Uloga topolo²kih svojstava konguracijskog prostora u vi²e esti im sustavima identi nih estica Grgur imuni Mentor: prof. dr. sc. Hrvoje Buljan Fizi ki

Слични документи
LINEARNA ALGEBRA 2 Popravni kolokvij srijeda, 13. velja e Zadatak 1. ( 7 + 5=12 bodova) Zadan je potprostor L = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) C 4 : x 1

3. Neprekinute funkcije U ovoj to ki deniramo neprekinute funkcije. Slikovito, graf neprekinute funkcije moºemo nacrtati a da ne diºemo olovku s papir

Sveu ili²te J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveu ili²ni preddiplomski studij matematike Nata²a Galiot Algebarska struktura grupa Zavr²

Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobn

Seminar 13 (Tok funkcije) Obavezna priprema za seminar nalazi se na drugoj stranici ovog materijala. Ove materijale obražujemo na seminarima do kraja

Studij Ime i prezime Broj bodova MATEMATIKA 2 1. dio, grupa A 1. kolokvij 12. travnja Kolokvij se sastoji od dva dijela koja se pi²u po 55 minut

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

Račun smetnje i Greenove funkcije «Napredna kvantna fizika» Ivo Batistić Fizički odsjek, PMF Sveučilište u Zagrebu predavanja 2010 Pregled predavanja

UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n

Slide 1

Skripte2013

Microsoft Word - predavanje8

My_ST_FTNIspiti_Free

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET FIZIČKI ODSJEK Katja Kustura SLOBODNA EKSPANZIJA ANYONA Diplomski rad Zagreb, 2016.

Zajedni ki sveu ili²ni poslijediplomski doktorski studij matematike Sveu ili²ta u Zagrebu, Sveu ili²ta J. J. Strossmayera u Osijeku, Sveu ili²ta u Rij

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

Sadrºaj 1 Uvod 2 2 Prikupljanje i organizacija podataka Populacija i uzorak Izvori podataka

2.7 Taylorova formula Teorem 2.11 Neka funkcija f : D! R; D R m ; ima na nekoj "-kugli K(T 0 ; ; ") D; T 0 x 0 1; :::; x 0 m neprekidne derivacije do

I Jednadžbe magnetostatike Odzivne funkcije Rješavanje jednadžbi II Energija polja TDM relacije #5 Makroskopska magnetostatika I Makroskopske jednadžb

Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Funkcije strukture protona Sebastian Horvat Mentor: prof. dr. sc. Kre²imir Kumeri ki Sveu ili²te u Zagrebu, PMF Fizi ki odsjek Saºetak Krenuv²i od dub

handout.dvi

Microsoft Word _Vipnet_komentar_BSA_final.doc

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler

Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja Jelena Filipović Fizički odsjek, PMF, Sveučilište u Zagrebu

Univerzitet u Ni²u Prirodno - matemati ki fakultet Departman za matematiku KLASTER ANALIZA U STATISTIƒKOM ZAKLjUƒIVANjU Master rad Student: Katarina M

m3b.dvi

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1.

Microsoft Word - van sj Zakon o privrednoj komori -B.doc

gt3b.dvi

Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveu ili²ni preddiplomski studij matematike Ira tivi Zanimljivi brojevi Zavr²ni rad Osije

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične)

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petar Bakić GEOMETRIJA SHEMA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Go

Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij studenog Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vr

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Malo kompleksne analize i osnovni teorem algebre Ljiljana Arambašić, Maja Horvat Saže

Grupiranje podataka: pristupi, metode i primjene, ljetni semestar 2013./ Standardizacija podataka Predavanja i vježbe 8 Ako su podaci zadani

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor

IErica_ActsUp_paged.qxd

Microsoft Word - 1.Operacije i zakoni operacija

Sluzbeni glasnik Grada Poreca br

Microsoft Word - 15ms261

UNIVERZITET U NI U PRIRODNO-MATEMATIƒKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU ELEMENTI BANAHOVE ALGEBRE U OBLIKU BLOK MATRICA I NJIHOVI UOP TENI INVERZI MA

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

07jeli.DVI

I Koeficijent refleksije Površinski plazmoni II Valovodi Rezonantne šupljine Mikrovalna mjerenja #13 Raspršenje elektromagnetskih valova na kristalima

MARKOVLJEVI LANCI Prvi kolokvij 28. studenog Zadatak 1. (a) (5 bodova) Za Markovljev lanac (X n ) i njegovo stanje i S neka T (n) i u stanje i.

Metoda konačnih elemenata; teorija i praktična implementacija math.e 1 of 15 Vol.25. math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Metoda konačnih

MEHANIKA VOŽNJE - Odsek za puteve, železnice i aerodrome

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

Linearna algebra Mirko Primc

Z A K O N O SUDSKIM VEŠTACIMA I. UVODNE ODREDBE lan 1. Ovim zakonom ure uju se uslovi za obavljanje vešta enja, postupak imenovanja i razrešenja sudsk

Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.

Konacne grupe, dizajni i kodovi

Microsoft Word - 24ms241

Newtonova metoda za rješavanje nelinearne jednadžbe f(x)=0

br [1].pdf

MAT KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XX (2)(2014), PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORIN

knjiga.dvi

Matematika 2 za kemi are drugi kolokvij, 26. svibnja Napomene. Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisa

Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler

8. predavanje Vladimir Dananić 17. travnja Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14

Univerzitet u Ni²u Prirodno - matemati ki fakultet Departman za matematiku Linearni regresioni modeli u nansijama Master rad Mentor: dr Aleksandar Nas

Орт колоквијум

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

Numeričke metode u fizici 1, Projektni zadataci 2018./ Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrs

Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku Različite karakterizacije proizvoda projektora Master rad Mentor: Prof. dr. D

Microsoft Word - Izvjestaj, Matra radionice, svibanj 2011

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

Z A K O N O JAVNIM NABAVKAMA I. OSNOVNE ODREDBE 1. Predmet zakona i definicije Predmet zakona lan 1. Ovim zakonom ure uje se planiranje javnih nabavki

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ септембар 2005

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

Algebarske strukture Boris Širola

Energetski pretvarači 1 Februar zadatak (18 poena) Kondenzator C priključen je paralelno faznom regulatoru u cilju kompenzacije reaktivne sna

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apol

Službeni list Europske unije L 186 Hrvatsko izdanje Zakonodavstvo Svezak srpnja Sadržaj I. Zakonodavni akti UREDBE Uredba (EU) 2019/1148

7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)

Microsoft PowerPoint - Prvi tjedan [Compatibility Mode]

s2.dvi

Oblikovanje i analiza algoritama 4. predavanje Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb OAA 2017, 4. pr

Natjecanje 2016.

P R E D L O G ZAKON O IZMENAMA I DOPUNAMA ZAKONA O IGRAMA NA SRE U lan 1. U Zakonu o igrama na sre u ( Službeni glasnik RS, br. 88/11 i 93/12-dr. zako

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

9. : , ( )

по пла ве, ко ја је Од лу ком Вла де о уки да њу ван ред не си ту а ци је на де лу те ри то ри је Ре пу бли ке Ср би је ( Слу жбе ни гла сник РС, број

Univerzitet u Sarajevu Prirodno-matemati ki fakultet Odsjek za ziku I ciklus studija Op²ti smjer/ Teorijska zika HATD (ODVAJANJE IZNAD PRAGA VI EG RED

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.

MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), DOI: /МК S ISSN (o) ISSN (o) Klasa s

Транскрипт:

Uloga topolo²kih svojstava konguracijskog prostora u vi²e esti im sustavima identi nih estica Grgur imuni Mentor: prof. dr. sc. Hrvoje Buljan Fizi ki odsjek, PMF, Bijeni ka c. 32, 10 000 Zagreb (Dated: 19. sije nja 2017.) U ovom seminaru prikazane su osnovne tehnike za razmatranje topolo²kih svojstava zikalnih sustava. Te tehnike su zatim primijenjene na sistem dviju raspoznatljivih estica te sistem dviju neraspoznatljivih estica kako bi se objasnila uloga topolo²ke strukture konguracijskog prostora sustava u statistici koja opisuje vi²e esti ne sustave. I. UVOD Sve danas poznate estice mogu e je podijeliti u dvije skupine: fermione i bozone. Fermionska, odnosno bozonska priroda estica u vi²e esti nim sustavima. Gledaju i kvantnomehani ki istovrsne estice nije mogu e razlikovati ²to dovodi do simetrizacija vi²e esti nih bozonskih valnih funkcija, odnosno antisimetrizacije vi²e esti nih fermionskih valnih funkcija. Pri tome bozonski sustavi slijede Bose- Einsteinovu statistiku, a fermionski sustavi Fermi- Diracovu statistiku. Iako su sve estice u prirodi ili fermioni ili bozoni, ograni avanjem nekih stupnjeva slobode, mogu e je posti i druga ije pona²anje. Tako npr. u dvije dimenzije moºe do i do anyonskog pona²anja estica. U ovom slu aju prilikom zamjene dvije identi ne estice, valna funkcija poprima proizvoljnu faznu razliku (kod bozona je ona jednaka 1, a kod fermiona -1). Anyoni su prvi puta eksperimnetalno otkriveni u kvantnom Hallovom efektu te se danas provode istraºivanja u kojima bi se otkrili i drugi, eksperimentalno ostvarivi sistemi u kojima dolazi do pojave anyona. Jedna mogu nost njihove realizacije bi bila u dvodimenzinalnim sistema kao ²to je slu aj kod kvantnog Hallovog efekta. Jo² jedna mogu nost bi bila u traºenju interakcije mežu esticama u trodimnzionalnim sustavima gdje bi ta interakcija dovela do anyonskog pona²anja estica. U ovom seminaru ispitujemo topolo²ka svojstva identi nih estica (u sistemima s dvije estice). Pri tome prvo dajemo pregled osnovnih matemati kih pojmova i rezultata koji su nam potrebni te zatim ih primijennjujemo na sistem dviju estica. Pri tome odvojeno razmatramo slu aj raspoznatljivih estica i neraspoznatljivih estica. II. KLASE HOMOTOPIJE Neka je X glatka mnogostrukost te a, b X. Glatku funkciju q : [0, 1] X, takvu da je q(0) = a i q(1) = b nazivamo putom u X. Nadalje, neka je P skup svih putova u X. Tada deniramo funkcije s, t : P X tako da je s(q) = q(0) i t(q) = q(1). Funkcija s nam daje po etnu to ku puta q, a funkcija t zavr²nu to ku puta q. Neka su q, q P dva puta u X s istim rubnim to kama, tj. s(q) = s(q ) i t(q) = t(q ). Kaºemo da su putovi q i q homotopni ako je jedan put mogu e neprekidno deformirati u drugi, tj. ako postoji glatka funkcija F : [0, 1] [0, 1] X takva da je F (t, 0) = a, F (t, 1) = b, F (0, t) = q(t) i F (1, t) = q (t). Homotopnost puteva pretstavlja relaciju ekvivalencije na skupu P ²to zna i da je skup P mogu e podijeliti na klase ekvivalencije koje u ovom slu aju nazivamo klasama homotopije. Klasu homotopije kojoj pripada put q emo ozna avati s [q]. Budu i su rubne to ke svih puteva u jednoj klasi homotopije jednake, mogu e je pro²iriti domenu funkcija s, t tako da djeluju na klase homotopije, tj. tako da je s([q]) = s(q) i t[q]) = t(q). Neka je x X te q x konstantan put u X s vrijednosti u to ki x. Drugim rije ima, za sve t [0, 1] je q x (t) = x. Tada emo za klasu homotopije [q x ] koristiti oznaku [x]. Neka su q, q P dva puta u X takva da je t(q) = s(q ). Tada moºemo denirati novi put qq P na sljede i na in: ( ) 1 ( qq (t) = q(2t)θ 2 t + q (2t 1)θ t q ) (1) 2 za sve t [0, 1]. Pri tome je s(qq ) = s(q) i t(qq ) = t(q ). Konstrukcija puta qq iz puteva q i q pretstavlja operaciju u skupu P koju emo nazivati mnoºenjem puteva. To mnoºenje nije komutativno niti je denirano izmežu proizvoljna dva puta, ali je asocijativno. Ono takožer posjeduje i svojstvo inverznog elementa [4], tj. za svaki q P postoji q 1 P takav da je (qq 1 )(p) = s(q) te (q 1 q)(p) = t(q) za sve p [0, 1]. Nadalje, mno- ºenje puteva mogu e je pro²iriti na mnoºenje klasa homotopije tako da je [q][q ] = [qq ]. Skup svih klasa homotopije s navedenim mnoºenjem pretstavlja al-

2 gebarsku strukturu koju nazivamo fundamentalnim grupoidom i ozna avamo s Π(X, X). Neka su a, b X. Skup Π(X, a) = {[q] q P, s(q) = t(q) = a} zajedno s operacijom mnoºenja klasa homotopije pretstavlja grupu koju nazivamo fundamentalnom grupom u to ki a. Takožer deniramo i skup Π(X, a, b) = {[q] q P, s(q) = a, t(q) = b}. Mnoºenje u ovom skupu nije denirano osim u slu aju a = b ali tada ponovno dobivamo fundamentalnu grupu u to ki a. Fundamentalne grupe u razli itim to kama od X nisu nezavisne ako su te to ke povezane nekim putom. Neka su a, b X te q P put takav da je s(q) = a i t(q) = b. Ako je [l] Π(X, a), tada je [q 1 lq] Π(X, b). Na taj na in [q] inducira homomorzam izmežu fundamentalnih grupa Π(X, a) i Π(X, b): ( [l], [k] Π(X, a)) [q 1 lkq] = [q 1 lq][q 1 kq] (2) Analogno tome, [q 1 ] inducira homomorzam izmežu navedenih fundamentalnih grupa, ali u suprotnu stranu iz ega slijedi da su promatrani homorzmi zapravo izomorzmi. ²tovi²e, izomorzmi izmežu fundamentalnih grupa Π(X, a) i Π(X, b) inducirani razli itim klasama homotopije nisu nezavisni. Neka je p P takav da je s(p) = a i t(p) = b. Tada za sve [l] Π(X, a) vrijedi: [p 1 lp] = [p 1 q][q 1 lq][q 1 p] (3) Budu i je [p 1 q] Π(X, b), posljednji izraz pretstavlja unutarnji izomorzam u fundamentalnoj grupi Π(X, b). III. AMPLITUDA VJEROJATNOSTI Neka je zadan kvantni sistem s konguracijskim prostorom X. Pri tome pretpostavljamo da je X povezan putevima. Ukoliko je X jednostavno povezan putevima, tada je amplituda vjerojatnosti prijelaza iz to ke a u trenutku t a u to ku b u trenutku t b dana izrazom: K(b, t b ; a, t a ) = D{x(t)} exp S{x(t)} (4) gdje je reducirana Planckova konstanta, a S{x(t)} akcija sistema za putanju x(t). Ukoliko konguracijski prostor X nije jednostavno povezan putevima, tj. ako u X postoji vi²e od jedne klase homotopije, onda je amplituda vjerojatnosti jednaka ([1], [2]): K(b, t b ; a, t a ) = χ([q]) K [q] (b, t b ; a, t a ) [q] Π(X,a,b) (5) gdje je χ za sada neodrežena funkcija iz Π(C, C) u C n, a K [q] parcijalna amplituda vjerojatnosti denirana kao integral po putevima ograni en na klasu homotopije [q]: K [q] (b, t b ; a, t a ) = = D{x(t) [x(t)] = [q]} exp S(x(t)) (6) Primijetimo da smo ovdje koristili klasu homotopije [x(t)] putanje sistema, iako po ranije navedenoj de- niciji to moºemo napraviti samo za puteve ograni- ene na interval [0, 1]. Stoga uvodimo reparametrizaciju putanje na sljede i na in: q(t) = ((t b t a )t + t a ) (7) pri emu je t [0, 1]. Tada je [x(t)] = [q]. Amplituda vjerojatnosti (5) prikazana je kao suma po fundamentalnom grupoidu. Tu sumu mogu e je preoblikovati u sumu po fundamentalnoj grupi u nekoj to ki x 0. Neka je a X te C : X P funkcija takva da je C(a)(0) = x 0 te C(a)(1) = a. Sada je mogu e uspostaviti vezu izmežu fundamentalne grupe Π(X, x 0 ) u to ki x 0 i fundamentalnog grupoida. Naime, za to ke a, b X deniramo funkciju f ab : Π(X, x 0 ) Π(X, a, b) takvu da je f ab (α) = [C 1 (a)]α[c(b)] za sve α Π(X, x 0 ).(8)Deniramo li i funkcije: χ(α) = χ(f ab (α)) (9) K α (b, t b ; a, t a ) = K f ab(α) (b, t b ; a, t a ), (10) izraz (5) postaje: K(b, t b ; a, t a ) = α Π(X,x 0) χ(α)k α (b, t b ; a, t a ) (11) Funkcija f uva grupnu operaciju fundamentalnog grupoida: f ab (α)f bc (β) = f ac (αβ) (12) te stoga ona pretstavlja lokalni inverz homomorzma g : Π(X, X) Π(X, x 0 ) za koji je: te je stoga: g([q]) = [C(s([q]))][q][C 1 (t([q]))] (13) g(f ab )(α) = α (14) f s([q])t([q]) (g([q])) = [q]. (15) Neka je x c (t) klasi na putanja sistema od to ke a u trenutku t a do to ke b u trenutku t b. Ta klasi na

3 putanja odrežena je principom minimalne akcije, tj. to je ona putanja za koju akcija sistema: S{x(t)} = tb t a L(x(t), ẋ(t), t) dt (16) postaje ekstremalna, tj. δs{x c (t)} = 0. Ovaj uvjet se ne mijenja ako akciji S dodamo proizvoljnu funkciju ζ([x(t)]). Ta funkcija ζ nije u potpunosti odrežena te je povezana sa funkcijom χ u izrazu (5) za amplitudu vjerojatnosti: ( i exp ) (S{x(t)} + ζ([x(t)])) χ([x(t)]) exp ( i S{x(t)} = ) (17) Budu i da ukupna amplituda vjerojatnosti mora po- ²tivati Feynmannova pravila za kombiniranje amplituda, a posljednji faktor u izrazu (17) takožer po- ²tuje ta pravila, isto mora vrijediti i za χ. Stoga je: χ([q][p]) = χ([q]) χ([p]) (18) ²to zna i da je χ reprezentacija fundamentalnog grupoida, a iz toga slijedi da je χ reprezentacija fundamentalne grupe. Kao ²to smo ve ranije rekli, fundamentalne grupe u to kama a i b su izomorfne pri emu su izomorzmi inducirani putevima izmežu tih to aka, a razli iti izomorzmi su povezani izrazom (3). Ako su fundamentalne grupe Abelove, tada za sve l Π(X, a) vrijedi: Izaberimo jednu klasu homotopije [p 0 ] izmežu a i b. Tada svaku klasu homotopije [q] izmežu tih to- aka moºemo povezati s klasom homotopije iz fundamentalne grupe u to ki a pomo u preslikavanja [q] [qp 1 0 ]. Tada je: χ([q]) = χ([qp 1 0 ]) χ([p 0]) (22) Na prvi pogled izgleda kao da za svaki par to aka a i b moºemo izabrati reprezentaciju fundamentalnog grupoida biranjem vrijedosti χ([p 0 ]). Ali to ipak nije slu aj zbog ograni enja koja se javljaju kao posljedica grupoidne strukture izmežu razli itih parova to aka. Stoga je potrebno koristiti druga iji pristup. Biramo proizvoljnu to ku x 0 u konguracijskom prostoru. Tada vrijedi: χ([q]) = χ([c(a) 1 ][C(a)][q][C(b) 1 ][C(b)]) = χ([c(a) 1 ])χ([c(a)qc(b) 1 ]) χ([c(b)]) (23) Dakle, dovoljno je izabrati vrijednost χ([c(x)]) za sve x X za neke (proizvoljno) odrežene x 0 i C. Pogledajmo ²to e se dogoditi za neki drugi izbor funkcije C (bez da mijenjamo x 0 ). Ozna imo tu novu funkciju s C. Tada je: χ([c (a)qc (b) 1 ]) = χ([c (a)c(a) 1 ])χ([c(a)c (a) 1 ])χ([c(a)qc(b) 1 ]). (24) Stoga postoji funkcija δ(a, b) takva da je: χ ([q]) = e iδ(a,b) χ([q]). (25) Dakle, izbor funkcije C odgovara izboru globalne faze u amplitudi vjerojatnosti. [ p 1 lp ] = [p 1 q][q 1 lq][q 1 p] = [p 1 q][q 1 p][q 1 lq] = [q 1 lq], (19) IV. SUSTAV DVIJU RASPOZNATLJIVIH ƒestica gdje su p, q Π(X, a, b). Stoga svi putevi induciraju isti izomorzam izmežu Abelovih fundamentalnih grupa. Isti zaklju ak vrijedi i ako je χ jednodimenzionalna reprezentacija fundamentalne grupe: χ([p 1 lp]) = χ([p 1 q])χ([q 1 lq])χ([q 1 p]) = χ([p 1 q])χ([q 1 p])χ([q 1 lq]) = χ([q 1 lq]) (20) tovi²e, u ovom posljednjem slu aju vrijedi: χ([q 1 lq]) = χ([q 1 ])χ([l]) χ([q]) = χ([q 1 ]) χ([q])χ([l]) = χ([l]) (21) ²to zna i da je dovoljno izabrati reprezentaciju fundamentalne grupe samo u jednoj to ki. U nastavku emo pretpostavljati da radimo isklju ivo s jednodimenzionalnim reprezentacijama. Promatramo sustav dvije raspoznatljive estice u prostoru R 2. Konguracijski prostor ovog sustava je R 2 R 2. Ako je (r 1, r 2 ) R 2 R 2 gdje je r 1, r 2 R 2, tada r 1 pretstavlja koordinate prve estice, a r 2 koordinate druge estice. Umjesto ove parametrizacije, pogodnije je uvesti novu parametrizaciju konguracijskog prostora izraºenu preko centra mase sustava: R = m 1r 1 + m 2 r 2 m 1 + m2 i relativnog poloºaja estica: (26) r = r 2 r 1. (27) Pri tome su m 1 i m 2 mase estica. Nadalje, pretpostavljamo da ne postoji interakcija mežu esticama ukoliko je r 0, dok za r = 0 postoji beskona no jaka odbojna interakcija mežu esticama.

4 To zna i da konguracijski prostor moºemo ograni- iti na X = R 2 (R 2 \{0}) gdje je prvi faktor u X prostor centra mase sustava, a drugi faktor prostor relativnog poloºaja. Budu i je R 2 jednostavno povezan putevima, dovoljno promatrati ²to se dogaža s relativnim poloºajem estica. Amplituda vjerojatnosti za propagaciju relativnog poloºaja je tada jednaka: A{r(t)} = χ([r(t)]) Dr(t) exp S{r(t)} (28) pri emu je χ reprezentacija fundamentalnog grupoida prostora R 2 \{0}. Zbog jednostavnosti, umjesto navedenog prostora moºemo promatrati prostor C\{0}. Proizvoljna to ka promatranog prostora tada ima oblik re iθ gdje je r 0, te θ [0, 2π. Neka je x 0 = 1. Fundamentalna grupa u to ki x 0 se satoji od klasa homotopije zatvorenih puteva koji prolaze kroz x 0. Pri tome za svaki zatvoreni put q koji prolazi kroz x 0 je mogu e odrediti broj n(q) Z koji pretstavlja broj obilazaka tog puta oko to ke 0. Budu i da nijedan put nije mogu e neprekidno transformirati kroz to ku 0, putevi s razli itim brojem n se nalaze u razli itim klasama homotopije. Dakle, fundamentalna grupa je izomorfna grupi (Z, +). Stoga kao reprezentaciju fundamentalne grupe biramo: χ([q]) = e in([q])φ (29) za neki φ [0, 2π]. Sada trebamo izbarati reprezentaciju fundamentalnog grupoida. Deniramo funkciju C(re iθ )(t) = r t e itθ za t [0, 1]. Nadalje, biramo reprezentaciju χ preko njenog djelovanja na C(re iθ ): χ([c(re iθ )]) = e iφθ/(2π). (30) Promotrimo put q takav da je s(q) = re iω te t(q) = re iω. Iz (23) slijedi: χ([q]) = χ 1 ([C(re iω )]) χ([c( re iω )]) χ([c(re iω )qc( re iω )]) (31) Iako faktori u ovom produktu ovise o izboru r i ω, ukupni rezultat ne ovisi te dobivamo χ([q]) = e iφ/2 ²to pretstavlja fazu u amplitudi vjerojatnosti koja dolazi od zamijene estica u smjeru obrnutom od kazaljke na satu. Zamijenimo li estice u suprotnom smjeru, dobili bi fazu e iφ/2. To na vrijednost parametra φ ovisi o vrsti estica koje promatramo. U slu aju φ = 0 faza koja dolazi od zamijene estica je jednaka 1 i ne ovisi o smjeru u kojem zamijenjujemo estice (bozonsko pona²anje). Drugi grani ni slu aj je φ = 2π ²to daje fazu -1 prilikom zamijene estica, ponovno neovisno o smjeru kojim zamjenjujemo estice (fermionsko pona²anje). Za sve ostale vrijednosti φ faza koju dobiva amplituda vjerojatnosti ovisi o smjeru kojim zamijenjujemo estice (anyonsko pona²anje). V. SUSTAV DVIJU NERASPOZNATLJIVIH ƒestica Promotrimo sada sistem dvije neraspoznatljive estice u ravnini. Kao i prije, ponovno pretpostavljamo da ne postoji interakcija mežu esticama ukoliko je r 0, dok za r = 0 postoji beskona no jaka odbojna interakcija mežu esticama. Za svaku amplitudu vjerojatnosti A u slu aju neraspoznatljivih estica imamo dvije pripadne amplitude vjerojatnosti za analogni slu aj s raspoznatljivim esticama. U jednoj od tih amplituda dolazi do permutacije estica, a u drugoj ne. Neka je A 1 amplituda u kojoj ne dolazi do permutacije, a A 2 amplituda u kojoj ne dolazi do permutacije. Ukupna amplituda je tada jednaka: A = A 1 ± A 2 (32) gdje + i ozna avaju bozone i fermione, respektivno. Ovaj izraz na prvi pogled dopu²ta isklju ivo bozonsko i fermionsko pona²anje. Ali amplitude A 1 i A 2 su dane izrazom (28) ²to zna i da A 2 dobiva dodatnu fazu φ/2 u odnosu na A 1 iz ega slijedi mogu nost anyonskog pona²anja. tovi²e, mogu e je i da se fermioni u ovakvom dvodimenzionalnom sustavu pona²aju kao bozoni i obratno. Na temelju analize dvodimenzionalnog sustava, mogu e je zaklju iti ²to e se dogoditi ako se estice nalaze u n-dimenzionalnom prostoru za n > 2. Glavna razlika koja tada nastaje je druga ija fundamentalna grupa. Naime, tada je svaki zatvoreni put mogu e neprekidno transformirati u to ku ²to zna i da je fundamentalna grupa jednaka trivijalnoj grupi (sadrºi samo jedan element). Iz toga slijedi da ne dolazi do pojave relativne faze izmežu amplituda A 1 i A 2 pa estice koje su originalno fermioni (bozoni) se mogu pona²ati jedino kao fermioni (bozoni). VI. ZAKLJUƒAK U ovom seminaru prou ena je uloga topolo²ka svojstava konguracijskog prostora vi²e esti nih sustava u statistici koju slijede ti sustavi. Pokazano je da u trodimenzionalnim i vi²edimenzionalnim sustavima estice slijede isklju ivo bozonsku, odnosno fermionsku statistiku. S druge strane, u dvodimenzionalnim sustavima, statistika koju slijede estice moºe biti fermionska, bozonska ili anyonska te pri tome to ne ovisi o statistici koju bi slijedile te estice

5 u vi²edimenzionalnim sustavima (dok bi, za razliku od toga, dvije iste estice po²tivale istu statistiku u trodimenzionalnom i etverodimenzionalnom prostoru). Nadalje, pojava anyona u dvodimnzionalnim sustavima je posljedica isklju ivo topolo²kih svojstava konguracijskog prostora promatranog sustava. To zna i da ukoliko ºelimo dobiti anyone u trodimenzionalnim sustavima, interakcija izmežu estica mora biti takva da rastavi konguracijski prostor na nekoliko dijelova (sumu nekoliko mnogostrukosti) od kojih e barem neki biti dvodimenzionalni te ne e biti jednostavno povezani. [1] M. G. G. Laidlaw and C. DeWitt-Morette. Feynman functional integrals for systems of indistinguishable particles. Phys. Rev. D, 3(6):1375-1378, 1971. doi: 10.1103/PhysRevD.3. 1375. [2] M. G. G. Laidlaw. Quantum Mechanics in Multiply Connected Spaces. PhD thesis, University of North Carolina at Chapel Hill, 1971. [3] E. H. Spanier. Algebraic Topology. Springer-Verlag, 1981. [4] P. J. Higgins. Notes on Categories and Groupoids. Van Nostrand Reinhold Company, 1971. [5] L. S. Schulman. A path integral for spin. Phys. Rev., 176(5):15581569, 1968. doi: 10.1103/ PhysRev.176.1558.