Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Margareta Tvrdy Banachovi prostori Završni rad Osijek, 2013

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Margareta Tvrdy Banachovi prostori Završni rad Osijek, 2013.

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Margareta Tvrdy Banachovi prostori Završni rad Mentor: doc.dr.sc. Ivan Matić Osijek, 2013.

Sažetak. Banachovi prostori su normirani prostori u kojima je svaki Cauchyjev niz konvergentan. Banachovi prostori imaju središnju ulogu u funkcionalnoj analizi i na njemu se temelje bitni teoremi kao što su Baireov teorem te njegove posljedice - Teorem o otvorenom preslikavanju i Teorem o zatvorenom grafu. Najpoznatiji primjeri Banachovih prostora su l i l p, p 1. Ključne riječi: Banachov prostor, vektorski prostor, normirani prostor, konvergencija niza, gust skup, norma operatora, izometrija, Cauchyjev kriterij konvergencije. Abstract. Banach spaces are normed spaces in which every Cauchy sequence converges. Banach spaces play a central role in the whole functional analysis and the most important theorems, such as Baireov theorem and its consequences - Theorem on the open mapping and closed graph theorem, are based on the main properties of these spaces. The best known examples of Banach spaces are l i l p, p 1. Keywords: Banach space, vector space, normed space, the convergence of a series, dense set, the norm of an operator, isometries, Cauchy convergence criterion.

Sadržaj 1 Uvod 1 2 Vektorski prostori 2 3 Banachovi prostori 6 3.1 Normirani prostori............................... 6 3.2 Banachovi prostori............................... 8 4 Baireov teorem i posljedice 11

Banachovi prostori 1 1 Uvod Zadatak ovog završnog rada je reči nešto o Banachovim prostorima i iznijeti neke važnije teoreme i činjenice vezane uz ove prostore. Banachovi prostori su dobili naziv po poljskom matematičaru Stefanu Banachu koji ih je proučavao zajedno s Hansom Hahnom i Edvardom Hellyem. Stefan Banach jedan je od najvažnijih i najutjecajnijih matematičara 20. stoljeća i jedan od utemeljitelja moderne funkcionalne analize. Banachovi prostori imaju središnju ulogu u funkcionalnoj analizi, a njihovo proučavanje proizišlo je iz proučavanja prostora funkcija. Prije definiranja Banachovih prostora moramo definirati osnovne pojmove iz vektorskih prostora koji su nam potrebni za razumijevanje ostatka rada. U glavnom dijelu rada opisat ćemo normirane prostore i navesti najčešće korištene norme ( x, x 1, x 2 ). Za konačno definiranje pojma Banachovih prostora preostaje još definirati koncergenciju niza. Banachov prostor definiramo kao normirani prostor u kome je svaki Cauchyjev niz konvergentan, a nazivamo ga još i potpunim prostorom. Najpoznatiji primjeri Banachovih prostora su: 1) l - skup svih ograničenih nizova (ξ n ) u C, gdje je sa x = sup{ ξ n ; n N}, x = (ξ n ) l zadana norma na prostoru l s obzirom na koju je l Banachov prostor. 2) Neka je p 1. l p - skup svih nizova (ξ n ) u C takvih da je red n N ξ n p konvergentan. Tada je sa [ ] 1 x p = ξ n p p, x = (ξn ) l p, n=1 zadana norma na prostoru l p s obzirom na koju je l p Banachov prostor. U zadnjem poglavlju rada dokazat ćemo nekoliko teorema funkcionalne analize kod kojih je ključna potpunost prostora.

Banachovi prostori 2 2 Vektorski prostori Vektorski prostor V nad poljem skalara K 1 je skup s: operacijom zbrajanja na V: (v, w) v + w s V V u V množenja skalarom vektora iz V: (λ, w) λw s K V u V Zahtjeva se da zbrajanje ima sljedeća svojstva: 1. asocijativnost zbrajanja: ( v, w, u V) (v + w) + u = v + (w + u) 2. postojanje neutralnog elementa: 0 takav da je ( v V) v + 0 = 0 + v = v 3. postojanje suprotnog elementa: v V postoji jedinstven element v takav da je v + ( v) = ( v) + v = 0 4. komutativnost zbrajanja: ( v, w V) (v + w) = (w + v) Za množenje se zahtjevaju sljedeća svojstva: 1. distributivnost množenja skalarom λ s obzirom na zbrajanje vektora: ( v, w V)( λ K) λ(v + w) = λv + λw 2. distributivnost zbrajanja skalara s obzirom na množenje vektora: ( v V)( λ, µ K) (λ + µ)v = λv + µv 3. asocijativnost množenja skalara kod množenja vektora ili kvaziasocijativnost: ( v V)( λ, µ K) (λµ)v = λ(µv) 4. invarijantnost s obzirom na množenje brojem jedan: ( v V) 1v = v. Potprostor W vektorskog prostora V je svaki neprazan podskup od V sa svojstvima: 1. ( v, w W) v + w W 2. ( v W)( λ K) λv W. 1 Kako svaki put nebismo precizirali radi li se o R ili C označavamo ih oznakom K.

Banachovi prostori 3 Znači da je W i sam vektorski prostor nad istim poljem s obzirom na iste operacije. To zapisujemo W V. Kao posljedica definicije potprostora izlazi da je presjek bilo kojeg skupa potprostora prostora V ponovno potprostor od V. Ako je S bilo koji podskup vektorskog prostora V, sa [S] označavamo presjek svih potprostora od V koji sadrže skup S: [S] = S W V [S] je najmanji potprostor koji sadrži skup S i zove se potprostor generiran (ili razapet) skupom S. Linearna kombinacija vektora x 1, x 2,..., x n V je vektor v V koji se može zapisati u obliku: v = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ n x n, λ 1, λ 2,..., λ n K. Teorem 1. Ako je V vektorski prostor i S neprazan podskup od V onda je [S] skup svih linearnih kombinacija vektora iz skupa S, odnosno [S] = {v V ; n N, λ 1,..., λ n K, x 1,..., x n S, takvi da v = λ 1 x 1 + +λ n x n }. Dokaz: Označimo sa X skup svih linearnih kombinacija vektora iz S. Lako se vidi da je X potprostor od V koji sadrži S. Stoga je [S] X. Dokažimo da vrijedi i obrnuta inkluzija. Neka je W bilo koji potprostor koji sadrži S. Tada W sadrži i svaku linearnu kombinaciju vektora iz S. Drugim riječima, vrijedi X W. Odatle slijedi: X W = [S]. Konačno slijedi jednakost [S] = X. S W V Za podskup S vektorskog prostora V kažemo da je linearno nezavisan ako vrijedi: W. x S = x / [S \ {x}]. U suprotnom skup S zove se lineano zavisan. Dakle, S je linearno zavisan ukoliko postoji x S koji je linearna kombinacija preostalih vektora iz S. Skup S je linearno zavisan ako i samo ako postoje međusobno različiti vektori x 1, x 2,..., x n S i postoje λ 1, λ 2,..., λ n K\{0} takvi da je λ 1 x 1 +λ 2 x 2 + +λ n x n = 0. Uz pojam nezavisnosti vezan je pojam baze vektorskog prostora. Baza vektorskog prostora V je podskup B od V koji je linearno nezavisan i koji razapinje čitav prostor V. Svaki vektor x V može se na jedinstven način zapisati kao linearna kombinacija vektora iz B. Za vektorski prostor V kažemo da je konačnodimenzionalan ako je razapet nekim svojim konačnim podskupom. U suprotnom, prostor V nije konačnodimenzionalan te kažemo da je V beskonačnodimenzionalan.

Banachovi prostori 4 Primjer 1. Navedimo neke primjere konačnodimenzionalnih vektorskih prostora: a) Skup {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} je baza vektorskog prostora C 3, tj. skup C 3 je razapet svojim konačnim podskupom te je konačnodimenzionalan. b) U prostoru matrica E mn promotrimo skup E = {E ij : i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n} gdje su koeficijenti matrice E ij = [e kl ] dani s e ij = 1 i e kl = 0 čim je k i ili l j.dakle, matrica E ij ima jedinicu na presjeku i-tog retka i j-tog stupca, a svi ostali njezini koeficijenti su 0. Vidimo da je skup E ij baza za M mn te je M mn konačnodimenzionalan vektorski prostor. c) Skup {(2, 1, 0), (1, 1, 7), (-1, -3, 3)} je baza vektorskog prostora R 3. d) Skup {1, t, t 2,..., t n } je baza prostora P n. P n je prostor polinoma stupnja manjeg ili jednakog n. Primjer 2. Pokažimo sada da prostor P svih polinoma nije konačnodimenzionalan. Da bismo to pokazali pogledajmo proizvoljan konačan skup S = {p 1, p 2,..., p n }, n N, u P. Označimo deg p i = k i, i = 1,..., n i k = max{k 1,..., k n }. Sada je jasno da svaki polinom p koji se može izraziti kao linearna kombinacija elemenata skupa S ima stupanj najviše k. To očito povlači da je [S] P. Iz toga slijedi da P nije razapet sa S pa nije konačnodimenzionalan. Za bilo koji skup S sa S označimo broj elemenata skupa S. Teorem 2. Neka je V konačnodimenzionalni vektorski prostor. Vrijedi: a) U V postoji konačna baza. b) Svaka je baza prostora V konačna. c) Ako su B i B baze od V onda je B = B. Taj se broj zove dimenzija vektorskog prostora. d) Ako je S linearno nezavisan podskup od V onda je skup S konačan i sadržan u nekoj bazi prostora V. Dakle, za svaki linearno nezavisan podskup S od V vrijedi S dimv. Posebno, ako je S = dimv, onda je S baza od V. e) Ako skup S razapinje prostor V onda S sadrži neku bazu od V. f) Ako je W potprostor od V, onda je W konačnodimenzionalan i dimw dimv s tim da vrijedi znak jednakosti ako i samo ako je W = V.

Banachovi prostori 5 Analogan teorem vrijedi i za beskonačnodimenzionalne vektorske prostore: Teorem 3. Neka je V vektorski prostor: a) Postoji baza od V. b) Svaki linearno nezavisan podskup od V sadržan je u nekoj bazi od V. c) Svaki podskup od V koji razapinje čitav prostor od V sadrži neku bazu od V. d) Ako su B i B baze od V postoji bijekcija ϕ : B B. e) Ako je B baza vektorskog prostora V i S linearno nezavisan podskup od V, postoji injekcija ψ : S B. Preslikavanje s jednog vektorskog prostora u drugi zove se operator. Operator A : V W je linearan ako se pravilno ponaša prema operacijama: A(x + y) = A(x) + A(y), x, y V A(λx) = λa(x), x V, λ K. Neka je L(V,W) skup svih linearnih operatora A : V W. Za A L(V,W) stavimo: R(A) = ima = {Ax; x V} W N(A) = kera = {x V; Ax = 0} V. Potprostor R(A) prostora W zove se slika operatora A, a potprostor N(A) prostora V nazivamo jezgra operatora A. Nadalje, ako je potprostor R(A) konačnodimenzionalan, A se zove operator konačnog ranga, a broj r(a) = dim R(A) nazivamo rang operatora A. Ako je potprostor N(A) konačnodimenzionalan, broj d(a) = dim N(A) nazivamo defekt operatora A. Teorem 4. (Teorem o rangu i defektu) Ako je A L(V, W ) i ako je prostor V konačnodimenzionalan onda je dimv = r(a) + d(a). Izomorfizam vektorskog prostora V na vektorskom prostoru W je linearan operator A : V W koji je bijekcija. Linearan operator A : V W je injekcija ako i samo ako je N(A) = {0}. Nadalje, A je surjekcija ako i samo ako je R(A) = W. Za vektorski prostor V kažemo da je izomorfan prostoru W ako postoji izomorfizam A : V W.

Banachovi prostori 6 3 Banachovi prostori 3.1 Normirani prostori Norma na vektorskom prostoru X je preslikavanje : X R + = [0, + > (x x ) sa svojstvima: 1) x = 0 x = 0 2) λx = λ x 3) x + y x + y (nejednakost trokuta). Vektorski prostor na kome je zadana norma, tj. uređen par (X, ) vektorskog prostora X i norme x x definirane na X, zove se normiran prostor. Sljedećim formulama definirane su norme na R n, gdje je x = (ξ 1,..., ξ n ): x = max{ ξ 1, ξ 2,..., ξ n } x 1 = ξ 1 + ξ 2 + + ξ n x 2 = ξ 1 2 + ξ 2 2 + + ξ n 2. Ili općenito, za za bilo koji realan broj p 1 x p = p ξ 1 p + ξ 2 p + + ξ n p. Primjer 3. Neka je S p = {(x, y) R : x p + y p = r p }, p 1. Kažemo da je S p kružnica s obzirom na normu p. Na sljedećoj slici prikazane su kružnice S 1, S 2 i S. Kada bismo nactrali i ostale kružnice S p, sve bi one bile smještene između S 1 i S i što bi p bio veći, to bi kružnica S p bila bliže kružnici S. Slika 1.1 Kružnice S p

Banachovi prostori 7 U normiranom prostoru X za svaki vektor x 0 X i za svaki r > 0 definiramo otvorenu kuglu sa središtem x 0 i radijusom r: K(x 0, r) = {x X; x x 0 < r}. Također, u normiranom prostoru X za svaki vektor x 0 X i za svaki r > 0 definiramo zatvorenu kuglu sa središtem x 0 i radijusom r: K(x 0, r) = {x X; x x 0 r}. Pomoću otvorenih kugala definiramo otvorene i zatvorene skupove. Podskup S normiranog prostora X je otvoren ako za svaki x 0 S postoji r takav da je K(x 0, r) S. Podskup T X je zatvoren ako je njegov komplement X \ T otvoren. Prazan skup i čitav skup X istovremeno su i otvoreni i zatvoreni. Unija bilo kojeg skupa otvorenih podskupova od X je ponovno otvoren podskup od X. Kako je komplement presjeka unija komplemenata, tada je i presjek bilo kojeg skupa zatvorenih podskupova od X ponovno zatvoren podskup od X. Iz toga slijedi da za svaki podskup S normiranog prostora X postoji najmanji zatvoren skup koji sadrži S, to je presjek svih zatvorenih podskupova od X koji sadrže skup S. Zovemo ga zatvarač od S i označavamo Cl(S). Isto tako, postoji i najveći otvoren skup koji je sadržan u skupu S, to je unija svih otvorenih podskupova od X koji su sadržani u skupu S. Taj skup zovemo nutrina od S i označavamo Int(S). Za niz (x n ; n N) u normiranom prostoru X kažemo da je konvergentan ako postoji x 0 X takav da niz brojeva ( x n x 0 ; n N) konvergira prema nuli. Ukoliko postoji, takav vektor x 0 je jedinstven, zovemo ga limes niza (x n ) i označavamo x 0 = lim n x n = lim x n. Vektor x 0 je limes niza (x n ) ako i samo ako vrijedi: ε > 0 n 0 N takav da n n 0 = x n x 0 < ε. Teorem 5. Neka je S podskup normiranog prostora X. a) Skup S je zatvoren ako i samo ako je za svaki konvergentan niz (x n ) n N u X, čiji su članovi elementi skupa S, i limes tog niza element od S. b) Cl(S) = {x X; x = lim x n za neki niz (x n ) u S}. Za podskup S normiranog prostora X kažemo da je gust u X ako je Cl(S) = X. Neka su X i Y normirani prostori. Za linearan operator A : X Y kažemo da je ograničen ako postoji M > 0 takav da je Ax M x, x X.

Banachovi prostori 8 Najmanji M za koji to vrijedi naziva se norma operatora A i označava se sa A. Označimo li sa D A X domenu preslikavanja operatora A. Tada za linearan operator A : X Y kažemo da je neprekidan u točki x 0 D A ako i samo ako za svaku okolinu V točke Ax 0, postoji okolina U točke x 0 tako da je za svaki x U, Ax V. Ako su X i Y normirani prostori, gornju definiciju iskazujemo sa ( ε > 0)( δ > 0)( x D A )( x x o X < δ Ax Ax 0 Y < ε). Kažemo da je linearan operator neprekidan na skupu D ako je neprekidan u svakoj točki skupa D. Teorem 6. Neka su X i Y normirani prstori i A L(X, Y ). Sljedeća tri svojstva međusobno su ekvivalentna: a) Operator A je ograničen. b) Postoji točka x 0 X u kojoj je operator A : X Y neprekidan. c) Operator A je neprekidan. Skup svih ograničenih linearnih operatora A : X Y označavat ćemo sa B(X,Y). Teorem 7. a) B(X,Y) je potprostor vektorskog prostora L(X,Y). b) Preslikavanje A A je norma na prostoru B(X,Y). b) Ako je A B(X, Y ) i B B(Y, Z) onda je BA B(X, Z) i vrijedi: BA B A. d) Za A B(X, Y ) vrijedi A = sup{ Ax ; x X, x 1}. Ako su X i Y normirani prostori, linearan operator A : X Y zove se izometrija ako vrijedi Ax = x za svaki vektor x X. Tada je operator A ograničen i vrijedi A = 1. Svaka izometrija je injekcija. Ako je izometrija A i surjekcija, tada se A zove izometrički izomorfizam normiranog prostora X na normiran prostor Y. Ako postoji izometrički izomorfizam sa X na Y, normirani prostori X i Y zovu se izometrički izomorfni. 3.2 Banachovi prostori Niz (x n ) u normiranom prostoru X zove se Cauchyjev niz ako vrijedi: ε > 0 n 0 N takav da n, m > n 0 x n x m < ε. Iz definicije je očito da je svaki konvergentan niz Cauchyjev. Međutim, u jednodimenzionalnom normiranom prostoru C vrijedi poznati Cauchyjev kriterij konvergencije: niz (x n ) u C je konvergentan ako i samo ako je on Cauchyjev. Normiran prostor X je potpun ili Banachov prostor ako svaki Cauchyjev niz elemenata iz X konvergira u X.

Banachovi prostori 9 Lema 1. Neka je X konačnodimenzionalan normiran prostor i neka je {e 1, e 2,..., e m } neka baza od X. Za bilo koji x X sa x(k) označimo njegovu k-tu koordinatu: x = x(1)e 1 + x(2)e 2 + + x(k)e k + + x(m)e m. a) Niz (x n ; n N) u X je Cauchyjev ako i samo ako je svaki od nizova brojeva (x n (k); n N) (1 k m) Cauchyjev. b) Niz (x n ; n N) u X je konvergentan ako i samo ako je svaki od nizova brojeva (x n (k); n N) (1 k m) konvergentan. U tom slučaju je ( lim n x n )(k) = lim n x n (k) za k = 1, 2,..., m. c) Skup S X je ograničen (tj. za neki M>0 vrijedi x M x S) ako i samo ako je svaki od skupova brojeva {x(k); x S} (1 k m) ograničen. Neposredno iz tvrdnji a) i b) prethodne leme slijedi teorem: Teorem 8. Svaki konačnodimenzionalan normiran prostor je potpun. Neka je X normiran prostor, X Banachov prostor, a ϕ linearna izometrija sa X u X čija je slika gusta u X. Tada uređen par (X, ϕ) nazivamo upotpunjenje ili popunjenje od X. Teorem 9. Neka je X normiran prostor. a) Postoji popunjenje (X, ϕ) prostora X. b) Ako su (X, ϕ) i (Y, ψ) popunjenja do X, onda postoji jedinstven neprekidan linearan operator π : X Y takav da za svaki x X vrijedi π(ϕ(x)) = ψ(x). π je izometrički izomorfizam Banachovog prostora X na Banachov prostor Y. Primjer 4. Navedimo neke beskonačnodimenzionalne Banachove prostore: 1) Neka su a, b R, a < b, i neka je C([a,b]) vektorski prostor svih neprekidnih funkcija x : [a, b] C. Tada je norma na prostori C([a,b]) zadana sa: x = max{ x(t) ; a t b}. U odnosu na tu normu prostor C([a,b]) je Banachov. 2) Neka je l skup svih ograničenih nizova (ξ n ) u C. l je očito vektorski prostor i lako se vidi da je sa x = sup{ ξ n ; n N}, x = (ξ n ) l zadana norma na prostoru l. S tako definiranom normom, l je Banachov prostor.

Banachovi prostori 10 3) Neka je p 1. Označimo sa l p skup svih nizova (ξ n ) u C takvih da je red ξ n p n N konvergentan. Tada l p vektorski prostor i sa [ ] 1 x p = ξ n p p, x = (ξn ) l p, n=1 je zadana norma na prostoru l p s obzirom na koju je l p Banachov prostor.

Banachovi prostori 11 4 Baireov teorem i posljedice Sada ćemo dokazati nekoliko teorema kod kojih je ključna potpunost prostora. teoremi baziraju na sljedećem rezultatu: Ti se Teorem 10. (Baire) Neka je X Banachov prostor i neka su U n, n N, otvoreni gusti podskupovi od X. Tada je i njihov presjek gust podskup od X. U = U n n N Dokaz: Neka je W proizvoljan otvoren podskup od X. Treba pokazati da je tada presjek U W neprazan. Kako je skup U 1 neprazan i gust u X tada je presjek U 1 W neprazan otvoren podskup od X. Stoga postoje x 1 X i ρ 1 R takvi da je K(x 1, ρ 1 ) U 1 W i 0 < ρ 1 < 1. (1) Sada induktivno izaberemo parove (x n, ρ n ) X R za sve n N i to na sljedeći način. Pretpostavimo da je n 2 i da su x n 1 X i ρ n 1 R izabrani. Tada zbog gustoće i otvorenosti skupa U n zaključujemo da je skup U n K(x n 1, ρ n 1 ) neprazan i otvoren, pa postoje x n X i ρ n R takvi da je K(x n, ρ n ) U n K(x n 1, ρ n 1 ) i 0 < ρ n < 1 n. (2) Promotrimo sada tako dobiven niz (x n ) n N u X. Neka je ε > 0 proizvoljan. Izaberimo n 0 N tako da je n 0 ε 2. Ako su n, m N, veći od n 0, konstrukcija pokazuje da su x n, x m K(x n0, ρ n0 ). No tada je x n x m = x n x n0 + x n0 x m x n x n0 + x m x n0 < 1 n 0 + 1 n 0 = 2 n 0 ε. To pokazuje da je (x n ) n N Cauchyjev niz u X. Zbog potpunosti prostora X taj je niz konvergentan. Stavimo x = lim n x n. Za m > n vrijedi x m K(x n, ρ n ). Zbog zatvorenosti skupova K(x n, ρ n ), n N, zaključujemo da je x sadržan u svim tim skupovima. No tada (2) pokazuje da je x U n n N, dakle, x U. Nadalje, iz (1) se vidi da je x W. Dakle, U W i time je Baireov teorem dokazan.

Banachovi prostori 12 Teorem 11. (Teorem o otvorenom preslikavanju) Neka su X i Y Banachovi prostori i neka je A B(X, Y ) surjekcija. a) Neka su U i V otvorene jedinične kugle u prostorima X i Y: U = K X (0, 1) = {x X; x < 1}, V = K Y (0, 1) = {y Y ; y < 1}. Tada postoji δ < 0 takav da je δv A(U). b) A je otvoreno preslikavanje, tj. za svaki otvoren skup Ω X je A(Ω) otvoren podskup od Y. c) Ako je A bijekcija, onda je A 1 B(Y, X). Dokaz: a) Kako je A surjekcija, za svaki y Y postoji x X takav da je Ax = y. Ako je x < n za n N, tada je y A(nU). Prema tome, vrijedi Y = A(nU). Stavimo sada V n = Y \ Cl(A(nU)). Tada su V n otvoreni podskupovi od Y i V n = [Y \ Cl(A(nU))] = Y \ Cl(A(nU)) =. n N n N n N Prema Baireovom teoremu ne mogu svi skupovi V n biti gusti u Y. Prema tome, postoji n N i neprazan otvoren podskup W od Y takvi da je W V n =. No to znači da je W Cl(A(nU)). Neka je y 0 W i izaberimo ρ > 0 takav da je K(y 0, ρ) W. Za svaki y Y takav da je y < ρ tada su y 0, y 0 + y W Cl(A(nU)) pa prema Teoremu 5 b) postoje nizovi (u k ) k N i (v k ) k N u nu takvi da vrijedi Stavimo x k = v k u k. Tada vrijedi n N y 0 = lim k Au k i y 0 + y = lim k Av k. x k v k + u k < 2n i y = lim k Ax k. Prethodna konstrukcija provedena je za bilo koji y Y takav da je y < ρ. Zbog linearnosti operatora A zaključujemo da je time dokazano da za δ = ρ 2n vrijedi y Y, ε > 0 x X takav da je δ x y i y Ax < ε. (3) Time gotovo da je dokazana tvrdnja: ona bi bila dokazana kad bismo u (3) na koncu umjesto < ε mogli pisati = 0. Fiksirajmo sada y δv i ε > 0. Prema (3) postoji x 1 X takav da je x 1 < 1 i y Ax 1 < 2 1 δε.

Banachovi prostori 13 Pretpostavimo sada da je k N i da su izabrani x 1, x 2,..., x k X takvi da je y Ax 1 Ax k 2 k δε, x 1 < 1, x j 2 j+1 ε za j = 2,..., k. (4) Primijenimo sada (3) na vektor y Ax 1 Ax k umjesto vektora y i na 2 k 1 δε umjesto ε. Slijedi da postoji x k+1 X takav da je i da je δ x k+1 y Ax 1 Ax k < 2 k δε, dakle, x k+1 < 2 k ε y Ax 1 Ax k Ax k+1 < 2 k 1 δε. No to znači da vrijedi (4) za k + 1 umjesto k. Time je dokazano da je moguće induktivno izabrati niz (x k ) k N u X takav da vrijedi (4) za svaki k N. Stavimo sada z k = x 1 + x 2 + + x k. Sada iz x k+1 < 2 k ε lako slijedi da je (z k ) k N Cauchyjev niz u X. Kako je X potpun, taj je niz konvergentan. Stavimo z = lim k z k. Imamo k k z k = x 1 + x 2 + + x k x 1 + x j < x 1 + 2 j+1 ε < x 1 + ε. j=2 j=2 Stoga je z x 1 + ε < 1 + ε, Operator A je ograničen, pa slijedi tj. z (1 + ε)u. Az = lim k Az k. Prema (4) vidimo da je y Az k < 2 k δε, k N, pa zaključujemo da je Az = y. Na taj način smo dokazali da je δv A((1 + ε)u), odnosno, da vrijedi Odatle je δ V A(U), ε > 0. 1 + ε δv = ε>0 δ 1 + ε V A(U). b) Neka je Ω X otvoren skup i neka je y A(Ω). Neka je x Ω takav da je y = Ax. Kako je Ω otvoren, postoji ε > 0 takav da je K X (x, ε) Ω. Neka je δ > 0 kao u a). Za z K Y (y, εδ) tada je z y K Y (0, εδ) = εδv εa(u) = A(εU) = A(K X (0, ε)),

Banachovi prostori 14 a kako je y = Ax imamo z Ax + A(K X (0, ε)) = A(K X (x, ε)) A(Ω). Time je dokazano da je K Y (y, εδ) A(Ω), a kako je točka y A(Ω) bila proizvoljna, zaključujemo da je A(Ω) otvoren podskup od Y. Time je tvrdnja b) dokazana. c) Tvrdnja c) slijedi neposredno iz tvrdnje a), jer za bijekciju A B(X, Y) inkluzija δv A(U) znači da je A 1 y δ 1 za svaki y Y, y 1; dakle, A 1 je ograničen. Graf svakog linearnog operatora A L(X,Y) definira se kao skup Γ(A) = {(x, Ax); x X}. Iz linearnosti operatora A slijedi da je Γ(A) potprostor vektorskog prostora X Y. Teorem 12. (Teorem o zatvorenom grafu) Neka su X i Y Banachovi prostori i A L(X, Y ). Operator A je ograničen ako i samo ako mu je graf Γ(A) zatvoren potprostor od X Y. Dokaz: Neka je A linearno preslikavanje Banachovog prostora X u Banachov prostor Y tako da je njegov graf Γ(A) zatvoren potprostor Banachovog prostora X Y. Tada je Γ(A) Banachov prostor. Neka je P 1 kanonska projekcija sa X Y na X i P 2 kanonska projekcija sa X Y na Y, tj. P 1 (x, y) = x i P 2 (x, y) = y, (x, y) X Y. Neka je P = P 1 Γ(A) restrikcija projekcije P 1 na graf od A definirana sa P(x, Ax) = x, x X. Očito je P bijekcija sa Γ(A) na X. Po Teoremu 11 c) P 1 je neprekidan operator sa X na Γ(A). Vrijedi Ax = P 2 (x, Ax) = P 2 (P 1 x) = (P 2 P 1 )x, x X, pa je A = P 2 P 1. Zbog neprekidnosti operatora P 2 i P 1 slijedi da je i operator A neprekidan, čime je tvrdnja dokazana.

Banachovi prostori 15 Literatura [1] D. Butković, Predavanja iz linearne algebre, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku, Odjel za matematiku, Osijek, 2010. [2] H. Kraljević, Kompaktni operatori - dostupno na: http://web.math.pmf.unizg.hr/ hrk/nastava/2007-08/kompaktni_2007_ 8.pdf [3] Lj. Arambašić, I. Zavišić, p-norme na R 2, kružnice S p i brojevi π p, Osječki matematički list, Vol.10(2011), No.2, 131-138 - dostupno na: http://hrcak.srce.hr/index.php?show=clanak&id_clanak_jezik=100089 [4] S. Kurepa, Funkcionalna analiza: elementi teorije operatora, Školska knjiga, Zagreb, 1990.