Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Marina Gernhardt Sume kvadrata Dipl

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Marina Gernhardt Sume kvadrata Diplomski rad Osijek, 011.

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Marina Gernhardt Sume kvadrata Diplomski rad Voditelj: doc.dr.sc. Ivan Matić Osijek, 011.

Sadržaj 1 Uvod 1 Liouvilleov identitet.1 Suma svih uredenih trojki i Liouvilleov identitet................. Djeljivost i prosti brojevi............................. 6.3 Kvadratne forme................................. 9 3 Sume kvadrata 16 3.1 Suma dvaju kvadrata............................... 1 3. Suma četiri kvadrata............................... 5 3.3 Suma šest kvadrata................................ 30 3.4 Suma osam kvadrata............................... 36 3.5 Suma deset kvadrata............................... 41 4 Zaključak 46 Prilog 47 Joseph Liouville..................................... 47 Pierre de Fermat.................................... 48 Joseph-Louis Lagrange................................. 50 Karl Gustav Jacob Jacobi............................... 5 Literatura 54 Sažetak 55 Summary 56 Životopis 57

1 Uvod Teorija brojeva je grana matematike koja se bavi proučavanjem svojstava prirodnih brojeva. Njezini začeci sežu još u antičku Grčku, a do naglog razvoja dolazi nakon renesanse, u 17.stoljeću. Jedan od najpoznatijih problema teorije brojeva je kako zapisati prirodan broj n kao sumu s kvadrata. U ovom radu dani su izrazi kojima se može izračunati na koliko načina se pozitivan cijeli broj n može zapisati kao suma s kvadrata pri čemu je s, 4, 6, 8 i 10. Rad je podijeljen na tri poglavlja. U prvom poglavlju uvode se osnovni pojmovi i svojstva potrebna za dokazivanje izraza iz drugog poglavlja: uvodi se pojam sume svih uredenih trojki koja se koristi u izrazu Liouvilleovog identiteta, navodi se Liouvilleov identitet te jednakost koju povlači, navodi se kada je cijeli broj n djeljiv s cijelim brojem d, uvodi se pojam sume svih djelitelja broja, pojam konjugiranog djelitelja te rastav broja na neparne proste faktore, pojam kvadratnih formi i neki posebni slučajevi zapisivanja prirodnog broja u obliku binarne kvadratne forme. U drugom poglavlju se navode i dokazuju izrazi koji služe za izračunavanje na koliko načina se pozitivan cijeli broj n može zapisati kao suma s kvadrata pri čemu je s, 4, 6, 8 i 10. U posljednjem poglavlju, kao prilog radu, dodane su kratke biografije matematičara (sastavljene prema [] i [7] spomenutih u pojedinim teoremima. Ukoliko nije drugačije navedeno, svi iskazi i dokazi navedeni u radu su preuzeti iz [5]. 1

Liouvilleov identitet.1 Suma svih uredenih trojki i Liouvilleov identitet Neka su u, v, w, d, δ, l Z takvi da d, δ, l > 0. (u, d, δ za koje vrijedi u + dδ n. označava sumu svih uredenih trojki Primjer.1. Ispisati za n 3. Za n 3, sve uredene trojke (u, d, δ za koje vrijedi u + dδ 3 su (0, 1, 3, (0, 3, 1, (1, 1,, (1,, 1, ( 1, 1, i ( 1,, 1. Stoga, G(u, d, δ G(0, 1, 3 + G(0, 3, 1 + G(1, 1, + G(1,, 1 + G( 1, 1, + G( 1,, 1. u +dδ3 Primjer.. Ispisati za n 4. Za n 4, sve uredene trojke (u, d, δ za koje vrijedi u + dδ 4 su (0, 1, 4, (0, 4, 1, (0,,, (1, 1, 3,( 1, 1, 3, (1, 3, 1, ( 1, 3, 1. Stoga, G(u, d, δ G(0, 1, 4 + G(0,, + G(0, 4, 1 + G(1, 1, 3 + G(1, 3, 1 u +dδ4 + G( 1, 1, 3 + G( 1, 3, 1. Nadalje, neka je { {T (l} nl : 0, ako n nije kvadrat T (l, ako je n kvadrat i n l. Prije iskaza teorema, treba naglasiti kada je funkcija parna, a kada neparna. Funkcija f : D R je parna na skupu D ako je f( x f(x za svaki x D takav da je i x D. Funkcija f : D R je neparna na skupu D ako je f( x f(x za svaki x D takav da je i x D (vidi [3, str. 9.]. Kod funkcija više varijabli, funkcija F (x, y, z je neparna obzirom na varijablu x ako je F ( x, y, z F (x, y, z, a parna obzirom na par varijabli (x, y ako je F ( x, y, z F (x, y, z za sve x, y, z. Ovdje treba primijetiti da ako je funkcija F (x, y, z neparna obzirom na varijablu y i neparna obzirom na varijablu z, tada je ujedno i parna obzirom na par

varijabli (y, z (jer F (x, y z F (x, y, z F (x, y, z. Teorem.1 (Liouvilleov 1 identitet. Neka je F (x, y, z funkcija definirana na skupu svih trojki (x, y, z cijelih brojeva takva da je F (x, y, z neparna obzirom na varijablu x i parna obzirom na par varijabli (y,z. Za svaki pozitivan cijeli broj n vrijedi F (δ u, u + d, u + d δ F (d + δ, u, d δ + {T 1 (l T (l} nl gdje je i l 1 T 1 (l F (j, l, j T (l l 1 j l+1 F (l, j, j. Dokaz Teorema.1 se nalazi u [5, str. 413.- 419.]. Primjer.3. Raspišimo Teorem.1 za n 3. Prema Primjeru.1, postoji šest uredenih trojki za koje vrijedi u + dδ 3. Koristeći Liouvilleov identitet tada je (F (3, 1, 1 + F (1, 3, 5 + F (0,, + F ( 1, 3, 5 + F (4, 0, + F (3, 1, 1 F (4, 0, + F (4, 0, + F (3, 1, 1 + F (3, 1, 1 + F (3, 1, 1 + F (3, 1, 1. Analogno se može dobiti koristeći samo svojstva parnosti funkcije F (x, y, z: (F (3, 1, 1 + F (1, 3, 5 + F (0,, + F ( 1, 3, 5 + F (4, 0, + F (3, 1, 1 (F (3, 1, 1 + F (1, 3, 5 + F (0,, F (1, 3, 5 + F (4, 0, + F (3, 1, 1 F (4, 0, + 4F (3, 1, 1 F (4, 0, + F (4, 0, + F (3, 1, 1 + F (3, 1, 1 + F (3, 1, 1 + F (3, 1, 1. Primjer.4. Neka je F (x, y, z neparna funkcija obzirom na varijablu x i parna obzirom na par varijabli (y, z. Raspišimo Liouvilleov identitet dane funkcije za n 4 te potvrdimo njegovu valjanost koristeći svojstva parnosti funkcije F (x, y, z. Prema Primjeru., postoji 7 uredenih trojki za koje vrijedi u + dδ n: (0, 1, 4, (0, 4, 1, (0,,, (1, 1, 3, ( 1, 1, 3, (1, 3, 1, ( 1, 3, 1. 1 Joseph Liouville, 19.st, pogledati u Prilog 3

Prema Teoremu.1 vrijedi (F (4, 1, + F (1, 4, 7 + F (,, + F (1,, 1 + F ( 1, 4, 7 + F (5, 0, 3 + F (3,, 3 F (5, 0, 3 + F (5, 0, 3 + F (4, 0, 0 + F (4, 1, + F (4, 1, + F (4, 1, + F (4, 1, +{F (1,, 1 + F (,, + F (3,, 3 F (4, 1, F (4, 0, 0 + F (4, 1, } 4l F (5, 0, 3 + F (5, 0, 3 + F (4, 1, + F (4, 1, + F (1,, 1 + F (,, + F (3,, 3. Koristeći samo svojstva parnosti funkcije F (x, y, z slijedi (F (4, 1, + F (1, 4, 7 + F (,, + F (1,, 1 + F ( 1, 4, 7 + F (5, 0, 3 + F (3,, 3 (F (4, 1, + F (1, 4, 7 + F (,, + F (1,, 1 F ( 1, 4, 7 + F (5, 0, 3 + F (3,, 3 F (4, 1, + F (,, + F (1,, 1 + F (5, 0, 3 + F (3,, 3 F (4, 1, + F (4, 1, + F (,, + F (1,, 1 + F (5, 0, 3 + F (5, 0, 3 + F (3,, 3. Ako cijeli broj m 0 dijeli razliku a b, kaže se da je a kongruentan b modulo m i piše se a b (mod m. U protivnom, kaže se da a nije kongruentan b modulo m. Sljedeći teorem slijedi iz Liouvilleovog identiteta: Teorem.. Neka je f(y neparna funkcija. Za svaki pozitivan cijeli broj n vrijedi ( 1 u f(u + d {( 1 l 1 f(l} nl. δ 1 (mod Dokaz. Neka je { F (x, y, z : ( 1 (x+z 0, ako su x ili z parni f(y, ako su x i z neparni neparna funkcija obzirom na svaku od varijabli x,y i z te je, stoga, parna funkcija obzirom na par varijabli (y, z. Ako su x,y, z i δ cijeli brojevi i δ > 0 paran, onda je δ x takoder paran broj. Prema definiciji funkcije F (x, y, z, tada je F (δ x, y, z 0. 4

Prema Teoremu.1, lijeva strana Liouvilleovog identiteta glasi F (δ u, u + d, u + d δ F (δ u, u + d, u + d δ δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod ( 1 n ( 1 d f(u + d ( 1 δd f(u + d ( 1 n u f(u + d ( 1 n ( 1 u f(u + d δ 1 (mod Desna strana Liouvilleovog identiteta je F (d + δ, u, d δ + {T 1 (l T (l} nl. Kako je u + dδ n, očito je i ( u + dδ n, stoga je preslikavanje (u, d, δ ( u, d, δ ( 1 u f(u + d. involucija na skupu svih rješenja jednadžbe u + dδ n. Tada je F (d + δ, u, d δ F (d + δ, u, d δ (F(x,y,z je neparna funkcija obzirom na y F (d + δ, u, d δ. F (x, y, z je neparna funkcija obzirom na y te je F (x, y, z, prema definiciji funkcije F (x, y, z, parna funkcija obzirom na par varijabli (y, z. Zbog toga je F (d + δ, u, d δ 0. Za n l T 1 (l (prema definiciji funkcije F(x,y,z l 1 F (j, l, j 1 j l 1 j 1 (mod l F (i 1, l, i 1 i1 l ( 1 i 1 f(l F (j, l, j l ( 1 i 1 f(l lf(l Involucija je preslikavanje koje je samo sebi inverzno, tj. f f i d 5

i Tada je δ 1 (mod T (l l 1 j l+1 F (l, j, j 0. ( 1 u f(u + d ( 1 n { lf(l} nl {( 1 l 1 lf(l} nl čime je Teorem. dokazan.. Djeljivost i prosti brojevi Cijeli broj n je djeljiv s cijelim brojem d 0, odnosno d dijeli n (oznaka d n, ako postoji cijeli broj δ takav da je n dδ (pogledati [4]. Ako d n, kaže se da je d djelitelj od n, a da je n višekratnik od d. Na početku ovog poglavlja je navedeno kako su d, δ > 0. Cijeli broj δ se naziva konjugirani djelitelj broju d (prema [5] ako je n dδ. Suma svih djelitelja d od n naziva se funkcija djelitelja, označava se sa σ(n i definirana je sa σ(n d. d n Oznaka σ (n koristi se za sumu svih djelitelja od n kojima su konjugirani djelitelji neparni. Specijalno, ako je n neparan prost broj, σ(n σ (n n + 1. Primjer.5. Izračunati sumu svih djelitelja i sumu svih njima konjugiranih djelitelja broja 30. djelitelj 1 3 5 6 10 15 30 konjugirani djelitelj 30 15 10 6 5 3 1 Tablica.1: Djelitelji broja 30 i njima konjugirani djelitelji σ(30 d 30 d 1 + + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 + 30 7. Od svih djelitelja broja 30 treba izdvojiti djelitelje čiji konjugirani djelitelji su neparni. Neparni konjugirani djelitelji su 15, 5, 3 i 1, stoga je σ (30 + 6 + 10 + 30 48. 6

Teorem.3. Svaki prirodan broj n > 1 može se prikazati kao produkt prostih brojeva. Teorem.4 (Osnovni teorem aritmetike. Faktorizacija svakog prirodnog broja n > 1 na proste faktore je jedinstvena do na poredak prostih faktora. Dokazi Teorema.3 i Teorema.4 nalaze se u [4, str. 6.- 7.]. Primjedba.1. Kaže se da je nenegativan cijeli broj n potpun kvadrat, ako se može zapisati u obliku m, tj. ako postoji cijeli broj m takav da je n m. Lema.1. Neka je n neparan cijeli broj. Tada je σ(n takoder neparan broj ako i samo ako je n potpun kvadrat. Dokaz. Neka je n p n p vp jedinstvena faktorizacija broja n na neparne proste faktore. Pozitivan cijeli broj d dijeli n ako i samo ako se d može zapisati u obliku d p n p up gdje je Tada je 0 u p v p. σ(n d n d v p p up p n u p0 (u p + 1 (mod 1 (mod ako i samo ako je u p paran broj za svaki p, tj. u p w p. p n n p vp p n ( p wp, p n tj. n je potpun kvadrat. 7

Lema.. Neka je m neparan broj i a 0. Ako je n a m, onda je σ (n a σ(m. Ukoliko je σ (n neparan broj, tada je n kvadrat neparnog cijelog broja. Dokaz. Neka je n a m gdje je m neparan broj te a 0. Neka je d djelitelj broja n. Ukoliko je konjugirani djelitelj broju d δ n d neparan (m je takoder neparan, tada a mora dijeliti d. Stoga je d a d 1 gdje je d 1 Z. Vrijedi te je d 1 djelitelj broja m. a m n dδ a d 1 δ Obratno, ako je d 1 djelitelj neparnog broja m, tada je i a d 1 djelitelj broja n čiji je konjugirani djelitelj m d 1 takoder neparan broj i vrijedi σ (n k d 1 m d 1 a σ(m. Ukoliko je σ (n neparan broj, tada je a 0, a n m je neparan broj. σ (n σ(m σ(n neparan broj te je prema Lemi.1 n kvadrat. Slijedi da je Primjer.6. Izračunati σ(n te σ (n, ako je n neparan broj. n 3 5 9 13 1 5 11 169 01 djelitelji od n 1,3 1,5 1,3,9 1,13 1,3,7,1 1,5,5 1,11,11 1,13,169 1,3,67,01 σ(n 4 6 13 14 3 31 133 183 7 σ (n 4 6 13 14 3 31 133 183 7 Tablica.: Suma svih djeljitelja neparnog broja n Iz tablice se može primijetiti kako su jedini prosti brojevi odabrani za n 3,5 i 13. Za sume djeljitelja tih brojeva vrijedi σ(n σ (n n + 1. Nadalje, iako su za n odabrani samo neparni brojevi, nije suma svih djelitelja svakog od navedenih brojeva neparan broj. Neparne vrijednosti σ(n su σ(n {13, 31, 133, 183} i to za n potpun kvadrat. 8

Primjer.7. Odabrati nekoliko brojeva za n te ih zapisati u obliku n a m gdje je a 0 i m neparan broj. Provjeriti u kakvom su odnosu σ (n i σ(m. n a m 5 0 5 1 3 5 0 5 60 15 80 3 35 σ (n 6 16 31 96 36 σ(m 6 4 31 4 48 Tablica.3: Odnos σ (n i σ(m za n a m Iz tablice se može vidjeti kako je σ (n a σ(m. Lema.3. Za svaki pozitivan cijeli broj n vrijedi σ (n ( 1 u 1 σ (n n + {( 1 n 1 n} nl. 1 u< n Dokaz. U dokazu koji se nalazi u [5, str. 406.] se izravno primjenjuje Teorem...3 Kvadratne forme Kvadratna forma je homogeni polinom drugog stupnja s cjelobrojnim koeficijentima. Kažemo da je cijeli broj n predstavljen kvadratnom formom Q ako postoje cijeli brojevi x, y, z takvi da je Q(x, y, z n. Binarna kvadratna forma se sastoji od dvije, a ternarna kvadratna forma od tri varijable. Neka je zadana ternarna kvadratna forma Q(x, y, z x + yz. Ako je n predstavljen kvadratnom formom Q(x, y, z, tada je Q(x, y, z n. Neka je R(n skup svih zapisa broja n pomoću kvadratne forme Q R(n {(x, y, z : Q(x, y, z n}. Postoji šest bijekcija sa skupa R(n na skup R(n. Neka je α(x, y, z (z x, x + y z, z. (.1 9

Ako je (x, y, z R(n, tada je Q(α(x, y, z Q(z x, x + y z, z (z x + z(x + y z z xz + x + xz + yz z x + yz Q(x, y, z n što znači da je α(x, y, z R(n. Kako je α(α(x, y, z α((z x, x + y z, z (z z + x, z x + x + y z z, z (x, y, z, α je involucija na skupu R(n. Neka je β(x, y, z (x + y, y, x y + z. (. Ako je (x, y, z R(n, tada je Q(β(x, y, z Q(x + y, y, x y + z (x + y + y( x y + z x + xy + y xy y + yz x + yz Q(x, y, z n što znači da je β(x, y, z R(n. Neka je γ(x, y, z (x y, y, x y + z. (.3 Ako je (x, y, z R(n, tada je Q(γ(x, y, z Q(x y, y, x y + z (x y + y(x y + z x xy + y + xy y + yz x + yz Q(x, y, z n što znači da je γ(x, y, z R(n. γ(β(x, y, z γ((x + y, y, x y + z ((x + y y, y, (x + y y + ( x y + z ((x, y, x + y y x y + z (x, y, z. 10

β(γ(x, y, z β((x y, y, x y + z ((x y + y, y, (x y y + (x y + z ((x, y, x + y y + x y + z (x, y, z. Stoga su funkcije β, γ : R(n R(n bijekcije pri čemu je γ β 1. Funkcije su, kao i α, takoder involucije. ρ(x, y, z (x, y, z, (.4 σ(x, y, z ( x, y, z, (.5 τ(x, y, z (x, y, z (.6 Lema.4. Neka su S(n i S (n dva konačna skupa te neka je ϑ : S(n S (n bijekcija čiji invers je ϑ 1 : S (n S(n. Ako je G(n funkcija definirana za svaki s S, tada je G(s G(ϑ 1 (s. s S(n s S (n Teorem.5 (Fermatov 3 teorem. Neparan prost broj p može se zapisati u obliku kvadratne forme x + y ako i samo ako je p 1 (mod 4. Dokaz. 1 1 (mod 4 0 (mod 4 3 1 (mod 4. 17 1 (mod 4 18 0 (mod 4 19 1 (mod 4 0 0 (mod 4. Očito je pri cjelobrojnom dijeljenju bilo kojeg kvadrata cijelih brojeva s brojem 4 ostatak 0 ili 1. 3 Pierre de Fermat, 17.st., pogledati u Prilog 11

Iz sljedeće tablice je vidljivo da je pri dijeljenju sume bilo koja dva kvadrata cijelih brojeva brojem 4 ostatak 0, 1 ili : 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 3 1 1 1 1 1 4 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 5 1 1 1 1 1 6 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 7 1 1 1 1 1 8 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 9 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Tablica.4: Ostaci pri cjelobrojnom dijeljenju sume dvaju kvadrata brojem 4 Stoga, ne postoji cijeli broj koji se može zapisati u obliku kvadratne forme, a da je ostatak pri cjelobrojnom dijeljenu brojem 4 jednak 3. Neka je p neparan prost broj. Tada očito p nije kvadrat i prema Lemi.3 vrijedi σ (n σ (p 1 σ (p 4 + σ (p 9.... Posebno, ako je p prost broj, σ(p σ (p p + 1, stoga je p + 1 σ (p 1 σ (p + σ (p 3.... Ako je p 1 (mod 4, p+1 je neparan cijeli broj te je najmanje jedan od pribrojnika s desne strane jednakosti neparan. Dakle, postoji pozitivan cijeli broj b < n takav da je σ (p b neparan broj. Tada je, prema Lemi., p b kvadrat neparnog cijelog broja, tj. p b a čime je teorem dokazan. Teorem.6. Ako je p prost broj takav da je p 1 (mod 4, tada postoje jedinstveni cijeli brojevi a, b > 0 takvi da je a paran, a b neparan broj te pri tome vrijedi p a + b. Teorem.7. Neparan prost broj p može se zapisati u obliku kvadratne forme x + y ako i samo ako je p 1 (mod 8 ili p 3 (mod 8. 1

Dokazi Teorema.6 i Teorema.7 nalaze se u [5, str. 407.- 410.]. Primjer.8. Neka je zadana kvadratna forma x + y. Očito je y paran broj. Kako bi se neparan prost broj p mogao zapisati u obliku p x + y, x, a samim time i x, mora biti nepran broj (zbroj dva (neparna broja je paran broj, a zbroj parnog i neparnog broja je neparan broj. U sljedećoj tablici su prikazani rezultati dobiveni za x + y, gdje je x neparan broj: x/y 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 9 19 33 51 73 99 19 163 01 3 11 17 7 41 59 81 107 137 171 09 5 7 33 43 57 75 97 13 153 187 5 7 51 57 67 81 99 11 147 177 11 49 9 83 89 99 113 131 153 179 09 43 81 11 13 19 139 153 171 193 19 49 83 31 Tablica.5: Suma x + y, gdje je x neparan broj x/y 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 5 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 7 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 9 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 11 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 Tablica.6: Ostaci pri cjelobrojnom dijeljenu sume x + y brojem 8 Pri cjelobrojnom dijeljenju svake sume x + y brojem 8, ostatak je 1 ili 3. Medutim, jedini prosti brojevi p x + y iz tablice suma x + y, gdje je x neparan broj, su p {3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 107, 113, 131, 137, 139, 63, 179, 187, 193, 09, 11, 81, 83}. Neka je S(n skup svih uredenih trojki (u, d, δ takvih da je Q(u, d, δ u + dδ n za nenegativan cijeli broj n.vrijedi. (u,d,δ S(n 13

Teorem.8. Ako je F (x, y, z neparna funkcija obzirom na svaku od varijabli x, y, z i ako je F (x, y, z 0 za svaki parni cijeli broj x, tada je F (δ u, u + d, u + d δ {T 0 (l} nl gdje je (u,d,δ S(n δ 1 (mod T 0 (l l F (j 1, l, j 1. Dokaz. Ako je funkcija F (x, y, z neparna obzirom na varijablu x, tada je F (0, y, z 0. Neka je F (x, y, z neparna funkcija obzirom na varijablu y. Tada je F (x, 0, z 0 za svaki x i z te F (d + δ, u, d δ F (d + δ, u, d δ + F (d + δ, u, d δ (u,d,δ S(n 0. (u,d,δ S(n u 1 (u,d,δ S(n u 1 (u,d,δ S(n u 1 F (d + δ, u, d δ + F (d + δ, u, d δ (u,d,δ S(n u 1 (u,d,δ S(n u 1 (u,d,δ S(n u 1 F (d + δ, u, d δ F (d + δ, u, d δ F (x, y, z 0 za svaki parni cijeli broj x te ostaje F (δ u, u + d, u + d δ (u,d,δ S(n (u,d,δ S(n δ 1 (mod F (δ u, u + d, u + d δ. Za n l l 1 T1(l F (j 1, l, j 1 i T (l l 1 j l+1 F (l, j, j 0. Teorem.9. Neka je f(x, y neparna funkcija obzirom na varijable x i y. Za svaki pozitivan cijeli broj n vrijedi f(δ u, u + d {T0 (l} nl gdje je (u,d,δ S(n δ 1 (mod T 0 (l l ( 1 j+l f(j 1, l. 14

Dokaz. Neka je F (x, y, z neparna funkcija obzirom na sve tri varijable x, y i z definirana na sljedeći način { 0, ako je x ili z paran F (x, y, z : z+1 y. ( 1 f(x, y, ako su x i z neparni Prema definiciji funkcije F, F (x, y, z 0 za svaki paran broj x te je prema Teoremu.8: F (δ u, u + d, u + d δ gdje je δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod {T 0 (l} nl u+d δ+1 u+d ( 1 f(δ u, u + d ( 1 u+d u d+δ 1 f(δ u, u + d f(δ u, u + d T 0 (l l F (j 1, l, j 1 l ( 1 j+l f(j 1, l. 15

3 Sume kvadrata Neka su d i δ pozitivni cijeli brojevi, a i oznake za sume po svim pozitivnim d n ndδ djeliteljima broja n. Broj n može se zapisati u obliku n a m gdje je m neparan broj te a 0. Za svaki pozitivan cijeli broj s i nenegativan cijeli broj n, s R s (n se označava broj uredenih s-torki (x 1, x,..., x s cijelih brojeva takvih da je n x 1 + x +... + x s. Za svaki s 1 je R s (0 1 jer je 0 0 + 0 +... + 0 jedinstveni zapis broja 0 kao sume kvadrata. U ovom poglavlju, primjenom Liouvilleovog identiteta biti će dobivene formule za zapis pozitivnog cijelog broja kao sume s kvadrata za s, 4, 6, 8 i 10: R (n 4 d n ( 1 d 1, 8 d, ako je n neparan d n R 4 (n 4 d, ako je n paran d n ( R 6 (n 4 4 a+1 ( 1 m 1 mdδ, d 16 d 3, ako je n neparan, d n R 8 (n 16 7 (8a+1 15, d 3, ako je n paran d m R 10 (n 4 ( 16 a+1 + ( 1 m 1 d 4 + 16 4(v 4 3v w. 5 5 mdδ nv +w Iskazi navedenih formula dobivaju se pomoću sljedeće rekurzivne formule za R s (n: Teorem 3.1 (rekurzivna formula. Za sve pozitivne cijele brojeve s i n vrijedi (n (s + 1u R s (n u 0. (3.1 u n 16

Dokaz. Neka je Očito je x s+1 n te je tada x s+1 n. Neka je s+1 n x i,j, n x 1 + x +... + x s + x s+1. i1 j 1,..., R s+1 (n R s+1 (n zapisa broja n kao sume s + 1 kvadrata te neka je definirano preslikavanje τ i, i 1,..., s na skupu (s + 1-torki: τ i (x 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x s, x s+1 : (x 1,..., x i 1, x s+1, x i+1,..., x s, x i. Preslikavanje τ i je involutivno na skupu od R s+1 (n zapisa broja n kao sume s + 1 kvadrata te je R s+1 (n x s+1,j R s+1 (n Sumom po svim zapisima broja n slijedi nr s+1 (n x i,j za svaki i 1,..., s. R s+1 (n s+1 i1 s+1 x i,j i1 R s+1 (n x i,j R s+1 (n (s + 1 (neka je u x s+1 (s + 1 u n x s+1,j u R s (n u. Za svaki cijeli broj u (pri čemu je u s+1 n postoji R s (n u zapisa broja n x i,j uz x s+1,j u. Tada je i R s+1 (n u n nr s+1 (n n u n R s (n u R s (n u. i1 17

Slijedi da je 0 nr s+1 (n nr s+1 (n n R s (n u (s + 1 u R s (n u u n u n u n ((nr s (n u (s + 1u R s (n u (n (s + 1u R s (n u. u n Teorem 3.. Neka je funkcija Φ(n definirana za sve nenegativne cijele brojeve n takva da Φ(0 1 te neka je za n 1. Tada je za svaki n 0. (n (s + 1u Φ(n u 0 u n Φ(n R s (n Dokaz. Dokaz slijedi direktno iz Teorema 3.1. Pomoću rekurzivne formule (3.1, može se izračunati R s (n za sve cijele brojeve s i n. nr s (n R s (n 1 u n 1 u n 1 u n (n (s + 1u R s (n u ((s + 1u nr s (n u ( (s + 1u n / : n s (n u. (3. 18

Primjer 3.1. Koristeći (3., izračunati R (n, R 3 (n i R 4 (n za n 8. Za n {1,, 3}, u 1, tj. postoji samo jedan član sume, a za n {4, 5, 6, 7, 8}, u {1, }, tj. postoje dva člana sume 1 u n. 1 u n Broj svih uredenih parova cijelih brojeva takvih da je n x 1 + x za n 8: ( 3 1 R (1 1 (1 1 ( 4 3 1 R ( ( 1 ( 4 3 1 R (3 1 3 (( R (3 1 ( 0 3 1 R (4 4 (4 1 3 + 4 (4 (( ( 4 3 1 R (5 5 (5 1 3 + 5 (5 (( ( 8 3 1 R (6 6 (6 1 3 + 6 (6 (( ( 0 3 1 R (7 7 (7 1 3 + 7 (7 (( ( 0 3 1 R (8 8 (8 1 3 + 1 8 R (8 4. Broj svih uredenih trojki cijelih brojeva takvih da je n x 1 + x + x 3 za n 8: ( 4 1 R 3 (1 1 3 (1 1 ( 6 4 1 R 3 ( 3 ( 1 ( 1 4 1 R 3 (3 1 3 (( R 3 (3 1 ( 8 4 1 R 3 (4 4 3 (4 1 4 + 4 3 (4 (( ( 6 4 1 R 3 (5 5 3 (5 1 4 + 5 3 (5 (( ( 4 4 1 R 3 (6 6 3 (6 1 4 + 6 3 (6 (( ( 4 4 1 R 3 (7 7 3 (7 1 4 + 7 3 (7 (( ( 0 4 1 R 3 (8 8 3 (8 1 4 + 1 8 R 3 (8 1. 19

Broj svih uredenih četvorki cijelih brojeva takvih da je n x 1 + x + x 3 + x 4 za n 8: ( 5 1 R 4 (1 1 3 (1 1 ( 8 5 1 R 4 ( 3 ( 1 ( 4 5 1 R 4 (3 1 3 (( R 3 (3 1 ( 3 5 1 R 4 (4 4 4 (4 1 5 + 4 4 (4 (( ( 4 5 1 R 4 (5 5 4 (5 1 5 + 5 4 (5 (( ( 48 5 1 R 4 (6 6 4 (6 1 5 + 6 4 (6 (( ( 96 5 1 R 4 (7 7 4 (7 1 5 + 7 4 (7 (( ( 64 5 1 R 4 (8 8 4 (8 1 5 + 1 8 R 4 (8 4. Na primjer za n, uredeni parovi (x 1, x za koje je n x 1 + x su (1, 1, ( 1, 1, (1, 1, ( 1, 1 R ( 4 za n 3, uredene trojke (x 1, x, x 3 za koje je n x 1 + x + x 3 su (1, 1, 1, ( 1, 1, 1, ( 1, 1, 1, ( 1, 1, 1, (1, 1, 1, (1, 1, 1, (1, 1, 1, ( 1, 1, 1 R 3 (3 8 za n 1, uredene četvorke (x 1, x, x 3, x 4 za koje je n x 1 + x + x 3 + x 4 su (1, 0, 0, 0, ( 1, 0, 0, 0, (0, 1, 0, 0, (0, 1, 0, 0, (0, 0, 1, 0, (0, 0, 1, 0, (0, 0, 0, 1, (0, 0, 0, 1 R 4 (1 8 Iz navedenoga je vidljivo kako se ne može svaki cijeli broj zapisati kao suma dva kvadrata (npr. brojevi 3,6 i 7 se ne mogu zapisati na taj način i tri kvadrata (npr. broj 7 se ne može zapisati kao suma 3 kvadrata. Osim toga, navedene rekurzivne relacije nisu praktične ukoliko se želi uzračunati na koliko načina se može neki veći cijeli broj zapisati kao suma s kvadrata. 0

3.1 Suma dvaju kvadrata Neka je S(n skup svih uredenih trojki (u, d, δ takvih da je Q(u, d, δ u + dδ n za svaki nenegativan broj n Z (u, d, δ Z i d, δ 1. Kako je R(n skup svih zapisa broja n pomoću kvadratne forme Q (R(n {(x, y, z : Q(x, y, z n}, očito je S(n konačan podskup skupa R(n. Vrijedi. (u,d,δ S(n Neka je zadana funkcija f(x, y x k 1 y k. Ako su k 1 i k neparni cijeli brojevi, tada je funkcija f(x, y neparna obzirom na varijablu x i varijablu y. Prema Teoremu.9 tada se dobiva sljedeća jednakost: f(δ u, u + d δ 1 (mod ( δ 1 (mod (δ u k 1 (d + u k { l } {T 0 (l} nl ( 1 j+l f(j 1, l { l } ( 1 j+l (j 1 k 1 l k { l k } l ( 1 l j (j 1 k 1 nl nl nl. (3.3 Primjer 3.. Pokažimo da je l ( 1 l j (j 1 l za svaki pozitivan cijeli broj l. l ( 1 l j (j 1 ( 1 l 1 ( 1 + ( 1 l (4 1 + ( 1 l 3 (6 1 +... + ( 1 l l (l 1 ( 1 l 1 + 3( 1 l + 5( 1 l 3 +... + (l 1( 1 l l Za l 3 3 ( 1 3 j (j 1 ( 1 3 1 + 3( 1 3 + 5( 1 3 3 1 3 + 5 3 1

Za l 6 6 ( 1 6 j (j 1 ( 1 6 1 + 3( 1 6 + 5( 1 6 3 + 7( 1 6 4 + 9( 1 6 5 + 11( 1 6 6 1 + 3 5 + 7 9 + 11 6 Za l 15 15 ( 1 15 j (j 1 ( 1 15 1 + 3( 1 15 + 5( 1 15 3 + 7( 1 15 4 +... + 9( 1 15 15 1 3 + 5 7 + 9 11 + 13 15 + 17 19 + 1 3 + 5 7 + 9 15 Očito je l ( 1 l j (j 1 l. Kako su u, d, δ Z i d, δ 1 te (u,d,δ S(n, uredena trojka (u, d, δ S ako i samo ako je ( u, δ, d S. Ukoliko je k neparan cijeli broj, a g(d, δ neka funkcija, tada je u k g(d, δ 0. (3.4 δ 1 (mod Uredena trojka (u, d, δ S ako i samo ako je (u, δ, d S. Tada, ukoliko je ε(d, δ ε(δ, d vrijedi ε(d, δ(d δh(u 0 (3.5 za bilo koju funkciju h(u. Prema Teoremu 3., kako bi se izračunalo na koliko načina se može cijeli broj zapisati u obliku sume dva kvadrata, dovoljno je konstruirati funkciju Φ(n takvu da je Φ(0 1 i (n 3x Φ(n x 0 za svaki nenegativan cijeli broj n. x n Teorem 3.3. Za svaki pozitivan cijeli broj n vrijedi R (n 4 ( ( 1 d 1 4 d n d n d 1 (mod 4 1 d n d 3 (mod 4 1.

Dokaz. Neka je f(x, y xy funkcija koja je neparna obzirom na svaku od varijabli x i y. Lijeva strana jednakosti (3.3 glasi: f(δ u, u + d δ 1 (mod (prema (3.4 uz k 1 δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod + δ 1 (mod δ 1 (mod (δ u(u + d (uδ + dδ u du (dδ u u(δ d (dδ u. Ako je n l, tada prema Primjeru 3. desna strana jednakosti (3.3 glasi: T 0 (l l l ( 1 j+l f(j 1, l l ( 1 j+l (j 1l l n. l ( 1 l j (j 1 l Stoga je δ 1 (mod (dδ u {T 0 (l} nl. u + dδ n, d, δ > 1 te je u < n i dδ u (n u u n 3u. Time se dobiva δ 1 (mod (dδ u δ 1 (mod u < n 3 (n 3u (n 3u δ (n u δ 1 (mod.

Neka je Φ(n : 4 δ n δ 1 (mod funkcija definirana za svaki pozitivan cijeli broj n, a za n 0 neka je Φ(0 1. Tada je u < n (n 3u Φ(n u {4n} nl. Ukoliko n nije potpun kvadrat, tada vrijedi (n 3u Φ(n u (n 3u Φ(n u {4n} nl 0. u n u < n Ukoliko je pak n potpun kvadrat, tj. n l : (n 3u Φ(n u (n 3u Φ(n u u n u < n +(n 3m Φ(0 + (n 3( m Φ(0 {4n} nl n n 0. Prema Teoremu 3., za sve pozitivne cijele brojeve n R (n Φ(n 4 d n. U Primjeru 3.1 je vidljivo kako se ne može svaki cijeli broj zapisati kao suma dva kvadrata. Na primjer, brojevi 3,6,7,15 i se ne mogu zapisati na taj način. Koji brojevi se mogu zapisati kao suma dvaju kvadrata, dano je sljedećim teoremom: Teorem 3.4. Prirodan broj n se može prikazati u obliku kvadratne forme n x + y za x, y Z ako i samo ako se u rastavu broja n na proste faktore svaki prosti faktor p za koji je p 3 (mod 4 javlja s parnom potencijom. Dokaz Teorema 3.4 nalazi se u [4, str. 43.]. Primjer 3.3. Neki od prostih brojeva za koje vrijedi p 3 (mod 4 su p {3, 7, 11, 19, 3, 31,..., 43,..., 83,..., 151,..., 307,...}. Prema Teoremu 3.4, broj n se može prikazati u obliku kvadratne forme n x +y ako i samo ako se u rastavu broja n na proste faktore svaki prosti faktor p javlja s parnom potencijom. 4

Zbog toga se brojevi 1 3 1 1 3 1 7 1 54 1 3 3 66 1 3 1 11 1 93 3 1 31 1 133 7 1 19 1 ne mogu zapisati kao suma dvaju kvadrata. Medutim, brojevi ((±3 18 1 3 + (±3 ((±3 45 5 1 3 + (±6 441 3 7 ((±1 + 0 se mogu zapisati kao suma dva kvadrata. 3. Suma četiri kvadrata Teorem 3.5 (Lagrange 4. Svaki prirodan broj n može se prikazati u obliku sume kvadrata četiri cijela broja. Dokaz Teorema 3.5 može se pogledati u [4, str. 41.]. Teorem 3.6 (Jacobijeva 5 formula. Za sve pozitivne cijele brojeve n vrijedi R 4 (n 8 d n d, ako je n neparan i R 4 (n 4 d n d 1 (mod d, ako je n paran. Dokaz. Prema Teoremu.1, ako je F (x, y, z funkcija definirana na skupu svih trojki (x, y, z cijelih brojeva takva da je F (x, y, z neparna obzirom na varijablu x i parna obzirom na par varijabli (y, z, tada za svaki pozitivan cijeli broj n vrijedi F (δ u, u + d, u + d δ F (d + δ, u, d δ { l 1 F (j, l, j l 1 j l+1 F (l, j, j 4 Joseph-Louis Lagrange,18.-19.st.,pogledati u Prilog 5 Karl Gustav Jacob Jacobi, 19.st, pogledati u Prilog } nl. 5

Funkcija ( 1 x F (x, y, z je takoder neparna obzirom na varijablu x i parna obzirom na par varijabli (y, z. Primjenom Teorema.1 na funkciju ( 1 x F (x, y, z, slijedi ( 1 δ F (δ u, u + d, u + d δ ( 1 d+δ F (d + δ, u, d δ { l 1 ( 1 j F (j, l, j l 1 j l+1 F (l, j, j } nl. Zbrajanjem i oduzimanjem tih dvaju identiteta dobiva se 4 F (δ u, u + d, u + d δ δ 0 (mod { 4 1 j l 1 j 0 (mod F (j, l, j l 1 j l+1 F (l, j, j d δ (mod } F (d + δ, u, d δ nl. (3.6 4 δ 1 (mod { 4 1 j l 1 j 1 (mod F (δ u, u + d, u + d δ F (j, l, j } d δ (mod F (d + δ, u, d δ nl. (3.7 Neka je { G(x, y, z : ( 1 (x+z 0, ako je x ili z neparan broj F (x, y, z, ako su x i z parni neparna funkcija obzirom na varijablu x i parna funkcija obzirom na par varijabli (y, z. Primjenom jednakosti (3.6 je 4 ( 1 d F (δ u, u + d, u + d δ ( 1 d F (d + δ, u, d δ δ 0 (mod { 4 1 j l 1 j 0 (mod F (j, l, j l 1 j l+1 ( 1 l+j F (l, j, j d δ (mod } nl. (3.8 Razlika (3.7-(3.8 podijeljena s brojem daje ε(d, δ (F (δ u, u + d, u + d δ 1 F (d + δ, u, d δ { l 1 ( 1 j 1 F (j, l, j l 1 j l+1 ( 1 l+j F (l, j, j } nl (3.9 6

gdje je { 1, ako su d i δ parni ε(d, δ 1, je d ili δ neparan broj. Primjenom te jednakosti na funkciju F (x, y, z xy, dobiva se formula za R 4 (n. Lijeva strana glasi (prema (3.4 (prema (3.5 u <n ε(d, δ (F (δ u, u + d, u + d δ 1 F (d + δ, u, d δ ( ε(d, δ (δ u(u + d 1 u (d + δ ( ε(d, δ (δ u(u + du + d 1 du 1 u δ ( ε(d, δ u δ u 3 + duδ 4du + d δ d u 1 du 1 u δ ( 1 ε(d, δ u δ u 3 + d δ + duδ d u 9 du ( 1 ε(d, δ u δ u 3 + d dδ + du(δ d 9 du ( 1 ε(d, δ u δ + d(n u 9 du ε(d, δ (u δ + dn du 9du ε(d, δ (u δ du + dn 10du ε(d, δd(n 5u (n 5u n u δ ε(d, δd. ε(d, δ(d δu Za n l, desna strana jednakosti (3.9 glasi ( 1 j 1 l l l l 1 l 1 j l+1 ( 1 l+j j l 3 4l l 1 j l+1 l 3 4l (l 1 ( 1 l 1 j j l n. Time je (n 5u 8 ε(d, δd {8n} nl. u <n n u δ 7

Neka je Φ(n funkcija takva da je Φ(0 1 i za svaki n 1. Ukoliko n nije potpun kvadrat, tada je Φ(n : 8 ndδ ε(d, δd u n(n 5u Φ(n u <n Ako je pak n potpun kvadrat, tj. n l, vrijedi (n 5u Φ(n 0. u n(n 5u Φ(n u <n(n 5u Φ(n + u±l u <n(n 5u Φ(n 8n 0 (n 5u Φ(n i R 4 (n 8 ndδ ε(d, δd za svaki pozitivan cijeli broj n. U slučaju da je n neparan broj i n dδ, ε(d, δ 1 te je R 4 (n 8 ndδ ε(d, δd 8 d n d. Medutim, ako je n paran broj, može se zapisati u obliku n a m pri čemu je a 1, a m neparan broj. Svaki djelitelj broja n može se na jedinstven način zapisati u obliku n b d, gdje su 0 b a i m dδ. Tada je R 4 (n 8 ndδ ε(d, δd 8 mdδ 8 mdδ 8 mdδ 8 mdδ a ε( b d, a b δ b d b0 4 mdδ d 4 ε(d, a δd + 8 mdδ d + 8 mdδ d + 8 mdδ d n d 1 (mod d. a d 8 mdδ ε( a d, δ a d + 8 mdδ a 1 b d b1 a d 8( a mdδ d 8 a 1 ε( b d, a b δ b d b1

Prema [5], za R 4 (n, pri čemu je n, vrijedi sljedeća ocjena: R 4 (n < 4n log n. Primjer 3.4. Odrediti sve zapise broja 0 kao sume 4 kvadrata. Pokažimo da vrijedi sljedeća ocjena: R 4 (n < 4n log n R 4 (0 < 480 log 0 64.49. Broj n 0 je paran te, prema Teoremu 3.6, vrijedi R 4 (0 4 d 0 d 1 (mod d. d 0 1 4 5 10 0 d (mod 1 0 0 1 0 0 Tablica 3.1: Ostaci pri cjelobrojnom dijeljenu djelitelja d broja 0 brojem Tada se broj 0 može zapisati u obliku sume 6 kvadrata na R 4 (0 4 d 4(1 + 5 144 načina što je unutar zadane ocjene. d 0 d 1 (mod Broj 0 se može zapisati kao suma kvadrata brojeva {±1, ±1, ±3, ±3} ( na 4 4! 16 6 96!! načina i kao suma kvadrata brojeva {±, ±4, 0, 0} ( na ( 4 3 1( 1 4 1 48 načina. Primjer 3.5. Odrediti sve zapise broja 17 kao sume 4 kvadrata. Pokažimo da vrijedi sljedeća ocjena: R 4 (n < 4n log n R 4 (17 < 408 log 17 50.0. n 17 je neparan broj te, prema Teoremu 3.6, vrijedi R 4 (17 8 d 8(1 + 17 144. d 17 Broj 17 se može zapisati kao suma kvadrata brojeva {±3, ±, ±, 0} ( na 3 4! 8 1 96! načina i kao suma kvadrata brojeva {±4, ±1, 0, 0} ( na 4! 4 1 48 načina.! 9

3.3 Suma šest kvadrata Primjer 3.6. Pokažimo da je l ( 1 l j (j 1 3 4l 3 3l za svaki pozitivan cijeli broj l. l ( 1 l j (j 1 3 ( 1 l 1 ( 1 3 + ( 1 l (4 1 4 + ( 1 l 3 (6 1 3 +... + ( 1 l l (l 1 3 1 3 ( 1 l 1 + 3 3 ( 1 l + 5 3 ( 1 l 3 +... + (l 1 3 ( 1 l l. Za l 3 3 ( 1 3 j (j 1 3 ( 1 3 1 + 3 3 ( 1 3 + 5 3 ( 1 3 3 1 7 + 15 99 47 9 4 3 3 3 3. Za l 6 6 ( 1 6 j (j 1 3 ( 1 6 1 + 3 3 ( 1 6 + 5 3 ( 1 6 3 + 7 3 ( 1 6 4 +9 3 ( 1 6 5 + 11 3 ( 1 6 6 1 + 7 15 + 343 79 + 1331 846 4 864 18 4 6 3 3 6. Očito je l ( 1 l j (j 1 3 4l 3 3l. Teorem 3.7. Neka je n a m pri čemu je a 0, a m neparan broj.tada je ( R 6 (n 4 4 a+1 ( 1 m 1 d. Dokaz. Neka je zadana funkcija f(x, y : x 3 y. Funkcija f(x, y je neparna obzirom na svaku od varijabli x i y. Tada se, prema jednakosti (3.3 za k 1 3 i k 1, na lijevoj strani 30 mdδ

dobiva (prema (3.4 δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod + δ 1 (mod δ 1 (mod + δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod f(δ u, u + d (δ u 3 (u + d (δ 3 6u δ + 1u δ 8u 3 (u + d (uδ 3 6u δ + 1u 3 δ 8u 4 + dδ 3 6du δ (1du δ 8du 3 (dδ 3 6u δ + 1du δ 8u 4 + u(δ 3 6d δ (u 3 (1δ 8d (dδ 3 6u δ + 1du δ 8u 4 ( δ (dδ 6u + 4u (3dδ u ( δ (n u 6u + 4u (3n 3u u ( δ (n 7u + 4u (3n 5u. 31

Za n l, na desnoj strani se dobiva T 0 (l l ( 1 l j f(j 1, l l ( 1 l k f(k 1, l k1 l ( 1 k+l (k 1 3 l k1 ( 1 l 1 l l ( 1 k 1 (k 1 3 k1 (prema Primjeru 3.6 ( 1 l 1 l( 1 l 1 (4l 3 3l 4l 4 3l 4n 3n te je δ 1 (mod ( δ (n 7u + 4u (3n 5u {4n 3n} nl. (3.10 3

Primjenom jednakosti (3.3 na funkciju f(x, y xy 3, lijeva strana jednakosti glasi f(δ u, u + d δ 1 (mod (prema (3.4 δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod + δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod (δ u(u + d 3 (δ u(u 3 + 3du + 3d u + d 3 (u 3 δ + 3du δ + 3d uδ + d 3 δ (u 4 + 6du 3 + 6d u + d 3 u ( u 3 (δ 6d + u(3d δ d 3 + 3du δ (d 3 δ u 4 6d u (3du δ u 4 + d 3 δ 6d u ( u (3dδ u + d (dδ 6u ( u (3n 3u u + d (n u 6u ( u (3n 5u + d (n 7u, a desna, ako n l, je pak l T 0 (l ( 1 l 1 l 3 ( 1 k 1 f(x, y (prema Primjeru 3. l 4 n. k1 l ( 1 l 1 l 3 ( 1 k 1 (j 1 k1 Množenjem sa 4, dobiva se δ 1 (mod ( 4u (3n 5u + 4d (n 7u {4n } nl. (3.11 33

Oduzimanjem jednakosti (3.10 od (3.11 je δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod (n 7u u <n ( 4u (3n 5u + 4d (n 7u δ (n 7u 4u (3n 5u ( 4d (n 7u δ (n 7u (4d n nδ 8d u + 7δ u dδn u δ 1 (mod {4n 4n + 3n} nl {3n} nl. (4d δ Neka je Φ(n funkcija definirana s Φ(0 1 i Φ(n : 4 za svaki n 1. ndδ δ 1 (mod (4d δ Ukoliko n nije potpun kvadrat, tada je (n 7u Φ(n u (n 7u Φ(n u 0. u n u <n Ako je pak n potpun kvadrat, tj. n l, vrijedi (n 7u Φ(n u u n (n 7u Φ(n u + (n 7l Φ(0 + (n 7( l Φ(0 u <n (n 7u Φ(n u 1n 0 i R 6 (n Φ(n 4 u <n ndδ δ 1 (mod (4d δ. Neka je n a m pri čemu je a 1, a m neparan broj. Broj δ je neparan djelitelj broja n ako i samo ako postoji d 1 koji dijeli m takav da je d a d 1 m d 1 δ. Tada je 4d 4 ( a d 1 ndδ δ 1 (mod d 1 δm 4 a+1 34 d 1 δm d 1.

Ako je m neparan broj i m d 1 δ, te je ndδ δ 1 (mod ( 1 d 1 δ 1 ( 1 ( 1 m 1 δ d 1 δm dδm ( 1 m 1 δ d dδm d. Tada je ( R 6 (n Φ(n 4 4 a+1 ( 1 m 1 dδm d. Za R 6 (n vrijedi sljedeća ocjena: Teorem 3.8. Za svaki pozitivan cijeli broj n je 3n < R 6(n < 40n. Dokaz Teorema 3.8 nalazi se u [5, str. 443]. Primjer 3.7. Odrediti sve zapise broja 6 kao sume 6 kvadrata. Prema Teoremu 3.8, vrijedi sljedeća ocjena: 3 6 < R 6 (6 < 40 6 54 < R 6 (6 < 1440. Broj 6 treba zapisati u obliku a m, gdje je a 0 te m neparan broj: 6 1 3. Tada se, prema Teoremu 3.7, broj 6 može zapisati kao suma 6 kvadrata na ( R 6 (6 4 4 a+1 ( 1 m 1 d mdδ ( 4 4 1+1 ( 1 3 1 3dδ d ( 4 (4 ( 1 1 ( 1 1 1 3 + ( 1 3 1 1 4(4 + 18 3 17 544 35

načina što je unutar zadane ocjene. Broj 6 se može zapisati kao suma 6 kvadrata brojeva ±1 (i to na 6 64 načina te kao suma kvadrata brojeva {±1, ±1, ±, 0, 0, 0} ( na 3 6!!3! 8 60 480 načina. Primjer 3.8. Odrediti sve zapise broja 7 kao sume 6 kvadrata. Prema Teoremu 3.8, vrijedi sljedeća ocjena 3 7 < R 6 (7 < 40 7 147 < R 6 (7 < 1960. Broj 7 treba zapisati u obliku a m, gdje je a 0 te m neparan broj: 7 0 7. Tada se, prema Teoremu 3.7, broj 7 može zapisati kao suma 6 kvadrata na ( R 6 (7 4 4 a+1 ( 1 m 1 d načina. 4 (4 1 ( 1 3 7dδ mdδ d ( 4(4 + 1 ( 1 1 1 7 + ( 1 7 1 1 4(4 + 148 960 Broj 7 se može zapisati kao suma 6 kvadrata isključivo kao 7 (±1 + (±1 + (±1 + (± + 0 + 0 ( na 4 6! 3!! 16 60 960 načina. 3.4 Suma osam kvadrata Teorem 3.9. Za svaki pozitivan cijeli broj n vrijedi R 8 (n 16 d n d 3, ako je n neparan i R 8 (n 16(8a+1 15 7 d 3, d m pri čemu je a 1, m neparan broj, a n a m. ako je n paran broj 36

Dokaz. Primjenom Liouvilleovog identiteta na funkciju f, prema [5] dobiva se: za f(x, y ( 1 y xy 4 f(δ u, u + d ( 1 u+d (δ u(u + d 4 ( 1 u+d( d 3 (n 9u + u 4 (δ 14d + 6nu d i f(d + δ, u ( 1 u (d + δu 4 ( 1 u du 4. Ukoliko je n l, l 1 T 1 (l f(j, l l 1 ( 1 l jl 4 ( 1 l (4l 6 l 5, te Dijeljenjem s, konačno je T (l l 1 j l+1 l 1 j l+1 f(l, j ( 1 j lj 4 ( 1 l 1 (l 5 4l 4 + l T 1 (l T (l ( 1 n (4n 3 4n + n. ( 1 u+d d 3 (n 9u + +6n ( 1 u+d du ( 1 u u 4( ( 1 d (δ 14d d { } ( 1 n (n 3 n + n. (3.1 nl 37

za f(x, y, z ( 1 y xy 3 (y z f(δ u, u + d, u + d δ te Ukoliko je n l te, konačno, Ili ekvivalentno, 3 f(d + δ, u, d δ ( 1 u+d (δ u(u + d 3 δ ( 1 u+d( nu (3δ 8d + u 4 (7d 5δ + n δ T 1 (l T (l 4 l 1 f(j, l, j ( 1 u (d + δu 3 (u d + δ ( 1 u (d + δdu 4. l 1 ( 1 l jl 3 (l j ( 1n (4n 3 n, 3 l 1 j l+1 F (l, j, j 0 ( 1 (nu u+d (3δ 8d + u 4 (7d 5δ + n d 4 ( 1 u du 4 { ( ( 1 u u 4 1 d (7d 5δ d +3 ( 1 u+d u (3δ 8d + 3n } ( 1 n (4n 3 n. 3 nl ( 1 u+d d { } ( 1 n (4n 3 n. (3.13 nl Zbrajanjem izraza (3.1 i (3.13, slijedi ( 1 u+d d 3 (n 9u + 9n +3n ( 1 u+d d 38 ( 1 u+d u (δ d { } ( 1 n (6n 3 3n + n. (3.14 nl

za f(x, y ( 1 y xy te f(δ u, u + d f(d + δ, u ( 1 u+d (δ u(u + d, ( 1 u+d (δ u(u + d Ukoliko je n l, tada je ( 1 u (d + δu ( 1 u+d( u (δ 5d + nd T 1 (l T (l ( 1 n (4n n. Množenjem sa 3n, Liouvilleov identitet glasi 3n ( 1 u( ( 1 d (δ 5d d + 3n ( 1 u (d + δu ( 1 u du. ( 1 u+d d { } ( 1 n (6n 3 3n. (3.15 nl Oduzimanjem izraza (3.15 od izraza (3.14, slijedi ( 1 u+d d 3 (n 9u {( 1 n n} nl. Neka je funkcija Φ(n za svaki nenegativan cijeli broj n definirana s Φ(0 1 i Φ(n : 16( 1 n d n ( 1 d d 3. Prema [5] te je prema Teoremu 3. (n 9u (n u 0 u R 8 (n Φ(n. Neka je n a m pri čemu je a 0, a m neparan broj. Neparni djelitelji broja n su upravo djelitelji broja m. Stoga se parni djelitelji broja n mogu zapisati u obliku b d gdje je d djelitelj od m te 1 b a. Vrijedi: R 8 (n Φ(n 16( 1 n ( 1 d d 3 d n ( a ( 16( 1 n b d 3 d 3 b1 d m d m ( 16( 1 n 8 a+1 15 d 3. 7 39 d m

Prema [5], za R 8 (n vrijedi ocjena pri čemu je ζ(3 k1 1 k 3 16n 3 < R 8 (n < 18ζ(3 n 3 7 1 + 1 8 + 1 7 + 1 64 + 1 15 + 1 16 +... 1 + 0.15 + 0. 03 7 + 0.01565 + 0.008 + 0.00463 +... < 1.191. Primjer 3.9. Odrediti na koliko načina se broj 7 može zapisati kao suma 8 kvadrata. Za R 8 (7 vrijedi ocjena: 16n 3 < R 8 (n < 18ζ(3 7 n 3 16 7 3 < R 8 (7 < 18ζ(3 7 7 3 16 343 < R 8 (7 < 343 18ζ(3 7 5488 < R 8 (7 < 343 18ζ(3 7 7469.95. n 7 je neparan broj te se, prema Teoremu 3.9, može zapisati na R 8 (7 16 d 7 d 3 16(1 3 + 7 3 16 344 5504 načina u obliku sume 8 kvadrata. Broj ( 7 se može zapisati kao suma kvadrata brojeva {±1, ±1, ±1, ±, 0, 0, 0, 0} na 4 8! ( ( 16 80 4480 načina te kao suma kvadrata brojeva {±1, ±1, ±1, ±1, ±1, ±1, ±1, 0} 3!4! na 7 8 1 104 načina. Primjer 3.10. Odrediti sve zapise broja 4 kao sume 8 kvadrata. Pokažimo da za R 8 (4 vrijedi ocjena: 16n 3 < R 8 (n < 18ζ(3 7 n 3 16 4 3 < R 8 (4 < 4 3 18ζ(3 7 104 < R 8 (4 < 64 18ζ(3 7 104 < R 8 (4 < 64 18ζ(3 7 1170.9. Broj 4 je paran te se treba zapisati u obliku 4 a m gdje je a 0, a m neparan broj: 4 1. 40

Stoga se broj 4 može zapisati kao suma 8 kvadrata na načina što je unutar zadane ocjene. R 8 (4 16(8a+1 15 7 16(8+1 15 7 d m d 1 16(83 15 1 7 16(51 15 1 7 1136 ( Broj 4 se može zapisati u obliku sume kvadrata brojeva {±1, ±1, ±1, ±1, 0, 0, 0, 0} na 4 8! ( ( 16 70 110 načina te u obliku sume kvadrata brojeva {±, ±0, ±0, ±0, 0, 0, 0, 0} 4!4! na 8 1 16 načina. d 3 d 3 3.5 Suma deset kvadrata Teorem 3.10. Neka je n a m pozitivan cijeli broj pri čemu je a 0, a m neparan broj. Tada je R 10 (n 4 ( 16 a+1 + ( 1 m 1 d 4 + 16 (v 4 3v w. 5 5 mdδ nv +w Dokaz. Prema Teoremu 3. dovoljno je pronaći funkciju Φ(n takvu da je Φ(0 1 i (n 11x Φ(n x 0 za svaki pozitivan cijeli broj n. x n Prema [5], primjenom jednakosti (3.3 na funkciju f(x, y dobiva se: za f(x, y x 5 y f(δ u, u + d δ 1 (mod δ 1 (mod za f(x, y x 3 y 3 f(δ u, u + d δ 1 (mod 41 (δ u 5 (u + d {16n 3 40n + 5n} nl (3.16 δ 1 (mod (δ u 3 (u + d 3 {4n 3 3n } nl (3.17

za f(x, y xy 5 δ 1 (mod f(δ u, u + d δ 1 (mod (δ u(u + d 5 {n 3 } nl. (3.18 Uz 16 (3.18 + (3.16 40 (3.17, prema [5], dobiva se 3 (n 11u (16d 4 + δ 4 + Neka su i Q(n δ 1 (mod δ 1 (mod δ 1 (mod ( 160u (n u (n 3u + 3u 4 (5n 7u 40 3 (n 3u 3 { } 5n 64n3 3 P (n δ 1 (mod ( nl. (n 11u (16d 4 + δ 4 160u (n u (n 3u + 3u 4 (5n 7u 40 3 (n 3u 3. Tada je { } 64n 3 P (n {5} nl + Q(n + 0. 3 nl Neka je funkcija ϕ(n definirana kao ϕ(n : ndδ d,δ 1 δ 1 (mod (n 11u (16d 4 + δ 4 te ϕ(0 5 4. Stoga, očito je P (n δ 1 (mod u <n (n 11u (n 11u (16d 4 + δ 4 δ 1 (mod u <n (n 11u ϕ(n u. (16d 4 + δ 4 4

Ukoliko je n l, prema [5] je te je u±l (n 11u ϕ(n u 5n P (n {5} nl u n (n 11u ϕ(n u. Prema Teoremu 3.3, pozitivan cijeli broj n se može na R (n 4 zapisati kao suma dva kvadrata. Prema [5], tada je { } 64n 3 Q(n + 3 δ 1 (mod nl { } 64n 3 + 3 nl 4 (u 6 15u 4 v + 30u v w. nu +v +w ( δ n δ 1 (mod načina 160u (n u (n 3u + 3u 4 (5n 7u 40 3 (n 3u 3 Neka je ψ(n 4(v 4 3v w nv +w funkcija koja je definirana za svaki nenegativan cijeli broj n te je { } 64n 3 Q(n + 4 (n 11u ψ(n u. 3 nl n n Nadalje, neka je definirana funkcija pri čemu je Φ(0 1 i za svaki pozitivan cijeli broj n. Prema tome, slijedi Φ(n : 4(ϕ(n + 4ψ(n 5 (n 11u Φ(n u 0 n n R 10 (n 4 (ϕ(n + 4ψ(n 5 4 5 dδn δ 1 (mod (16d 4 + δ 4 + 16 5 43 nv +w 4(v 4 3v w.

Neka je n a m pri čemu je a 0, a m neparan broj. Broj δ je neparan djelitelj broja n ako i samo ako postoji d 1 koji dijeli m takav da je d a d 1.Tada je Ako je m d 1 δ, onda je te vrijedi dδn δ 1 (mod dδn δ 1 (mod 16d 4 16 a+1 d 1 δm ( 1 m 1 ( 1 d 1 1 δ 4 d 1 δm d 1 δm ( 1 m 1 δ 4 ( 1 d 1 1 d 4 1 d 1 δm d 4 1. d 4 1. Time je R 10 (n 4 5 ( 16 a+1 + ( 1 m 1 mdδ d 4 + 16 5 Primjer 3.11. Odrediti sve zapise broja 5 kao sume 10 kvadrata. nv +w 4(v 4 3v w. Broj 5 treba zapisati u obliku a m, gdje je a 0 te m neparan broj: 5 0 5. 5 dδ, stoga su d, δ {1, 5}. Za 5 v + w su v, w {1, } te se, prema Teoremu 3.10, broj 5 može zapisati kao suma 10 kvadrata na R 10 (5 4 ( 16 a+1 + ( 1 m 1 d 4 + 16 4(v 4 3v w 5 5 mdδ 5v +w 4 ( 16 1 + ( 1 5 1 d 4 + 16 4(v 4 3v w 5 5 5dδ 5v +w 4 ( (16 1 + ( 1 ( 1 1 1 5 4 + ( 1 5 1 1 4 + 16 ( 4 (1 4 3 1 + 4 3 1 5 5 4 (5 5 17 4 + 1 + 16 ( ( 4 1 1 + 4 1 5 4 ( 16 17 66 + 8 5 5 4568 448 5 844 načina. ( Broj 5 se može zapisati kao suma kvadrata brojeva {±1, ±1, ±1, ±1, ±1, 0, 0, 0, 0, 0} na 5 10! ( ( 3 5 8064 načina te kao suma kvadrata brojeva {±1, ±, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0} 5!5! ( na 10 1 9 360 načina. 44

Primjer 3.1. Odrediti sve zapise broja 6 kao sume 10 kvadrata. Broj 6 treba zapisati u obliku a m, gdje je a 0 te m neparan broj: 6 1 3. 3 dδ, stoga su d, δ {1, 3}. Broj 6 se ne može zapisati kao suma kvadrata stoga ne postoje v, w za koje vrijedi 6 v + w. Prema Teoremu 3.10, broj 6 se može zapisati kao suma 10 kvadrata na načina. ( R 10 (6 4 5 4 ( 5 4 5 16 a+1 + ( 1 m 1 16 + ( 1 3 1 ( ( 16 1 4 5 55 (3 4 1 4 55 80 5 1630 3dδ mdδ d 4 d 4 ( 1 1 1 3 4 + ( 1 3 1 1 4 ( Broj 6 se može zapisati kao suma kvadrata brojeva {±1, ±1, ±1, ±1, ±1, ±1, 0, 0, 0, 0} na 6 10! ( 13440 načina te kao suma kvadrata brojeva {±1, ±1, ±, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0} 6!4! na 3 10! 8 360 880 načina.!7! 45

4 Zaključak Primjenom Liouvilleovog identiteta na pojedine polinome te nizom algebarskih manipulacija, dobivaju se izrazi prema kojima se može odrediti na koliko načina se prirodan broj n može prikazati kao suma parnog broja kvadrata. U ovom radu prikazani su izračuni za odredivanje na koliko načina se prirodan broj n može prikazati kao suma do 6 kvadrata. Nije moguće svaki cijeli broj zapisati kao sumu dva kvadrata, što je i pokazano na primjerima, već se samo odredeni brojevi mogu zapisati na taj način. Medutim, svaki broj se može zapisati kao suma četiri, šest, osam i deset kvadrata. 46

Prilog U prilogu se nalaze kratke biografije matematičara spomenutih u ovom radu redoslijedom kojim se pojavljuju u tekstu. Slike su preuzete iz [7]. Joseph Liouville Slika 4.1: Joseph Liouville Joseph Liouville roden je 4. ožujka 1809. godine u Saint-Omeru u Francuskoj. Otac mu je bio časnik u Napoleonovoj vojsci zbog čega je prvih nekoliko godina svoga života živio s ujakom. Nakon očeva povratka iz vojske, cijela obitelj se seli u Toul gdje je Joseph pohadao školu. Studirao je matematiku na College St.Luis u Parizu. 185. godine upisao je školu Ecole Polytechnique diplomiravši 187. godine. Prema [7], iako nije pohadao Cauchyjeva predavanja, vidljivo je kako je njegov rad uvelike bio pod Cauchyjevim utjecajem. Od 187. do 1830. godine radio je na Ecole des Ponts et Chaussees te je u tom razdoblju napisao mnoštvo radova iz elektrodinamike, teorije topline te parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Na prvo akademsko mjesto imenovan je 1831. godine u Ecole Polytechnique. Procjenjuje se da je Liouville tada predavao višu matematiku u nekoliko različitih ustanova čak od 35 do 40 sati tjedno. Objavivši nekoliko radova u časopisu Journal für die Baukunst, stekao je medunarodan ugled te je, postavo svjestan nedostataka vezanih uz objavljivanje matematičkih publikacija u Francuskoj, 1836. pokrenuo časopis Journal de Mathematiques Pures et Appliquees poznatiji pod nazivom Journal de Liouville. 1838. godine napokon je postao profesor analize i mehanike u Ecole Polytechnique. Sljedeće godine postao je član astronomskog odjela pariške Akademije znanosti. 1840. godina je bila prijelomna za Liouvillea. S jedne strane, nakon Poissonove smrti postao je član Bureau des Longitudes čija uloga je bila poboljšanje pomorske navigacije i vršenje astronomskih promatranja, dok se, s druge strane, počeo baviti politikom. Naime, jedan od bliskih Liouvilleovih prijatelja i kolega matematičara bio voda republikanske stranke. Iako je mnogim matematičarima politika negativno utjecala na matematički ugled i karijeru, Liouvilleu se to nije dogodilo. 3. travnja 1848. Liouville je postao član osnivačke skupštine republikanaca. Nakon što nije ponovno izabran 1849. godine te, unatoč zdravstvenim problemima, uspješno se počinje ponovno baviti matematikom. Smatra se da su 1856. i 1857. bile njegove najproduktivnije godine. 1859. godine umro je Dirichlet, bliski Liouvilleov prijatelj i kolega matematičar. Što zbog toga, a što zbog pretrpanosti podučavanjem i njegovoj sklonosti perfekcionizmu, stradalo je Liouvilleovo zdravlje te, iako je i dalje je objavljivao svoje radove (doduše, smanjenim intenzitetom, nije uspio dokazati saznanja do kojih je došao 1856. godine. Umro je 8. rujna 188. godine u Parizu. Liouvillevo bavljenje matematikom bilo je širokog spektra, od matematičke fizike preko astronomije pa sve do čiste matematike, objavivši više od 400 radova, od toga 00 samo iz po- 47

dručja teorije brojeva. U razdoblju 183.-1833. objavio je četiri rada u kojima je istraživao kriterije za integraciju algebarskih funkcija. Čitajući korespodenciju izmedu Goldbacha i D.Bernoullija, zaintrigirali su ga transcedentni brojevi. Neuspješno je pokušao dokazati transcedentnost broja e, ali je 1844. dokazao egzistenciju transcedentnih brojeva konstruiravši beskonačno mnogo transcedentnih brojeva pomoću verižnih razlomaka, a 1851. godine konstruirao je transcedentne brojeve pomoću decimalnog zapisa, neovisno o verižnim razlomcima. Jedan takav transcedentan broj koji ima jedinice na mjestima odredenim faktorijelima prirodnih brojeva, a na ostalim mjestima 0, naziva se Liouvilleov broj: 0.1100010000000000000000010000.... 189. i 1837. godine, Liouville je, zajedno sa francuskim matematičarom Sturmom, ispitivao svojstvene vrijednosti običnih diferencijalnih jednadžbi.reda te rubne uvjete. Rezultati do kojih su došli koriste se za rješavanje integralnih jednadžbi i danas su poznati pod nazivom Sturm-Liouvilleova teorija. Proučavajući konformna preslikavanja, Liouville se bavio i diferencijalnom geometrijom. Osim objavljivanja svojih djela, 184. godine Liouville je počeo čitati Galoisova djela koja je, nadopunjena, i objavio 1846. u svom časopisu Journal de Liouville te ih time po prvi puta učinio dostupnima javnosti (pogledati [, str. 133.]. Pierre de Fermat Pierre Fermat roden je 17. kolovoza 1601. godine Francuskoj u Beaumont- de- Lomagne gdje je njegov otac bio konzul. Prema [7], postoji mogućnost da je imao starijeg brata istog imena koji je umro u ranoj dobi, tako da nije sigurno je li uistinu roden toga datuma. Slika 4.: Pierre de Fermat Pretpostavlja se da je najranije obrazovanje stekao u obližnjem franjevačkom samostanu. Studirao je na Sveučilištu u Toulouseu, a u drugoj polovici 160-ih godina seli se u Bordeaux gdje se započeo baviti prvim ozbiljnijim matematičkim istraživanjima. Studirao je pravo u Orleansu te je od 1631. godine bio pravnik, sudac i savjetnik u francuskom parlamentu u Toulouseu gdje je i ostao do kraja života. Time je stekao pravo na titulu de te je, sukladno tome, promijenio ime u Pierre de Fermat. Osim prava, Fermat se bavio i matematikom. Nije objavljaivao svoje rezultate, već ih je zapisivao na marginama knjiga ili pak u pismima prijateljima. Imao je niz matematičkih prijatelja, a jedan od njih je bio takoder savjetnik iz Toulousea, Carcavi. 1636. godine Carcavi je kao kraljevski knjižničar otputovao u Pariz gdje je upoznao Mersennea te ga upoznao s Fermatovim otkrićima o tijelima u slobodnom padu. Oduševljen, Mersenne je pisao Fermatu koji mu je u odgovoru datiranom 6. travnja 1636. godine pisao o svom radu na spirali (prema [], krivulji polarne jednadžbe r a ϕ te u čemu smatra da je Galileo pogriješio u opisu slobodnog pada (iako nije bio zainteresiran za primjenu matematike u fizici. Fermat je često postavljao izazove drugima da pokažu rezultate koje je on već dobio. Tako je i u navedenom pismu zamolio Mersennea da podijeli s francuskim matematičarima probleme odredivanja maksimuma. Roberval i Mersenne su zaključili kako 48

navedeni problemi nisu rješivi tada poznatim metodama na što im je Fermat poslao svoje metode za odredivanje minimuma i maksimuma te tangente na krivulju. U jednom od svojim pisama Mersenneu, Fermat je postavio hipotezu da su brojevi oblika n + 1 prosti ako je n potencija broja, a da nisu prosti ukoliko n nije potencija broja. Hipotezu je i provjerio za n 1,, 4, 8, 16 te se danas brojevi oblika n + 1, pri čemu je n potencija broja, nazivaju Fermatovi brojevi. Euler je kasnije pokazao da ta Fermatova hipoteza nije točna, tj. da je broj 3 + 1 djeljiv s brojem 641. Vrlo brzo je stekao matematički ugled, ali zbog nesklonosti sredivanju rezultata, nije želio objavljivati svoje rezultate. Ipak, neki od njih objavljeni su kao dodaci djelima drugih matematičara. S druge pak strane, rast Fermatova ugleda izazivao je prigovore i ljutnju drugih matematičara te je dolazilo i do sukoba. Upravo zbog svojih metoda odredivanja normala i tangenti bez derivacija Lagrange ga je smatrao ocem diferencijalnog računa, ali je došao u sukob s Descartesom (koji je takoder razvio jednu metodu. U razdoblju 1643.-1654. godine, zbog preokupiranosti poslom oko parlamenta, Fermat nije komunicirao s ostalim znanstvenicima, ali se i dalje bavio matematikom, posebno teorijom brojeva. U svom primjerku prijevoda Diofantove Arithmeticae, Fermat je zabilježio, danas poznat pod nazivom, veliki Fermatov teorem (pogledati []: Nije moguće kub rastaviti na dva kuba ili bikvadrat na dva bikvadrata niti općenitije neku veću potenciju od druge na dvije potencije s istim eksponentom. Za to imam stvarno čudesan dokaz, no rub je ovdje preuzak, da ga zapišem. Ili, drugim riječima: za prirodan broj n veći do ne postoje cijeli brojevi x, y, z 0 takvi da je x n + y n z n. Ovakvi rezultati postali su poznati tek kada je 1670. godine Fermatov sin Samuel objavio Bachetov prijevod Diofantove Arithemeticae zajedno s očevim zabilješkama. Sljedećih 300tinjak godina matematičari su neuspješno pokušavali dokazati veliki Fermatov teorem što je rezultiralo otkrićem komutativne teorije prstena. Poseban slučaj velikog Fermatovog teorema, za n 3, dokazao je 1995. godine Andrew Wiles (pogledati [4]. Uz veliki, poznat je i mali Fermatov teorem kojeg je izrekao u pismu 1640. godine. Prvi poznati dokaz tog teorema dao je Euler koji ga formulira na sljedeći način (pogledati []: Teorem 4.1 (mali Fermatov teorem, Eulerova formulacija. Ako p označava nepraran prost broj, onda je formula a p 1 1 uvijek djeljiva s p, osim ako je sam a djeljiv s p. 1654. godine Blaise Pascal, koji je preko oca bio upoznat s Fermatovim matematičkim radom, kontaktirao je Fermata zamolivši ga za potvrdu njegovih ideja iz područja vjerojatnosti. Njihovo dopisivanje je rezultiralo postavljanjem teorije vjerojatnosti te se Fermat i Pascal smatraju njezinim začetnicima. Na molbu jednog Descartesovog studenta koji je skupljao Descartesovu korespodenciju, Fermat je pregledao svoja pisma iz sukoba s Descartesom, sada stara 0 godina, vraćajući se ponovno na Descartesov opis refrakcije svjetlosti. Tada je razvio zakon, danas poznat kao Fermatov zakon, jedan od temeljnih zakona optike, koji kaže da svjetlost uvijek ide najkraćim putem. 1856. godine započeo je dopisivanje s Huygensom u svezi teorije vjerojatnosti. Pokušavajući zainteresirati Huygensa za teoriju brojeva, naveo je puno više argumenata nego ikome prije. Tako je opisao svoju metodu neprekidnog silaska i njezinu primjenu na dokaz da se svaki 49

prost broj oblika 4k + 1 može zapisati kao suma dva kvadrata na jedinstven način. Dokazao je i da se svaki prirodan broj može zapisati kao suma četiri kvadrata te da se svaki prost broj p na jedinstven način može zapisati kao razlika dva kvadrata prirodnih brojeva: ( ( p + 1 p 1 p. Pierre de Fermat umro je 1. siječnja 1665. godine u Castresu. Joseph-Louis Lagrange Joseph-Louis Lagrange, krsnog imena Giuseppe Lodovico Lagrangia, jedan je od najvažnijih matematičara i fizičara 18. i 19. stoljeća. Iako ga se uglavnom spominje kao francuskog matematičara, Lagrange je porijeklom većim dijelom Talijan, samo je bio skloniji svom francuskom dijelu porijekla (pradjed s očeve strane je bio francuski konjički kapetan. Roden je 5. siječnja 1736. godine u Torinu u Italiji. Imao je još desetoro mlade braće i sestara od kojih je samo jedno preživjelo djetinjstvo. Obitelj Lagrange nije bila bogata jer je njegov otac koji je bio zaposlen na visokom časničkom mjestu gubio novac neuspješnim financijskim špekulacijama. Slika 4.3: Joseph-Louis Lagrange Lagrange je, prema očevoj želji, započeo školovanje za pravnika, ali se, potaknut knjigama iz fizike, predomislio i odlučio školovati za matematičara (većinom je bio samouk. Kasnije je rekao Da sam bio bogat, vjerojatno se ne bih posvetio matematici (pogledati [1]. Godine 1754. objavio je svoje prvo matematičko djelo potpisavši se kao Luigi De la Grange Tourier. Zatim se počeo baviti tautokronom 6 te je došao do nekoliko važnih rezultata koji će biti važni za razvoj varijacijskog računa. Pokazavši svoje rezultate Euleru, 1755. godine, sa svojih samo 19 godina, je dobio mjesto profesora matematike u Kraljevskoj artiljerijskoj školi u Torinu. 1756. godine imenovan je članom berlinske Akademije znanosti, a 1757. godine je bio suosnivač znanstvene udruge u Torinu koja je objavljivala znanstveni časopis Melanges de Turin. U tom časopisu je Lagrange objavio i svoju studiju o širenju zvuka u kojoj je koristio sustav diferencijalnih jednadžbi za rješavanje kojeg je razvio vlastite metode. 6. studenoga 1766. godine naslijedio je Eulerovo mjesto na berlinskoj Akademiji znanosti te je u Berlinu proveo sljedećih 0 godina osvojivši više nagrada pariške Akademije znanosti. 18. svibnja 1787. vraća se u Pariz na mjesto člana Akademije znanosti gdje je i ostao do kraja života. Svoje najznamenitije djelo Mechanique analytique, iako napisano u Berlinu, objavio je 1788. u Parizu. U tom djelu je primjenom diferencijalnih jednadžbi matematički transformirao klasičnu Newtonovu mehaniku. Poznata je Lagrangeova rečenica: Vjerujem da je, općenito, jedan od glavnih principa svakog mudrog čovjeka da se strogo podvrgne zakonima države u kojoj živi, čak i ako su nerazumni 6 prema [1], tautokron je krivulja čije svojstvo je da materijalna točka koja po njoj klizi do zadane pozicije, neovisno o početnoj poziciji, uvijek dolazi u istom vremenu 50

(pogledati [1]. Zahvaljujući takvoj filozofiji, Lagrange je bez većih nevolja preživio razdoblje francuske revolucije. Godine 1790. je bio član odbora Akademije znanosti za standardizaciju mjera. Iako se odbor zalagao za metrički te decimalni brojevni sustav, bilo je zahtjeva za korištenjem baze 1 na što je Lagrange ironično reagirao zastupajući korištenje broja 11 kao baze. 1793. godine, u doba jakobinskog terora, ukinuta je Akademija, ali je jedno njezino tijelo smjelo nastaviti s radom, odbor za standardizaciju mjera čiji predsjednik je postao Lagrange. Ujesen iste godine, vlada je zahtijevala privodenje svih stranaca rodenih u neprijateljskim zemljama i oduzimanje njihove imovine. Uredovanjem kemičara Lavoisiera, za Lagrangea je napravljen izuzetak te je smio ostati na slobodi. Medutim, Lagrange nije uspio vratiti uslugu Lavoisieru koji je svega pola godine kasnije uhićen te na jednodnevnom sudenju osuden na smrt giljotinom. Lagrange je bio prvi profesor matematičke analize 1794. u školi Ecole Polytechnique, a nagodinu je predavao i u školi za obrazovanje učitelja, Ecole Normale. Izmedu ostalih, njegova predavanja pohadao je i Fourier. Najpoznatiji je po rezultatima iz područja mehanike i astronomije (matematička fizika, ali se istaknuo i u algebri, teoriji brojeva te utemeljenju infinitezimalnog računa. Pokušao je precizirati pojam derivacije te je uveo f (x, f (x,... kao oznake za derivacije (pogledati [], a dokazao je i Lagrangeov teorem srednje vrijednosti. Osim tog teorema, danas mnoštvo matematičkih pojmova nosi Lagrangeovo ime. Prema [1], Lagrangeov operator je funkcija koja opisuje stanje dinamičkog sustava (razlika kinetičke i potencijalne energije te, ukoliko je poznat Lagrangeov operator za sustav, mogu se odrediti jednadžbe gibanja čestica u sustavu. Lagrangeov interpolacijski polinom je polinom najmanjeg stupnja n 1 kojem su poznate vrijednosti u n točaka: P n (x j n p i (x j y i i0 gdje je p i polinom n-tog stupnja za koji vrijedi { 1, j i p i (x j 0, j i za i, j 0, 1,..., n (pogledati [6, str. 18.]. Geometrijski, polinom p i presijeca x os u točkama x 0, x 1,..., x i 1, x i+1,..., x n, a u točki x i poprima vrijednost 1. U algebri je poznat Lagrangeov teorem prema kojem u konačnoj grupi G broj elemenata svake njene podgrupe dijeli broj elemenata od G (pogledati [1]. U teoriji brojeva, Lagrangeov teorem (pogledati [4, str. 1.] kaže da postoji najviše n prirodnih brojeva takvih da je polinom n-tog stupnja s cjelobrojnim koeficijentima f(x djeljiv s prostim brojem p, dok Lagrangeov teorem o četiri kvadrata (spomenut u ovo radu kaže kako se svaki prirodan broj može prikazati u obliku sume kvadrata četiri cijela broja. Lagrange je i prvi dokazao Wilsonov teorem prema kojemu za prost broj p vrijedi (p 1! 1 (mod p (pogledati [4, str. 0.]. Lagrange je bio oženjen dva puta. Prvi puta, 1767. godine, za vrijeme boravka u Berlinu, oženio se rodakinjom Vittoriom Conti. Brak je završio smrću supruge 1783. godine. Nakon povratka u Pariz, 179. godine oženio se kćerkom jednog od kolega s Akademije znanosti. Zanimljivo je da je njegova druga supruga imala manje od 0 godina te je upravo ona inzistirala na vjenčanju (pogledati [1]. Iako sretna, oba braka su bila bez djece. Lagrange je umro u Parizu, 10. travnja 1813. godine, a pokopan je u pariškom Pantheonu. 51

Karl Gustav Jacob Jacobi Karl Gustav Jacob Jacobi roden je 10. prosinca 1804. godine u Potsdamu u Pruskoj (današnja Njemačka u dobrostojećoj židovskoj obitelji kao drugo, od ukupno četvero, djece. Njegov otac, Simon Jacobi je bio bankar, a Karlov stariji brat Moritz kasnije je postao poznati fizičar. Za najranije Karlovo obrazovanje zaslužan je njegov ujak, a nešto prije svoje 1. godine, Karl se upisuje u gimnaziju u Potsdamu. Zbog svog iznimnog znanja, 1917. godine Karl je prebačen iz prvog u posljednji razred gimnazije. Time je s navršenih 1 Slika 4.4: Karl Gustav Jacob godina stekao uvjete za upis na sveučilište. Jacobi Medutim, berlinsko sveučilište nije primalo studente mlade od 16 godina te je morao ostati u istom razredu gimnazije sve do proljeća 181. godine. Unatoč tome, Karl nije stagnirao, već je i dalje proširivao svoje znanje te je primio najviše nagrade iz područja latinskog i grčkog jezika te povijesti, dok je iz područja matematike napredovao čitajući Eulerov rad Introducio in analysis infinitorum. 181. godine upisao se na berlinsko sveučilište te slušao predmete iz područja filozofije, klasike i matematike da bi se dvije godine kasnije posvetio samo matematici. Tadašnji standardi visokog obrazovanja na području matematike u Njemačkoj su bili loši te se Karl ponovno morao sam snalaziti čitajući djela Lagrangea i ostalih istaknutih matematičara. 184. godine položio je ispite potrebne za podučavanje matematike, grčkog i latinskog jezika u školama, a 185. godine je doktorirao. Iako židovske vjere, zahvaljujući svom briljantnom umu, 185. počeo je podučavati u jednoj od vodećih škola u Berlinu, Joachimsthalsche Gymnasium. Nedugo nakon toga prešao je na kršćanstvo što mu je otvorilo vrata do sveučilišta te je već akademske godine 185./186. počeo predavati na berlinskom sveučilištu, a u svibnju 186. prelazi na Sveučilište u Königsbergu na kojem je tada Bessel predavao astronomiju. Prije dolaska u Königsberg Jacobi je došao do većih otkrića oko kubičnih ostataka u teoriji brojeva. Došavši u Königsberg, inspiriran Gaussovim rezultatima o kvadratnim i bikvadratnim ostacima, pisao je Gaussu o svojim rezultatima. Prema [7], Gauss je bio toliko zadivljen mladim Jacobijem da je pisao Besselu neka skupi što više informacija o njemu. Jacobi je imao i pregršt zanimljivih ideja (do kojih je upravo u to vrijeme neovisno došao i Abel o eliptičnim funkcijama te je o tome pisao Legendreu, tada vodećem matematičaru na tom području. Legendre je odmah shvatio kako je Jacobi došao do fundamentalnih otkrića te je o njemu imao samo riječi hvale zbog čega je 8. prosinca 187. Jacobi promaknut na mjesto izvanrednog profesora. U ljeto 189., Jacobi je otputovao u Pariz gdje se susreo s Fourierom i Poissonom, a na putu do Pariza, posjetio je i Gaussa u Göttingenu. 189. godine objavio je Fundamenta nova theoria functionum ellipticarum, rad o teoriji eliptičnih funkcija koji se temeljio na četiri ϑ funkcije čime je dao fundamentalan doprinos toj teoriji. Usprkos tome, Jacobi još nije 5