UDK 64.7.3:64.4/4 Primljeno 4.. 8. Statika i dinamika analiza prostorne lananice Vanja ravaš, Ivica Kožar Kljune rijei prostorna lananica, ovješeni kabel, visei most, ovješeni most, matematiki model, lanani konani element V. ravaš, I. Kožar Izvorni znanstveni rad Statika i dinamika analiza prostorne lananice Prikazana je statika i dinamika analiza ravninskih i prostornih viseih kabela. U praksi postoje konstrukcijski elementi mehaniko ponašanje kojih se može opisati idealiziranim matematikim modelom ovješenoga elastinog kabela. Primjer za to su vlano optereeni kabeli viseih i ovješenih mostova. Razumijevanje njihova ponašanja bitno je za analizu stabilnosti ovješenih konstrukcija. U radu je primijenjen sustav nelinearnih jednadžbi za odreivanje inicijalnog oblika kabela. Key words spatial catenary, suspended cable, suspension bridge, cable stay bridge, mathematical model, catenary-type finite element Mots clés caténaire spatiale, câble suspendu, pont suspendu, pont haubané, modèle mathématique, élément fini de type caténaire,,,,, Schlüsselworte räumliche Kettenlinie, Schrägseilkabel, Hängebrücke, Schrägseilbrücke, mathematisches Modell, endliches Kettenelement V. ravaš, I. Kožar Original scientific paper Static and dynamic analysis of a spatial catenary he static and dynamic analysis of spatial and in-plane suspended cables is presented. he mechanical behaviour of some structural elements can be described in practical terms by an idealized mathematical model of a suspended elastic cable element. his procedure can be applied on suspension bridges and cable stay bridges for cables subjected to tensile stress. he knowledge of behaviour of such cables is significant for analyzing stability of suspended structures. he nonlinear equation system is used to determine the initial shape of the cable. V. ravaš, I. Kožar Ouvrage scientifique original L'analyse statique et dynamique de la caténaire spatiale L'analyse statique et dynamique des câbles suspendus, tant plans que spatiau, est présentée. Le comportement mécanique de quelques éléments structurels peut être décrit en de termes pratiques par le modèle mathématique idéalisé du câble élastique suspendu. Ce procédé peut être appliqué sur les ponts suspendus et les ponts haubanés pour câbles soumis à la charge de traction. L'information sur le comportement de ces câbles est importante pour l'analyse de stabilité des constructions suspendues. Le système des équations non-linéaires est utilisé pour déterminer la forme initiale du câble..,. Op.,.... V. ravaš, I. Kožar Wissenschaftlicher Originalbeitrag Statische und dynamische Analyse der räumlichen Kettenlinie Dargestellt ist eine statische und dynamische Analyse ebener und räumlicher Hängekabel. In der Prais bestehen Konstruktionselemente deren mechanisches Verhalten mit einem idealisierten mathematischen Modell des elastischen Hängekabels beschrieben werden kann. Ein Beispiel dafür sind zugbelastete Kabel von Hänge- und Schrägseilbrücken. Das Verstehen deren Verhaltens ist wesentlich für die Stabilitätsanalyse von Schrägseilkonstruktionen. Im Artikel wurde ein System unlinearer Gleichungen für die Bestimmungder initialen Kabelform angewendet. Autori: Vanja ravaš, dipl. ing. gra.; prof. dr. sc. Ivica Kožar, dipl. ing. gra., Zavod za raunalno modeliranje, Graevinski fakultet Sveuilišta u Rijeci, V. C. Emina 5, Rijeka GRAEVINAR 6 (8) 5, 395-4 395
Analiza prostorne lananice Uvod Potreba za proraunskim modelom prostorne lananice dolazi do izražaja prilikom prorauna ovješenih konstrukcija viseih mostova. Za takav tip konstrukcija potrebno je predvidjeti statiko i dinamiko ponašanje kabela za razliite sluajeve optereenja. Zajedniko djelovanje vrste konstrukcije i užeta važno je poradi meudjelovanja konstrukcije i kabela. Kabel, koji je nelinearna tvorevina, ako povezuje dvije toke unutar konstrukcije (npr. gredu i pilon) ponašanje cijelog sklopa ini nelinearnim. U tim uvjetima dinamiko ponašanje konstrukcije postaje nelinearno (primjerice vlastita frekvencija postaje ovisna o amplitudi oscilacija) i za odreene poetne uvjete mogue su i kaotine oscilacije [7]. Zbog velike složenosti navedenih pojava ograniit emo se na analizu lananice kao samostalne konstrukcije. Pri proraunu ovješenih mostova posebno je važna modalna analiza kabela. Naime, ako se vlastita frekvencija kabela podudara s vlastitom frekvencijom kolnike konstrukcije mosta, može doi do pojave rezonancije. Vjerojatnost pojave rezonancije ovisi o mnoštvu parametara, u prvom redu o odnosu (gustoe) deformacijske energije rasponske konstrukcije i deformacijske energije kabela, o prigušenju, o mjestu privršenja kabela i dr., te se ovdje nee razmatrati. Ovješeni kabeli pripadaju konstrukcijskim elementima u kojima je jedna prostorna dimenzija (dužina kabela) znatno vea od preostalih dviju (širina i visina poprenog presjeka). Iz tog razloga, unutar inženjerske nomenklature opravdano ih je svrstati u grupu fleksibilnih konstrukcijskih elemenata. Zbog izuzetno male fleksijske krutosti, pretpostavljamo da kabeli ne mogu preuzeti momente savijanja. Osim male fleksijske krutosti, kabeli se odlikuju i svojstvom male poprene krutosti koja im ne omoguava preuzimanje poprenih sila. Dakle, ovješeni kabeli preuzimaju samo uzdužne sile, i to pozitivnog predznaka (vlane sile). Uobiajeno je kabele prikazati modelom lananice optereene vlastitom težinom. Uvoenjem modela lan- anice mogue je razviti unificiranu teorijsku podlogu za statiku i dinamiku analizu kabela razliitih fizikalnih i geometrijskih karakteristika. Stoga emo u nastavku rada prikazati proraunski model ravninske i prostorne lananice. Statika analiza lananice u ravnini Kod veine konstrukcijskih elemenata ravnotežna je konfiguracija uglavnom unaprijed poznata (a time i poetna geometrijska forma). U sluaju lananica ta pretpostavka nije zadovoljena. U strunoj se literaturi problem V. ravaš, I. Kožar odreivanja poetnog položaja slobodno ovješenih lan- anica naziva problemom poetne ravnoteže (initial equilibrium problem). Ako nema vanjskih optereenja, lananica je optereena samo vlastitom težinom. Razlike u visinama njezinih ležajeva definiraju nesimetrian oblik ravnotežnog stanja koji je unaprijed nepoznat (slika.). Pri uspostavljanju ravnoteže, elastina se lananica rasteže pod djelovanjem vlanih sila (sila ) smjer kojih je u svakoj toki definiran tangentom. Slika. Diferencijalni element lananice Diferencijalnu jednadžbu ravnoteže elastinih lananica izveli su Jacob i Johann Bernoulli []. Iznalaženje jednadžbe poinje promatranjem ravnotežnog stanja diferencijalnog elementa lananice ds []. Ukupna horizontalna () i vertikalna sila () može se dovesti u vezu s vlanom silom u svakoj toki lananice []. Za lananicu optereenu samo vlastitom težinom horizontalna komponenta vlane sile poprima konstantnu vrijednost (), a vertikalna komponenta sile () ovisi o nagibu tangente (slika.). d H ; H const. () ds dz q s V ; V H tg () ds Budui da je prema pretpostavci lananica podložna Hookeovu zakonu elastinih deformacija, mogue je vlanu tangencijalnu silu u svakoj toki lananice dovesti u vezu s pomakom te iste toke (3). Veza je uspostavljena s lanom osne krutosti AE koji je ujedno i najvažniji podatak mehanikih karakteristika elastinih lananica. ds AE (3) ds d ds dz ds (4) 396 GRAEVINAR 6 (8) 5, 395-4
V. ravaš, I. Kožar Analiza prostorne lananice Zbog djelovanja vlanih sila, diferencijalni se element lananice rasteže. okom deformiranja masa lananice mora biti ouvana [], pa se za diferencijalni segment ds može napisati sljedei geometrijski uvjet (4). Nakon kvadriranja jednadžba () i () mogue ih je uvrstiti u jednadžbu (4) ime se dobiva izraz koji odreuje intenzitet vlane sile (5) ovisno o njezinoj horizontalnoj i vertikalnoj komponenti []. H q s ( s) V (5) d ds d ds dz dz ds ; (6) ds ds ds ds ds Uzimajui u obzir sljedee diferencijalne odnose (6) i koristei se jednadžbama (), () i (4), u kojima se ti odnosi spominju, mogue je dobiti rješenje problema poetne konfiguracije elastine lananice (geometrijski oblik) u obliku parametarske funkcije (7,8). Funkcijski je parametar s generalizirana Lagrangeova koordinata []. H L H V V W F( H, V ) sh sh L s E A W H h (9) W V G ( H, V ) E A W H L V A W H V W H H s () H S - visinska razlika ležajeva lananice L s - raspon ležajeva lananice Sustav jednadžbi (9,) rješava se numerikim putem koristei se Newtonovim iterativnim postupkom [6]. Slika. prikazuje poetni oblik lananice za nekoliko razliitih polaznih vrijednosti njezine poetne duljine L. Ostali parametri definirani su sljedeim veliinama: E = 8,5E + 5 kn/m, A =,7 m, = 45 kg/m, h =, m, l = m, L = 5 m. W s V s z( s) E A W L H L W V H V H s L (7) L i n i L i 5 s V W H s H L V L ( s) ch sh (8) E A W H H A - ploština poprenog presjeka E - modul elastinosti L o - poetna duljina lananice W - težina lananice s - Lagrangeova koordinata H - horizontalna komponenta vlane sile V - vertikalna komponenta vlane sile Novost u radu jest odreivanje poetnoga ravnotežog oblika lananice (formulacija ne konvergira iz proizvoljnoga geometrijskog položaja kabela). Prikladnom matematikom transformacijom [] može se problem formulirati tako da su horizontalna i vertikalna komponenta maksimalne tangencijalne sile nepoznanice nelinearnog sustava jednadžbi (9,). Slika. Ravnotežne konfiguracije lananice za razliitu poetnu duljinu Za beskonanu osnu krutost (EA = ) problem se reducira na jednu nelinearnu jednadžbu. Slika 3. prikazuje ravnotežni oblik lananice za razliite osne krutosti. GRAEVINAR 6 (8) 5, 395-4 397
Analiza prostorne lananice n EAi EA i 5% EA i V. ravaš, I. Kožar Lanani konani element ima dva vora te ima sa šest stupnjeva slobode []. Na taj je nain svakom voru omoguen prostorni pomak (u) s odgovarajuim u, u y i u z komponentama. Za takav konani element, vektor vanjskog optereenja () i vektor vornih pomaka () poprimaju sljedei oblik. y z y Fz z F F F F F F () y z y u u u u u u u () Lananice su konstrukcijski elementi okarakterizirani velikom fleksibilnošu koja namee nezaobilaznu uporabu geometrijski nelinearnih lanova pri uspostavljanju veze izmeu pomaka i deformacija. Na taj nain konanu matricu krutosti (tangentna matrica) definiramo zbrojem materijalne K m i geometrijske K g matrice krutosti (3). K u F K K K (3) m g Slika 3. Ravnotežne konfiguracije lananice za razliitu osnu krutost 3 Statika analiza lananice u prostoru Radi potrebe za opisivanjem razliitih vrsta optereenja, nužan je diskretni model kontinuirane lananice. Diskretna analiza podrazumijeva proraun veliine pomaka u prethodno definiranim tokama. Kako bi se taj postupak proveo, odabrana je numerika metoda konanih elemenata (lananih elemenata) kojom se lananica diskretizira na sustav s konanim brojem stupnjeva slobode (slika 3.). Diskretizacija se provodi za geometrijski oblik dobiven u prijašnjem poglavlju (referentna ravnotežna konfiguracija leži u ravnini z) a rabe se specijalni konani elementi [] konstruirani za analizu lananica (lanani konani elementi). Formulaciju tangente matrice krutosti elastinog lananoga elementa izveo je O Brien [4], [5]. Kako je vlanu silu mogue izraunati poznavajui njezinu horizontalnu komponentu (H = const.) te kut izmeu tangente u toki za koju raunamo silu i osi (3), tangentna matrica krutosti izražena je u funkciji horizontalne sile H i kutova i. Proraun tangentne krutosti poinje izraunavanjem koeficijenata μ (4), (5) i (6) lananoga konanog elementa []. q L L (4) H E A 4sin cos sin (5) q (6) q L L E H Obratimo pozornost da su kutovi i jednaki kutu ako se izmeu vorova lananog elementa pretpostavi linearni segment lananice [3]. Dakle, mogue je i pove- ati tonost prorauna tako da se izmeu vorova elementa lanani element prikaže krivuljom drugoga reda. U tom se sluaju kutovi tangente mijenjaju po duljini elementa ( je kut na prvom, na drugom voru). Lokalna matrica krutosti je simetrina []. Uobiajeno ju je prikazati matrinom formom (7). Slika 4. Diskretizacija lananice metodom konanih elemenata (lanani konani elementi) K sub q sin sin E A cos cos H L cos cos q sin sin H (7) 398 GRAEVINAR 6 (8) 5, 395-4
V. ravaš, I. Kožar Analiza prostorne lananice U jednadžbama (4), (5) i (6) q predstavlja ukupno vertikalno kontinuirano optereenje na jedan konani element (8). akvim optereenjem modelira se utjecaj vlastite težine lananice. U istim jednadžbama L ozna- uje duljinu projekcije konanog elementa na os. 9.8 L (8) broj konacnih elemenata q Napomenimo da je pri generiranju globalne matrice krutosti potrebno lokalnu krutost transformirati uporabom uobiajene transformacijske matrice definirane položajem konanog elementa (9). cos sin sin cos (9) cos sin sin cos Slika 5. Pomaci lananice uzrokovani koncentriranom silom paralelnom sa osi koordinatnog sustava Konana lokalna matrica krutosti generira se uvrštavanjem submatrine komponente kako je prikazano u jednadžbi (). K sub K sub K K K () sub sub Globalna matrica krutosti proraunava se zbrojem svih lokalnih matrica krutosti napisanih za globalne stupnjeve slobode (). broj elemenata K K lok glo () el el Slika 6. Pomaci lananice uzrokovani koncentriranom silom paralelnom sa osi y koordinatnog sustava Rubni su uvjeti definirani na krajnjim vorovima tako da im se onemoguuje pomak u sva tri ortogonalna smjera. Adekvatnom formulacijom rubnih uvjeta, diskretizacijski oblik jednadžbe ravnoteže nudi mogunost opisivanja razliitih tipova oslanjanja lananice. Nakon ukljuivanja rubnih uvjeta tako da se globalna matrica krutosti reducira, mogue je riješiti sustav jednadžbi te dobiti vrijednosti pomaka vorova konanih elemenata (). u K F () Na sljedeem primjeru prikazana je lananica optereena koncentriranom silom (slike 5., 6. i 7.). Slika 7. Pomaci lananice uzrokovani koncentriranom silom paralelnom sa osi z koordinatnog sustava GRAEVINAR 6 (8) 5, 395-4 399
Analiza prostorne lananice reba obratiti pozornost da je tangentna matrica krutosti ovisna samo o horizontalnoj komponenti tangencijalne sile u lananici []. Nakon konstruiranja diskretizacijske jednadžbe ravnoteže (za konaan broj stupnjeva slobode) mogue je izvršiti dinamiku analizu lananice (modalnu analizu). 4 Dinamika analiza lananice u prostoru Pri proraunu vlastitih frekvencija osciliranja i pripadajuih oblika osciliranja, desna strana ravnotežne dinamike jednadžbe poprima vrijednost nul-vektora (3). M u K u (3) Grupirajui amplitude pomaka u vektor d (vektor svojstvenih vrijednosti) te usvajajui harmonijski odziv konstrukcije (4), (5) u d sin t (4) d u cos t (5) dobiva se generalizirani problem svojstvenih vrijednosti (6) ( M K ) d (6) Dinamiku matricu D proraunavamo množei jednadžbu (6) s invertiranom matricom krutosti (7) ( M K I ) d (7) D Dijeljenjem jednadžbe (7) s veliinom, u kojoj predstavlja frekvenciju osciliranja, dobiva se klasian oblik problema svojstvenih vrijednosti (8) ( D I) d ; (8) Za lanani konani element mogue je matricu masa prikazati kao pozitivno definiranu dijagonalnu matricu ovisnu o geometrijskim karakteristikama elemenata te gustoi materijala lananice (9). A L M lok (9) Konzistentna matrica masa zamijenila se dijagonalnom matricom masa tako da se svakom voru predala polovica ukupne mase elementa (9). V. ravaš, I. Kožar Globalna matrica masa (3) dobiva se zbrojem svih lokalnih matrica masa napisanih za globalne stupnjeve slobode. broj elemenata el M M lokglo (3) el Globalnu matricu masa treba reducirati u skladu s rubnim uvjetima. Nakon ukljuivanja rubnih uvjeta u jednadžbu (7) mogua je inverzija matrice krutosti te proraun dinamike matrice D. Vlastita frekvencija i za pojedini oblik osciliranja prorauna se s pomou komponenata d i normaliziranoga vlastitog vektora d problema svojstvenih vrijednosti (3) i (3) d i Oblici osciliranja definirani su koordinatama vorova dobivenim kao vlastiti vektor dinamike matrice D proraunati za pojedinu vlastitu frekvenciju osciliranja i. Ako lananica (ovješeni kabel) ima neprimjerene vrijednosti vlastitih frekvencija, u inženjerskoj se praksi rabe prigušivai osciliranja. U odreenom sluaju prigušiva- em se može smatrati i koncentrirana masa na karakteristinom mjestu lananice; u okviru metode konanih elemenata, takav je prigušiva mogue modelirati pove- avajui mase konanih elemenata na kojima se oni nalaze. Uobiajeni postupak kontrole vlastitih frekvencija lan- anice jest ugradnja viskoznih prigušivaa. Za provedbu takve analize potrebno je jednadžbu (3) nadopuniti lanom viskoznog prigušenja (3) M u Cu K u (3) Uobiajeno je matricu viskoznog prigušenja definirati linearnom kombinacijom matrice krutosti K () i matrice masa M (3). C K M (33) Parametri i odreuju se eksperimentalno, a mogue ih je pronai i u literaturi. reba napomenuti da u sluaju uvoenja prigušenja u analizu problem svojstvenih vrijednosti nije definiran (3) i vlastite frekvencije i oblike nije mogue odrediti. 5 Primjeri Prikazat emo usporedbu rezultata dobivenih 3D modalnom analizom lananice. Na slikama od 8. do 3. prikazano je nekoliko oblika osciliranja dobivenih 3D analizom prema prikazanom algoritmu. 4 GRAEVINAR 6 (8) 5, 395-4
V. ravaš, I. Kožar Analiza prostorne lananice Slika 8. 3D modalna analiza (. oblik, isti kao u D, f =,6 Hz) Slika. 3D modalna analiza (5. oblik, isti kao u D, f =,8 Hz) Slika 9. 3D modalna analiza (. oblik, isti kao u D, f =, Hz) Slika. 3D modalna analiza (6. oblik, isti kao u D, f =,4 Hz) Slika. 3D modalna analiza (3. i 4. oblik, ne postoje u D, f =,7 Hz) Slika 3. 3D modalna analiza (8. i 9. oblik, ne postoje u D, f =,33 Hz) Vidi se da su neki oblici u potpunosti unutar ravnine XZ, odnosno odgovaraju dvodimenzijskom nainu analize. Neki oblici imaju i treu komponentu u vlastitom obliku oscilacije i oni se dobivaju iskljuivo trodimenzijskom analizom. Slika 4. prikazuje udio dvodimenzijskih vlastitih oblika u prvih 6 tonova trodimenzijske analize za navedeni primjer s geometrijskim i mehanikim karakteristikama kao u tablici. GRAEVINAR 6 (8) 5, 395-4 4
Analiza prostorne lananice ablica. Parametri lananice za primjer modalne analize Modul elastinosti 8,5 E+5 KN/M površina poprenog presjeka, m gustoa 45 kg/m raspon lananice 5 m visina lananice m poetna duljina lananice 5 m broj konanih elementa 5 Slika 4. Udio rezultata D analize (niži zeleni stupci) u rezultatima 3D analize (viši crveni stupci) u prvih 6 oblika Ne može se unaprijed rei koji e biti položaj frekvencija iz D analize jer to ovisi o više parametara (u prvom redu o napetosti kabela, što ovisi o geometriji i krutosti). No, na temelju više proraunatih primjera može se rei da je udio oblika 3D analize uvijek relativno znaajan za kabelske konstrukcije (oblici koji se pojavljuju samo u 3D analizi redovito su unutar prvih nekoliko oblika). Na slici 4. vidimo udio D oblika (niži, zeleni stupci) i 3D oblika (viši, crveni stupci) u prvih 6 oblika za tri razliite napetosti kabela. Prvi je sluaj za kabel prema tablici. (poetna duljina užeta 5 m), drugi sluaj je za V. ravaš, I. Kožar opušteniji kabel (svi podaci isti, samo je poetna duljina užeta 55 m), a trei sluaj opisuje napetiji kabel (svi podaci isti, samo je poetna duljina užeta 4 m). Vidimo da s porastom naprezanja u kabelu vrlo blago raste udio D oblika unutar prvih 6 oblika (i obratno). U tablici. prikazane su uzdužne sile i prve tri vlastite frekvencije, kao i pripadajui oblici za navedena 3 primjera. ablica. Frekvencije osciliranja za razliite napetosti kabela Oblik.. 3. 6 Zakljuak. L = 5 m H = 6 kn,6 Hz oblik kao sl.8, Hz oblik kao sl.9,68 Hz oblik kao sl. Primjer. L = 55 m H = 9 kn,56 Hz oblik kao sl.8, Hz oblik kao sl.9,4 Hz oblik kao sl. 3. L = 4 m H = 98 kn,73 Hz oblik kao sl.8,46 Hz oblik kao sl.9,8 Hz oblik kao sl. Za ispravnu modalnu analizu ovješenih kabela preporuljivo je raspolagati s 3D numerikim modelom. Unutar ovoga rada prikazana je kvantitativna analiza kabela te pogreška koja nastaje zbog odabira D analize kabela (umjesto 3D) uzrokovane neadekvatnim kvalitativnim pristupom. Novost je u formulaciji kabelskih elemenata formuliranje nelinearnog sustava jednadžbi za odreivanje poetnoga stabilnog oblika kabela. Prikazani rezultati dobiveni su izradom numerikog modela u programskom paketu MathCAD. LIERAURA [] ibert, G.: Numerical Analyses of Cable Roof Structures, Royal Institute of echnology, Stockholm, Sweden, 999. [] Irvine, M.: Cable Structures, MI Press 98, Dover Publications Inc., reprint 99. [3] Jayaraman, H. B.; Knudson, W. C.: A curved element for the nalysis of cable structures, Computers & Structures Vol. 4, No. 3/4 (98.), pp. 35. 333. [4] O Brien, W..: General solution of suspended cable problems. Journal of the Structural Division, ASCE Vol. 93, No. S (February 967), pp.. 6. [5] O Brien, W..; Francis, A. J.: Cable movements under twodimensional loads. Journal of the Structural Division, ASCE Vol. 9, No. S3 (June 964.), pp. 89. 3. [6] Kožar, I: Sistemi nelinearnih jednadžbi, s listingom programa, FRaK, No.7, 983., str.36.-39. [7] Kapitaniak.: Chaos for Engineers, heory, Applications and Control. Springer, Berlin. 4 GRAEVINAR 6 (8) 5, 395-4