MAT-KOL (Banja Luka ISSN 0354-6969 (, ISSN 986-58 (o Vol. XVIII ((0, 7-3 Interesantna rimjena Mellinove transformacije Samra Pirić, Sanela Halilović Sažetak. U radu je okazano kako Mellinova transformacija vakuum stanja adeličkog harmonijskog oscilatora vodi do oznate funkcionalne jednačine za Riemannovu zeta funkciju. Ključne riječi i fraze: Mellinova transformacija, adelički harmonijski oscilator, vakuum stanje. Abstract In this aer is shown how Mellin transform of vacuum state of the adelic harmonic oscillator leads to the well-known functional equation for the Riemann zeta-function. AMS Mathematics Subject Classification (00: F85, R56, 4A38 ZDM Subject Classification (00: I70 Key words and hrases: Mellin transform, adelic harmonic oscillator, vacuum state Uvod Poznato je da matematički modeli fizičkih fenomena referiraju komletiranja olja racionalnih brojeva Q u odnosu na samo olje Q. Kako se komletiranjem olja racionalnih brojeva Q u odnosu na asolutnu vrijednost dobiva olje realnih brojeva R, analogno komletiranjem Q u odnosu na -adsku normu dobivamo olje -adskih brojeva Q, za svaki rost broj. 3 Prema Ostrowskom osim R i Q, za svaki rost broj, i ne ostoje druga komletiranja Q. Definition. Neka je rost broj. adska norma na olju racionalnih brojeva Q uvodi se na sljedeći način: { γ, x 0 x 0, x 0 Univerzitet u Tuzli, Prirodno-matematički fakultet, Odsjek matematika, Univerzitetska 4, 75 000 Tuzla, Bosna i Hercegovina, e-mail: samra.iric@untz.ba Univerzitet u Tuzli, Prirodno-matematički fakultet, Odsjek matematika, Univerzitetska 4, 75 000 Tuzla, Bosna i Hercegovina, e-mail: sanela.halilovic@untz.ba 3 -adske brojeve uveo je njemački matematičar Kurt Hensel krajem XIX vijeka.
8 Pirić, Halilović gdje je cijeli broj γ definisan relacijom x γ m n, a m i n su cijeli brojevi koji nisu djeljivi s. Definition. Sku koji je dobiven komletiranjem skua racionalnih brojeva u odnosu na adsku normu naziva se sku adskih brojeva u oznaci Q. Sku -adskih brojeva α Q za koje vrijedi α naziva se sku -adskih cijelih brojeva u oznaci Z. Polje Q je lokalno-komaktna komutativna grua u odnosu na sabiranje, a je na njemu moguće definisati ozitivnu Haarovu mjeru dx, koja je invarijantna u odnosu na translaciju tj. d(x + a dx. Mjera dx može se normirati tako da je dx. x Za svaki komaktan sku K Q mjera definiše ozitivan linearan nerekidan funkcional na C (K formulom f(xdx, f C (K, gdje je C (K rostor K nerekidnih funkcija na K s normom f C(K max x K f(x. Na multilikativnoj grui Q Q \ {0} definiše se Haarova mjera d x invarijantna u odnosu na množenje. Navedene mjere ovezane su jednakošću d x dx. x Realni i -adski brojevi objedinjeni su u formi adela. Kao što je oznato Riemannova zeta funkcija može se redstaviti u obliku Eulerovog roizvoda o svim rostim brojevima ζ (s n< n s s, za Re(s >. Relacije ovakvog tia uoštene su u teoriji adela. Definition.3 Adel x je beskonačni niz oblika x (x, x,..., x,..., gdje je x R i x Q s restrikcijom da za sve osim za konačan sku S rostih brojeva imamo x Z, tj. x.
Interesantna rimjena Mellinove transformacije 9 Sku svih adela formira rsten adela A ako su sabiranje i množenje definisani o komonentama. Aditivna grua rstena adela naziva se grua adela. Elementi adele rstena koji imaju inverzni element nazivaju se ideli. Niz λ (λ, λ,..., λ,... je idel ako je λ 0 i λ za sve osim za konačno mnogo rostih brojeva. Sku svih idela formira gruu u odnosu na množenje, u oznaci A. U A se uvodi toologija Tihonovog roizvoda tooloških rostora R, O,..., O,... gdje je O odgrua cijelih -adskih brojeva. Na taj način niz adela x (n ( x (n, x (n,..., x(n,... konvergira ka adelu x (x, x,..., x,..., ako konvergira o komonentama i ako ostoji takav N, da su za svako n N brojevi x x (n cijeli -adski. U odnosu na ovu toologiju A ostaje lokalno-komaktna toološka grua, što neosredno slijedi iz komaktnosti grue O. Zbog toga na A ostoji Haarova mjera koja se označava s da i koja se može izraziti omoću mjera da na Q gdje su mjere da normirane uslovima da da da... da..., 0 da, a da. Analogno na grui A ostoji invarijantna Haarova mjera koja se označava s d λ i može se izraziti omoću mjera d λ na multilikativnoj grui Q na sljedeći način: d λ d λ d λ... d λ... Svaki aditivni karakter na grui adela A ima oblik χ 0 (ax ex πi( a x + a x +... + a x +..., gdje je a A i a x redstavlja racionalni dio od a x. Multilikativni karakter π na idele grui A može se redstaviti u obliku π (λ λ s θ (λ. Elementarne funkcije na grui adela A redstavljene su u obliku beskonačnog roizvoda φ (a φ (a, gdje faktori φ (a zadovoljavaju sljedeće uslove: φ (a je beskonačno diferencijabilna funkcija na R, takva da za n N a n φ (a 0 kad a.
0 Pirić, Halilović φ (a su lokalno konstantne funkcije sa komaktnim nosačem. 3 Za skoro sve roste brojeve je φ (a ako je a i φ (a 0 ako je a >, što znači da su funkcije φ (a jednake karakterističnoj funkciji skua cijelih -adskih brojeva Z u oznaci Ω ( x. Konačne linearne kombinacije elementarnih funkcija čine sku S (A Schwartz-Bruhatovih adeličkih funkcija. Fourierova transformacija funkcija iz rostora S (A data je formulom ϕ (b ϕ (a χ 0 (ba da. A Mellinova transformacija funkcija iz rostora S (A u oznaci Φ (s definisana je u odnosu na multilikativni karakter π (x x s s ( Φ (s A ϕ (x x s d x, za Re(s >. Funkcija Φ (s može se analitički rodužiti na cijelu komleksnu ravan izuzev tačaka s 0 i s gdje ima roste olove. U [] je okazano da ako se s Φ označi Mellinova transformacija funkcije ϕ, onda vezu izmedu Φ i Φ daje formula oznata kao formula Tatea ( Φ (s Φ ( s. Adelički harmonijski oscilator Jedna od važnijih rimjena -adskih brojeva jeste formulacija -adske kvantne mehanike. Za ilustraciju -adskih i kvantno-mehaničkih modela najadekvatniji rimjer je model harmonijskog oscilatora. Harmonijski oscilator redstavlja jednostavan teoretski model s izuzetno bogatom strukturom, koji se može riješiti egzaktno, klasičnim kao i kvantno-mehaničkim metodama i ima široku rimjenu, jer se veliki broj roblema u fizici svodi na rješavanje roblema harmonijskog oscilatora. Prema [4] -adski harmonijski oscilator definisan je uredjenom trojkom (L (Q, W (z, U(t, gdje je L (Q Hilbertov rostor komleksnih funkcija kvadratno integrabilnih u odnosu na Haarovu mjeru na Q, W (z je unitarna rerezentacija Heisenberg-Weylove grue, z (q, Q tačka u - adskom faznom rostoru i U(t unitarna rerezentacija aditivne odgrue od Q (evolucioni oerator. Sektralni roblem u -adskoj kvantnoj mehanici ovezan je s istraživanjem svojstvenih vrijednosti i svojstvenih funkcija evolucionog oeratora. Prema [3] u standardnoj kvantnoj mehanici nad oljem realnih brojeva razmatraju se sektralne osobine Hamiltonijana, tj. roblem se
Interesantna rimjena Mellinove transformacije svodi na rješavanje stacionarne Schrödingerove jednačine čijim rješavanjem se dolazi do svojstvenih funkcija ψ n (x 4 ( n n! e πx H n (x π, gdje su H n Hermiteovi olinomi. Svojstvene funkcije koje odgovaraju najnižoj svojstvenoj vrijednosti definišu osnovno stanje fizičkog sistema (vakuum. Osnovno stanje kvantnomehaničkog harmonijskog oscilatora dobiva se za n 0 tj. (3 ψ 0 (x 4 e πx. Osnovno stanje -adskog harmonijskog oscilatora dato je funkcijom Ψ L (Q koja zadovoljava jednačinu U(tΨ Ψ, za t. U [4] je okazano da je u slučaju (mod 4, koji doušta najkomletniju analizu, osnovno stanje jednako karakterističnoj funkciji skua Z, tj. (4 Ψ 0 (x Ω( x Adelički harmonijski oscilator je rirodna ilustracija matematičke analize na adelima. To je jednostavan i egzaktan adelički model koji je definisan uredjenom trojkom (L (A, W (z, U (t, ( q gdje je A rsten adela, z adelička tačka klasičnog faznog rostora, a t k je adeličko vrijeme (vidjeti []. L (A je Hilbertov rostor komleksnih funkcija adeličkog argumenta, kvadratno-integrabilnih u odnosu na Haarovu mjeru na A, W (z označava unitarnu rerezentaciju Heisenberg-Weylove grue na L (A, a U (t (evolucioni oerator je unitarna rerezentacija odgrue G aditivne grue A + na L (A. Ortonormirana baza adeličkog Hilbertovog rostora za harmonijski oscilator je (5 ψ αβ (x ψ ( n0 (x ψ ( α β (x, x A, gdje su ψ ( n0 (x ψ n (x i ψ ( α β (x ortonormirane svojstvene funkcije u realnom i -adskom slučaju, resektivno. Sada uvrštavanjem (3 i (4 u (5 dolazi se do formule za osnovno stanje adeličkog harmonijskog oscilatora (6 ψ 00 (x 4 e πx Ω( x
Pirić, Halilović 3 Mellinova transformacija vakuum stanja adeličkog hramonijskog oscilatora Primjenom Mellinove transformacije na vakuum stanje ψ 00 (x dato sa (6, dobiva se + Φ (s 4 e πx x s dx x s d x, x Pomoću smjene πx y u rvom integralu dobiva se + 4 e πx x s dx 4 π s + 0 4 π s Γ ( s gdje je Γ klasična gama funkcija. Za drugi integral imamo a je x x s d x x 0 γs s, x s d x 0 γ 0 γ 0 γ e y y s dy, x γ x x γ ( γ s dx s dx ( γ s ( γ ζ (s, s gdje je ζ (s Riemannova zeta funkcija. Dakle, ( Φ (s 4 π s s Γ ζ (s. Kako je Fourierova transformacija osnovnog stanja adeličkog harmonijskog oscilatora Ψ Ψ to je i Φ Φ [], a se uvrštavanjem Φ ( s Φ ( s
Interesantna rimjena Mellinove transformacije 3 u formulu Tatea dolazi do oznate funkcionalne jednačine za Riemannovu zeta funkciju ( ( s Γ π s s ζ (s Γ π s ζ ( s. References [] B. Dragovich, Adelic Harmonic Oscillator, Int. J. Mod. Phys. A0 (995, 349-365 [] I. M. Geljfand, M. I. Graev, I.I. Pjatecki-Šairo, Teoriya redstavlenij i avtomorfnye funkcii, Nauka, Moskva, 966. [3] D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, 995. [4] V. S. Vladimirov, I. V. Volovich, E. I. Zelenov, -adic Analysis and Mathematical Physics, World Scientific, Singaore, 994. (Pristiglo u redakciju 07.0.0. revdirana verzija..0. Dostuno na internetu od 3..0.