Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku Master rad Grupe kretanja. Izometrijske transformacije i njihove grupe Studen

Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku Master rad Grupe kretanja. Izometrijske transformacije i njihove grupe Student Aleksandar Kostić Mentor Dr Snežana Ilić Niš, Oktobar 2015.

Sadržaj 1 Uvod 3 1.1 Ciklične grupe........................... 3 1.2 Grupe permutacija........................ 7 1.3 Dejstvo grupe na skup...................... 14 2 Opšte o izometrijskim transformacijama 16 2.1 Grupa izometrijskih transformacija............... 16 2.2 Izometrijske transformacije prave (prostora E 1 )........ 20 3 Grupa E(2) 25 3.1 Odredenost izometrija ravni slikama tačaka........... 25 3.2 Osna refleksija ravni E 2..................... 25 3.3 Transmutacija izometrija i automorfizmi grupe E(2)...... 27 3.4 Centralna rotacija ravni E 2................... 29 3.5 Centralna simetrija reda n u ravni E 2.............. 31 3.6 Translacija ravni E 2....................... 33 3.7 Translatorna (klizajuća) refleksija ravni E 2........... 35 3.8 Klasifikacija izometrijskih transformacija ravni E 2....... 36 3.9 Reprezentacije grupe E(2).................... 36 4 Grupa E(3) 42 4.1 Specifične vrste izometrija prostora............... 42 4.2 Osna rotacija prostora E 3.................... 44 4.3 Osna simetrija reda n prostora E 3................ 46 4.4 Translacija prostora E 3...................... 46 4.5 Rotaciona refleksija prostora E 3................. 47 4.6 Centralna refleksija prostora E 3................. 49 4.7 Klizajuća refleksija prostora E 3................. 51 4.8 Zavojno kretanje prostora E 3.................. 51 4.9 Klasifikacija izometrijskih transformacija prostora....... 51 1

SADRŽAJ 2 5 Neke grupe kretanja 54 5.1 Dijedarska grupa......................... 54 5.2 Grupe rotacija pravilne piramide i bipiramide......... 57 5.3 Tetraedarska grupa........................ 58 5.4 Oktaedarska grupa........................ 59 5.5 Ikosaedarska grupa........................ 62 5.6 Grupe rotacija kao konačne podgrupe u SE(3)......... 63

Glava 1 Uvod U ovoj glavi je dat pregled teorijskog aparata iz algebre korišćenog u ovom radu. 1.1 Ciklične grupe Grupa G je ciklična akko postoji a G takav da je a G. Za element a kažemo da je generator ciklične grupe G. Teorema 1.1.1. Konačna grupa G je ciklična akko postoji a G takav da je r(a) = G. Element b G je generator ciklične grupe G akko je r(b) = G. Dokaz. Pretpostavimo da je G ciklična grupa. Dakle, postoji a G takav da je G = a. Odavde, i iz r(a) = a sledi da je r(a) = G. Obratno, pretpostavimo da postoji a G takav da je r(a) = G. Kako je r(a) = a, to je a = G. Odatle, i iz činjenice da je a podgrupa grupe G, i G konačna grupa, sledi da je a = G. Dakle, G je ciklična grupa. Ako je b G generator grupe G, onda je G = b pa je prema prethodnom r(b) = G. S druge strane, ako je r(b) = G, onda se na isti način kao u prvom delu dokaza dokazuje da je b = G, tj. da je b generator grupe G Konačnu cikličnu grupu reda n označavaćemo sa C n. Teorema 1.1.2. Svaka grupa prostog reda je ciklična. Dokaz. Neka je G grupa prostog reda p i a G \ {e} proizvoljan element. Prema teoremi Lagranža, red podgrupe a deli red grupe G. Dakle, a = 1 ili a = p. Ako je a = 1, onda je r(a) = 1, pa je a = e, što je netačno. Dakle, a = p pa je prema prethodnoj teoremi G ciklična grupa sa generatorom a. 3

GLAVA 1. UVOD 4 Teorema 1.1.3. Svaka ciklična grupa je komutativna. Dokaz. Neka je G = (G, ) ciklična grupa sa generatorom a, i g 1, g 2 G proizvoljni elementi. Prema definiciji ciklične grupe, postoje α 1, α 2 Z takvi da je g 1 = a α 1 i g 2 = a α 2. Tada je g 1 g 2 = a α1 a α 2 = a α 1+α 2 = a α 2+α 1 = a α2 a α 1 = g 2 g 1 Dakle, G je komutativna grupa. Posledica 1.1.1. Svaka podgrupa ciklične grupe je normalna. Teorema 1.1.4. (1) Konačna ciklična grupa reda n je izomorfna grupi ostataka po modulu n, (Z n, + n ). (2) Beskonačna ciklična grupa je izomorfna aditivnoj grupi celih brojeva (Z, +). Dokaz. (1) Neka je G = a ciklična grupa reda n; G = {a i 0 i n 1}. Definisaćemo preslikavanje h : Z n G na sledeći način: ( i Z n ) h(i) = a i Očigledno je h dobro definisano preslikavanje. Iz i j, 0 i, j n 1 sledi a i a j. Dakle, i j h(i) h(j) pa je h 1-1 preslikavanje. Očigledno je h preslikavaje na. Ostaje da pokažemo da je h homomorfizam. Neka su i, j Z n proizvoljni elementi. Tada h(i+ n j) = = { h(i + j), 0 i + j n 1 h(i + j n), n i + j 2n = { a i+j, 0 i + j n 1 a i+j n, n i + j 2n { { a i a j, 0 i + j n 1 a i a j, 0 i + j n 1 = a i a j a n, n i + j 2n a i a j (a n ) 1, n i + j 2n { a i a j, 0 i + j n 1 = = a i a j = h(i) h(j) a i a j e, n i + j 2n (2) Neka je G = a beskonačna ciklična grupa i h : Z G preslikavanje definisano sa ( i Z) h(i) = a i

GLAVA 1. UVOD 5 Očigledno je h dobro definisano preslikavanje i preslikavanje na. Ako su i, j Z takvi da je h(i) = h(j), odn. a i = a j, onda je i = j, dakle h je 1-1 preslikavanje. Neka su i, j Z proizvoljni elementi. Važi pa je h homomorfizam. h(i + j) = a i+j = a i a j = h(i) h(j) Teorema 1.1.5. Podgrupa ciklične grupe je ciklična grupa. Dokaz. Neka je g = a ciklična grupa i H podgrupa grupe G. Ako je H=E, onda je H = e, dakle ciklična grupa. Pretpostavimo da je H E. Neka je m = min{k N a k H}. Pokazaćemo da je H = a m. Iz a m H, a m = {(a m ) α α Z} sledi da je a m H. Neka je b H proizvoljan element. Kako je H G, G = a, to postoji n Z takav da je b = a n. Prema teoremi o deljenju celih brojeva postoje jedinstveni q, r Z takvi da je n = qm + r, 0 r m 1. Tada iz b = a n = a qm+r = a qm a r sledi da je a r = b (a qm ) 1 H. Odavde, i iz 0 r m 1, na osnovu izbora broja m dobijamo da je r = 0. Dakle, n = qm, pa je b = a qm = (a m ) q a m, pa imamo H a m. Dakle, H = a m. Teorema 1.1.6. Homomorfna slika ciklične grupe je ciklična grupa. Dokaz. Neka je G = a ciklična grupa a grupa S homomorfna slika grupe G. Dakle, postoji epimorfizam h iz grupe G u S. Pokazaćemo da je S ciklična grupa sa generatorom h(a). Prema definiciji je h(a) S. Neka je s S proizvoljan element. Kako je h preslikavanje na to postoji g G tako da je h(g) = s. Grupa G je ciklična sa generatorom a, pa postoji k Z takav da je g = a k. Tada je s = h(g) = h(a k ) = (h(a)) k, pa s h(a). Dakle, i S h(a), pa je S = h(a). Teorema 1.1.7. Količnička grupa ciklične grupe je ciklična. Dokaz. Neka je G = a, H podgrupa grupe G, i g G proizvoljan element. Tada je g = a k za neko k Z. Stoga, imamo gh = a k H = (ah) k, odakle sledi da je G/H = {(ah) k k Z}, odn. G/H je ciklična grupa generisana sa ah. Teorema 1.1.8. Neka je G = a G konačna ciklična grupa reda n sa jedinicom e i b G. (1) Postoji k {0, 1, 2,..., n 1} takav da je b = a k. (2) Element b je generator grupe G akko je (k, n) = 1.

GLAVA 1. UVOD 6 Dokaz. Iz G = a i G = n sledi da je G = {a i 0 i n 1}. (1) Ako je b G\{e}, onda iz oblika skupa G neposredno sledi da postoji k {0, 1, 2,..., n 1} tako da je b = a k. (2) Pretpostavimo da je b = a k generator grupe G. Pokazaćemo da je (n, k) = 1. Prema prvoj teoremi je r(b) = n. Pretpostavimo da je (n, k) = d > 1. Neka je n = n 1 d i k = k 1 d. Tada je b n 1 = (a k ) n 1 = a kn 1 = a k 1dn 1 = a k 1n = (a n ) k 1 = e k 1 = e što je netačno jer je r(b) = n, a n 1 < n. Dakle, (n, k) = 1. Obratno, neka je (n, k) = 1. Pokazaćemo da je r(b) = n odakle, prema prvoj teoremi, sledi da je b generator grupe G. Neka je r(b) = m. Iz b n = e sledi da m deli n. Kako je e = b m = (a k ) m = a km, a r(a) = n, to n km. Odavde i iz činjenice da (k, n) = 1 sledi da n deli m. Dakle, n = m. Teorema 1.1.9. Neka su G 1 i G 2 konačne ciklične grupe reda m i n redom. Direktan proizvod G 1 G 2 je ciklična grupa akko je (m, n) = 1. Dokaz. Neka je C m = a i C n = b. Znamo da je C m C n grupa reda mn. Pretpostavimo da je C m C n ciklična grupa. Pokazaćemo da je (m, n) = d. Neka je (α, β), α C m, beta C n generator ciklične grupe C m C n. Prema prvoj teoremi r((α, β)) = mn. Pretpostavimo da je (m, n) = d > 1. Neka je m = m 1 d, n = n 1 d, i neka su e 1 i e 2 redom jedinice u C m i C n. Tada je (α, β) m 1n 1 d = (α m 1n 1 d, β m 1n 1 d ) = ((α m1d ) n 1, (β n1d ) m 1 ) = ((α m ) n 1, (β n ) m 1 ) = (e n 1 1, e m 1 2 ) = (e 1, e 2 ). Ovo je nemoguće jer je r((α, β)) = mn, a m 1 n 1 d < mn. Dakle (m, n) = 1. Obratno, neka je (m, n) = 1. Pokazaćemo da je r((a, b)) = mn, odakle prema prvoj teoremi sledi da je C m C n ciklična grupa. Neka je s = r((a, b)). Iz (a, b) mn = (a mn, b mn ) = ((a m ) n, (b n ) m ) = (e n 1, e m 2 ) = (e 1, e 2 ) sledi da s mn. S druge strane (e 1, e 2 ) = (a, b) s = (a s, b s ) povlači e 1 = a s i e 2 = b s. Dakle, r(a) = m deli s i r(b) = n deli s. Odavde i iz (m, n) = 1 sledi da mn s. Dakle, s = mn. Teorema 1.1.10. Neka je G konačna ciklična grupa reda n. Za svaki delitelj d broja n postoji jedinstvena podgrupa H grupe G takva da je H = d. Dokaz. Neka je G = a a n = e i H = a n/d. Pokazaćemo da je H = d. Znamo, H = r(a n/d ). Neka je r(a n/d ) = s. Dakle, (a n/d ) s = a sn/d = e. n Odavde, zbog r(a) = n sledi da n deli s, tj. d d deli s. S druge strane, (a n/d ) d = a n = e, pa s deli d. Dakle, s = d.

GLAVA 1. UVOD 7 Pokazaćemo da je H jedinstvena podgrupa grupe G reda d. Pretpostavimo da postoji podgrupa K grupe G, takode reda d. Prema jednoj od navedenih teorema, K je ciklična grupa. Dakle, K = a m za neki 0 < m < n. Iz (a m ) d = e, tj. a md = e sledi da n = r(a) deli md, odn. n/d deli m. Neka je m = q n. Tada je d am = a q n d = (a n d ) q, pa a m H. Iz definicije podgrupe a m sledi da je K = a m podgrupa grupe H. Odavde zbog K = H = d < sledi K=H. 1.2 Grupe permutacija Teorema 1.2.1. Neka je A neprazan skup i Sym(A) skup svih permutacija skupa A. Tada je S A = ((Sym(A), ) grupa. Za grupu S A kažemo da je grupa permutacija (simetrična grupa) skupa A. Nas će zanimati samo permutacije konačnih skupova, što nadalje podrazumevamo. Napomena. Za α, β Sym(A) umesto α β pisaćemo često αβ. Neka je α permutacija skupa A. Za a A takav da je α(a) = a kažemo da je fiksni (nepokretni) element, a u suprotnom, pokretni element za α. Ako svi pokretni elementi permutacije α obrazuju ciklus, kažemo da je α ciklična permutacija. Pri tome, ako je ciklus konačan, može se predstaviti u obliku α = (a i1 a i2... a ik ), k 2 gde je α(a i1 ) = a i2, α(a i2 ) = a i3,..., α(a ik ) = a i1, α(x) = x za x a ij, 1 j k Identično preslikavanje označavamo sa (1). Red permutacije α skupa A je njen red kao elementa simetrične grupe S A. Teorema 1.2.2. Red ciklične permutacije jednak je dužini ciklusa. Dokaz. Ako je α = (a 1 a 2... a n ) Sym(A), tada je po definiciji α(a i ) = a i+1, i = 1, n 1, α(a n ) = a 1 i α(x) = x, x A \ {a 1,..., a n }, pa će biti α n (a i ) = a i, i = 1, n i α n (x) = x, x A \ {a 1,..., a k }, tj. α n (a) = a, a A, što znači da je α n = id A ; jasno je da je n najmanji prirodan broj sa ovim svojstvom. Za permutacije α i β skupa A kažemo da su disjunktne akko zadovoljavaju sledeći uslov: ( a, b A) α(a) a β(a) = a, β(b) b α(b) = b

GLAVA 1. UVOD 8 Teorema 1.2.3. Ako su α i β disjunktne permutacije, tada je αβ = βα. Ciklusi permutacije αβ sa više od jednog elementa (tj. netrivijalni ciklusi) su odgovarajući ciklusi permutacija α i β. Dokaz. Neka su α, β Sym(A) disjunktne permutacije i a A proizvoljan element. Tada a može biti pokretna tačka najviše jedne od permutacija α i β. Ako je a A nepokretna tačka svake od tih permutacija, onda važi αβ(a) = α(a) = a = β(a) = βα(a) Neka je a pokretna tačka, npr. permutacije α i neka je α(a) = b a. Tada je i α(b) b (u protivnom bi važilo α(a) = α(b) = b, a to nije moguće jer je α bijekcija). Prema tome, elementi a i b su pokretne tačke permutacije α, pa su zato oni nepokretne tačke permutacije β. Odatle sledi Time smo dokazali da je αβ = βα αβ(a) = α(a) = b = β(b) = βα(a) Teorema 1.2.4. Proizvoljna permutacija α se može jedinstveno (do na raspored ciklusa) predstaviti kao proizvod disjunktnih ciklusa. Dokaz. Primetimo najpre da je sa x y ( i N) α i (x) = y, x, y A definisana relacija ekvivalencije na A. Klase ekvivalencije su [x] = {y x y} = {α i (x) i N} = {x, α(x), α 2 (x),..., α k 1 (x)} gde je k = r(α); nazivju se i orbitama permutacije f. Pošto je A konačan skup, za dato α Sym(A) relacija razbija A na konačno mnogo klasa ekvivalencije, tj. orbita O 1,..., O n. Svakoj orbiti C i = {x, α(x),..., α j (x)} se može pridružiti ciklus α i = (x; α(x); α 2 (x)... α j (x)) (ostali elementi su fiksirani). Kako su orbite disjunktne i pokrivaju ceo skup A, ovako dobijeni ciklusi su disjunktni i α = α 1 α 2... α n Jedinstvenost: neka su α 1,..., α i i β 1,..., β j ciklusi takvi da je α = α 1... α n = β 1... β j. Za svako a A za koje α(a) a postoje k, l (1 k i, 1 l j) tako da je f(a) = α k (a) = β l (a). Kako je za svako n N αk n(a) = βn l (a) sledi α k = β l.

GLAVA 1. UVOD 9 Teorema 1.2.5. Ako je permutacija α konačan proizvod disjunktnih cikličnih permutacija, njen red je najmanji zajednički sadržalac dužina tih ciklusa. Dokaz. Neka je α = α 1 α 2... α k, gde su α i (i {1,... k}) disjunktni ciklusi, i neka je r(α) = m. Tada je α m = id A i α m = (α 1... α k ) m = α m 1... α m k jer ciklusi α 1,..., α k komutiraju. S obzirom da su stepeni disjunktnih ciklusa takode disjunktni, to je α m = id A ( i {1,..., k}) α m i = id A odakle neposredno sledi r(α i ) m, i = 1, k. Dakle, m = [r(α 1 ),..., r(α k )]. Teorema 1.2.6. Neka je permutacija α proizvod ciklusa, a β proizvoljna permutacija. Ako u ciklusima koji čine α sve simbole zamenimo onako kako to propisuje permutacija β, dobijena permutacija je jednaka permutaciji βαβ 1. Dokaz. Neka je α = (i 1... i k )... (j 1... j l ) ciklusna dekompozicija permutacije α. U njoj uočimo proizvoljan element i, i neposredno naredni u ovoj dekompoziciji je α(i). Slike elemenata i i α(i) u permutaciji β su β(i) i βα(i). Koristeći činjenicu da je βα(i) = βαβ 1 β(i) zaključujemo da je u cikličnoj dekompoziciji permutacije βαβ 1, iza elementa β(i) neposredno naredni (tj. njegova slika) upravo element βα(i), što je i trebalo dokazati. Neka je A = {1, 2,..., n}. U ovom slučaju, grupu permutacija S A skupa A označavamo sa S n. Neka je α permutacija skupa A. Kažemo da elementi α(i) i α(j) prave inverziju akko je α(i) > α(j) za i < j. Permutacija α je parna akko ima paran broj inverzija, a neparna u suprotnom slučaju. Sa A n označavamo skup svih parnih permutacija skupa od n elemenata. Ako je α S n data permutacija, sa α(ij) označavamo permutaciju koja se dobija iz α kada α(i) i α(j) zamene mesta. Teorema 1.2.7. Permutacija α je parna akko je α(ij) neparna permutacija Dokaz. Ako u permutaciji α bilo koja dva elementa zamene mesta menja se parnost permutacije. Neka je najpre j = i + 1, tj. izvršena je transpozicija susednih elemenata α(i) i α(i + 1). Označimo sa A skup elemenata permutacije α koji su ispred

GLAVA 1. UVOD 10 α(i), a sa B skup onih koji su iza α(i + 1). Medusobnom zamenom mesta elementi α(i) i α(i+1) ne prave nove inverzije sa članovima iz A i B. Zato se u ovom slučaju broj inverzija u permutaciji umanjuje ili uvećava za 1 zavisno od toga jesu li ili nisu α(i) i α(i + 1) obrazovali inverziju u α, odn. svakako se menja parnost permutacije. Neka je sada j i > 1. Elementima α(i) i α(j), 1 i < j n možemo zameniti mesta na sledeći način: zamenjujemo α(i) redom sa elementima α(i + 1), α(i + 2),..., α(j 1), a zatim zamenjujemo mesto elementu b redom sa α(j 1), α(j 2),..., α(i + 1). Izvršeno je ukupno 2(j i) + 1 zamena mesta susednim elementima. S obzirom da se kod zamene mesta susednim elementima u permutaciji menja parnost permutacije, to se posle neparnog broja zamena mesta susednim elementima menja parnost polazne permutacije. Funkcija parnosti je preslikavanje P sa domenom S n definisano sledećom formulom P (f) = f(j) f(i) f S n j i i<j Teorema 1.2.8. (i) ( f S n ) P (f) { 1, 1}; (ii) Preslikavanje P je homomorfizam iz grupe S n u grupu ({ 1, 1}, ) Dokaz. (i) Neka je S = {(i, j) 1 i < j n} o neka je za f S n preslikavanje g : S S definisano sa { (f(i), f(j)), f(i) < f(j) g(i, j) = (f(j), f(i)), f(j) < f(i) za (i, j) S. Neposredno se proverava da je g Sym(S). Dalje, uvedimo funkciju a sa domenom S: a(s) = j i, gde s = (i, j) S. Tada, s obzirom da je a(g(s)) = f(j) f(i) imamo j i = a(s) = a(g(s)) = f(j) f(i) i<j s S s S i<j pa je P (f) { 1, 1}. (ii) Neka su f, g S n proizvoljni elementi. Tada je P (fg) = i<j fg(j) fg(i) j i = i<j fg(j) fg(i) g(j) g(i) g(j) g(i) j i = i<j fg(j) fg(i) g(j) g(i) i<j g(j) g(i) j i = fg(l) fg(k) g(l) g(k) (k,l) S 1 fg(l) fg(k) g(l) g(k) (k,l) S 2 P (g)

GLAVA 1. UVOD 11 gde je = fg(l) fg(k) g(l) g(k) (k,l) S 1 fg(k) fg(l) g(k) g(l) (k,l) S 2 S 1 = {(i, j) 1 i < j n, g(i) < g(j)} S 2 = {(i, j) 1 i < j n, g(i) > g(j)} P (g) Kako je preslikavanje φ : (i, j) (g(i), g(j)) bijekcija, to je dalje = (i,j) φ(s 1 ) f(j) f(i) j i (i,j) φ(s 2 ) f(j) f(i) P (g) = j i i<j f(j) f(i) P (g) = P (f)p (g) j i Teorema 1.2.9. Permutacija f S n neparna akko je P (f) = 1 je parna akko je P (f) = 1, odn. Dokaz. Neka je p(i, j) = 1 ako elementi f(i), f(j) čine inverziju, i p(i, j) = 0 inače ((i, j) S, gde je skup S definisan u dokazu prethodne teoreme). Tada je očigledno f(j) f(i) = ( 1) p(i,j) f(j) f(i) pa prema izvodenju u prethodnoj teoremi neposredno nalazimo = i<j(f(j) f(i)) i<j( 1) p(i,j) f(j) f(i) = ( 1) inv(f) f(j) f(i) = ( 1) inv(f) i<j i<j(j i) Dakle, P (f) = ( 1) inv(f), gde je inv(f) broj inverzija permutacije f. Odavde imamo traženi zaključak. Neka je α = (ij) ciklična permutacija dužine 2, tj. α(i) = j, α(j) = i i α(k) = k za k i, j. Za α kažemo da je transpozicija. Teorema 1.2.10. Ciklična permutacija α = (i 1 i 2... i k ) S n je konačan proizvod transpozicija: Dokaz sledi direktnom proverom. α = (i 1 i 2 )... (i 1 i k 1 )(i 1 i k ) Posledica 1.2.1. Ciklična permutacija je parna akko je neparne dužine. Posledica 1.2.2. Svaka permutacija grupe S n može se predstaviti kao kompozicija konačnog broja transpozicija Teorema 1.2.11. Skup A n odreduje normalnu podgrupu grupe S n reda n!/2.

GLAVA 1. UVOD 12 Dokaz. Kako je f A n P (f) = 1 f Ker(P ) to je A n = Ker(P ), pa je A n S n. Da je A n = n!/2 sledi iz prve teoreme. Teorema 1.2.12. Skup {(12),(13),...,(1n)} generiše grupu S n. Dokaz. Neka je (ab) S n proizvoljna transpozicija. Iz (ab) = (1b)(1a)(1b) sledi da se svaka transpozicija može prikazati pomoću datih. Odavde, i iz činjenice da se svaka permutacija grupe S n može predstaviti u obliku proizvoda transpozicija, sledi da transpozicije (12),(13),...,(1n) generišu grupu S n. Teorema 1.2.13. Neka je α = (23...n) i β = (12). Dvočlani skup {α, β} generiše grupu S n. Dokaz. Prema teoremi 1.5.6. je α 1 βα = (13) α 2 βα 2 = α 1 (α 1 βα)α = (14) α (n 2) βα n 2 = (1n) Odavde na osnovu prethodnog tvrdenja sledi da permutacije α i β generišu grupu S n. Teorema 1.2.14. Permutacija α S n je parna akko se može predstaviti kao proizvod ciklusa dužine tri. Dokaz. Kako je ciklus neparne dužine parna permutacija, to će svaka permutacija koja je proizvod ciklusa dužine 3 biti parna. Obratno, neka je α = (a 1 b 1 )... (a 2k 1 b 2k 1 )(a 2k b 2k ) parna permutacija. Iz (ab)(cd) = (abc)(adc), (ab)(bc) = (acb) gde su a, b, c, d različiti elementi skupa {1,2,...,n}, sledi da je proizvod dve transpozicije (a 2i 1 b 2i 1 )(a 2i )(b 2i ) ili proizvod dva ciklusa dužine 3, ili je pak jedan takav ciklus. Dakle, α je proizvod ciklusa dužine 3. Teorema 1.2.15. Alternativna grupa A n je jednostavna za n 5.

GLAVA 1. UVOD 13 Dokaz. Neka je H E normalna podgrupa grupe A n. Dokazaćemo da je H = A n. (a) Dokazaćemo najpre da H sadrži bar jednu cikličnu permutaciju dužine 3. Neka je α H nejedinična permutacija koja ostavlja najviše fiksnih elemenata. Pretpostavićemo da α nije ciklična permutacija dužine 3. Ako α predstavimo kao proizvod disjunktnih cikličnih permutacija, moguća su sledeća dva slučaja: (a.1) α je proizvod transpozicija α = (... )... (cd)(ab) (1.1) Pri tome α ne može biti transpozicija jer je parna permutacija. Zbog n 5, pored a, b, c, d postoji bar još jedan element e skupa {1, 2,..., n} različit od njih. U odnosu na α, e je fiksni element ili je α(e) = s, s e, a, b, c, d. (a.2) Bar jedan od cikličnih faktora permutacije α je dužine veće od 2, tj. α = (... )... (abc... ) (1.2) Pri tome, postoje bar još dva pokretna elementa d i e različita od a, b, c jer bi u suprotnom bilo α = (abc) ili α = (abcd). Neka je β = (cde). Iz β A n i činjenice da je H normalna u A n, sledi da β 1 αβ H, pa i γ = β 1 αβα 1 H. Ako je α oblika (1.1), tada je γ(d) = α 1 (e) d, γ(a) = a, γ(b) = b. S druge strane, ako α : r r i r e tada γ : r r. Prema tome, γ je nejedinična permutacija koja ostavlja više fiksnih elemenata od α, što je nemoguće zbog izbora permutacije α. Ako α ima oblik (1.2), tada je γ(b) = α 1 (d) b, pa γ nije jedinična permutacija. Zatim, γ(a) = a i svi fiksni elementi za α su fiksni i za γ. Prema tome, γ fiksira više elemenata od α, što je nemoguće zbog izbora α. Iz čitave diskusije sledi da je nemoguća pretpostavka da α nije ciklična permutacija dužine 3. (b) Dokazaćemo da svaka ciklična permutacija dužine 3 pripada H. Prema (a), u H postoji bar jedna ciklična permutacija (abc) dužine 3. Neka je (a b c ) bilo koja ciklična permutacija dužine 3. Posmatraćemo permutaciju ( ) a b c... α = a b c... Zbog n 5, postoje još bar dva elementa d i e. Neka je α(d) = d i α(e) = e. Pretpostavićemo da je α parna permutacija, jer u suprotnom permutacija ( ) a b c d e... β = a b c d e...

GLAVA 1. UVOD 14 bi bila parna, pa bi smo umest sa α radili sa permutacijom β. Iz (abc) H i α A n, zbog činjenice da je H normalna u A n, sledi da (a b c ) = α 1 (abc)α H. Dakle, H sadrži sve ciklične permutacije dužine 3. S obzirom da svaka parna permutacija može da se predstavi kao proizvod ciklusa dužine 3, sledi zaključak da su sve parne permutacije elementi podgrupe H. Prema tome, H = A n. 1.3 Dejstvo grupe na skup Dati su grupa G = (G,, 1, e), neprazan konačan skup S, Sym(S) skup permutacija skupa S, i S S = (Sym(S),, 1, 1 S ) grupa permutacija skupa S. Dejstvo grupe G na skup S je svaki homomorfizam θ : G S S. Pisaćemo θ(g)(s) = θ g (s) = s g, g Sym(S), s S. Za dejstvo se takode koristi termin permutacijska reprezentacija grupe G. Sledećim definicijama i tvrdenjima uvodimo osnovne pojmove pridružene dejstvu i ispitujemo njihove osobine. Nadalje, G označava grupu, S neprazan skup a θ dejstvo grupe G na skup S. Napomena. Oznaku operacije u proizvodu elemenata g, h G često ćemo izostavljati i umesto g h pisaćemo gh. Teorema 1.3.1. Neka je θ dejstvo grupe G na skup S. Tada: (1) (s g ) h = s gh ; (2) s e = s, Za svaki g, h G i svaki s S. Dokaz. Neka su g, h G i s S proizvoljni elementi. (1) (s g ) h = θ(h)(θ(g)(s)) = θ(g) θ(h)(s) = θ(gh)(s) = s gh (2) s e = θ(e)(s) = 1 S (s) = s Stabilizator elementa s S je podskup od G odreden sa G s = {g G s g = s}. Teorema 1.3.2. Za svaki s S, G s odreduje podgrupu grupe G. Dokaz. Neka je s S proizvoljan element. G s jer e G s. Neka su g, h G s proizvoljni elementi. Kako je s gh = (s g ) h = s h = s, to gh G s. Iz s g = s sledi (s g ) g 1 = s g 1, tj. s gg 1 = s g 1, odn. s e = s g 1. Dakle, s = s g 1, pa g 1 G s. Orbita elementa s S je podskup od S odreden sa s G = {s g g G}. Dejstvo je tranzitivno akko ima tačno jednu orbitu.

GLAVA 1. UVOD 15 Teorema 1.3.3. Neka je θ dejstvo grupe G na skup S i relacija skupa S definisana sa s t ( g G) t = s g Tada: (1) je relacija ekvivalencije skupa S. (2) s/ = s G, s S. Dokaz. (1) Kako je, za svaki s S, s e = s, odn. s s, to je refleksivna relacija. Neka za s, t S važi s t. Dakle, postoji g G takav da je t = s g. No tada je t g 1 = s, tj. t s, pa je simetrična relacija. Ako za s, t, u S važi s t i t u, odn. t = s g i u = t h za neki g, h G, tada je u = s gh, dakle s u i tranzitivna relacija. (2) Neka je s S proizvoljan element. Iz t s/ s t ( g G) t = s g t s G sledi s/ = s G. Posledica 1.3.1. {s G s S} je particija skupa S. Dokaz. Prema prethodnom tvrdenju je relacija ekvivalencije na skupu S pa je skup S/ particija skupa S. Iz {s/ s S} = {s G s S} neposredno sledi zaključak tvrdenja. Teorema 1.3.4. Za svaki s S je s G = (G : G s ). Dokaz. Za svaki s S je (G : G s ) = {G s x x G}. Označimo skup {G s x x G} sa G/G s. Neka je λ : s G G/G s preslikavanje definisano sa λ(s g ) = G s g, s g s G. Dokazaćemo da je λ bijekcija. Iz s g = s h s gh 1 = s gh 1 G s g G s h G s g = G s h λ(s g ) = λ(s h ), s g, s h s G, sledi dobra definisanost i injektivnost preslikavanja λ. Kako je λ(s g ) = G s g za proizvoljan G s g G/G s to je λ i na, dakle bijekcija. Posledica 1.3.2. Ako je S konačan skup, onda je S = s G = : G s ) s T s T(G gde je T transverzala particije {s G s S}.

Glava 2 Opšte o izometrijskim transformacijama U ovom poglavlju biće prikazani osnovni pojmovi i svojstva izometrijskih transformacija prostora E n (n = 1, 2, 3), kao i grupe izometrijskih transformacija tih prostora. Prostor E n ćemo u daljem izlaganju identifikovati sa (realnim) vektorskim prostorom R n, odnosno metričkim ili normiranim prostorom R n sa standardnom metrikom: d(x, y) = n (x k y k ) 2 (n = 1, 2, 3) k=1 i njome indukovanom normom: x = d(0, x) = n za x = (x k ) n k=1, y = (y k) n k=1 ; u skladu s tim, smatraćemo da su elementi prostora (tačke) zadati svojim koordinatama u odnosu na neki fiksiran Dekartov pravougli koordinatni sistem sa koordinatnim početkom 0=(0,...,0), čiji ortovi čine bazu posmatranog vektorskog prostora. Takode, kada je to pogodno, ravan E 2 (R 2 ) poistovetićemo sa kompleksnom ravni, tj. poljem kompleksnih brojeva C. 2.1 Grupa izometrijskih transformacija Navodimo definiciju i osnovna svojstva izometrijskih transformacija i njihovih grupa. 16 k=1 x 2 k

GLAVA 2. OPŠTE O IZOMETRIJSKIM TRANSFORMACIJAMA 17 Definicija 2.1.1. Bijektivno preslikavanje f : E n E n nazivamo izometrijska transformacija (izometrija) prostora E n (n = 1, 2, 3) ako za proizvoljne dve tačke A i B prostora E n važi tj. d(a, B) = d(f(a), f(b)) (A, B) = (f(a), f(b)) gde = predstavlja relaciju podudarnosti parova tačaka. Identično preslikavanje (koincidencija, jedinično preslikavanje) ɛ : E n E n (n = 1, 2, 3) je očigledno uvek izometrijska transformacija. Stoga je skup E(n) := {f : E n E n ( x, y E n ) d(x, y) = d(f(x), f(y))} svih izometrijskih transformacija prostora E n neprazan. Ako su f, g E(n) proizvoljne izometrije, onda je d((f g)(x), (f g)(y)) = d(f(g(x)), f(g(y))) = d(g(x), g(y)) = d(x, y) za svake dve tačke x, y E n, pa važi i f g E(n). Ovime je pokazano da je kompozicija (proizvod) bilo koje dve izometrije prostora E n takode izometrija prostora E n. Pošto je f izometrija, dakle bijekcija, definisano je i preslikavanje f 1 : E n E n, i biće: d(f 1 (x), f 1 (y)) = d(f(f 1 (x)), f(f 1 (y))) = d(x, y) što će reći da je i f 1 E(n), tj. inverzna transformacija izometrijske transformacije prostora E n je takode izometrija tog prostora. Iz ovog razmatranja zaključujemo da važi sledeće suštinski važno tvrdenje: Teorema 2.1.1 (Osnovna teorema o izometrijskim transformacijama). Skup svih izometrijskih transformacija prostora E n sa operacijom kompozicije preslikavanja predstavlja grupu (sa jediničnim elementom ɛ - koincidencijom). Definicija 2.1.2. Grupa E(n) = (E(n), ) ustanovljena prethodnom teoremom naziva se grupa izometrijskih transformacija prostora E n ili Euklidska grupa prostora E n. Ponegde se grupa izometrijskih transformacija prostora E n označava i sa Isom(E n ) ili ISO(n). Često ćemo kompoziciju preslikavanja f i g (tim redom) označavati samo sa fg, umesto f g. Iz same definicije izometrije očigledno je da se bilo koji lik (ili opštije, skup tačaka) u prostoru E n preslikava izometrijom na sebi podudaran lik.

GLAVA 2. OPŠTE O IZOMETRIJSKIM TRANSFORMACIJAMA 18 Medutim, od posebnog interesa je proučiti izometrije koje dati neprazan skup S E n preslikavaju na samog sebe, tj. izometrije iz skupa G S := {f E(n) f (S) = S} = {f E(n) ( A E n ) A S f(a) S}. Očigledno, uvek je ɛ G S, pa je skup G S neprazan. Ako f, g G S, onda je i f g G S, a zbog A = f(f 1 (A)) S f 1 (A) S važi i f 1 G S. Time je dokazano da je skup G S snabdeven operacijom kompozicije funkcija grupa, tj. (pošto je G S E(n)) skup G S odreduje podgrupu grupe E(n). Definicija 2.1.3. Podgrupa G S grupe E(n) čiji domen sadrži sve izometrije koje dati lik S E n slikaju u samog sebe naziva se grupa simetrija (grupa kretanja) lika S. Definicija 2.1.4. Za datu izometriju f E(n), tačka A E n za koju je f(a) = A naziva se fiksna (invarijantna, nepokretna) tačka izometrije f. Najosnovnija klasifikacija izometrijskih transformacija prostora E n može se izvršiti u zavisnosti od toga da li data izometrijska transformacija preslikava neki lik u njemu direktno ili indirektno podudaran lik, odnosno da li se tim izometrijskim preslikavanjem menja orijentacija prostora. U skladu sa tim daje se sledeća definicija: Definicija 2.1.5. Izometrijska transformacija f prostora E n (n = 1, 2, 3) je direktna ako ne menja orijentaciju prostora E n ; u suprotnom ona je indirektna. Bez dubljeg upuštanja u definisanje orijentacije prostora, ovo praktično (geometrijski) znači: 1. (U E 1, tj. na pravoj:) Za duži AB, A B E 1 smatramo da su direktno (indirektno) podudarne ako je AB = A B ( AB = AB), tj. ako je AB = A B, a usmerene duži isto (suprotno) orijentisane; zato je izometrija f prave E 1 direktna (indirektna) ako svaku duž te prave preslikava na direktno (indirektno) podudarnu duž. 2. (U E 2, tj. u ravni:) Ako su O, A, B tri nekolinearne tačke u ravni E 2, onda je ugao AOB orijentsan pozitivno odn. negativno ako njegovi kraci čine uredjen par polupravih, a prvi krak se rotacijom u smeru suprotnom kretanju kazaljke na satu (odn. u smeru kazaljke na satu) preko oblasti tog ugla može prevesti u drugi ; stoga, izometrija f E(2) je direktna (indirektna) ako svaki ugao ravni preslikava u njemu podudaran i isto (suprotno) orijentisan ugao.

GLAVA 2. OPŠTE O IZOMETRIJSKIM TRANSFORMACIJAMA 19 3. (U E 3, tj. u prostoru:) Ako su O, A, B, C E 3 četiri nekomplanarne tačke, njima je odreden triedar OABC. Uzimajući da su uglovi koji čine strane triedra svi isto orijentisani (u odgovarajućoj ravni), orijentacija tih uglova smatra se odgovarajućom orijentacijom triedra; izometrija f E(3) je direktna (indirektna) ako svaki triedar preslikava u isto (suprotno) orijentisan triedar. Obeležimo skup svih direktnih izometrija prostora E n sa E + (n), a sa E (n) skup svih indirektnih izometrija istog prostora. Pošto postoje tačno dve različite orijentacije prostora i likova u njemu, lako je zaključiti da je svaka izometrija ili direktna ili indirektna, tj. E + (n) E (n) = i E(n) = E + (n) E (n). Nije teško videti ni da je proizvod (kompozicija) dve direktne ili dve indirektne izometrije direktna, a da je proizvod direktne i indirektne izometrije indirektna izometrija. Indukcijom se dalje može pokazati i da je proizvod proizvod konačno mnogo direktnih izometrija direktna izometrija; kompozicija parnog broja indirektnih izometrija biće direktna, a neparnog indirektna izometrija. Pored toga, ako je f direktna, odn. indirektna izometrija, onda je takva i njoj inverzna izometrija f 1. Teorema 2.1.2. Skup E + (n) direktnih izometrijskih transformacija prostora E n (n = 1, 2, 3) odreduje normalnu podgrupu grupe E(n) indeksa 2 (tj. (E(n) : E + (n)) = 2). Dokaz. Da je skup E + (n) zatvoren u odnosu na operacije i 1 vidi se iz prethodno rečenog, pa pošto je E + (n) (jer očigledno ɛ E + (n)) sledi da je (E + (n), ) = E + (n) < E(n). Iz istih razloga važi i g 1 fg E + (n), g E(n), f E + (n) tj. g 1 E + (n)g E + (n), g E(n), što znači da je E + (n) E(n), i slično, zbog ge + (n) = E + (n), g E + (n), odn. ge + (n) = E (n), g E (n) zaključujemo da se skup E(n)/ LE + (n) sastoji od svega dva koseta: E(n)/ LE + (n) = E(n)/E + (n) = {E + (n), E (n)} Podgrupa E + (n) često se naziva specijalna Euklidska grupa prostora E n, i označava se sa SE(n). Primetimo da skup E (n) indirektnih izometrija u E n (sa operacijom kompozicije preslikavanja) ne može činiti grupu, jer kao što smo već videli kompozicija dve indirektne izometrije je uvek direktna izometrija, tj. skup E (n) nije zatvoren u odnosu na operaciju.

GLAVA 2. OPŠTE O IZOMETRIJSKIM TRANSFORMACIJAMA 20 2.2 Izometrijske transformacije prave (prostora E 1 ) Ovde ćemo detaljnije izučiti samo izometrije prave, odn. grupu E(1) zbog ne tako bogate strukture koju ona poseduje. Osobine izometrija ravni i prostora će zato biti prezentovane u posebnim odeljcima. Počinjemo sa tvrdenjima o karakterizaciji izometrija prave na osnovu slika pojedinih tačaka. Teorema 2.2.1. Svaka izometrija prave l E 1 jedinstveno je odredena slikom dveju različitih tačaka te prave. Dokaz. Neka su A, B l dve razne tačke, a f, g : l l date izometrije takve da važi f(a) = A = g(a), f(b) = B = g(b). Zbog A B i 0 < d(a, B) = d(a, B ) biće i A B. Pokažimo da je tada f(c) = g(c) za svaku tačku C l, iz čega će slediti f g. Ako je C {A, B}, to trivijalno važi. Zato, uzmimo A C B, pa će biti d(a, C) =: a > 0 i d(b, C) =: b > 0. Tada je i d(f(a), f(c)) = d(a, f(c)) = a i d(f(b), f(c)) = d(b, f(c)) = b jer je f izometrija, i analogno: d(a, g(c)) = a i d(b, g(c)) = b, odakle konačno (pošto je A B ) mora biti f(c) = g(c). Posledica 2.2.1. Svaka izometrijska transformacija prave koja ima dve razne invarijantne tačke predstavlja koincidenciju, tj. identičko preslikavanje. Iz ove posledice može se zaključiti i da je izometrija prave sa n fiksnih tačaka (n 2) koincidencija. Teorema 2.2.2. Izometrija f : l l prave l koja ima tačno jednu invarijantnu tačku O je indirektna. Dokaz. Neka je u izometriji f : l l, f(o) = O. Za proizvoljnu tačku A l različitu od O, ako je f(a) = A biće A A (jer je O jedina fiksna tačka za f), kao i d(o, A) = d(f(o), f(a)) = d(o, A ), što znači da su tačke A i A sa raznih strana tačke O (tj. važi raspored A O A ), i OA = OA, pa je OA = OA. Lako se pokazuje da je f( OA) = OA. Sledi da f mora biti indirektna izometrija. Definicija 2.2.1. Izometrijska transformacija prostora E 1 sa jednom i samo jednom nepokretnom tačkom (neka je to tačka O) zove se centralna simetrija prave E 1, u oznaci σ O. Tačka O je centar simetrije σ O. Dakle, na osnovu poslednje teoreme, centralna simetrija σ O E(1) ima svojstva: σ O (O) = O

GLAVA 2. OPŠTE O IZOMETRIJSKIM TRANSFORMACIJAMA 21 a ako je E 1 A O: σ O (A) = A OA = OA A O A i tada je σ O ( OA) = OA. Iz iste teoreme vidi se da je centralna simetrija indirektna izometrijska transformacija. Definicija 2.2.2. Izometrijska transformacija f prostora E n (n = 1, 2, 3) je involutivna akko je f f = f 2 = ɛ, tj. element f je reda 2 u grupi E(n). Teorema 2.2.3. Centralna simetrija prave je involutivna. Dokaz. Neka je σ O : l l centralna simetrija prave l sa centrom simetrije O l. Ako je l A O, i ako je A = σ O (A), po definiciji je A O A i O je središte duži AA, pa je, dualno, i po definiciji σ O (A ) = σ O (σ O (A)) = A. Specijalno, ovo kazuje da je svaka centralna simetrija sama sebi inverzna. Kompozicijom dve centralne simetrije dobija se nova vrsta izometrija prave. Definicija 2.2.3. Ako su σ P i σ Q centralne simetrije prave E 1 l, i P = σ Q (P ), tada se kompozicija σ Q σ P naziva translacija prave l za vektor P P, u oznaci τ P P. važi: Ovo znači da za proizvoljnu tačku A l (ako P Q), zbog: σ P (A) = A P A = P A σ Q (A ) = A QA = QA σ Q (P ) = P QP = QP AA = AP + P Q + QA = P A + QP + A Q = P P pa imamo: τ P P (A) = A AA = P P što znači da je translacija pomeraj prave za dužinu P P u smeru od P ka P, tj. za vektor P P, koji jednoznačno odreduje translaciju, i naziva se vektor translacije. Ako je P = Q, tada je zbog involutivnosti centralne simetrije τ P P = τ 0 = ɛ, tj. i koincidenciju možemo smatrati za translaciju za nula-vektor. Translacija je direktna izometrija, kao proizvod dve indirektne izometrije. Takode, jasno je da translacija (za ne-nula vektor) nema fiksnih tačaka.

GLAVA 2. OPŠTE O IZOMETRIJSKIM TRANSFORMACIJAMA 22 Teorema 2.2.4. Proizvoljna izometrija prave E 1 l bez fiksnih tačaka jeste translacija. Dokaz. Neka su A, B l i A B, i f : l l izometrija prave l bez fiksnih tačaka. Tada, ako f(a) = A i f(b) = B mora biti A A i B B. Ako je f direktna izometrija, onda je 0 < d(a, B) = d(a, B ) i usmerene duži AB i A B su istog smera, tj. AB = A B, pa je AA = AB + BB + B A = AB A B + BB = BB, i zato što je svaka izometrija prave jedinstveno odredena slikom dveju raznih tačaka, zaključujemo da je f = τ AA. Ako je pak f indirektna, imaćemo AB = A B. Neka je C središte duži BB. Tada je B C B i C je jedinstvena tačka prave l sa svojstvom BC = B C. Ako je C = f(c), tada je C C i slično BC = B C. Iz svega izloženog sledi da mora biti C C, što bi značilo da je C fiksna tačka za f - kontradikcija. Kao što je na početku poglavlja napomenuto, radi lakšeg izučavanja izometrija možemo pravu E 1 l posmatrati kao realnu pravu R, na kojoj biramo tačku koja odgovara broju 0 - koordinatni početak, i jedinični vektor i, čiji smer predstavlja pozitivan smer na brojevnoj pravoj. U tom smislu, svakoj tački A l odgovara broj a R, odn. vektor OA = a = ai. Tako, translacija τ a prave E 1 za vektor a = ai, a R tački X = X(x) kojoj odgovara vektor x = xi dodeljuje tačku kojoj odgovara vektor: τ a (x) = x + a čija je koordinata na brojevnoj pravoj: τ a (x) = x + a Ovime su definisana preslikavanja τ a : R R i τ a : R R redom, realne prave kao vektorskog prostora, i odgovarajućeg afinog prostora. Slično, centralnu simetriju prave E 1 sa centrom A obeležavaćemo i sa σ a, odn. σ a, gde je A = (a), tj. OA = a. Sada, možemo i za centralnu simetriju dati i analitički izraz, odredujući koordinatu slike u zavisnosti od koordinate originala: ako je tačka A = A(a) centar simetrije σ a, a X = X(x) proizvoljna tačka prave, po definiciji centralne simetrije imaćemo: σ A (X) = X AX = AX OX OA = OA OX x a = a x pa je σ a (x) = x = 2a x odn. σ a (x) = 2a x

GLAVA 2. OPŠTE O IZOMETRIJSKIM TRANSFORMACIJAMA 23 Na ovaj način, proučavanje izometrijskih preslikavanja svedeno je na proučavanje realnih funkcija. Upotrebljavajući navedene činjenice, odredimo kompoziciju dveju translacija prave τ a i τ b. Imamo: (τ a τ b )(x) = τ a (τ b (x)) = τ a (x + b) = (x + b) + a = x + (b + a), x R što govori da je τ a τ b = τ b+a. Slično bi se dobilo i τ b τ a = τ a+b, a kako je sabiranje vektora, odn. brojeva komutativna operacija, to je zapravo τ a τ b = τ b τ a. Inverzna transformacija translacije τ a bila bi τ a. Odavde vidimo da je T (1) - skup svih translacija prave E 1 (sa slaganjem preslikavanja) Abelova grupa. S obzirom da je kompozicija translacija ponovo neka translacija, a translacija je kompozicija dve centralne simetrije, može se izvesti zaključak da proizvod parnog broja centralnih simetrija predstavlja translaciju (uključujući i koincidenciju). Kompozicija jedne centralne simetrije σ A i jedne translacije τ b (tim redom) je centralna simetrija. Zaista, (σ A τ b )(X) = σ A (τ b (X)) = σ a (x+b) = 2a (x+b) = 2(a b/2) x = σ a b/2 (x) gde je A = A(a), b = bi, X = X(x) (a, b, x R). Primetimo da i kompozicija τ b σ A predstavlja centralnu simetriju, zbog činjenice da je translacija kompozicija neke dve centralne simetrije, i asocijativnosti kompozicije preslikavanja (ali pomenuta kompozicija nije komutativna, što se može direktno proveriti). Stoga, dodajmo još i da proizvod neparnog broja centralnih simetrija predstavlja ponovo neku centralnu simetriju. Osvrnimo se sada na osobine koje se tiču fiksnih tačaka pomenutih izometrija. Videli smo da je izometrijska transformacija prave E 1 : sa dve ili više fiksnih tačaka akko je koincidencija; sa tačno jednom fiksnom tačkom akko je indirektna (i to centralna simetrija); bez fiksnih tačaka akko je translacija (za ne-nula vektor) što će reći da, ako je E k (1), k N 0 skup izometrija prave E 1 sa tačno k fiksnih tačaka, važi: E 0 (1) = T (1) \ {ɛ}, E 1 (1) = E (1), E 2 (1) = E i (1) = {ɛ}, i > 2 E(1) = k N 0 E k (1) = E 0 (1) E 1 (1) E 2 (1) = E + (1) E (1)

GLAVA 2. OPŠTE O IZOMETRIJSKIM TRANSFORMACIJAMA 24 pa je E 0 (1) E 1 (1) E 2 (1) = E + (1) E (1) = E + (1) = E 0 (1) {ɛ} = T (1) Sumiranje sadržaja ovog odeljka dokazuje sledeće tvrdenje: Teorema 2.2.5. Grupa E(1) izometrijskih transformacija prostora E 1 generisana je skupom svih centralnih simetrija tog prostora, i svaka izometrija f E(1) može se predstaviti kao kompozicija najviše dve centralne simetrije, tj. E(1) = {σ A σ B A, B E 1 } Elementi skupa svih direktnih izometrija prostora E 1 su translacije (sa koincidencijom), a skupa svih direktnih izometrija centralne simetrije, odn. E + (1) = SE(1) = T (1) = {τ AB A, B E 1 }, E (1) = {σ A A E 1 } Specijalna Euklidska grupa SE(1) (grupa direktnih izometrija u E 1 ) je izomorfna aditivnoj grupi realnih brojeva (R, +). Preslikavanje φ : R SE(1) dato sa φ(a) = τ ai je izomorfizam grupa (R, +) i SE(1). Razmotrimo još i grupu simetrija duži AB E 1. Očigledno, G AB = {ɛ, σ C }, gde je C središte duži AB, i važi σc 2 = ɛ, pa je Može se pokazati da važi: G AB = ɛ, σ C σ 2 C = ɛ = C 2 Teorema 2.2.6. Jedine konačne netrivijalne podgrupe grupe E(1) su oblika ({ɛ, σ A }, ), A E 1 (i sve su izomorfne sa C 2 ). Dokaz. Očigledno je da je ({ɛ, σ A }, ) za svako A E 1 podgrupa grupe E(1) izomorfna sa C 2. Neka je G < E(1) konačna podgrupa. Ako je G = 1, mora biti G = {ɛ}. Ako G = 2 sledi G = C 2, jer je jedina grupa reda 2 ciklična. Zato, neka je G = n N \ {1, 2}. Tada je i G + = SE(1) G konačna podgrupa. Ako je G + {ɛ}, tada G + sadrži neku translaciju τ a, a 0. Medutim, r(τ a ) = (red elementa τ a je beskonačan), a mora biti r(τ a ) G + G = n, pa smo dobili kontradikciju, tj. jedina direktna izometrija iz G je koincidencija. Zato, pošto G = n > 2 postoje σ A, σ B G, A B. Ali, tada je ɛ σ A σ B G translacija, i ponovo imamo kontradikciju.

Glava 3 Grupa E(2) 3.1 Odredenost izometrija ravni slikama tačaka Analogno kao i kod izometrija prave, važi: Teorema 3.1.1. Svaki element grupe izometrija ravni jednoznačno je odreden slikom triju nekolinearnih tačaka. Dokaz. Neka su A, B, C E 2 tri nekolinearne tačke, i neka je za f, g E(2): f(a) = g(a) = A, f(b) = g(b) = B, f(c) = g(c) = C. Neka je dalje D proizvoljna tačka ravni (različita od A, B i C) pa pokažimo da je f(d) = g(d). Ako je d(a, D) = a, d(b, D) = b i d(c, D) = c, tada je d(a, f(d)) = d(a, g(d)) = a, d(b, f(d)) = d(b, g(d)) = b i d(c, f(d)) = d(c, g(d)) = c. Prema tome, tačke f(d) i g(d) leže u preseku kružnica K 1, K 2 i K 3 sa centrima u A, B, C respektivno, i poluprečnicima a, b i c. No onda je f(d) = g(d); u suprotnom bi kružnice K 1, K 2 i K 3 imale dve zajedničke tačke, pa bi njihovi centri bili kolinearni, ali trougao ABC podudaran je trouglu A B C (radi se o trouglovima sa jednakim stranama). Posledica 3.1.1. Svaka izometrijska transformacija ravni E 2 koja ima tri nekolinearne invarijantne tačke predstavlja koincidenciju. Nadalje ćemo izučavati vrste izometrijskih transformacija ravni. 3.2 Osna refleksija ravni E 2 Definicija 3.2.1. Osna refleksija ravni E 2 u odnosu na pravu p je izometrijska transformacija σ p koja nije koincidencija i u kojoj je svaka tačka prave p invarijantna. Prava p je osa refleksije σ p. 25

GLAVA 3. GRUPA E(2) 26 Iz definicije sledi da pored prave p u ravni E 2 osna refleksija nema invarijantnih tačaka. Reč refleksija korišćena je umesto reči simetrija jer pojam simetrije, kao što smo videli, u geometrijskoj teoriji izometrijskih transformacija može imati šire značenje, i označava svaku izometrijsku transformaciju koja lik S datog prostora prevodi u samog sebe. Sada ćemo navesti neke osobine osne refleksije. Teorema 3.2.1. Ako su P i P tačke ravni E 2 takve da je P = σ p (P ) tada je prava p simetrala duži P P Teorema 3.2.2. Osna refleksija σ p ravni E 2 jedinstveno je odrdena ako je data njena osa p ili jedan par odgovarajućih neistovetnih tačaka P i P (tj. takvih da je σ p (P ) = P ). Teorema 3.2.3. Osna refleksija σ p ravni E 2 je indirektna izometrijska transformacija. Teorema 3.2.4. Osna refleksija σ p ravni E 2 je involutivna izometrija. Teorema 3.2.5. Ako je izometrija f E(2) indirektna i involutivna, onda je f osna refleksija. Teorema 3.2.6. Ako indirektna izometrija f E(2) ima invarijantnu tačku O tada je f osna refleksija čija osa sadrži tačku O. Dokaz. Kako je f indirektna, a ɛ direktna izometrija to je f ɛ. Prema tome u ravni E 2 postoji tačka P takva da je f(p ) = P i P P. Neka je p simetrala duži P P. Kako je f(o) = O i f(p ) = P biće d(o, P ) = d(o, P ). Dakle, O p. Dokazaćemo da je f = σ p. Kompozicija σ p f je direktna izometrija sa dve fiksne tačke, pa je σ p f = ɛ. Odavde je σ p σ p f = σ p, tj. f = σ p. Sada navodimo rezultat o predstavljanju izometrijskih transformacija ravni pomoću osnih refleksija. Teorema 3.2.7. Svaka izometrija f E(2) može se prestaviti u obliku kompozicije najviše tri osne refleksije. Dokaz. S obzirom na broj fiksnih tačaka razlikujemo 4 slučaja koji se mogu javiti u pogledu bilo koje izometrije f E(2). (i) Izometrija f ima bar 3 nekolinearne fiksne tačke. Tada je f = ɛ, pa ako je p proizvoljna prava u E 2, važi ɛ = σ p σ p. (ii) Izometrija f ima dve razne fiksne tačke A i B. Zbog toga je svaka tačka prave AB invarijantna za f, i osim tačaka te prave f nema fiksnih

GLAVA 3. GRUPA E(2) 27 tačaka, jer bi se u protivnom ovaj slučaj sveo na prethodni. Prema tome f ɛ, pa postoji P E 2 tako da je f(p ) = P P. Neka je p simetrala duži P P. Kako u izometriji f tačkama A, B, P odgovaraju redom tačke A, B, P, to važi A, B p. Izometrija σ p f ima tri nekolinearne fiksne tačke A, B i P, pa je σ p f = ɛ. Množenjem sleva ove jednakosti sa σ p i zbog involutivnosti osne refleksije dobijamo f = σ p. (iii) f ima jednu fiksnu tačku A. Tada, f ɛ, pa postoji tačka P takva da f(p ) = P P. Neka je p simetrala duži P P. Kako je f(a) = A, f(p ) = P to je d(a, P ) = d(a, P ), tj. A p. Sada σ p f ima dve fiksne tačke A i P, pa po (ii) je σ p f = σ q za neku pravu q, odakle f = σ p σ q. (iv) f nema fiksnih tačaka. Tada je f ɛ pa postoji P E 2 tako da f(p ) = P P. Neka je p simetrala duži P P. Tada σ p f ima jednu fiksnu tačku P pa je po (iii): σ p f = σ q σ r. Odavde sledi f = σ p σ q σ r. Primetimo da se svaka izometrija ravni može predstaviti kao proizvod bilo kog broja osnih refleksija, ali je od interesa da taj broj bude minimalan. Posledica 3.2.1. Grupa E(2) generisana je skupom svih osnih refleksija ravni E 2. Definicija 3.2.2. Svaku kompoziciju konačnog broja osnih refleksija ravni E 2 kojom je predstavljena neka izometrija f te ravni nazivamo osno - refleksivna (simetrijska) reprezentacija izometrije f. Simetrijska reprezentacija za f sastavljena iz najmanjeg mogućeg broja osnih refleksija zove se minimalna (optimalna) simetrijska reprezentacija. 3.3 Transmutacija izometrija i automorfizmi grupe E(2) Definicija 3.3.1. Ako su date izometrije f, g E(2), tada je kompozicija gfg 1 = f g transmutacija (preobraženje) funkcije f funkcijom g. Teorema 3.3.1 (O transmutaciji osnih refleksija). Neka je σ p bilo koja osna refleksija ravni E 2 i f bilo koja izometrija te ravni. Tada je fσ p f 1 = σ f(p), tj. σ f p = σ f(p). Dokaz. Po definiciji osne refleksije za svaku tačku X prave f(p) je σ p (f 1 (X)) = f 1 (X) jer je f 1 (X) p tj. σ p f 1 (X) = f 1 (X). Množenjem obe strane sa f dobijamo fσ p f 1 (X) = X, te indirektna izometrija fσ p f 1 ima invarijantnu tačku pa predstavlja osnu refleksiju. U toj osnoj refleksiji svaka tačka X prave f(p) je invarijantna pa je fσ p f 1 = σ f(p).

GLAVA 3. GRUPA E(2) 28 Teorema 3.3.2. Neka je data proizvoljna kompozicija osnih refleksija σ p1 σ p2...σ pn. Tada je za svaku izometriju f: f(σ p1 σ p2... σ pn )f 1 = σ f(p1 )σ f(p2 )... σ f(pn) Dokaz. U kompoziciji σ p1 σ p2... σ pn izmedu svake dve susedne osne refleksije možemo ubaciti koincidenciju u obliku ɛ = f 1 f. Na taj način dobijamo f(σ p1 σ p2... σp n )f 1 = fσ p1 f 1 fσ p2 f 1 f... f 1 fσ pn f 1 = σp f 1 σp f 2... σp f n = = σ f(p1 )σ f(p2 )... σ f(pn) Navedene teoreme predstavljaju deo opštije teoreme o automorfizmima grupe izometrija E(2). Naime, prva teorema je primenljiva na proizvoljne izometrije i u tom slučaju njena formulacija bi bila sledeća: Teorema 3.3.3. Neka je f izometrijska transformacija prostora E n (n = 1, 2, 3) sa skupom invarijantnih tačaka A. Tada je za proizvoljnu izometriju g prostora E n transformacija gfg 1 = f g takode izometrija prostora E n istog tipa kao transformacija f sa skupom fiksnih tačaka g(a). Takode primenjena na niz izometrijskih transformacija f 1, f 2,..., f n transmutacija daje novu izometrijsku transformaciju koja je proizvod izometrijskih transformacija istog tipa dobijenih pojedinačnim transmutacijama svake od izometrijskih transformacija u nizu f 1, f 2,..., f n, tj. g(f 1 f 2... f n )g 1 = f g 1 f g 2... f g n Pri tome, ako skupovi A 1, A 2,..., A n predstavljaju respektivno skupove invarijantnih tačaka transformacija f 1, f 2,..., f n, tada će skupovi f(a 1 ), f(a 2 ),..., f(a n ) predstavljati respektivno skupove invarijantnih tačaka transformacija dobijenih transmutacijom. Nije teško dokazati da važi i sledeća Teorema 3.3.4. Neka su σ a i σ b osne refleksije sa osama a i b. Relacija σ a σ b = σ b σ a važi akko je a b. Definicija 3.3.2. Skup L pravih neke ravni E 2 nazivamo pramenom pravih ako za svake tri prave a, b, c skupa L kompozicija σ c σ b σ a predstavlja neku osnu refleksiju σ d.

GLAVA 3. GRUPA E(2) 29 Iz definicije neposredno zaključujemo sledeće: (i) Ako su a, b, c tri prave jednog pramena i ako σ c σ b σ a predstavlja osnu refleksiju σ d tada i d pripada tom pramenu pravih. (ii) Ako prave a, b, c pripadaju jednom pramenu L tada i ose refleksija σ a σ b σ c, σ b σ c σ a, σ c σ a σ b, σ a σ c σ b, σ b σ a σ c, σ c σ b σ a pripadaju pramenu L. (iii) Za svaku tačku X u ravni E 2 postoji u pramenu pravih L tačno jedna prava p koja je sadrži. (iv) Ako su a, b, c tri prave pramena L tada je σ c σ b σ a = σ a σ b σ c. Zaista, neka je σ c σ b σ a = σ d. Tada je σ 2 d = ɛ, pa je σ cσ b σ a σ c σ b σ a = ɛ. Množenjem sa leve strane redom sa σ a, σ b, σ c dobijamo da je σ c σ b σ a = σ a σ b σ c. 3.4 Centralna rotacija ravni E 2 Definicija 3.4.1. Kompoziciju dveju osnih refleksija ravni E 2 čije se ose seku u nekoj tački O nazivamo centralna rotacija ravni E 2 oko tačke O. Ako pomenute osne refleksije označimo sa σ a i σ b tada je σ b σ a = ρ ab centralna rotacija ravni E 2. Ako je O presečna tačka pravih a i b tada tačku O nazivamo središtem centralne rotacije ρ ab. Iz definicije centralne rotacije u ravni E 2 neposredno sledi da centralna rotacija ravni E 2 ima jedinstvenu invarijantnu tačku: centar te rotacije. Centralna rotacija ravni je po definiciji kompozicija dveju osnih refleksija, koje su indirektne izometrijske transformacije, te ona predstavlja direktnu izometrijsku transformacijuravni E 2. Svakoj tački X E 2 različitoj od središta O centralne rotacije ρ ab u ravni E 2 odgovara neka druga tačka X, tj. X = ρ ab (X) pri čemu je orijentisani ugao XOX jednak dvostrukom orijentisanom uglu izmedu pravih a i b. Označimo taj dvostruki orijentisani ugao sa ω. Tada možemo označiti: ρ ab = ρ O,ω. Ugao ω nazivamo uglom centralne rotacije. Nije teško ustanoviti da se centralna rotacija ρ O,ω ravni E 2 može predstaviti kao kompozicija bilo koje dve osne refleksije σ a i σ b, pri čemu se prave a i b seku u tački O i orijentisani ugao ω jednak je dvostrukom orijentisanom uglu izmedu pravih a i b. Na taj način izbor generišućih refleksija σ a i σ b dozvoljava slobodan izborjedne od osa refleksija koja sadrži centar rotacije O. Ako su a, b prave u ravni koje sadrže tačku O takve da je orijentisani ugao izmedu pravih a i b jednak polovini orijentisanog ugla ω tada je ρ ab = ρ a b. Teorema 3.4.1 (O transmutaciji centralnih rotacija). Ako je ρ O,ω centralna rotacija ravni E 2 i f bilo koja izometrijska transformacija te ravni tada je ρ f O,ω = ρ f(o),f(ω)