Active suspension LQR

Транскрипт

1 Neizrazito i digitalno upravljanje (NDU) Digitalna regulacija stanja linearni kvadratični regulator (LQR) na primjeru regulacije aktivnog ovjesa na ¼ modelu vozila 3. PREDAVANJE Završne radionice Ivan Cvok ivan.cvok@fsb.hr Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje 28. studenog Ovi nastavni materijali izrađeni su isključivo za potrebe studenata navedenog kolegija. 1

2 SADRŽAJ Uvod: - zadaća ovjesa, aktivni/pasivni ovjesi, primjeri aktivnih ovjesa Četvrtinski model vozila - matematički model ¼ vozila, zapis u prostoru stanja, pojednostavljenja Regulacija stanja linearni kvadratični regulator (LQR) - kontinuirani LQR, diskretni LQR, veza između kont. i dig. LQR, podešavanje LQR Regulacija aktivnog ovjesa - formulacija funkcije cilja, simulacijski rezultati - usporedba aktivnog i pasivnog ovjesa i usporedba kontinuirane i diskretne sinteze LQR Digitalna regulacija aktivnog ovjesa uz unaprijedno poznavanje profila ceste - motivacija, primjeri, modeliranje, konačni regulator, simulacijski rezultati 2

3 Uvod Vozilo: ovješena (karoserija, putnici) i neovješena masa (kotači, kočnice, spone..) povezane ovjesom (opruga, amortizer i aktuator) Zadaće ovjesa: osigurati neprekidan kontakt kotača i podloge uz što manje varijacije normalne sile jer jedino je tada moguće u svakoj situaciji ostvariti ubrzanje, usporenje ili skretanje (upravljivost vozilom) Prigušiti vertikalne vibracije ovješene mase, uzrokovane primarno neravninom podloge, radi postizanja udobnosti Tipovi ovjesa: Pasivni: opruga + amortizer NEUPRAVLJIVI konst. karakteristike Aktivni: opruga + amortizer + aktuator UPRAVLJIVI x 1 F z 3

4 Zadaća ovjesa Ovjes treba izolirati putnike i poželjno prigušiti vibracije u području frekvencija koje se generalno smatraju nepoželjnima za ljude (4-8 Hz, vidi tablicu desno) Varijacije vertikalne sile na kontaktu kotača i podloge trebaju biti minimalne. Vertikalna sila je proporcionalna deformaciji pneumatika pa se može minimizirati deformacija pneumatika x 1 Krajnji slučaj je odvajanje kotača od podloge vozilo postaje neupravljivo [1] Mastinu, G., Ploechl, M., Road and Off-Road Vehicle System Dynamics Handbook, 2014, CRC Press 4

5 Aktivni vs pasivni ovjesi Pasivni ovjesi imaju konstantne parametre opruga i prigušivača koji se optimiraju tako da se najviše priguši područje frekvencija štetno za ljude, uz što veće prigušenje deformacije pneumatika potreban je kompromis Aktivni ovjesi mogu modificirati ponašanje ovjesa Upravljački algoritam može se prilagođavati potrebama vozača, npr. modovi vožnje: comfort sport AFK za ¼ model sa slide 9 Dva rezonatna vrha: ~1-1.5Hz rezonantna frekvencija ovješene mase, ~10-15Hz rezonantna frekvencija neovješene mase AFK prijenosnih funkcija ubrzanja ovješene mase i deformacije pneumatika s obzirom na vertikalnu brzinu ceste [2] Cvok, I. "Izrada upravljačkog programa eksperimentalnog postava za ispitivanje percepcije vozača o udobnosti vožnje 2017, Završni rad, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje 5

6 Primjer aktivnog ovjesa: Bose Suspension Prvi poznatiji primjer brzog FAS-a je Bose Suspension aktuator: linearni elektromotor Maseni prigušivač Maseni prigušivač smanjuje rezonantni vrh neovješene mase 6

7 Primjer aktivnog ovjesa: Active Body Control Drugi poznatiji primjer je FAS-a je Daimler Chrysler ABC (Active Body Control) (1999.) aktuator: Hidraulički cilindar u seriji s oprugom, paralelno amortizer (na novijim verzijama amortizer s promjenjivim koeficijentom prigušenja) Aktuatoru (~5Hz) je u seriju dodana opruga za prigušenje vibracija viših frekvencija jer je pri višim frekvencijama aktuator prekrut Opruga u seriji radi viših frekvencija 7

8 Četvrtinski model vozila [3] Ovješena masa m s predstavlja ¼ ovješene mase vozila Neovješena masa m us predstavlja masu jednog kotača i pripadajućih elemenata (npr. kočnice) Paralelni spoj opruge i prigušivača predstavlja elemente ovjesa (ekvivalentna krutost opruge k s, ekvivalentno prigušenje amortizera b s ) i opisuje karakteristike gume u vertikalnom smjeru (krutost k t, prigušenje b t ) w brzina podloge (modelira se zasebno) Model s dva stupnja slobode gibanja (2DoF), aktivni ovjes (lijevo), pasivni ovjes (desno) [3] Šagi, G., Lulić, Z., Ormuž, K., "Ovjes vozila", Podloge za predavanje iz kolegija "Motorna Vozila", Sveučilište u Zagrebu FSB,

9 Matematički model ¼ modela vozila [4] Matematički model ¼ vozila glasi: m z = k ( z z ) b ( z z ) + k ( z z ) + b ( z z ) + U m g u u t u r t u r s s u s s u u mszs = ks( zs zu ) bs ( zs zu ) U msg Odabrane varijable stanja su: x = z z, - deformacija pneumatika x z u u x = z z x = = z s s r, - brzina neovješene mase u, - hod ovjesa, - brzina ovješene mase Matematički model ¼ vozila izražen preko varijabli stanja: x = x z 1 2 r k b k b u x = z = x ( x w) + x + ( x x ) + g t t s s 2 u mu mu mu mu mu x = x x k b u x = z = x ( x x ) g s s 4 s ms ms ms Promjena od ravnotežnog stanja u = U- upravljačka varijabla w= z r - poremećaj (vertikalna brzina ceste) g se zanemaruje nema dinamičko djelovanje i uzrokuje početnu deformaciju pneumatika i hod ovjesa [4] Cvok, I. Sinteza i usporedna analiza sustava regulacije vertikalne dinamike vozila uz primjenu aktivnog i poluaktivnog ovjesa 2018, Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje 9

10 Zapis modela u kontinuiranom prostoru stanja x k ( b + b ) k b x 1 1 t s t s s 1 b t x 2 mu mu mu m u x 2 m u = + u+ mu x x 3 0 c c 1 w 0 x4 bs ks bs x ms ms m s m s g A x( t) = A x( t) + b u( t) + gw( t) c c Ukoliko, radi jednostavnosti, ostavimo samo aktuator (ovaj model se koristi dalje): x1 x 1 1 kt b t b t x x 2 m u = mu mu + u+ mu w x3 x x x m s 4 4 xv Avc b vc g vc b c Karakeristiku opruge i amortizera znamo te ih možemo uključiti u upravljačku silu (feedforward kompenzacija), čime se sinteza regulatora bitno pojednostavljuje. Isto vrijedi i za utjecaj gravitacije (self-leveling) [5]. Za gornji model bi zakon upravljanja bio: u = u k x b x x ( ) tot LQ s 3 s 4 2 feed forward [5] Hrovat, D., "Survey of Advanced Suspension Developments and Related Optimal Control Applications", Automatica, Vol. 33, No.10, pp ,

11 Regulacija stanja linearni kvadratični regulator Kontinuirani LQR Za linearni vremenski invarijatni (LTI) sustav x( t) = Acx( t) + Bcu( t) optimalni vektor upravljanja u() t koji minimizira linearnu kvadratičnu (LQ) funkciju cilja J [6]: 0 ima oblik: ( ( ) T T c ( ) ( ) c ( )) J = x t Q x t + u t R u t dt ( 1 ) u( t) = R B P x( t) = K x( t) c c c c gdje je P c matrica koja zadovoljava algebarsku Riccatijevu jednadžbu (ARE): P B R B P P A A P Q 1 T T c c c c c c c c c c = 0 Q = Q 0, R = R 0 T T c c c c Ista struktura kao kod regulacije stanja! Jedinstveno rješenje ARE postoji jedino ako je sustav upravljiv. Matrica Q c je težinska matrica koja penalizira varijable stanja i time utječe na prigušenje odziva varijabli stanja i statičku pogrešku, a matrica R c je težinska matrica koja penalizira upravljačke varijable i time utječe na iznos energije upravljanja Sinteza kontinuiranog LQ regulatora za kontinuirani model prostora stanja i odgovarajuće kontinuirane matrice težinskih koeficijenata može se izvršiti MATLAB naredbom lqr [6] Anderson, B., Moore, J., Optimal Control Linear Quadratic Methods, 1989, Prentice-Hall International 11

12 Diskretni linearni kvadratični regulator (LQR) Za diskretni linearni vremenski invarijatni (LTI) sustav x( k + 1) = Adx( k) + Bdu( k) optimalni vektor upravljanja u( k) koji minimizira linearnu kvadratičnu (LQ) funkciju cilja J [7]: T T T T J = ( x( k) Qdx( k) + u( k) Rdu( k) ) Qd = Qd 0, Rd = Rd 0 ima oblik: k= 0 ( T ) 1 u( k) = R + B P B B P A x( k) = K x( k) T d d d d d d d d gdje je P d matrica koja zadovoljava diskretnu algebarsku Riccatijevu jednadžbu (DARE): ( ) 1 P = Q + A P A A P B R + B P B B P A T T T T d d d d d d d d d d d d d d d Jedinstveno rješenje DARE postoji ako je sustav upravljiv. Ista struktura kao kod regulacije stanja! Sinteza diskretnog LQ regulatora za diskretni model prostora stanja i odgovarajuće diskretne matrice težinskih koeficijenata se može izvršiti MATLAB naredbom dlqr [7] Isermann, R., Digital Control Systems 1981, Springer- Verlag 12

13 Izjednačavanje kontinuirane i diskretne funkcije cilja J Ukoliko je sinteza LQR provedena u kontinuiranom vremenu (određeni Q c i R c ) te ako želimo iste performanse dobiti primjenom diskretnog regulatora potrebno je prilagoditi diskretne težinske matrice (Q d i R d ). Diskretizacijom kontinuirane funkcije cilja dobiva se veza između kontinuirane i diskretne funkcije cilja Veza između težinskih matrica kontinuirane i diskretne LQ funkcije cilja je sljedeća: T Ad 0 Qc N c T T Qd Nd T d d c T = gdje je: exp B 0 N R T T je vrijeme = Nd Rd Ad B uzorkovanja d Pretpostavlja se ZOH prilikom diskretizacije kontinuiranog prostora stanja. Sinteza diskretnog regulatora za kontinuirani model prostora stanja i kontinuirane matrice težinskih koeficijenata se može izvršiti MATLAB naredbom lqrd lqrd diskretizira kontinuirani prostor stanja funkcijom c2d koristeći ZOH aproksimaciju, izračunava težinske matrice na gore prikazan način i naredbom dlqr izračunava pojačanja regulatora. Puni izvod dostupan u : [8] Franklin, G., Powell, J., Workman, M., Digital Control of Dynamic Systems, 1998, Addison Wesley Longman. Inc 13

14 Odabir težinskih matrica Odabirom težinskih koeficijenata u matricama Q i R utječemo na dinamiku zatvorenog regulacijskog kruga Matricom Q oblikuje se prijelazni proces vektora stanja x većim elementima Q odgovara manja pogreška regulacije, bolje prigušenje korijeni sustava se pomiču ulijevo a iznosi pojačanja K rastu, vrijedi i obrnuto Jedan od načina penalizacije izlaza u LQ ciljnoj funkciji je postavljanje matrice Q=C T Q y C, jer vrijedi y=cx. U tom slučaju sustav mora biti mjerljiv (observabilan) Matricom R utječe se na iznos energije upravljanja većim elementima R odgovara manje forsiranje upravljačke varijable te manja energija upravljanja jer su pojačanja manja Postupak odabira Q i R je iterativan dizajner mora sam izabrati vrijednosti kojima će dinamika sustava postići tražene performanse 14

15 Regulacija aktivnog ovjesa LQ funkcija cilja za aktivni ovjes Indeksi performansi aktivnih ovjesa uključuju ocjenu udobnosti vožnje i upravljivosti vozila. Za ocjenivanje udobnosti vožnje često se koristi standardna devijacija vertikalnog ubrzanja ovješene mase, dok se za ocjenivanje upravljivosti vozila često koristi standardna devijacija deformacije pneumatika. Uz to, u funkciju cilja se uključuje i hod ovjesa koji je potrebno minimizirati jer je isti konstrukcijski ograničen. Indeks performansi tada postaje jednak: x 1 = deformacija pneumatika J = ( q1x1 + q2x3 + x4 ) dt = q1x1 + q2x3 + u dt x3 = hod ovjesa ms x4 = ubrzanje ovješene mase a rms 1 t 2 z, rms = s t rms 0 z dt Što odgovara kvadratičnoj funkciji cilja LQR q uz matrice: Qc =, Rc = q2 0 ms Originalni RMS indeks performansi = kvadratni kriterij (podintegral u RMS-u) 0 ( ( ) T T c ( ) ( ) c ( )) J = x t Q x t + u t R u t dt q 1 i q 2 težinski koeficijenti (bira ih dizajner) 15

16 Simulacijski rezultati regulacije aktivnog ovjesa Uspoređivat će se 3 slučaja: - 1. Kontinuirani regulator s pojačanjima dobivenim kontinuiranom sintezom ( lqr ) - 2. Digitalni regulator s pojačanjima dobivenim kontinuiranom sintezom - 3. Digitalni regulator s pojačanjima dobivenim diskretnom sintezom ( lqrd ) Podloga je opisana modelom: h 2 sin t, za t t t + T wt () = Tizb Tizb 0, inače b b izb Cosine bump" gdje je h visina izbočine, T izb =L/v x Parametri modela vozila Parametri izbočine Dizajn LQR m b k s s s = 400 kg m = 40 kg = 1508 Ns/m b = 0 Ns/m = N/m k = N/m t t us h = 5 cm L = 1m v x = 10 m/s q q 1 2 = 10 5 =

17 Usporedba aktivnog i pasivnog ovjesa Povećana udobnost ali smanjenja upravljivost Narušena udobnost ali povećana upravljivost Comfort q 1c =0.1q 1, q 2c =0.1q 2 Sport q 1c =5q 1, q 2c =5q 2 Izravna prednost aktivnog ovjesa - dva različita ponašanja uz isti mehanički sustav samo promjenjeni parametri regulatora 17

18 Usporedba kontinuiranog i diskretnog regulatora z s ሷ ~ u stoga je zbog ZOH pravokutan (dinamika aktuatora nije uključena) Za niski T kontinuirana i diskretna sinteza daju gotovo identične rezultate PovećanjemT dolazi do manjih, neznatnih odstupanja Slučaj za T = 1 ms Slučaj za T = 5 ms 18

19 Usporedba kontinuiranog i diskretnog regulatora Dodatnim povećanjem T odstupanja rastu Slučaj za T = 10 ms Slučaj za T = 20 ms 19

20 Usporedba kontinuiranog i diskretnog regulatora Iako se stabilizira, dolazi do značajnih oscilacija i odstupanja što je neprihvatljivo Neispravna sinteza uz preveliki T dovodi do nestabilnosti Slučaj za T = 25 ms Ako želimo primjeniti diskretni regulator, sinteza regulatora mora biti provedena na diskretnom sustavu. Slučaj za T = 30 ms 20

21 Digitalna regulacija aktivnog ovjesa uz unaprijedno poznavanje profila ceste Dodatno poboljšanje kvalitete regulacije može se postići korištenjem unaprijedne informacije o vertikalnom profilu podloge Unaprijedno regulacijsko djelovanje podrazumijeva da je osim varijabli stanja vozila, poznat i profil ceste po kojoj će vozilo proći Informacije o profilu ceste mogu se iskoristiti za postizanje boljih performansi sustava, a i kako bi se sustav bolje pripremio za poremećaj, kako bi se ublažio utjecaj dinamike aktuatora, mrtvih vremena i slično. Cesta se unaprijed može snimiti laserima i/ili stereo kamerama montiranim na prednji dio vozila Mercedes prototip iz 2007: Active Preview Suspension System ABC Prescan in the F700 21

22 Aktivni ovjes s unaprijednim djelovanjem: Magic Body Control Prvi komercijalni uspjeh je Daimler Chrysler-ov MBC (Magic Body Control) (2013) proširenje ABC (Active Body Control) stereo kamerama koje snimaju cestu unaprijed, do 15 m i do brzina od 130 km/h

23 Aktivni ovjes s unaprijednim djelovanjem: Audi A8 Drugi primjer je novi Audi A8; koristi kameru koja snima cestu unaprijed, te elektromotor koji je preko poluge spojen na sponu ovjesa. Uz to, koristi i dodatni zračni ovjes 23

24 Aktivni ovjes s unaprijednim djelovanjem: Audi A8 Prelazak preko izbočine Princip rada

25 Modeliranje unaprijednog poznavanja profila podloge Regulator u kontinuiranom vremenu bio bi beskonačnog reda diskretni regulator je konačnog reda Pošto se koristi digitalni regulator, sinteza se provodi na diskretnom modelu sustava Model je preformuliran na način da se točka promatranja podloge pomakne N koraka unaprijed unaprijedno poznavanje profila podloge pretvara se u transportno kašnjenje sa stanovišta vozila [4,9] [9] Hrovat, D., Optimal Suspension Performance for 2-D Vehicle Models, 1991, Journal of Sound and Vibration, 146,

26 Diskretni model ceste i vozila Model vozila u diskretnom vremenu: x ( k + 1) = A x ( k) + b u( k) + g w ( k) v vd v vd vd v Pretvorba iz kontinuiranog modela u diskretni može se izvršiti MATLAB naredbom c2dm Diskretni uzorci profila ceste predstavljeni su kao N mjerljivih varijabli stanja xr = xr1 xr N = wr1 wr N uz to, vrijedi da je Model ceste u obliku diskretnog prostora stanja tada glasi: ( + 1) ( + ) ( ) xr1 k xr1 k 0 xr2 k xr2( k) 0 = + w xrn ( k + 1 ) 0 0 xrn( k) 1 r r r r r ( ) x ( k + 1) = A x ( k) + g w k r ( k) ( ) w ( k) = x k v r1 Ulaz u model preview-a ceste je prva točka ispred senzora time je ulaz u model vozila (točka ispod kotača) zapravo zakašnjena točka ispred senzora, za duljinu preview-a, što je sa stanovišta vozila problem mrtvog vremena N t preview = Gdje je t T preview vrijeme unaprijednog poznavanja profila podloge Odnos između vremena unaprijednog poznavanje profila ceste i vremena uzorkovanja određuje konačni red regulatora potreban kompromis 26

27 Izvod unaprijednog regulacijskog djelovanja Spajanjem modela dobivamo prošireni model sustava: ( k + 1) ( k 1) ( k) ( k) x A A x b 0 u k w k ( ) ( ) v vd 2 v vd = + + xr + 0 Ar xr 0 gr r N 1 A 2 = Gv 0 A A R Ar vd 2 (4 N) (4 N) Mrtvo vrijeme u konačnom modelu nije izravno vidljivo (uklopljeno je kroz model preview-a) ali sustav više nije upravljiv Prošireni sustav nije upravljiv po varijablama stanja (što je uvjet za LQR)! rank Q = Međutim, u [9] je pokazano da je moguće dobiti izraze za vektore pojačanja. Indeks performansi jednak je onome sa sl. 14: ( ) J = q x + q x + x dt ( ) s 4 Što odgovara kvadratičnoj funkciji cilja za klasični LQR. Matrice Q c i R c također ostaju iste kao i na sl

28 Izvod unaprijednog regulacijskog djelovanja - nastavak Matrice težinskih koeficijenata za proširenog sustava jednake su: Q vd Q =, R = R vd Upravljački zakon jednak je: u( k) = Kx( k) x ( ) 1 2 v k = K K x r( k) i može se zapisati u proširenom obliku: uk ( ) Vektor pojačanja K 1 odgovara vektoru pojačanja za slučaj bez unaprijednog poznavanja profila podloge, a vektor pojačanja K 2 se da izraziti pomoću vektora K 1 i modela vozila: 1 T T T T N 2 T N 1 K2 = ( Rvd + B P vd 11Bvd ) B vd ( ) ( ) P11 Gvd AclvP11 Gvd Aclv P11 Gvd Acl P11 Gvd gdje je P 11 rješenje diskretne algebarske Riccatijeve jednadžbe za slučaj bez preview, a A clv je matrica zatvorenog regulacijskog kruga za slučaj bez preview. A = A B K clv vd vd 1 Matrica pojačanja K 2 ovisi o podešenju ovjesa bez unaprijednog djelovanja. Rješenje diskretne algebarske Riccatijeve jednadžbe može se dobiti MATLAB naredbama dlqr, dare, lqrd Puni izvod dostupan u : [4] Cvok, I. Sinteza i usporedna analiza sustava regulacije vertikalne dinamike vozila uz primjenu aktivnog i poluaktivnog ovjesa 2018, Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje 28

29 Simulacijski rezultati regulacije aktivnog ovjesa uz unaprijedno poznavanje profila podloge Podloga je opisana istim modelom kao i ranije (vidi slide 16) Vrijeme uzorkovanja je T = 5 ms Parametri modela i dizajn LQR isti su kao i ranije (vidi slide 16) Struktura simulacijskog modela u Simulink-u 29

30 Rezultati za t preview = 50 ms (N = 10) Nadalje prikazani samo zaokruženi dijelovi Mala poboljšanja udobnosti i upravljivosti 30

31 Rezultati za t preview = 100 ms (N=20) Smanjeno pomicanje ovješene mase Aktuator pobuđuje mod neovješene mase kotač se podiže pred izbočinom što rezultira manjom deformacijom pneumatika Slične rezultate daje i globalna optimizacija, vidi čl. Čorić et. al "Optimisation of Active Suspension Control Inputs for Improved Vehicle Ride Performance", Vehicle System Dynamics 54 (7), pp ,

32 Rezultati za t preview = 250 ms (N=50) Osim pobuđivanja moda neovješene mase, dolazi do podizanja ovješene mase prije nailaska na izbočinu 32

33 Rezultati za t preview = 500 ms (N=100) Mala razlika u rezultatima za dvostruko veći preview (s 250ms na 500ms) vidi objašnjenje na idućem slide-u 33

34 Usporedba rezultata za t preview = 250 ms i za t preview = 500 ms Dvostrukim povećanjem vremena unaprijednog poznavanja profila ceste, što rezultira i većim redom regulatora, nije došlo do znatnog poboljšanja performansi Razlog leži u tome što pojačanja K 2 s povećanjem t preview (a time i reda regulatora) postaju sve manja Ovo je neovisno o vremenu uzorkovanja, ali ovisi o Q c i R c Za konkretni model vozila i postavke regulatora, nakon ~350 ms nema značajnijih poboljšanja 34

35 Rezultati za t preview = 250 ms, duža i viša izbočina Iznimno povećanje udobnosti na dužim izbočinama manje forsiranje aktuatora 35

36 Performanse aktivnog ovjesa Dizajn se obično provodi na stohastičkim podlogama; najčešće se uzima bijeli šum normalne raspodjele kao ulaz w(t) Tada je analitički moguće odrediti performanse ovjesa tj. rms vrijednosti za različite kombinacije težinskih koeficijenata a) b) t p 500ms - 60 % norm. akceleracije za isti norm. deformaciju pneumatika rms vrijednosti normirane s obzirom na intenzitet pobude min PI = E( r1 x1 + r2 x3 + x4 ) Manje ubrzanje = veća udobnost Manja deformacija pneumatika = veća upravljivost Performanse aktivnog ovjesa s unaprijednim djelovanjem: a) kompromis između udobnosti vožnje i hoda ovjesa, b) kompromis između udobnosti vožnje i upravljivosti [4] 36

37 Pitanja? Diskusija 37