FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE KATEDRA ZA STROJARSKU AUTOMATIKU SEMINARSKI RAD IZ KOLEGIJA NEIZRAZITO I DIGITALNO UPRAVLJANJE Mehatronika i robotika Zagreb, 2014.
MODEL PROCESA U PROSTORU STANJA Sinteza regulatora započinje sa prebacivanjem modela sustava u prostor stanja. x 1 = 3x 1 + u x 2 = x 1 2x 2 w x 3 = x 2 x 3 y = 3x 1 + 2x 2 + x 3 Prostor stanja definiran je jednadžbama: x = Ax + Bu; y = Cx + Du; x 1 3 0 0 x 1 1 [ x 2 ] = [ 1 2 0 ] [ x 2 ] + [ 0] u x 3 0 1 1 x 3 0 x 1 y = [3 2 1] [ x 2 ] x 3 Iz čega slijedi: 3 0 0 1 A = [ 1 2 0 ]; B = [ 0] ; C = [3 2 1]; D = [0] 0 1 1 0
Prijenosna funkcija modela glasi: G(s) = 3s2 + 11s + 9 s 3 + 6s 2 + 11s + 6 Simulacija zadanog modela procesa u Simulink programskom paketu Slika 1. Model procesa u Simulink-u Odziv procesa na jediničnu step pobudu:
Slika 2. Odziv procesa na jediničnu step pobudu Simulacija modela procesa u prostoru stanja Prostor stanja u Matlab programskom paketu: A = [-3 0 0; 1-2 0; 0 1-1]; B = [1; 0; 0]; C = [ 3 2 1]; D = [0]; sysk = ss (A,B,C,D) Simulacija procesa:
Slika 3. Simulacija procesa u prostoru stanja
MODEL PROCESA U VREMENSKI DISKRETNOM PODRUČJU U zadatku je navedeno da se sinteza regulatora mora provesti u vremenski diskretnom području. Zbog toga, pomoću matrica F, G i H prebacujemo sustav iz kontinuiranog u vremenski diskretno područje. Vremenski diskretni model: x(k + 1) = Fx(k) + Gu(k); y(k) = Hx(k); Računanje traženih matrica se izvršava u Matlabu koristeći funkciju c2d.m: sysd= c2d(sysk, T, 'zoh') F=sysd.a; G=sysd.b; H=sysd.c; Prijenosna funkcija modela glasi: 0.9277 0 0 F = [ 0.235 0.9512 0 ]; 0.0003 0.0241 0.9753 G = [0.0241 0.0003 0] T ; H = [3 2 1]; G(z) = 0.07286z2 0.1392z + 0.06648 z 3 2.854z 2 + 2.715z 0.8607 Simulacija vremenski diskretnog sustava:
Slika 4. Simulacija vremenski diskretnog sustava
SINTEZA REGULATORA Regulacijski sustav s PI regulatorom varijabli stanja može se prikazati sljedećim blokovskim dijagramom: Slika 5. Blokovski dijagram regulacijskog SISO sustava sa PI regulatorom varijabli stanja Sinteza regulatora stanja će se provesti primjenom Ackermannove formule uz izbor karakterističnog polinoma prijenosne funkcije zatvorenog kruga prema kriteriju optimuma dvostrukog odnosa. Prošireni model procesa u prostoru stanja: x(k + 1) [ u I (k + 1) ] = [ F 0 H 1 ] x(k) u I (k) ] x I (k+1) F I [ x I (k) 0 u(k) + [ 1 ] y R(k); G I + [ G 0 ] Upravljački signal: Ackermannova formula: u(k) = Kx(k) + K I u I (k) = [K K I ] [ x(k) u I (k) ]; [K K I ] = [0 0 1][G I F I G I F I n 1 G I ] 1 P(F I ); Izračun pojačanja regulatora se vrši u Matlabu pomoću funkcije place.m.
Te je nadomjesna vremenska konstanta, njome se podešava željena dinamika zatvorenog regulacijskog kruga. D2 = 0.5 ; D3 = 0.5 ; D4=0.5; num = 1; den = [D4*D3^2*D2^3*Te^4 D3*D2^2*Te^3 D2*Te^2 Te 1]; [numd,dend] = c2dm(num,den,t,'zoh'); P = roots(dend); FI = [F zeros(length(f),1); -H 1]; GI = [G;0]; HI = [H 0]; K_ = place(fi, GI, P); K = K_(1:3), KI = -K_(4); Simulacija zatvorenog regulacijskog kruga u Simulinku:
Slika 6. Struktura zatvorenog regulacijskog kruga Slika 7. Struktura podsustava
Simulacija sustava s obzirom na jediničnu skokovitu promjenu referentne vrijednosti Slika 8. Odzivi sustava
Slika 9. Odziv izlaza y (povećani prikaz) Na dijagramima su prikazani odzivi sustava na jediničnu step pobudu. Iz njih je vidljivo da se najbolji odziv postiže postavljanjem nadomjesne vremenske konstante Te = 1.3 s. Iako podešenja Te = 1.3 s i Te = 1.45 s imaju gotovo identično nadvišenje, Te = 1.3 s ima puno kraće vrijeme smirivanja (t s,5% 4 s). Postavljanjem Te = 1.6 s odziv ima najmanje nadvišenje, ali ujedno i najduže vrijeme smirivanja (t s,5% 7 s). Simulacija sustava s obzirom na jediničnu skokovitu promjenu poremećajne veličine
Slika 10. Odzivi sustava
Slika 11. Odziv izlaza y (povećani prikaz) Slika 12. Odziv izlaza sustava (detaljni prikaz) Na dijagramima su prikazani odzivi sustava na jediničnu step pobudu poremećajne veličine. Odziv Te = 1.3 s nema nadvišenje nad referentnom vrijednosti, te se vrlo brzo se stabilizira oko referentne vrijednosti (t s,5% 4.5 s). Drugi graf na slici 12. prikazuje step pobudu poremećajne veličine. Kao što je vidljivo, poremećaj djeluje u 50-oj sekundi, te se Te = 1.3 s stabilizira nakon 7 sekundi. Najbolji odziv se postiže sa postavljenjem Te = 1.45 s. Vrijeme odziva t r,100% 1 s, vrijeme prvog maksimuma t max 1.5 s, a smirivanje odziva se postiže u 5-oj sekundi (t s,5% 5 s). Nakon pobude poremećajne veličine, sustav se također smiruje nakon 5 sekundi. Najlošiji odziv daje podešavanje Te = 1.6 s. Nadvišenje je najveće, te je odziv sustava najsporiji (t s,5% 9 s). Također stabilizacija nakon pogreške se postiže tek za 14 sekundi. Simulacija sustava s obzirom na šum mjerenja Za simulaciju s obzirom na šum mjerenja potrebno je modelirati šum. Šum se modelira u Simulinku pomoću random number bloka u kojem se odabire iznos varijance.
Slika 13. Model sustava sa modeliranim šumom Slika 14. Šum mjerenja
Slika 15. Odzivi sustava Slika 16. Odziv izlaza y (povećani prikaz)
Na dijagramima su odzivi sustava s obzirom na šum mjerenja. Iz njih je vidljivo da šum mjerenja ne utječe previše na kvalitetu i brzinu odziva. Sustav se sa šumom mjerenja, kao i bez njega, vrlo brzo stabilizira. Najbolji odziv daje podešavanje Te = 1.45 s. Vrijeme odziva je t r,100% 1 s, vrijeme prvog maksimuma je t max 1.5 s, a vrijeme smirivanja iznosi t s,5% 5 s.
ESTIMATOR VARIJABLI STANJA Estimator varijabli stanja punog reda predstavlja egzaktnu kopiju objekta upravljanja proširenu povratnom vezom po mjerenjima (izlazima). Slika 17. Blokovski dijagram regulacijskog SISO sustava s PI regulatorom varijabli stanja i estimatorom stanja punog reda Da bi se koristio estimator stanja punog reda potrebno je poznavati sve parametre procesa (tj. matrice F, G i H). Dinamika estimatora stanja opisuje se sljedećim izrazima: x (k + 1) = Fx (k) + Gu(k) + K e ε(k) ε(k) = y(k) y (k) y(k) = Hx(k) x (k + 1) = (F K e H)x (k) + Gu(K) + K e Hx(k)
Podešavanje estimatora varijabli stanja može se opet provesti provesti prema Ackermannovoj formuli: Izraz za pojacanja estimatora: 1 H 0 HF 0 K e = P(F) [ ] [ ] HF n 1 1 K e = [0 0 1][H T F T H T (F T ) 1 H T ] 1 P(F T ) Izračun pojačanja estimatora se vrši u Matlabu pomoću funkcije place.m nume = 1; dene = [D3*D2^2*Tee^3 D2*Tee^2 Tee 1]; [numed,dened] = c2dm(nume,dene,t,'zoh'); Pe = roots(dened); Ke = place(f', H', Pe);
Slika 18. Simulink model regulacijskog kruga sa estimatorom Slika 19. Subsystem1
Slika 20. Odzivi sustava
Slika 21. Odziv izlaza sustava (povećani prikaz) Na dijagramima su prikazani odzivi sustava sa estimatorom. Iz slike 21. je vidljivo da najbolji odziv daje podešavanje Te = 1.45 s. Nadvišenje je vrlo malo, te se odziv vrlo brzo stabilizira (t s,5% 3 s). Odziv uz Te = 1.6 s je također dobar, ali ipak lošije od Te = 1.45 s, jer ima veće nadvišenje i duže vrijeme smirivanja (t s,5% 5 s). Najgori odziv daje podešavanje Te = 1.3 s. Nadvišenje je najveće, te ima vrlo oscilatorno ponašanje što uzrokuje najdulje vrijeme smirivanja (t s,5% 6.5 s).
Polinomski regulator Slika 22. pokazuje regulacijski krug s polinomskim regulatorom. Slika 22. Blokovski dijagram regulacijskog kruga s polinomskim regulatorom Sinteza polinomskog regulatora se svodi na pronalaženje pronalaženje koeficijenata S(z), Q(z) i P(z) na temelju prijenosne funkcije modela: G(z) = B(z) A(z) = 0.07286z2 0.1392z + 0.06648 z 3 2.854z 2 + 2.715z 0.8607 Postupak sinteze polinomskog regulatora je sljedeći: 1. Prijenosna funkcija zatvorenog prijenosnog kruga G c (z) = y(z) y R (z) se izjednačuje s modelskom prijenosnom funkcijom G M (z) = B M(z) koja je proširena tzv. observerskim A M (z) polinomom A 0 (z), a da vrijedi sljedeće: te se na kraju dobije: deg(a M ) = deg(b M ) + 1 = deg (A 0 ) G c (z) = y(z) y R (z) = B(z)S(z) A(z)P(z) + B(z)Q(z) = A 0(z)B M (z) A 0 (z)a M (z)
Parametri A(z) i B(z) su poznati od prije, a A M (z) se se određuje prema optimumu dvostrukog odnosa u s-području i prebacuje u z-područje, dok je observerski polinom A 0 (z): za dead-beat slučaj jednak A 0 (z) = z n za kvazi dead-beat slučaj jednak A 0 (z) = z n 1 (z e T T0) Za naš slučaj, vrijednosti iznose: A(z) = z 3 + a 1 z 2 + a 2 z + a 3 = z 3 2.854z 2 + 2.715z 0.8607 B(z) = b 0 z 2 + b 1 z + b 2 = 0.07286z 2 0.1392z + 0.06648 2. Izrazi za parametre: se dobivaju iz izraza: i Diophantove jednadžbe: P(z) = (z 1)(z 2 ) + p 1 z + p 2 Q(z) = q 0 z 3 + q 1 z 2 + q 2 z + q 3 S(z) = s 0 z 3 + s 1 z 2 + s 2 z + s 3 S(z) = A M(1) B M (1) A 0(z) A(z)P(z) + B(z)Q(z) = A 0 (z)a M (z) uz zadovoljene uvjete izvedivosti regulatora (i = broj integratora u regulatoru) deg(a 0 ) 2 deg(a) deg(a M ) 1 + i deg(p) deg(a 0 ) + deg(a M ) deg(a) = deg(a 0 ) deg(q) < deg(a) + i Na temelju Diophantove jednadžbe dobije se sljedeći sustav algebarskih jednadžbi zapisan u matričnom obliku:
Dobiveni rezultati iznose: Za dead-beat slučaj: S(z) = 12.7919z 3 P(z) = z 3 + 0.7526z 2 1.4463z 0.3063 Q(z) = 59.2495z 3 82.3117z 2 + 44.4757z 8.6217 Za kvazi dead-beat slučaj: S(z) = 12.7919z 3 7.7587z 2 P(z) = z 3 + 0.4931z 2 1.2362 z 0.2569 Q(z) = 40.997z 3 65.3829z 2 + 36.6497 7.2311 Na slici 23. slici je prikazan model polinomskog regulatora.
Slika 23. Simulink model polinomskog regulatora