Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Prostori nizova c 0 i l p Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan -Dorđević Stu

Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Prostori nizova c 0 i l p Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan -Dorđević Student: Jelena Mosić Niš, 2016.

SADRŽAJ 2 Sadržaj 1 Uvod 3 2 Osnovni rezultati funkcionalne analize 4 2.1 Han-Banahova teorema.......................... 5 2.2 Teorema o otvorenom preslikavanju................... 6 2.3 Teorema o zatvorenom grafiku...................... 6 2.4 Teorema o uniformnoj ograničenosti................... 7 2.5 Refleksivnost............................... 7 3 Osnovna svojstva prostora c 0 i l p 8 4 Slabe topologije 18 4.1 Slabe topologije na normiranom prostoru X.............. 18 4.2 Slaba kompaktnost skupova i operatora................. 21 5 Baze i bazni nizovi 23 5.1 Šauderove baze.............................. 23 5.2 Ekvivalencija baza i baznih nizova.................... 27 5.3 Konstrukcija baznih nizova........................ 33 5.4 Eberlajn-Šmulianova teorema...................... 36 6 Prostori nizova c 0 i l p 38 6.1 Izomorfna struktura prostora l p i c 0................... 38 6.2 Komplementarni potprostori u l p (1 p < ) i c 0........... 41 6.3 Prostor l 1................................. 44 6.4 Konvergencija redova........................... 46 6.5 Komplementarnost prostora c 0...................... 51 Literatura 54 Biografija 56

Glava 1 Uvod U ovom radu bavićemo se pitanjem sledećeg tipa: kada možemo za date Banahove prostore X i Y da kažemo da su izomorfni, ili, kada je X izomorfan potprostoru prostora Y? Konkretno, izučavaće se klasični Banahovi prostori c 0, l p, (1 p ). Radi lakšeg razumevanja strukture potprostora Banahovih prostora, u radu će biti izložena i tehnika korišćenja Šauderove baze i baznih nizova. U drugoj glavi biće izloženi osnovni rezultati funkcionalne analize, dok će u četvrtoj glavi biti navedeni osnovni pojmovi i rezultati vezani za slabe topologije na normiranim prostorima. U trećoj glavi bavićemo se nekim svojstvima nizovnih prostora c 0 i l p, (1 p ) koja će kasnije biti neophodna za dalje izučavanje strukture pomenutih prostora. U petoj glavi biće predstavljen alat za korišćenje Šauderove baze i baznih nizova definisanih na Banahovim prostorima, koji će olakšati izučavanje strukture prostora c 0 i l p, (1 p ) u šestoj glavi. Zahvaljujem mentoru, prof. dr. Draganu S. -Dorđević na ukazanoj pomoći pri izradi master rada. 3

Glava 2 Osnovni rezultati funkcionalne analize Sa K ćemo označiti polje relanih brojeva R ili polje kompleksnih brojeva C. Ako su X i Y normirani prostori nad istim poljem skalara K, sa L(X, Y ) ćemo obeležavati skup svih linearnih operatora sa prostora X u prostor Y, a sa B(X, Y ) skup svih linearnih ograničenih operatora sa prostora X u prostor Y. Skup svih linearnih ograničenih operatora sa prostora X u polje skalara K (skup svih linearnih ograničenih funkcionala), tj. dualni prostor prostora X, označavaćemo sa X. Poznato je da ako je X normiran prostor, a Y Banahov prostor, onda je i B(X, Y ) Banahov prostor, pa je i za svaki normiran prostor X, dualni prostor X Banahov. Pod izomorfizmom između dva normirana prostora X i Y ćemo podrazumevati operator T koji je bijekcija i neprekidno preslikavanje čiji je inverz T 1 takođe neprekidan. Dakle, izomorfizam između dva normirana prostora predstavljaće linearni homeomorfizam. Operator T : X Y je izomorfizam ako i samo ako je T preslikavanje "na" i postoje pozitivne konstante c, C takve da je c x X T x Y C x X. za svako x X. U tom slučaju za prostore X i Y kažemo da su izomorfni i pišemo X Y. Ako još važi i da je T x Y = x X za svako x X, onda za T kažemo da je izometrički izomorfizam. Za operator T kažemo da je utapanje iz X u Y ako je T izomorfizam na svoju sliku T (X). U tom slučaju kažemo da se X utapa u Y, ili da Y sadrži izomorfnu kopiju prostora X. Ako je operator T : X Y utapanje takvo da je T x Y = x X za svako x X, onda za T kažemo da je izometričko utapanje. Teorema 1. (egzistencija inverznog operatora): Neka je X Banahov prostor. Pretpostavimo da je operator T B(X) takav da je I X T < 1. Tada je operator T invertibilan i njegov inverz je dat sa T 1 (x) = lim (I X + (I X T ) + (I X T ) 2 +... + (I X T )n)(x), x X. Teorema 2. (ekstenzija operatora po gustini): Neka je M gust potprostor normiranog prostora X, Y Banahov prostor, i T : M Y ograničen operator. Tada postoji jedinstven ograničen operator T : X Y takav da je T M = T i 4

Osnovni rezultati funkcionalne analize 5 T = T. Štaviše, ako je T izomorfizam ili izometrički izomorfizam, onda je takav i operator T. Za ograničen linearan operator P : X X kažemo da je projektor ako važi P 2 = P, tj, P (P (x)) = P (x), za svako x X. Za potprostore M i N vektorskog prostora X kažemo da su algebarski komplementi ako je X = M N. Ako je X normiran prostor, i potprostori M i N zatvoreni algebarski komplementi, onda za M i N kažemo da su topološki komplementi. Potprostor M normiranog prostora X je komplementaran ako postoji neki njegov topološki komplement (dakle, samo zatvoreni potprostori mogu biti komplementarni). Teorema 3. Neka je M zatvoren potprostor Banahovog prostora X. M je komplementaran potprostor, tj. postoji zatvoren potprostor N u X takav da je X = M N ako i samo ako postoji projektor P B(X) takav da je R(P ) = M. Teorema 4. Neka je Y zatvoren potprostor Banahovog prostora X. Ako je Y komplementaran u X onda će dualni prostor Y prostora Y biti izomorfan komplementarnom potprostoru u X. 2.1 Han-Banahova teorema Teorema 5. (Han-Banah(verzija za normiran prostor): Neka je X normiran prostor nad realnim ili kompleksnim poljem K, i neka je Y potprostor u X. Ako je y Y, tada postoji funkcional x X takav da je y = x i y (s) = x (s), za svako s Y. Posledica 1. Neka je x 0 element normiranog prostora X i x 0 0. Tada postoji funkcional x X takav da je x = 1 i x (x 0 ) = x 0. Teorema 6. (Separaciona teorema za zatvorene potprostore): Neka je Y zatvoren potprostor normiranog prostora X, i neka je x X\Y. Tada postoji funkcional x X takav da je x = 1, x (x) = d(x, y) = inf{ x y : y Y } i x (y) = 0 za svako y Y. Teorema 7. Neka je X normiran prostor i x, y X, x y. Tada postoji funkcional x X takav da je x (x) x (y). Posledica 2. Neka je X normiran prostor. Tada za svako x X važi x = sup{ x (x) : x X, x 1}.

Osnovni rezultati funkcionalne analize 6 2.2 Teorema o otvorenom preslikavanju Za preslikavanje A iz vektorskog prostora X u vektorski prostor Y kažemo da je otvoreno ako je A(V ) otvoren skup u Y za svaki otvoren skup V iz X. Teorema 8. (Teorema o otvorenom preslikavanju): Neka su X i Y Banahovi prostori i T : X Y ograničen linearan operator. (i) Ako je δb Y = {y Y : y < δ} T (B X ) za neko δ > 0, onda je T otvoreno preslikavanje. (ii) Ako je T i preslikavanje "na", onda uslov (i) važi. Svaki ograničen surjektivan operator sa Banahovog prostora na Banahov prostor je otvoren. Teorema 9. (Teorema o ograničenom inverzu): Neka su X i Y Banahovi prostori i A B(X, Y ). Ako je preslikavanje A "1-1" i "na", tada postoji A 1 i A 1 B(Y, X). Posledica 3. Neka su (X, 1 ) i (X, 2 ) Banahovi prostori. Ako postoji realan broj a > 0 takav da je x 2 a x 1, za svako x X, tada su norme 1 i 2 ekvivalentne. 2.3 Teorema o zatvorenom grafiku Definicija 1. Neka su X i Y normirani prostori nad istim poljem skalara K, i T : D(T ) Y linearan operator sa domenom D(T ) koji je potprostor u X. Grafik operatora T, G(T ), je skup G(T ) = {(x, T x) : x D(T )}. Kaže se da je operator T zatvoren ako je grafik operatora T zatvoren podskup u X Y. Primetimo da je linearan operator T : D(T ) Y zatvoren ako i samo ako za x n D(T ), n = 1, 2,..., važi lim x n = x i lim T x n = y = x D(T ) i T x = y. Teorema 10. (Teorema o zatvorenom grafiku): Neka su X i Y Banahovi prostori i A linearan operator iz X u Y. Ako je grafik operatora A zatvoren podskup u X Y, tada je A ograničen operator.

Osnovni rezultati funkcionalne analize 7 2.4 Teorema o uniformnoj ograničenosti Teorema 11. (Princip uniformne ograničenosti): Neka je J indeksni skup proizvoljne kardinalnosti, X Banahov prostor, Y normiran prostor, i (T j ) j J familija ograničenih linearnih operatora iz X u Y. Ako je sup{ T j x : j J} < za svako x X, tada je sup{ T j : j J} <. Posledica 4. Neka je (T n ) niz ograničenih linearnih operatora iz Banahovog prostora X u normiran prostor Y takav da T x = lim T x n postoji za svako x X. Tada je i T ograničen linearan operator. Teorema 12. Neka je (S n ) niz operatora iz Banahovog prostora X u normiran prostor Y takav da je sup S n <. Tada je, za proizvoljan operator T : X Y, potprostor zatvoren po normi u X. 2.5 Refleksivnost n {x X : S n x T x 0} Svaki normiran prostor X se može identifikovati (tj. postoji izometrički izomorfizam) sa potprostorom X drugog dualnog prostora X (X ) normiranog prostora X. Teorema 13. Neka je X normiran prostor. Tada je X izometrički izomorfan sa potprostorom X biduala X. Definicija 2. Za normiran prostor X kažemo da je refleksivan ako za svaki element x X biduala X prostora X postoji x X tako da je ( f X )x (f) = f(x). Dakle, za normiran prostor X kažemo da je refleksivan ako je kanoničko preslikavanje j : X X definisano sa j(x) = x, gde je x X i x (f) = f(x), f X, izometrički izomorfizam. Ako je normiran prostor X refleksivan, tada je X izomorfan (i izometričan) sa X, ali ako je X izometričan sa X, onda X ne mora biti refleksivan prostor. Posledica 5. Svaki refleksivan prostor je kompletan (dakle, Banahov prostor). Teorema 14. Ako je dualni prostor X normiranog prostora X separabilan, tada je i prostor X separabilan. Napomena 1. Obrat prethodne teoreme u opštem slučaju ne važi. Prostor l 1 je separabilan, a njegov dual, l, nije separabilan prostor, što ćemo kasnije i videti. Teorema 15. Normiran prostor X je refleksivan ako i samo ako je dualni prostor X refleksivan. Teorema 16. Svaki zatvoren potprostor Y refleksivnog prostora X je refleksivan prostor.

Glava 3 Osnovna svojstva prostora c 0 i l p Neka je p 1. Označimo sa l p skup svih nizova (realnih ili kompleksnih) x = (ξ n ) za koje red ξ n p konvergira, l p = {x = (ξ n ) : ξ n p <, ξ n K, n N}. Za x l p stavimo da je x p = ( ξ n p ) 1 p. Lema 6. Za p, q > 1 takve da je 1 p + 1 q = 1 i za a, b 0 važi: ab ap p + bq q. Dokaz. Neka je ϕ(t) = t p /p + t q /q za t > 0. Tada je ϕ (t) = (t p+q 1)/t q+1. Odavde sledi da je ϕ (t) < 0 za t (0, 1) i ϕ (t) > 0 za t > 1. Dakle, funkcija ϕ ima apsolutni minimum u tački t = 1, odnosno ϕ(t) ϕ(1) = 1 za svako t > 0. Neka je t = a 1/q b 1/p. Tada je odnosno (a 1/q b 1/p ) p p + (a1/q b 1/p ) q q ab ap p + bq q. 1, Teorema 17. (Helderova nejednakost za redove): Neka je p > 1, a = (a n ) l p, b = (b n ) l q, gde je 1 p + 1 q = 1. Tada c = (a nb n ) l 1 i važi a n b n ( a n p ) 1 p ( b n q ) 1 q. Dokaz. Ako je x = 0 ili y = 0 nejednakost očigledno važi. Pretpostavimo da je a 0 i b 0, i neka je 8

Osnovna svojstva prostora c 0 i l p 9 a k A k =, B k =, k N. ( a i p ) 1 p ( b i q ) 1 q Pokažimo da za svako n N važi a k b k ( a k p ) 1 p ( b k q ) 1 q što je ekvivalentno sa Primetimo da je A k B k 1. A k p = 1, b k B k q = 1 Primenjujući nejednakost dokazanu u Lemi 6. na A k i B k imamo da je A k B k A k p + B k q, za svako k N, odakle sledi p q A k B k 1 A k p + 1 B k q. p q Kako poslednja nejednakost važi za svako n N, to prelaskom na graničnu vrednost kada n teži beskonačnosti sledi tvrđenje. Teorema 18. (Nejednakost Minkovskog za redove): Ako je p 1, a = (a n ) l p, b = (b n ) l p onda a + b l p i važi ( a n + b n p ) 1 p ( a n p ) 1 p + ( b n p ) 1 p. Dokaz. Kada je a = 0 ili b = 0 nejednakost očigledno važi. Pretpostavimo da je a 0 i b 0. Na osnovu Leme 6. za svako n N važi a k + b k p = a k + b k a k + b k p 1 a k a k + b k p 1 + b k a k + b k p 1 ( a k p ) 1 p ( a k + b k q(p 1) ) 1 q + ( b k p ) 1 p ( a k + b k q(p 1) ) 1 q. Kako je q(p 1) = p, ( a k p ) 1 p a p i ( b k p ) 1 p b p, sledi da je 1 1 = 1, pa sledi da je q p a k + b k p ( a p + b p )( a k + b k p ) 1 q.

Osnovna svojstva prostora c 0 i l p 10 ( a k + b k p ) 1 p a p + b p. Poslednja nejednakost važi za svako n N, pa zbog toga a + b l p i a + b p a p + b p. Teorema 19. Skup l p je Banahov prostor za svaki p [1, ). Dokaz. Očigledno je x p 0 za svako x l p i x = 0 akko je x = 0. Takođe, ako je x l p i λ K, očigledno je λx l p i λx p = λ x p. Na osnovu nejednakosti Minkovskog za svaki x, y l p važi da x + y l p i x + y p x p + y p, pa je l p normiran vektorski prostor. Pokažimo sada da je l p Banahov prostor. Neka je (x n ) Košijev niz u l p, x n = (ξ (n) k ), n N i neka je ɛ > 0. Postoji broj n 0 N takav da za svako m, n N važi n, m n 0 ξ (n) k ξ (m) k x n x m p Dakle, za svaki k N niz (ξ (n) k ) je Košijev u K, pa postoji ξ k = lim k N, i neka je x = (ξ k ). Za svaki k N imamo da je n, m n 0 a odavde kada m sledi da je n n 0 k j=1 k j=1 ξ (n) j ξ (m) j p ɛ p, ξ (n) j ξ j p ɛ p, odakle zbog proizvoljnosti broja k sledi konvergencija reda j=1 ξ (n) k ξ (n) j, za svaki ξ j p. Dakle x n x l p za n n 0 pa i x = x n (x n x) l p za n n 0, jer je l p vektorski prostor. Kako za n n 0 sledi x n x p ɛ to je x = lim x n po normi prostora l p. Definicija 3. Niz (b n ) u normiranom prostoru X se naziva topološka baza za X ako za svaki x X postoji jedinstven niz skalara (λ n ) takav da važi x = λ n e n (pri čemu se ovde podrazumeva konvergencija navedenog reda po normi prostora X). U prostorima l p, 1 p < posebnu ulogu imaju vektori e 1 = (1, 0, 0,...), e 2 = (0, 1, 0,...),..., e n = (0,..., 0, 1, 0,...),... e n je niz čiji je je n-ti član jednak 1, dok su svi ostali članovi jednaki 0. Očigledno, e n l p za svaki 1 p <. Za proizvoljan vektor x = (ξ i ) l p, 1 p < imamo x ξ i e i p = (0,..., 0, ξ n+1, ξ n+2,...) p = ( ξ i p ) 1 p. i=n+1

Osnovna svojstva prostora c 0 i l p 11 Odavde, i iz konvergencije reda što implicira da red ξ i p zaključujemo da je lim x ξ i e i p = 0, ξ i e i konvergira u l p ka vektoru x. Dakle, svaki vektor x l p ima jedinstven prikaz oblika x = ξ i e i, pa je (e i ) topološka baza u prostoru l p (1 p < ). Definicija 4. Za topološki bazu (e i ) prostora l p, 1 p < kažemo da je kanonska baza u l p. Teorema 20. Ako je (e i ) topološka baza u Banahovom prostoru X, onda za svaki funkcional a X važi a (x) = a (e i )ξ i, x = ξ i e i. (3.1) Dokaz. Zbog neprekidnosti linearnog funkcionala a imamo da je a (x) = a ( lim ξ i e i ) = lim a (e i )ξ i. Označimo sa l skup svih ograničenih nizova (realnih ili kompleksnih), odnosno l = {x = (ξ n ) : ξ n K, n N, sup ξ n < }. Za x l stavimo da je n N x = sup ξ n n N Teorema 21. Skup l je Banahov prostor. Dokaz. Pokažimo, najpre, da je l vektorski prostor i da je norma na l. Očigledno je x 0 za svako x l i x = 0 akko je x = 0. Dalje, za x l i λ K očigledno je λx l i λx = λ x. Neka su x, y l, x = (ξ n ), y = (η n ). Za svaki n N važi x + y = sup k N ξ k + η k sup k N ( ξ k + η k ) sup k N ξ k + sup η k = x + y k N odakle sledi x + y l (l je vektorski prostor) i x + y x + y ( je norma na l ) Pokažimo sada da je l Banahov prostor. Neka je (x n ) Košijev niz u l. Za bilo koje ɛ > 0 postoji n 0 N takvo da za svako m, n N važi

Osnovna svojstva prostora c 0 i l p 12 odakle sledi n, m n 0 x n x m = sup ξ (n) k ξ (m) k < ɛ, k N k N, (n, m n 0 ) ξ (n) k ξ (m) k < ɛ, tj. za svaki k N je (ξ (n) k ) Košijev niz u K. Neka je ξ k = lim ξ (n) k i x = (ξ k ). Kada u prethodnom izrazu pustimo da m imamo da za svaki k N, pa odatle sledi n n 0 ξ (n) k ξ k ɛ, n n 0 sup ξ (n) k ξ k ɛ. k N Dakle, za svaki n n 0 niz z n = (ξ (n) k ξ k ) = x n x l, pa je x = x n z n l jer je l vektorski prostor. Kako je x n x ɛ za n n 0, to je x = lim x n po normi u l. Definicija 5. Normiran prostor X je separabilan ako postoji prebrojiv podskup S u X koji je gust u X, tj. ako postoji S X takav da za svako ɛ > 0 i svaki vektor x X postoji bar jedan vektor s S takav da je x s < ɛ. Teorema 22. Prostor l p, 1 p < je separabilan. Dokaz. Neka je x = (ξ k ) l p i ɛ > 0. Na osnovu konvergencije reda da postoji n N takvo da je k=n+1 ɛ ξ k p sledi ξ k p < ɛp. Za svako k N postoji racionalan broj 2 r k sa svojstvom ξ k r k <. Neka je r = (r (2n) 1/p 1, r 2,..., r n, 0, 0,...). Očigledno, r l p. Tada je r k ξ k p = r k ξ k p + ξ k p < ɛp 2n n + ɛp 2 = ɛp. k=n+1 Neka je M = {y = (η k ) l p : η k Q i postoji n N tako da je η k = 0 za svako k n}. Tada je M l p. Dakle, za svako ɛ > 0 i za svako x l p postoji r M tako da je x r p < ɛ. Dakle, M je gust u l p. Skup M je očigledno i prebrojiv, pa je l p separabilan prostor. Teorema 23. Prostor l nije separabilan. Dokaz. Označimo sa L skup svih nizova x = (ξ k ) sa svojstvom ξ k = 0 ili ξ k = 1. Očigledno, x l. Kardinalni broj skupa L je 2 ℵ 0 = c, odnosno skup L je neprebrojiv. Ako je x, y L i x y tada je x y = 1. Dakle, K(x, 1) 3 K(y, 1) L =. Neka je S proizvoljan skup koji je gust u l 3. Tada ovaj skup u svakoj kugli K(x, 1 ), x L mora imati bar jednu tačku. Skup L je neprebrojiv, 3 odakle sledi da je i skup S neprebrojiv. Dakle, l nije separabilan prostor. Teorema 24. Prostori l 1 i l su izometrički izomorfni.

Osnovna svojstva prostora c 0 i l p 13 Dokaz. Za kanonsku bazu (e i ) prostora l 1 i za a l 1 važi (3.1). Stavimo da je α i = a (e i ) i sa a označimo niz (α i ). Ako je α i 0, onda za vektor x n = (sign α n )e n imamo a (x n ) = (sign α n )α n = α n i x n 1 = 1, pa zaključujemo da je α n = a (x n ) a x n = a. Odavde je sup{ α n : n N} a, pa sledi da je a = (α i ) ograničen niz, tj. a l, i a a. Kako je a odavde je pa je, dakle, α i ξ i α i ξ i a ξ i sledi α i ξ i a ξ i a x 1, a (x) = lim α i ξ i a x 1, a a. Pokazali smo da je a a i a a, pa je a = a. (3.2) Na taj način dolazimo do preslikavanja ϕ : l 1 l koje elementu a l 1 pridružuje element a = (a (e i )), tj. Preslikavanje ϕ je linearno: ϕ(a ) = (a (e 1 ), a (e 2 ),...). ϕ(λa + b ) = ((λa + b )(e 1 ), (λa + b )(e 2 ),...) = (λa (e 1 ) + b (e 1 ), λa (e 2 ) + b (e 2 ),...) = λ(a (e 1 ), a (e 2 ),...) + (b (e 1 ), b (e 2 ),...) = λϕ(a ) + ϕ(b ). Iz (3.2) sledi da je ϕ izometrija. Pokažimo sada da je ϕ surjektivno preslikavanje. Za niz b = (β i ) l i svaki niz x = (ξ i ) l 1 iz β i ξ i b x 1 zaključujemo da je sa f(x) = β i ξ i, x l 1 (3.3) dat ograničen linearan funkcional na l 1. Za taj funkcional važi ϕ(f) = (f(e 1 ), f(e 2 ),...) = (β 1, β 2,...) = b.

Osnovna svojstva prostora c 0 i l p 14 Dakle, za svaki ograničen niz (β i ) sa (3.3) je dat ograničen linearan funkcional na prostoru l 1. Svaki ograničen linearan fukcional na l 1 ima prikaz oblika (3.3), i kažemo da je sa (3.3) dat opšti oblik ili analitički prikaz ograničenog linearnog funkcionala na prostoru l 1. Kako su normirani prostori l 1 i l izometrički izomorfni, i l 1 je Banahov prostor, to je i l Banahov prostor. U tom smislu prostore l 1 i l identifikujemo i kažemo da je l dualan prostor prostoru l 1 i pišemo l 1 = l. Primetimo da l nije separabilan prostor iako je prostor l 1 separabilan, dakle, dualan prostor separabilnog prostora ne mora biti separabilan. Teorema 25. Prostori l p i l q (1 < p, q <, 1 p + 1 q = 1) su izometrički izomorfni. Dokaz. Za kanonsku bazu (e i ) i za svaki neprekidan linearan funkcional a l p važi (3.1). Stavimo α i = a (e i ) i a = (α 1, α 2,...). Za vektor x n = (sgn α i ) α i q 1 e i prostora l p imamo da je Odavde je Dakle, red x n p = ( a (x n ) = α i p(q 1) ) 1 p = ( α i q ) 1 p, α i q, a (x n ) a x n p. α i q a ( α i q ) 1 p ( α i q ) 1 q a. α i q konvergira, niz a = (α i ) pripada prostoru l q i a q a. Za x = (ξ i ) l p i a = (α i ) l q na osnovu (3.1) primenom Helderove nejednakosti dobijamo a (x) ( α i q ) 1 q ( ξ i p ) 1 p = a q x p, odakle sledi da je a a q. Dakle, imamo da je a = a q. Odavde sledi da je sa ϕ(a ) = (a (e 1 ), a (e 2 ),...) definisano izometričko linearno preslikavanje iz prostora l p u prostor l q. Sa druge strane, za b = (β i ) iz l q i svaki x = (ξ i ) l p pomoću Helderove nejednakosti zaključujemo da red β i ξ i konvergira. Tada je sa f(x) = β i ξ i, x l p (3.4) definisan linearan funkcional na l p za koji važi f(x) b q x p. Dakle, f l p i

Osnovna svojstva prostora c 0 i l p 15 ϕ(f) = (f(e 1 ), f(e 2 ),...) = (β 1, β 2,...) = b. Dakle, za svaki element b = (β i ) l q sa (3.4) je dat ograničen linearan funkcional na l p. Sa (3.4) je dat opšti oblik ograničenog linearnog funkcionala na prostoru l p, odnosno, za niz (β i ) iz l q sa (3.4) je definisan element f l p, i svaki element iz l p se dobija na taj način. Prostore l p i l q (1 < p, q <, 1 + 1 = 1) možemo da identifikujemo, kažemo p q da je l q dual prostora l p i pišemo l p = l q. Dobijamo da je drugi dual za l p, l p = (l p) = (l q ), ponovo l p. Teorema 26. Prostor l p, 1 < p < je refleksivan. Dokaz. Neka je x l p proizvoljan, i označimo sa ϕ izometrički izomorfizam iz l p na l q definisan sa ϕ(f) = (f(e 1 ), f(e 2 ),...). Tada je x ϕ 1 l q, pa postoji niz x = (γ i ) l p takav da je (x ϕ 1 )(y) = γ i η i, y = (η i ) l q. Za f l p imamo y = ϕ(f) l q, pa je x (f) = (x ϕ 1 )(y) = Dakle, prostor X je refleksivan. γ i η i = Teorema 27. Prostor l 1 nije refleksivan. γ i f(e i ) = f(x). Dokaz. Prostor l 1 je separabilan, a l nije separabilan prostor. Kako su prostori l 1 i l izometrički izomorfni, to ni prostor l 1 nije separabilan. Ako bi prostor l 1 bio refleksivan, onda bi, očigledno, prostor l 1 bio separabilan, pa bi na osnovu Teoreme 14. i l 1 bio separabilan prostor, što nije moguće. Označimo sa c 0 skup svih nizova (realnih ili kompleksnih) koji konvergiraju broju 0, tj. c 0 = {(ξ n ) : ξ n K, n N, lim ξ n = 0}. Za x c 0 stavimo da je da je x = sup ξ n. n Očigledno važi c 0 l. Ako je p 1 i ξ n p konvergentan brojni red, tada je lim ξ n = 0, pa važi i l p c 0. Nije teško uočiti da je c 0 zatvoren potprostor prostora l. Kako je l Banahov prostor, to je i c 0, kao zatvoren potprostor od l, takođe Banahov prostor. Teorema 28. Prostor c 0 je separabilan.

Osnovna svojstva prostora c 0 i l p 16 Dokaz. Neka je M = {y = (η n ) n c 0 : η n Q, i postoji m N takvo da je η n = 0, za svako n m}. Pokažimo da je skup M gust u c 0. Neka je x = (ξ n ) c 0 i ɛ > 0 proizvoljno. Kako je lim ξ n = 0, to postoji n 0 N takvo da je ξ n ɛ za svako n n 0. Za svako k {1, 2,..., n 0 } postoji r k Q takav da je x k r k < ɛ n 0. Neka je r = (r 1, r 2,..., r n0, 0, 0,...). Očigledno, r M. Tada je ɛ x r = sup ξ n r n ξ 1 + r 1 + ξ 2 + r 2 + + ξ n0 r n0 n 0 = ɛ. n n 0 Dakle, M je gust u c 0. Skup M je očigledno i prebrojiv, pa je c 0 separabilan prostor. Nije teško ustanoviti da je (e i ) topološka baza i prostora c 0, pa ćemo je takođe nazvati kanonskom bazom prostora c 0. Teorema 29. Prostori c 0 i l 1 su izometrički izomorfni. Dokaz. Za kanonsku bazu (e i ) prostora c 0 i za neprekidan linearan funkcional a c 0 važi (3.1). Označimo sa a niz (α i ), gde je α i = a (e i ). Za vektor x n = (sgnα i )e i prostora c 0 imamo da je kao i pa je odnosno a (x n ) = x n c0 = sup α i = 1 1 i n sgn(α i )a (e i ) = sgn(α i )α i = a (x n ) a x n = a, α i a. α i, Kada u prethodnom izrazu pustimo da n, dobijamo da je Dakle, red α i a. α i konvergira, tj. a = (α i ) pripada prostoru l 1 i a 1 a. Za x = (ξ i ) c 0 i a = (α i ) l 1 na osnovu (3.1) imamo da je a (x) = ξ i α i ξ i α i sup ξ i α i = x c0 a 1 <, i N

Osnovna svojstva prostora c 0 i l p 17 odakle sledi da je a a 1. Pokazali smo da je a 1 a, i iz a a 1 sledi da je a = a 1. (3.5) Na ovaj način dolazimo do preslikavanja ϕ : c 0 l 1 koje vektoru a c 0 pridružuje vektor a = (a (e i )), tj. ϕ(a ) = (a (e 1 ), a (e 2 ),...). Nije teško proveriti da je ϕ linearno preslikavanje, i iz (3.5) sledi da je ϕ izometrija. Pokažimo još da je ϕ surjektivno preslikavanje. Za b = (β i ) l 1 i za svaki vektor x = (ξ i ) c 0 iz zaključujemo da je sa β i ξ i sup ξ i i N β i = x c0 β i 1 f(x) = β i ξ i, x = (ξ i ) c 0 (3.6) dat ograničen funkcional na c 0. Za takav funkcional važi ϕ(f) = (f(e 1 ), f(e 2 ),...) = (β 1, β 2,...) = b. Dakle, za svaki vektor b = (β i ) l 1 sa (3.6) je dat ograničen linearan funkcional na c 0. Sa (3.6) je dat opšti oblik ograničenog linearnog funcionala na c 0 Prostore c 0 i l 1 možemo da identifikujemo, kažemo da je c 0 dual prostora l 1, i pišemo c 0 = l 1. Na osnovu ranije pokazanog imamo da je c 0 = (c 0) = l 1 = l. Teorema 30. Prostor c 0 nije refleksivan. Dokaz. Prostor l nije separabilan. Kako su prostori c 0 i l 1 izometrički izomorfni, i prostori l 1 i l izometrički izomorfni, to su prostori c 0 i l izometrički izomorfni prostori. Ako bi prostor c 0 bio refleksivan, onda bi prostor c 0 bio separabilan, pa bi i prostor l bio separabilan, što nije tačno. Kako je svaki zatvoren potprostor refleksivnog prostora takodje refleksivan, i kako je c 0 nerefleksivan zatvoren potprostor prostora l, to ni l ne može biti refleksivan prostor.

Glava 4 Slabe topologije 4.1 Slabe topologije na normiranom prostoru X Posmatrajmo Banahov prostor X. X je kompletan normiran metrički prostor sa metrikom d(x, y) = x y, x, y X. Svaki metrički prostor je ujedno i topološki prostor, pri čemu je baza topologije familija svih otvorenih kugli u X. Te kugle su definisane metrikom, odnosno zadatom normom na X, pa čemo topologiju indukovanu tom normom još nazivati i jakom topologijom na X. Definicija 6. Neka je X normiran prostor. Najmanja topologija na X u odnosu na koju su svi funkcionali x X neprekidni naziva se slaba topologija na X. Ovu topologiju označavamo sa σ(x, X ). Oznake topoloških pojmova vezanih za slabu topologiju na normiranom prostoru obično se dopunjuju simbolom ω. Npr. sa S ω označavamo zatvorenje skupa u slaboj topologiji σ(x, X ) Bazu slabe topologije na normiranom prostoru X čine skupovi oblika V ɛ (x 0 ; f 1, f 2,..., f n ) = {x X : f i (x) f i (x 0 ) < ɛ}, za proizvoljno ɛ > 0 i proizvoljne f 1, f 2,..., f n X. Lema 7. Slaba topologija je Hausdorfova topologija. Definicija 7. Za niz (x n ) n N vektora normiranog prostora X kažemo da slabo konvergira ka vektoru x 0 X ako za svaki funkcional f X niz (f(x n )) n N konvergira ka f(x 0 ), tj. i pišemo x = w lim x n ili x n w x. lim f(x n) = f(x), za svaki f X, Uobičajenu konvergenciju po normi prostora X nazivaćemo jos i jakom konvergencijom. 18

Slabe topologije 19 Teorema 31. Slabi limes niza je, ako postoji, jedinstven. Jaka konvergencija povlači slabu. U opštem sučaju, slaba konvergencija ne povlači jaku konvergenciju. Teorema 32. Neka je X konačno-dimenzionalan normiran prostor. Niz (x n ) n N konvergira jako ka x X ako i samo ako konvergira slabo ka x X. Primere nizova koji konvergiraju slabo, ali ne i jako, treba tražiti u beskonačnodimenzionalnim prostorima, ali i tu ima izuzetaka. Na prostoru l 1 ove dve konvergencije su ekvivalentne. Primer 1. Posmatrajno standardne jedinične vektore e n, n N u l. Pokažimo da je w lim e n = 0. Pretpostavimo suprotno, da postoji f l takav da f(e n ) 0. Dakle, postoji ɛ > 0 tako da je f(e n ) ɛ za beskonačno mnogo n N, pa možemo konstrisati podniz (e mn ) n N takav da je f(e mn ) ɛ, za svaki n N. Nađimo brojeve a n modula 1 za koje je a n f(e mn ) = f(e mn ) i posmatrajmo x n = a k e mk, n N. Očigledno je x n = 1 i f(x n ) = a k f(e mk ) = što protivureči ograničenosti funkcionala f. f(e mk ) nɛ za proizvoljno n N, Primer 2. Posmatrajmo sada prostor l p, 1 < p < i kanonsku bazu (e n ) n N tog prostora. Ovaj niz nije Košijev jer je za m, n N, m n, e n e m p = p 2, pa nije konvergentan. Neka je f l p proizvoljan funkcional. Na osnovu reprezentacije linearnog funkcionala na l p, za proizvoljno n N je f(e n ) = e (n) i η i = η n, gde je (η i ) i N = y l q, za 1 + 1 p q to = 1. Kako opšti član konvergentnog redi teži nuli, f(e n ) = η n 0, n, pa posmatrani niz (e n ) n N slabo konvergira ka 0 u prostoru l p, 1 < p <. Teorema 33. Slabo konvergentan niz je uniformno ograničen po normi. Navedimo još neka elementarna svojstva slabe topologije na normiranom vektorskom prostoru X: Ako je X beskonačno-dimenzionalan prostor, onda je svaki neprazan slabo otvoren skup u X neograničen. Podskup S skupa X je ograničen po normi (jako ograničen) ako i samo ako je S slabo ograničen (odnosno, akko je {x (s) : s S} ograničen skup za svaki funkcional x X )

Slabe topologije 20 Ako je slaba topologija na X metrizabilna, onda je X konačno-dimenzionalan prostor. Ako je X beskonačno-dimenzionalan prostor, onda slaba topologija na X nije kompletna. Funkcional na X je neprekidan po normi (jako neprekidan) ako i samo ako je neprekidan u slaboj topologiji. Neka je T : X Y linearno preslikavanje. T je slabo neprekidno preslikavanje (neprekidno preslikavanje iz slabe topologije na X u slabu topologiju na Y ) ako i samo ako x T X za svaki funkcional x X. Linearno preslikavanje T : X Y je neprekidno po normi ako i samo ako je T slabo neprekidno preslikavanje. Teorema 34. (Mazur): Ako je S konveksan skup u normiranom prostoru X, onda se zatvorenje skupa S po normi topologije, S, poklapa sa S w, zatvorenjem skupa S u slaboj topologiji. Posledica 8. Ako je Y potprostor normiranog prostora X, onda je Y = Y w. Posledica 9. Ako je S proizvoljan podskup normiranog prostora X, onda je co(s) = co w (S). Posledica 10. Neka je (x n ) n N niz u normiranom prostoru X koji konvergira slabo N(k) ka x X. Tada postoji niz konveksnih kombinacija od x n, y k = λ i x i, k = 1, 2,... takav da y k x 0. Podsetimo se sada pojma slabe- topologije na dualnom prostoru X normiranog prostora X. Definicija 8. Neka je X normiran prostor. Slaba- (w*) topologija na X je najmanja topologija na X u odnosu na koju su svi funkcionali F iz X definisani sa F (f) = f(x), x X neprekidni. Ovu topologiju označavamo sa σ(x, X ) Podsetimo se još i da je preslikavanje j : X X definisano sa j(x) = x, gde x X i x (f) = f(x), f X, izometrički izomorfizam, pa u tom smislu možemo da identifikujemo X sa j(x) X Kao i slaba topologija, slaba- topologija je Hausdorfova topologija. Ako je prostor X refleksivan ( j(x) = X ), onda se slaba i slaba- topologija poklapaju, tj. σ(x, X ) = σ(x, X ) ako i samo ako je j(x) = X. Specijalno, ako je X konačno-dimenzionalan prostor, onda su jaka, slaba i slaba- topologija ekvivalentne. Bazu slabe- topologije čine skupovi oblika W ɛ (f 0 ; x 1, x 2,..., x n ) = {f X : f(x i ) f 0 (x i ) < ɛ, i = 1, 2,..., n}, za proizvoljno ɛ > 0 i proizvoljne x 1, x 2,..., x n X, zajedno sa praznim skupom. Konvergencija u slaboj- topologiji se uvodi na analogan način kao u slaboj topologiji. Kažemo da niz (f n ) n N X slabo- konvergira ka f 0 X, i pišemo i=k

Slabe topologije 21 f n w f 0, n, ako f n (x) f 0 (x) 0, n, za proizvoljno x X. Ako je X beskonačno-dimenzionalan prostor, onda je i X beskonačno-dimenzionalan prostor,a znamo da zatvorena jedinična kugla u beskonačno-dimenzionalnom prostoru nije kompaktan skup, pa neče biti kompaktna ni u X, kada je X beskonačnodimenzionalan normiran prostor. Teorema 35. (Banah-Aloglu): Neka je X normiran prostor. Tada je zatvorena jednična kugla B X = {x X : x 1} kompaktan skup u w* topologiji prostora X (w* kompaktan skup). Posledica 11. Zatvorena jedinična kugla {x X : x 1} refleksivnog normiranog prostora X je slabo kompaktan skup. Teorema 36. (Goldstin): Neka je X normiran prostor. Tada je B X w* gust skup u B X. Teorema 37. (Banah-Diudon): Neka je C konveksan podskup dualnog prostora X. Tada je C w- zatvoren skup ako i samo ako je C λb X w* zatvoren za svako λ > 0. Teorema 38. Neka su X i Y normirani prostori i neka je T : X Y linearan operator. (i) Ako je T neprekidan operator po normi, onda je njegov adjungovani operator T : Y X slabo- neprekidan. (ii) Ako je R : Y X slabo- neprekidan operator, onda postoji operator T : X Y neprekidan po normi takav da je T = R. Posledica 12. Neka su X i Y normirani prostori. Tada je svaki slabo- neprekidan linearan operator iz X u Y neprekidan operator po normi. Napomenimo da obrat prethodne teoreme u opštem slučaju ne važi. 4.2 Slaba kompaktnost skupova i operatora Za podskup A normiranog prostora X kažemo da je [relativno] slabo kompaktan ako je [slabo zatvorenje skupa A] skup A kompaktan u slaboj topologiji prostora X. Teorema 39. Ako je K slabo kompaktan skup u normiranom prostoru X, onda je K i jako zatvoren (zatvoren po normi) i jako ograničen (ograničen po normi) skup. Teorema 40. Neka je X Banahov prostor. Tada je B X slabo kompaktan skup ako i samo ako je X refleksivan prostor. Posledica 13. Neka je X refleksivan prostor. (i) Ako je A ograničen podskup u X, onda je A relativno slabo kompaktan skup.

Slabe topologije 22 (ii) Ako je A konveksan, ograničen, zatvoren po normi skup u X, onda je A slabo kompaktan skup. (iii) Ako je T : X Y neprekidan linearan operator, onda je T (B X ) slabo kompaktan skup u Y. Posledica 14. Podskup A Banahovog prostora X je relativno slabo kompaktan skup ako i samo ako je A ograničen po normi i σ(x, X ) zatvorenje od A u X je sadržano u A. Najvažniji rezultat o slaboj kompaktnosti skupova je Eberlajn-Šmulianova teorema koju ćemo dokazati u narednoj glavi i koja kaže da je ograničen skup A slabo kompaktan ako i samo ako svaki niz u A sadrži podniz koji slabo konvergira ka nekoj tački u A. Za ograničen linearan operator T : X Y kažemo da je slabo kompaktan ako je skup T (B X ) relativno slabo kompaktan, odnosno, ako je T (B X ) slabo kompaktan skup. Kako je svaki ograničen skup podskup nekog skupa koji sadrži jedinčnu kuglu, imamo da je operator T : X Y slabo kompaktan ako i samo ako slika ograničene skupove u slabo kompaktne skupove. Koristeći Eberlajn-Šmulianovu teoremu možemo još da zaključimo da je T : X Y slabo kompaktan operator ako i samo ako za svaki ograničen niz (x n ) n N X, niz (T (x n )) n N sadrži slabo konvergentan podniz. Teorema 41. (Gantmaher): Neka su X i Y Banahovi prostori i neka je T : X Y ograničen linearan operator. Tada: (i) T je slabo kompaktan ako i samo ako je rang njegovog bidualnog operatora T : X Y u Y, odnosno, ako i samo ako je T (X ) Y. (ii) T je slabo kompaktan ako i samo ako je njegov adjungovani operator T : Y X neprekidan iz slabe- topologije na Y u slabu topologiju na X. (iii) T je slabo kompaktan ako i samo ako je njegov adjungovani operator T slabo kompaktan. Nabrojimo još na osnovu izloženog i naredna opažanja: Neka je T : X Y operator. Ako su X ili Y refleksivni prostori, onda je T slabo kompaktan operator. Identičko preslikavanje na nerefleksivnom Banahovom prostoru nikada nije slabo kompaktno.

Glava 5 Baze i bazni nizovi U ovoj glavi uvešćemo pojam Šauderove baze Banahovog prostora i odgovarajući pojam baznog niza. Jedna od ključnih ideja u teoriji izomorfizama Banahovih prostora je korišćenje baza i baznih nizova kao alat za razumevanje razlika i sličnosti izmedju prostora. Sistematična upotreba baznih nizova koristi se za uprošćavanje klasičnih teorema, što ćemo ilustrovati Eberlajn-Šmulienovom teoremom na slabo kompaktnim podskupovima Banahovog prostora. 5.1 Šauderove baze Osnovna ideja funkcionalne analize je da kombinuje tehnike linearne algebre sa topološkim razmatranjima konvergencije. Stoga je prirodno pronaći način da se proširi pojam algebarske (Hamelove) baze na konačno-dimenzionalnim vektorskim prostorima. U Hilbertovim prostorima ortonormirane baze imaju veliku ulogu i koriste se kao alat u mnogim oblastima analize. Podsetimo se, ako je (e n ) ortonormirana baza Hilbertovog prostora H, onda za svaki x X postoji jedinstven niz skalara (a n ) dat sa a n = (x, e n ) takav da je x = a n e n Velika korist ortonormitnih baza potiče delimično iz činjenice da je relativno lako naći je. Svaki separabilan Hilbertov prostor ima ortonormiranu bazu. Procedura kao sto je Gram-Šmitov postupak daje laku konstrukciju jedne ortonormirane baze. Postoji nekoliko mogućih proširenja baznih ideja na Banahov prostor, ali je sledeća definija najkorisnija. Definicija 9. Niz elemenata (e n ) u beskonačno-dimenzionalnom Banahovom prostoru X je baza za X ako za svaki x X postoji jedinstven niz skalara (a n ) takav da je x = a n e n. 23

Baze i bazni nizovi 24 To znači da zahtevamo da niz ( N a n e n ) N=1 konvergira po normi ka x X. Jasno je, na osnovu definicije, da se baza sastoji od linearno nezavisnih, nenula vektora. Ako je (e n ) baza za X, to se zatvorenje lineala nad (e n ), [e n ], podudara sa X, pa je prostor X separabilan (racionalne konačne linearne kombinacije elemenata {e 1, e 2,..., e n } biće guste u X). Ne treba doći do zabune oko pojma baze na beskonačno-dimenzionalnom Banahovom prostoru sa algebarskim konceptom Hamelove baze ili baze vektorskog prostora. Hamelova baza (e i ) i I za X je skup linearno nezavisnih vektora u X takvih da je svaki x iz X na jedinstven način predstavljen kao konačna linearna kombinacija vektora (e i ) i. Nije teško zaključiti, na osnovu Berove teoreme o kategorijama, da ako je (e i ) i I Hamelova baza za beskonačno-dimenzionalan Banahov prostor X, onda ona mora biti neprebrojiva. Od sada, kada god koristimo pojam baza na beskonačno-dimenzionalnom prostoru X, biće to u smislu Definicije 9. Primetimo da ako je (e n ) baza Banahovog prostora X, onda su preslikavanja x a n linearni funkcionali na X. Označimo e # n (x) = a n. Očigledno, linearni funkcionali (e # n ) su neprekidni. Definicija 10. Neka je (e n ) niz u Banahovom prostoru X. Pretpostavimo da niz (e n) iz X zadovoljava: (i) e k (e j) = 1 ako je j = k, i e k (e j) = 0 inače, za svako k N, j N; (ii) x = e n(x)e n, za svaki x X. Tada (e n ) nazivamo Šauderovom bazom za X, a funkcionale (e n) biortogonalnim funkcionalima povezanim sa (e n ). Ako je (e n ) Šauderova baza za X i x = e n(x)e n X onda pod nosačem za x podrazumevamo skup svih prirodnih brojeva n takvih da je e n(x) 0 i obeležavamo ga sa supp(x). Ako je supp(x) < onda kažemo da je x konačno podupret. Ime Šauder u prethodnoj definiciji je u čast J.Schauder-a koji je prvi predstavio koncept baze 1927. godine. U praksi, svaka baza Banahovog prostora je Šauderova baza. Teorema 42. Neka je X (separabilan) Banahov prostor. Niz (e n ) u X je Šauderova baza za X ako i samo ako je (e n ) baza za X. Dokaz. Pretpostavimo da je (e n ) baza za X i posmatrajmo parcijalne sume projektora (S n ) n=0 pridružene (e n ) koji su definisani na sledeći način: S n (x) = S 0 = 0; e # k (x)e k, za n 1. Ne znamo da li su ovi operatori ograničeni. Posmatrajmo normu na X definisanu na sledeći način:

Baze i bazni nizovi 25 x = sup S n x. n 1 Kako je lim x S n x = 0 za svaki x X, sledi da je. Pokazaćemo da je (X, ) kompletan prostor. Neka je (x n ) Košijev niz u (X, ). Niz (x n ) konvergira po originalnoj normi ka nekom x X. Pokažimo da je lim x n x = 0. Primetimo da za svako fiksirano k niz (S k x n ) konvergira po originalnoj normi ka nekom y k X, kao i da je (S k x n ) sadržan u konačno-dimenzionalnom potprostoru [e 1,..., e n ]. Funkcionali e # j su neprekidni na svakom konačno-dimenzionalnom potprostoru, pa za 1 j k imamo da je Dalje, tvrdimo da je lim e# j (x n) = e # j (y k) := a j. a j e j = x po originalnoj normi. j=1 Za dato ɛ > 0, izaberimo n takvo da ako je m n onda je x m x n 1 3 ɛ, i biramo k 0 takvo da k k 0 implicira x n S k x n 1 3 ɛ. Tada, za svako k k 0 važi y k x lim m S kx m S k x n + S k x n x n + lim m x n x m ɛ, pa je lim k y k x = 0 i, na osnovu jedinstvenosti proširenja x u odnosu na bazu je S k x = y k. Sada imamo x n x = sup k 1 S k x n S k x lim sup m sup S k x m S k x n, k 1 pa je lim x n x = 0 i (X, ) je kompletan. Na osnovu Posledice 3. i su ekvivalentne norme, tj. postoji K > 0 takvo da je x K x za svaki x X. Zbog toga je Kako je sada S n x K x, x X, n N. e # n (x) e n = S n x S n 1 x 2K x, onda imamo da e # n X i e # n 2K e n 1. Obratno tvrdjenje je trivijalno. Neka je (e n ) baza Banahovog prostora X. Prethodna teorema nam govori da je, zapravo, (e n ) Šauderova baza, pa koristimo (e n) za biortogonalne funkcionale. Kao u teoremi, posmatramo parcijalne sume operatora S n : X X koji su definisani na sledeći način:

Baze i bazni nizovi 26 S 0 = 0; S n ( e k(x)e k ) = e k(x)e k, za n 1. Ovako definisani operatori su linearni i neprekidni jer je svaki funkcional e k neprekidan. Teorema 43. Neka je (e n ) Šauderova baza za Banahov prosor X, i (S n ) prirodni projektori koji su joj pridruženi. Tada je sup S n <. n Dokaz. Za Šauderovu bazu (e n ), operatori (S n ) su ograničeni. Kako S n (x) x za svaki x X, imamo da je sup S n (x) < za svaki x X. Tada je na osnovu n teoreme o uniformnoj ograničenosti sup S n <. n Definicija 11. Ako je (e n ) baza Banahovog prostora X, onda broj K = sup S n < n nazivamo baznom konstantom. Ukoliko je K = 1, za bazu (e n ) kažemo da je monotona. Napomena 2. Na Banahovom prostoru X uvek možemo da uvedemo novu normu takvu da data baza bude monotona stavljajući x = sup S n x. n 1 Tada je x x K x za svaki x X, pa su norme i ekvivalentne i pri tom važi da je S n = 1 za n N. Sledeći rezultat nam daje metodu konstruisanja baze Banahovog prostora X ako imamo familiju projektora koji zadovoljavaju svojstva parcijalnih suma operatora. Teorema 44. Neka je S n : X X, n N niz ograničenih linearnih projektora na Banahovom prostoru X takvih da važi (i) dims n (X) = n, za svaki n N; (ii) S n S m = S m S n = S min{m,n}, za svaki m N, n N; (iii) S n (x) x, za svaki x X. Tada je svaki nenula niz vektora (e k ) u X izabran induktivno tako da e 1 S 1 (x), i e k S k (x) S 1 k 1 (0), za k 2 baza za X sa parcijalnom sumom projektora (S n). Dokaz. Neka je 0 e 1 S 1 (X), i definišimo e 1 : X R sa e 1(x)e 1 = S 1 (x). Dalje, izaberimo 0 e 2 S 2 (X) S1 1 (0) i definišimo funkcional e 2 : X R sa e 2(x)e 2 = S 2 (x) S 1 (x). Nastavljajući ovaj postupak induktivno, za proizvoljno n N biramo 0 e n S n (X) Sn 1(0). Tada je e n(x) = S n (x) S n 1 (x) e n 1 2 sup S n e n 1 x, n pa je e n X. Nije teško proveriti da važi e k (e j) = δ kj za bilo koja dva prirodna broja m, n. Sa druge strane, ako stavimo da je S 0 (x) = 0, za svaki x X, imamo da je

Baze i bazni nizovi 27 S n (x) = (S k (x) S k 1 (x)) = e k(x)e k, pa na osnovu pretpostavke (iii), S n (x) konvergira ka x, za svaki x X. Dakle, niz (e n ) je baza, i (S n ) njoj pridruženi prirodni projektori. U sledećoj definiciji ćemo oslabiti uslov da baza mora da razapinje ceo prostor. Definicija 12. Niz (e k ) Banahovog prostora X nazivamo baznim nizom ako je on baza za [e k ], zatvorenja lineala nad (e k ). Naredna teorema nam omogućuje da raspoznamo kada je neki niz u Banahovom prostoru bazni, i poznata je kao Grunblumov kriterijum: Teorema 45. Niz (e k ) nenula elemenata Banahovog prostora X je bazni niz ako i samo ako postoji pozitivan broj K takav da važi za bilo koji niz skalara (a k ) m a k e k K a k e k i bilo koje prirodne brojeve m, n takve da je m n. Dokaz. Pretpostavimo da je (e k ) bazni niz, i neka su S N : [e k ] [e k ], N = 1, 2,... odgovarajuće parcijalne sume projektora. Tada, za m n, imamo da je m a k e k = S m ( a k e k ) sup S m a k e k, m pa tražena nejednakost važi za K = sup S m. m Da dokažemo obrat, označimo sa E lineal nad (e k ) i sa s m : E [e k ] m operator konačnog ranga definisan sa s m ( a j e j ) = min(m,n) a k e k, m, n N. Po gustini, svaki s m se može proširiti do S m : [e k ] [e k ] m sa S m = s m K. Primetimo da za svako x E važi S n S m (x) = S m S n (x) = S min(m,n) (x), m, n N, pa, po gustini, prethodna jednakost važi za svako x [e k ]. S n x x za svaki x [e n ] jer je skup {x [e n ] : S m (x) x} zatvoren (na osnovu Teoreme 12.) i sadrži E koji je gust u [e n ]. Iz Teoreme 44. sledi da je (e k ) baza za [e k ] sa parcijanim sumama projektora (S m ).

Baze i bazni nizovi 28 5.2 Ekvivalencija baza i baznih nizova Definicija 13. Za dve baze (ili bazne nizove) (x n ) i (y n ) u Banahovim prostorima X i Y, redom, kažemo da su ekvivalentne, i pišemo (x n ) (y n ), ako za bilo koji izbor skalara (a n ), red a n x n konvergira ako i samo ako red a n y n konvergira. Dakle, ako su baze (x n ) i (y n ) ekvivalentne, onda se odgovarajući nizovni prostori povezani sa (x n ) u X i (y n ) u Y poklapaju. Na osnovu teoreme o zatvorenom grafu možemo da zaključimo da ako su baze (x n ) i (y n ) ekvivalentne, onda prostori X i Y moraju biti izomorfni. Preciznije, imamo: Teorema 46. Dve baze (ili bazni nizovi) (x n ) i (y n ) su ekvivalentne ako i samo ako postoji izomorfizam T : [x n ] [y n ] takav da je T x n = y n za svaki n N. Dokaz. Neka je X = [x n ] i Y = [y n ]. Očigledno je da su baze (x n ) i (y n ) ekvivalentne ako postoji izomorfizam T iz X u Y takav da je T x n = y n za svaki n N. Pretpostavimo obratno, da su baze (x n ) i (y n ) ekvivalentne. Definišimo preslikavanje T : X Y sa T ( a n x n ) = a n y n. T je bijektivan linearan operator. Za dokazivanje neprekidnosti preslikavanja T, koristićemo teoremu o zatvorenom grafu. Pretpostavimo da je (u j ) j=1 niz takav da u j u u X i T u j v u Y. Možemo da zapišemo u j = x n(u j )x n i u = x n(u)x n jer su biortogonalni funkcionali povezani redom sa (x n ) i (y n ) neprekidni i važi x n(u j ) x n(u), y n(t u j ) = x n(u j ) y n(v) za svaki n N. Zbog jedinstvenosti granične vrednosti je x n(u) = y n(v) za svaki n N. Dakle, T u = v pa je T i neprekidno preslikavanje. Posledica 15. Neka su (x n ) i (y n ) baze u Banahovim prostorima X i Y, redom. Tada je (x n ) (y n ) ako i samo ako postoji konstanta C > 0 takva da za svaki nenula niz skalara (a i ) važi C 1 a i y i a i x i C a i y i. Ako je C = 1 u prethodnoj posledici, onda za bazne nizove (x n ) i (y n ) kažemo da su izometrički izomorfni. Ekvivalencija baznih nizova ( u opštem slučaju baza) je jako korisna kao tehnika za izučavanje izomorfnih struktura Banahovih prostora. Predstavimo sada specijalan tip baznog niza: Definicija 14. Neka je (e n ) baza Banahovog prostora X. Pretpostavimo da je (p n ) strogo rastući niz celih brojeva i p 0 = 0 i neka je (a n ) niz skalara. Tada niz nenula vektora (u n ) u X oblika u n = p n j=p n 1 +1 a j e j

Baze i bazni nizovi 29 nazivamo blok baznim nizom za (e n ). Lema 16. Pretpostavimo da je (e n ) baza Banahovog prostora X sa baznom konstantom K. Neka je (u k ) blok bazni niz za (e n). Tada je (u k ) bazni niz sa baznom konstantom manjom ili jednakom od K. Dokaz. Pretpostavimo da je u k = p k j=p k 1 +1 a j e j, k N blok bazni niz za (e n ). Tada, za bilo koji izbor skalara (b k ) i prirodne brojeve m, n takve da je m n imamo m b k u k = = = m K m b k p k j=p k 1 +1 p k j=p k 1 +1 p m j=1 p n a j e j b k a j e j c j e j, gde je c j = a j b k ako je p k 1 + 1 j p k j=1 c j e j = K b k u k. Kako (u k ) zadovoljava uslov Teoreme 45, to je (u k) bazni niz sa baznom konstantom manjom ili jednakom od K. Definicija 15. Bazni niz (x n ) u X je komplementaran ako je [x n ] komplementaran potprostor u X. Napomena 3. Pretpostavimo da je (x n ) komplementaran bazni niz u Banahovom prostoru X. Neka je Y = [x n ] i P : X Y projektor. Ako su (x n) Y biortogonalni funkcionali povezani sa (x n ), onda koristeći Han-Banahovu teoremu možemo da dobijemo biortogonalni niz (ˆx n) X takav da je svaki ˆx n proširenje od x n na X uz očuvavanje norme. Kako je P projektor, možemo da proširimo x n na celo X stavljajući u n = x n P. Tada, za x X, imamo da je u n(x n ) = P (x). Obrnuto, ako imamo niz (u n) X takav da je u n(x m ) = δ nm i red u n(x n ) koji konvergira za svaki x X, onda je potprostor [x n ] komplementaran u odnosu na projektor X [x n ], x u n(x n ) Definicija 16. Neka su X i Y Banahovi prostori. Kažemo da su dva niza (x n ) X i (y n ) Y kongruentna u odnosu na (X, Y ) ako postoji invertibilan operator T : X Y takav da je T (x n ) = y n za svaki n N. Ako (x n ) i (y n ) zadovoljavaju ovaj uslov u slučaju kada je X = Y, onda ćemo jednostavno reći da su kongruentni.

Baze i bazni nizovi 30 Pretpostavimo da su nizovi (x n ) X i (y n ) Y kongruentni u odnosu na (X, Y ). Tada operator T iz prethodne definicije očuvava svaku izomorfnu osobinu za (x n ). Tako, na primer, ako je (x n ) baza za X, onda je (y n ) baza za Y ; ako je K bazna konstanta za (x n ), onda je bazna konstanta za (y n ) najviše K T T 1. Naredni rezultat, grubo govoreći, kaže da ako je (x n ) bazni niz u Banahovom prostoru X i (y n ) niz u X takav da x n y n 0, onda su nizovi (x n ) i (y n ) kongruentni. Teorema 47. (Princip malih perturbacija): Neka je (x n ) bazni niz u Banahovom prostoru X sa baznom konstantom K. Ako je (y n ) niz u X takav da je 2K x n y n x n onda su (x n ) i (y n ) kongruentni. Tada važi: = θ < 1, (i) ako je (x n ) baza, onda je i (y n ) baza (i u tom slučaju bazna konstanta za (y n ) je najviše K(1 + θ)(1 θ) 1 ), (ii) (y n ) je bazni niz (sa baznom konstantom najviše K(1 + θ)(1 θ) 1 ), (iii) ako je [x n ] komplementaran, onda je i [y n ] komplementaran. Dokaz. Za svako n 2 i bilo koje x [x n ] je n 1 x n(x)x n = x k(x)x k x k(x)x k, gde su (x n) [x n ] biortogonalni funkcionali za (x n ). Tada je x n(x n )x n 2K x, kao i x n(x n ) x n 2K. Za n = 1 jasno je da važi x 1 x 1 K. Ove nejednakosti će važiti i ako zamenimo x n njegovim Han-Banahovim proširenjem na X, ˆx n. Za svaki x X stavimo A(x) = x + ˆx n(x)(y n x n ). A je ograničen operator iz X u X, A(x n ) = y n, sa normom Štaviše, A 1 + ˆx n y n x n 1 + 2K = 1 + θ. y n x n x n

Baze i bazni nizovi 31 A I ˆx n y n x n = θ < 1, odakle sledi da je A invertibilan i A 1 (1 θ) 1. Teorema 48. (Besaga-Pelčinski princip): Neka je (e n ) baza Banahovog prostora X sa baznom konstantom K i dualnim funkcionalima (e n). Pretpostavimo da je (x n ) niz u X takav da (i) inf n x n > 0, ali (ii) lim e k (x n) = 0 za svako k N. Tada (x n ) sadrži podniz (x nk ) koji je kongruentan nekom blok baznom nizu (y k ) za (e n). Osim toga, za svako ɛ > 0 moguće je izabrati (n k ) tako da (x nk ) ima baznu konstantu najviše K +ɛ. Isti rezultat važi ako (x n) konvergira nuli slabo, ali ne i po normi topologije. Dokaz. Označimo α = inf x n, i neka je K bazna konstanta za (e n ). Pretpostavimo da je 0 < ν < 1. 4 n Izaberimo n 1 = 1, r 0 = 0. Postoji r 1 N takav da je x n1 S r1 x n1 < να 2K. Kao i do sada, S m predstavlja m-tu parcijalnu sumu operatora pridruženog bazi (e n ). Kako znamo da je lim S r1 x n = 0, postoji n 2 > n 1 takvo da je Izaberimo r 2 > r 1 takvo da je S r1 x n2 < ν2 α 2K. x n2 S r2 x n2 < ν2 α 2K. Ponovo, kako je lim S r2 x n = 0, postoji n 3 > n 2 takvo da je S r2 x n3 < ν3 α 2K. Nastavljajući postupak, dobijamo niz (x nk ) X i niz prirodnih brojeva (r k), r 0 = 0 takvih da je S rk 1 x nk < νk α 2K, x n k S rk x nk < νk α 2K. Za svako k N, neka je y k = S rk x nk S rk 1 x nk. (y k ) je blok bazni niz za bazu (e n ). Dakle, na osnovu Leme 16, (y k ) je bazni niz sa baznom konstantom manjom od K. Primetimo da je za svako k pa je y k x nk < νk α K,