Zašto se \(ne\)uči geometrija

Слични документи
SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)

8. razred kriteriji pravi

Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razr

Naziv studija

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja

Natjecanje 2016.

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019.

gt1b.dvi

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

Microsoft Word - z4Ž2018a

PRAVAC

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

Microsoft Word - 24ms221

Microsoft Word - 12ms121

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

GLOBALNI IZVEDBENI PLAN I PROGRAM ZA IZVOĐENJE NASTAVE GEOGEBRE U OSNOVNOJ ŠKOLI (matematička grupa, 1 sat tjedno) 6. razred (35 sati) I. Uvod u GeoGe

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

Matematički leksikon

Obrazac Metodičkih preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnih ishoda predmetnih kurikuluma i međupredmetnih tema za osnovnu i srednju školu OSNOVNI

atka 25 (2016./2017.) br. 98 Nastavak iz atke broj 97. U Nacrtaj i ti! Nikol Radović, Sisak prošlim brojevima atke upoznali smo neke metode vizualizac

Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij studenog Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vr

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka)

Microsoft Word - 15ms261

Jednadžbe - ponavljanje

Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1013_horvat

PROJEKT UNAPRJEĐENJE PISMENOSTI U ZDRAVSTVENOM UČILIŠTU UP Danijel Kolarid PRIMIJENJENA TRIGONOMETRI

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatska zajednica tehničke kulture 57. ŽUPANIJSKO/KLUPSKO NATJECANJE MLADIH TEHNIČARA PISANA PROVJERA ZNANJA 5.

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR

MATEMATIKA IZVEDBENI GODIŠNJI NASTAVNI PLAN I PROGRAM MATEMATIKE OSNOVNA ŠKOLA, 2. razred šk. god Planirala: Višnja Špicar, učitelj RN

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)

atka 26 (2017./2018.) br. 102 NEKE VRSTE DOKAZA U ČAROBMATICI Jadranka Delač-Klepac, Zagreb jednoj smo priči spomenuli kako je važno znati postavljati

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

PŠ TRNJANSKI KUTI 1. RAZRED Nastavni predmet Smjer Datum Bilješka Datum upisa Zadnje izmjenio/la Matematika (000108) Osnovna škola - redovni program 1

294 PLANIMETRIJA PLANIMETRIJA, dio geometrije koji proučava skupove točaka u euklidskoj ravnini (v. Geometrija, TE 6, str. 120). Neki posebni skupovi

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0611_horvatH.doc

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје

Microsoft Word - 24ms241

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

untitled

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

Slide 1

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU UČITELJSKI FAKULTET ODSJEK ZA UČITELJSKE STUDIJE VERONIKA TKALEC DIPLOMSKI RAD KOCKA I KVADRAT KAO DIO PROJEKTNE NASTAVE MATEMAT

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да

Untitled Spreadsheet

Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatska zajednica tehničke kulture 58.ŠKOLSKO NATJECANJE MLADIH TEHNIČARA PISANA PROVJERA ZNANJA - 5. razred Za

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018.

Microsoft Word - 6ms001

75 Bolyai - Gerwienov teorem Margita Pavleković Sažetak.Bolyai-Gerwienov teorem ima veliku primjenu u nastavi geometrije u osnovnoj školi. Ovaj teorem

MathFest 2016 Krapinsko zagorske županije 29. travnja Terme Tuhelj Ekipno natjecanje učenika osnovnih škola Kategorija math 43 Natjecanje traje

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apol

Obrazac Metodičkih preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnih ishoda predmetnih kurikuluma i međupredmetnih tema za osnovnu i srednju školu OSNOVNI

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA,

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je

(Microsoft Word - 11 Dopunska- MAT- Ksenija Laleta-Pu\236.rtf)

os07zup-rjes.dvi

INTERPRETER LOGO NAREDBI Teodor Lozinski Tomislav Višnić Kolegij: Uporaba računala u nastavi, Fizički odsjek, PMF, Sveučilište u Zagrebu, UVOD Z

ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matema

1.NASTAVNI PLAN I PROGRAM ZA PRVI RAZRED GIMNAZIJE.pdf

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

XV. GIMNAZIJA, ZAGREB PROVJERA POSEBNIH ZNANJA IZ PREDMETA MATEMATIKA ISPITNA KNJIŽICA Datum Trajanje 60 minuta Zaporka (tri znamenke i pet slova) zna

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 19. decembar Teorijska pitanja 1. V

ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične)

MAT-KOL (Banja Luka) Matematički kolokvijum XIV(3)(2008), DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE Dr Šefket Arslanagić 1 i Alija Miminagić 2

ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2015./2016. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo zamatematiku : 1. Ana Večerak, prof. matematike (KŠ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН

Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1813 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 7. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

Matematika 1 - izborna

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

Математика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О

Microsoft Word - Domacii zadatak Vektori i analiticka geometrija OK.doc

MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K1.28 MAT A D-S

4.4 DOPUNSKA NASTAVA Matematika 1. razred ciljevi aktivnosti, programa i/ili projekta - Utjecati na svladavanje redovitog programa i pozitivno u

Транскрипт:

Zašto se (ne)uči geometrija? Crikvenica, travanj 2008. Nives Jozić, prof.

Pitalica 1. Ispred mene nema nikoga, iza mene su dva 2. Ispred mene je jedan, iza mene je jedan. 3. Ispred mene nema nikoga, iza mene su dva. Kako je to moguće? 2/50

Učenje matematike Kroz predmet matematike treba odgovoriti na 3 pitanja: Zašto se uči matematike? Što treba učiti? Kako poučavati? Razvijanje matematičkog mišljenja logičko povezivanje, analiziranje, sistematiziranje, zaključivanje itd. Cilj učenja matematike Formiranje osobe koja je samosvjesna, čvrsta, cijeni prave vrijednosti, može ispravno odlučiti itd. Stjecanje znanja i osposobljavanje za njihovu primjenu u svakodnevnom životu 3/50

Zavirimo u povijest Matematika se od prapovijesnih početaka i preko prvih civilizacija razvijala emprijski. U starogrčkoj matematici započinje apstrahiranje i aksiomatiziranje. Na izgradnju sveukupne matematike veliki utjecaj imala je geometrija Ornamenti ukazuju na dominaciju geometrije. Izgradnju geometrije kao znanosti započinje Eukild - deduktivno. 4/50

Poznati o geometriji Egipatski faraon: Može li se na jednostavan način naučiti geometrija? Euklid: Vaše visočanstvo, nema kraljevskih putova u geometriji. Platon: Geometrija približava razum istini. Khaldum: Um koji stalno primjenjuje geometriju teško će učiniti pogrešku. 5/50

Prvi koraci Spoznajni put učenika treba ići od iskustvenog prema apstraktnom. Čovjek lakše razumije i pamti slike i crteže nego apstraktne simbole i pojmove. Brže uči ono što iskustveno može doživjeti. Učenje u 1. razredu započinje geometrijskim sadržajima: oblicima u prostoru i ravnini te odnosima meñu njima (model se može vidjeti, dodirnuti, napraviti, predočiti, usporediti po veličini) 6/50

Što je geometrija? Geometrija grč. γεωµετρία, geo Zemlja, metria mjerenje; zemljomjerstvo Geometrija dio matematike koji se bavi veličinama, oblicima i odnosima meñu njima. Osnovni geometrijski pojmovi: točka, pravac, ravnina i prostor 7/50

Geometrija - prva disciplina koja je aksiomatizirana Aksios - grč. tvrdnja koja ne izaziva nikakve sumnje. Principi aksiomatizacije Princip nezavisnosti - aksiomi se ne mogu izvesti deduktivno jedan iz drugoga, niti njihovi dijelovi Princip neproturječnosti iz sustava aksioma se ne može izvući deduktivno i tvrdnja i njena negacija Princip potpunosti sustav daje odgovor na svako pitanje teorije izgrañene iz tog sustava 8/50

Geometrija u nastavi je Idealan teren za učenje Najbolje sredstvo za razvijanje matematičkog mišljenja Prikladna za kreativan i istraživački rad 9/50

Geometrija u nastavi je Na margini Mnogi je ne vole učiti Privlačna je zbog zornosti. Omražena je zbog apstraktnosti. Mnogi je ne vole poučavati. Neizostavna zbog široke primjene u svim sferama društvene djelatnosti 10/50

Razredna nastava 1. razred (25/140 ~ 18%) Tijela u prostoru, ravne i zakrivljene plohe, ravnine i zakrivljene crte, točka 2. razred (12/140 ~ 9%) Stranice kvadrata, pravokutnika i trokuta 3. razred (40/140 ~ 29%) Ravnina, likovi u ravnini, pravac, polupravac i dužina, pravci koji se sijeku, usporedni i okomiti pravci, krug, kružnica 4. razred (40/140) Kut (pravi, šiljasti i tupi), trokut (vrste obzirom na stranice, pravokutni, opseg), pravokutnik i kvadrat (opseg i površina), kvadar i kocka (obujam kocke) 11/50

Predmetna nastava 5. razred (36/140 ~26%) Pravac, polupravac, dužina, simetrala dužine, kružnica i krug, paralelogram, kut (mjerenje, sukuti i vršni kutovi, trokut i vrste trokuta, osnosimetrični likovi. 6. razred (44/140 ~ 31%) Kutovi (uz presječnicu, s okomitim i usporednim kracima), trokut (zbroj kutova, simetrala kuta, konstrukcija kutova, sukladnost, tri osnovne konstrukcije, površina), četverokut (zbroj kutova, konstrukcije paralelograma, površina paralelograma i trapeza). 7. razred (93/140 ~ 66%) Koordinatni sustav na pravcu i u ravnini, sličnost trokuta i primjena, mnogokuti (pravilni, opseg i površina), kružnica i krug (Talesov poučak, pravac i kružnica, opseg i površina), graf linearne funkcije 8. razred (94/140 ~ 67%) Pitagorin poučak i primjena, preslikavanje ravnine (translacija, osna i centralna simetrija, rotacija), točke pravci i ravnine u prostoru, geometrijska tijela 12/50

Gimnazije i tehničke škole 1. razred (40% - 50%) Koordinatni sustav u ravnini, graf linearne funkcije, sukladnost i sličnost, krug i kružnica, izometrije ravnine 2. razred (47% - 58%) Graf kvadratne, eksponencijalne i logaritamske funkcije, trigonometrija pravokutnog trokuta, geometrija prostora 3. razred (62% - 85%) Trigonometrijske funkcije, jednadžbe i nejednadžbe, vektori u ravnini, analitička geometrija 4. razred (17% - 26%) Funkcije, primjena derivacije i integrala, geometrijska vjerojatnost. 13/50

Prepreke u učenju 1. Nema postupnosti Učenici najčešće ne uče redovito. Aristotel: Priroda ne čini skokove. U prirodi učenja matematike je proširivanje i nadograñivanje naučenoga. Spiralno programiranje. 14/50

Prepreke u učenju 2. Krivo učenje pojmova U nastavi - genetička definicija (opisno, intuitivno objašnjjnje) Učenici najčešće uče iz bilježnice, a u njima često krivo piše. Primjer: Za svaka dva pravca kažemo da su paralelni ako se ne sijeku. Za dva pravca kažemo da su paralelni ako se nalaze u istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka ili su im sve točke zajedničke. Uvoñenje novih pojmova definicijom: 15/50 Jasno, točno i sažeto.

Onaj koji cijeni praksu bez teorijskih osnova sličan je moreplovcu koji ulazi u brod bez krme i busole ne znajući kuda se plovi. 16/50

Učenici su pisali sve što su znali o trokutu i površini. 3 učenika točno, 21 učenik ništa. 16% D/08. 2B kategorija, 4. Z. Nerazumijevanje pojmova. 17/50

Prepreke u učenju 3. Nedostatak predodžbe Geometrijski zor Ima veliku metodičku vrijednost u poučavanju ako se pravilno primjeni. 18/50

Zor i njegove zamke Pravi kut jednak je tupom Geometrija je umijeće ispravnog zaključivanja na pogrešnim slikama. Prostorni zor 19/50

Iluzija ili stvarnost? 20/50

Crtanje geometrijskih likova 21/50

Crtanje elemenata geometrijskih likova Ž/2008., 6. r., 5. zadatak Zadan je jednakokračan trokut duljinom kraka 7.5 cm i kutom na osnovici od 75. Kolika je površina trokuta? 0% Visina trokuta Polovica jednakostraničnog trokuta. 22/50

Crtanje geometrijskih tijela Perspektiva Koliko je kocaka na slici? 23/50

Prostoručno crtanje Crtež na ploči predstavlja model učeniku za crtanje u bilježnicu. Mogu li učenici prostoručno crtati uredno? 24/50

Označavanje točaka, duljina, veličina Pitagorin poučak b c a m n h d y z fx g s e 25/50

24 22 Izračunavanje površine 20 18 Direktno: 16 14 12 10 8 1 2 3 1. 15 9=135 2. 1 6=6 3. 3 3=9 4. 8 4=32 6 5. 3 5=15 4 2 4 5 P=197-5 5 10 15 20 25 30 35 40-2 -4-6 26/50-8

24 22 20 18 Indirektno: 16 14 12 10 8 6 1 2 1. 1 12=12 P sve =18 14 2. 3 5=15 P sve =252 3. 7 4=28 55 4 2 3 P = 252-55 P = 197-5 5 10 15 20 25 30 35-2 -4-6 27/50-8

Ž/08., 5. razred, 4. zadatak 21 učenik točno riješio od 166 učenika 28/50

Ž/08., 6. razred, 4. zadatak P P = a a 2 = 3 4 a 2 a a 8 4 učenika točno riješila od ukupno 124 29/50

Problemski zadatak Pronañi primjer površine kojoj je ploština konačan broj (različit od 0), a opseg beskonačan broj. d1 d2 = 2 dn dn+ 1 = 2 P < P < P TRSU X PRSQ PV > PT 30/50

Geometrijska algebra Algebarski problemi se rješavaju pomoću geometrije. 2 + 3 = 5 2 * 3 = 6 31/50

Problemski zadaci (u nižim razredima) Ivan, njegova majka i otac zajedno imaju 90 godina. Ako je otac 6 godina stariji od majke, a majka ima 3 puta više godina od Ivana, koliko svaki od njih imaju godina? 6 + + = 90 Ivan Majka Otac 7 * = 90 6 = 84 = 84 : 7 = 12 Ivan ima 12 godina, majka 36, a otac 42 godine. 32/50

Kvadratni brojevi Zbroj prvih n neparnih brojeva je n-ti kvadratni broj. 1 4 4=1+3 9 9=1+3+5 16 16=1+3+5+7 Općenito: 1+ 3 + 5 + 7 + + n = n 2 33/50

Geometrijski red Površina kvadrata upisanih u jednakokračan pravokutan trokut (s krakom duljine a) čini geometrijski niz: 2 2 2 a a a,,,... 4 8 16 Zbrajanje površina čini geometrijski red. 34/50

Funkcije u geometriji Preslikavanja geometrijskih skupova točaka Translacija Rotacija Simetrija Homotetija (centralna simetrija) Sličnost Inverzija Projiciranje 35/50

Analitička geometrija Geometrijski problemi se rješavaju algebarski u koordinatnom sustavu. Grafovi elementarnih funkcija Primjena kvadratne funkcije Kompozicija elementarnih funkcija Trigonometrijska kružnica 36/50

Geometrijska vjerojatnost Geometrijska vjerojatnost predstavlja vjerojatnost slučajnog izbora točke iz podskupa nekog skupa. Omogućava jednostavnije rješavanje nekih problema. Ω A Ω skup točaka; A podskup od Ω µ(ω), µ(a) mjera duljine, površine obujma Vjerojatnost da se nasumce odabere točka iz skupa A: P ( A) = µ ( A) µ ( Ω ) 37/50

Geometrijska vjerojatnost 1. Unutar kruga slučajno je odabrana točka. Nañite vjerojatnost da točka bude u: a) Kvadratu upisanom u taj krug b) Jednakostraničnom trokutu upisanom u taj krug 2. Nasumce se biraju dvije točke iz segmenta [-2, 2]. Kolika je vjerojatnost: a) Da njihova udaljenost bude veća od 1? b) Da one dijele segment na tri jednaka dijela? c) Da obje pripadaju segmentu [-2, 0]? 38/50

r a r a µ ( A) = a = 2r ( Ω ) = r 2 µ π 2 2 µ ( A) P( A) = µ ( Ω) 2 P( A) = 0.637 π a 3 r = a = r 3 3 2 2 a 3 3r 3 µ ( A) = = 4 4 2 µ ( Ω ) = r π 2 3r 3 P( A) = 0.414 2 4r π 39/50

y f( x) = x+1 g( x) = x-1 x ( ) { } A = x, y Ω : x y > 1, µ ( A) = 9 ( ) { 2 x y R x y } Ω =, : 2 2, 2 2, µ ( Ω ) = 16 9 a) P( A) = 16 b) P( A) = 0 c) P( A) = 0.25 40/50

Dokazi u geometriji Trokut i četverokut Ortocentar trokuta Sinus zbroja dvaju kutova 41/50

Geometrijske konstrukcije Točka je konstruirana ako je dobivena kao presjek dvaju pravaca, pravca i kružnice ili dviju kružnica. Riješiti konstruktivni zadatak znači svesti ga na ove tri konstrukcije. Pravac je konstruiran, ako su konstruirane njegove dvije točke. Trokut je konstruiran ako su konstruirana njegova tri vrha. Kružnica je konstruirana ako je njeno konstruirano središte i bilo koja njena točka. 42/50

Geometrijske konstrukcije Koraci Analiza Konstrukcija Dokaz valjanosti konstrukcije Diskusija 43/50

Geometrijske konstrukcije Metode 1. Metoda presjeka skupova točaka (GMT) 2. Metoda geometrijskih transformacija (translacija,simetrija, rotacija, homotetija, sličnost, inverzija, kontrakcija) 3. Metoda pomoćnih likova 4. Algebarska metoda (algebarski se odredi veličina pomoću koje se rješava konstrukcija) 44/50

Geometrijske konstrukcije Zaboravljene? Korisne Primjer (Premjeravanje zemljišta) Za dodatni rad učenika 45/50

Geometrija i računalo Programi dinamičke geometrije. Razni alati Internet Računalo koristiti mudro. U ključnom trenutku Vješto Ne pretjerano 46/50

Projektni zadaci, istraživački rad Zlatni rez Broj π (Dan broja pi) Kvadratura kruga, duplikacija kocke, trisekcija kuta Fraktalna geometrija Verižni razlomci Spirala drugog korijena 47/50

Matematičar svih vremena ARHIMED Noli turbare circulos meos. Ne dirajte moje krugove. 48/50

Sudbina može čovjeka posaditi u zlatna kola, ali ako ih on ne umije goniti, neće se ni smjesta maknuti. Hadis 49/50

Hvala na pozornosti. 50/50