Transportna svojstva 2. dio - << Fizika čvrstog stanja >>

Транскрипт

1 Transportna svojstva 2 dio «Fizika čvrstog stanja» Ivo Batistić Fizički odsjek, PMF Sveučilište u Zagrebu predavanja 2014/2015 (zadnja inačica 21 srpnja 2016)

2 Pregled predavanja Toplinska vodljivost elektrona Toplinska vodljivost fonona Termoelektrične pojave Vremensko promjenljivo polje Magnetsko polje - Hallov efekt Kvantni Hall efekt Izolatori

3 Toplinska vodljivost elektrona

4 Toplinska struja Funkcija raspodjele u prostorno nehomogenom sustavu u kojem je svaka točka prostora u lokalnoj ravnoteži na nekoj lokalnoj temperaturi: 1 f( r, k) = e E( k) µ( r) k B T( r) + 1 Prema BTE odstupanje od ravnotežne raspodjele je: [ δf = τ v f r + q E f ] p ( τ f ) [ ( 0 v q E ) ] µ (e µ) T e q T

5 Toplinska struja Dobiva se: ( j) α = β ( j Q ) α = β L αβ 11 L αβ 21 ( µ E q ( E µ q ) ) β β + L αβ 12 + L αβ 22 ( T ) T ( T ) T β β gdje su: L αβ 11 = 2q 2 L αβ 12 = Lαβ 21 = 2q L αβ 22 = 2 d p (2πħ) 3 d p (2πħ) 3 d p (2πħ) 3 ( f 0 e ( f 0 e ( f 0 e ) τ v α v β ) τ v α v β (e µ) ) τ v α v β (e µ) 2

6 Toplinska struja Ako bi uveli oznaku za energijsko ovisnu vodljivost: σ αβ (e) = q 2 τ(e) g(e) v α v β e tada je: L αβ 11 = L αβ 12 = Lαβ 21 = 1 q L αβ 22 = 1 q 2 ( de f ) 0 σ αβ (e) e ( de f ) 0 σ αβ (e) (e µ) e ( de f ) 0 σ αβ (e) (e µ) 2 e

7 Toplinska struja U izotropnom materijalu: L αβ 11 = δ αβ K 0 L αβ 12 = δ αβ K 1 L αβ 22 = δ αβ K 2 Služeći se Sommerfeldovim razvojem za degenerirani elektronski plin (metali): K 0 = σ(µ) + π2 6 (k BT) 2 d2 σ de 2 + e=µ K 1 = π2 3q (k BT) 2 dσ de + e=µ K 2 = π2 3q 2 (k BT) 2 σ e=µ + U granici niskih temperatura treba zadržati samo dominantne članove

8 Toplinska vodljivost Za električnu vodljivost dobiva se Drudeov izraz: σ = 1 3 q2 v 2 F g(e F ) τ = q2 N el τ m Toplinska vodljivost se dobiva pretpostavljajući da su j = 0 i T 0: gdje je: jq = κ el T κ el = 1 T ( ) K 2 K2 1 K 0 Radi se o elektronskom doprinosu toplinskoj vodljivosti Ukupna toplinska vodljivost sadrži doprinose i od drugih pobuđenja (fononi, ) U metalima je: K 2 1 π2 K 0 K 2 3 ( kb T e F ) 2 1 κ el K 2 T

9 Toplinska vodljivost Iz Sommerfeldovog razvoja izlazi: κ el = π2 3 ( ) 2 kb T σ e Veza između električne i toplinske vodljivosti poznata je kao Wiedemann-Franzov zakon (1853), a faktor koji ih povezuje je Lorenzov broj: ( ) 2 L = π2 kb = V 2 K 2 3 e metal L(0 o C) L(100 o C) Ag Au Al Cu Fe Ir metal L(0 o C) L(100 o C) Li Mo Pb Pt W Zn Lorenzov broj za različite metale u jedinicama 10 8 V 2 K 2

10 Toplinska vodljivost Toplinska vodljivost: κ el = π2 9 g F k 2 BT v 2 F τ se može zapisati pomoću toplinskog kapaciteta elektronskog plina koji je jednak: Dakle: c el = π2 3 g F k 2 BT κ el = 1 3 c el v 2 Fτ = 1 3 c el v F l gdje je l = v F τ srednji slobodni put Ovaj izraz je moguće poopćiti i na difuzijski prijenos topline putem drugih vrsta čestica

11 Toplinska vodljivost Promatraju se čestice u dva tanka sloja debljine srednjeg slobodnog puta oko točke x 0 koja se nalazi na temperaturi T(x 0 ) Oko jedne šestine čestica iz toplijeg sloja nesmetano (bez sudara) prelazi u hladniji sloj, i obrnuto Na taj način hladniji sloj dobiva čestice u prosjeku veće kinetičke energije (temperature), a topliji sloj dobiva čestice manje kinetičke energije (hladnije čestice)

12 Toplinska vodljivost Struja topline (energije): j Q = j(+) j( ) = N 6 v e(x 0 l) N 6 v e(x 0 + l) = N 3 v l e x = N 3 v l [ ] 1 dt = 3 c(t) v l dx e T }{{} =c(t)/n gdje smo uzeli u obzir da je toplinski kapacitet: c(t) = N e T dt dx a e(x) je prosječna energija čestice Pretpostavili smo da se temperatura se mijenja uzduž osi x

13 Toplinska vodljivost Temperaturna ovisnost vodljivosti: konst za T 0 ρ T 5 za T Θ D /5 T za T Θ D /5 Temperaturna ovisnost toplinske vodljivosti: T za T 0 κ el T 4 za T Θ D /5 konst za T Θ D /5 što slijedi iz: κ el T τ(t) T ρ(t) Na slici desno je toplinska vodljivost zlata različite čistoće Iz rada GK White, ProcPhysSoc A (1953)

14 Toplinska vodljivost fonona

15 Toplinska vodljivost fonona Fononski doprinos toplinskoj vodljivosti se može izračunati: jq = d q (2π) 3 ħω λ( q) v λ ( q) f ph ( q, λ) λ gdje je f ph fononska funkcija raspodjele, a v λ ( q) grupna brzina fononskih pobuđenja Iz BTE u aproksimaciji relaksacijskog vremena: pa je: f ph ( q, λ) f (0) ph ( j Q ) α = β f(0) ph τ( q) T v λ( q) T κ αβ ph ( T) β gdje je: κ αβ ph = λ (0) ph d q (2π) 3 ħω λ( q) ( v λ ) α ( v λ ) β τ( q) f T

16 Toplinska vodljivost fonona Izraz se može preurediti (pretpostavljajući izotropnost): κ αβ ph = δ αβ { 1 3 = δ αβ { 1 3 λ λ δ αβ 1 3 c ph v l ph d q ( (2π) 3 što je izraz koji smo već prije izveli ħω λ ( q) f(0) ph T ) } {{ } =c λ ( q) d q (2π) 3 c λ( q) v λ ( q) l ph ( q) v λ ( q) ( v λ ( q) τ( q) ) } }{{} =l ph ( q) }

17 Toplinska vodljivost fonona U harmoničkoj aproksimaciji vrijeme života fonona je beskonačno pa je i fononska toplinska vodljivost beskonačna Konačna vrijednost fononske toplinske vodljivosti dolazi iz anharmoničnosti rešetke i/ili međudjelovanja fononskih pobuđenja s drugim česticama (elektronima) i/ili raspršenja fononskih pobuđenja na rubovima kristala Na niskim temperaturama srednji slobodni put je veličine uzorka (raspršenje na rubovima kristala) pa je κ ph c ph T 3 Na visokim temperaturama Umklapp anharmonički procesi (fonon-fonon međudjelovanje) vode na to da je srednji slobodni put fonona obrnuto proporcionalan broju pobuđenih fonona, ( T 1 ), pa je κ ph T 1 (jer je c ph konst)

18 Toplinska vodljivost NaF Termalna vodljivost NaF Na niskim temperatura postoji T 3 ponašanje, dok na visokim temperaturama termalna vodljivost opada kao T n Različite krivulje odgovaraju uzorcima različite geometrije Posuđeno iz rada HEJackson et al, PhysRevLett 25 (1970) 26

19 Toplinska vodljivost Cu Termalna vodljivost bakra sadrži doprinos elektrona i fonona Bijeli kružići su ukupna termalna vodljivost, puna linija je procjena elektronskog doprinosa baziranog na Wiedemann-Franzovom zakonu i električnoj vodljivosti, te crni kružići predstavljaju razliku koja se pripisuje fononskoj termalnoj vodljivosti Posuđeno iz rada MGarber et al, Phys Rev 130 (1963) 2188

20 Termoelektrične pojave

21 Seebeckov koeficijent (termoelektrična snaga) U sustavu u kojem postoji temperaturni gradijent, a ne teče električna struja postoji električno polje Elektroni difuzno se gibaju od toplijeg kraja prema hladnijem dijelu U hladnijem dijelu je povećana koncentracija elektrona koja stvara električno polje i koje u stacionarnoj slučaju zaustavlja daljnju difuziju elektrona Između uspostavljenog električnog polja i temperaturnog gradijenta postoji veza: ( µ E ) = S T q Faktor proporcionalnosti, S, poznat je kao Seebeckov koeficijent Iz izvedenih relacija izlazi da je: S = 1 T K 1 K 0

22 Seebeckov koeficijent (termoelektrična snaga) Za metale: S = + π2 k 2 B T 3q d ln σ(e) de e=ef = π2 3 k 2 B T e e F nekoliko µv/k Seebeckov koeficijent se mjeri indirektno - uspoređujući nepoznati Seebeckov koeficijent uzorka s poznatim Seebeckovim koeficijentom referentnog uzorka

23 Fononski povlak Seebeckovom koeficijentu može doprinositi pojava poznata kao fononski povlak (phonon drag) Fononska pobuđenja se difuzijom šire s toplijeg kraja na hladniji i pri tome kroz elektronfononsko međudjelovanje prenose dio svojeg impulsa na elektrone Fononski povlak je najveći u području temperatura Θ D /5 Na slici lijevo je Seebeckov koeficijent bakra (krivulja označena sa slovom A) Krivulja označena s slovom B je procjena Seebeckovog koeficijenta izračunata iz transportnog koeficijenta Razlika između tih dvaju krivulja je doprinos fononskog povlaka (krivulja C) Posuđeno iz rada FJBlatt et al, Phys Rev 136 (1964) A729

24 Seebeckov koeficijent (termoelektrična snaga) Seebeckov koeficijent nekih metala na sobnoj temperaturi Seebeckov efekt može poslužiti za izradu termoelektričnih generatora koji pretvaraju toplinu (temperaturnu razliku) u električnu struju Efikasnost pretvaranja dana je s veličinom, metal S (µv/k) Li 14 Na -5 K -125 Rb -83 V 10 Cr 173 W 107 metal S (µv/k) Pd -999 Pt -528 Cu 183 Ag 151 Au 194 Al -18 Pb -105 Z = σs2 κ (figure of merit) Ako (kada) ZT, tada se efikasnost generatora približava granici idealnog Carnotovog stroja Za sada ne postoje materijali koji imaju ZT > 3 Potencijalni materijali s ZT=3-4 bili bi usporedivi po efikasnosti s mehaničkim strojevima Poluvodiči imaju puno veće vrijednosti ZT-a od metala

25 Termoelektrična efikasnost Termoelektrična efikasnost, ZT, zahtijeva materijale s velikim Seebeckovim koeficijentom (npr poluvodiči i izolatori) te materijale s velikom električnom provodnošću (npr metali) Stoga je termoelektrična efikasnost je najveća u materijalima koji su na granici između poluvodiča i metala: tj u jako dopiranim poluvodičima

26 Termoelektrična efikasnost Termoelektrična efikasnost jako dopiranih poluvodiča p- i n-tipa Materijali s većim vrijednostima ZT-a su halkogenidi bizmuta (Bi 2Te 3, Bi 2Se 3), olovni teluridi (PbTe 1 xse x), anorganski klatarati (A xb yc 46 y, A xb yc 136 y, A i B su elementi iz 3 i 4 grupe), skuteridi, itd

27 Peltierov efekt U električnom kolu izgrađenom od dva različita metala moguće je stvoriti toplinsku struju i kada je cijeli sustav na istoj temperaturi Neka je T = 0 Iz Onsagerovih relacija izlazi da je: jq = K 1 K 0 j Postojanje električne struje u nekom metalu stvara toplinsku struju i kada nema temperaturnog gradijenta Peltierov koeficijent je definiran: Π = j Q j = K 1 T=0 K 0 Između Peltierov koeficijent i Seebeckovog koeficijent postoji veza: Π = S T (prva Kelvinova relacija)

28 Peltierov efekt Peltierov efekt može poslužiti za izradu uređaja za hlađenje Termoelektrični sklopovi su, za sada, oko 4 puta manje efikasni od uobičajenih hladnjaka, a čija je efikasnost 10-15% efikasnosti Carnotovog idealnog hladnjaka

29 Seebeck i Peltier Thomas Johann Seebeck Jean Charles Athanase Peltier ( ) ( )

30 Vremensko promjenljivo polje

31 Električna vodljivost u promjenjivom polju Za vremensko promjenljivo polje: E(t, r) = E 0 e ıωt (prostorna ovisnost zanemarena) također se možemo poslužiti BTE: ( ) f + v f t r + F f p = f f 0 τ Pretpostavljamo da je odstupanje od ravnotežne vrijednosti malo: f(t, p) f 0 + δf(t, p) = f 0 + δf( p) e ıωt Iz BTE izlazi: qe(t, r) f p ( qe ) ( ) f 0 v e δf ( ) δf τ t = δf ( 1τ ) + ıω

32 Električna vodljivost u promjenjivom polju Odnosno: δf = q E v τ 1 ıωτ ( f ) 0 e Uz pretpostavku da je relaksacijsko vrijeme energijski neovisno dobiva se poznati izraz σ(ω) = σ 0 1 ıωτ = σ + ıσ gdje σ 0 označava vodljivost u statičkom električnom polju, a: σ = σ (ωτ) 2 σ = σ 0 ωτ 1 + (ωτ) 2 Vrh u realnom dijelu vodljivosti na ω=0 naziva se Drudeov

33 Vodljivost dopiranog silicija Realni i imaginarni dio vodljivosti u srednje dopiranom siliciju U realnom dijelu može se uočiti Drudeov vrh Posuđeno iz rada M van Exter i D Grischkowsky, PhysRevB 41 (1990) 12140

34 Magnetsko polje - Hallov efekt

35 Hallov efekt Ako se uzorak kroz koji teče struja izloži magnetskom polju okomitom na gibanje čestica, Lorentzova sila zaokretat će putanje čestica koje je se nakupljati na jednom strani uzorka, stvarajući dodatno električno polje okomito magnetsko polje i smjer struje Inducirano električno polje: E ind = R H j B Faktor proporcionalnosti induciranog električnog polja je Hallova konstanta (R H )

36 Hallov efekt Transport u magnetskom polju također se može izračunati pomoću BTE Sila koju osjećaju čestice naboja q: ( F = q E + v p B ) ( = q E + e ) p B Međutim, uobičajena aproksimacija: ( f F p F e p ) f0 e neće dati traženi rezultat jer će se efekt magnetskog polja izgubiti Stoga je u aproksimiranju BTE potrebno zadržati i daljnje članove u razvoju, a koji sadrže magnetsko polje: F f p ( = q E + v p ) B q E v p ( f0 e ) + q( v p B) δf p p [f0(e) + δf] = q ( E + v p B ) [ e p f 0 e + δf ] p

37 Hallov efekt BTE u aproksimaciji relaksacijsko vremena: ( ) ( q E v p f ) 0 δf ( e τ +q v p B ) δf p Rješenje jednadžbe može se tražiti u formi sličnoj onoj koju smo imali i kada nije bilo magnetskog polja: ( ) ( δf = q A v p f ) 0 τ e Vektor A u odsustvu magnetskog polja je jednak električnom polju! Uvrštavanjem pretpostavljenog rješenja u BTE i služeći se aproksimacijom efektivne mase: v p = p m dobiva se jednadžba za nepoznati vektor A

38 Hallov efekt Riješenje je: E = A + q τ m ( B A ) A = E A = E q τ m B E 1 + ( ) q τ 2 m B 2 gdje indeksi i označavaju komponente paralelne i okomite na magnetsko polje Vektori E i A nisu kolinearni! Uvrštavanjem u izraz za struju izlazi da je: j = σ 0 E j = σ 0 E q τ m B E 1 + ( q τ m ) 2 B 2

39 Hallov efekt Izraz se može zapisati i u slijedećem prikladnom obliku: σ 0 E = j + q τ m B j Iz izraza izlazi da je inducirano električno polje okomito na magnetsko polje i struju paralelnu vanjskom električnom polju: E ind = q τ m 1 σ 0 B j = 1 q N B j Izraz je izveden uz pretpostavku da je struja paralelna induciranom električnom polju jednaka nuli Hallova konstanta: R H = 1 q N gdje je N koncentracija čestica koje vode struju, q im je naboj

40 Hallov efekt Metal R H Li -17 Na -21 K -42 Cu -054 Ag -084 Au -071 Al -034 Metal R H Be +24 Zn +063 Cd +059 Pb +009 As +450 Sb +270 Bi Hallova konstanta nekih metala u u jedinicama m 3 s 1 A 1 Hallova konstanta jednostavnih metala (Na, K, Cu, ) dosta se dobro slaže s teorijskim očekivanjima dobivenim iz koncentracije broja elektrona U nekim su metalima (Be,Zn, ) šupljine prijenosnici naboja U Bi izuzetno veliku Hallove konstantu znači da je koncentracija elektrona mala, cca jedan elektron na 5000 atoma

41 Hallov efekt - tenzor otpornosti i vodljivosti U izotropnom materijalu gustoća struja je kolinearna s električnim poljem U prisustvu magnetskog polja ta kolinearnost više ne postoji Općenito je: j i = j σ ij (B) E j odnosno E i = j ρ ij (B) j j Iz izraza koji vrijedi za izotropnu sredinu: σ 0 E = j + q τ m B j dobiva se (za magnetsko polje u z-smjeru, 1/σ 0 = ρ 0 ): ρ 0 R H B 0 ρ(b) = +R H B ρ ρ 0 σ(b) = ρ 0 R H B 0 ρ 2 0 +(R H B)2 ρ 2 0 +(R H B)2 R H B ρ 0 0 ρ 2 0 +(R H B)2 ρ 2 0 +(R H B) ρ 0 = ρ 1 (B)

42 Hallov efekt U materijalima u kojima postoje magnetske nečistoće, postoji dodatno magnetsko polje koje utječe na Hallovu konstantu, što je poznato kao anomalni Hallov efekt U poluvodičima Hallovom efektu doprinose i elektroni i šupljine Hallova konstanta može biti i pozitivna i negativna Može se pokazati da je: R H = N h µ 2 h N el µ 2 el e (N h µ h + N el µ el ) 2

43 Kvantni Hall efekt

44 2d elektronski plin u magnetskom polju Schrödingerova jednadžba za česticu u magnetskom polju: 1 ( p + ea) 2m 2 ψ = E ψ gdje je A vektorski potencijal Konstantno magnetsko polje uzduž z-osi okomito xy-ravninu 2d elektronskog plina može se dobiti iz vektorskog potencijala: A = (0, B x, 0) (postoje i drugi mogući izbori!) pa Schrödingerova jednadžba postaje: [ ħ2 d 2 ( 2m dx 2 ħ2 d 2m dy + ı e B ) ] 2 ħ x ψ = E ψ Rješenje tražimo u obliku: ψ(x, y) = e ıkyy ψ(x)

45 2d elektronski plin u magnetskom polju Schrödingerova jednadžba se svodi na jednadžbu 1d harmoničkog oscilatora kojem je ravnotežna vrijednost ovisna o valnom broju uzduž druge koordinate: [ ħ2 d 2 2m dx 2 + mω2 c 2 (x + ħk ] y e B )2 ψ = E ψ gdje je: ω c = eb m (ciklotronska frekvencija) frekvencija titranja harmoničkog oscilatora jednaka frekvenciji kružne rotacije naboja u magnetskom polju Dobivena stacionarna kvantna stanja ima spektar 1d harmoničkog oscilatora Kvantizirana energijska stanja zovemo Landauovim razinama Razmak između energija je ħω c Za svaku energiju (Landauovu razinu) postoji veliki broj kvantnih stanja Degeneracija je to veća što je magnetsko polje jače

46 2d elektronski plin u magnetskom polju U odsustvu magnetskog polja 2d elektronski plin ima konstantnu gustoću stanja: g 2d (e) = L2 m 2π ħ 2 Efekt magnetskog polja je takav da kontinuirano raspodijeljene energije grupira u energije 1d harmoničkog oscilatora Degeneracija energijskih stanja može se procijeniti: n = ħω c g 2d (e) = Φ Φ 0 gdje je Φ 0 = h e kvant toka magnetskog polja, a Φ=B L 2 tok magnetskog polja Zavisno od magnetskog polja Fermijeva razina nalazi se ili u sredini između dvije energije ili je unutar energijskog stanja U prvom slučaju kvantna stanja unutar Landauove razine su ili sva popunjena ili sva prazna U drugom slučaju postoji jedna djelomično popunjenja Landauova razina

47 2d elektronski plin u magnetskom polju Ilustracija kako se ravnomjerna (konstantna) raspodjela kvantnih stanja 2d sustava stapa u Landauove energije u prisustvu magnetskog polja

48 Kvantni Hallov efekt Iz rada Kv Klitzing, G Dorda i M Pepper, PhysRevLett 45 (1980) 494 Hallov napon u MOSFET poluvodičkom spoju na temperaturi od 15 K, magnetskom polju od 18 T i uz konstantnu struju od 1 µa Radi se o dvodimenzionalnom elektronskom sustavu (površina) dimenzije L = 400 µm W = 50 µm, u kojem se koncentracija elektrona regulira pomoću vanjskog napona V g Udaljenost naponskih kontakata je L pp = 130 µm Očekivana ovisnost Hallov napona o koncentraciji čestica je U H N 1 Otkriveno je da Hallov napon nema očekivano monotono ponašanje, nego postoje platoi za one koncentracije elektrona koje sasvim popunjavaju Landauova energijska stanja Uzdužna otpornost (ρ xx) ima jako oscilirajuće ponašanje i jednaka je nuli za one koncentracije koje sasvim popunjavaju Landauova energijska stanja To se posledica nemogućnosti raspršenja čestica kada se kvantna stanja na Landauovoj razini sva popunjena (τ )

49 Kvantni Hallov efekt Platoi u Hallovom naponu odgovaraju nedijagonalnoj otpornosti: ρ xy = U H struja = R H B = B N el e = 1 cijeli broj h e 2 Klitzingov eksperiment omogućio je vrlo precizno mjerenje veličine: R K = h = kω e2 (Klitzingova konstanta) Konačna širina platoa dolazi od popunjavanja lokaliziranih stanja oko Landauove energije koja ne doprinose vodljivosti Međudjelovanje elektrona utječe na Hallov efekt, pa se platoi pojavljuju i na vrijednostima koje odgovaraju razlomcima Klitzingove konstante (za racionalno popunjenje Landauovih energija) Elektroni u racionalno popunjenoj Landauovoj energiji nalaze se u posebnom kvantnom stanju opisnom Laughlinovom valnom funkcijom Pobuđenja stanja imaju racionalne (frakcione, n m e) elektronske naboje

50 Nobelova nagrada 1985 Klaus von Klitzing - Nobelova nagrada 1985 za otkriće kvantiziranog Hallovog efekta Pogledati radove: Kv Klitzing, G Dorda i M Pepper, PhysRevLett 45 (1980) 494, te RB Laughlin, PhysRev B23 (1981) 5632

51 Frakcioni (racionalni) kvantni Hallov efekt Posuđeno iz rada HL Störmer, Physica B177 (1992) 401

52 Nobelova nagrada 1998 Robert B Laughlin, Horst L Störmer i Daniel C Tsui - Nobelova nagrada 1998 za otkriće kvantne tekućine koja ima kao pobuđenja čestice s frakcionim nabojem Pogledati radove: DC Tsui, HL Störmer i AC Gossard, PhysRevLett 48 (1982) 1559, te RB Laughlin, PhysRevLett 50 (1983) 1395

53 Izolatori

54 Izolatori Postoje izolatori koji nemaju elektronsku strukturu kao što je imaju poluvodiči Izolatorsko ponašanje u njima dolazi od: Velike strukturne neuređenosti materijala ili zbog jakih korelacija (međudjelovanja) čestica

55 Andersonova lokalizacija Izolatorsko ponašanje koje dolazi od strukturnog neuređenja naziva se Andersonova lokalizacija [PW Anderson, Phys Rev 109 (1958) 1492] U kristalnoj rešetci mali strukturni defekti dovode do raspršenja čestica i njihovog konačnog vremena života To je situacija koja postoji i metalima Neuređenost ne dovodi do lokalizacije valnih funkcija U jako neuređenom sustavu ne postoje Blochove delokalizirane valne funkcije kao vlastita stanja hamiltonijana Ovakav sustav se ponaša kao izolator Neuređenost materijala može biti dvojaka: elektron se giba u jakom nasumično oscilirajućem potencijalu, ili su veze među atomima, koje omogućuju elektronima preskakanje s atoma na atom, neuređene tj nasumično pokidane

56 Andersonova lokalizacija U kristalu s djelomičnom neuređenošću, moguća je situacija u kojoj je dio elektronskih stanja lokaliziran, a dio delokaliziran Kvantna stanja koja imaju energiju u području male gustoće stanja su lokalizirana, a ona u području velike gustoće stanja delokalizirana Između lokaliziranih i delokaliziranih stanja postoji energija razdvajanja ili granica mobilnosti (mobility edge) Ovakav materijal je izolator ako je Fermijeva razina u području lokaliziranih stanja, odnosno vodič ako je Fermijeva razina u području delokaliziranih stanja

57 Preskakanje varijabilnog dosega (VRH) Transport naboja (topline, i/ili ostalih fizikalnih veličina) ostvaruje se preskakanjem elektrona s jednog lokaliziranog stanja u drugo prostorno udaljeno lokalizirano stanje Obično, udaljeno lokalizirano stanje nema istu energiju pa preskakanje se može dogoditi samo uz apsorpciju/emisiju fononskog pobuđenja To su fononski potpomognuti prijelazi/preskakanja U području niskih temperatura, broj fononskih pobuđenja konačne energije je eksponencijalno mali, pa se preskakanje događa između lokaliziranih stanja bliske energije Ako ne postoji korelacija između nasumičnih energija lokaliziranih stanja i njihovog prostornog položaja, za očekivati je da u blizini lokaliziranog stanja nema drugih lokaliziranih stanja iste ili bliske energije U području niskih temperatura elektroni preskaču u prostorno udaljena lokalizirana stanja bliske energije Vjerojatnost takvih prijelaza trne eksponencijalno s prostornom udaljenošću lokaliziranih stanja Transport u području niskih temperatura je rezultat balansa između eksponencijalno malog broja fonona konačne energije i eksponencijalno trnuće vjerojatnosti preskakanja između prostorno udaljenih bliskih u energiji lokaliziranih stanja Kao rezultat se dobiva: σ(t) e ( T0T ) 1/(d+1) gdje je d dimenzionalnost sustava

58 Metal-izolatorski prijelaz (MIT) zbog korelacija Mnogi pravilno uređeni sustavi su izolatori iako imaju neparni broje elektrona po čvorištu (djelomično popunjene vrpce): CoO, NiO, La 2 x(ba,sr) xcuo 4 U tim su materijalima jake korelacije između elektrona razlog izolatorskog ponašanja Pojednostavljeno objašnjenje: U materijalima male koncentracije elektrona, dužina zasjenjenja je velika (k 1 TF ), pa postoje lokalizirana stanja u zasjenjenom atomskom potencijalu: U(r) = e2 e k TF r r Tada dolazi do lokalizacije U materijalima velike koncentracije elektrona, dužina zasjenjenja je je mala pa ne postoje lokalizirana stanja Tada materijal ima metalno ponašanje Lokalizirano stanje postoji ako je k TF < 119/a B (a B je Bohrov radijus) pa je sustav izolator za N 1/3 a B < 02

59 Metal-izolatorski prijelaz (MIT) zbog korelacija Metal-izolatorski prijelaz uzrokovan elektronskim korelacija nazivamo Mottovim prijelazom [ NF Mott, ProcPhysSoc A 62 (1949) 416] Mottov prijelaz može biti dosta složeniji od gore navedenog jednostavnog objašnjenja Često je praćen pojavom antiferomagnetskog (AF) uređenja ili pojavom valova gustoće naboja (CDW) U aproksimaciji čvrste veze Mottov se prijelaz opisuje jakim Hubbardovim odbojnim međudjelovanjem U: H = t (c n+δ,s c n,s + c n,sc n+δ,s ) + U n,δ,s n c n, c n, c n, c n, Ako je U dovoljno velik, u nabojnim pobuđenjima sustava postoji procijep pa je sustav izolator

60 Nobelova nagrada 1977 Philip Warren Anderson, Sir Nevill Francis Mott, John Hasbrouck van Vleck - Nobelova nagrada 1977 za osnovna teorijska istraživanja elektronske strukture magnetskih i neuređenih sustava