Matematika szerb yelve emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIKA SZERB NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM
Важне информације Формални захтеви: Задатак треба исправити хемијском оловком другачије боје од оне коју користи кандидат, а грешке, недостатке итд обележити одговарајући наставничкој пракси Међу сивим правоугаоницима који су поред задатака у првом је максималан број бодова за тај задатак, а у други наставник уписује постигнут број бодова за тај задатак У случају потпуно исправног решења (без грешке) у одговарајући правоугаоник је довољно уписати максималан број бодова 4 У случају решења са недостатком/грешком, молимо да се на задатак напише појединачи делимични број бодова Садржајни захтеви: Код појединих задатака смо дали бодовање за више начина решавања Уколико се нађе тачно решење различито од наведених, потражите у упутству делове који се подударају и на основу тога извршите бодовање Бодови у упутству се могу даље разложити Међутим, број бодова који се додељује по задатку може бити само цео број У случају тачног поступка решавања и коначног решења максималан број бодова се даје и онда ако је код кандидата опис из упутства дат са мање детаља 4 Ако у решењу има рачунске грешке, нетачности, бодови се не дају само на онај део где је ученик нечинио грешку Ако са погрешним делимичним резултатом даље ради тачним поступком, а проблем за решавање се у суштини не мења, додељују му се даљи делимични бодови 5 У случају принципијелне грешке у оквиру једне мисаоне целине (у упутству означено двоструком линијом) ни за формално тачне математичке поступке се бодови не додељују Уколико ученик наставља са радом и као почетни податак узима лоше решење које је добио због принципијелне грешке, а даље тачно рачуна у следећој мисаоној целини или делу питања, онда за тај део добија максималан број бодова, уколико се проблем за решавање у суштини није променио 6 Ако се у упутству за решавање у загради налази нека напомена или нека мерна јединица, у случају њиховог недостатка се решење сматра да има потпуну вредност Од више тачних покушаја решења за један задатак вреднује се она варијанта коју је кандидат означио 8 За решења се наградни бодови (бодови који прелазе прописани максимални број за дати задатак или његов део) не могу доделити 9 За делимичне прорачуне који су са грешкама али их кандидат при решавању задатка није искористио не одузимају се бодови 0 Од означених задатака у испитном делу II се од назначених 5 задатка вреднују само решења за 4 задатка Кандидат је уписао у квадрат вероватно редни број задатка чије вредновање неће ући у укупан број бодова рема томе, евентуално дато решење за означени задатак ни не треба исправљати Ако и поред тога није једносмислено јасно за који задатак кандидат не жели да се бодује, онда ће задатак који се не бодује аутоматски бити онај који је последњи по истакнутом редоследу írásbeli vizsga 09 / 0 május 8
I a) Из система једначина формираног од друге две једначине се могу израчунати вредности a и b Сабирајући одговарајуће стране две једначине бода За вредност a добијамо да је a 6, значи a (a > 0) b 4, значи b За вредност b c (Странице троугла су дугачке ; и (мерне) јединице) За вредност c Укупно: 4 бода b) ошто је +, на основу дефиниције итагорине теореме то је правоугли троугао, а наспрам најдуже странице (c) се налази угао од 90 o si β, дакле β 0, o па је α 60 Укупно: 5 бодова Напомена: Ако на основу страница препозна да је реч о правоуглом троуглу са углом од 60º, а не образлаже детаљно, добија укупан број бодова c) олупречник уписане кружнице се може израчунати као количник површине и половине t обима: r k овршина троугла једнака је половини производа две катете: r + бода + + Укупно: 4 бода Бод се даје и онда ако се ова мисао појављује само током решавања задатка Ако коначан резултат напише само приближном вредношћу, онда добија највише бода írásbeli vizsga 09 / 0 május 8
a) Бацајући коцкицу два пута се на 6 начина (исте вероватноће) могу попунити места a и b Међу резултатима бацања могу да се нађу само,, и 4 (Од њих за a на 4, а за b већ само на начина могу да се нађу,) односно број повољних попуњавања места је 4 Тражена вероватноћа је: 6 Укупно: 4 бода b) Набројмо елементе четири скупа: A 4; ; 8; 5; 4; 49; 56; 6; 0; ; 84; 9; 98 { } ( A ) { 9; 58; 8 } { 4; 5; 8; 5; 0; 89 } { ;4;; ; 9; 8; 49; 6; ; 94} B, C, D b) Број елемената скупа A C је (Скуп C од 6 елемената и скуп A од елемената имају тачно два заједничка елемента) b) Број елемената скупа B D је (Заједнички елемент скупова B и D је само број 9) b) Набројмо све позитивне двоцифрене целе бројеве који су од четири испитивана скупа бода елементи тачно два скупа: 9; 8; 49; 0; Укупно: 8 бодова Напомене: Ако је на питања b) и b) дао лош одгпвор зато што је лоше набројао елементе скупа A, B, C и/или D, али са лоше написанм скуповима тачно протумачио операције са скуповима, даје се по Ако одговор на питање b) за један елемент одступа од тачног, уместо бода се даје Ако је одговор на питање b) лош зато што је лоше написао елементе скупа A, B, C и/или D, не треба да губи даље бодове 4 Ако кандидат приликом решавања не изабере горе наведени пут решавања (не наброји елементе скупова A-D), укупан број бодова нека добије за одговарајуће образложење У случају одговора без образложења уместо 8 може добити највише бода írásbeli vizsga 09 4 / 0 május 8
Ако само једну боју вратимо: могућности Ако се појављују обе боје: враћањем црвене и 5 плавих има могућност, бода (јер пет истих ће увек бити једно поред другог) враћањем црвене и 4 плаве има могућности, јер исте боје или стављамо једну до друге, или их једна, односно друге две раздвајају бода враћањем црвене и плаве има 4 могућности, јер исте боје или стављамо једну до друге, или једна по једну, односно друге две-једна их раздвајају (последње је могуће на два начина): бода Ако наводи само или тачне могућности (убрајање)- Недовољно образложење- Само за тачан одговор се даје Навођење само добре могућности (убрајање)- 0 бодова, давање или добре могућности (убрајање)- Недовољно образложење- враћањем 4 плаве и црвене има могућности Образложење се подудара са случајем + 4 враћањем 5 црвених и плаве има могућност Образложење се подудара са случајем + 5 Ови бодови се дају ако је одговор лош јер је лоше израчунао случај +4 и/или +5 Могуће је поређати на укупно 4 начина Укупно: ова Напомене: Резултат се може образложити и добрим скицама (цртањем) Ако кандидат израчуна колико могућности има за случајеве распореде 6 црвених, 5 црвених плави, 4 црвена плава, црвена плава (и то тачно уради), а затим све помножи са, јер може да буде и обрнуто, али тиме случајеве црвена плава рачуна дупло, зато губи бода írásbeli vizsga 09 5 / 0 május 8
4 a) a K 5 + + 5+ K+ ( ) Експонент броја је збир првих чланова једног аритметичког низа, чији је први члан, а разлика је a ( + ) a 50 Треба испитати неједначину > 49 ошто је 49, треба решити > 00 00 < x Зато што је функција x a строго моното растућа < 00 Највећи квадратни број који је мањи од 00 је број 8 Највећи природни број који задовољава дате услове је 9 Укупно : 0 бодова 4 b) први начин b је збир првих чланова таквог геометријског низа чији је први члан, а количник низа је Ова бода се дају и онда ако се ова мисао појављује само током lim b решавања задатка је збир (s) оног геометријског низа чији први члан је b и q b Зато што је q <, s q 48 Тражена гранична вредност је 48 Укупно: 4 бода írásbeli vizsga 09 6 / 0 május 8
4 b) решење на други начин b је збир првих чланова таквог геометријског низа чији је први члан, а количник низа је Ова бода се дају и онда ако се ова мисао појављује само током b 49 решавања задатка + + + K + 5 49 b 48 49 lim b 48 Укупно: 4 бода írásbeli vizsga 09 / 0 május 8
II 5 a) y D C A B x рава y x + сече y осу у тачки 0;, а праву y сече у тачки ; Одговарајуће тачке P у правоугаонику се налазе у делу испод праве y x + 9 овршина тог дела је: T jó 4 8 (о прорачуну геометријске вероватноће) је 9 9 тражена вероватноћа P 8 ( 0,9065) 4 Укупно : 5 бодова 5 b) први начин Мартон је 4 од укупно 00 тикета могао да купи 00 на начина 4 Од 00 тикета за томболу има 0 добитничких и 90 за које се не добија награда Мартон ће добити тачно једну ствар, ако се међу његова четири тикета налази од 0 добитничких, а остала три се налазе међу 90 тикета за које се не добија награда 0 90 То је могуће на начина бода 0 90 Тражена вероватноћа је: 0,9 00 4 Укупно: 5 бодова Овај бод се даје и онда ако се ова мисао појављује само током решавања задатка írásbeli vizsga 09 8 / 0 május 8
5 b) решење на други начин Од 00 тикета се 0 добитничких могу извући на 00 начина 0 Од 00 тикета Мартон има 4, осталих 96 се не налазе код њега Мартон ће добити једну ствар ако се од 0 добитничких тикета кад њега налази тачно, а других 9 су међу осталих 96 тикета 4 96 Дакле, број повољних случајева је: бода 9 4 96 9 Тражена вероватноћа је: 0,9 00 0 Укупно: 5 бодова Овај бод се даје и онда ако се ова мисао појављује само током решавања задатка 5 b) први начин Уместо траженог догађаја, израчунаћемо вероватноћу супротног (комплементарног) догађаја Супротни догађај од тога да је Мартон добио на томболи је да он није добио на томболи То је могуће ако су сва 4 тикета била међу 90 који нису добитнички 00 Број свих исхода једнаке вероватноће је 4 90 Међу њима број повољних је 4 Вероватноћа да Мартон није добио на томболи је 90 4 ( 0,8) 00 4 Вероватноћа да је Мартон добио на томболи је 90 4 0,868 00 4 Укупно: 6 бодова Ова бода се дају и онда ако се ова мисао појављује само током решавања задатка írásbeli vizsga 09 9 / 0 május 8
5 b) решење на други начин Мартон је од 0 добитака могао да освоји,, или 4 добитка Овај бод се даје и онда ако се ова мисао појављује само током решавања задатка Вероватноћа да му је један тикет добитнички је 0 90 0,9 00 4 Вероватноћа да су му два тикета добитничка је 0 90 0,05 00 4 Вероватноћа да су му три тикета добитничка је 0 90 0,0004 00 4 Вероватноћа да су му 4 тикета добитничка је 0 90 4 0 0,0000 00 4 Вероватноћа да ће Мартон добити на томболи је збир ове четири вероветноће 0,868 Укупно: 6 бодова Ако ради на основу догађаја описаних у решењу b)-на други начин, односно испитује да ли се међу 0 добитничких тикета налазе,, или 4 Мартонова, онда се тражена вероватноћа добија следећим збиром: 4 96 4 96 + + 9 00 8 0 4 96 4 96 + 4 6 írásbeli vizsga 09 0 / 0 május 8
6 a) први начин На основу координата темена је једначина графика функције f : y a( x 4) + бода Тачка P се такође налази на графику, зато је 4 a + 0, одакле је a а је ( ) f x ( x 4) + x + 4x 6, одакле је b 4, c 6 Укупно: 6 бодова 6 a) решење на други начин График функције f је парабола, потражимо једначину у облику y ax + bx + c Координате темена T ( 4; ) задовољавају једначину: () 6 a + 4b + c Координате дате тачка на параболи P ( ;0) задовољавају једначину параболе: () 4 a + b + c 0 Оса симетрије параболе је права x 4, зато је за дату тачку параболе P њена симетрична тачка на параболи R (6;0) Зато је: () 6 a + 6b + c 0 Решавајући систем једначина ()-()-() добијамо: бода a ; b 4; c 6 Укупно: 6 бодова írásbeli vizsga 09 / 0 május 8
6 b) равац тангенса одговарајуће тангенте је вредност коју узима извод функције f (изводна функција) на месту x ( x) + 4 f x, па је m f () Тангента чија је једначина y x + d додирује график функције f у тачки чија апсциса је, а чија друга координата је f () Коришћењем тога d Једначина тангенте је: y x Укупно: 5 бодова Овај бод се даје и онда ако се ова мисао појављује само током решавања задатка 6 c) Нуле функције f су и 6, зато је тражена површина: 6 T f 6 6 ( x) dx x + 4x 6 dx 6 x + x 6x 4 ( 6 + 6) + 8 6 T Укупно: 5 бодова írásbeli vizsga 09 / 0 május 8
о дефиницији логаритма x > 0 log x log x log x ( ) x log x log ( ) ( ) x x x Нека буде y log x x (, где је 0 Тада је једначина 6y y 605, односно y 6y 605 0 y > ) Корени су: y 5, што није решење оригиналне једначине, и 8 log Из могуће вредности за y је x x 8, log x и одатле log ( x ) log 8 4 бода (На основу идентичности у вези степеновања log x логаритма:) ( ) 4 Ако је log x, онда је x 9 Ако је log x, онда је x 9 Оба броја су решења оригиналне једначине Укупно: 6 бодова Кандидат бодија овај бод и онда ако контролише коренове замењивањем у оригиналну једначину írásbeli vizsga 09 / 0 május 8
8 Нека број особа групе K из Кесега буде k; T групе из Тате буде t; а F групе из Фиреда буде f Даље, означимо збир година старости чланова групе K са S k ; групе T са S t ; и групе F са S f Са датим подацима се могу написати следеће једначине: S k k ; бода S t t ; S f 4 f ; Ова бода се дају и онда ако се ова мисао појављује само током решавања задатка S k + St 9( k + t) ; За решевање задатка је S од ове три зависности k + S f 9,5( k + f ) ; довољно написати две, зато ако напише било St + S f ( t + f ) које две, то вреди бода рве три зависности ћемо заменити у следеће три једначине: 4 За решевање задатка је k + t 9( k + t), односно t k од ове три зависности довољно написати две, 5 зато ако напише било k + 4 f 9,5( k + f ), односно f k које две, то вреди 4 бода t + 4 f ( t + f ), односно t f 5 росечна старост свих S k + St + S f Ако у систему запослених: k + t + f једначина са три Код овога се t и f могу изразити преко k, и непознате добије тачно онда добијамо следеће за тражени просек: решење рачунајући са три конкретна броја, 4 5 9 05 k + k + 4 k + + бода али не доказује да би до тога решења дошао у 4 5 4 k + k + k слушају за сваки корен, губи бода + 99 6 4 4 4 росечна старост свих запослених у фирми је 4 године Укупно: 6 бодова írásbeli vizsga 09 4 / 0 május 8
9 a) E A G M Са ознакама на скици пирамида GHIJE је слична пирамиди ABCDE D J x 0 K F H B L I C VABCDE, зато је однос одговарајућих дужи VGHIJE AB FE (нпр): GH KE GH AB ( 9,54) 48 4 GH ( 8,0) Укупна дужина линија у боји је: 8,0 m На основу итагорине теореме је у правоуглом троуглу ABD : BD FB 6 На основу итагорине теореме је у правоуглом троуглу FBE: ( ) 0 ( 6 ) FE 8 ( 5, 9) FE бода 8 KE 4, 8 FK FE KE 8 8, 09 Раван која преполовљава запремину се налази на висини од,09 m од пода сале Укупно: 9 бодова írásbeli vizsga 09 5 / 0 május 8
9 b) први начин N E P 6 r O r 6 r M 6 F 6 Микрофон треба поставити у центар O уписане лопте у пирамиду На скици су EL и EM висине бочних страница На основу итагорине теореме је у правоуглом троуглу ELC: ( EL ) 0 6, одакле је EL 8 ошто су дужине тангентних дужи повучених из спољне тачке, тада је MF MN 6, и NE На основу итагорине теореме је у правоуглом троуглу OEN: ( OE ) ( ON ) + ( NE) ( 8 ) r + r r 6 (, ) Удаљеност микрофона од тачке E је: EO EF OF 5,9,,0 метара Укупно: бодова L írásbeli vizsga 09 6 / 0 május 8
9 b) решење на други начин Микрофон треба поставити у тачку O Нека удаљеност те тачке од страна пирамиде буде x (метара) На скици је EL висина бочне странице EBC овезивајући тачку O са теменима (врховима) пирамиде ABCDE, растављамо пирамиду ABCDE на пет пирамида Напишимо запремину пирамиде ABCDE као збир запремине пет пирамида ирамиде ABEO, BCEO, DCEO и ADEO су подударне Запремина им је једнака () VABCDE VABCDO + 4 VBCEO AB EF 44 8 V ABCDE 48 8 AB x 44 x V ABCDO 48x TBCE x VBCEO Висину труогла BCE која припада страници BC ћемо израчунати из правоуглог троугла BEL: EL 0 6 8 BC EL 8 T BCE 48 TBCE x 48 x Зато је VBCEO 6x Уписивањем у једначину () израза добијених за запремине: 48 8 48x + 4 6x x, 6 одакле је x, (m) Удаљеност микрофона од тачке E је: EO EF OF 5,9,,0 метара Укупно: бодова írásbeli vizsga 09 / 0 május 8