Транскрипт

1

2 Edicija osnovni udžbenik Osnivač i izdavač edicije Univerzitet u Novom Sadu Poljoprivredni fakultet Trg Dositeja Obradovića br.8, Novi Sad Godina osnivanja Glavni i odgovorni urednik edicije Dr Nedeljko Tica, redovni profesor Dekan Poljoprivrednog fakulteta u Novom Sadu Članovi komisije za izdavačku delatnost Dr Ljiljana Nešić, redovni profesor, predsednik Dr Milica Rajić, redovni profesor, član Dr Nada Plavša, vanredni profesor, član Dr Branislav Vlahović, redovni profesor, član

3 Autori: Dr Beba Mutavdžić Mr Emilija Nikolić-Đorić Glavni i odgovorni urednik edicije Dr Nedeljko Tica, redovni profesor Dekan Poljoprivrednog fakulteta u Novom Sadu Urednik Dr Dejan Janković,vanredni profesor Direktor Departmana za ekonomiku poljoprivrede i sociologiju sela Poljoprivredni fakultet u Novom Sadu, Univerzitet u Novom Sadu Recenzenti Dr Zagorka Lozanov-Crvenković, redovni profesor Prirodno-matematički fakultet Novi Sad, Univerzitet u Novom Sadu Dr Radojka Maletić, redovni profesor Poljoprivredni fakultet Beograd, Univerzitet u Beogradu Izdavač Poljoprivredni fakultet Novi Sad,Univerzitet u Novom Sadu Zabranjeno preštampavanje i fotokopiranje. Sva prava zadržava izdavač. Štampa: Štampanje odobrila Komisija za izdavačku delatnost i Naučno-nastavno veće Poljoprivrednog fakulteta u Novom Sadu. Tiraž: 0 primeraka Prelom teksta: Ljubiša Aleksić Fotografija na koricama: Boža Ivanović ( Mesto i godina štampanja: Novi Sad, 018.

4 Dr Beba Mutavdžić Mr Emilija Nikolić-Đorić STATISTIKA (za smer veterinarska medicina) Novi Sad, 018.

5 STATISTIKA (za smer veterinarska medicina)

6 PREDGOVOR Ova knjiga je udžbenik za predmet Statistika, koji se proučava na prvoj godini smera Veterinarska medicina Poljoprivrednog fakulteta, Univerziteta u Novom Sadu. Sadržaj udžbenika u skladu je sa aktuelnim akreditovanim programom za navedeni predmet i navedeni smer. Knjiga nije namenjena samo za studente smera Veterinarska medicina, kao osnovni udžbenik, već s obzirom da je vezana za osnove statistike, može biti korišćena i od strane studenata drugih smerova Poljoprivrednog fakulteta, Univerziteta u Novom Sadu. Knjiga se sastoji iz šest poglavlja, koje čine strukturnu i sadržajnu celinu, koja je u skladu sa akreditovanim programom. Prvo poglavlje predstavlja Uvod u kome se govori o pojmu i značaju statistike i u okviru koga su definisani osnovni statistički pojmovi (statistički skup, jedinice i obeležja posmatranja, vrste statističkih serija). Drugo poglavlje je Deskriptivna statistika, u okviru kog se govori o uređivanju i grafičkom predstavljanju statističkih podataka, kao i o osnovnim statističkim pokazateljima (pokazatelji srednje vrednosti, varijabiliteta i oblika). Treće poglavlje knjige odnosi se na Teorijske distribucije, gde su najpre dati osnovni pojmovi verovatnoće, a zatim najčešće korišćene prekidne i neprekidne teorijske distribucije. Četvrto poglavlje se odnosi na Inferencijalnu statistiku, gde je opisan metod uzorka u istraživačkom radu, kao i distribucija sredina uzoraka, a naveden je i metod ocena na osnovu uzoraka. Peto poglavlje obuhvata Testiranje statističkih hipoteza, a metodološki su opisani i odgovarajućim primerima ilustrovani neki osnovni testovi aritmetičkih sredina i proporcija. Šesto poglavlje je Regresiona i korelaciona analiza, u okviru koje je opisana prosta linearna regresija i navedene ocene i testovi parametara linearne regresije. Autori se nadaju da će ova knjiga omogućiti studentima upoznavanje sa upotrebom savremenih statističkih metoda u rešavanju problema koji su u domenu poljoprivrednih i bioloških nauka, odnosno konkretno problema iz oblastii veterinarske medicine. Ideja autora je da se studenti upoznaju sa deskriptivnim metodama, kao i metodama analize rezultata ogleda. Koristeći ovu knjigu studenti treba da steknu sposobnost za upotrebu statističkih metoda i njihovu primenu u oblasti svog interesovanja. Stečene sposobnosti upotrebe i adekvatnog korišćenja statistike i njenih metoda omogućiće studentima uspešno rešavanje problema u daljem radu i sticanju obrazovanja. Zahvaljujemo se svima koji su na direktan ili indirektan način pomogli izradu ove knjige, a naročito recenzentima: prof. dr Zagorki Lozanov-Crvenković i prof. dr Radojki Maletić i na korisnim sugestijama. Za tehničko uređenje knjige zahvaljujemo se Ljubiši Aleksiću. Novi Sad AUTORI

7 4

8 SADRZAJ PREDGOVOR UVOD Pojam i značaj statistike Osnovni statistički pojmovi Statistički skup Jedinice i obeležja posmatranja Vrste statističkih serija... 9 Kontrolna pitanja DESKRIPTIVNA STATISTIKA Formiranje distribucije frekvencija Grafičko prikazivanje statističkih podataka Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina Medijana Modus Odnos između aritmetičke sredine, medijane i modusa Pokazatelji varijacije Interval (razmak) varijacije - I Srednje apsolutno odstupanje - SO Standardna devijacija - σ i varijansa - σ Koeficijent varijacije - V Standardizovano odstupanje - Z Pokazatelji oblika distribucije... 7 Kontrolna pitanja TEORIJSKE DISTRIBUCIJE Osnovni pojmovi verovatnoće Prekidne teorijske distribucije Binomna distribucija Poasonova distribucija Neprekidne teorijske distribucije Normalna distribucija Studentova t distribucija Fišerova F distribucija Kontrolna pitanja INFERENCIJALNA STATISTIKA Metod uzorka u istraživačkom radu Distribucija sredina uzoraka

9 4.3. Ocene na osnovu uzorka Izračunavanje standardne greške aritmetičke sredine Interval poverenja za ocenu nepoznate sredine osnovnog skupa Interval poverenja za ocenu nepoznate proporcije osnovnog skupa... 5 Kontrolna pitanja Testiranje statističkih hipoteza Testovi aritmetičkih sredina Test značajnosti jedne sredine Test značajnosti razlike dve sredine Testovi proporcija Testirnje hipoteze o proporciji osnovnog skupa Test značajnosti razlike dve proporcije Analiza varijanse (ANOVA) Analiza varijanse potpuno slučajnog rasporeda (prostog slučajnog rasporeda) Kontrolna pitanja REGRESIONA I KORELACIONA ANALIZA PRILOZI LITERATURA INDEKS POJMOVA

10 1. UVOD 1.1. Pojam i značaj statistike Statistika je danas sastavni deo aktivnosti naučnih, obrazovnih, privrednih i drugih institucija. Statistika je naučni metod koji se koristi za prikupljanje, prikazivanje, analizu i tumačenje različitih vrsta podataka. Statistika je skup metoda koje doprinose da se dođe do verodostojnih zaključaka i odluka u uslovima neizvesnosti. Statistika se odnosila na skup numeričkih podataka o stanju posmatrane pojave. Poreklo reči statistika vodi od latinske reči status stanje, kao i status država. Prvi put reč statistika se pojavljuje u prvoj polovini XVIII veka u radovima Gotfrida Ačenvala, profesora Univerziteta u Getingenu zbog čega se smatra ocem statistike. Jedna od osnovnih karakteristika poslovnog okruženja danas u bilo kojoj oblasti su brze i brojne promene, koje prati i velika količina podataka s kojima se svakodnevno susrećemo. Poznavanje izvora i kvaliteta podataka, njihovih karakteristika i pravilno tumačenje karakteristika su od izuzetne vaznosti u svrhu dobijanja kvalitetnih informacija na osnovu kojih će se donositi adekvatne odluke. Ako se do podataka dolazi poštujući određene planske, ili zakonski propisane preporuke prikupljeni podaci smatraju se statističkim pa je s toga njihovo pretvaranje u informacije moguće upotrebom statističkih metoda. Svrha primene statističkih metoda je donošenje zaključaka o karakteristikama posmatranih pojava, ispitivanje različitih pretpostavki, procena karakterističnih veličina, predviđanje stanja i nivoa pojava, i dr. Statistika nam omogućava da tumačimo podatke sa razumevanjem, da dobijemo odgovore na značajna pitanja i da donesemo pouzdane zaključke i odluke zasnovane na numeričkim dokazima. Istu svrhu ima i primena statističkih metoda u oblasti veterinarske medicine. Analiza rezultata genetičkih ispitivanja, izvođenje i analiza epidemioloških praćenja, dizajn i analiza kliničkih istraživanja, planiranje eksperimenata i dr. samo su neki od slučajeva koji podrazumevaju primenu statističkih metoda u veterinarskoj medicini. Statistika ima dva aspekta: teorijski i primenjeni. Teorijska ili matematička statistika bavi se razvojem, izvođenjem i dokazivanjem teorema, formula, pravila i zakona, odnosno usavršavanjem novih metoda. Teorija verovatnoće je fundamentalna oblast na kojoj je zasnovana matematička statistika. Primenjena statistika podrazumeva primenu novih metoda, teorema, formula, pravila i zakona u rešavanju realnih problema. Statistiku delimo na: - deskriptivnu statistiku i - inferencijalnu (analitičku) statistiku Deskriptivna statistika obuhvata metode prikupljanja, sređivanja i prikazivanja podataka na jasan i razumljiv način, kao i izračunavanja statističkih parametara. Deskriptivna statistika uključuje grafičke i numeričke procedure za prikazivanje i analizu podataka. 7

11 Inferencijalna statistika pruža osnovu za predviđanje i procenu, kako bi se doneli zaključci o celokupnoj populaciji na osnovu podataka dobijenih merenjima sprovedenim na uzorku. 1.. Osnovni statistički pojmovi Predmet izistraživanja savremene statistike su masovne pojave koje pokazuju varijabilitet od jednog do drugog slučaja njihovog pojavljivanja. Na varijabilitet pojave utiče veliki broj faktora, pri čemu svaki od faktora može uticati individualno ili može imati združeni uticaj sa drugim faktorima. U okviru različitih naučnih disciplina varijabilitet posmatranih pojava se analizira primenom adekvatne statističke metodologije. Primenom odgovarajuće metodologije stiče se uvid u ponašanje ispitivanih pojava, uočava njihova povezanost sa drugim varijabilnim pojavama, uočavaju tendencije u njihovom razvoju ili predviđanje njihovih budućih vrednosti. Primena statističke metodologije zahteva pre svega poznavanje statističke terminologije i poznavanje i razumevanje principa statističke analize Statistički skup Statistički skup predstavlja skup jedinica na osnovu kojih se ispituje jedno ili više svojstava (varijabli, obeležja, osobina, karakteristika), koja su od jedinice do jedinice promenljiva. Prema obimu statistički skupovi se dele na konačne i beskonačne. Statistički skupovi takođe mogu realni i zamišljeni (hipotetički). Osnovni skup (populacija, ciljna populacija) je skup podataka svih jedinica (elemenata) posmatranja čije karakteristike ispitujemo. Za definisanje osnovnog skupa (populacije) treba da bude poznata svrha, odnosno cilj analize. Osnovni skupovi se definišu pojmovno, prostorno i vremenski. Pojmovnom definicijom skupa utvrđuje se pripadnost skupu s obzirom na pojam jedinice. Prostornom definicijom označava se prostor kom pripadaju sve jedinice osnovnog skupa. Vremenskom definicijom određuje se vremenski interval ili vremenska tačka za koju su vezane sve jedinice skupa. Broj jedinica osnovnog skupa naziva se veličina ili obim osnovnog skupa. Uzorak je deo osnovnog skupa koji je izabran u svrhu izvođenja statističke analize Jedinice i obeležja posmatranja Jedinica posmatranja osnovnog skupa ili uzorka je određeni subjekat ili objekat o kojem se prikupljaju podaci (informacije), odnosno na kojem se određena pojava statistički posmatra. Jedinice statističkog skupa su pojedinačni slučajevi iz kojih se statistički skup sastoji, treba da budu istovrsne ali ne i istovetne. Cilj posmatranja jedinica statističkog skupa je ispitivanje diferenciranosti (različitosti) njihovih karakteristika (odlika, osobina, obeležja) i kvantitativno izražavanje uočenih različitosti. Promenljiva (obeležje ili varijabla) je osobina koja se proučava ili istražuje i koja podrazumeva različite vrednosti po jedinicama posmatranja. Opservacija ili podatak je vrednost promenljive koja se odnosi na jednu jedinicu posmatranja. 8

12 Obeležja jedinica posmatranja mogu biti: kvalitativna (atributivna, kategorijalna) kvantitativna (numerička) Kvalitativna obeležja su osobine koje se uočavaju na jedinicama posmatranja, ali se ne mogu meriti već se opisno iskazuju, odnosno ne mogu uzeti numeričke vrednosti već se klasifikuje u dve ili više kategorija. Kvantitativna, odnosno numerička obeležja su osobine koje se uočavaju na jedinicama posmatranja, mogu se meriti i brojčano iskazati. Numerička obeležja delimo na: - prekidna (diskretna, diskontinuirana) - neprekidna (kontinuirana) Prekidna obeležja su numerička obeležja koja uzimaju samo određene vrednosti sa brojne prave i rezultat su prebrojavanja. Neprekidna obeležja su numerička obeležja koja mogu uzeti bilo koju vrednost sa brojne prave i rezultat su merenja Vrste statističkih serija Statisički podaci su po pravilu mnogobrojni pa nije moguće direktno donositi zaključke o obeležjima koja se analiziraju. Podaci zapisani redosledom kojim se prikupljaju pre nego što se urede po veličini ili grupišu nazivaju se negrupisani podaci. Iz tog razloga se u prvom koraku statističke analize pristupa uređivanju podataka, a svrha uređivanja je da omogući uočavanje osnovnih karakteristika analizirane pojave. Uređivanjem statističkih podataka nastaju statistički nizovi, odnosno statističke serije. Skupovi podataka sređuju se i prikazuju u vidu tabela i grafikona. Radi bolje preglednosti, pogotovo ako je broj prikupljenih podataka veliki, podaci se grupišu u klase ili grupe i određuje se broj podataka u svakoj klasi odnosno grupi. Prilikom grupisanja podataka osnovni problem je utvrđivanje kriterijuma na osnovu koga će svi podaci biti svrstani u jednorodne grupe, koje će biti osnova dalje statističke analize. Na ovaj način se dobijaju različite vrste statističkih serija. Grupisanje podataka može biti geografsko, vremensko, atributivno, numeričko. Geografsko grupisanje može se izvesti na osnovu administrativno-teritorijalne podele zemlje ili prema nekom drugom geografskom kriterijumu (na primer, planinski i ravničarski krajevi). Ovako dobijeni nizovi podataka nazivaju se geografske serije podataka. Vremensko grupisanje podataka može biti intervalno i momentno. Na ovaj način se dobijaju vremenske serije podataka. Intervalnim grupisanjem pojava se neprekidno prati i registruje. Momentnim grupisanjem dobijaju se podaci koji su rezultat posmatranja pojave u određenom momentu vremena. Grupisanjem sakupljenih podataka po atributivnim obeležjima dobijaju se atributivne serije podataka. Grupisanjem podataka po numeričkom obeležju nastaju numeričke serije podataka. 9

13 Kontrolna pitanja 1. Kako se definiše statistika kao naučni metod?. Kako se deli statistika? 3. Šta obuhvata deskriptivna statistika? 4. Šta se podrazumeva pod inferencijalnom statistikom? 5. Šta je osnovni skup ili populacija? 6. Šta je uzorak? 7. Šta je promenljiva, obeležje ili varijabla? 8. Kako se dele obeležja jedinica posmatranja? 9. Kako se dele numerička obeležja? 10. Navesti vrste statističkih serija. 10

14 . DESKRIPTIVNA STATISTIKA.1. Formiranje distribucije frekvencija Već je prethodno navedeno da je numerička statistička serija niz podataka o obeležju koje se meri na određenom broju jedinica posmatranja i iskazuje brojčano. Uobičajeno je da se brojčane vrednosti izmerene na jedinicama posmatranja beleže onim redosledom kako se do njih dolazi. Na osnovu takvog niza podataka teško je doneti bilo kakav zaključak o predmetu istraživanja. Da bi se dobio pregledniji uvid u karakteristike analizirane pojave na osnovu izmerenih numeričkih vrednosti, prvi zadatak je da se utvrđenje vrednosti sistematizuju po nekom redu i prikažu u nekoj prikladnoj formi. Podaci zapisani redosledom kojim se prikupljaju pre nego što se urede po veličini ili grupišu nazivaju se negrupisani podaci. Radi bolje preglednosti, pogotovo ako je njihov broj veliki, podaci se grupišu u klase ili grupe i određuje se broj podataka u svakoj klasi odnosno grupi. Grupisani numerički podaci nazivaju se distribucije frekvencija. Distribucija frekvencija predstavlja tabelarno prikazivanje podataka, gde podatke grupišemo u dve kolone tako da su u prvoj koloni navedene sve različite vrednosti obeležja, a u drugoj koloni broj jedinica navedene vrednosti obeležja. Različite vrednosti obeležja se nazivaju modaliteti obeležja. Distribucija frekvencija za numeričke podatke sadrži dva niza podataka: vrednosti obeležja, prikazane pojedinačnim vrednostima ili grupnim intervalima i njima odgovarajući broj jedinica posmatranja. Na osnovu toga kako je iskazana vrednost obeležja razlikujemo dve vrste distribucije frekvencija: 1. neintervalne kod kojih je vrednost obeležja tačno navedena pojedinačna vrednost. intervalne kod kojih je vrednost obeležja interval koji sadrži dve ili više pojedinačnih vrednosti. Broj ponavljanja svake navedene vrednosti obeležja ili grupe (intervala) obeležja naziva se apsolutna frekvencija (f ). i Apsolutna frekvencija pokazuje koliko jedinica posmatranog skupa ima određeni modalitet obeležja. Na ovaj način se dobija distribucija ili raspodela frekvencija. Kada obeležje ima veliki broj različitih vrednosti one se grupišu u unapred određene intervale. Broj i veličina (širina) intervala zavise od broja podataka ( N ) i od prirode samog obeležja. Broj grupnih intervala (k) može se izračunati na osnovu izraza (Sturgesovo pravilo): k = 1+ 3,33 log N. Na osnovu broja intervala izračunava se širina intervala ( i ): Χ max Χ i = min, k 11

15 gde su Χ max i Χ min najveća i najmanja vrednost obeležja u seriji. Na osnovu apsolutne frekvencije mogu se izračunati relativne frekvencije kumulativne frekvencije (F ). i Relativna frekvencija (struktura) se dobija kao količnik apsolutne frekvencije svake vrednosti obeležja i ukupnog broja jedinica posmatranja. f p i i = ( i = 1,...,k ). N (p i) Na osnovu izračunatih relativnih frekvencija može se iskazati učešće pojedinih vrednosti obeležja ( s i ) u ukupnom broju jedinica posmatranja u procentima i s i = p 100 i (%). Za određene ciljeve analize potrebno je numeričke serije podataka kumulirati tako da se dobije numerička kumulativna serija, odnosno kumulativna frekvencija. Kumulativna frekvencija određene vrednosti obeležja dobija se sabiranjem apsolutnih frekvencija svih prethodnih obeležja i apsolutne frekvencije tog obeležja i i j1 = j ( ) F = f i = 1,...,k. U zavisnosti od toga da li sabiranje apsolutnih frekvencija počinjemo od prve ili od poslednje vrednosti obeležja razlikuju se kumulacija ispod i kumulacija iznad. Pomoću kumulativnih frekvencija lakše se uočava koliki je ukupan broj jedinica posmatranja ispod ili iznad određene vrednosti obeležja. Mogu se utvrditi i kumulativne relativne frekvencije na osnovu izraza: r i i j1 = j ( ) F = p i = 1,...,k. Primer za prekidno obeležje: Broj nazimica po domaćinstvu bio je sledeći: a) formirati neintervalnu distribuciju frekvencija b) formirati intervalnu distribuciju frekvencija ako je i = c) izračunati relativne frekvencije (strukturu) d) formirati kumulativnu distribuciju frekvencija i kumulaciju strukture. 1

16 Rešenje: Sistematizovana serija broja nazimica po domaćinstvu je: a) Neintervalna distribucija frekvencija Broj nazimica Xi Broj domaćinstava fi Σ 30 Intervalna distribucija frekvencije ako je i = (b), relativne frekvencije (struktura) (c), kumulativna distribucija frekvencija i kumulacija strukture (d), prikazane su u tabeli: Broj nazimica Xi Broj domaćininstava fi Relativna frekvencija (struktura) pi Kumulacija Kumulacija strukture Ispod Iznad Ispod Iznad 1 5 5/30=0,17 17% /30=0,3 3% /30=0,6 6% /30=0,17 17% /30=0,17 17% Σ 30 Σ 1,00 100% s i % 100% % 83% % 60% % 34% % 17% 13

17 Primer za neprekidno obeležje: Data je mlečnost kod 0 ispitivanih krava ( lit.): 10,1 1,5 18,0 18,1 19,5 17,1 15,0 13,5 14,3 1,0 13,1 15,9 14,8 16,1 16,0 19,0 15,7 17,7 16,9 13,5 a) formirati intervalnu distribuciju frekvencija ako je i = b) izračunati relativne frekvencije (strukturu) c) formirati kumulativnu distribuciju frekvencija i kumulaciju strukture. Rešenje: Sistematizovana serija 10,1 1,0 1,5 13,1 13,5 13,5 14,3 14,8 15,0 15,7 15,9 16,0 16,1 16,9 17,1 17,7 18,0 18,1 19,0 19,5 Intervalna distribucija frekvencije ako je i = (a), relativne frekvencije (struktura) (b), kumulativna distribucija frekvencija i kumulacija strukture (c), prikazane su u tabeli: Mlečnost Xi Broj krava f i p i Relativna frekvencija (struktura) Kumulacija Kumulacija strukture s Ispod Iznad Ispod Iznad i 10,01-1,00 /0=0,10 10% 0 0,10 1,00 1,01-14,00 4 4/0=0,0 0% ,30 0,90 14,01-16,00 6 6/0=0,30 30% ,60 0,70 16,01-18,00 5 5/0=0,5 5% ,85 0,40 18,01-0,00 3 3/0=0,15 15% 0 3 1,00 0,15 Σ 0 Σ 1,00 100%.. Grafičko prikazivanje statističkih podataka Statistički podaci se prikazuju pomoću tabela i grafikona. Grafički način prikazivanja podataka omogućava bolje uočavanje bitnih karakteristika neke serije podataka. Grafikoni mogu biti različitog oblika zavisno od prirode podataka i cilja analize. Koji grafikon treba koristiti? Zavisi od tipa podataka Zavisi od toga šta želi da se prikaže Zavisi od raspoloživog statističkog softvera 14

18 Za negrupisane podatke kao grafički prikaz koristimo dijagram stablo-list (stem and leaf). Kod ovog grafičkog prikaza svaki podatak delimo na stablo i na list. Ako su u seriji decimalni brojevi, stablo čine celobrojne vrednosti, a list vrednosti decimal. Ukoliko su vrednosti serije podataka dvocifreni brojevi, stablo čine cifre desetica, a listove cifre jedinica. Prvo se formira stablo u koloni a zatim se formiranom stablu pridružuju listovi u redovima. Primer Na osnovu podataka o dnevnoj mlečnosti kod 0 ispitivanih krava ( lit.) formiran je dijagram stablo-list. Stablo čini ceo deo podataka, dok list čine decimale. Dijagram stablo-list Za negrupisane podatke kao grafički prikaz može se koristiti i tačkasti dijagram (dot plot). Da bi se vrednosti obeležja uredile u ne opadajući niz na X osu se nanose različite vrednosti obeležja, a pojavljivanje svake vrednosti obeležja se označava tačkom. Primer Tačkasti dijagram broja nazimica po domaćinstvu Za grafičko prikazivanje numeričkih statističkih serija, odnosno distribucija frekvencija najčešće se koriste histogram i poligon frekvencija. Histogram čine pravougaonici čija je osnovica jednaka veličini grupnog intervala, a visina odgovara frekvenciji grupnog interval. 15

19 Primer Histogram distribucije frekvencija mlečnosti kod 0 ispitivanih krava ( lit.) Poligon je izlomljena linija koja spaja tačke čije su koordinate vrednosti obeležja ili sredine grupnih intervala i odgovarajuće frekvencije. Primer Poligon distribucije frekvencija broja nazimica po domaćinstvu 6 5 Broj domaćinstava Broj nazimica 16

20 .3. Pokazatelji centralne tendencije Pokazatelji centralne tendencije (srednje, prosečne vrednosti) predstavljaju vrednosti koje kvantifikuju tendenciju podataka u seriji prema njihovom,,centru, odnosno sredini. Pokazatelj centralne tendencije je reprezentativna vrednost koja po datim merilima zamenjuje sve vrednosti obeležja u datoj seriji. Karakteriše statistički skup i kao informacija može da zameni niz svih vrednosti serije. U pokazatelje centralne tendencije ubrajaju se: - Aritmetička sredina - Geometrijska sredina - Harmonijska sredina - Medijana - Modus Prema načinu utvrđivanja navedeni pokazatelji centralne tendencije dele se u dve grupe: 1. izračunate srednje vrednosti - aritmetička, geometrijska i harmonijska sredina. položajne, pozicione srednje vrednosti - medijana i modus Izračunate srednje vrednosti su vrednosti koje se izračunavaju na osnovu svih vrednosti posmatranog obeležja, odnosno svih podataka u posmatranoj seriji. Položajne, odnosno pozicione srednje vrednosti su vrednosti koje se izračunavaju izborom konkretne vrednosti obeležja prema položaju koji zauzima u posmatranoj seriji podataka. Pokazatelji centralne tendencije, odnosno srednje vrednosti su apsolutni pokazatelji, njihova vrednost se iskazuje u jedinicama mere u kojima je iskazano i posmatrano obeležje Aritmetička sredina Aritmetička sredina je najčešće upotrebljivani pokazatelj srednje vrednosti. Razlikuje se izračunavanje proste i ponderisane aritmetičke sredine. Prosta aritmetička sredina se utvrđuje na osnovu negrupisanih numeričkih podataka, a ponderisana kada su podaci grupisani u distribuciju frekvencija. Aritmetikča sredina se može izračunavati za podatke osnovnog skupa ili za podatke uzorka. Prosta aritmetička sredina izračunava se kada se sve vrednosti jedinica jednog posmatranog skupa saberu i taj zbir podeli brojem tih jedinica. Aritmetička sredina za podatke osnovnog skupa označava se sa µ i izračunava se na osnovu sledećeg izraza: N X1+ X XN ili µ= Xi i= N µ= 1. N Aritmetička sredina izračunata za podatke uzorka obeležava se sa X a izračunava se na osnovu izraza: n X1+ X Xn ili X X = i n X i= = 1. n Ukoliko su podaci za analizu dati kao grupisani, odnosno ako imamo distribuciju frekvencija tada izračunavamo ponderisanu aritmetičku sredinu. Ponderisana aritmetička 17

21 sredina dobija se na osnovu zbira vrednosti obeležja jedinica posmatranja koje su ponderisane odgovarajućim frekvencijama. Ponderisana aritmetička sredina osnovnog skupa izračunava se na osnovu izraza: Za podatke uzorka ponderisana aritmetička sredina izračunava se na osnovu izraza: Osobine aritmetičke sredine 1. U njenom izračunavanju učestvuju sve vrednosti obeležja u seriji.. Aritmetička sredina se nalazi između ekstremnih vrednosti obeležja, odnosno veća je od najmanje vrednosti obeležja, a manja je od najveće vrednosti obeležja u nekoj seriji X X X. 18 µ= f1x1 fx... fkxk ili f1+ f fk f X + f X f X X = f + f f 1 1 k k 1 k 3. Ako su sve vrednosti obeležja međusobno jednake aritmetička sredina je jednaka toj vrednosti. 4. Ako se svakoj vrednosti obeležja doda ili oduzme konstanta, aritmetička sredina se povećava ili smanjuje za tu konstantu. " " Xi = Xi + C (i = 1,...,n) Χ =Χ+ c " " Xi = Xi C (i = 1,...,n) Χ =Χ c 5. Ako se svaka vrednost obeležja pomnoži ili podeli konstantom, aritmetička sredina je jednaka proizvodu, odnosno količniku aritmetičke sredine i te konstante. " " Xi = Xi C Χ =Χ c (i = 1,...,n) " Xi " X X i = Χ = (i = 1,...,n) C C 6. Suma odstupanja svih vrednosti obeležja od njihove aritmetičke sredine jednaka je nuli. n Χ Χ = 0 (za negrupisane podatke) i= 1 k fi i= 1 ( i ) ( i ) Χ Χ = 0 (za grupisane podatke) 7. Suma kvadrata odstupanja vrednosti obeležja od njihove aritmetičke sredine je manja je od sume kvadrata odstupanja obeležja od bilo koje druge vrednosti a ( a X). n min ili max µ= n ( Χi Χ ) < ( Χi a) k fx i i i= 1 k fi i= 1 k fx i i i= 1 k fi i= 1 X =. i= 1 i= 1 k k fi( Χi Χ ) < fi( Χi a) i= 1 i= 1.

22 .3.. Medijana Medijana je ona vrednost obeležja koja sređenu seriju podataka deli na dva jednaka dela. Utvrđivanju medijane za negrupisane podatke treba da prethodi sistematizacija, odnosno rangiranje podataka po njihovoj veličini. Kod serije negrupisanih podataka razlikuje se utvrđivanje medijane za serije sa neparnim brojem podataka i za serije sa parnim brojem podataka. Ako je broj negrupisanih podataka u seriji neparan medijana je jednaka središnjoj vrednosti serije i utvrđuje se na osnovu sledećeg izraza: M e= Χ N+ 1 Ako je broj negrupisanih podataka u seriji paran medijana je jednaka aritmetičkoj sredini dva središnja člana. Χ N +ΧN + 1 M e = Kod grupisanih podataka (distribucija frekvencija) medijana je ona vrednost obeležja koja zajedno sa prethodnim vrednostima sadrži bar polovinu elemenata posmatrane serije. Utvrđivanju medijane kod distribucija frekvencija prethodi kumuliranje frekvencija. Ako su podaci grupisani kao intervalna distribucija frekvencija sa jednakim grupnim intervalima, medijanu izračunavamo primenom korigovane formule: N F med 1 Μ e = L+ i fmed gde je: L donja granica medijalnog intervala N/ polovina elemenata posmatrane serije Fmed 1 - kumulativna vrednost intervala koji prethodi medijalnom intervalu f med apsolutna frekvencija medijalnog intervala i veličina grupnog intervala.3.3. Modus Modus je najučestalija vrednost obeležja u nekoj seriji podataka. Modalna vrednost se može utvrditi ako u seriji podataka postoje barem dve jednake vrednosti obeležja. Ako u seriji podataka postoji samo jedna vrednost obeležja čija je frekvencija veća od ostalih vrednosti, kažemo da je ta serija unimodalna. Neka serija podataka može biti bimodalna (ima dva modusa) ili može imati tri modalne vrednosti. Kod unimodalne intervalne serije distribucije frekvencija približna vrednost modusa je: d1 Mo = L+ i d1+ d 19

23 gde je: L donja granica modalnog intervala d 1 razlika frekvencija modalnog i njemu prethodnog intervala d razlika frekvencija modalnog i njemu narednog intervala i veličina grupnog interval Odnos između aritmetičke sredine, medijane i modusa U slučaju da je distribucija frekvencija simetrična aritmetička sredina, modus i medijana se poklapaju X = M M. o = Iz poklapanja ova tri pokazatelja ne mora da sledi simetričnost distribucije. Potrebno je da se na osnovu grafičkog prikaza distribucije ili pokazatelja asimetrije izvrši dodatno ispitivanje. U slučaju unimodalnih distribucija tj. distribucija koje imaju jedan modus, ako je modus po vrednosti veći od medijane i aritmetičke sredine serija je negativno asimetrična ili asimetrična ulevo. Ako je aritmetička sredina vrednost veća od vrednosti medijane i modusa serija je pozitivno asimetrična ili asimetrična udesno. e X > M e > M o M 0 > M e > X Primer za neparan broj negrupisanih podatka: Merenjem sadržaja gvožđa u mleku 7 krmača (mg/l) dobijene su vrednosti: X:,5 1,5, 1,7,0 1,9 1,5. Izračunati aritmetičku sredinu, modus i medijanu. Rešenje: 7 Xi i 1,5 1,5, 1,7,0 1,9 1,5 13,3 X = = = = = 1, 9 mg / l ,5 1,5 1,7 1,9,0,,5 n=7 0 M = X = X = 1,9 mg / l Mo = 1,5 mg / l. e

24 Primer za paran broj negrupisanih podatka: Dati su podaci o telesnoj masi (kg) 10 teladi: X : Izračunati aritmetičku sredinu, modus i medijanu Rešenje: 10 X = 690 n = 10 i= 1 i 690 X = = 69 kg 10 X: Χ 10 +Χ n = 10 X5 + X Me = = = = 65 kg Mo = 60 kg Primer za neintervalnu distribuciju frekvencija: Na osnovu podataka o masi prasadi pri odbijanju (kg) izračunati aritmetičku sredinu, modus i medijanu: Masa prasadi pri odbijanju X Broj prasadi f fx Kumulativ ispod Zbir fx 54 X = = = 13,1 kg f 40 Χ 40 +Χ X0 + X Me = = = = 13 kg f = 15 M = 13 kg max o Primer za intervalnu distribuciju frekvencija: Na osnovu podataka o dnevnoj mlečnosti (l) 0 ispitivanih krava izračunati aritmetičku sredinu, modus i medijanu: Grupni Kumulativ intervali X f fx F 10, , , , , Zbir

25 fx i i 306 X = = = 15,3 lit. f 0 i N F med Μ e = L + i = 14 + = 15,33 lit. fmed 6 ( 6 4) ( ) ( ) d1 Μ o = L + i = 14 + = 15,33 lit. d + d Pokazatelji varijacije Da bi se potpunije sagledale karakteristike posmatrane serije podataka pored pokazatelja centralne tendencije utvrđuju se i pokazatelji varijacije (varijabiliteta ili disperzije). Dve serije podataka često mogu imati iste vrednosti nekog od pokazatelja centralne tendencije, a da istovremeno njihove individualne vrednosti obeležja budu dosta različite, odnosno varijacija između vrednosti obeležja jedne serije može biti veća ili manja od varijacije vrednosti obeležja u drugoj seriji. Ako se u obzir ne bi uzela razlika u varijabilitetu moglo bi se pogrešno zaključiti da je posmatrana karakteristika u obe serije ista. Zbog toga je značajno da se utvrdi i varijabilitet posmatrane serije. U pokazatelje varijacije spadaju: - Interval (razmak) varijacije - I - Srednje apsolutno odstupanje - SO - Standardna devijacija - σ - Varijansa - σ - Koeficijent varijacije - V - Standardizovano odstupanje - Z Neki od navedenih pokazatelja varijacije su apsolutni pokazatelji, dok neki predstavljaju relativne pokazatelje varijabiliteta. Pokazatelji varijacije čija vrednost se iskazuje u jedinicama mere posmatranog obeležja, odnosno apsolutni pokazatelji su interval (razmak) varijacije, srednje apsolutno odstupanje, standardna devijacija i varijansa. Relativni pokazatelji varijabiliteta, čija vrednost se ne iskazuje u jedinicama mere posmatranog obeležja su koeficijent varijacije i standardizovano odstupanje Interval (razmak) varijacije - I Kao najjednostavniji pokazatelj varijacije koristi se interval varijacije. Predstavlja razliku ekstremnih vrednosti obeležja u nekoj seriji. Kod negrupisanih podataka i kod neintervalne serije distribucije frekvencija interval varijacije je razlika maksimalne i minimalne vrednosti obeležja u seriji. I = Χ Χ. min max Kod intervalne distribucije frekvencija interval varijacije predstavlja razliku gornje granice poslednjeg i donje granice prvog grupnog intervala.

26 Nedostatak intervala varijacije je u tome što isključivo zavisi od ekstremnih vrednosti u seriji i ne daje uvid u raspored ostalih vrednosti obeležja unutar serije..4.. Srednje apsolutno odstupanje - SO Pokazatelj varijacije koji se nešto češće upotrebljava od intervala varijacije je srednje apsolutno odstupanje. Srednje apsolutno odstupanje se utvrđuje kao količnik zbira apsolutnih vrednosti odstupanja individualnih vrednosti obeležja od njihovog proseka i njihovog broja. Srednje apsolutno odstupanje numeričkog obeležja izmerenog na jedinicama osnovnog skupa izračunava se prema: N Xi µ i= 1 gde je: individualna vrednost obeležja X i SO = µ aritmetička sredina posmatranog obeležja N N broj jedinica osnovnog skupa. Za serije negrupisanih vrednosti obeležja u slučaju uzorka srednje apsolutno odstupanje se izračunava na sledeći način: n Xi X i= 1 SO = Kada su podaci dati kao distribucija frekvencija srednje apsolutno odstupanje se u slučaju osnovnog skupa izračunava prema formuli: k k fi Xi µ fi Xi µ SO = i= 1 = i= 1. k N fi i= 1 U slučaju uzorka primenjuje se formula: k k fi Xi X fi Xi X SO = i= 1 = i= 1. k n fi i= 1 n.4.3. Standardna devijacija - σ i varijansa - σ Kao pokazatelj varijabiliteta naviše se upotrebljava standardna devijacija. Standardna devijacija je kvadratni koren iz sredine kvadrata odstupanja vrednosti obeležja od aritmetičke sredine. Vrednost standardne devijacije pokazuje koliko su blizu grupisane vrednosti obeležja oko aritmetičke sredine. 3

27 Za negrupisane podatke osnovnog skupa standardna devijacija se izračunava na sledeći način: N ( Χi µ ) σ= i= 1. Ν Standardna devijacija može da se izračuna i direktno iz podataka osnovnog skupa na osnovu izraza: σ= N N Xi i= 1 X i i= 1 Ν. Ν Ako se analiziraju podaci iz uzorka tada se izračunava ocenjena standardna devijacija. U slučaju kada su podaci u uzorku dati kao negrupisane vrednosti standardna devijacija se može oceniti na osnovu sledećih izraza: S = n i= 1 ( Χi Χ) n 1 n n Χi i= 1 Χi i= 1 n n 1 Za grupisane podatke osnovnog skupa (kod distribucije frekvencija) standardna devijacija se može izračunati na sledeći način: S = - na bazi odstupanja vrednosti obeležja od proseka - izračunavanje direktno iz podataka σ= σ= ( ) Σfi Χi µ Σfi ΣfiΧi ( Σf Χ ) Ν i i Ν Na osnovu podataka iz uzorka koji su dati kao distribucija frekvencija, standardna devijacija se ocenjuje na sledeći način: Kvadrat standardne devijacije predstavlja varijansu (disperziju).. Varijansa takođe može da se izračuna za podatke osnovnog skupa ili da se oceni iz podataka uzorka na isti način kao i standardna devijacija. Za izračunavanje varijanse kod negrupisanih podataka osnovnog skupa koriste se sledeći izrazi: N N N Χi ( Xi µ i= 1 ) Χi σ = i= 1 i= 1 Ν σ = σ= σ Ν Ν 4 S = ( Χ Χ) Σf i i n 1 S = ( Σf Χ ) i i ΣfiΧi n n 1

28 Ocenjena varijansa na osnovu negrupisanih podataka iz uzorka utvrđuje se na sledeći način: n n n Χi ( Χi Χ) i= 1 S = i = 1 Χi i 1 n n 1 S = = S = S n 1 Kod distribucije frekvencija varijansa se izračunava na osnovu izraza: ( ) ( ) ΣfiΧi fi Χi µ ΣfiΧi σ = σ = Ν Σf Ν i Ako se ocenjuje varijansa na osnovu grupisanih podataka iz uzorka koriste se sledeći izrazi: ( ) ( ) ΣfiΧi Σfi Χi Χ ΣfiΧi S = S = n. Σf n 1 i Osobine varijanse - Varijansa je pokazatelj varijacije izražen kvadratima jedinice mere posmatranog obeležja. U slučaju da kvadrat jedinice nema interpretaciju uz izračunatu vrednost varijanse se ne stavlja jedinica mere. - Ako su sve vrednosti obeležja u nekoj seriji međusobno jednake varijansa i standardna devijacija su jednake nuli. - Ako svim vrednostima obeležja u nekoj seriji dodamo ili oduzmemo konstantu varijansa novih vrednosti obeležja se ne menja. ' Χ i =Χ i ± C σ ' =σ (i = 1,..., N) X X i i - Ako sve vrednosti obeležja u nekoj seriji pomnožimo konstantom, varijansa novih vrednosti obeležja biće jednaka proizvodu kvadrata konstante i prethodno izračunate varijanse. ' Χ i = C Χi σ ' = C σ (i = 1,..., N) Xi Napomena: Navedene osobine varijanse važe i za ocenu varijanse.4.4. Koeficijent varijacije - V Prethodno definisani pokazatelji varijacije zavise od jedinica mere u kojima su dati posmatrani podaci, odnosno to su apsolutni pokazatelji. Prilikom upoređenja varijabiliteta više serija izraženih u različitim jedinicama mere, ukoliko bi se ovi pokazatelji posmatrali može doći do pogrešnog zaključka. Da bi se to izbeglo izračunava se relativni pokazatelj, od kojih se najčešće primenjuje koeficijent varijacije. Koeficijent varijacije u slučaju osnovnog skupa izračunavamo na osnovu sledećeg izraza: σ V = 100 (%). µ Xi S. 5

29 Ako su poznati podaci na osnovu uzorka koeficijent varijacije je: S V = 100 (%). X Koeficijent varijacije koristimo za upoređivanje varijabiliteta dve ili više serija čije vrednosti obeležja su iskazane u različitim jedinicama mere, ali i za upoređivanje varijabiliteta serija koje imaju iste jedinice mere ali značajno različite aritmetičke sredine Standardizovano odstupanje - Z Standardizovano odstupanje je mera udaljenosti pojedinih vrednosti obeležja od aritmetičke sredine iskazana u odnosu na standardnu devijaciju. Standardizovano odstupanje je takođe relativni pokazatelj disperzije obeležja. Njegova vrednost se u slučaju osnovnog skupa izračunava na sledeći način: Χi µ Zi = ( i = 1,..., N ). σ U slučaju da su dati podaci uzorka standardizovano odstupanje je: Χi X Zi = ( i = 1,...,n ). S Za razliku od ostalih pokazatelja varijacije, standardizovano odstupanje pokazuje varijabilitet pojedinačnih vrednosti obeležja. Vrednost standardizovanog odstupanja može biti pozitivna ili negativna vrednost u zavisnosti da li je vrednost obeležja veća ili manja od aritmetičke sredine. Udaljenost vrednosti obeležja od aritmetičke sredine je iskazana brojem standardnih devijacija obeležja. Tako npr. Z i = 1,5 pokazuje da je vrednost i-te vrednosti obeležja veća od aritmetičke sredine za 1,5 standardnu devijaciju, dok vrednost Z i = pokazuje da je vrednost manja od aritmetičke sredine za standardne devijacije. Aritmetička sredina standardizovanog obeležja je uvek 0, varijansa i standardna devijacija su uvek 1. Primer za negrupisane podatke: Telesna masa jagnjadi (kg) pri jagnjenju je bila: 3,9 4, 4,3 4,5 4,6. Izračunati pokazatelje varijabiliteta obeležja. Izračunati aritmetičku sredinu i varijansu standardizovanog obeležja. X X X X X ( X X) X X X Z = S 3,9-0,4 0,4 0,16 15,1-1,4604 4, -0,1 0,1 0,01 17,64-0,3651 4,3 0,0 0,0 0,00 18,49 0,0000 4,5 0, 0, 0,04 0,5 0,730 4,6 0,3 0,3 0,09 1,16 1,0953 1,5 0,0 1,0 0,30 9,75 0,0000 6

30 Rešenje: Uz pretpostavku da se podaci odnose na uzorak: 1. Interval varijacije I= Xmax Xmin = 4,6 3,9=0,7 kg. Srednje apsolutno odstupanje 5 Xi i 1 1,5 X = = = = 4,3 kg Varijansa S i= 1 5 ( X X) 0,3 = = = 0,075 kg 4 4 S o 5 Xi X i= 1 1, 0 = = = 0, kg 5 5 S ( X) X 5 9,75 9, 45 = = = 0,075 kg Srandardna devijacija S = S = 0,075kg = 0, 739 kg 5. Koeficijent varijacije S V = 100(%) X 0, 739 V = 100(%) = 6,37% 4,3 X X 6. Standardizovano odstupanje - Z Z = S 5 Zi Z= i= 1 = 0 5 ( ) Z Z 5 4 S Z = = = Pokazatelji oblika distribucije Oblik distribucije podrazumeva sagledavanje dve karakteristike a to su asimetričnost i spljoštenost. Najčešće korišćeni pokazatelji ovih karakteristika distribucije su: - Koeficijent asimetričnosti I Pirsonov koeficijent β 1 - Koeficijent spljoštenosti II Pirsonov koeficijent Za izračunavanje ovih koeficijenata potrebno je prvo da se izračunaju centralni momenti. Pod centralnim momentom k-tog reda podrazumeva se sredina sume odstupanja vrednosti obeležja od aritmetičke sredine stepenovana na k-ti stepen. Za negrupisane podatke u slučaju osnovnog skupa centralni momenti se izračunavaju na osnovu izraza: Σ( Χi µ ) k µ k = k = 0,1,,3,4,... Ν Za distribucije frekvencija primenjuje se izraz: ( ) k β Σfi Χi µ µ k = k = 0,1,,3,4,... Σfi 7

31 Za izračunavanje koeficijenata asimetričnosti i spljoštenosti koriste se centralni momenti -og, 3-eg i 4-og reda. Ako su podaci u datoj seriji negrupisani potrebni centralni moment izračunavaju se na sledeći način: ( ) 3 ( ) 4 Σ( Χi µ ) Σ Χi µ Σ Χi µ µ = µ µ 3 = µ 4 = =σ Ν Ν Ν Ako su podaci u seriji dati kao distribucija frekvencija za izračunavanje -og, 3-eg i 4-og centralnog momenta koriste se izrazi: Σfi( Χi µ ) Σf ( ) 3 i Χi µ Σfi( Χi µ ) 4 µ = µ 3 = µ 4 = Σfi Σf Σf i i µ Kao pokazatelj asimetričnosti distribucije izračunava se I Pirsonov koeficijent: β 3 1 =. µ 3 Kao pokazatelj spljoštenosti izračunava se II Pirsonov koeficijent: µ β = µ 4. µ Koeficijent asimetričnosti je kvadratni koren I Pirsonovog koeficijenta α = β = σ dok se koeficijent spljoštenosti, odnosno II Pirsonov koeficijent može iskazati kao µ α 4 4 =β =. µ , Kod simetričnih raspodela je µ 3 = 0 odakle sledi β 1 = 0 i α 3 = 0. Ukoliko je vrednost β 1 veća od nule raspodela je asimetrična. Predznak 3-eg centralnog momenta u ovom slučaju pokazuje da li je reč o pozitivnoj ili o negativnoj asimetričnosti. Za razliku od I Pirsonovog koeficijenta koji ukazuje samo na prisustvo asimetričnosti, na osnovu vrednosti koeficijenta asimetričnosti se može utvrditi da li je asimetrija pozitivna ili negativna. Pored toga, na osnovu vrednosti koeficijenta asimetričnosti, može da se utvrdi jačina asimetrije. Tako ako je α 3 < 0.1 nema asimetrije, 0.1 α 3 < 0.5 asimetrija je mala, 0.5 α 3 < 0.5 asimetrija je srednje veličine i α3 0.5 asimetrija je jaka. Ako je vrednost koeficijenta spljoštenosti β = 3, kažemo da raspodela ima istu spljoštenost kao teorijska normalna raspodela. Kada je β > 3, za raspodelu kažemo da je izdužena u odnosu na normalnu raspodelu, a kada je β < 3, raspodela je spljoštena u odnosu na normalnu raspodelu. 8

32 Kontrolna pitanja 1. Definisati distribuciju frekvencija.. Definisati relativnu frekvenciju. 3. Navesti šta je kumulativna frekvencija i vrste kumulativa. 4. Objasniti grafički prikaz stablo-list. 5. Šta je histogram i kada se koristi. 6. Šta je poligon i kada sekoristi. 7. Definisati aritmetičku sredinu i navesti njene osobine. 8. Definisati pozicione srednje vrednosti. 9. Navesti pokazatelje varijabiliteta i njihovu podelu. 10. Navesti pokazatelje oblika i tumačenje njihovih izračunatih vrednosti. 9

33 3. TEORIJSKE DISTRIBUCIJE 3.1. Osnovni pojmovi verovatnoće Statistička teorija je zasnovana na teoriji verovatnoće. Teorija verovatnoće je grana matematike koja se bavi analizom slučajnih pojava. Rezultati posmatranja ili eksperimenta nazivaju se elementarni događaji. Skup koji sadrži sve elementarne događaje naziva se prostor elementarnih događaja. Slučajni događaj je podskup skupa (prostora) elementarnih događaja. Slučajni događaji se obeležavaju velikim slovima latinice: A, B, C, D... ili A 1, A, A 3,... Slučajni događaj A sadrži one elementarne događaje kojima se definiše događaj A. Svakom događaju A odgovara suprotan događaj Ā (non A) koji se ostvaruje onda kada se ne ostvari događaj A. Verovatnoća slučajnog događaja je izraz mogućnosti javljanja tog događaja. Verovatnoća se iskazuje brojem koji varira od 0 za nemoguć događaj do 1- za siguran događaj. Utvrđivanje verovatnoće zavisi od polazne teorije verovatnoće. Klasična definicija verovatnoće - verovatnoća događaja A je odnos broja elementarnih događaja koji sačinjavaju događaj A i broja svih mogućih elementarnih događaja. m(a) P(A) = n Klasična definicija je zasnovana na pretpostavci da su svi elementarni događaji podjednako mogući tj. polazi od pretpostavke simetričnosti (homogen novčić, homogena kocka). Po ovoj definiciji pojam verovatnoće je apstraktno zasnovan i ne zavisi od iskustva. Zato se ovako uvedena verovatnoća naziva verovatnoća a priori. Primer klasične definicije Eksperiment se sastoji u bacanju homogene kocke. Odredite prostor elementarnih događaja i slučajan događaj A : dobijen je paran broj. Izračunati verovatnoću događaja A. Prostor elementarnih događaja je: m(a) 3 P(A) = = = 0,5. n 6 Statistička definicija verovatnoće - verovatnoća događaja A je granična vrednost relativne frekvencije događaja A u n eksperimenata kada n neograničeno raste. P(A) = f lim n n Da bi se odredila verovatnoća događaja potrebno je ponavljati eksperiment veliki broj puta pod istim uslovima. Ovako definisana verovatnoća je zasnovana na iskustvu i naziva se verovatnoća aposteriori ili statistička verovatnoća. 30

34 U slučaju da nije moguće da se izračuna verovatnoća, ona se ocenjuje relativnom frekvencijom: f P(A) = n Relativne frekvencije nisu verovatnoće već su aproksimacije verovatnoće. Ako se eksperiment ponavlja veliki broj puta ove aproksimacije verovatnoće nekog ishoda teže verovatnoćama ishoda na osnovu zakona velikih brojeva. Primer statističke definicije Ukoliko se broj bacanja homogenog novčića uvećava, relativna frekvencija likova teži vrednosti 0,5. Statističar Karl Pearson je bacao novčić 4000 puta i dobio 101 likova, tj. relativnu frekvenciju 0,5005. Relativna frekvencija likova ukoliko je broj ponavljanja Subjektivna verovatnoća je verovatnoća dodeljena nekom događaju na osnovu subjektivne procene, informacije, iskustva i verovanja. Bez obzira koja definicija verovatnoće se primenjuje, zbir verovatnoća svih elementarnih događaja je 1. Radi lakše analize u oblasti verovatnoće, poželjno je da sve elementarne događaje izražavamo pomoću realnih brojeva, koji će samim tim sadržavati i informaciju o verovatnoći pojavljivanja elementarnih događaja koje predstavljaju. Jednodimenzionalna slučajna promenljiva je funkcija koja svaki elementarni događaj statističkog eksperimenta preslikava u jedan realan broj, kome se pridružuje verovatnoća jednaka zbiru verovatnoća pojavljivanja svih elementarnih događaja koji se u njega slikaju. Slučajna promenljiva može biti diskretna i neprekidna. Diskretna (prekidna) slučajna promenljiva je slučajna promenljiva koja uzima konačan broj vrednosti ili prebrojivo beskonačan broj vrednosti. Neprekidna slučajna promenljiva je slučajna promenljiva koja može da uzme bilo koju vrednost iz jednog ili više intervala. Neprekidna slučajna promenljiva ima neprebrojivo mnogo vrednosti. Kvantitativna karakteristika slučajnog događaja naziva se slučajna promenljiva. Svaki elementarni događaj iz prostora S preslikava se u vrednost sa brojne prave. Prvi korak u definisanju slučajne promenljive je definisanje prostora elementarnih događaja S, odnosno definisanje i ispisivanje svih mogućih elementarnih događaja. Za svaku slučajno 31

35 promenljivu može se definisati zakon verovatnoće (zakon raspodele) i funkcija raspodele. Distribucije koje su formirane grupisanjem opažanja ili elemenata skupa prema nekom obeležju su empirijske (originalne, opažene) distribucije. Nasuprot empirijskim distribucijama postoje distribucije koje se mogu očekivati u skladu s iskustvom ili na osnovu nekih pretpostavki to su teorijske distribucije. Pojmu obeležja kod empiriskih distribucija odgovara pojam slučajna promenljiva kod teorijskih distribucija. Određivanju relativnih frekvencija kod empirijskih distribucija frekvencija prethodi prebrojavanje opseviranih vrednosti obeležja tj. određivanje apsolutnih frekvencija. Pojmu relativna frekvencija kod teorijskih distribucija odgovara pojam verovatnoća. Verovatnoće se izračunavaju kao određene funkcije vrednosti slučajne promenljive. Svaka teorijska distribucija ima svoj zakon verovatnoće po kom su distribuirane vrednosti slučajne varijable X. Osim funkcije verovatnoće, teorijske distribucije imaju: funkciju raspodele, matematičko očekivanje, varijansu, koeficijent asimetrije i koeficijent spljoštenosti. Funkcija raspodele se definiše kao kumulativna verovatnoća slučajne promenljive Fx ( ) = P( Χ x) i uvek je 0 Fx ( ) 1. Funkcija raspodele odgovara pojmu kumulacije structure kod empirijskih distribucija. Teorijske distribucije su osnova inferencijalne statistike. 3.. Prekidne teorijske distribucije Binomna distribucija Binomna distribucija je jedna od najvažnijih prekidnih teorijskih distribucija. U osnovi binomne distribucije su sukcesivni događaji koji imaju dva ishoda. Binomna distribucija je definisana preko Bernulijevog eksperimenta. Bernulijev eksperiment je slučajni eksperiment koji ima sledeće karakteristike: 1. eksperiment ima dva ishoda, '' uspeh'' i '' neuspeh''. u svakom ponavljanju eksperimenta verovatnoća ishoda '' uspeh'' je p i ne menja se od eksperimenta do eksperimenta. Verovatnoća ishoda '' neuspeh'' jednaka je q=1-p. 3. eksperimenti su nezavisni 4. ishod svakog eksperimenta ili procesa je slučajan. Broj ''uspeha'' u n ponavljanja Bernulijevog eksperimenta je slučajna promenljiva X koja ima binomnu raspodelu. Kako je broj ''uspeha'' svaki ceo broj u intervalu od 0 do n, vrednosti slučajne promenljive koja ima binomnu raspodelu su X : 0, 1,, 3,...n. Broj modaliteta slučajne promenljive je n+1. Verovatnoća P(X=i) za i=0,..., n data je izrazom: p n = i i n i ( i) p q 3

36 gde je: n broj modaliteta obeležja umanjen za 1 p verovatnoća '' uspeha' q verovatnoća '' neuspeha' Binomna distribucija zavisi od dva parametra n i p i može da se označi sa B(n,p). Vrednosti osnovnih pokazatelja su: - Aritmetička sredina - Varijansa Χ BD = np σ BD = npq - Standardna devijacija σ BD = npq - Modus - Koeficijent asimetričnosti - Koeficijent spljoštenosti np q Mo = k np + p β β 1 ( q p) = npq 1 6pq = 3 + npq Kod binomne raspodele varijansa je uvek manja od aritmetičke sredine. Binomna raspodela može da ima jedan modus ako (n+1)p nije ceo broj, ili dva modusa ukoliko je (n+1)p 1 ceo broj: M = np q = (n + 1)p 1, M = np + p = (n + 1)p. 0 0 U slučaju da je p=q=0,5 binomna distribucija je simetrična, ako je q>p binomna distribucija je pozitivno, dok je za q<p negativno asimetrična. U zavisnosti od vrednosti parametra p, može da bude iste spljoštenosti, izdužena ili spljoštena u poređenju sa normalnom distribucijom. Ako broj ponavljanja n neograničeno raste, binomna distribucija teži standardizovanoj normalnoj raspodeli. Binomna distribucija ima čestu primenu u statistici u opisivanju mogućeg broja slučajeva pojavljivanja događaja u nizu ponavljanja eksperimenta. Primenjuje se i u statističkom zaključivanju o raspodeli proporcije uzorka. Binomna distribucija se koristi u kontroli kvaliteta robe i kontroli proizvodnog procesa. Pored toga ima široku primenu u biološkim istraživanjima, posebno u genetici. Primer Odrediti raspodelu slučajne promenljive X: broj ženskih teladi u tri uzastopna teljenja. Pretpostavlja se da se u svakom teljenju dobija jedno tele i da su oba pola podjednako verovatna. Izračunati očekivanu vrednost, modus, varijansu, prvi i drugi Pirsonov koeficijent. Rešenje: X je slučajna promenljiva koja ima binomnu raspodelu B(3,0,5) p(0) = 0,5 0,5 = 0,

37 3 1 p(1) = 0,5 0,5 = 0, p() = 0,5 0,5 = 0, p(3) = 0,5 0,5 = 0,150 3 Χ BD = 3 0,5 = 1,5 1 M 0 = np q = 3 0,5 0,5 = 1 M 0 = np + p = 3 0,5 + 0,5 = BD β 1 = ,5 0,5 β = 3 + =,33. 0,75 σ = = 3 0,5 0,5 0, Poasonova distribucija Poasonovu distribuciju je definisao francuski matematičar Siméon Denis Poisson godine. Poasonova distribucija je u primeni od prve polovine 19. veka i to kao veoma značajna u nekim specifičnim istraživanjima. Poasonova raspodela se često naziva zakon malih brojeva i model je za raspodelu događaja koji se retko pojavljuju sa konstantnom verovatnoćom. Poasonova distribucija se primenjuje u kontroli kvaliteta robe ili neispravnih proizvoda u proizvodnim procesima određene veličine, ispitivanjima saobraćajnih udesa, kontroli pristizanja prevoznih sredstava u stanice, itd. U biološkim istraživanjima primenjuje se u modeliranju broja mutacija gena, broju retkih životinja na određenoj teritoriji, broju mikroorganizama na mikroskopskom polju, broju retkih oboljenja. Sva ova ispitivanja imaju zajedničku karakteristiku da se registruju kao prekidne varijable. Poasonova distribucija je teorijska distribucija koja se odnosi na prekidna obeležja. Vrednost obeležja X su celi nenegativni brojevi 0, 1,, 3,...n,... Verovatnoće Poasonove distribucije zavise od jednog parametra i to je parametar m. Parametar m u distribuciji prosečan broj nastupanja nekog događaja u određenom vremenskom intervalu, jedinici površine ili zapremine. Verovatnoće Poasonove distribucije date su izrazom: i m m p( i) = e i! gde je: e je Ojlerov broj (Napierova konstanta) osnova prirodnog logaritma e,7188 m je pozitivan broj, parametar Poasonove distribucije Vrednosti osnovnih pokazatelja Poasonove distribucije su: - Aritmetička sredina - Varijansa Χ PD = m σ PD = m 34

38 - Standardna devijacija σ PD = m - Modus - Koeficijent asimetričnosti m 1 Mo = k m β 1 = 1 m 1 - Koeficijent spljoštenosti β = 3 + m Kod Poasonove raspodele aritmetička sredina i varijansa su jednake. U slučaju da parametar m nije ceo broj Poasonova raspodela ima jedan modus, dok u slučaju da je m 1 ceo broj ima dva modusa Mo = m 1 i Mo = m. Poasonova raspodela je pozitivno asimetrična i izdužena u poređenju sa normalnom raspodelom. Poasonova distribucija je granični oblik binomne distribucije. Kada se broj eksperimenata u Bernulijevom procesu povećava, javlja se problem izračunavanja verovatnoće da varijabla X uzme određenu vrednost prema formuli za binomnu distribuciju. Za binomnu distribuciju verovatnoće se mogu aproksimirati Poasonovom formulom ako je verovatnoća nastupanja nekog događaja p mala, ako je n veliko i ako m = n p < 10. Primer Poznato je da je % miševa obolelo od kancera. Izračunati verovatnoću da u uzorku od 100 miševa više od jednog miša ima kancer. Rešenje: Broj obolelih miševa ima binomnu raspodelu B(100, 0,0). Kako je verovatnoća oboljenja mala (p=0,00), n veliko (n=100) i m = 100 0,0 = < 10 binomna raspodela se može aproksimirati Poasonovom raspodelom P(). P(X 1) 1 p 0 p1 1 e > = = e = 1 0,1353 0, 707 = 0, Neprekidne teorijske distribucije Normalna distribucija Najvažniji model teorijske distribucije verovatnoće je normalna ili Gausova distribucija. Značaj ovog oblika distribucije u statističkoj teoriji i statističkim istraživanjima se ogleda u tome što se mnoge empirijske pojave modeliraju normalnom distribucijom. Normalna distribucija ima značajnu primenu u statističkoj inferenciji. Parametarska statistika je zasnovana na pretpostavci da osnovni skup kome pripada uzorak ima normalnu distribuciju. Normalni raspored je prvi otkrio godine Abraham de Moivre kao granični oblik binomne distribucije, tj. posmatrajući šta se događa sa binomnom distribucijom kada broj eksperimenata beskonačno raste. U drugoj polovini XVIII. veka ovaj oblik distribucije je proučavao i francuski matematičar Laplas. Gaus (1809) i Laplas (181) su izučavajući greške merenja uveli normalnu distribuciju. Gaus je pisao o karakteristikama i primenama normalne raspodele u modeliranju slučajnih grešaka merenja u astronomiji, tako da se zbog ovog doprinosa normalna raspodela naziva i Gausova raspodela. 35

39 Pierre de Laplace Carl Friedrich Gauss ( ) ( ) Normalna distribucija je neprekidna teorijska distribucija. Neprekidna slučajna promenljiva ima normalnu raspodelu ako je X (, + ) i ako je zakon verovatnoće (funkcija gustine verovatnoće): 1 x µ 1 σ f(x) = e. σ π Zakon verovatnoće normalne distribucije zavisi od dva parametra i to od aritmetičke sredine µ i od standardne devijacije σ. Standardna normalna distribucija ima aritmetičku sredinu 0 i standardnu devijaciju 1. Normalna distribucija je grafički predstavljena kontinuiranom zaobljenom krivom koja u odnosu na X osu ima zvonasti oblik. Funkcije gustine normalne raspodele za različite vrednosti µ i σ. 36

40 Osobine normalne raspodele: - Površina koju kriva zaklapa sa X-osom predstavlja zbir verovatnoća i iznosi 1. - Simetrična je u odnosu na vrednost x = µ tako da je P(X <µ ) = P(X >µ ) = 0,5. - Maksimum funkcije gustine verovatnoće je u tački µ. - Aritmetička sredina, modus i medijana se poklapaju i imaju vrednost µ. - Prvi Pirsonov koeficijent je β 1 = 0, dok je drugi Pirsonov koeficijent β = 3. - Ukoliko X ± funkcija f (X) 0. - Da bi se izračunala verovatnoća P(a<X<b) slučajne promenljive X koja ima standardnu normalnu distribuciju koriste se tablice normalne distribucije. U tablicama su prikazane verovatnoće Ф(а)=P(0<X<a). Ako slučajna promenljiva X nema standardnu normalnu distribuciju, to znači da njena očekivana vrednost nije 0 ili da standardna devijacija nije 1. U tom slučaju, da bi se mogle koristiti statističke tablice, potrebno je prvo izvršiti transformaciju (standardizacija) slučajne promenljive X u standardizovanu slučajnu promenljivu Z. To se radi putem izraza: 1 z Z = Χ µ 1 f (z) = e σ π Primer 1. Ako je X standardna normalna distribucija na osnovu tablica sledi P(0<X<)= 0,

41 . Ako je X standardna normalna distribucija: P(-1,5<X<,5)=P(-1,5<X<0)+P(0<X<,5)=P(0<X<1,5)+ P(0<X<,5)= =0,433+0,4938=0, Data je slučajna promenljiva X koja ima normalnu raspodelu čija je očekivana vrednost 1 i standardna devijacija. 8 1 X P(8 < X < 9) = P < < = P( < Z < 1,5) = P(1.5 < Z < ) = 0, 477 0, 433 = 0,

42 3.3.. Studentova t distribucija Ovu neprekidnu distribuciju definisao je William Gosset godine. Gosset je bio engleski hemičar i statističar, zaposlen u Ginisovoj kompaniji za proizvodnju piva i svoje naučne radove potpisivao je pseudonimom Student, pa se ova distribucija naziva i Studentova t- distribucija. William Sealey Gosset ( ) Studentova distribucija se odnosi na slučajno promenljivu t koja predstavlja transformisano obeležje dato izrazom: Χ µ t = S Χ gde je: Χ - aritmetička sredina uzorka µ - očekivana vrednost (sredina osnovnog skupa) - ocenjena standardna greška aritmetičke sredine S Χ Ocenjena standardna greška aritmetičke sredine dobija se na osnovu ocenjene standardne devijacije osnovnog skupa S, primenom izraza: S S Σ Χi Χ S = n n 1 Količnik t ima Studentovu raspodelu ukoliko se pretpostavi da obeležje X ima normalnu raspodelu nezavisno od veličine uzorka, ili ukoliko je veličina uzorka veća od 30. Parametar koji definiše Studentovu distribuciju je stepen slobode r, koji je r = n-1. Sa porastom stepeni slobode (r) Studentova distribucija se po svojim karakteristikama približava standardnoj normalnoj distribuciji. Ukoliko je r=30, razlika između Studentove i normalne distribucije je neznatna. Χ = ( ) 39

43 Student-ove raspodele za različite stepene slobode Neke od karakteristika t-distribucije su: funkcija gustine verovatnoće zavisi od jednog parametra koji se naziva stepen slobode; ima sličan oblik kao standardna normalna distribucija samo što je šira i položenija tj. ima veću verovatnoću ekstremnih vrednosti deblje repove; kako raste broj stepeni slobode oblikom je sve sličnija standardnoj normalnoj raspodeli; primenjuje se u izračunavanju intervala pouzdanosti i testiranju hipoteza o razlici između dva uzorka ukoliko obeležje ima normalnu raspodelu i varijanse osnovnih skupova nisu poznate. Osnovni pokazatelji t distribucije su: - Aritmetička sredina - Varijansa - Standardna devijacija - Modus Χ td = 0, r > 1. r σ td =, r >. r r σ td = r Mo = Pirsonovi koeficijenti β 1 = 0 β = 3 +, r > 4. r 4 U tablicama Studentove distribucije date su vrednosti slučajne promenljive X za datu vrednost stepena slobode r i vrednost α= P( X > t n 1; α). Tako ako je r=5, α= 0,05, t5;0,05 =,

44 Studentova raspodela r=5 i α= 0, Fišerova F distribucija Fišerova (Fišer Snedekorova) distribucija pripada grupi neprekidnih teorijskih distribucija. Dobila je ime po poznatom engleskom statističaru i genetičaru Ronald Fišeru koji definisao 194. godine. Sir Ronald Aylmer Fisher ( ) Slučajna promenljiva F definisana je kao količnik ocenjenih varijansi dva nezavisna slučajna uzoraka čije su veličine n1 i n : S1 Σ( Χ1i Χ 1 ) F = S S 1 = Σ( Χi Χ) S n 1 1 = n 1 Fišerova distribucija zavisi od dva parametra, odnosno dva stepena slobode r 1 i r. r1 = n1 1 r = n 1 41

45 Kako je definisana kao količnik dve sume kvadrata F-distribucija je uvek nenegativna. Minimalna vrednost Fišerove distribucije je nula. Ukoliko vrednost slučajne pomenljive X teži beskonačnosti, Fišerova distribucija asimptotski teži nuli. Fišerova distribucija je izrazito asimetrična u desno, a sa porastom stepeni slobode, odnosno veličine uzoraka, teži ka simetričnosti. Fišerova distribucija ima široku primenu, a najčešće se koristi kod testiranja jednakosti dve varijanse i kod testiranja razlika tri ili više aritmetičkih sredina, odnosno u primeni metoda analize varijanse. Tablice F-distribucije su formirane za različite pragove značajnosti α= P(X > F ). r 1,r ; α Najčešće se koriste tablice za α=0,05 i α=0,01. U tablicama su brojevi u zaglavlju vrednosti prvog stepena slobode r 1, dok su brojevi u predkoloni vrednosti drugog stepena slobode. Tako npr. za stepene slobode 3 i 16 i α=0,05 tablična vrednost je 3,4 i označava vrednost na X osi tako da je P(X > 3, 4) = 0,05. F-distribucija za različite stepene slobode 4

46 Kontrolna pitanja 1. Kako definišemo empirijske, a kako teorijske distribucije?. Kako se dele teorijske distribucije? 3. Navesti neke od prekidnih teorijskih distribucija. 4. Navesti neke od neprekidnih teorijskih distribucija. 5. Navesti karakteristike Binomne distribucije. 6. Navesti karakteristike Poasonove distribucije. 7. Navesti karakteristike Normalne distribucije. 8. Navesti karakteristike Studentove distribucije. 9. Navesti karakteristike Fišerove distribucije. 10. Kada se u statističkoj inferenciji koriste tablične vrednosti Normalne, a kada tablične vrednosti Studentove distribucije? 43

47 4. INFERENCIJALNA STATISTIKA U različitim situacijama često se dešava da treba doneti neke zaključke o osnovnom skupu, odnosno populaciji a da pri tom nemamo na raspolaganju sve njihove podatke. Deo statistike koji se bavi donošenjem zaključaka o osnovnom skupu na osnovu dela njegovih jedinica naziva se Inferencijalna statistika. Ispitivanje dela nekog skupa radi ocene karakteristika celokupnog skupa izvodi se metodom uzorka. Na osnovu analize jedinica uzorka procenjuje se vrednost parametra osnovnog skupa. Osnovni skup često ispoljava karakteristike koje su približne karakteristikama neke od teorijskih distribucija. Ako se zna kojoj teorijskoj distribuciji se podaci najbolje prilagođavaju i ako se uzme uzorak iz takve mase,onda se lakše dolazi do zaključaka o samom osnovnom skupu Metod uzorka u istraživačkom radu Uzorak je deo osnovnog skupa koji je izabran u svrhu izvođenja statističke analize. Statistička teorija uzoraka deli se na teoriju malog i teoriju velikog uzorka, pri čemu kao osnova za podelu služi broj jedinica u uzorku. Malim uzorkom smatra se uzorak veličine do trideset jedinica, a uzorak čija je veličina veća od trideset jedinica smatra se velikim uzorkom. Uzorak koji u najvećoj meri odražava karakteristike osnovnog skupa naziva se reprezentativni uzorak. Reprezentativnost uzorka postiže se pravilnim postavljanjem plana uzorka i pravilnim načinom izbora jedinica u uzorak. Metode za izbor jedinica uzorka možemo podeliti na: metode izbora na osnovu verovatnoće i metode izbora bez primene verovatnoće. Metode izbora na osnovu verovatnoće podrazumevaju da se primeni postupak izbora koji ne favorizuje ni jednu jedinicu posebno, odnosno da sve jedinice imaju unapred poznatu verovatnoću da budu izabrane u uzorak. Primenom ovih metoda dobijaju se sledeći planovi uzorka: prost slučajni uzorak sistematski slučajni uzorak stratifikovani slučajni uzorak klaster slučajni uzorak Metode izbora bez primene verovatnoće zasnovane su na postupcima izbora jedinica koji ne zavise od teorije verovatnoće. Na ovaj način se dobijaju uzorci formirani na osnovu slobodne procene istraživača ili na osnovu svrhe istraživanja. Prost slučajni uzorak je uzorak koji se dobija tako što sve jedinice osnovnog skupa imaju istu verovatnoću da budu izabrane u uzorak, pri čemu izbor jedne ne utiče na izbor ostalih jedinica. Prost slučajni uzorak može biti izabran sa ili bez ponavljanja (vraćanja). Uzorak sa ponavljanjem podrazumeva da jedna jedinica osnovnog skupa može da se 44

48 pojavi u uzorku više puta. Uzorak bez ponavljanja podrazumeva da jedna jedinica osnovnog skupa može da se pojavi u uzorku samo jednom. Izbor jedinica iz populacije u uzorak može se izvesti pomoću tablice slučajnih brojeva, tehnikom lutrijskog izbora ili uz pomoć računara. Sistematski uzorak je uzorak kod koga se jedinice iz osnovnog skupa biraju jednakim intervalima vremena, prostora ili poretka (vakcinicanje dece određene godine starosti, nagrada za svakog stotog kupca nekog proizvoda, itd.). Stratifikovani i klaster uzorak su uzorci koji se dobijaju kada se osnovni skup (populacija) podeli na stratume ili klastere, nakon čega se slučajno biraju jedinice iz svakog stratuma, odnosno iz svakog klastera. Stratifikovani uzorak se bira u slučaju kada su varijacije unutar stratuma male u odnosu na varijacije između stratuma, a klaster uzorak u suprotnom slučaju. Razlikujemo stratifikovani uzorak sa proporcionalnim rasporedom i disproporcionalni stratifikovani uzorak. 4.. Distribucija sredina uzoraka Svaki parametar uzorka ima svoju distribuciju. Poznavanje karakteristika te distribucije doprinosi boljem razumevanju ocena i testova na osnovu uzorka. Polazeći od osnovnog skupa od N jedinica, ako izaberemo jedan prost slučajan uzorak od n jedinica na osnovu njega se može izvesti ocena nepoznatih parametara osnovnog skupa. Ako se pretpostavi da se iz osnovnog skupa izaberu svi mogući uzorci čiji je broj k i izračunaju njihove aritmetičke sredine na osnovu njih se može formirati distribucija frekvencija aritmetičkih sredina. Broj uzoraka veličine n jedinica koji može da se dobije iz jednog osnovnog skupa veličine N jedinica utvrđuje se na osnovu sledećih izraza: - uzorci sa ponavljanjem - uzorci bez ponavljanja k = N n ( N 1)( N )...( N n 1) N N! Ν + k = = = n n! ( N n )! n! Distribucija aritmetičkih sredina prostih slučajnih uzoraka veličine n ima normalan raspored ukoliko osnovni skup ima normalan raspored, bez obzira na veličinu uzorka. Kada osnovni skup ima raspored proizvoljnog oblika sa aritmetičkom sredinom μ i varijansom σ, raspored aritmetičkih sredina svih prostih slučajnih uzoraka teži normalnom rasporedu ukoliko veličina uzorka n. Ovo je jedna od najznačajnijih teorema u statistici centralna granična teorema. Za distribuciju sredina uzoraka mogu se izračunati i njeni pokazatelji. Aritmetička sredina distribucije sredina uzoraka izračunava se na sledeći način: gde su Χi Χ= i= 1, k Χ (i=1,,k) aritmetičke sredine uzoraka a k broj uzoraka. i k 45

49 Aritmetička sredina distribucije sredina uzoraka jednaka je aritmetičkoj sredini osnovnog skupa: Χ=µ. Varijansa distribucije sredina uzoraka izračunava se na osnovu izraza: k ( Χi µ ) σ = i= 1 Χ k Ako je poznata vrednost varijanse osnovnog skupa varijansa distribucije aritmetičkih sredina uzoraka u slučaju prostih slučajnih uzoraka bez ponavljanja jednaka je: σ N n σ = Χ n N 1 gde je: σ varijansa osnovnog skupa, n veličina uzorka, a N n korektivni faktor. N 1 Ako su primenjeni prosti slučajni uzorci sa ponavljanjem, varijansa aritmetičkih sredina uzoraka je: σ σ =. Χ n Varijansa distribucije sredina uzoraka je manja po vrednosti od varijanse osnovnog skupa. Sa povećanjem veličine uzorka (n) vrednost varijanse distribucije sredina uzoraka se smanjuje i teži nuli. Što je veća veličina uzorka bolje i preciznije se može oceniti parametar osnovnog skupa. N n Kako je < 1, n > 1, varijansa aritmetičkih sredina uzoraka bez ponavljanja je manja N 1 od varijanse aritmetičkih sredina uzoraka sa ponavljanjem. U slučaju da je N veliko u N n poređenju sa n, 1. N 1 Standardna devijacija distribucije aritmetičkih sredina uzoraka naziva se standardna greška aritmetičke sredine a utvrđuje se na osnovu izraza: k ( ) Χi µ σ i= 1 Χ =. k Ako su poznate varijansa ili standardna devijacija osnovnog skupa standardna greška aritmetičke sredine jednaka je u slučaju uzoraka bez ponavljanja : σ N n σ Χ =, n N 1 odnosno u slučaju uzorka s ponavljanjem: σ σ Χ =. n 46

50 4.3. Ocene na osnovu uzorka U praktičnom radu, u svrhu donošenja zaključaka o karakteristikama osnovnog skupa, uzima se samo jedan uzorak dovoljne veličine, na osnovu kog ocenjujemo, odnosno procenjujemo nepoznate parametre osnovnog skupa. Ocena parametara osnovnog skupa primenjuje se u sledećim slučajevima: - kada je nepoznata veličina osnovnog skupa, odnosno ukupan broj jedinica N - kada se ne mogu utvrditi sve vrednosti obeležja osnovnog skupa - kada je osnovni skup beskonačan Parametar Osnovni skup Ocena na osnovu uzorka Aritmetička sredina µ X Standardna devijacija σ S Varijansa σ S Standardna greška aritmetilke sredine σ x S x Vrednosti izračunate na osnovu uzorka nisu tačne, prave vrednosti, već su to približne vrednosti, odnosno ocene odgovarajućih parametara osnovnog skupa. Vrednosti nekog parametra izračunate na osnovu uzorka su tačkaste ocene parametara osnovnog skupa. Ocena nepoznatog parametra osnovnog skupa biće tačnija, odnosno bliža pravoj vrednosti, što je uzorak veći i što je varijabilitet pojave koju analiziramo manji. Ukoliko pojava koju analiziramo ne bi varirala tada bi na primer ocenjena vrednost aritmetičke sredine iz uzorka od samo jedne vrednosti obeležja predstavljala tačnu vrednost sredine osnovnog skupa. Kako pojave koje u praktičnom radu analiziramo pokazuju veći ili manji varijabilitet, tačkaste ocene iz uzorka nisu dovoljne da bi se ocenila vrednost nepoznatog parametra osnovnog skupa, već se u obzir mora uzeti i standardna greška kao pokazatelj varijabiliteta. Tačnije za ocenu nepoznatih parametara osnovnog skupa na osnovu uzorka, koriste se intervalne ocene koje u obzir uzimaju i varijabilitet posmatrane pojave. U teoriji ocenjivanja se razlikuju pojmovi ocenitelj i ocena. Ocenitelj je funkcija uzorka (statistika) dok je ocena izračunata vrednost ocenitelja na osnovu izabranog uzorka. Ocenitelj je slučajna promenljiva, dok je ocena konstanta. Ocena parametara osnovnog skupa na osnovu uzorka, zasnovana je na teoriji da je poželjno da ocenitelj poseduje neka statistička teorijska svojstva. Svojstva koja je poželjno da ima ocenitelj su nepristrasnost, konzistentnost, efikasnost i egzostivnost. Nepristrasnost: ocenitelj parametara je nepristrasan kada je njegova očekivana vrednost jednaka parametru osnovnog skupa. Aritmetička sredina iz uzorka je nepristrasan ocenitelj aritmetičke sredine osnovnog skupa, jer je E Χ =µ. Ocenitelj n (Xi X) * S = i= 1 n nije nepristrasan ocenitelj varijanse osnovnog skupa. Varijansa ocenjena na osnovu uzorka postaće nepristrasan ocenitelj varijanse osnovnog skupa ako delilac u sledećem izrazu budu stepeni slobode n-1: ( ) ( ) n * E S = ES = σ. n 1 47

51 Konzistentnost: za ocenitelj iz uzorka se kaže da konzistentno ocenjuje parametar osnovnog skupa, ako ukoliko n teži beskonačnosti, ocenitelj iz uzorka teži vrednosti parametra osnovnog skupa uz verovatnoću 1. Ako je ocenitelj iz uzorka konzistentan, sa povećanjem veličine uzorka njegova vrednost se približava vrednosti parametra osnovnog skupa. Da bi ocenitelj bio konzistentan, nije neophodno da je nepristrasan. Tako su S i * S konzistentni ocenitelji varijanse osnovnog skupa Efikasnost: parametar osnovnog skupa može da se oceni na različite načine. Nepristrasan ocenitelj tog parametra je efikasniji kada je njegova vrednost približnija pravoj vrednosti parametra osnovnog skupa tj. kada ima manji varijabilitet. Relativna efikasnost se izražava odnosom varijansi ocenitelja i to odnosom manje varijanse ocenitelja prema većoj. Primer: Aritmetička sredina i medijana su nepristrasne ocene aritmetičke sredine osnovnog skupa. Ukoliko se pretpostavi da je osnovni skup normalno raspoređen, aritmetička sredina je efikasniji ocenitelj jer relativna efikasnost ova dva ocenitelja σ / σ = 0,64 < 1. X Me Egzostivnost: ocenjeni parametar je egzostivan ako sadrži sva potrebna obaveštenja o parametru osnovnog skupa. Da bi jedan ocenitelj iz uzorka bio egzostivan on treba da je funkcija parametra osnovnog skupa. Egzostivni ocenitelji su aritmetička sredina i proporcija uzorka. Svi navedeni principi ocene parametara su poželjne ali ne i neophodne osobine ocenitelja Izračunavanje standardne greške aritmetičke sredine Standardna greška aritmetičke sredine, ako je poznat varijabilitet osnovnog skupa (ako su poznate vrednosti standardne devijacije ili varijanse) može se izračunati na osnovu sledećeg izraza: σ N n σ Χ = N n n N 1 gde je N 1 je korektivni faktor koji se koristi ako je poznata veličina osnovnog skupa N i ako se primenjuje uzorak bez ponavljanja (bez vraćanja). Ako je uzorak uzet iz velikog osnovnog skupa ili beskonačnog osnovnog skupa standardna greška aritmetičke sredine svodi se na izraz: σ σ Χ = n S obzirom da su standardna devijacija i varijansa osnovnog skupa najčešće nepoznate zamenjuju se ocenom iz uzorka, odnosno ocenjenom standardnom devijacijom ili varijansom. Na osnovu izračunate ocenjene standardne devijacije ili varijanse izračunava se ocenjena standardna greška aritmetičke sredine na osnovu sledećih izraza u zavisnosti da li je primenjen prost slučajan uzorak bez ili sa ponavljanjem: S N n SΧ = n N Standardna greška aritmetičke sredine može da se izračuna i direktno iz podataka uzorka na osnovu radnih formula. Za negrupisane podatke ocenjena standardna greška aritmetičke sredine utvrđuje se na sledeći način: ( ΣΧi ) Σ( Χi Χ) N n ΣΧi SΧ = n N n S. n( n 1) N Χ = n n 1 N σ. S S Χ =. n ( ) 48

52 Kod distribucije frekvencija za ocenu standardne greške aritmetičke sredine koriste se izrazi: ( i ) Σfi Χ Χ N n SΧ = n n 1 N ( ) Standardna greška aritmetičke sredine nalazi primenu u izračunavanju intervala poverenja za nepoznatu sredinu osnovnog skupa, kao i kod testa značajnosti jedne sredine Interval poverenja za ocenu nepoznate sredine osnovnog skupa Interval poverenja (pouzdanosti) nekog nepoznatog parametra osnovnog skupa je interval u kome se sa određenom sigurnošću nalazi parametar osnovnog skup. U praktičnom radu interval poverenja se najčešče utvrđije na bazi 95 % ili 99 %, što znači da je mogućnost pogreške 5 %, odnosno 1 %. Mogućnost pogreške datog intervala naziva se prag značajnosti, a obeležava se kao α=0,05 ili α=0,01. To bi praktično značilo da od 100 intervala poverenja koje utvrdimo na osnovu 100 različitih uzoraka izabranih iz osnovnog skupa, njih 95, odnosno 99 sadrži pravu vrednost parametra osnovnog skupa, dok 5, odnosno 1 neće sadržati pravu vrednost posmatranog parametra. U slučaju poznatih vrednosti standardne devijacije ili varijanse osnovnog skupa, interval poverenja za ocenu nepoznate aritmetičke sredine osnovnog skupa ima sledeći oblik: Χ Ζ σ <µ<χ+ζ σ, α gde je Ζ α vrednost koja se određuje iz uslova da se slučajna promenljiva Ζ koja ima standardizovanu normalnu raspodelu nalazi u intervalu ±Ζαsa verovatnoćom 1 α. To se može izraziti: P( Ζ < Z < Z ) = 1 α. α Χ U slučaju da varijansa osnovnog skupa nije poznata interval poverenja ima sledeći oblik: Χ tn 1; α SΧ <µ<χ+ tn 1; α S Χ, gde se t n 1; α koja se određuje iz uslova da se slučajna promenljiva t koja ima t- distribuciju nalazi u intervalu ± tn 1; α sa verovatnoćom 1 α. P( t < t < t ) = 1 α. α n 1; α n 1; α ( Σf Χ ) i i ΣfiΧi n N n SΧ = n n 1 N ( ) U slučaju velikog uzorka t-distribucija se može aproksimirati standardizovanom normalnom distribucijom, tako da je (1 α) 100(%) interval poverenja za µ približno: Χ Zα SΧ <µ<χ+ Zα S Χ. U praktičnim primenama se smatra da je uzorak veličine n>30 veliki uzorak i tada može da se koristi naveden oblik intervala poverenja ukoliko varijansa osnovnog skupa nije poznata. Svaki interval poverenja ima svoju donju (L 1 ) i svoju gornju granicu (L ). Na osnovu ocenjenog intervala poverenja može se oceniti i total osnovnog skupa na osnovu sledećeg izraza: N L1< Nµ< N L α Χ 49

53 Proizvod tablične vrednosti i standardne greške ili njene ocene u izrazu za (1 α) 100(%) interval poverenja naziva se marginalna greška ili greška uzorka i predstavlja procenu odstojanja vrednosti parametra od njegove ocene. Primer interval poverenja za negrupisane podatke: Dati su podaci o sistolnom krvnom pritisku (kpa) 10 konja. Odrediti 95 % interval poverenja za sistolni pritisak u osnovnom skupu ako je: a) σ =3 b) σ nije poznata vrednost Redni broj X X 1 5, 635,04 3,1 533,61 3 0,8 43, ,9 357,1 5 4,5 600,5 6 0,5 40,5 7 6, 686,44 8 8,6 817,96 9 3, 538,4 10 4,0 576,00 35,0 5597,64 a) X 35,0 X = = = 3,5 (kpa). n 10 σ 3 σ X = = = 0,949 (kpa). n 10 Kako je poznata varijansa osnovnog skupa interval poverenja ima oblik: X Z σ < μ< X+ Z σ α X Ako je pouzdanost intervala 95%, α = 0,05 i Z0,05 = 1,96, sledi da je interval poverenja: 3,5 1,96 0,949 < µ < 3,5 + 1,96 0,949 1,64 <µ< 5,36 (kpa) α X b) X 35, 0 X = = = 3,5 (kpa) n 10 s X ( X) ( 35) X 5597,64 = n = 10 = 0,914 (kpa) n(n 1) ( ) 50

54 95% interval poverenja u slučaju da varijansa osnovnog skupa nije poznata je: X t n 1; α s X < µ < X + t n 1; α Zamenom aritmetičke sredine uzorka, ocene standardne greške i tablične vrednosti = sledi: t9;0,05, 6 s 3,5, 6 0,914 <µ< 3,5 +, 6 0,914(kPa), 1, 43 <µ< 5,57 (kpa). X Primer interval poverenja za grupisane podatke (distribucije frekvencija): Da bi se procenio prosečan broj krava po domaćinstvu u jednoj opštini koja ima N=1000 domaćinstava izabran je prost slučajan uzorak bez ponavljanja od 50 domaćinstava i dobijeni su rezultati dati u tabeli. Izračunati 99 % interval poverenja za prosečan i ukupan broj krava u osnovnom skupu. Broj krava X i Broj domaćinstava f i f i X i f i X i fx 157 X = = = 3,14 (krava/domaćinstvu). f 50 ( fx) ( 157) fx 579 n N n sx = = = 0,186 (krava/domaćinstvu). n(n 1) N ( ) Kako varijansa osnovnog skupa nije poznata: X t n 1; α s X < µ < X + t n 1; α Tablična vrednost za 99% interval poverenja je t49;0,01 t50;0,01 =, 678, a interval je: 3,14,678 0,186 <µ< 3,14 +,678 0,186(krava/domaćinstvu) s,65 <µ< 3,63(krave/domaćinstvu). X Ukupan broj krava je: NL1< Nµ< NL 1000,65 < Nµ< , < Nµ<

55 Kako je n>30 može da se koristi i oblik intervala: X Z s <µ< X + Z s. Kako je tablična vrednost Z 0,01 =,58, 99% interval poverenja je: α X 3,14,58 0,186 <µ< 3,14 +,58 0,186 (krava/domaćinstvu),67 <µ< 3,61(krave/domaćinstvu). α X 670 < Nµ< 3610(krava). Napomena: Navedene formule za interval poverenja za nepoznatu aritmetičku sredinu osnovnog skupa mogu da se koriste kod malih uzoraka ( n 30) ukoliko se pretpostavi da obeležje ima normalnu raspodelu ili kod velikih uzoraka ( n > 30) bez pretpostavke o raspodeli. Ako je uzorak mali i narušena pretpostavka o normalnoj raspodeli primenjuju se metode neparametarske statistike Interval poverenja za ocenu nepoznate proporcije osnovnog skupa Proporcija je specifičan način izražavanja neke karakteristike (nekog svojstva) u osnovnom skupu ili u uzorku (udeo neispravnih proizvoda u ukupnom broju proizvoda, broj žena u ukupnom broju stanovnika, udeo bolesnih životinja u ukupnom broju životinja itd.). Vrednost proporcije pokazuje relativni udeo posmatrane karakteristike u osnovnom skupu. Proporcija osnovnog skupa označava se sa p a utvrđuje se kao odnos broja jedinica koje poseduju željenu karakteristiku (osobinu) i ukupnog broja jedinica u osnovnom skupu: A p = N gde je : A - broj jedinica osnovnog skupa koje poseduju traženu karakteristiku N - ukupan broj jedinica u osnovnom skupu Relativni udeo jedinica koje ne poseduju neku karakteristiku u osnovnom skupu obeležava se sa q, a predstavlja odnos broja jedinica osnovnog skupa koje ne poseduju traženu karakteristiku (B) i ukupnog broja jedinica osnovnog skupa (N): B q = N Na osnovu toga proizilazi sledeće: p+ q= 1 q = 1 p. S obzirom da je proporcija osnovnog skupa obično nepoznata ocenjujemo je na osnovu uzorka. Proporcija izračunata na osnovu uzorka je ocena proporcije osnovnog skupa. Proporcija ocenjena iz uzorka označava se kao pˆ, a izračunava se na sledeći način: a pˆ = qˆ = 1 pˆ n Ocenjena standardna greška proporcije jednaka je u slučaju prostog slučajnog uzorka bez ponavljanja: pq ˆˆ N n S ˆp =. n N 5

56 Kod uzorka sa ponavljanjem ili u slučaju velikog osnovnog skupa gde je N n 1: N pq ˆˆ S ˆp =. n Ako je uzorak dovoljno veliki može se na osnovu proporcije iz uzorka i njene standardne greške odrediti interval poverenja u kome se očekuje da će se uz određenu verovatnoću nalaziti nepoznata proporcija osnovnog skupa. Ako se ocena nepoznate proporcije osnovnog skupa izvodi na osnovu velikog uzorka (n>30) i ako važe nejednakosti np > 5 i n(1 p) > 5 interval poverenja ima sledeći oblik: pˆ Ζα Spˆ < p< pˆ +Ζα S. pˆ Oblik intervala poverenja sledi iz činjenice da pod navedenim uslovima ˆp ima približno p (1 p) normalnu raspodelu sa parametrima µ ˆp = np i σ =. ˆp n U slučaju malog uzorka ˆp ima binomnu raspodelu, tako da se navedeni interval poverenja ne može primeniti. Na osnovu utvrđenog intervala poverenja može se oceniti i total osnovnog skupa na osnovu sledećeg izraza: N L1< Np< N L. Total osnovnog skupa za proporciju daje informaciju o broju jedinica osnovnog skupa koje imaju posmatranu, odnosno traženu karakteristiku. Primer interval poverenja za ocenu nepoznate proporcije osnovnog skupa: Da bi se procenila zastupljenost domaćinstava koja imaju bar 3 krave, kao i njihov ukupan broj u jednoj opštini koja ima N= 1000 domaćinstava izabran je prost slučajan uzorak bez ponavljanja od 50 domaćinstava i dobijeni su rezultati dati u tabeli. Izračunati 99 % interval poverenja za proporciju i ukupan broj domaćinstava koja imaju bar 3 krave u osnovnom skupu. Broj krava X i Broj domaćinstava f i n=50 a= 35 a 35 ˆp = = = 0,7 qˆ = 1 pˆ = 0,3 n 50 pq ˆˆ N n 0,7 0, Sˆp = = = 0,063 n N pˆ Ζ S < p< pˆ +Ζ S α pˆ 0,7,58 0,063 < p < 0,7 +,58 0,063 0,537 < p < 0,863 N L1< Np< N L ,537 < Np < , < Np < 863 α pˆ 53

57 Kontrolna pitanja 1. Šta je uzorak?. Kako se postiže reprezentativnost uzorka? 3. Navesti neke planove uzoraka. 4. Kako glasi centralna granična teorema? 5. Koja svojstva je poželjno da poseduje ocenitelj iz uzorka? 6. Navedite dve vrste statističkog ocenjivanja i njihove karakteristike. 7. Zašto se intervalna ocena koristi više od tačkaste? 8. Zašto je veličina uzorka značajna u statističkom ocenjivanju? 9. Na osnovu kojih elemenata se ocenjuje nepoznata aritmetička sredina osnovnog skupa na osnovu uzorka? 10. Na osnovu kojih elemenata se ocenjuje nepoznata proporcija osnovnog skupa na osnovu uzorka? 54

58 5. Testiranje statističkih hipoteza Pod hipotezom se podrazumeva naučna pretpostavka zasnovana na poznatim činjenicama radi izvođenja nekog zaključka. Postupkom testiranja u statističkom zaključivanju proveravamo pretpostavku o probabilističkom modelu koji generiše podatke. U parametarskoj statistici se proveravaju pretpostavke o vrednostima parametara osnovnog skupa. Koristeći podatke iz uzorka utvrđujemo da li se tvrđenje prihvata ili ne. Postupak ili pravilo kojim se donosi odluka o prihvatanju ili neprihvatanju tvrđenja o vrednostima parametara osnovnog skupa na osnovu podataka iz slučajnog uzorka naziva se testiranje statističkih hipoteza. Statistički testovi se dele na parametarske i neparametarske. Parametarski testovi polaze od datog oblika i karakteristika distribucije numeričkog obeležja u osnovnom skupu. Za primenu neparametarskih testova nije potrebno dati oblik distribucije numeričkog obeležja, a primenjivi su i kod kvalitativnih obeležja. Testiranje podrazumeva postupak provere određene pretpostavke koju zovemo nulta hipoteza. Nulta hipoteza je tvrđenje o nekom parametru osnovnog skupa koje se smatra istinitim sve dok se ne dokaže suprotno. Alternativna hipoteza je tvrđenje o nekom parametru osnovnog skupa koje će biti istinito ako je nulta hipoteza netačna. Prilikom testiranja hipoteza treba uzeti u obzir da je postupak testiranja zasnovan na uzorku, a da biranje uzorka podleže pravilima slučajnosti. To podrazumeva da se može desiti da na osnovu dva izabrana uzorka zaključci o istoj tvrdnji budu suprotni. Prilikom testiranja nulte hipoteze (H o ), protiv alternativne hipoteze (H 1 ) mogu nastati dve greške. Greška tipa I nastaje kada se odbaci istinita tačna nulta hipoteza. Verovatnoća javljanja ove greške predstavlja nivo (prag) značajnosti i označava se sa α. Verovatnoća (1-α) je verovatnoća ne odbacivanja nulte hipoteze kada je ona tačna i naziva se senzitivnost testa. Greška tipa II se javlja kada se neistinita netačna nulta hipoteza prihvati. Verovatnoća javljanja greške tipa II označava se sa β. Vrednost (1-β) naziva se jačina (snaga, moć) testa ili specifičnost testa i predstavlja verovatnoću da se ne javi greška tipa II. Greške I i II vrste Odluka: Odbacivanje H 0 Ne odbacivanje H 0 Stvarno stanje H0 je tačna H0 je pogrešna POGREŠAN ZAKLJUČAK TAČAN ZAKLJUČAK P(H 1 H 0) = α Greška I vrste TAČAN ZAKLJUČAK P(H 0 H 0) = 1 α POVERENJE P(H 1 H 1) = 1 β JAČINA TESTA POGREŠAN ZAKLJUČAK P(H 0 H 1) = β Greška II vrste 55

59 Postupak statističkog testiranja sastoji se iz više etapa (faza). Postupak testiranja obuhvata tri faze: 1. Formulisanje polazne pretpostavke nulte hipoteze.. Postupak provere postavljene hipoteze. 3. Zaključak o postavljenoj hipotezi. U zavisnosti od načina na koji je formulisana alternativna hipoteza u postupku testiranja moguće je primeniti tri vrste testa: dvostrani, gornji jednostrani i donji jednostrani test. Predmet statističkog testiranja mogu biti različiti parametri, a najčešće su to aritmetička sredina i proporcija Testovi aritmetičkih sredina Postoje sledeći osnovni testovi za testiranja aritmetičkih sredina: 1. Upoređivanje aritmetičke sredine uzorka sa aritmetičkom sredinom osnovnog skupa ili sa nekom hipotetičkom vrednošću test značajnosti jedne sredine. Upoređivanje dve aritmetičke sredine iz dva nezavisna uzorka test značajnosti razlike dve sredine 3. Upoređivanje više od dve sredine iz više od dva uzorka metod analize varijanse Test značajnosti jedne sredine Test značajnosti jedne sredine je testiranje nulte hipoteze o jednakosti aritmetičke sredine uzorka sa hipotetičkom vrednosti aritmetičke sredine osnovnog skupa, ili sa nekom drugom teorijskom vrednošću. Ovaj test može se izvesti u slučaju kada je poznat varijabilitet osnovnog skupa i u slučaju kada se ceo postupak testiranja zasniva jedino na rezultatima uzorka, odnosno kada nije poznat varijabilitet osnovnog skupa, već se ocenjuje na osnovu uzorka. Testiranje nulte hipoteze o nepoznatoj aritmetičkoj sredini osnovnog skupa µ na osnovu prostog slučajnog uzorka u slučaju da je poznata varijansa osnovnog skupa Prilikom provere neke pretpostavke, u prvoj fazi testiranja formulišemo dve suprotstavljene hipoteze, nultu i alternativnu. Nulta hipoteza u ovom slučaju je da je nepoznata aritmetička sredina osnovnog skupa µ jednaka pretpostavljenoj (hipotetičkoj) vrednosti µ o. Alternativna hipoteza nasuprot nultoj pretpostavlja da nepoznata aritmetička sredina osnovnog skupa nije jednaka µ o. U slučaju dvostranog testa nulta i alternativna hipoteza su: H : µ = µ H : µ µ 0. Kod jednostranog testa nulta hipoteza se odnosi na gornju granicu nepoznate aritmetičke sredine: H 0:µ µ 0 H 1:µ>µ 0 ili na donju granicu: H 0:µ µ 0 H 1:µ<µ 0. Provera postavljene nulte hipoteza izvodi se izračunavanjem odgovarajuće test statistike: X µ σ Z = σ = X σ n X Pretpostavljajući nultu hipotezu Z-statistika ima standardizovanu normalnu raspodelu N(0,1). 56

60 Za donošenje zaključka o prihvatanju ili odbacivanju nulte hipoteze u ovom slučaju koriste se tablice normalne distribucije bez obzira na veličinu uzorka na osnovu kog se testiranje izvodi. Zaključak se najčešče donosi na pragu značajnosti 0,05 ili 0,01. Kod praga značajnosti 0,05 kritična vrednost u tablici normalne distribucije je 1,96, a za prag značajnosti 0,01 kritična vrednost je,58. Na osnovu toga, ako je apsolutna vrednost izračunatog količnika Z jednaka ili veća od navedenih kritičnih vrednosti ima osnova za odbacivanje nulte hipoteze kao tačne i prihvatanje alternativne hipoteze. Nasuprot tome, ako je apsolutna vrednost izračunatog količnika Z manja od kritičnih vrednosti nulta hipoteza se može prihvatiti. To ne znači da je nulta hipoteza tačna, već samo da dokazi protiv nulte hipoteze nisu dovoljno jaki. Formulacija prihvata se nulta hipoteza znači da rezultati uzorka podržavaju nultu hipotezu i da se ona ne može odbaciti. Istu hipotezu možemo proveriti i izračunavanjem intervala poverenja: X z ασ X <µ< X + z ασx. Na ovaj način se utvrđuje interval u okviru koga je očekivana vrednost osnovnog skupa. Ukoliko se očekivana vrednost nalazi unutar granica utvrđenog intervala poverenja nulta hipoteza se može prihvatiti, a ukoliko je očekivana vrednost izvan granica utvrđenog intervala nulta hipoteza se odbacuje. Napomena: Kako je test statistika Z funkcija uzorka (X 1,X..., X n ) ona je slučajna promenljiva. Vrednost test statistike izračunata na osnovu jednog uzorka (x 1,x..., x n ) je broj. Primer Prosečna visina grebena jedne rase konja iznosi 175 cm, dok je varijansa σ =7,5 cm. Na jednoj ergeli koja ima 100 konja merenjem je ustanovljena visina grebena 173 cm. Da li se aritmetička sredina uzorka statistički značajno razlikuje od aritmetičke sredine osnovnog skupa? Rešenje: Pretpostavlja se da su parametri osnovnog skupa: Na osnovu uzorka veličine n=100 izračunata je aritmetička sredina Testira se H 0 : µ= 175 cm protiv H 1 : µ 175 cm. µ 0 = 175 cm i σ = 7,5. X = 173 cm. I način: σ 7,5 σ X = = = 0,739 cm n 100 X µ Z = = = 7,30 σ 0, 739 X ** Kako je Z > 1,96 H 1 i Z >,58 H1, odbacuje se nulta hipoteza na pragovima značajnosti α=0,05 ili α=0,01. To znači da se aritmetička sredina uzorka statistički visoko značajno razlikuje od pretpostavljene aritmetičke sredine osnovnog skupa, odnosno da uzorak ne pripada osnovnom skupu čija je aritmetička sredina 175 cm. II način: (1 α) 100% poverenja za nepoznatu aritmetičku sredinu osnovnog skupa je: X Z σ <µ< X + Z σ. α X α X 57

61 95% interval poverenja za prosečnu visinu grebena je: α =0, ,96 0, 739 <µ< ,96 0, 739 cm 17, 463 <µ< 173,537 cm 99% interval poverenja za prosečnu visinu grebena je α =0,01 173,58 0, 739 <µ< 173 +,58 0, 739 cm 17, 93 <µ< 173,707 cm µ 0 ( 17, 9,173,71) H1 Kako pretpostavljena vrednost aritmetičke sredine ne pripada 95% i 99% intervalu poverenja, nulta hipoteza se odbacuje na pragovima značajnosti 5% i 1% tj. prihvata se alternativna hipoteza. Testiranje nulte hipoteze o nepoznatoj aritmetičkoj sredini osnovnog skupa µ na osnovu prostog slučajnog uzorka u slučaju da nije poznata varijansa osnovnog skupa U slučaju kada nisu poznate vrednosti standardne devijacije ili varijanse osnovnog skupa, polazna hipoteza se proverava izračunavanjem t-količnika. : µ = H : µ µ H µ Χ µ t =, S Χ gde je u zavisnosti da li je slučajan uzorak bez ili sa ponavljanjem: S N n S ili S Χ = S Χ. n N = n Pretpostavljajući nultu hipotezu t-količnik ima t (Studentovu) raspodelu sa (n-1) stepena slobode. Apsolutna vrednost izračunatog količnika t upoređuje se sa kritičnom vrednošću t- distribucije. Kritična vrednost t n 1; α zadovoljava uslov da je P( t > t n 1; α) =α i dobija se korišćenjem tablica t-distribucije. Ako se provera hipoteze izvodi na osnovu velikog uzorka (n>30) izračunati količnik t ima približno standardizovanu normalnu raspodelu, tako da mogu da se koriste i tablice N(0,1) distribucije. Ako je apsolutna vrednost izračunatog količnika t jednaka ili veća od kritične vrednosti t n 1; α ima osnova za odbacivanje nulte hipoteze i prihvatanje alternativne hipoteze. Nasuprot tome, ako je apsolutna vrednost izračunatog količnika t manja od kritične vrednosti nulta hipoteza se može prihvatiti. Testiranje hipoteze o značajnosti jedne sredine u slučaju nepoznatih parametara osnovnog skupa, može da se izvede i izračunavanjem odgovarajućeg intervala poverenja. Χ t S <µ<χ+ t S, n 1; α Χ n 1; α Χ koji se, u slučaju velikog uzorka (n>30) može aproksimirati sa: Χ z S <µ<χ+ z S. α ( ) µ 0 = , 46, 157,54 H1 Χ α Χ 58

62 Ukoliko hipotetička vrednost µ 0 pripada (1 α) 100% intervalu poverenja prihvata se nulta hipoteza na pragu značajnosti α, a u slučaju da ne pripada prihvata se alternativna hipoteza. µ 0 ( L 1,L) H0 µ 0 ( L 1,L) H 1. Primer: Na osnovu rasporeda krava prema mlečnosti (l) datom u tabeli, može li se prihvatiti nulta hipoteza da je prosečna mlečnost po kravi 0 (l)? Mlečnost(l) Broj krava fx fx Testira se H 0 : µ= 0 (l) H : µ 0 (l). 1 I način: fx 88 X = = = 14, 4 (l) f 0 fx 4644 S n 0 X = = = 1,1434 (l) n(n 1) ( fx) ( 88) ( ) X µ 0 14, 4 0 ** t = = = 4,898 Sx 1,1434 n = f t 0,05(19) =,093 t 0,01(19) =,861 t = 4,898 >,093 H 1 t = 4,898 >,861 H 1 Kako je apsolutna vrednost t-količnika veća od obe kritične vrednosti na pragovima značajnosti 5% i 1%, nulta hipoteza se odbacuje tj. prihvata alternativna. To znači da je t- test kriterijum visoko statistički značajan. Prema tome ne može da se prihvati nulta hipoteza da je mlečnost po kravi 0(l). II način: α =0,05 α =0,01 Χ tn 1; α SΧ <µ<χ+ tn 1; α SΧ 14,4,093 1,1434 <µ< 14,4 +,093 1,1434 1,007 <µ< 16,793(l) 0 ( 1,007,16,793) H1 14, 4,861 1,1434 <µ< 14, 4 +,861 1, ,19 <µ< 17,671(l) 0 11,19,17,671 H ( ) 1 59

63 5.1.. Test značajnosti razlike dve sredine U praktičnom radu često se izvodi eksperiment sa dva tretmana. Pri tome se proverava da li su prosečne vrednosti osnovnih skupova jednake odnosno da li je µ 1 =µ. Provera jednakosti sredina osnovnih skupova izvodi se na osnovu dva slučajna uzorka. Ovaj test naziva se test značajnosti razlike dve sredine, a zasniva se na upoređivanju dve aritmetičke sredine iz dva uzorka koji mogu biti nezavisni ili zavisni. Zaključivanje o jednakosti aritmetičkih sredina dva osnovna skupa na osnovu nezavisnih prostih slučajnih uzoraka Kod ovog vida testiranja polazna pretpostavka glasi: H 0:µ 1 =µ. Dakle polazi se od pretpostavke da u uticaju dva ispitivana tretmana na eksperimentalne jedinice uzoraka nema statistički značajne razlike. Suprotna pretpostavka, odnosno alternativna hipoteza kod ovog testa glasi: H 1:µ 1 µ, što znači da se podrazumeva da je uticaj ispitivanih tretmana statistički značajno različit. Za proveru ove hipoteze takođe postoje dva slučaja: 1. kada su poznate standardne devijacije ili varijanse osnovnih skupova. kada nisu poznate standardne devijacije ili varijanse osnovnih skupova već ih ocenjujemo na osnovu uzoraka Testiranje značajnosti razlike dve aritmetičke sredine u slučaju kada su poznate varijanse osnovnih skupova Kod prvog slučaja kada su poznate varijanse osnovnih skupova nulta hipoteza se proverava izračunavanjem količnika Z. Da bi se izveo test u ovom slučaju, potrebno je najpre izračunati standardnu grešku razlike aritmetičkih sredina uzoraka na osnovu sledećeg izraza: gde su σ 1 i σ varijanse osnovnih skupova, a n 1 i n veličine uzoraka. Na osnovu prosečnih vrednosti utvrđenih na osnovu uzoraka i na osnovu izračunate standardne greške dobija se vrednost količnika: Χ1 Χ Ζ=. σ U svrhu donošenja zaključka o postavljenoj hipotezi izračunata vrednost količnika se upoređuje sa odgovarajućim kritičnim vrednostima iz tablice normalne distribucije, najčešće za pragove značajnosti 5% i 1%.. Ako je apsolutna vrednost izračunatog količnika Z jednaka ili veća od kritičnih vrednosti ima osnova za odbacivanje nulte hipoteze i prihvatanje alternativne hipoteze. Provera hipoteze o značajnosti razlike dve sredine može da se izvede i izračunavanjem odgovarajućeg (1 α) 100% intervala poverenja. Nulta hipoteza σ1 σ σ (X1 X ) = +, n1 n ( Χ Χ ) 1 ( Χ1 Χ) Ζα σ <µ ( ) 1 µ < Χ Χ ( Χ1 Χ ) +Ζα σ ( Χ Χ ) 1 1 H 0:µ 1 =µ je ekvivalentna tvrđenju H 0: µ 1 µ = 0. 60

64 Ukoliko granice izračunatog intervala uključuju nulu ima osnova za prihvatanje nulte hipoteze, u suprotnom ako nula ne pripada granicama utvrđenog intervala odbacuje se nulta a prihvata altermnativna hipoteza. Primer: Ishranom dve ogledne grupe od po 45 svinja iste rase obrocima različitih sastava ostvaren je prosečan dnevni prirast od 695 gr i 745 gr. Varijanse posmatranog obeležja su 193 i 144. Ispitati da li ishrana različitog sastava dovodi do razlika u prosečnom dnevnom prirastu svinja. n1 = 45 n = 45 H 0: µ 1 =µ Χ 1 = 695 gr Χ = 745 gr H 1: µ 1 µ σ 1 = 193 σ = 144 σ1 σ σ (X1 X ) = + = + = 9,517 n1 n Kako se nulta hipoteza odbacuje na pragovima značajnosti 5% i 1%, može da se zaključi da postoji statistički visoko značajna razlika u prosečnom dnevnom prirastu svinja u zavisnosti od sastava obroka. Provera hipoteze primenom intervala poverenja: α= 0,05 Χ1 Χ Ζα σ <µ Χ Χ 1 µ < Χ1 Χ +Ζα σ Χ Χ α= 0,01 Ζ Ζ 0,05 0,01 = 1,96 =,58 68,65 <µ 1 µ < 31,35 (g) ( ) ( ) ,58 9,517 <µ µ < ,58 9, ,55 <µ 1 µ < 5,45 (g) 0 74,55, 5,45 H Ζ = = 5,54 9,517 Ζ= 5, 5 >,58 H 1 Ζ= 5, 5 > 1,96 H 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ,96 9,517 <µ µ < ,96 9,517(g) 1 0 ( 68,65, 31,35) H1 ( ) 1 Testiranje značajnosti razlike dve aritmetičke sredine u slučaju kada nisu poznate varijanse osnovnih skupova Pretpostavljajući da su nepoznate varijanse osnovnih skupova jednake (homogene) tj. σ 1 =σ =σ, standardna greška razlike aritmetičkih sredina dva nezavisna slučajna uzoraka je: 1 1 σ (X1 X ) = σ +. n1 n ** 61

65 Test kriterijum je oblika: Χ Χ t =, 1 S Χ 1 Χ ( ) i zasniva se na tome da se nepoznate varijanse osnovnih skupova zamenjuju njihovim ocenama na osnovu uzoraka. Utvrđena vrednost količnika t upoređuje se sa kritičnim vrednostima t-distribucije za [(n 1-1) +(n -1)] stepeni slobode. Izračunavanje ocenjene standardne greške razlike dve sredine uslovljeno je veličinom uzoraka na osnovu kojih se ocena izvodi. Ako su uzorci sa nejednakim brojem jedinica n1 n izračunavanje se izvodi na sledeći način: 1 1 S S ( 1 ) 1. Χ Χ& = + + n1 n Ako su uzorci sa jednakim brojem jedinica n1 = n = nkoristi se sledeći izraz: S S = 1 + ( Χ1 Χ) n U oba slučaja da bi se dobila vrednost ocenjene standardne greške dve sredine najpre se izračunava združena varijansa s 1+ koja je ocena nepoznate varijanse σ. Združena varijansa se može izračunati na dva načina: 1. na bazi odstupanja vrednosti obeležja od proseka. direktno iz podataka Na osnovu toga združenu varijansu, ako su podaci u uzorcima negrupisani, možemo utvrditi na sledeće načine: ( ΣΧ1i ) ( ΣΧi ) Σ( Χ1i Χ 1 ) +Σ( Χi Χ ΣΧ ) 1i + ΣΧi S1+ = n1 n S 1+ = n1+ n n1+ n Ako su podaci u uzorcima dati kao distribucija frekvencija, združena varijansa se izračunava pomoću sledećih izraza: ( ) ( ) Σf Χ Σf Χ Σf Σf1i Χ1i Χ 1 +Σfi Χi Χ 1iΧ1i +ΣfiΧi S 1+ = n1 n S n1+ n 1+ = n1+ n Kod grupisanih podataka u uzorcima treba imati u vidu da veličina uzoraka predstavlja sumu frekvencija, odnosno: Σ f1 = n1 i Σ f = n. Združena varijansa može da se izrazi kao ponderisana aritmetička sredina ocena varijansi osnovnih skupova na osnovu uzoraka: (n1 1) S 1 + (n 1) S S 1+ =. n + n 1 Apsolutna izračunata vrednost količnika t upoređuje se sa kritičnim vrednostima iz tablica Studentove distribucije za [(n 1-1) +(n -1)] stepeni slobode i različite pragove značajnosti, obično 5% i 1%. Ukoliko je apsolutna vrednost izračunatog količnika manja od odgovarajućih kritičnih vrednosti ima osnova za prihvatanje nulte hipoteze. U suprotnom vrednost količnika veća ili jednaka od odgovarajućih kritičnih vrednosti rezultira ( ) ( ) 1i 1i i i 6

66 prihvatanjem alternativne hipoteze. Za donošenje zaključka o postavljenoj hipotezi vrednost količnika t može se uporediti i sa kritičnim vrednostima iz tablica ND ako je + >30. n1 n Testiranje postavljene nulte hipoteze i u ovom slučaju možemo izvesti izračunavanjem odgovarajućeg intervala poverenja: ( Χ1 Χ) n1+ n ; α <µ ( ) 1 µ < ( Χ1 Χ ) + Χ Χ n1+ n ; α ( Χ Χ ) t S t S. 1 1 Ako je stepen slobode n 1 + n >30, t n1+ n ; α N(0,1), tako da može da se primeni formula: Χ Χ Ζ S <µ µ < Χ Χ +Ζ S. ( 1 ) α ( Χ Χ ) 1 ( 1 ) α ( Χ Χ ) 1 1 Osnov za prihvatanje nulte hipoteze je da nula pripada granicama izračunatog intervala. Primer: Pri ispitivanju uticaja dve vrste hrane u ishrani junadi postavljen je ogled sa dve grupe grla, čiji su rezultati dati u tabeli. Utvrditi da li različita ishrana utiče na prosečan dnevni prirast grla. Prirast X 1 Rasa A Broj grla f 1 Prirast X Rasa B Broj grla f f1χ 1 fχ f Χ 1 1 fχ 1,40 1,38 1,41 1,35 1,4 1, ,31 1,37 1,39 1,33 1,35 1, ,60 6,90 15,51 4,05 11,36 1,33 9,17 5,48 0,85 13,30 5,40 6,80 7,84 9,5 1,87 5,47 16,13 16,89 1,01 7,51 8,98 17,69 7,9 9, ,75 61,00 77,7 8,73 H 0:µ 1 =µ H 1:µ 1 µ Σf1Χ1 55,75 Χ 1 = = = 1,394 kg n1 40 ΣfΧ 61 Χ = = = 1,356 kg n 45 ( Σf1Χ1i ) ( ΣfΧi ) ( 55, 75) ( 61) Σf1Χ1i +ΣfΧi 77,7 + 8,73 n1 n S = = = 0, 0007 n1+ n S 1 1 = S ( 1 ) Χ Χ& S = 0,0007 0,006 kg n1 n ( Χ1 Χ) + = Χ1 Χ 1,394 1,356 t = = = 6,333 S 0,006 ( Χ Χ ) 1 ** 63

67 Kako je t 83 t >Ζ0,05 H1 t >Ζ0,01 H1 N(0,1) koriste se kritične vrednosti Ζ 0,05 = 1,96 i Ζ 0,01 =,58. Provera hipoteze putem intervala poverenja: n1+ n > 30 α= 0,05 ( Χ1 Χ) Ζα S <µ ( ) 1 µ < ( Χ1 Χ ) +Ζα S Χ Χ ( Χ Χ ) 1 1 ( ) ( ) 1, 394 1, 356 1, 96 0, 006 <µ 1 µ < 1, 394 1, , 96 0, 006 0,06 <µ 1 µ < 0, ,06,0,05 H ( ) α= 0,01 ( 1,394 1,356),58 0,006 <µ 1 µ < ( 1,394 1,356) +,58 0,006 0,03 <µ 1 µ < 0, ,03,0,054 H ( ) Testovi proporcija Kod testiranja proporcija imamo dva osnovna vida testiranja: 1. kada upoređujeno proporciju iz uzorka sa pretpostavljenom proporcijom osnovnog skupa ili sa nekom teorijskom vrednošću test značajnosti jedne proporcije. kada upoređujemo dve proporcije iz dva nezavisna uzorka- test značajnosti razlike dve proporcije Testirnje hipoteze o proporciji osnovnog skupa Pri testiranju jednakosti proporcije uzorka sa pretpostavljenom proporcijom osnovnog skupa polazi se od sledeće nulte i alternativne hipoteze: H 0:p= p0 H 1:p p 0. Za proveru nulte hipoteze izračunava se količnik Z : ˆp p Z =. S Pretpostavljajući nultu hipotezu Z količnik ima približno standardnu normalnu raspodelu ako se testiranje izvodi na osnovu velikog uzorka i ako je ispunjeno np>5 i nq>5. U tom slučaju izračunati količnik upoređujemo sa vrednostima iz tablice ND. Osnov za odbacivanje nulte hipoteze je vrednost izračunatog količnika veća ili jednaka kritičnim vrednostima iz odgovarajućih tablica. U slučaju malog uzorka u testiranju se koristi činjenica da ˆp ima binomnu raspodelu. ˆp 64

68 Proveru hipoteze o značajnosti jedne proporcije možemo izvesti i izračunavanjem intervala poverenja koji je u slučaju da je n veliko i np>5 i nq>5: pˆ Zα Spˆ < p< pˆ + Zα Spˆ Ukoliko pretpostavljena vrednost proporcije osnovnog skupa pripada granicama utvrđenog interval ima osnova za prihvatanje nulte hipoteze kao tačne. Primer: U uzorku od 164 grla jedne rase goveda sa dužinom trupa ispod 160 cm bilo je 5 grla. Može li se doneti zaključak da je kod posmatrane rase učešće grla sa dužinom trupa ispod 160 cm 40 %? n = 164 H 0 : p = 0,4 a = 5 H 1 : p 0,4 p = 0,4 0 a 5 ˆp = = = 0,317 n 164 ˆq = 1 0,317 = 0,683 pq ˆˆ 0,317 0,683 Sˆp = = = 0,036 n 164 ˆp p 0,317 0, 4 * Z = = =,306 S 0,036 ˆp Z Z >Ζ H 0,05 1 <Ζ H 0,01 0 Može da se zaključi da se proporcija grla sa dužinom ispod 160 cm u osnovnom skupu iz koga je izabran uzorak statistički značajno, ali ne i visoko značajno, razlikuje od pretpostavljene vrednosti 40%. Testiranje hipoteze izračunavanjem intervala poverenja: α= 0,05 pˆ Ζ0,05 Spˆ < p< pˆ +Ζ0,05 Spˆ 0,317 1,96 0,036 < p < 0, ,96 0,036 0, 46 < p < 0, 388 0, 4 0, 46,0,388 H ( ) α= 0,01 pˆ Ζ0,01 Spˆ < p< pˆ +Ζ0,01 Spˆ 0,317,58 0,036 < p < 0,317 +,58 0,036 0, 4 < p < 0, 410 0, 4 0, 4,0, 410 H ( )

69 5... Test značajnosti razlike dve proporcije Pri testitaranju značajnosti razlike dve proporcije iz dva nezavisna uzorka u slučaju dvostranog tepolazi se od sledeće nulte i alternativne hipoteze: H 0:p1 = p, H 1:p1 p. Ukoliko su veliki uzorci i ispunjeno n 1 p 1 > 5, n 1 q 1 > 5, n p > 5, n q > 5, polazna hipoteza proverava se izračunavanjem sledećeg količnika: pˆ1 p ˆ Ζ=. S( pˆ1 pˆ) Da bi se došlo do vrednosti količnika na osnovu kog će se proveriti polazna pretpostavka, treba prvo utvrditi ocenjene vrednosti proporcija uzoraka, kao i standardnu grešku razlike dve proporcije. Ocenjene proporcije iz uzoraka dobijaju se na osnovu sledećih izraza: a1 a p ˆ 1 = ; p ˆ =. n1 n Ocenjena standardna greška razlike dve proporcije iz uzoraka može se izračunati primenom dva izraza: pq 1 1 S( pˆ1 pˆ) = S n + n ( pˆ1 pˆ) = pq +. n1 n 1 Da bi se izračunala standardna greška prvo se izračunava prosečna proporcija na osnovu dva uzorka: pn ˆ1 1 pˆn a1 a p = + ; p = + q = 1 p. n1+ n n1+ n Izračunati količnik Z upoređuje se sa kritičnim vrednostima iz tablica normalne distribucije. Ako je izračunata vrednost količnika manja od odgovarajućih kritičnih vrednosti iz tablice ima osnova da se prihvati polazna, odnosno nulta hipoteza i zaključi da je posmatrana karakteristika podjednako zastupljena u osnovnim skupovima iz kojih su izabrani uzorci. Testiranje ove hipoteze možemo izvesti i izračunavanjem intervala poverenja. Nulta hipoteza se može prihvatiti kao tačna ukoliko granice izračunatog intervala uključuju 0 i suprotno ako 0 ne pripada granicama izračunatog intervala odbacuje se nulta i prihvata alternativna hipoteza. p ˆ p ˆ Ζ S < p p < p ˆ p ˆ +Ζ S ( 1 ) α ( pˆ ) ( ) 1 pˆ 1 1 α ( pˆ1 pˆ) 0 ( L 1,L) H0 0 ( L,L ) H 1 1 Primer: U uzorcima od po 110 grla, goveda dve rase obolela grla učestvuju sa 6 % i 13 %. Utvrditi da li je otpornost dve posmatrane rase goveda prema ispitivanoj bolesti ista. n1 = 110 H 0:p1 = p ˆp 1 = 0, 06 H 1:p1 p n = 110 pˆ1 p ˆ Ζ=. ˆp = 0,13 S( pˆ pˆ ) 1 pˆ1n1 + pˆn 0, , p = = = 0,095 n + n q = 1 p = 0,905

70 I način izračunavanja ocenjene standardne greške razlike dve proporcije: S( pˆ1 pˆ) = pq + = 0, 095 0,905 + = 0, 0396 n1 n ,06 0,13 Ζ0,05 = 1,96 Z = 1, 77 < 1,96 H 0 Ζ = = 1,768 0,0396 Ζ =,58 0,01 Proporcije obolelih grla dve posmatrane rase goveda se statistički značajno ne razlikuje. Provera hipoteze na osnovu intervala poverenja: α= 0,05 ( pˆ1 pˆ) Ζα S( ˆ ) ( ) 1 ˆ 1 ˆ1 ˆ p p < p p < p p +Ζα S( pˆ1 pˆ) ( ) ( ) 0,06 0,13 1,96 0,0396 < p p < 0,06 0,13 + 1,96 0,0396 0,148 < p p < 0, ( ) 0 0,148, 0, 008 H 0 1 II način izračunavanja ocenjene standardne greške razlike dve proporcije: pq 0,095 0,905 S( pˆ1 pˆ) = = = 0,08 n + n ,06 0,13 Ζ = =,5 0,08 * Ζ0,05 = 1,96 Ζ >Ζ0,05 H1 Ζ =,58 Ζ <Ζ H 0,01 0,01 0 Provera hipoteze na osnovu intervala poverenja: α= 0,05 ( pˆ1 pˆ) Ζα S( ˆ ) ( ) 1 ˆ 1 ˆ1 ˆ p p < p p < p p +Ζα S( pˆ1 pˆ) ( ) ( ) 0,06 0,13 1,96 0,08 < p1 p < 0,06 0,13 + 1,96 0,08 0,15 < p1 p < 0, L,L H ( ) Analiza varijanse (ANOVA) U istraživačkom radu često se proverava postojanje razlika između više od dve aritmetičkih sredina istog ili različitih osnovnih skupova. Statistički postupak kod ovakvih istraživanja poznat je pod nazivom analiza varijanse (ANOVA). Statističar i genetičar Ronald Fišer je uveo termin i razvio metod analize varijanse 195. godine. Analiza varijanse se sastoji u ispitivanju varijabiliteta aritmetičkih sredina iz više slučajno odabranih uzoraka, pri čemu se ukupan varijabilitet (ukupna varijansa) razdvaja na sastavne delove, odnosno na varijabilitet koji nastaje usled uticaja primenjenih tretmana i na slučajan varijabilitet. 67

71 Analiza varijanse potpuno slučajnog rasporeda (prostog slučajnog rasporeda) U analizi varijanse potpuno slučajnog rasporeda polazimo od k uzoraka (tretmana) i izračunavamo njihove aritmetičke sredine. Aritmetička sredina svakog od k uzoraka definisana je na sledeći način: n i ΣΧij j1 = Χ = gde je: n i broj jedinica u uzorku X ij vrednost obeležja j-te jedinice i-tog tretmana Pored aritmetičke sredine svakog od k uzoraka, izračunava se i opšta sredina svih N jedinica iz svih uzoraka definisana sledećim izrazom: Σ ΣΧij k i= 1j= 1 T Χ = = N= Σ n k i N i= 1 Σ ni i= 1 Zbir vrednosti obeležja svih N jedinica se naziva total i označava T. Ako su svi uzorci jednake veličine, odnosno sa jednakim brojem ponavljanja (n) ukupan broj jedinica u analizi varijanse (N) može se iskazati na sledeći način: n = n1 = n =... = nk N= n k Varijabilitet koji nastaje primenom odabranih k tretmana na N jedinica, u analizi varijanse iskazuje se na osnovu odstupanja svake individualne vrednosti obeležja od opšte sredine: Χ Χ = Χ Χ + Χ Χ Ako se navedeni izraz kvadrira dobijaju se odgovarajuće sume kvadrata: k - Suma kvradrata totala Q Σ Χi Χ - Suma kvadrata tretmana Q T, (suma kvadrata između grupa; suma i= 1 kvadrata objašnjene varijacije) k n i Σ Σ( Χ - Suma kvadrata pogreške Q P (suma kvadrata unutar grupa; suma ij Χi ) i= 1j= 1 kvadrata neobjašnjene varijacije) Na osnovu definisanih suma kvadrata proverava se polazna hipoteza u primeni metoda analize varijanse. Polazna pretpostavka u analizi varijanse potpuno slučajnog rasporeda glasi: ( ) i k n i n i ( ij ) ( i ) ( ij i ) k ni k k n i ( ij ) ( i ) ( ij i ) Σ Σ Χ Χ = Σ Χ Χ + Σ Σ Χ Χ i= 1j= 1 i= 1 i= 1j= 1 Q= Q + Q ( ij ) T k n i Σ Σ Χ Χ i= 1j= 1 P H 0: µ 1 =µ =µ 3 =... =µ k 68

72 Alternativna hipoteza definisana je na sledeći način: H 1: (i,j) i j µ i µ j 1 i k, 1 i k. Nultom hipotezom se tvrdi da su aritmetičke sredine k-osnovnih skupova jednake, dok je tvrđenje alternativne hipoteze da postoji bar jedan par aritmetičkih sredina koji se razlikuje. Polazna hipoteza proverava se izvođenjem F testa. Za izvođenje ovog testa formira se tabela analize varijanse. Izvori Stepeni Sume Sredine varijacije slobode kvadrata suma kvadrata F- odnos F - tablično (varijanse) 0,05 0,01 Tretmani k-1 Q T S T S T /S P r 1= k-1 r = N-k Pogreška N-k Q P S P Total N-1 Q Sume kvadrata se u praktičnom radu izračunavaju se primenom sledećih radnih formula: k n i i= 1j= 1 ij Q=ΣΣΧ C C je korektivni faktor koji se izračunava kao: Ako se uvede da je k n i Σ ΣΧ = T ij k ni ΣΣΧ i= 1j= 1 C = N, korektivni factor se može iskazati kao i= 1j= 1 N U praktičnom radu kao sledeća izračunava se suma kvadrata tretmana Q T. U opštem slučaju ukoliko su tretmani primenjeni na različitom broju jedinica, Q T se izračunava na sledeći način: ni k ΣΧ k ij T j1 = n i Q i QT = Σ C. T = Σ C ΣΧ i= 1n ij = Ti i i= 1 n j1 = i Ako su tretmani sa jednakim brojem ponavljanja Q T se izračunava na sledeći način: n1 = n =... = nk = n k k n n Σ Ti Σ ΣΧ ΣΧ ij ij = Ti Q i 1 T = = C i1 = j1 = j1 = Q n T = C n Na osnovu izračunate sume kvadrata totala i sume kvadrata tretmana dolazi se do vrednosti sume kvadrta pogreške: Q = Q Q P T ij T C =. 69

73 Sredine suma kvadrata, odnosno varijanse izračunavaju se kao količnik suma kvadrata i odgovarajućih stepeni slobode. Varijansa tretmana jednaka je : Q S T T = k 1 Varijansa pogreške jednaka je: Q S P P = N k Za proveru polazne pretpostavke izračunava se F odnos koji je količnik izračunatih varijansi i uvek je vrednost veća od nule. S F = T S U svrhu donošenja zaključka o polaznoj pretpostavci F količnik upoređujemo sa kritičnim vrednostima iz tablica Fišerove distribucije, koje se očitavaju za prag značajnosti α i stepene slobode r 1 i r. Ukoliko je vrednost izračunatog količnika F manja od kritičnih vrednosti iz tablica nulta hipoteza se može prihvatiti kao tačna. Prihvatanje polazne hipoteze ukazuje da između primenjenih tretmana ne postoje statistički značajne razlike u dejstvu tretmana na eksperimentalne jedinice i time se analiza varijanse završava. Nasuprot tome, ukoliko je vrednost izračunatog količnika F veća od kritičnih vrednosti iz tablica, odbacuje se nulta i prihvata alternativna hipoteza kao tačna. Ako se polazna hipoteza ne prihvati, već se utvrdi postojanje značajnih ili vrlo značajnih razlika između bilo koja dva primenjena tretmana, analiza varijanse se dalje nastavlja, da bi se utvrdilo između kojih tretmana postoje statistički značajne razlike. U nastavku analize varijanse primenjuju se testovi parova tretmana, na osnovu kojih se utvrđuje između kojih tretmana postoje značajne ili vrlo značajne razlike. Za testiranje razlika između sredina tretmana najčešće koristimo sledeće testove: 70 - t test - test najmanje značajne razlike NZR test - višestruki test intervala Dankanov test. Primenom ovih testova moguće je izvesti više upoređenja između aritmetičkih sredina tretmana. Broj mogućih upoređenja uslovljen je brojem ispitivanih tretmana, a može se odrediti na osnovu sledećeg izraza: t test Polazna i alternativna hipoteza kod ovog testiranja glase: H 0: µ i =µ j H 1: µ i µ j (i < j), 1 i k, 1 j k. Za izvođenje ovog testa i proveru postavljene hipoteze utvrđuje se količnik t: Χi Χj t = P ( ) k k 1 S Χ Χ ( i j)

74 gde su: Χ, Χ i j S Χ Χ ( i j) - aritmetičke sredine ispitivanih tretmana - ocena standardne greške razlike dve aritmetičke sredine. Ako su tretmani primenjeni na jednakom broju jedinica, odnosno ako je reč o jednakom broju ponavljanja kod svakog ispitivanog tretmana, ocena standardne greške razlike dve sredine izračunava se na osnovu varijanse pogreške iz tabele analize varijanse primenom sledećeg izraza: n = n = n S i j ( Χi Χj) = S Ukoliko su ispitivani tretmani primenjivani na nejednakom broju ponavljanja to treba uzeti u obzir prilikom izračunavanja ocene standardne greške razlike dve sredine, pa se ona u ovom slučaju izračunava na sledeći način: n p S ( Χi Χj) 1 1 = Sp + ni n j Izračunati količnik t upoređuje se sa kritičnim vrednostima iz tablica Studentove distribucije očitanim za prag značajnosti α i stepen slobode pogreške (N-k). Apsolutna vrednost količnika t manja od kritičnih vrednosti iz tablica podrazumeva prihvatanje nulte hipoteze o jednakom dejstvu dva ispitivana tretmana. U suprotnom ako je vrednost količnika veća od kritičnih vrednosti prihvata se alternativna hipoteza i zaključuje da između dva posmatrana tretmana postoje statistički značajne razlike u dejstvu na eksperimentalne jedinice Test najmanje značajne razlike NZR test Polazna i alternativna hipoteza kod testa najmanje značajne razlike glase: H 0: µ i =µ j H 1: µ i µ j (i < j), 1 i k, 1 j k. Za izvođenje NZR testa prvo se izračunavaju najmanje značajne razlike: NZR = t S ( i j) α N k; α Χ Χ Zatim se kod ovog testa formira pomoćna tabela gde se u prvoj koloni, aritmetičke sredine tretmana uređene prema veličini u vertikalnom nizu od maksimalne do minimalne vrednosti. U sledeće kolone se unose razlike aritmetičkih sredina tretmana, koje su uvek pozitivne vrednosti. Razlike sredina tretmana upoređuju se sa izračunatim najmanje značajnim razlikama. Na primer: Ako je u analizi varijanse primenjeno četiri tretmana A, B, C i D. Najveću prosečnu vrednost ima tretman A, pa tretman B, zatim tretman C i najmanju vrednost sredine tretman D. Tabela za NZR test bi imala sledeći izgled: 71

75 Tretman Χi Χi ΧD Χi ΧC Χi ΧB A max Χ A B. Χ B C. Χ C D min Χ D Pravilo odlučivanja je: Χ Χ < NZR H i j α o Χ Χ NZR H i j α Višestruki test intervala Dankanov test Nulta i alternativna hipoteza su i kod višestrukog testa intervala formulisane na isti način kao i kod prethodna dva testa: H 0: µ i =µ j H : µ µ Izvođenju ovog testa prethodi izračunavanje ocene standardne greške aritmetičke sredine na osnovu varijanse pogreške iz tabele analize varijanse kao i na osnovu broja ponavljanja u tretmanima: Pretpostavka za primenu ovog testa je jednak broj ponavljanja kod svakog ispitivanog tretmana. Formiraju se zatim dve tabele za dva praga značajnosti (α = 0,05 i α= 0,01) sledećeg oblika: Interval k Kritična vrednost Najmanje značajni interval 1 i j S p S Χ =. n U tabeli u prvom redu upisuju mogući intervali na osnovu broja posmatranih tretmana. Zatim se očitavaju kritične vrednosti iz tablica za višestruki test intervala za date pragove značajnosti α i stepene slobode pogreške iz tabele analize varijanse i to za svaki interval idući od, 3, 4,...k, koje se upisuju u drugi red tabele. Očitane i upisane kritične vrednosti množe se sa izračunatom ocenom standardne greške aritmetike sredine, a proizvod predstavlja vrednost najmanjeg značajnog intervala i njega upisujemo u treći red tabele. 7

76 Sa najmanje značajnim intervalima upoređujemo razlike aritmetičkih sredina tretmana. Aritmetičke sredine tretmana rangiraju se u pomoćnoj tabeli u horizontalnom nizu od minimalne do maksimalne vrednosti. Na primer: da je u analizi varijanse primenjeno četiri tretmana A, B, C i D. Najveću prosečnu vrednost ima tretman A, pa tretman B, zatim tretman C i najmanju vrednost sredine tretman D. Tretman D C B A min..... max Χi ΧD ΧC ΧB ΧA ΧA ΧD ΧB ΧD ΧC ΧD ΧA ΧC ΧB ΧC ΧA ΧB Najveća kritična vrednost se koristi kod poređenja aritmetičkih sredina između kojih je k- 1(3) intervala, ΧA Χ D. Prva manja kritična vrednost se koristi kod poređenja sredina između kojih je k-() intervala, a to su poređenja ΧA Χ C i ΧB Χ D. Najmanja kritična vrednost za poređenje sredina između kojih je 1 interval. U navedenom primeru to su poređenja: ΧA ΧB, ΧB Χ C i Χ C Χ D. Kako su t-test i NZR test ekvivalentni, njihovom primenom se dolazi do istog zaključka. Ukoliko broj ponavljanja tretmana nije isti, primenjuje se t-test. U slučaju jednakog broja tretmana, zbog preglednijeg prikazivanja rezultata, češće se primenjuje NZR (eng. LSD) test. Ako je veliki broj poređenja ova dva testa nisu objektivna jer je verovatnoća da se pogrešno zaključi da je razlika dva tretmana statistički značajna veća od izabranog praga značajnosti α. U tom slučaju se preporučuje višestruki intervalni test. Primer: Na osnovu podataka dobijenih u eksperimentu po planu potpuno slučajnog rasporeda, ispitati da li postoji statistički značajna razlika u prosečnoj dnevnoj mlečnosti simentalskih krava u zavisnosti od načina ishrane u toku laktacije od 306 dana. Uporediti značajnost razlike parova tretmana primenom t testa, NZR testa i višestrukog intervalnog testa. Način ishrane Krava I II III 1 8,3 6,1 9,6 10, 9,1 1,0 3 10,5 10,1 13,8 4 11,7 10,5 14, 5 1,3 10,8 15,1 T i 53,0 46,5 64,7 164,0 Prosek 10,6 9,3 1,94 73

77 k = 3, n = 5, N= 5 3= 15 H 0 : µ I =µ II =µ III H : (i, j) µ µ (i j, i, j = I, II, III) 1 i j Izvori Stepeni Sume Sredine varijacije slobode kvadrata suma kvadrata F- odnos F - tablično (varijanse) 0,05 0,01 Tretmani 34,053 17,017 4,7 * 3,88 6,93 Pogreška 1 43,5 3,6043 Total 14 77,773 k ni Q = Σ Σ Χ ij C = 8,3 + 6,1 + i= 1 j= 1 k ni Σ ΣΧ ij i= 1j= 1 164, C = = = 1797, 447 N 15 t test H : µ =µ H : µ µ 9, ,1 C k ni Q = Σ Σ Χ ij C = 1874,7 1797,447 = 77,773 i= 1 j= 1 n1 = n =... = nk k Σ T i 53 46,5 64,7 = = i QT C = n 5 QP = Q QT = 77,773 34,053 = 43,5 1797,447 = 34,053 Q 34,053 = T 43,5 S = = 17,017 S = QP = = 3, 6043 T k 1 P N k 1 S 17,017 = T = = 4,7 * F F,1;0,05= 3,88 S 3,6043 P F,1;0,01= 6,93 0 i j 1 i j p ( ) ( ) k k = = 3 S 3,6043 S = = = 1, ( Χi Χj) n 5 ( Χi Χj) Χi Χj t = S Χ Χ ( i j) ΧI ΧII 10,6 9,3 t1 = = = 1, 08 t =,179 1;0,05 S 1, t = 3, 055 1;0,01 F> F H F< F H 0,05 1 0,

78 ΧI ΧII 10,6 1,94 t = = = 1,95 S 1, NZR test ( Χi Χj) ΧII ΧIII 9,3 1,94 * t3 = = = 3,03 S 1, ( Χi Χj) NZR = t S ( i j) α N k; α Χ Χ S p 3,6043 S = = = 1, ( Χi Χj) n 5 t < tn K; α H0 t > tn K; α H1 t1;0,05 =,179 t1;0,05 = 3,055 NZR0,05 =,179 1, =,615 NZR0,01 = 3,055 1, = 3,666 Tretman III 1,94 3,64*,34 I 10,6 1,3 II 9,3 Χi Χi ΧII Χi ΧI Višestruki test intervala Dankanov test H : µ =µ 0 i j H 1: µ i µ j Sp 3,6043 SΧ = 0,849 n = 5 = α = 0,05 α = 0,01 Interval 3 Kritična vrednost 4,3 4,55 Interval 3 Kritična vrednost 3,08 3,3 Najmanje značajni interval 3,668 3,863 Najmanje značajni interval,615,74 3,08 0,849 =,615 3,3 0, 849 =,74 4,3 0,849 =3,668 4,55 0,849 = 3,863 75

79 Tretman II I III Χ i 9,3 10,6 1,94 ΧIII Χ II = 1,94 9,3 = 3,64 >,74 ΧIII Χ II = 1,94 9,3 = 3,64 < 3,863 ΧIII Χ I = 1,94 10,6 =,34 <,615 Χ Χ = 10,6 9,3 = 1,3 <,615 I II * Na osnovu rezultata F testa može da se zaključi da na pragu značajnosti 5% postoji statistički značajna razlika u prosečnoj dnevnoj mlečnosti simentalskih krava u zavisnosti od načina ishrane. Sva tri primenjena testa za poređenje parova tretmana ukazuju da je na pragu značajnosti 5% statistički značajna razlika u prosečnoj dnevnoj mlečnosti između II i III načina ishrane. 76

80 Kontrolna pitanja 1. Definisati nultu i alternativnu hipotezu.. Definisati grešku tipa I i grešku tipa II. 3. Navesti faze testiranja. 4. Navesti osnovne testove aritmetičkih sredina. 5. Navesti osnovne testove proporcija. 6. Kada se prilikom testiranja izvodi Z test? 7. Kada se prilikom testiranja izvodi t test? 8. Kada se primenjuje analiza varijanse? 9. Koji test se izvodi u osnovi analize varijanse? Koja hipoteza se ovim testom proverava? 10. Navesti testove za testiranje značajnosti razlika parova tretmana. 77

81 6. REGRESIONA I KORELACIONA ANALIZA Koncept korelacije i regresije je uveo engleski antropolog, geograf, genetičar, psihometričar i statističar Galton 1888 godine. Sir Francis Galton ( ) Značajno mesto u metodama statističke analize pripada ispitivanju uticaja i zavisnosti između promenljivih. Analiza može da se odnosi na dve ili više promenljivih za koje se zna ili pretpostavlja da su u nekoj međusobnoj vezi. Na osnovu empirijskih podataka moguće je međuzavisnosti promenljivih iskazati matematičkom funkcijom koja će iskazati prosečnu ili tzv. očekivanu zavisnost ili vezu. Ako se radi o dve promenljive od kojih je jedna zavisna (Y), a druga nezavisna (X), relacija ovih promenljivih se može iskazati funkcijom: Y = f(x) ako je veza funkcionalna (deterministička) ili Y = f(x) + ε, ako je veza stohastička, gde je ε slučajna greška. Zadatak regresione analize je da otkrije funkcionalni oblik - regresioni model, kome se najviše približava kvantitativno slaganje varijacija posmatranih pojava, da pokaže kako se zavisno promenljiva menja u odnosu na nezavisne promenljive i na osnovu stepena slaganja njihovih varijacija omogući ocenu i predviđanje ponašanja zavisne promenljive. Regresiona analiza se može definisati i kao ocena vrednosti zavisno promenljive na osnovu jedne ili više nezavisnih promenljivih. U postupku primene regresione analize mogu se razlikovati tri faze i to: planiranje, tehnika izračunavanja parametara ili razvitak modela i provera modela. Faza planiranja podrazumeva jasno definisanje cilja istraživanja i definisanje promenljivih koje treba uključiti u model. Da bi se jasno definisao cilj istraživanja potrebna je analiza prethodnih istraživanja iz posmatrane oblasti, kao i diskusije sa kompetentnim licima koja su se bavila istraživanjima iz posmatrane oblasti. Drugo važno pitanje u fazi planiranja jeste pitanje izbora promenljivih koje treba uključiti u analizu. To podrazumeva specifikaciju zavisno i nezavisno promenljivih kao i određivanje njihovog broja. Nakon definisanja zavisno promenljive i nezavisno promenljivih pristupa se izboru modela. Izbor modela određen je pre svega ciljem istraživanja, ali i samim podacima na kojima se zasniva analiza. Izabrani model treba da što bolje prikaže ponašanje zavisno promenljive pojave u zavisnosti od posmatranih činilaca, odnosno od odabranih nezavisno promenljivih. Takođe model treba da bude osnova na kojoj će se moći predvideti 78

82 promene zavisno promenljive. Jedan jedinstven model ne može uvek da zadovolji sve zahteve pa se u nekom ispitivanju koristi više mogućih modela. Specifikacija modela podrazumeva matematičku formulaciju uticaja i veza odabranih nezavisno promenljivih na zavisno promenljivu pojavu. Teorija oblasti primene i statistička teorija mogu sugerisati određeni oblik matematičke zavisnosti među posmatranim promenljivim. Kao kriterijumi u izboru adekvatnog modela koriste se ranija iskustva iz analizirane oblasti, rezultati ocenjenog modela, odnosno njegova prilagođenost podacima, kao i težnja da model bude što jednostavniji. U daljem izlaganju će biti razmatrana regresija sa jednom nezavisnom promenljivom. Da bi se sagledala međuzavisnost između promenljivih, potrebno je raspolagati parovima promenljivih izmerenih na n jedinica slučajnog uzorka, kao što je dato nizom: X i : X 1,X,X 3,...,X i,...,x n Y i : Y 1,Y,Y 3,...,Y i,...,y n (i = 1,,...n) Ako nezavisno promenljiva X uslovljava veličinu zavisno promenljive Y, tada se radi o regresiji. Ako se ispituje međuzavisnost dve promenljive, tada se radi o korelaciji. Cilj regresione analize je da omogući sagledavanje očekivane vrednosti zavisno promenljive na osnovu date nezavisno promenljive. Regresija se sagledava na osnovu jednačine regresije i standardne greške regresije. Cilj korelacione analize je sagledavanje jačine veze između dve promenljive. Korelacija se sagledava na osnovu koeficijenta korelacije i koeficijenta determinacije. Regresionu i korelacionu analizu korisno je započeti analizom dijagrama rasturanja. Dijagram rasturanja se formira u pravouglom koordinatnom sistemu, gde se na apscisnu osu nanose vrednosti nezavisno promenljive X, a na ordinatnu osu vrednosti zavisno promenljive Y. Na dijagram se unose tačke sa koordinatima (X i Y i ), i = 1,,...n. Ove tačke mogu biti raspoređene (rasute) prema određenoj zakonitosti. Dijagram rasturanja sadrži onoliko tačaka koliko je zastupljeno parova vrednosti promenljivih. Dijagram rasturanja omogućuje utvrđivanje zavisnosti ili veze između promenljivih, kao i sagledavanje karaktera te veze (linearna, krivolinijska). 79

83 a) Prosta linearna regresija Najjednostavniji oblik regresije je prosta linearna regresija pomoću koje se sagledava uticaj jedne nezavisno promenljive na zavisno promenljivu. Linearna regresija je iskazana funkcijom koja glasi: gde je: Υ ˆ = a+ bχ (i = 1,,...,n) i i - Υˆ i je ocenjena ili očekivana vrednost zavisno promenljive Y i - X i je nezavisno promenljiva - а i b su parametri regresije. 80

84 Parametar a predstavlja prosečni početni nivo zavisno promenljive Y, odnosno, on pokazuje vrednost zavisno promenljive u tački preseka linije regresije i ordinatne ose. Parametar b ili koeficijent regresije pokazuje prosečnu promenu zavisno promenljive Y za jedinicu promene nezavisno promenljive X. Kod rastuće regresije parametar b ima pozitivnu vrednost (b>0), a kod opadajuće regresije ima negativnu vrednost (b<0). Parametar a se iskazuje u jedinicama mere zavisno promenljive Y, dok se parameter b iskazuje u jedinicama koje su količnik jedinica zavisno i nezavisno promenljive. Računski postupak u izračunavanju parametara regresionog modela zasnovan je na metodu najmanjih kvadrata i sastoji se u rešenju sistema normalnih jednačina. U praktičnom radu primenjuju se sledeći radni postupci za izračunavanje parametara a i b: Σ(Xi X)(Yi Y) b = Σ(X X) i ( ΣX i)(( ΣY i) ΣXY i i b = n ( ΣX) ΣX i i n a = Y bx Standardna greška regresije je pokazatelj disperzije individualnih vrednosti zavisno promenljive Y od linije regresije. U praktičnom radu utvrđuje se ocenjena standardna greška regresije primenom sledećeg obrasca: Se = Σ(Y ˆ i Y i) i n Standardna greška regresije je pokazatelj prosečnog odstupanja ili varijacije originalnih vrednosti zavisno promenljive Y u odnosu na njihove ocenjene vrednosti (linija regresije). Standardna greška regresije iskazuje se u jedinicama mere zavisno promenljive Y. U ispitivanju korelacije između dve promenljive takođe se pristupa formiranju dijagrama rasturanja na osnovu kojeg se sagledava postojanje veze između dve promenljive, kao i oblik te veze (linearna, krivolinijska, itd.). Koeficijent linearne korelacije (prost ili Pirsonov koeficijent korelacije) je pokazatelj kvantitativnog slaganja dve promenljive. Koeficijent linearne korelacije je relativni pokazatelj korelacije, nezavisan od jedinica mere promenljivih X i Y. Vrednost ovog koeficijenta se kreće u intervalu [ 1,1 ]. Kod pozitivne korelacije koeficijent korelacije se kreće u intervalu ( 0,1 ], a kod negativne korelacije u interval [ 1, 0). Koeficijent korelacije je 1 ukoliko je veza X, Y funkcionalna (deterministička) i to pozitivno linearna, dok je vrednost -1 u slučaju funkcionalne negativno linearne veze. Ako je veza stohastička, vrednosti koeficijenta korelacije bliske 1 ukazuju na pozitivnu, dok vrednosti bliske -1 ukazuju na negativnu linearnu vezu. Ukoliko je vrednost koeficijenta korelacije bliska nuli može se samo zaključiti da veza promenljivih nije linearna. Dijagram rasturanja pokazuje da li postoji nelinearna veza promenljivih ili ne postoji veza. 81

85 Napomena: Vrednost koeficijenta korelacije nije dovoljna da se zaključi da li je veza promenljivih linearna. Vrednost koeficijenta korelacije može biti bliska ± 1 i u slučaju nelinearne veze ili u slučaju da jedan ili više parova tačaka odstupa u odnosu na ostale podatke. Dijagram rasturanja pomaže u pravilnom tumačenju veze promenljivih. U praktičnom radu najčešće se utvrđuje koeficijent linearne korelacije (r) koji se izračunava primenom obrasca: ( ΣX i)(( ΣY i) Σ(Xi X)(Yi Y) ΣXY i i r = r = n Σ(Xi X) Σ(Yi Y) X i ( X i) /n Y i ( Y) i /n Σ Σ Σ Σ Korelaciona analiza se dopunjuje utvrđivanjem i interpretacijom koeficijenta determinacije. Koeficijent determinacije (r ) predstavlja kvadrat koeficijenta korelacije i najčešće se iskazuje u procentima. Ovaj koeficijent se kreće u intervalu[ 0,1 ] ili [ 0,100% ]. Interpretacija ovog koeficijenta ukazuje da je koeficijent determinacije pokazatelj udela uticaja odabrane nezavisno promenljive X na varijabilnost zavisno promenljive Y, uzimajući da je ukupna varijabilnost zavisno promenljiva Y jedan (100%). Na osnovu izračunatog koeficijenta determinacije može se iskazati i koeficijent alijenacije, odnosno koeficijent nedeterminacije (k ). Koeficijent nedeterminacije pokazuje uticaj ostalih neispitivanih nezavisno promenljivih na varijabilnost zavisno promenljive Y, uzimajući da je ukupna varijabilnost zavisno promenljiva Y jedan (100%). 8

86 b) Ocena i testiranje parametara linearne regresije Ocena parametara linearne regresije podrazumeva određivanje intervala poverenja za koeficijent regresije osnovnog skupa β čija je ocena iz uzorka parametar b. Interval poverenja ima sledeći oblik: b tn ; α Sb <β< b+ tn ; α S b. gde je: S b ocena standardne greške koeficijenta regresije Standardna greška koeficijenta regresije izračunava se na osnovu varijanse ocenjenog modela na sledeći način: Se ( ) S b = Υi Υˆ i Se = ( Χi Χ) n Regresiona analiza se upotpunjuje izvođenjem inferencije o parametrima regresije. Pri tome se najveća pažnja posvećuje testiranju značajnosti koeficijenta regresije b. Polazna hipoteza glasi H 0 : β = 0, a alternativna H 1 : β 0. Provera polazne hipoteze izvodi se pomoću t testa: b 0 b t = = Sb Sb Izračunata vrednost t koja se upoređuje sa kritičnom tabličnom vrednošću, t n ; α (iz Tablica Studentove distribucije) ukazuje da li je t test statistički značajan. Ukoliko je tizr tn ; α, nulta hipoteza se odbacuje i zaključuje se da je vrednost koeficijenta b statistički značajna na pragu značajnosti α, odnosno, da postoji statistički značajan uticaj nezavisno promenljive X na zavisno promenljivu Y. Ukoliko je t izr < t n ; α nulta hipoteza se prihvata i zaključuje se da vrednost koeficijenta b nije statistički značajna, odnosno, da ne postoji statistički značajan uticaj nezavisno promenljive X na zavisno promenljivu Y. Testiranje značajnosti koeficijenta linearne korelacije r može se izvesti tako što se vrednost rizr upoređuje sa odgovarajućom tabličnom vrednošću (iz Tablica po Snedecor - u). Polazna hipoteza glasi H 0 : ρ = 0, a alternativna H 1 : ρ 0. Ukoliko je rizr rn ; α nulta hipoteza se odbacuje, što znači da je linearna povezanost između dve promenljive statistički značajna. U suprotnom ako je je rizr < rn ; α nulta hipoteza se prihvata pa je zaključak da linearna veza između dve posmatrane promenljive nije statistički značajna. Polazna hipoteza za testiranje značajnosti koeficijenta linearne korelacije može se proveriti i izračunavanjem odgovarajućeg količnika na sledeći način: - u slučaju velikog uzorka (n>30) r Z = S r gde je: r S r ocena koeficijenta korelacije osnovnog skupa na osnovu uzorka ocena standardne greške koeficijenta korelacije na osnovu uzorka. 83

87 Standardna greška koeficijenta korelacije na osnovu velikog uzorka izračunava se na sledeći način: 1 Sr = n Apsolutna vrednost izračunatog količnika Z upoređuje se sa odgovarajućom tabličnom vrednosti iz tablica Normalne distribucije. Ako je Zizr Z α polazna hipoteza se odbacuje, a ukoliko je < hipoteza se prihvata na pragu značajnosti α. Zizr Z α - u slučaju malog uzorka (n< 30) test kriterijum je: r t = Sr Standardna greška koeficijenta korelacije na osnovu malog uzorka izračunava se na sledeći način: 1 r S r =. n Za donošenje zaključka o polaznoj hipotezi izračunati količnik se upoređuje sa tabličnim vrednostima Studentove distribucije t n ; α. Ako je r izr < t n ; α polazna hipoteza se prihvata i donosi zaključak da linearna veza između dve posmatrane promenljive nije statistički značajna, a ukoliko je rizr tn ; α nulta hipoteza se odbacuje, što znači da je linearna povezanost između dve promenljive statistički značajna. Primer: Na osnovu podataka o težini nazimica kod pripusta i broja oprašene prasadi formirati dijagram rasturanja, oceniti parametre u jednačini linearne regresije, izračunati standardnu grešku regresije, izračunati koeficijente korelacije, determinacije i alijenacije i oceniti broj oprašene prasadi kada je težina nazimica 100 kilograma. Testirati statističku značajnost ocenjenog koeficijenta regresije i koeficijenta korelacije. Težina nazimi ca (X) Broj prasadi (Y) Χi Χ Υ Υ ( Χ i Χ )( Υ i Υ ) ( X Χ ) ( Υ) i i Υ i Υˆ ˆ i i Υ Υ ( ) Υ ˆ i Υi ,6 7,5 7,9 8,3 8,7 8,6 8,9 9,0-10,4-7,4-5,4-0,4 1,6 4,6 7,6 9,6-0,7-0,8-0,4 0 0,4 0,3 0,6 0,7 7,8 5,9,16 0 0,64 1,38 4,56 6,7 108,16 54,76 9,16 0,16,56 1,16 57,76 9,16 0,49 0,64 0,16 0 0,16 0,09 0,36 0,49 7,48 7,7 7,87 8,7 8,4 8,66 8,89 9,05 0,1-0, 0,03 0,03 0,8-0,06 0,01-0,05 0,0144 0,0484 0,0009 0,0009 0,0784 0,0036 0,0001 0, , ,66 365,88,39 66,5 0 0,149 84

88 Dijagram rasturanja i ocenjeni model linearne regresije 10,0 y = 1,643+0,0783*x 9,5 9,0 Broj prasadi 8,5 8,0 7,5 7, Tezina nazimica Ocena parametara regresije Υ ˆ i = a + bx i ( i )( Υi Υ) Σ( Χi Χ) Σ Χ Χ 8,66 b = = = 0, ,88 a =Υ bχ= 8,3 0, ,4 = 1,61 Jednačina linearne regresije Υ ˆ i = 1,61+ 0,078Χi Ocenjene vrednosti regresije Υ ˆ 1 = 1,61+ 0, = 7, 48 Υ ˆ = 1,61+ 0, = 7,7 Υ ˆ = 1,61+ 0, = 9,05 8 Standardna greška regresije ( ˆ ) i i Σ Υ Υ 0,149 Se = = = 0,158 n 6 Koeficijente korelacije 85

89 Σ( Χi Χ)( Υi Υ) ( i ) Σ( Υi Υ) 8,66 r = = = 0, ,88,39 Σ Χ Χ Koeficijent determinacije ( ) r = 0,969 = 0,939 = 93,9% Koeficijent alijenacije k = 0,061 = 6,1% Ocenjeni broj oprašene prasadi kada je težina nazimica 100 kilograma ˆ 100 Υ = 1,61+ 0, = 9,44 9 prasadi. II način izračunavanja X i Y i XY X Y ,6 7,5 7,9 8,3 8,7 8,6 8,9 9,0 570,0 585,0 63,0 705,5 756,9 774,0 87,7 855, ,76 56,5 6,41 68,89 75,69 73,96 79,1 81, ,5 5706, ,17 ( ΣΧ)( ΣΥ) (683) (66,5) ΣΧΥ 5706,1 b = n = 8 = 0,0783 ΣΧ ( ΣΧ) ( 683) n 8 ( ΣΧ)( ΣΥ) ( 683) ( 66,5) ΣΧΥ 5706,1 r = n = 8 = 0,969 ( ΣΧ) ( ΣΥ) ( 683) ( 66,5) ΣΧ ΣΥ ,17 n n 8 8 Testiranje statističke značajnosti koeficijenta b H o : β= 0 H 1 : β 0 ( Χi Χ) ( 0,158) S S e b = = = 0, ,88 b β b 0,0783 ** t = = = = 9, 434 Sb Sb 0,

90 t6;0,05 =, 447 6;0,01 = tizr = 9, 434 >, 447 H1 t 3,707 tizr = 9, 434 > 3,707 H 1. Intervali poverenja za parameter β α=0,05 b tn ; α Sb <β< b+ tn ; α Sb 0,0783,447 0,0083<β<0,0783+,447 0,0083 0,058<β<0, (0, 058, 0, 0986) H 1 α=0,01 0,0783 3,707 0,0083<β<0,0783+3,707 0,0083 0,04753<β<0, (0, 04753, 0,10907) H 1 Na osnovu rezultata t-testa kao i formiranog interval poverenja može da se zaključi da težina nazimica kod pripusta ima visoko statistički značajan uticaj na broj oprašene prasadi. Testiranje koeficijenta korelacije H 0 : ρ= 0 H 1 : ρ 0. 1 r 1 0,939 Sr = = = 0,10083 n 8 t6;0,05 =, 447 t6;0,01 = 3,707 r 0,969 ** t = = = 9,61 Sr 0,10083 Može da se zaključi da je linearna međuzavisnost težine nazimica i broja oprašene prasadi visoko statistički značajna. 87

91 Kontrolna pitanja 1. Šta je cilj primene regresione analize?. Šta je cilj primene korelacione analize? 3. Na osnovu čega se sagledava regresiona analiza? 4. Na osnovu čega se sagledava korelaciona analiza? 5. Kako se formira dijagram rasturanja i koja mu je svrha? 6. Šta pokazuje koeficijent pravca regresije? 7. Definisati koeficijent korelacije. 8. Definisati koeficijent determinacije. 9. Na koji način se proverava značajnost ocenjenog koeficijenta regresije? 10. Na koji način se proverava značajnost ocenjenog koeficijenta korelacije? 88

92 PRILOZI 89