SREDNJA ŠKOLA MATEMATIKA
UPUTSTVO ZA TAKMIČARE Vrijeme za ra: 0 miuta. Rješeja zaataa eophoo je etaljo obrazložiti. Rješeja oja e buu aržala potreba ivo obrazložeja eće biti razmatraa. Rapojela poea: Zaata.... Maimala broj poea 5 5 5 5 Pribor za ra: hemija olova. SREĆNO!
ZADACI. Da li potoje priroi brojevi m i tavi a je m m priroa broj? Ogovor etaljo obrazložiti.. Nea je ABCD ovea četvorougao a AB BD i CD DA. Nea je X tača prejea bietrie ugla ADB i traice AB i Y tača prejea bietrie ugla CDB i traice BC. Ao je AB a i CD b izračuati užiu poluprečia opiaog ruga trougla DXY.. Oreiti ve poliome P x) tepea, tao a u za ve, R za oje važi 0, tače, P )),, P )) i,, P )) olieare.. Za up S, S {,,, }, ažemo a je zaimljiv ao je ajmaji elemet upa S jea broju elemeata u upu S. Na primjer, up S {,7,8 } je zaimljiv. Ozačimo a broj vih zaimljivih poupova upa {,,, }. Doazati a za vao N važi ejeaot,
RJEŠENJA ZADATAKA. Pretpotavimo a potoje m, N, tao a je m. m Taa je m, ooo m ). m Kao je NZD, ), to lijei a ijeli, tj. za eo {,,, }. Dobijamo a važi 0 mo ), ooo mo ), a to ije moguće, jer varat priroog broja aje otata 0 ili pri ijeljeju a. Dale, i za jea par m priroih brojeva m, ) broj ije priroa. m. Koriteći teoremu o bietrii obijamo DA AX DB BY i. DB XB DC YC Slijei a je CD AX CD YC i, DB XB DB BY pa obijamo BX BY =, a to a oovu obrute XA YC Taleove teoreme povlači a je XY AC. Povucimo roz X pravu paralelu a AD i ea je S preje ove prave a BD. Taa važi ADX BDX i ADX DXS, pa je trougao DXS jeaorai a SX SD. Kao je trougao ABD jeaorai, to je AX SD i XB SB. Slijei, BY XB BS YS CD, YC AX SD pa je SDY YDC SYD, a to povlači a je trougao SYD jeaorai a SY SD. Dobili mo a važi SX SY SD, pa je S cetar opiaog ruga trougla DXY. Kao je AX b, AX XB a i SD AX, BX a a ab to lijei SD a, ooo SD. b a b
. Tače, P )),, P )) i, P )) u olieare ao i amo ao važi ) P ) ) P ) ) P ) 0. ) Uočimo a poliomi tepea 0 i zaovoljavaju ulove zaata. Nea u, R tavi a je 0. Taa važi ) ), ) 0. Slijei, poliom ) ) ) ) ) ) ) ) ) P x) x zaovoljava ulove zaata. Dale, poliomi oblia P x) ax bx c, a R \ {0}, b, cr, zaovoljavaju ulove zaata. Doažimo a ema rugih rješeja. I ači. Ao bi poliom P x) x, je para broj, bio rješeje, oa bi za ve, R moralo važiti ) ) ) ). Koeficijet uz 0 polioma o vije promjeljive a eoj trai u prethooj jeaoti je jea, pa ata jeaot ije tača. Ao pretpotavimo a potoji poliom parog tepea, oji je rješeje: x ax 0, a 0, P x) a x a a obijamo a mora važiti a 0, pa lijei a poliomi parog tepea ijeu rješeja. Ao bi poliom P x) x, 5 je epara broj, bio rješeje, oa bi za ve, R moralo važiti ) ) ) ). 0 Koeficijet uz polioma a eoj trai u prethooj jeaoti je jea, pa ata jeaot ije tača. Slijei a poliomi eparog tepea 5 ijeu rješeja. II ači. Ao je poliom P x) ax a x a x a0 rješeje, oa za ve, R važi ) P ) ) P ) ) P ) 0. Taa, uzimajući a primjer x i x obijamo relaciju
x P x) 5x P x) x P x) 0, iz oje lijei a ) 5) 0, 0. Nea je para broj. Taa je ) 5 5 0. Nea je 5 epara broj. Taa važi ) 5 5 ) ) 5 5 0. 5 5 5 5 ) 8 ) 5 5 Dale, ao je P x) ax a x a x a0 rješeje, oa je a 0 za 0,,.. Uočimo a važi. Nea je >. Sve zaimljive poupove upa {,,, } možemo poijeliti a oe oji arže i oe oji e arže. Broj zaimljivih poupova upa {,,, } oji e arže jea je broju zaimljivih poupova upa {,,, }, ooo broju. Ao zaimljiv up S {,,, } arži, oa Sjer S i broj elemeata upa S je bar ). U ovom lučaju je S S { }, gje je S,, -, pr. S { a,, a }, tao a je S { a,, a } zaimljiv poup upa {,,, }. Slijei a je broj zaimljivih poupova upa {,,, } oji arže jea broju zaimljivih poupova upa {,,, }, ooo broju. Dale, ) i. Primjejujući ejeaot između aritmetiče i geometrije reie a brojeve,,, obijamo Kao je, oriteći jeaot ),. ), to je lijeva traa
ejeaoti ) jeaa, pa ao primjee ejeaoti između aritmetiče i geometrije reie obijamo: ). Iz ) i ) lijei, što je evivaleto tražeoj ejeaoti.