0255_Uvod.p65

Слични документи
CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

Boško Jagodić ivan mrkonjić nada božičević MOJA MATEMATIKA 2 UDŽBENIK ZA UČENIKE DRUGOG RAZREDA OSNOVNE ŠKOLE

ALIP1_udzb_2019.indb

s2.dvi

MATEMATIKA IZVEDBENI GODIŠNJI NASTAVNI PLAN I PROGRAM MATEMATIKE OSNOVNA ŠKOLA, 2. razred šk. god Planirala: Višnja Špicar, učitelj RN

Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razr

Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR

MathFest 2016 Krapinsko zagorske županije 29. travnja Terme Tuhelj Ekipno natjecanje učenika osnovnih škola Kategorija math 43 Natjecanje traje

Microsoft Word - 6ms001

Slide 1

UDŽBENIK 2. dio

Microsoft Word - z4Ž2018a

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

Matematika 1 - izborna

PROGRAMIRANJE Program je niz naredbi razumljivih računalu koje rješavaju neki problem. Algoritam je postupak raščlanjivanja problema na jednostavnije

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 1: Brojevni izrazi Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da nau

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

Рационални Бројеви Скуп рационалних бројева 1. Из скупа { 3 4, 2, 4, 11, 0, , 1 5, 12 3 } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих броје

М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према свој

Microsoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Ивана Јухас MATEMATИKA 2а Уџбеник за други разред основне школе

23. siječnja od 13:00 do 14:00 Školsko natjecanje / Osnove informatike Srednje škole RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovi

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

Microsoft Word - 1. REALNI BROJEVI- formulice

Microsoft Word - 15ms261

5. razred

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

atka 26 (2017./2018.) br. 102 NEKE VRSTE DOKAZA U ČAROBMATICI Jadranka Delač-Klepac, Zagreb jednoj smo priči spomenuli kako je važno znati postavljati

untitled

Microsoft Word - 1.Operacije i zakoni operacija

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

8. razred kriteriji pravi

7. а) 3 4 ( ) ; б) ( ) ( 2 5 ) ; в) ( ) 3 16 ; г) ( ). 8. а) ( г) ) ( ) ; б)

gt3b.dvi

Državna matura iz informatike

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

Microsoft Word - 12ms121

Linearna algebra Mirko Primc

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

m3b.dvi

Algoritmi SŠ P1

knjiga.dvi

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

Teorija skupova - blog.sake.ba

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - 24ms221

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)

Natjecanje 2016.

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA,

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.

Бранислав Поповић Ненад Вуловић Петар Анокић Мирјана Кандић 4.део МАТЕМАТИКА 1 Решења уз уџбеник за први разред основне школе 4. део

PŠ TRNJANSKI KUTI 1. RAZRED Nastavni predmet Smjer Datum Bilješka Datum upisa Zadnje izmjenio/la Matematika (000108) Osnovna škola - redovni program 1

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје

os07zup-rjes.dvi

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka)

RASPORED PISMENIH ISPITA ZA ŠK. GODINU 2017./2018. RAZRED: 2.a, 2.c PREDMET IX. X. XI. XII. I. II. III. IV. V. VI. Hrvatski jezik RŠČ Dijelov

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН

untitled

Skripte2013

Matematički leksikon

Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1013_horvat

Microsoft Word - Drugi razred mesecno.doc

1 jmbag ime i prezime Programiranje 2 prvi kolokvij, Rezultati i uvidi u kolokvije: Rezultati u petak, 3.5., navečer na webu, a uvidi u p

s2.dvi

Matematika kroz igru domino

Test ispravio: (1) (2) Ukupan broj bodova: 21. veljače od 13:00 do 14:00 Županijsko natjecanje / Osnove informatike Osnovne škole Ime i prezime

1. Realni brojevi

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

1. DIO 2

4.4 DOPUNSKA NASTAVA Matematika 1. razred ciljevi aktivnosti, programa i/ili projekta - Utjecati na svladavanje redovitog programa i pozitivno u

UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević

СТЕПЕН појам и особине

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

INF INFORMATIKA INF.35.HR.R.K1.24 INF D-S

Slide 1

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Obrazac Metodičkih preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnih ishoda predmetnih kurikuluma i međupredmetnih tema za osnovnu i srednju školu OSNOVNI

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Martina Barić PARTICIJE PRIRODNIH BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: izv

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

Programiranje 1 3. predavanje prošireno Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2018, 3. predava

Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА 2 b ax bx c 0 x1 x2 2 D b 4ac a ( сви задаци су решени) c b D xx 1 2 x1/2 a 2a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реалн

Microsoft Word - predavanje8

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

Транскрипт:

1Skupovi brojeva Skup prirodnih brojeva Zbrajanje prirodnih brojeva Množenje prirodnih brojeva U košari ima 12 jaja. U drugoj košari nedostaju tri jabuke da bi bila puna, a treća je prazna. Pozitivni, negativni brojevi i nula proizvod su ljudske potrebe za matematizacijom prirode.

Zapis brojeva iz Babilona. Skupovi brojeva 1 Indijski zapis brojeva, oko 300. pr. Kr. r.t h 2 3 Indijski zapis brojeva, oko 800. pr. Kr. među kojima se pojavljuje znamenka nula. 4 5 6 m e l e. w w Arapski zapis brojeva iz područja današnje Španjolske, oko 1000. godine. 7 8 9 Zapis brojeva iz Njemačke, 16. stoljeće, u rukopisu slikara Albrechta Dürera (1471.-1528.). w n e 10 Babilonska kultura naslijedila je sumeransku oko 1900. godine pr. Kr. Za zapisivanje brojeva je koristila je klinasto pismo utisnuto na glinene pločice. Zanimljivo je da je korišten seksagezimalni sustav brojeva. Dakle, babilonska djeca morala su naučiti 60 različitih znakova kako bi naučila zapisivati brojeve. w m e l e. w w n e r.t h

Brojevi kojima se služimo za brojenje nazivaju se prirodni brojevi. Podsjetimo se, skup svih prirodnih brojeva označavamo s N, N 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,.... Tri točkice označuju da se taj niz nastavlja. Bilo koji prirodni broj označujemo s n, n N. Tako je 6 N, 103 N, 1234567890 N, itd. Ne postoji najveći prirodni broj, ali postoji najmanji i to je broj 1. Uočimo da broj 0 (nula) nije prirodni broj, tj. 0 N. Skup kojemu su članovi svi prirodni brojevi i broj 0 označavamo s N 0 (čitamo: en nula), N 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... 0 N. 0 Svaki prirodni broj ima sljedbenika. Primjerice, sljedbenik broja 3 je broj 4, a sljedbenik broja 31 je broj 32. Općenito, sljedbenik prirodnog broja n je broj n + 1. Svaki prirodni broj, osim 1, ima svog prethodnika. Prethodnik prirodnog broja n 1 je broj n 1. Česta je podjela prirodnih brojeva na neparne i parne. Neparni brojevi su 1, 3, 5, 7, 9, 11,..., a parni brojevi su 2, 4, 6, 8, 10, 12,.... Općenito, neparni brojevi su oblika 2n 1, a parni oblika 2n, gdje je n N. Istaknimo da je broj 0 paran broj. Prirodne brojeve zapisujemo pomoću znamenaka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Zapisani brojevi su: trideset i jedan, tristo jedan i dvjesto jedan bilijun, tristo četrdeset pet milijardi, petsto šezdeset i sedam milijuna, sedamsto osamdeset devet tisuća i dvadeset tri. n - naturalis (lat.) - - prirodan Jednoznamenkasti parni brojevi: 0, 2, 4, 6, 8,... neparni brojevi: 1, 3, 5, 7, 9,... * U SAD-u se milijarda naziva bilijun.

Zadaci Skup prirodnih brojeva 1. Koji je prethodnik, a koji sljedbenik brojeva: a) 23, b) 321. 2. Ispišite sve neparne dvoznamenkaste brojeve kojima je znamenka desetica 2. 3. Ispišite sve parne dvoznamenkaste brojeve kojima je znamenka desetica 3. 4. Pročitajte brojeve: a) 1 025, b) 7 654 321, c) 9 876 543 210. 5. Zapišite brojeve: a) deset tisuća sto dvadeset i tri, b) sto dvadeset pet milijuna, tristo četrdeset pet tisuća i sedamsto osamdeset devet, c) dvije milijarde i dvadeset tri. 6. Pomoću znamenaka zapišite broj: Hrvatska je prema popisu stanovništva iz 2001. godine imala četiri milijuna petsto trideset pet tisuća i pedeset četiri stanovnika. Već smo u osnovnoj školi naučili zbrajati prirodne brojeve, primjerice: Brojevi koje zbrajamo nazivaju se pribrojnici, a rezultat zbrajanja se naziva zbroj. Primjer 1. Uočimo: ako a i b pripadaju skupu N 0, tada i a + b pripada skupu N 0. Koristeći se pismenim zbrajanjem, provjerimo: a) 36 + 42 = 42 + 36, b) 984 + 107 = 107 + 984. Općenito, za svaka dva prirodna broja a i b vrijedi: a + b = b + a. To svojstvo zbrajanja se naziva zakon komutacije. Zbroj se ne mijenja ako pribrojnici zamijene mjesta. Kada imamo više od dva pribrojnika, zagradama određujemo redoslijed računske radnje.

ž Primjer 2. Izračunajmo : (23 + 31) + 45 = 23 + (31 + 45) 54 + 45 = 23 + 76 99 = 99. Općenito, za svaka tri prirodna broja a, b i c vrijedi: (a + b) + c = a + (b + c). To svojstvo zbrajanja se naziva zakon asocijativnosti. Zbroj triju brojeva ne ovisi o redoslijedu zbrajanja. To vrijedi za zbrajanje četiriju ili više brojeva. Primjer 3. Izračunajmo : 51 + 49 + 23 + 67 = (51 + 49) + (23 + 67) = 100 + 90 = 190. ž Brojevi koje množimo se nazivaju množitelji ili faktori, a rezultat množenja se naziva umnožak ili produkt. Primjer 1. Ako a i b pripadaju skupu N, tada i a b pripada skupu N. Izračunajmo površinu pravokutnika kojemu su duljine stranica: a = 4 cm, b = 6 cm. Uočimo da je a b = b a.

Za svaka dva prirodna broja a i b vrijedi: a b = b a. To svojstvo se naziva zakon komutativnosti za množenje. Primjer 2. Umnožak se ne mijenja ako množitelji zamijene svoja mjesta. Zamislimo da 453 učenika škole uplati po 1 kunu za humanitarnu akciju. To bi iznosilo 453 1 = 453 kuna. Ako je a prirodan broj, onda je: a 1 = 1 a = a. Kad bi svaki učenik donio po 0 kuna, tada ne bi skupili ništa: 453 0 = 0 kuna. Ako je a prirodan broj, onda je: a 0 = 0 a = 0. Primjer 3. Provjerimo je li (5 4) 6 = 5 (4 6) 20 6 = 5 24 120 = 120. Za svaka tri prirodna broja a, b i c vrijedi: (a b) c = a (b c). To svojstvo se naziva zakon asocijativnosti za množenje. Primjer 4. Izračunajmo na dva načina: (3 + 4) 5 = 7 5 = 35 (najprije zbrojimo, zatim pomnožimo) (3 + 4) 5 = 3 5 + 4 5 = 15 + 20 = 35 (najprije pomnožimo, zatim zbrojimo) Za svaka tri prirodna broja a, b i c vrijedi: (a + b) c = a c + b c, odnosno c (a + b) = c a + c b. To svojstvo se naziva zakon distributivnosti množenja prema zbrajanju. Primjer 5. Izračunajte na dva načina: (15 + 13) 12. Inače, ako redoslijed računanja nije određen zagradama, tada se najprije izvodi množenje, potom zbrajanje. Primjerice, 4 + 5 6 = 4 + 30 = 34.

Zadaci Zbrajanje i množenje prirodnih brojeva 1. Koji je najmanji neparni četveroznamenkasti broj? 2. Koji je najveći parni peteroznamenkasti broj? 3. Napišite najveći deseteroznamenkasti prirodni broj kojemu su sve znamenke međusobno različite. 4. Napišite najmanji deseteroznamenkasti prirodni broj kojemu su sve znamenke međusobno različite. 5. Izračunajte zbroj ako su pribrojnici: a) 87 i 12, b) 236 i 345, c) 532 i 643, d) 4 023 i 789. 6. Izračunajte a + b ako je: 7. Primjenom zakona komutativnosti i asocijativnosti izračunajte ove zbrojeve: a) 53 + 63 + 47, b) 23 + 21 + 11 + 179, c) 23 + 106 + 77 + 94, d) 36 + 92 + 64 + 18, e) 1 001 + 321 + 2 999 + 80. 8. Izračunajte opseg trokuta kojemu su duljine stranica a = 185 cm, b = 131 cm i c = 273 cm. 9. Izračunajte a b ako je: 10. Izračunajte: a) 2 7 11 5, b) 4 6 7 25, c) 3 4 5 5 6, d) 8 3 4 125. 11. Izračunajte: a) 4 + 6 8, b) (4 + 6) 8, c) 4 + 6 8 + 5, d) 4 + 6 (8 + 5). 12. Izračunajte (a + b) c ako je:

13. Izračunajte: a) 21 37 + 21 15 + 21 18, b) 57 (635 + 109) + 57 (91 + 165), c) 43 34 + 43 27 + 45 60 + 45, d) 138 17 + 138 296 + 138 487. 14. U sljedećim primjerima dopišite dva retka i računski provjerite: a) 1 9 + 2 = 11 b) 9 9 + 7 = 88 12 9 + 3 = 111 98 9 + 6 = 888 123 9 + 4 = 1111 987 9 + 5 = 8888 1234 9 + 5 = 11111 9876 9 + 4 = 88888 _ + _ = _ + _ = _ + _ =, _ + _ =. 15. Izračunajte opseg trokuta kojemu su duljine stranica a = 130 cm, b = 181 cm i c = 210 cm. Koliki je opseg trokuta koji ima dvostruko dulje stranice? 16. Predvorje je popločeno pločicama. U svakom redu po širini ima 110 pločica, a u svakom redu po duljini ima 256 pločica. Koliko je pločica u tom predvorju? 17. Izračunajte opseg pravokutnika kojemu su duljine stranica a = 130 cm i b = 181 cm. 18. Koji se broj dobije kada se zbroju najvećeg troznamenkastog broja i najmanjeg četveroznamenkastog broja pribroji najveći peteroznamenkasti broj? Rješenja Skup prirodnih brojeva 1. a) 22, 24, b) 320, 322. 2. 21, 23, 25, 27, 29. 3. 30, 32, 34, 36, 38. 5. a) 10 123, b) 125 345 789, c) 2 000 000 023. Zbrajanje i množenje prirodnih brojeva 1. 1 001. 2. 99 998. 3. 9 876 543 210. 4. 1 023 456 789. 5. a) 99, b) 581, c) 1 175, d) 4 812. 6.

7. a) (53 + 47) + 63 = 100 + 63 = 163, b) 234, c) 300, d) 210, e) 4 401. 8. 589 cm. 9. 10. a) (2 5) (7 11) = 10 77 = 770, b) 4 200, c) 1 800, d) 12 000. 11. a) 52, b) 80, c) 59, d) 58. 12. 13. a) 1 470, b) 57 000, c) 5 368, d) 110 400. 14. a) 12345 9 + 6 = 111111 b) 98765 9 + 3 = 888888 123456 9 + 7 = 1111111, 987654 9 + 2 = 8888888. 15. o = 521 cm, o = 1 042 cm. 16. 28 160 pločica. 17. o = 2 (a + b), o = 212 cm. 18. 999 + 1 000 + 99 999 = 101 998.

2Skup cijelih brojeva Zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva Množenje cijelih brojeva Dijeljenje cijelih brojeva

2560. pr. Kr. r. Kr. 1989. p. Kr. -2560 0 1989 Na slici s lijeve strane prikazana je Keopsova piramida u Gizi, izgrađena 2560. g. prije Kristova rođenja. S desne strane se vidi slika staklene piramide koja se nalazi ispred zgrade muzeja Louvre u Parizu, izgrađena 1989. godine poslje Krista. Između te dvije slike prikazana je ikona s motivom Bogorodice na onome mjestu koje predstavlja trenutak Kristova rođenja. Ispod slika se nalazi vremenska lenta. Na njoj su na uobičajeni način obilježeni događaji s oznakama 2560 g. pr. Kr. i 1989 g. p. Kr., a trenutak rođenja Krista sa r. Kr. Ispod vremenske lente nalazi se brojevni pravac. Točka 2560 g. pr. Kr. je s vremenske lente na njega preslikana u -2560, negativan cijeli broj. Trenutak rođenja Krista, r.k u 0, a 1989. g. p. Kr. u pozitivan cijeli broj 1989. Zanimljivo je da broj nula u doba rođenja Krista nije bio poznat, a, sukladno tome, stari Rimljani za nju u svom načinu zapisivanja brojeva nisu imali znak. U ovom poglavlju ćemo se upoznati s računskim operacijama u skupu cijelih brojeva proširenog s nulom. Naučit ćemo izračunati koliko je godina prošlo od izgradnje Keopsove piramide, do izgradnje piramide ispred Louvrea.

Računske operacije zbrajanja i množenja uvijek su izvedive u skupu prirodnih brojeva. Drugim riječima, zbroj i umnožak prirodnih brojeva uvijek je prirodan broj. To, međutim, ne vrijedi za oduzimanje. Primjerice, 3 5 = 2. Rezultat oduzimanja a b, kada je a < b, nije prirodan broj, ali je cijeli broj. Skup Z svih cijelih brojeva dobivamo proširivanjem skupa prirodnih brojeva nulom i negativnim brojevima: Z..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,.... Cijele brojeve možemo predočiti točkama pravca, kao na slici. Pravac na kojem su smješteni brojevi se naziva brojevni pravac. Za pozitivne brojeve kažemo da imaju pozitivan predznak, a za negativne brojeve da imaju negativan predznak, dok nula nema predznaka. Brojevi 2 i 2, 6 i 6, 23 i 23 se nazivaju suprotni brojevi. Na brojevnom su pravcu suprotni brojevi jednako udaljeni od nule. Za brojeve 5 i 5 ta udaljenost uznosi 5 jedinica. Kažemo da je 5 apsolutna vrijednost brojeva 5 i 5. To označujemo ovako: 5 5, 5 5. Također je: 23 23 i 23 23. Apsolutna vrijednost broja jest njegova udaljenost od nule na brojevnom pravcu. Nula je sama sebi suprotan broj i 0 0. Pozitivne cijele brojeve zbrajamo kao prirodne brojeve. Ako su a i b negativni cijeli brojevi, zbrajamo ih tako da im zbrojimo apsolutne vrijednosti, a zbroju dodajemo negativan predznak. 12 + 13 = 25 ( 7) + ( 8) = 15 ( 12) + ( 13) = 25

13 + 8 = 5 11 + ( 17) = 6 Ako cijeli brojevi a i b imaju različite predznake, zbrajamo ih tako da od veće apsolutne vrijednosti oduzmemo manju, a rezultatu dajemo predznak broja veće apsolutne vrijednosti. Oduzimanje cijelih brojeva svodi se na zbrajanje suprotnog broja. a b = a + ( b) 5 8 = 5 + ( 8) = 3. Ako je a = 5, onda je a = 5. Ako je a = 5, onda je a = 5, tj. ( 5) = a. Općenito: ( a) = a. ( 8) + (+15) = +7 Za zbrajanje cijelih brojeva vrijedi zakon komutativnosti. (+15) + ( 8) = +7 15 8 12 7 12 5 Za zbrajanje cijelih brojeva 15 8 12 15 20 5 vrijedi zakon asocijativnosti. Oduzimanje cijelih brojeva nije komutativno. 22 + ( 16 + 9) = 22 7 = 15 22 16 + 9 = 6 + 9 = 15. Ako je ispred zagrade znak +, zagrada se može izostaviti, a predznaci članova unutar zagrade ostaju isti. 22 ( 16 + 9) = 22 ( 7) = 29 22 + 16 9 = 38 9 = 29. Ako je ispred zagrade znak, pri izostavljanju zagrade promijene se predznaci članova unutar zagrade. Primjer 1. Izostavimo zagrade i izračunajmo: (+28) + (+19) = 28 + 19 = 47, (+26) (+35) = 26 35 = 9, (22) + (+31) = 22 + 31 = 9, ( 43) ( 21) = 43 + 21 = 22, 10 12 8 10 12 8 10 12 8 6.

ž ž Množenje cijelih brojeva se svodi na množenje njihovih apsolutnih vrijednosti, primjerice: a) 4 ( 6) = (4 6) = 24, b) ( 6) 4 = (6 4) = 24, c) ( 4) ( 6) = 4 6 = 24, d) (+4) (+6) = 4 6 = 24. Primjer 1. Umnožak cijelih brojeva različitih predznaka je negativan broj. Umnožak cijelih brojeva istih predznaka je pozitivan broj. Izračunajmo: a) ( 22) 5 = 22 5 = 110, b) 6 ( 25) = 6 25 = 150, c) ( 8) ( 12) = 8 12 = 96. Za množenje cijelih brojeva vrijede zakoni komutativnost i asocijativnost. Primjer 2. 4 6 7 24 7 24 7 168 4 6 7 4 6 7 4 42 168. Množenjem s 1 broj se ne mijenja: a 1 = 1 a = a. a ( 1) = ( 1) a = a; Za svaki cijeli broj a vrijedi: a 0 = 0 a = 0. množenjem s 1 se dobije suprotni broj. Primjer 3. Izračunajmo: a) 4 ( 16) 0 15 = 0, b) ( 3) ( 8) 4 ( 10) = 3 8 4 ( 10) = 960. Za cijele brojeve vrijedi zakon distributivnosti množenja prema zbrajanju (oduzimanju). ( 8 + 5) ( 4) = ( 3) ( 4) = 12 ( 8 + 5) ( 4) = ( 8) ( 4) + 5 ( 4) = 32 20 = 12. Općenito vrijedi: (a + b) c = a c + b c, odnosno a (b c) = a b a c. Primjer 4. Izračunajmo: 14 ( 9) + 6 ( 9) = (14 + 6) ( 9) = 20 ( 9) = 180.

: : : : Dijeljenje cijelih brojeva povezano je s množenjem cijelih brojeva: Primjer 1. a : b = c ako je a = b c. a) 12 : 3 = 4 jer je 12 = 3 4, b) ( 12) : 3 = 4 jer je 12 = 3 ( 4), c) 12 : ( 3) = 4 jer je 12 = ( 3) 4, d) ( 12) : ( 3) = 4 jer je 12 = ( 3) ( 4). Primjer 2 Količnik cijelih brojeva istog predznaka je pozitivan, a različitih predznaka negativan broj. Izračunajmo: 24 63: 9 3 24 : 8. Zadaci 24 63: 9 3 24 : 8 24 7 3 3 17 6 102. 1. Izračunajte: a) 52 + ( 69) (+15), b) 43 ( 72) (+36) + 55, c) 98 (+56) + ( 48) ( 31), d) 843 ( 56 + 17) + 44. 2. Izračunajte: a) 20 12 28, b) 48 85 29 53, c) 65 35 74 49, d) 38 17 81 43 62 79. 3. Izračunajte napamet: a) (+12) ( 4), b) ( 6) (+15), c) ( 12) (+5), ( 8) (+11), (+16) ( 5), ( 11) ( 6), ( 4) (+13), ( 13) ( 3), (+14) ( 5). 4. Izračunajte: a) 786 19, b) 479 ( 45), c) ( 845) ( 26), d) 324 57.

5. Izračunajte: a) 759 : 33, b) 1 127 : ( 23), c) ( 1 170) : 39), d) ( 2 162) : ( 47). 6. Izračunajte: a) 58 67 58 56 + 11 42 1 001, b) (4 826 : 38 + 62 11 7 194 : 66) : 7, c) (27 962 : 31 901) (1 099 99 11). 7. Izračunajte: a) 20 3 5 7 8, b) 8 3 5 5 5 7. 8. Izračunajte: a) 10 11 24 27, b) 2 3 4 2 6 5 2 3 8 10, c) 45 144 : 48 30 7, d) 6 3 7 6 4 3 8 5 409 16. Rješenja 1. a) 32, b) 48, c) 25, d) 100. 2. a) 20, b) 13, c) 91, d) 34. 4. a) 14 934, b) 21 555, c) 21 970, d) 18 468. 5. a) 23, b) 49, c) 30, d) 46. 6. a) 99, b) 100, c) 10. 7. a) 35, b) 75. 8. a) 140, b) 24, c) 101, d) 214.