Račun smetnje i Greenove funkcije «Napredna kvantna fizika» Ivo Batistić Fizički odsjek, PMF Sveučilište u Zagrebu predavanja 2010 Pregled predavanja

Račun smetnje i Greenove funkcije «Napredna kvantna fizika» Ivo Batistić Fizički odsjek, PMF Sveučilište u Zagrebu predavanja 2010 Pregled predavanja Račun smetnje Greenove funkcije Wickov teorem

Različite reprezentacije vremenske dinamike Vremensku dinamiku možemo prikazati pomoću vremensko ovisnih valnih funkcija. Operatori fizikalne veličine) su vremenski neovisni. Schrödingerova slika) ili, vremensku dinamika je isključivo dana pomoću vremensko ovisnih operatora, dok su valne funkcije vremenski neovisne - razapinju Hilbertov prostor za matrični prikaz operatora Heisenbergova slika) Slika međudjelovanja: vremensku dinamiku operatorima daje samo nesmetani dio Hamiltonijana. Kvantna stanja i valne funkcije imaju vremensku dinamiku koja je određenu vremenski ovisnom smetnjom. ı t Ψt) >= Ĥintt) Ψt) > gdje je: Ĥ int t) = e ı H 0t Ĥ int 0)e ı H 0t Vremenska dinamika u slici međudjelovanja Istu vremensku ovisnost imaju i svi drugi operatori:  int t) = e ı H 0t  int 0)e ı H 0t Oni zadovoljavaju diferencijalni jednadžbu: ı t Âintt) = [ int t), H 0 ] Na primjer: ı t C α = [C α, β E β C β C β ] = β ) E β {C α, C β }C β C β {C α, C β } = E α C α C α t) = C α 0)e ı E αt Također: C α t) = C α 0)e + ı E αt

Evolucija kvantnog stanja Uvodi se operator evolucije kvantnog stanja: Ψt) >= Ut, ) Ψ ) > Vrijedi: U, ) = Ut, t) = 1 Ut, ) Ut, ) = Ut, ) Ut, ) = 1 Ut, ) = Ut, t 1 ) Ut 1, ) Ut, ) U, t) = 1 Operator vremenske evolucije Operator evolucije zadovoljava istu diferencijalnu jednadžbu kao i samo kvantno stanje: koja ima formalno rješenje: ı t Ut, ) = Ĥ int t) Ut, ) Ut, ) = 1 ı dt Ĥ int t ) Ut, ) Iterativnim rješavanjem: Ut, ) = 1 + ı ) dt Ĥ int t ) + ı ) 2 t dt + ı ) t 3 dt dt dt Ĥ int t ) Ĥ int t ) dt Ĥ int t ) Ĥintt ) Ĥintt ) +...

Operator vremenske evolucije Uvodi se vremensko uređeni produkt operatora: T [At)Bt )] = { At)Bt ) ako je t > t Bt )At) ako je t > t koji se može poopćiti i na produkt proizvoljnog broja operatora: T [A 1 t 1 )A 2 t 2 )A 3 t 3 )... ] = A i1 t i1 )A i2 t i2 )A i3 t i3 )... ako je t i1 > t i2 > t i2 >... Drugi red računa smetnje može se zapisati kao: dt dt Ĥ int t ) Ĥintt ) = 1 2! dt dt T [Ĥintt )Ĥintt )] Operator vremenske evolucije Na isti način se mogu zapisati i viši redovi računa smetnje: dt 1 = 1 n! 1 dt 2... dt 1 t n 1 dt n Ĥ int t 1 ) Ĥintt 2 )... Ĥintt n ) dt 2... dt n T [Ĥintt 1 )Ĥintt 2 )... Ĥintt n )] = 1 n! T dt Ĥ int t ) Formalno je operator evolucije moguće zapisati kao: Ut, ) = T exp ı Ĥ int t ) n

Adijabatsko uvođenje smetnje Adijabatsko uvođenje smetnje omogućuje da se dobiju točna kvantna stanja sustava s međudjelovanjem iz kvantnih stanja sustava bez međudjelovanjem. Međudjelovanje se uvodi adijabatski u vremenu: Ĥ = Ĥ 0 + e ǫ t Ĥ int t) Operator evolucije za ovako uvedenu smetnju: dt 1 dt 2... U ǫ t, ) = n=0 1 n! ı ) n dt n e ǫ t1 + t2 +... tn ) T [H int t 1 ) H int t 2 )... H int t n )] Adijabatsko uvođenje smetnje Sada dopustimo da ide u -. U toj granici kvantna stanja sustava su nam poznata. To su kvantna stanja nesmetanog Hamiltonijana. S druge strane, smetani Hamiltonijan odgovara trenutku t = 0. Dakle: Ψ >= U ǫ 0, ) Φ 0 > gdje smo s Φ 0 > označili kvantno stanje nesmetanog Hamiltonijana. Uvedimo oznaku: Ψ 0 > lim ǫ 0 U ǫ 0, ) Φ 0 >. Tada je: Ψ > Ψ 0 > < Φ 0 Ψ 0 > jedno od kvantnih stanja potpunog Hamiltonijana.

Adijabatsko uvođenje smetnje Tada vrijedi: H Ψ 0 > < Φ 0 Ψ 0 > = E Ψ 0 > < Φ 0 Ψ 0 > Gell-Mann i Low teorem) Odavde izlazi da je: E E 0 = < Φ 0 H int Ψ 0 > < Φ 0 Ψ 0 > Napomena: Postoje smetnje takve koje nije moguće tretirati računom smetnje. Adijabatsko uvođenje smetnje neće dovesti to kvantnog stanja potpunog Hamiltonijana. Npr. privlačno međudjelovanje u fermionskom sustavu koje dovodi do sparivanja supravodljivosti). Izračun energije osnovnog stanja Prilikom izračuna energije osnovnog stanja, ali i ostalih veličina često se koristi slijedeći trik W.Pauli). Uvedi se Hamiltonijan s promjenjivom konstantom vezanja: Ĥλ) = Ĥ0 + λ H int Očito je: Tada vrijedi: Ĥ1) = Ĥ i Ĥ0) = Ĥ0 Ĥλ) ψ 0 λ) >= Eλ) ψ 0 λ) > te također < ψ 0 λ) ψ 0 λ) >= 1

Izračun energije osnovnog stanja Derivirajmo po λ izraz za energiju: Eλ) =< ψ 0 λ) Hλ) ψ 0 λ) > d dλ Eλ) = < dψ 0λ) dλ Hλ) ψ 0λ) > + < ψ 0 λ) Hλ) dψ 0λ) > dλ + < ψ 0 λ) dhλ) dλ ψ 0λ) > = Eλ) < dψ 0λ) dλ ψ 0λ) > + < ψ 0 λ) dψ ) 0λ) > dλ + < ψ 0 λ) H int ψ 0 λ) > = Eλ) d dλ < ψ 0λ) ψ 0 λ) > + < ψ 0 λ) H int ψ 0 λ) > = < ψ 0 λ) H int ψ 0 λ) > Integrirajući po λ lijevu i desnu stranu: E E 0 = 1 0 dλ λ < ψ 0λ) λ H int ψ 0 λ) > Greenove funkcije Greenovu funkciju jedne čestice definiramo kao: [ < Ψ 0 T ˆψ σ r, t) ˆψ G σσ rt, r t σ r, t )] Ψ ) = ı 0 > < Ψ 0 Ψ 0 > gdje su σ i σ spinski indeksi ako se Greenova funkcija odnosi na česticu sa spinom. Vremenska evolucija operatora polja dana je u Heisenbergovoj slici: Pri tome je ˆψ σ r, t) = e ı Ht ˆψ σ r)e ı Ht Ĥ Ψ 0 >= E Ψ 0 > točno kvantno stanje Hamiltonijana.

Greenove funkcije Ako su nam kvantna stanja Hamiltonijana poznata, onda je: G σσ rt, r t ) = ı n ı n e ı E n E 0 )t t ) <Ψ 0 ˆψ σ r) Ψ n ><Ψ n ˆψ σ r ) Ψ 0 > <Ψ 0 Ψ 0 > za t > t e ı E n E 0 )t t ) <Ψ 0 ˆψ σ r ) Ψ n ><Ψ n ˆψ σ r) Ψ 0 > <Ψ 0 Ψ 0 > za t < t To je situacija koju imamo za nesmetani Hamiltonijan. Greenova funkcija slobodnih fermiona Jednočestične valne funkcije su ravni valovi: φ ασ r) = 1 V e ı k α r U osnovnom stanju mnogočestičnog sustava sva stanja do Fermijeva nivoa su popunjena, a stanja energija većih od Fermijeve energije su prazna. To znači: C kα Ψ 0 > = 0 ako je E kα > E F, tj. k α > k F C kα Ψ 0 > = 0 ako je E kα < E F, tj. k α < k F Kod izračuna Greenove funkcije: { < Ψ 0 C kα C kβ Ψ 0 >= δ kα k β ako je k α > k F 0 sve ostalo < Ψ 0 C kβ C kα Ψ 0 >= { 0 sve ostalo δ kα k β ako je k α < k F

Greenova funkcija slobodnih fermiona Greenova funkcija slobodnih fermiona: G σσ rt, r t ) = ı δ σσ 1 V k e ı k r r ) e ı E k t t ) [ θt t )θk k F ) θt t)θk F k) ] = ı δ σσ d k 2π) 3 eı k r r ) e ı E k t t ) [ θt t )θk k F ) θt t)θk F k) ] Greenova funkcija slobodnih fermiona Ako se uvede integralna reprezentacija θ-funkcije: onda je: G σσ rt, r t ) = gdje je θt t ) = G σσ k, ω) = δ σσ d k 2π) 3 + + dω 2πı e ıωt t ) ω + ıη dω 2π eı k r r ) e ıωt t) G σσ k, ω) [ θk kf ) ω ω k + ıη + θk ] F k) ω ω k ıη gdje je ω k = E k

Greenova funkcija jednočestičnog Hamiltonijana Greenova funkcija jednočestičnog Hamiltonijana definira se kao rješenje jednadžbe: ı t 1 ) G rt, r t ) = δ r r )δt t ) Ĥ Ako raspišemo rješenje pomoću valnih funkcija i energija Hamiltonijana: G rt, r t ) = α ψ α r )ψ α r) e ı E αt t ) Ako se traži uzročnost, tada je: G R rt, r t ) = θt t ) α ψ α r )ψ α r) e ı E αt t ) Za slobodne čestice: G R rt, r t ) = θt t ) retardirana Greenova funkcija) d k 2π) 3 eı k r r ) e ı E αt t ) Greenova funkcija Konačni izraz za Greenovu funkciju za slobodne čestice: G R rt, r t ) = d k 2π) 3 + dω 2π eı k r r ) e ıωt t) G R k, ω) gdje je: G R k, ω) = 1 ω ω k + ıη retardirana GF) Taj izraz odgovara prvom dijelu mnogočestične Greenova funkcija: spinske indekse smo ispustili!) G k, ω) = θk k F ) ω ω k + ıη + θk F k) ω ω k ıη kauzalna GF) Osim to jednočestičnog dijela, vremenski uređena Greenova funkcija ima dio koji odgovara propagaciji šupljine za energije manje od Fermijeve.

Polovi Greenove funkcije ω... E 0 E F ω Polovi retardirane Greenove funkcije su svi u donjoj poluravnini kompleksne ω ravnine. Polovi kauzalne Greenove funkcije su u donjoj poluravnini samo za energije veće od Fermijeve. a za energije manje od Fermijeve, nalaze su u gornjoj poluravnini. Polovi su infinitezimalno blizu realne osi, tj. imaginarni dijelovi polova je infinitezimalno mali. Greenova funkcija - fizikalno značenje G σσ rt, r t ) θt t ) < Ψ 0 ˆψ σ r, t) }{{} <ekstra česticat) θt t) < Ψ 0 ˆψ σ r, t ) }{{} <ekstra šupljinat ) ˆψ σ r, t ) Ψ 0 > }{{} ekstra česticat )> ˆψ σ r, t) Ψ 0 > }{{} ekstra šupljinat)> Greenova funkcija se može promatrati kao veličina koja opisuje sustav s jednom dodatnom česticom stvorenom u trenutku t ili šupljinom u t), te je dopušteno sustavu da evoluira to trenutka t za šupljine t ), kad je to evoluirano stanje pojecirano na ono početno stanje u t. Ako u sustavu nema međudjelovanja, vremenska evolucija je određena jednočestičnim stacionarnim stanjima s dobro definiranim energijama. Projekcija na početno stanje je jednaka jedinici do na fazni faktor. Stoga Fourijerov transformat Greenove funkcije ima polove u jednočestičnim energijama s imaginarnim dijelom infinitezimalno malim.

Greenova funkcija - fizikalno značenje U sustavu s međudjelovanjem jednočestična kvantna stanja nisu stacionarna stanja. Dodatna četica kroz sudare pobuđuje druge stupnjeve slobode. Projekcija evoluiranog stanja na početno je manja od jedinice U Fourijerovom transformatu Greenove funkcije pojavljuju se polovi koji imaju imaginarni dio različit od nule. Imaginarni dio pola Greenove funkcije opisuje trnjenje - raspad početnog stanja zbog međudjelovanja čestica sustava. Fononska Greenova funkcija D ij rt, r t ) = ı < Ψ 0 T [û i r, t)û j r, t )] Ψ 0 > < Ψ 0 Ψ 0 > Greenova funkcija fonona bez međudjelovanja: D ij rt, r t ) = ı γ λ) i r)γ µ) j r ) 2 ω λ ω µ λµ [ ) θt t ) < Ψ 0 â λ t)â µt ) Ψ 0 > + < Ψ 0 â λ t)â µ t ) Ψ 0 > )] + θt t) < Ψ 0 â λ t )â µ t) Ψ 0 > + < Ψ 0 â λ t )â µ t) Ψ 0 > = ı λ γ λ) i r)γ λ) j r ) 2ω λ [ θt t ) n ) λ e +ıω λt t) + n λ + 1) e ıω λt t) θt t) n )] λ + 1) e +ıω λt t) + n λ e ıω λt t)

Fononska Greenova funkcija Greenova funkcija se može prikazati i preko Fourijerovog transformata: D ij rt, r t ) = + dω 2π e ıωt t ) D ij r, r ; ω) gdje je D ij r, r ; ω) = λ = λ γ λ) i r)γ λ) j r ) γ λ) i r)γ λ) j r ) 2ω λ [ n λ ω + ω λ + ıη + n λ + 1 nλ + 1 ω + ω λ ıη + ω 2 ω λ ıη) 2 ω ω λ + ıη ) n λ ω ω λ ıη )] Greenova funkcija za sustav s međudjelovanjem Kod izračuna energije osnovnog stanja sustava čestica koje međudjeluju poslužili smo se trikom: adijabatskim uvođenjem smetnje Hamiltonijana međudjelovanja) da bi izračunali energiju osnovnog stanja. Gell-Mann i Low teorem). Slični trik se može iskoristiti i za izračun Greenove funkcije. Općenito, za vremenski uređeni produkt dvaju operatora vrijedi: + < Ψ 0 T [Ôt)Ôt )] Ψ 0 > < Ψ 0 Ψ 0 > dt 1... + = 1 < Φ 0 Ŝ Φ 0 > < Φ 0 n=0 1 n! ) ı n dt n e ǫ t 1 + + t n ) T [Ĥintt 1 )... Ĥintt n ) Ôt)Ôt )] Φ 0 > gdje je Ŝ = U ǫ +, ) Isti izraz vrijedi i za proizvoljno veliki broj vremenski uređenih operatora.)

Normalni produkt Vremensko uređeni produkt operatora smo već uveli. Normalni produkt operatora je onaj u kojem su svi operatori uništenja na desnoj strani, a svi operatori stvaranja na lijevoj strani produkta. Pri tome treba voditi računa kod izmjene poretka dvaju fermionskih operatora se mijenja predznak. Npr.: gdje je smo koristili oznake: N[ ˆψ +) x) ˆψ ) y)] = ˆψ ) y) ˆψ +) x) N[ ˆψ +) x) ˆψ +) y)] = ˆψ +) y) ˆψ +) x) ˆψx) = 1 e ı k x ω k t) C k + k<k V } F {{} ˆψ ) k>k F 1 V e ı k x ω k t) C k } {{ } ˆψ +) ˆψ x) = 1 e ı k x ω k t) C k<k V + 1 e ı k x ω k t) C k } F k>k V k {{}} F {{} ˆψ ) ˆψ +) tako da je: ˆψ +) x) Φ 0 >= ˆψ ) x) Φ 0 >= 0 Kontrakcija Za normalno uređeni produkt vrijedi: < Φ 0 N[Â ˆB... Ẑ ] Φ 0 >= 0 Razlika između vremenski uređenog produkta i normalnog produkta zove se kontrakcija upareni operatori). Û ˆV = T [Û ˆV ] N[Û ˆV ] = ı Greenova_funkcija Kontrakcija je c-broj koji komutira sa svim operatorima i može se izvući van nekog produkta: N[A B C... Z] = ) Np) AC N[B... Z] gdje je Np) broj permutacija da se operatori A i C dovedu ispred drugih operatora za fermione).

Wickov teorem Za vremenski uređeni produkt vrijedi: T [A B C... Z] = N[A B C... Z] + N[A BC... Z] + N[A B C... Z] +... N[A B C Z] + N[A B C D... Z] + N[A B C D... Z] + N[A B C D... Z] + +sve kombinacije s 3 kontrakcije + sve kombinacije s 4 kontrakcije +... +sve moguće kombinacije svih mogućih kontrakcija Tako da vrijedi: < Φ 0 T [A B C... Z] Φ 0 >= sve kombinacije kontrakcija < Φ 0 N[A B C D... Z] Φ 0 > }{{} svi su članovi kontrahirani