku u 2 = u 2 (u 1 ). Tako dolazimo do jednačine oblika φ 1 (u 1, u 2, du 2 /du 1, d 2 u 2 /(du 1 ) 2 ) = 0. Med utim, u ovom slučaju ne mora se znati jednačina površi, dovoljno je znati I kvadratnu formu i dobija se rešenje f(u 1, u 2, C 1, C 2 ) = 0. U tom slučaju kažemo da smo odredili geodezijske linije date metrike (ds) 2 = g ij du i du j. U slučaju u 2 = u 2 (u 1 ) dolazi se do jednačine d 2 u 2 (du 1 ) 2 = Γ 1 22( du2 du 1 ) 3 + (2Γ 1 12 Γ 2 22)( du2 du 1 ) 2 (2Γ 2 12 Γ 1 11) du2 du 1 Γ 2 11...(5.4) Iz K g = 0 K g = λ i r i = 0 dobijamo λ 1 = 0, tj. d 2 u i ds 2 + Γ i 11( dui ds )2 + 2Γ i 12 du1 du 2 + ds ds Γi 22( du2 ds )2 = 0, i = 1, 2 Ovo je sistem diferencijalnih jednačina po nepoznatim funkcijama u 1 (s), u 2 (s). Dokazaćemo da se ovaj sistem može svesti na sistem (5.4). Kako je u 1 = u 1 (s), u 2 = u 2 (s) za funkciju u 2 = u 2 (u 1 ) Zamenom d2 u i (ds) 2 du 2 du 1 = du 2 ds d, 2 u 2 = du 1 (du 1 ) 2 ds d 2 u 2 (ds) 2 du1 ds d2 u 1 (ds) 2 du2 ds. ( du1 ds )2 i = 1, 2 u drugu od ovih jednačina imaćemo d 2 u 2 ( du1 (du 1 ) 2 ds )3 = du1 ds [Γ2 11( du1 ds )2 + 2Γ 2 12 du1 ds du 2 ds [Γ1 11( du1 ds )2 + 2Γ 1 12 du1 ds 56 du 2 ds du 2 ds + Γ2 22( du2 + Γ1 22( du2 ds )2 ] ds )2 ] +

odakle se deljenjem sa (du 1 /ds) 3 dobija (5.4). Primer. Naći geodezijske linije površi r = (ucosv, usinv, u)...(5.5) Rešenje. Ovde je u 1 = u, u 2 = v, pa iz (5.4) dobijamo d 2 v du 2 = Γ 1 22( dv du )3 + (2Γ 1 12 Γ 2 22)( dv du )2 (2Γ 1 12 Γ 1 11) dv du Γ2 11...(5.6) Iz (5.5) je r u = (cosv, sinv, 1), r v = ( usinv, ucosv, 0), g 11 = (r u ) 2, g 12 = 0, g 22 = (u) 2, Γ 1 22 = u/2, Γ 2 12 = 1/2, a ostali Kristofelovi simboli su 0. Jednačina (5.6) daje d 2 v (du) 2 = u 2 ( dv du )3 2 dv u du...(5.7) Ova jednačina je zadovoljena za dv = 0 v = C = const., što zajedno sa jednačinom površi odred uje prvu familiju geodezijskih linija. To su prave x = ucosc, y = usinc, z = u, tj. x = cosc y sinc = z Iz (5.5) se dobija (x) 2 + (y) 2 = (z) 2 odakle vidimo da se radi o konusnoj površi. Potražimo sada drugu familiju geodezijskih linija na površi (5.5). Smenom dv = p u (5.7) dobijamo Bernulijevu jednačinu du p = (C 1 (u) 4 1 2 (u)2 ) 1 2 v = dp (du) = 2 u p u 2 (p)3 = dv, odakle je du du = 2arcsin(C C1 (u) 4 1 1 /u) + C 2 2 ()2 Ova jednačina zajedno sa jednačinom površi definiše drugu familiju geodezijskih linija. Na sledećoj slici su prikazane geodezijske linije na konusu. Slika 5.4 Geodezijske linije na konusu, AutoCad 57

6 Razlike u vizualizaciji izmed u AutoCAD i Mathematica 6.1 Programski paket Mathematica Od devedesetih godina prošlog veka paket Mathematica se razvija i postaje koristan alat za mnoga istraživanja u oblasti matematike, prirodnih nauka, ali i drugih nauka, naročito tehnike. Mathematica je razvijena u softverskoj kompaniji Wolfram Research i predstavlja programski paket za matematičke i druge primene (tehnologija, finansije, medicina, istraživanje, obrazovanje). Posebno je pogodna za obradu numeričkih podataka, za simbolička procesiranja, kao i za grafičko prikazivanje podataka i funkcija. Za rad u programskom paketu Mathematica koriste se dokumenta koja se zovu beležnici (notebooks). Beležnici se sastoje od ćelija koje mogu sadržati tekst, izračunavanja ili grafikone. Ćelija se prepoznaje po zagradama sa desne strane ([ ]). Ulazni podaci na osnovu kojih se vrši izračunavanje u paketu Mathematica se unose u ulaznim ćelijama. Da bi se kreirala nova ulazna ćelija, treba pritisnuti van postojeće ćelije i početi sa kucanjem. Nakon unosa podataka treba pritisnuti taster SHIFT u kombinaciji sa tasterom ENTER. Mathematica vrši izračunavanje na osnovu unetih podataka i daje izlazni rezultat u izlaznoj ćeliji odmah ispod ulazne ćelije. Prekid računanja se postiže tasterima [Alt][,] ili [Alt][.]. Ćelije In[n]:= i Out[n]= dodaju se automatski. Crtanje preciznih slika krivih i površi je važan zadatak geometrije. Upotreba računara omogućuje jednostavno izračunavanje nekih geometrijskih veličina koje se komplikovano odred uju ručno. Na taj način se omogućuje uvid u kompleksne odnose i njihovo grafičko predstavljanje. Takav pristup je omogućio razvoj geometrije i otvorio nove mogućnosti za istraživanje. Moze se reći da MATHEMATICA podržava funkcionalni stil programiranja. Ona dopušta samo poziv parametara po adresi. Nedostatak poziva po adresi nadoknad uje se objektima koji se pamte u globalnom okruženju. MATHEMATICA poseduje mnoge funkcije od kojih su neke veoma moćne i rešavaju složene probleme. Med utim, postoje problemi koji se ne mogu rešiti samo pomoću ugrad enih funkcija. Tada je potrebno uraditi više operacija ili postupati po nekom algoritmu, tj. potrebno je programirati. 58

6.2 Razlike u vizualizaciji Vizualizacija kao način da se apstraktni pojmovi približe ljudskom umu oduvek je bila povezana sa geometrijom, ali tek razvojem savremenih računara dobija ogromne primene. Suština vizualizacije u računarskoj grafici je centralno projektovanje prostora na ekran računara, matematički rečeno, projekcija euklidskog prostora na euklidsku ravan. Ovde ćemo, konkretno, uočavati razlike u vizuelizaciji krivih i površi u paketu Mathematica i paketu Auto- CAD. Prednosti AutoCAD su sto je brži i jednostavniji za rad. Recimo ukoliko zelimo da nacrtamo krug u AutoCAD iz opcije Draw klikom miša izaberemo Circle, kliknemo za centar kruga, a zatim za poluprečnik i krug je nacrtan. Ovde ne može da dod e do greške da se ne nacrta krug,d ok u Mathematici može. Kada crtamo krug u Mathematici moramo znati naredbu kojom da nacrtamo krug. Ovde je to circle[{x, y},r],gde su x i y koordinate centra a r dužina poluprečnika. Med utim ukoliko zaboravimo neku od zagrada ili neki simbolički znak, krug se neće nacrtati. Zato Mathematica kao program zahteva veliku preciznost i obimno matematičko predznanje. Za AutoCAD nije potrebno neko veliko matematičko predznanje čak i neko ko ne zna šta je krug, mogao bi prateći uputstva u AutoCAD da ga nacrta. Za odred ene krive i površi Mathematica zahteva poznavanje jednačina krivih i površi da bi ih nacrtala, dok se u AutoCAD to realizuje sa par opcija. Na primer, elipsoid u Mathematici se iscrtava nakon ukucavanja ParametricPlot3D[{Cos[v]Cos[u], 2 Sin[u]Cos[v], 3 Sin[v]},{u, 0, 2P i}, {v, P i/2, P i/2}] U AutoCAD ga mozemo isctati koristeći Ellipse Arc i Revolve. Nedostatak AutoCad je što u njemu uvek crtamo proizvoljnu krivu ili površ, dok je Mathematica precizniji program koji u zavisnosti od parametarske jednačine iscrtava odredjenu površ. Zahvaljujući vizualizaciji matematičkih površi, mnogi umetnici, arhitekte i inžinjeri su nasli nepresušan izvor inpiracije u matematickim površima. Tako na primer Vladimir Shuhkov (1853-1939) je inspirisan izgledom hiperboloida napravio zgradu prikazanu na slici ispod 59

Slika 6.1. Zgrada hiperboloid Sledeći primer pokazuje kako je hiperbolički paraboloid iskorišćen da se napravi ležalka koja se u Americi veoma skupo prodaje. Slika 6.2. Hiperbolički paraboloid Muzej u Montrealu ima strukturu sfere. Prikazan je na slici ispod : Slika 6.3 Montreal, muzej sferne strukture Mnoge površi je lakše nacrtati u Mathematica, nego u AutoCAD, a u arhitekturi bi bile od velikog značaja. Zato koristimo opciju EXSPORT, da prebacimo površ iz Mathematica u AutoCAD, kako bi je mogli iskoristiti za konstrukciju odred enog objekta (kuća, zgrada, poslovni prostor, muzej, skola itd. ). AutoCad podržava dxf fajl, zato eksportovanje izvodimo na sledeći način : Nacrtamo površ odgovarajućom naredbom 60

Export[ test.dxf, %] Medjutim tu površ AutoCAD prepoznaje kao objekat sastavljen od preko 3000 malih objekata i linija pa se zato sa tim objektom ne moze nešto posebno uraditi, tj. ne moze se mnogo modifikovati, već se u arhitekturi može koristiti kao originalan objekat, bez nekih dodataka. Pored AutoCad koji se koristi u arhitekturi, postoji i program 3D Max koji je po funkcionisanju i opcijama sličan AutoCad. Autodesk 3ds Max, tj. 3D Studio Max je 3D kompjuterski grafički softver za pravljenje 3D animacija, modela i slika. Ovaj program takod e proizvodi kompanija AutoDesk koja proizvodi i AutoCad. Navešćemo sada primer kako površ koju nacrtamo u Mathematica eksportujemo u dxf file i realizujemo uz pomoć 3D Max u konkretan objekat koji ima svoju namenu. U programskom paketu Mathematica posle ukucavanja naredbe : SphericalP lot3d[1 + 1/5Sin[3v], {u, 0, P i}, {v, 0, 2P i}] dobićemo površ prikazanu na slici 6.4 Slika 6.4. Površ u Mathematica Zatim ćemo kao u gore navedenom postupku eksportovati ovu površ u dxf fajl i otvoriti je u programu 3D Max. Posle izvršavanja odred enih naredbi dobićemo objekat prikazan na slikama 6.5 i 6.6 čija namena bi bila za tržni centar. Slika 6.5. Gotov objekat, 3D Max 61

Slika 6.6. Bočni prikaz objekta Ovaj trzni centar se sastoji od staklenog dela i betonskog dela, koji su prikazani na slikama 6.7 i 6.8 Slika 6.7. Stakleni deo Slika 6.8. Betonski deo Ovim se dobija na uštedi vremena pri izradi projekata. Za objekat prikazan na slici 6.5 je potrebno oko 1h da se iscrta, dok bi bez poznavanja Mathematica trebalo čak do 5 puta više vremena. 62