STABILNOST SISTEMA
Najvaznija osobina sistema automatskog upravljanja je stabilnost. Generalni zahtev koji se postavlja pred projektanta jeste da projektovani i realizovani sistem automatskog upravljanja bude stabilan. To je osnovni preduslov prakticne primene.
Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog u drugo ravnotežne stanje usled dejstva poremećaja ili promene ulazne veličine zavisi od dinamičkih karakteristika samog sistema a takođe i od oblika poremećaja
Za normalno funkcionisanje sistema veoma je bitno da on bude neosetljiv na slučajne poremećaje i smetnje koji u toku rada na njega deluju, tj. da bude stabilan. Sistem je stabilan ukoliko se posle prestanka poremećajnog dejstva i završetka prelaznog procesa ponovo vrati u prvobitno i zauzme novo ravnotežne stanje. Ukoliko se sistem ne vrati u ravnotežno stanje iz kojeg je izveden, nego se od njega neprekidno udaljava mono tono ili oscilatorno sa stalno rastućim amplitudama, onda je to nestabilan sistem
Ta tri stanja mogu se pregledno prikazati na primeiu pomeranja kuglice po površinama različitog profila usled kratkotrajnog spoljnjeg dejstva na njih slika Položaj kuglice 1 na površini 2: a stabilan, b nestabilan, c neutralan
Od čega zavisi stabilnost (ili nestabilnost) sistema najbolje se može objasniti pomoću opšte diferencijalne jednačine linearnog sistema auto matskog upravljanja koja ima oblik: Prelazni proces y(t) zavisi od vrednosti koeficijenata A i B, od počet nih vrednosti promenljive y i njenih n 1 izvoda, i od oblika funkcije x(i) i njenih m 1 izvoda
Opšte rešenje jednačine dobija se u vidu zbira homogenog Yh(t) partikulamog yp (t) rešenja, što se može napisati: Homogeno rešenje predstavlja slobodno kretanje sistema koje je određeno početnim uslovima i osobinama samog sistema, dok partikularno rešenje predstavlja prinudno kretanje koje je određeno poremečajnim dejstvom i karakteristikama sistema
Za stabilan rad sistema potrebno je da se prelazni proces (u toku kojeg sistem prelazi iz jednog zadatog ravnotežnog stanja u drugo) sa vremenom prigušuje, tj. da homogeno rešenje sa vremenom teži ka nuli što se analitički može izraziti uslovom Rešenje diferencijalne jednačine dobija se polazeći od pretpostavke da će u rešenju sigurno biti član oblika
Diferenciranjem izraza n puta i unošenjem odgovarajućih izvoda u jednačinu., posle skraćenja člana Ce'1 dobija se karakteristična jeđvačirta oblika: Kada je poznato svih n korenova karakteristične jednačine onda se njeno rešenje može napisati: gde su C1,.. - C integracione konstante koje se određuju iz početnih uslova i parametara sistema.
Koreni karakteristične jednačine mogu biti realni ili kompleksni, i u opštem slučaju mogu se napisati u obliku Iz definicije stabilnosti sistema proizilazi zaključak da će sistem čija karakteristična jednačina ima oblik biti stabilan samo u tom slučaju ako svi realni koreni i svi realni dolovi kompleksnih korenova karakteristične jednačine imaju negativne vrednosti.
Impulsni odziv sistema u zavisnosti od prirode resenja karakteristicne jednacine.
Na slici su prikazani vremenski dijagrami impulsnog odziva sistema automatskog upravljanja za pojedine slucajeve korena karakteristicne jednacine. Impulsni odziv (slika a) odgovara negativnim realnim korenima, dok je na slici b impulsni odziv sistema sa parom konjugovano kompleksnih korena i negativnim realnim delom. Impulsni odziv na slici c odgovara sistemu koji osim negativnih realnih korena ima i jedan koren jednak nuli na slici d je prikazan impulsni odziv sa parom cisto imaginarnih korena. U oba slucaja (c i d) sistem je na granici stabilnosti. Na slici e je prelazni proces u sistemu sa realnim pozitivnim korenima, na slici f je slobodan prelazni proces u sistemu sa parom konjugovano kompleksnih korena sa pozitivnim realnim delom. U ova dva slucaja sistem je nestabilan.
Prema tome, ispitivanje stabilnosti linearnih SAU svodi se na matematicki utvrdjivanje znaka realnog dela korena karakteristicne jednacine, a geometrijski na odredjivanje polozaja korena karakteristicne jednacine u kompleksnoj ravni u odnosu na imaginarnu osu.
Stabilnost sistema na osnovu korena karakteristične jednačine
Na osnovu prethodno navedenog zaključuje se da će sistem biti stabilan ako poseduje sve polove u levoj poluravni kompleksne s-ravni. Ako poseduje bar jedan pol u koordinatnom početku i/ili par polova na imaginarnoj osi, dok se svi ostali polovi nalaze u levoj poluravno kompleksne s-ravni sistem je granično stabilan. Ako sistem poseduje bar jedan pol (ili par konjugovano kompleksnih polova) u desnoj poluravni kompleksne s-ravni, bez obzira na broj polova u levoj poluravni, koordinatnom početku ili imaginarnoj osi, sistem je nestabilan.
Ispitati stabilnost i odrediti odskočni odziv sistema čija je funkcija prenosa
Pošto je pol sistema sa negativnim realnim delom, sistem je stabilan. Odskočni odziv je, odnosno u MATLAB-u step (1, [1 1]) Step Response 1 0.9 0.8 0.7 0.6 Amplitude 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 Time (sec)
Posto je pol sistema sa pozitivnim realnim delom, sistem je nestabilan. Odskočni odziv je odnosno u MATLAB-u step (1, [1-1]) Amplitude 3.5 x 106 Step Response 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 5 10 15 Time (sec)
Za isitivanje stabilnosti potrebno je odrediti polove sistema: Step Response 0.25 >> Q=[1 4 5]; >> roots(q) ans = -2.0000 + 1.0000i -2.0000-1.0000i Amplitude 0.2 0.15 0.1 0.05 Time (sec) Posto su polovi sistema sa negativnim realnim delom, je: 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 sistem je stabilan. Odskocni odziv odnosno u MATLAB-u >> step (1,[1 4 5]) >> grid on
>> Q=[1-2 10]; >> roots(q) ans = 1.0000 + 3.0000i 1.0000-3.0000i Posto su polovi sistema sa pozitivnim realnim delom, sistem je nestabilan. Odskocni odziv je: >> syms s t; >> G=1/(s^3-2*s^2+10*s); >> k=ilaplace(g) k = 1/10 - (exp(t)*(cos(3*t) - sin(3*t)/3))/10
>> step(1,[1-2 10]); grid on 1 x 105 Step Response 0.5 0 Amplitude -0.5-1 -1.5-2 -2.5 0 5 10 15 Time (sec)
>> Q=[1 0 4];roots(Q) ans = 0.6 0.5 0.4 Step Response 0 + 2.0000i 0-2.0000i Amplitude 0.3 0.2 0.1 0-0.1 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Time (sec) Posto su polovi sistema delom koji je jednak 0, sistem je granično stabilan. Odskočni odziv je: sa realnim step(1,[1 0 4]);grid on
KRITERIJUMI STABILNOSTI
Za istrazivanje stabilnosti vazno je da li se vrednosti korena karakteristicne jednacine tacke nalaze na levoj ili desnoj strani poluprave s-ravni. Za analizu stabilnosti sistema automatskog upravljanja kriterijumi mogu biti: algebarski (numericki) graficki (grafoanaliticki) Algebarski kriterijumi primjenljivi su i za kvalificiranje stabilnosti opstih linearnih sistema, ne samo sistema automatskog upravljanja.
ALGEBARSKI KRITERIJUM STABILNOSTI Algebarski kriterijum stabilnosti polaze od karakteristicne jednacine analiziranog sistema upravljanja Hurwitz-ov kriterijum stabilnosti Ovaj kriterijum polazi od karakteristicne jednacine sistema zatvorenog regulacionog kruga:
Potreban i dovoljan uslov da svi koreni karakteristicne jednacine imaju negativne realne delove, odnosno da je sistem apsolutno stabilan, jeste da svi koeficijenti karakteristicne jednacine budu veci od nule i da sve Hurwitzove determinante budu vece od nule.
Prednosti ovog kriterijuma su te da nije potrebno poznavati resenje diferencijalne jednacine da bi se ustanovila apsolutna stabilnost, vec samo koeficijente karakteristicne jednacine. Nedostaci koje ovaj kriterijum ima su da mora biti poznata diferencijalna jednacina, ne moze da se odredi uticaj pojedinih elemenata na stabilnost sistema, odredjuje se samo apsolutna stabilnost, nema informacija o relativnoj stabilnosti. Hurwitzov kriterijum stabilnosti ekvivalentan je Routhovom kriterijumu stabilnosti.
GRAFO-ANALITIČKI KRITERIJUMI STABILNOSTI
Nyquistov kriterijum stabilnosti To je grafoanalitički kriterijum pomoću kojeg se zaključuje na apsolutnu i relativnu stabilnost zatvorenih regulacijskih sistema na temelju amplitudno-fazne frekvencijske karakteristike prenosne funkcije otvorenog regulacijskog kruga. Zasniva se na analizi frekventnog odziva.
BODEOV KRITERIJUM STABILNOSTI Najkvistov kriterijum pored dobrih strana ima i nedostatke. Jedna njegova mana ogleda se u teškoćama oko konstrukcije Najkvistove krive za za složenije sisteme. Drugi, vrlo važan nedestatak Najkvistovog kriterijuma je da se teško može odrediti uticaj promene pojedinih parametara na stabilnost sistema Da bi otklonio pomenute nedostatke Najkvistovog kriterijuma i uprostio postupak projektovanja stabilnih sistema, Bode (N.W. Bode SAD) je interpretirao Najkvistov kriterijum u logaritamskom obliku
BODEOV KRITERIJUM STABILNOSTI Najkvistova kriva (levo), Bodeov dijagram za jedan stabilan SAU (desno)
Pravilo za utvrđivanje stabilnosti sistema po Bodeovom kriteriju: Sistem sa zatvorenom povratnom vezom opisan prenosnom funkcijom biće stabilan ako amplitudni Bodeov dijagram prenosne funkcije otvorene petlje Wo(s) seče frekvencijsku osu pre nego fazni Bodeov dijagram seče pravac 180o
Najkvistova kriva (levo), Bodeov dijagram za jedan nestabilan SAU (desno)
Pravilo za utvrđivanje stabilnosti sistema po Bodeovom kriteriju: Sistem sa zatvorenom povratnom vezom opisan prenosnom funkcijom biće nestabilan ako amplitudni Bodeov dijagram prenosne funkcije otvorene petlje Wo(s) seče frekvencijsku osu kasnije nego fazni Bodeov dijagram seče pravac 180o
UTVRĐIVANJE STABILNOSTI SISTEMA PO BODEOVOM KRITERIJUMU Stabilnost sistema sa zatvorenom povratnom vezom, opisanog prenosnom funkcijom, određuje se na temelju amplitudne i fazne Bodeove karakteristike nacrtane za prenosnu funkciju otvorene petlje, Wo(s). Određivanje Bodeovih dijagrama: AP i FP na temelju
1: < Frekvencija kritične amplitude, 1: frekvencija pri kojoj amplitudni Bodeov dijagram prenosne funkcije otvorene petlje seče frekvencijsku osu. Frekvencija kritične faze, : frekvencija pri kojoj fazni Bodeov dijagram prenosne funkcije otvorene petlje seče pravac od -180o.
Amplitudno osiguranje, AP(dB): Može se odrediti na osnovu Bodeovog amplitudnog dijagrama prenosne funkcije otvorene petlje. AP se određuje kao udaljenost od amplitudnog dijagrama do frekvencijske ose, pri frekvenciji kritične faze. Fazno osiguranje, FP(o): Može se odrediti na osnovu Bodeovog faznog dijagrama prenosne funkcije otvorene petlje. FP se određuje kao udaljenost od pravca 180o do faznog dijagrama, pri frekvenciji kritične amplitude.
Konstruisati Bodeove dijagrame amplitude i faze sistema čija je funkcija povratnog prenosa i ispitati stabilnost sistema sys1=zpk(-2,[0-0.5-4],10); bode(sys1) hold on grid on
100 Bode Diagram Magnitude (db) 50 0-50 -100-90 Phase (deg) -135-180 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec)
>> margin(sys1) 100 Bode Diagram Gm = Inf db (at Inf rad/sec), Pm = 30.3 deg (at 2.6 rad/sec) Magnitude (db) 50 0-50 -100-90 Phase (deg) -135-180 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec)