Slide 1

Транскрипт

1 1 MATEMATIČKI MODELI EFIKASNOSTI 3/21/2019 Gordana Savić, Milan Martić, Milena Popović

2 2 Informacije o predmetu Nastavnici Pravila polaganja Sadržaj predmeta Literatura Podsećanje Linearno programiranje (LP) Dualni problem LP

3 Informacije o predmetu 3 Osnovne studije Izborni predmeti Matematički modeli efikasnosti Centar za analize efikasnosti Sajt u izradi

4 Nastavnici 4 Gordana Savić Milena Popović E:mail gordana.savic@fon.bg.ac.rs goca@fon.bg.ac.rs E:mail milena.popovic@fon.bg.ac.rs Konsultacije: C309a Konsultacije: C203 Utorak12:00-14:00 Milan Martić E:mail milan@fon.bg.ac.rs Konsultacije: C203

5 Pravila polaganja 5 1. Rad na času ili test 40 poena 2. Seminarski rad (studija slučaja) 60 poena Diplomski rad

6 Sadržaj predmeta 6 Mere i merenje performansi Razlomljeni DEA model DEA LP model (CRS i BCC) Dualni DEA model (CRS i BCC) Orijentacija DEA modela Proširenja osnovnih DEA modela Procedura primene i analiza rešenja Primena na realnim primerima Studije slučaja (samostalni rad) Gordana Savić 2019

7 Način rada 7 Predavanja i vežbe, samostalan rad Studije slučaja uz korišćenje softvera MS excel (solver) DEA Solver Softver LV EMS... Gordana Savić 2018

8 Literatura 8 1. Krčevinac S., Čangalović M., Vujčić V., Martić M. i Vujošević M., "Operaciona istraživanja 1", FON, Beograd, 2006., 2. Martić M., "Analiza obavijenih podataka sa primenama", FON, Beograd, 1999., 3. Savić G., Komparativna analiza efikasnosti u finansijskom sektoru, Univerzitet u Beogradu, Fakultet organizacionih nauka, Beograd, Cooper W, Seiford L, Tone K, Introduction to Data Envelopment Analysis and its Applications, With DEA-Solver Software, Springer,

9 9 Podsećanje Linearno programiranje (LP) Dualni problem LP

10 Konstrukcija matematičkih modela 10 Realni sistem Upravljačke odluke Kriterijum Cilj Ograničavajući faktori Optimalne upravljačke odluke Matematički model Upravljačke promenljive Kriterijumska f-ja F-ja cilja Skup ograničenja tj. dopustivi skup Optimalne upravljačke promenljive

11 Konstrukcija matematičkih modela 11 Matematički model Upravljačke promenljive Kriterijumska f-ja F-ja cilja Skup ograničenja tj. dopustivi skup x x1 x2 x n {,,..., } min max po.. f( x) gi ( x) 0, i 1,..., m

12 12 Linearno programiranje - LP

13 Linearno programiranje (LP) 13 LP služi za modeliranje problema tzv. uslovne optimizacije u kojima treba naći optimalno rešenje, tj. ono rešenje za koje se postiže najbolja vrednost nekog cilja u skupu svih mogućih alternativnih rešenja problema, pri čemu svako rešanje iz ovog skupa zadovoljava zadate uslove (ograničenja). Pridev linearno označava da se cilj i ograničenja formalizuju linearnim jendačinama i nejednačinama. Termin programiranje se upotrebljava kao sinonim za planiranje.

14 14 Linearno programiranje (LP) c 1 c 2 c j c n a 11 a 12 a 1j a 1n b 1 a 21 a 22 a 2j a 2n b 2 a i1 a i2 a ij a in b i a m1 a m2 a mj a mn b m min f ( x) c1 x1 c2x2 cnx max po.. a11x1 a12x2 a1 nxnb1 a21x1 a22x2 a2nxnb2 a x a x a x b x 0, x 0,..., x 0 m1 1 m2 2 mn n m 1 2 n n

15 15 Linearno programiranje (LP) c 1 c 2 c j c n min max po.. f ( x) n j1 c x j j a 11 a 12 a 1j a 1n b 1 a 21 a 22 a 2j a 2n b 2 n aij x j bi, i 1, m j1 x 0, j 1, n j a i1 a i2 a ij a in b i a m1 a m2 a mj a mn b m

16 16 Linearno programiranje (LP) c 1 c 2 c j c n a 11 a 12 a 1j a 1n b 1 a 21 a 22 a 2j a 2n b 2 min f ( x) max po.. A X T C X b a i1 a i2 a ij a in b i X 0 a m1 a m2 a mj a mn b m

17 17 Dualni problem LP simetričan oblik Primal max ( ) po.. f x c x c x c x a x a x a x b n n 1 n n Dual min ( ) po.. y b y b y b y a y a y a y c m1 m 1 m m a21x1 a22 x2 a2nxn b2 a x a x a x b m1 1 m2 2 mn n m x 0, x 0,..., x n a y a y a y c a y a y a y c m2 m 2 1n 1 2n 2 mn m n y 0, y 0,..., y m

18 18 Primal max f ( x) c jx po.. n j1 j Dual min ( y) po.. m biy i1 i n j1 a x b, i 1, m ij j i x 0, j 1, n j m i1 a y c, j 1,..., n ij i j y 0, i 1,..., m i

19 19 Primal T max f ( x) C X po.. AX b X 0 Dual T min ( y) b Y po.. T A Y Y 0 C

20 20 Pravila za svođenje na simetričan oblik LP Problem minimizacije funkcije f(x) može se svesti na problem maksimizacije funkcije - f(x). Ograničenje tipa se, množenjem obe njegove strane sa 1, svodi na ekvivalentno ograničenje tipa. Ograničenje oblika = se može zameniti sa dva ograničenja i. Ako za promenljivu x j ne postoji nikakav uslov koji ograničava njen znak, tj. je neograničeno po znaku, tada se u problem uvodi smena x j =x j + + x j-, gde su x j+ 0 i x j- 0. Ako je promenljiva x j 0, tada se u problem uvodi smena x j =-x j, gde je x j 0.

21 i (y Fi F x xj yj y i j (x) ) F(x) 21 Simetrija primala i duala Dual duala je primal. Formiranje duala opšti oblik Primalni problem Dualni problem (ili dualni problem) (ili Primalni problem) max f(x) (ili (y)) min (y) (ili f(x) ) Ograničenja primala (ili duala) Promenljiva x j (ili y j ) tipa nenegativna tipa nepozitivna tipa = neograničena po znaku Promenljiva x j (ili y j ) Ograničenja duala (ili primala) ненегативна tipa непозитивна tipa неограничена по знаку tipa =

22 Svojstva 22 SLABA DUALNOST. Ako je x dopustivno rešenje primala a y dopustivno rešenje duala tada je f(x) (y). (primal: max f(x), dual: min (y))

23 Svojstva 23 Ako je funkcija cilja primala neograničena odozgo na njegovoj dopustivoj oblasti, tada je dopustiva oblast duala prazna. Ako je funkcija cilja duala neograničena odozdo na njegovoj dopustivoj oblasti, tada je dopustiva oblast primala prazna.

24 Svojstva 24 JAKA DUALNOST Primal ima optimalno rešenje ako i samo ako dual ima optimalno rešenje, pri čemu su optimalne vrednosti funkcija cilja ova dva problema jednake f(x) (y).

25 Svojstva 25 JAKA DUALNOST Primal ima optimalno rešenje ako i samo ako dual ima optimalno rešenje, pri čemu su optimalne vrednosti funkcija cilja ova dva problema jednake.

26 26 Svojstvo komplamentarne dopunjivosti x y 0, i 1,2,..., m j i ( x izravnavajuća promenljiva uvedena u i-to ograničenje) j T x ( c A y ) 0, j 1, 2,..., n j j j