5. REPUBLIQKO TAKMIQE E IZ MATEMATIKE UQENIKA SRED IH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Istoo Sarajevo 14. aril 018. ZADACI PRVI RAZRED 1. Na xahovsom turiru odigrao je uuo 100 artija. Dva igraa su austila turir. Svai od ih je do auxta a turira odigrao o 5 artija. Da li su oi igrali meusobo rije auxta a turira?. U trougao ABC sa ravim uglom u tjemeu C uisaa je ruica oja dodiruje egove straice AB BC CA redom u taama M N L. Nea je K taa dui BN tava da je BK CL. Doazati da je KL MN. 3. Nea za reale brojeve a i b vai 3a b 1 i a 3b 1. Doazati da je a 1 i b 1. 4. Dato je deadih cifara razliitih od ule od ojih ee mogu biti jedae. Od tih cifara su formirai svi mogui cifrei brojevi. Doazati da meu ima moe biti ajvixe jeda stee dvoje. (Na rimjer meu 30 xestocifreih brojeva 4588 4858... 8854 oji se zaisuju omou cifara 4 5 8 8 samo je broj 5488 19 stee dvoje.) DRUGI RAZRED 1. Za riroda broj ozaimo sa d() ajvei zajedii djelilac rirodih brojeva + 1 i ( 1) 3 +. Nai sve vrijedosti d() N.. U ravi su date ruice 1 i. Nea su i ihove zajedie so ax e tagete i ea je P dodira taa tagete sa ruicom 1 a Q dodira taa tagete sa ruicom. Doazati da date ruice odsijecaju a ravoj P Q odudare tetive. 3. Odrediti sve arove ( ) realih brojeva tao da vadrati triomi x + x + i x + x + 1 imaju jeda zajedii reali orije i da zbir ostala dva ihova orijea bude 1/.
4. Jediia o a vadrate table se boje bijelom i crom bojom. Kolio ima razliitih boje a te table od ojih se u svaom vadratu uutar table alazi odjeda broj bijelih i crih o a? TRE I RAZRED 1. Nea je H ortocetar oxtrouglog trougla ABC i D E F redom odoja visia iz egovih tjemea A B C. Nea je P resjea taa dui DF i BE. Prava oja sadri tau P i ormala je a BC sijee straicu AB u tai Q. Nea je N resjea taa dui AD i EQ. Doazati da je taa N sredixte dui AH.. Odrediti sve arove ( ) rostih brojeva za oje vai 1 1 i 1 + 1. 3. Za oje se sve straice i dijagoale datog ravilog ugla mogu obojiti sa boja (svaa du jedom bojom) tao da za bilo oje tri razliite boje ostoji trougao sa tjemeima u tjemeima datog ugla ije su straice obojee tim bojama? 4. Niz a 0 a 1 a... realih brojeva zadovo ava uslove a 0 0 a 1 a + a +1 1 ( N). Doazati da vai a) a +1 + 1 a 1 za svao N; b) Ao je a 0 za ei riroda broj oda je a svao 1... 1. ( ) za QETVRTI RAZRED 1. Dat je jedaorai traez sa osovicama AB i CD. Kruica oja sadri tae D i C drugi ut sijee straicu AD u tai X a dijagoalu BD u tai Y. Tageta a ruicu u tai C sijee ravu AB u tai Z. Doazati da su tae X Y Z olieare.. Isti ao zadata za trei razred. 3. Isti ao zadata 3 za trei razred.
3 4. Niz a 0 a 1 a... realih brojeva zadovo ava uslove a 0 0 a 1 a + a +1 1 ( N). Doazati da vai a) a +1 + 1 a 1 + 1 za svao N; b) Ao je a 0 za ei riroda broj oda je a < l 1... 1. za svao RJEXE A PRVI RAZRED 1. Nea je broj uesia turira. igraa oji su zavrxili turir ( )( 3) odigrali su meusobo artija. Dva igraa oji su austili turir odigrali su zajedo 9 ili 10 artija u zavisosti od toga da li su igrali meusobo ili isu. Dale dobijamo dvije jedaie ( )( 3) ( )( 3) + 9 100 + 10 100 oje su evivalete redom sa ( )( 3) 18 i ( )( 3) 180 ri emu as iteresuju samo ihova riroda rjexe a. Tavo rjexe e 16 ima samo rva jedaia odale slijedi da su igrai oji su austili turir igrali meusobo.. Nea je I cetar uisae ruice trougla ABC. Prava IB je simetrala ugla u tjemeu B a ao je BM BN slijedi da je IB MN. Qetvorougao CLIN je vadrat (sa straicom jedaom olureiu uisae ruice trougla ABC) a iz uslova BK CL slijedi da je BK IL. Kao su osim toga rave BK i IL aralele (jer su obje ormale a AC) to je BKLI aralelogram. Odavde slijedi da je KL IB tj. KL MN. 3. Iz datih uslova dobijamo redom da je 1 3a b 1 i 1 a 3b 1 (1) 3a 1 b 3a + 1 i a 1 3 b a + 1 3
4 odale slijedi da je 3a 1 a + 1 3 i a 1 3 3a + 1 Pos ed e dvije ejedaosti su evivalete redom sa ejedaostima a 1 i 1 a a je 1 a 1 tj. a 1. Aalogo se doazuje da je 1 b 1 (xto taoe slijedi i iz druge ejedaosti u (1) oxto je 1 a 1). 4. Pretostavimo suroto da meu tim brojevima ostoje dva steea dvoje i l > l. Tada je broj l l ( l 1) ao razlia dva broja zaisaih istim ciframa dje iv sa 9 (slijedi iz i eice da 9 10 i 1 za svao i N). Dale (1) 9 l 1. Sa druge strae ao su oba broja i l vei od 10 1 i ma i od 10 to je l / l < 10. Odavde dobijamo da je l 3 tj. 1 l 3 xto je u surotosti sa (1).. DRUGI RAZRED 1. Za dati riroda broj isaemo rae d umjesto d(). Iz uslova d +1 i d ( 1) 3 + dobijamo redom d ( + 1) (( 1) 3 + ) 3 1 d 3( + 1) (3 1) + 4 d ( + 4) 4( + 1) 16 + 1 d 8( + 4) (16 + 1) 0. Broj + 1 e moe biti dje iv sa 4 a odavde dobijamo d 10 tj. d {1 5 10}. Sve ove vrijedosti d 1 5 10 se dostiu a rimjer redom za 1 8 3.. Nea je M dodira taa tagete sa ruicom N dodira taa tagete sa ruicom 1 i L K resjee tae rave P Q sa ruicama 1 i redom. Koristei teoremu o oteciji tae u odosu a ruicu dobijamo da je P K P Q P M QL QP QN. Kao je P M QN odavde slijedi da je P K P Q QL QP tj. P K QL. Imamo s edea dva sluaja.
5 Ao taa K lei a dui P L tada taa L lei a dui QK a je P L P K + KL QL + KL QK. Ao taa L lei a dui P K tada taa K lei a dui QL a je P L P K KL QL KL QK. Dale u oba sluaja je P L QK xto je i trebalo doazati. 3. Odgovor: ( ) ( 1) i ( ) (1/ 3/). Prvo rjexe e. Nea je x 0 zajedii orije datih trioma. Tada je x 0 orije i olioma x(x + x + ) (x + x + 1) x 3 1 a ao je x 0 reala broj to je x 0 1. Da e iz bilo ojeg od datih trioma dobijamo da je 1 + + 0 tj. 1. Nea su x 1 i x reostali orijei rvog i drugog trioma redom. Tada je x + x + (x 1)(x x 1 ) x + x + 1 (x 1)(x x ) odale izjedaava em slobodih laova dobijamo da je x 1 1 i x 1/. Sada iz datog uslova x 1 + x 1/ dobijamo jedaiu 1 + 1 1 oja je evivaleta sa vadratom jedaiom + 3 0. Rjexe a ove jedaie su 1 i 1/ a su traei arovi ( ) ( 1) i ( ) (1/ 3/). Oba ova ara zadovo avaju uslove zadata jer je x x + 1 (x 1)(x 1) x + x + 1 (x 1) ( x + 1 ) x + 1 x 3 ( (x 1) x + 3 ) 1 x 3 x + 1 1 (x 1)(x ). Drugo rjexe e. Nea je x 0 zajedii orije a x 1 i x reostali orijei rvog i drugog trioma redom. Iz datih uslova dobijamo da je x + x + (x x 0 )(x x 1 ) x + x + 1 (x x 0 )(x x ) odale a osovu Vijetovih formula dobijamo (1) x 0 + x 1
6 () x 0 x 1 (3) x 0 + x (4) x 0 x 1. Moe em jedaosti (1) i (4) dobijamo (5) (x 0 + x 1 )x 0 x 1 a iz jedaosti (1) () i (3) je (6) (x 0 + x 1 )(x 0 + x ) x 0 x 1. Iz (5) dobijamo da je (7) (x 0 + x 1 )x 1 x 0 a iz (6) slijedi da je (x 0 + x 1 ) + x x 0 x 1 (x 0 + x 1 )x 0 tj. (8) (x 0 + x 1 )x x 0. Iz (7) i (8) dobijamo jedaiu 1 x 0 x 0 tj. x3 0 1. Kao je x 0 R slijedi da je x 0 1. Zamjeom x 0 1 i x 1 x 1 u (7) dobijamo vadratu jedaiu ( ) 1 (1 + x 1 ) x 1 1 tj. x 1 + x 1 3 0. Rjexe a ove jedaie su x 1 1 i x 1 3/ a ao je x 1 x 1 dobijamo s edee dvije troje (x 0 x 1 x ) orijea datih trioma: ( (x 0 x 1 x ) 1 1 1 ) i (x 0 x 1 x ) (1 3 ). Da e iz (1) i () slijedi da je ( ) ( 1) ili ( ) (1/ 3/). Oba ova ara zadovo avaju uslove zadata xto se rovjerava ao u rvom rjexe u.
7 4. Pretostavimo da su o a rve vrste date table obojea aizmjeio bijelom i crom bojom (dvije moguosti). Tada su i o a druge vrste obojea aizmjeio bijelom i crom bojom ri emu oet ostoje dvije moguosti (rvo o e u vrsti moe biti bijelo ili cro). To vai i za svau s edeu vrstu a u ovom sluaju imamo razliitih boje a. Pretostavimo sada da su ea dva susjeda o a u rvoj vrsti obojea istom bojom. Po uslovu zadata tada je boje e o a u drugoj vrsti jedozao odreeo i iz istih razloga u svaoj s edeoj. Prva vrsta se moe obojiti a aia tao da bar dva susjeda o a budu obojea istom bojom. Dale broj traeih boje a je + +1. TRE I RAZRED 1. Nea je ABC β i ACB γ. Kao je AF H AEH 90 to je etvorougao AF HE tetiva. Da e zbog DA P Q za uujemo da je F QP F AH F EH F EP odale slijedi da je i etvorougao QF P E tetiva. Kao je AF C ADC 90 to je etvorougao AF DC tetiva a je QF P AF D 180 ACD 180 γ odale slijedi da je QEP γ. Odavde za uujemo da je EAN 90 γ AEP QEP AEN a je trougao ANE jedaora. Odavde slijedi da je N cetar oisaog ruga ravouglog trougla AHE a je NA NH.. Odgovor: ( ) (7 17) i ( ) (131 11). Prvo rjexe e. Nea za roste brojeve i vai 1 1 i 1+1. Tada je i 1 1 + 1 i 1 1 + 1 odale slijedi 1 1 + 1 a ostoji cio broj tao da vai (1) 1 1 + 1. Iz ove jedaosti slijedi da je svai od brojeva uzajamo rost sa 1. Zbog toga je 5 i 5. Imamo s edea dva sluaja. 1 >. Iz (1) slijedi da je riroda broj oji je uzajamo rost sa 1. Poaimo da je 1. U surotom je 5 a je 1 + 1 5 1 + 1 > 4( 3) + 1 > 1 xto je u otradiciji sa (1). Dale 1 a dobijamo redom 1 + 1 1 ( 1) + 1( 1) 143 ( 1)( + 1) 11 13
8 ( + 1)(1 ) 11 13. Kao je + 1 17 odavde slijedi da je + 1 143 i 1 1 tj. ( ) (131 11). <. Iz (1) slijedi da je egativa cio broj. Nea je m. Tada je m riroda broj oji je uzajamo rost sa 1 za oji vai m + 1 1 1. Poaimo da je m 1. U surotom je m 5 a je m + 1 1 5 1 + 1 > 4( 3) + 1 > 1. Kotradicija. Dale m 1 a dobijamo redom + 1 1 1 ( + 1) 1( + 1) 145 ( 1)( + 1) 5 9 (1 )( + 1) 5 9. Kao je 0 < 1 < 1 imamo dva sluaja 1 1 + 1 145 ili 1 5 + 1 9. U rvom sluaju je 133 xto ije rost broj (133 7 19) a u drugom sluaju dobijamo jox jedo rjexe e ( ) (7 17). Drugo rjexe e. Nea za roste brojeve i vai 1 1 i 1+1. Tada je i ostoje rirodi brojevi x i y tao da vai 1 1 x i 1 + 1 y. Iz ove dvije jedaosti slijedi da je svai od brojeva x y uzajamo rost sa 1. Oet imamo s edea dva sluaja. 1 >. Tada je x 1 1 < 1 < 1. Dale x < 1 a je x < 1. Kao je x uzajamo rost sa 1 slijedi da je x {1 5 7 11} a imamo s edea etiri sluaja. 1) x 1. Tada je 1 1 a je y 1 + 1 1(1 1) + 1 144 11. Kao je y cio broj i rost broj odavde slijedi da je 11 i 131. Dale ar rostih brojeva ( ) (131 11) je jedo rjexe e. ) x 5. Tada je (1 1)/5 a imamo y 1 + 1 1(1 1)/5 + 1 144 7 5 9 + 7 5 Kao je 5 to je 0 < + 7 < 5 a u ovom sluaju emamo rjexe a..
9 3) x 7. Tada je (1 1)/7 a imamo y 1 + 1 1(1 1)/7 + 1 144 5 7 0 + 4 5 7. Kao je 5 to je 0 < 4 5 < 7 a u ovom sluaju emamo rjexe a. 4) x 11. Tada je (1 1)/11 a imamo y 1 + 1 1(1 1)/11 + 1 144 1 11 13 1 11. Kao je 5 to je 0 < 1 < 11 a i u ovom sluaju emamo rjexe a. <. Tada je y 1 + 1 < 1. Dale y < 1 a je y < 1. Kao je y uzajamo rost sa 1 slijedi da je y {1 5 7 11} a imamo s edea etiri sluaja. 1) y 1. Tada je 1 + 1 a imamo x 1 1 1(1 + 1) 1 144 + 11 144 + 11. Kao je x cio broj i rost broj odavde slijedi da je 11 i 133. Kao je 133 7 19 sloe broj u ovom sluaju emamo rjexe a. ) y 5. Tada je (1 + 1)/5 a imamo x 1 1 1(1 + 1)/5 1 144 + 7 5 9 7 5. Kao je 7 < 5 ovo je cio broj samo za 7. Da e iz (1 + 1)/5 dobijamo da je 17. Dale ar ( ) (7 17) je jedo rjexe e. 3) y 7. Tada je (1 + 1)/7 a imamo x 1 1 1(1 + 1)/7 1 144 + 5 7 0 + 4 + 5 7. Kao je 0 < 4 + 5 < 7 u ovom sluaju emamo rjexe e. 4) y 11. Tada je (1 + 1)/11 a imamo x 1 1 1(1 + 1)/11 1 144 + 1 11 13 + + 1 11. Kao je 0 < + 1 < 11 i u ovom sluaju emamo rjexe e.
10 3. Odgovor: Ao je eara 3. Nea je ara broj. Pretostavimo da tavo boje e ostoji. Posmatrajmo dui ee fisirae boje a rimjer crvee. Uua broj trouglova ija je jeda straica ( crvea ) ije ma i od broja arova 1 reostalih 1 boja ojih ima ( 1)( 1). Poxto je svaa crvea du straica trouglova odavde slijedi da crveih dui ima bar. Isto vai i za dui bilo oje druge boje a uua broj dui ije ma i ( ) od. Meutim broj svih straica i dijagoala ugla je ( 1) <. Kotradicija. Nea je + 1 eara broj. Obojimo straice ravilog + 1 ugla redom sa tih + 1 boja (svaom bojom o jedu straicu). Kao je svaa dijagoala tog + 1 ugla aralela tao sa jedom egovom straicom obojimo svau egovu dijagoalu uravo oom bojom ojom je obojea oj aralela straica. Poaimo da ovo boje e zadovo ava zadate uslove. ( Uua ) broj trouglova sa tjemeima u tjemeima tog + 1 ugla + 1 je a isto tolio ima i izbora tri razliite boje iz sua od 3 + 1 boja. Pretostavimo suroto da ostoje ee tri (razliite) boje za oje e ostoji trougao ije su straice obojee tim bojama. Na osovu rethodog tada bi morao ostojati ei trougao ije su bar dvije straice obojee istom bojom. Ali ao su svae dvije straice oje su obojee istom bojom meusobo aralele ovo je emogue. 4. Prvo rjexe e (sabira em odgovarajuih ejedaosti). a) Moe em ejedaosti 1 a i 1 a i + a i+1 1 sa i i sabirajui dobijee ejedaosti za i 1... dobijamo redom i i(a i 1 a i + a i+1 ) i i1 i1 1 (i + 1)a i i0 i1 +1 ia i + (i 1)a i i1 i a 0 + a 1 a 1 a + ( 1)a + a +1 + 1 + (i + 1 i + i 1)a i i
11 (1) a +1 ( + 1)a + odale dije e em sa dobijamo da vai a +1 + 1 a 1. b) Nea su i rirodi brojevi <. Sabira em ejedaosti 1 a i+1 i + 1 a i i 1 i + 1... 1 dobijamo da je a a. Ao je a 0 odavde slijedi da je a ( ) tj. xto je i trebalo doazati. Drugo rjexe e (matematiom iducijom). a ( ) a) Doaimo matematiom iducijom evivaletu ejedaost () + 1 a +1 + 1 a + 1 ( N). Za 1 ova ejedaost vai jer je evivaleta sa 1 a 1 + a 1. Pretostavimo da oa vai za 1 ( ) tj. da je a 1 a 1. Poxto je 1 a 1 a + a +1 1 slijedi da je a +1 + 1 a a a 1 1 + 1 a 1 a a 1 1 1 ( a ) 1 a 1 1 1 ( ) 1 + 1 ; a +1 + 1 a a a 1 + 1 + 1 a 1 a a 1 + 1 1 ( a ) 1 a 1 + 1 1 + 1 + 1. Dale + 1 a +1 + 1 a + 1 tj. vai ejedaost ().
1 b) Na osovu ejedaosti () je a +1 ( + 1)a a +1 + (3) + 1 a +1 a + 1 a +1 + 1... Nea je a 0. Iz (3) za 1 dobijamo da je (4) 1 Nejedaost a 1 1. ( ) (5) a ( ) 1... 1 doazujemo matematiom iducijom o 1... 1. Iz (4) slijedi da ovo tvre e vai za 1. Pretostavimo da oo vai za + 1 ( + 1 1) tj. da je ( + 1)( 1) a +1 ( + 1)( 1). Tada a osovu (3) dobijamo da je a a + 1 a +1 + 1 + 1 a +1 + ime je ejedaost (5) doazaa. ( + 1)( 1) ( + 1)( 1) + + 1 ( ) ( ) QETVRTI RAZRED 1. Na osovu jedaosti ugla izmeu tagete i tetive i eriferijsog ugla ad istim luom imamo da je ABD Y DC Y CZ. Kao je Y CZ + Y BZ 180 slijedi da je etvorougao CY BZ tetiva. Da e je CY Z CBZ XDC 180 CY X odale slijedi da je etvorougao XBCY uisa u ruicu a je CY Z + CY X 180 xto zai da su tae X Y Z olieare.. Isti ao zadata za trei razred. 3. Isti ao zadata 3 za trei razred.
13 4. Prvo rjexe e (sabira em odgovarajuih ejedaosti). a) Moe em ejedaosti 1 i a i 1 a i + a i+1 1 i sa i i sabirajui dobijee ejedaosti za i 1... dobijamo redom i(a i 1 a i + a i+1 ) i1 1 (i + 1)a i i0 +1 ia i + (i 1)a i i1 i a 0 + a 1 a 1 a + ( 1)a + a +1 + 1 + (i + 1 i + i 1)a i i (1) a +1 ( + 1)a + odale dije e em sa dobijamo da vai a +1 + 1 a 1 + 1. b) Nea su i rirodi brojevi <. Sabira em ejedaosti 1 i + 1 a i+1 i + 1 a i i 1 i + 1... 1 i + 1 dobijamo da je ( 1 + 1 + 1 + + + 1 ) a a 1 + 1 + 1 + + + 1. Ao je a 0 odavde slijedi da je ( 1 a + 1 + 1 + + + 1 ) a je dovo o jox doazati da roizvo e rirode brojeve i < vai () 1 + 1 + 1 + + + 1 < l.
14 Na osovu ozate ejedaosti (3) 1 i + 1 < l (i + 1) l i (i N) dobijamo da je 1 + 1 + 1 + + + 1 tj. vai (). < (l ( + 1) l ) + (l ( + ) l ( + 1))+ + + (l l ( 1)) l l l Primjedba. Nejedaost (3) slijedi a rimjer iz i eice da je iz (x i ) sa oxtim laom x i ( ) i+1 i+1 i oadajui i da overgira a e. Naime odavde slijedi da je e < x i odale logaritmova em dobijamo da vai (3). Drugo rjexe e (matematiom iducijom). a) Doaimo matematiom iducijom evivaletu ejedaost (4) 1 a +1 + 1 a 1 ( N). Za 1 ova ejedaost vai jer je evivaleta sa 1 a 1 + a 1. Pretostavimo da oa vai za eo 1 ( ) tj. da je 1 a 1 a 1 1. Poxto je 1 a 1 a + a +1 1 slijedi da je a +1 + 1 a a a 1 1 + 1 a 1 1 a a 1 1 ( a ) 1 a 1 1 1 ( 1) 1 1; a +1 + 1 a a a 1 + 1 + 1 a 1 a a 1 + 1 1 ime je ejedaost (4) doazaa. ( a ) 1 a 1 + 1 1 1 + 1 1
15 b) Na osovu ejedaosti (1) je a +1 ( + 1)a a +1 + (5) + 1 a +1 + 1 a + 1 a +1 + 1... + 1 Nea je a 0. Iz (4) za 1 dobijamo da je (6) 1 Nejedaost a 1 1. (7) l < a < l 1... 1 doazujemo matematiom iducijom o 1... 1. Iz (6) slijedi da ovo tvre e vai za 1 oxto je a 1 1 < ( 1) l 1. Pretostavimo da oo vai za + 1 ( + 1 1) tj. da je ( + 1) l Tada a osovu (5) dobijamo da je a a + 1 a +1 + + 1 < a +1 < ( + 1) l + 1 ( l ( + 1) l + 1 ) + 1 + 1 + 1 < l ; + 1. + 1 + + 1 a +1 + 1 ( + 1) l + 1 ( l + 1 + 1 ) > l + 1 ime je ejedaost (7) doazaa. (Ovdje smo dva uta rimijeili ejedaost l oja je evivaleta sa ejedaosti (3).) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 < l < l ( + 1) l i vai a osovu Zadate riremili: Vida Govedarica i Maro iti.