UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Lidija Krstanović O numeričkom rešavanju singularno pertu

Транскрипт

1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Lidija Krstanović O numeričkom rešavanju singularno perturbovanog problema sa Robinovim konturnim uslovima -master rad- Mentor: dr Helena Zarin Novi Sad, 011.

2

3 Sadržaj Predgovor v 1 Uvod Konturni problemi običnih diferencijalnih jednačina Linearni konturni problemi na uniformnoj mreži Slojno adaptivne mreže 8.1 Šiškinov tip mreže Numeričko rešenje singularno perturbovanog problema sa Robinovim uslovima Neprekidan problem Dekompozicija rešenja Diskretan problem Ocene greške rešenja Numerički eksperimenti 37 5 Zaključak 44 A Pregled definicija i teorema iz linearne algebre i analize 46 A.1 Definicije i teoreme iz linearne algebre A.1.1 Inverzno monotone matrice A. Definicije i teoreme iz analize B Mathematica programi 50 B.1 Programi za numeričke eksperimente na Šiškinovoj mreži B.1.1 Program za rešavanje sistema Ax = v LU-dekompozicijom B.1. Šiškinova mreža B.1.3 Program za dobijanje približnog rešenja B.1.4 Program za dobijanje tačnog rešenja B.1.5 Program za odred ivanje greške rešenja B.1.6 Program za odred ivanje reda konvergencije i

4 SADRŽAJ ii B. Programi za numeričke eksperimente na Bahvalov-Šiškinovoj mreži B..1 Bahvalov-Šiškinova mreža B.. Program za dobijanje približnog rešenja B..3 Program za odred ivanje greške rešenja B..4 Program za odred ivanje reda konvergencije Literatura 58 Biografija 60

5 Predgovor Tema ovog master rada je jedna klasa singularno perturbovanih problema (problemi konvekcije-difuzije sa Robinovim konturnim uslovima) i numerička analiza odred enog konačnog-diferencnog postupka. Na slojno-adaptivnim mrežama Šiškinovog tipa izvedena je uniformna ocena greške, a rezultati su verifikovani numeričkim eksperimentima. Ovi problemi su nastali kao modeli za mnoge fizičke i hemijske pojave. Javljaju se u fizici, dinamici fluida, opisu difuzino konvekcionih reakcijskih modela. Uopšte, poslednjih pedesetak godina privlače pažnju mnogih naučnika. Stoga je na ovu temu napisano dosta naučnih radova i monografija. Rad se sastoji od pet glava i dva priloga. Prva glava je uvodna i sadrži pregled osnovnih definicija i teorema o linearnim konturnim problemima, sa akcentom na lineranom konturnom problemu trećeg reda na uniformnoj mreži. Data je definicija diskretnog analogona i odred eni su članovi tridijagonalne matrice. U drugoj glavi je uvedena mreža Šiškinovog tipa koja će biti korišćena za diskretizaciju problema datog u radu. Takod e je navedena i Bahvalov- Šiškinova mreža, na kojoj će pored Šiškinove mreže biti izvršeni numerički eksperimenti. Treća i četvrta glava su najznačajniji deo rada. U trećoj glavi se uvodi posmatrani problem. Navodi se princip minimuma i granice za tačno rešenje i njegove izvode. Izvedena je dekompozicija rešenja na singularnu i glatku komponentu, i navedene su granice komponenti rešenja i njihovih izvoda. Izvršena je diskretizacija problema korišćenjem upwind postupka. Izvedena je teorema diskretnog minimuma koja dovodi do granice rešenja diskretne forme problema. Data je dekompozicija diskretnog rešenja. U poslednjem delu ove glave su date posebne ocene greški za svaku komponentu numeričkog rešenja, koje vode do teoreme o oceni greške numeričkog v

6 Predgovor vi rešenja. Četvrta glava je posvećena kompjuterskim rezultatima konkretnog primera singularno perturbovanog problema sa Robinovim uslovima. Prikazani su grafici tačnog i približnog rešenja, kao i tabele koje daju greške i ocene reda konvergencije. U petoj glavi je dat zaključak ovog rada: da za numeričku aproksimaciju rešenja metod daje robusnost u odnosu na perturbacioni parametar. U prvom prilogu su navedene teoreme i definicije iz linearne algebre i analize koje su potrebne za ovaj rad. U drugom prilogu su dati Mathematica programi koji su korišćeni za numeričke eksperimente. *** Ogromnu zahvalnost dugujem svom mentoru, dr Heleni Zarin na korisnim savetima, sugestijama i primedbama. Bez njene pomoći rad ne bi imao sadašnji oblik. Želim da se posebno zahvalim i predsedniku komisije dr Dragoslavu Hercegu na interesovanju za moj rad i pomoći koju mi je pružio u toku izrade rada. Zahvaljujem se i članu komisije dr -Dordje Hercegu. Novi Sad, septembar 011. godine Lidija Krstanović

7 Glava 1 Uvod 1.1 Konturni problemi običnih diferencijalnih jednačina Kada se od rešenja diferencijalne jednačine zahteva da zadovoljava dodatne uslove u dve ili više tačaka dobija se konturni problem običnih diferencijalnih jednačina. Traži se rešenje u diferencijalne jednačine drugog reda u intervalu [a, b] koje zadovoljava konturne uslove opšteg tipa u (x) = f(x, u, u ) (1.1) β 11 u(a) + β 1 u (a) + γ 11 u(b) + γ 1 u (b) = α β 1 u(a) + β u (a) + γ 1 u(b) + γ u (b) = β (1.) gde su β i,j, γ i,j, i, j = 1,, α, β date konstante. Konturni problem (1.1) - (1.) je u opštem slučaju nelinearan. Ako je α=β=0, tada su konturni uslovi (1.) homogeni. Specijalni slučajevi konturnih uslova (1.) su u(a) = α, u(b) = β, (1.3) u (a) = α, u (b) = β, (1.4) β 1 u(a) + β u (a) = α, γ 1 u(b) + γ u (b) = β. (1.5) Diferencijalna jednačina sa konturnim uslovima (1.3) daje konturni problem prvog reda, sa konturnim uslovima (1.4) daje konturni problem drugog reda, a sa konturnim uslovima (1.5) trećeg reda. Ako je u (1.5) α=β=0 odgovarajući uslovi se nazivaju Šturmovim. Konturni uslovi (1.3) se nazivaju Dirihleovi uslovi, uslovi (1.4) su Nojmanovi uslovi, dok su uslovi (1.5) poznati kao Robinovi konturni uslovi. 1

8 Konturni problemi običnih diferencijalnih jednačina Posebno su važni i interesantni linearni konturni problemi, tj. takvi problemi kod kojih je diferencijalna jednačina linearna. Linearna diferencijalna jednačina drugog reda se može zapisati u obliku gde je Lu = r(x), x [a, b], (1.6) Lu = u + p(x) u + q(x) u, a funkcije p(x), q(x), i r(x) su definisane na intervalu [a, b]. Diferencijalna jednačina je homogena ako je r(x) = 0, x [a, b], a konturni problem je homogen ako su i jednačina i konturni uslov homogeni. Posmatramo numeričko rešavanje linearnog konturnog problema trećeg reda u (x) = f(x, u, u ), x [a, b], β 1 u(a) + β u (a) = α, γ 1 u(b) + γ u (b) = β pod pretpostavkama koje garantuju egzistenciju i jedinstvenost rešenja u posmatranog konturnog problema. Na ekvidistantnoj mreži diskretizacije koja je odred ena korakom diskretizacije I h = {x i = a + ih : i = 0, 1,..., n} (1.7) h = b a n, n N formira se diskretni analogon za posmatrani konturni problem. U zavisnosti od toga da li se posmatra linearan ili nelinearan konturni problem, diskretni analogon je sistem linearnih, odnosno nelinearnih jednačina. U opštem slučaju diskretni analogon se može zapisati kao sistem F 0 (w) = 0 F 1 (w) = 0 (1.8) pri čemu je. F n (w) = 0, w = [w 0, w 1,..., w n ] T R n+1.

9 Konturni problemi običnih diferencijalnih jednačina 3 Sistem (1.8) može se zapisati kraće kao F (w) = 0 gde je preslikavanje F definisano preko svojih komponenti F 0, F 1,..., F n. Rešenje diskretnog analogona označava se sa w = [w 0, w 1,..., w n] T R n+1 a restrikcija tačnog rešenja u posmatranog konturnog problema na mreži diskretizacije I h sa u h. Koriste se oznake tako da je odnosno u i = u(x i ), i = 0, 1,..., n, u h = [u 0, u 1,..., u n ] T u h = [α, u 1, u,..., u n 1, β] T. Rešenje w diskretnog analogona je numeričko rešenje posmatranog konturnog problema, odnosno w je aproksimacija za u h tj. w u h, w i u(x i ), i = 0, 1,..., n. Posebno je značajno utvrditi kada postoji jedinstveno rešenje w sistema (1.8) i šta se može reći za grešku w u h.

10 Linerani konturni problemi na uniformnoj mreži 4 1. Linearni konturni problemi na uniformnoj mreži Posmatramo linearni konturni problem trećeg reda u + p(x)u + q(x)u = r(x), x [a, b], β 1 u(a) + β u (a) = α, γ 1 u(b) + γ u (b) = β (1.9) Diskretni analogon ovog problema se formira tako što se u unutrašnjoj tački mreže I h izvodi funkcije u aproksimiraju diferencnim količnicima. Tako se dobija diskretni analogon problema (1.9) β 1 w 0 + β D w 0 = α D w i + p(x i )D w i + q(x i )w i = r(x i ), i = 1,,..., n 1, (1.10) γ 1 w n + γ D w n = β, gde je D diferencna šema za aproksimaciju drugog izvoda, a D jedna od šema za aproksimaciju prvog izvoda (D, D +, D 0 ) Teorema [5] Neka je u C k [a, b], i neka je x, x + h, x h [a, b], gde je h > 0 dati broj. Ako je u(x) u(x h) D u(x) =, h u(x + h) u(x) D + u(x) =, h u(x + h) u(x h) D 0 u(x) =, h D u(x h) u(x) + u(x + h) u(x) =, h onda za k = važi u (x) = D u(x) + h u (θ 1 ), u (x) = D + u(x) h u (θ ), θ 1 (x h, x), θ (x, x + h), u (x) = D 0 u(x) + h 4 (u (θ 3 ) u (θ 4 )), θ 3 (x h, x), θ 4 (x, x + h). Za k = 3 važi u (x) = D 0 u(x) h 6 (u (θ 5 ), θ 5 (x h, x + h),

11 Linerani konturni problemi na uniformnoj mreži 5 u (x) = D u(x) + h 6 u (θ 6 ) u (θ 7 )), θ 6 (x h, x), θ 7 (x, x + h). Ako je k = 4, važi još u (x) = D u(x) h 1 uiv (θ 8 ), θ 8 (x h, x + h). Umesto D u(x i ) piše se kraće D u i i analogno za diferencne šeme za aproksimaciju prvog izvoda. Kako je pretpostavljeno da postoji rešenje u problema (1.9) i da je u i = u(x i ), dobija se D u i + p(x i )D u i + q(x i )u i r(x i ), i = 1,,..., n 1, gde znak stoji zbog toga što su izvodi rešenja u u tačkama x i, zamenjeni odgovarajućim aproksimacijama. Greška koja se pri tome javlja je τ i [u] = D w i + p(x i )D w i + q(x i )w i r(x i ), i = 1,,..., n 1, i naziva se lokalna greška konzistencije. Vektor τ[u] = [0, τ 1 [u], τ [u],..., τ n 1 [u], 0] T R n+1 naziva se vektor greške konzistencije. Kada je q 0, D = D + za prvu jednačinu, D = D za treću jednačinu diskretni analogon (1.10) može se zapisati u obliku 1 h w i 1+ ( β 1 β ) w 0 + β h h w 1 = α, ( h p(x ) ( i) w i + 1 h h + p(x ) i) w i+1 = r(x i ), i = 1,,..., n 1, h γ ( h w n 1 + γ 1 + γ ) w n = β. (1.11) h Neka je diskretni analogon (1.10) zapisan u matričnom obliku i neka je τ[u] odgovarajući vektor greške konzistencije. Aw = r (1.1)

12 Linerani konturni problemi na uniformnoj mreži Definicija Diskretni analogon (1.1) je stabilan ako je A regularna matrica i ako važi gde je C 1 konstanata nezavisna od n. A 1 C Definicija Diskretni analogon (1.1) je konzistentan sa konturnim uslovom (1.9) ako postoji pozitivan broj m takav da važi τ[u] C h m gde je C konstanta nezavisna od n. Broj m je red konzistencije Definicija Neka postoji rešenje w diskretnog analogona (1.1). Ako važi u h w C 3 h s, gde je C 3 konstanta nezavisna od n, kaže se da w konvergira ka u h. Broj s je red konvergencije Teorema [5] Neka je diskretni analogon (1.1) stabilan i konzistentan sa redom konzistencije m. Tada je m i red konvergencije i C 3 = C 1 C. Neka je u (1.10) šema D jednaka D + u prvoj jednačini, a D u trećoj jednačini. Tada (1.10) glasi gde je b 0 w 0 + c 0 w 1 = α, a i w i 1 + b i w i + c i w i+1 = r(x i ), i = 1,,..., n 1, (1.13) a n w n 1 + b n w n = β, a j = 1 ( h, b j = h p(x ) ( i) h + q(x i), c j = za svako j {1,..., n 1}, i neka je 1 h + p(x ) i). h b 0 = β 1 β h, c 0 = β h, a n = γ h, b n = γ 1 + γ h.

13 Linerani konturni problemi na uniformnoj mreži 7 Sistem (1.13) se može zapisati u obliku Aw = r gde je A = b 0 c 0 a 1 b 1 c 1 a b c a n 1 b n 1 c n 1 a n b n (1.14) i r = [α, r 1, r,..., r n 1, β] T gde je r i = r(x i ). Sistem Aw = r se jednostavno rešava, kao i sistem (1.11). Očigledno je da se sistem (1.11) dobija odavde ako stavimo q 0.

14 Glava Slojno adaptivne mreže Svi numerički postupci za rešavanje konturnih problema pomoću kompjutera zahtevaju diskretizaciju diferencijalnih jednačina na nekoj mreži. Pri izboru mreže diskretizacije potrebno je dostići dva cilja: dobru tačnost numeričkog rešenja i relativno jeftino rešavanje sistema linearnih ili nelinearnih jednačina nastalih diskretizacijom polaznog problema. Izbor dobre mreže je bitan ako se želi efikasan postupak za probleme kod kojih se rešenje naglo menja u nekim delovima intervala. Kod nelinearnih konturnih problema je veoma važno imati dobru početnu aproksimaciju, koja se kasnije koristi za iterativno rešavanje sistema nelinearnih jednačina. Zbog toga je odgovarajuća mreža ovde posebno važna. No, nelinearne jednačine nisu tema ovog rada. Vreme računanja i zauzeće memorije rastu sa povećanjem broja tačaka. Imajući to u vidu, uvek se teži dobijanju mreže sa manjim brojem tačaka (gruba mreža), ali koja daje dovoljno dobru tačnost. To znači da mreža mora da bude dovoljno fina da osigura egzistenciju rešenja diskretnog analogona i da diskretni analogon adekvatno aproksimira kontinualni konturni problem. Izbor mreže se mora zasnivati na kontroli greške diskretizacije i očuvanju stabilnosti..0.6 Definicija Na intervalu [0, 1], mreža je konačan skup sa osobinom I h = {x 0, x 1,..., x n }, n N, 0 = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = 1. 8

15 Slojno adaptivne mreže 9 Čvorovi (tačke) mreže su x i za i = 0, 1,..., n, a unutrašnji čvorovi su x i za i = 1,,..., n 1. Koraci mreže su h i = x i x i 1, i = 1,,..., n..0.7 Definicija Mreža je ekvidistantna ako su njeni koraci jednaki, tj. ako je h i = h i 1, i =, 3,..., n. U suprotnom, mreža je neekvidistantna.

16 Šiškinov tip mreže 10.1 Šiškinov tip mreže Mreže ovog tipa je uveo Šiškin u [1] i u stručnoj literaturi se nazivaju po njemu. Zbog svoje jednostavnosti često se koristi i za numeričko rešavanje singularno pertubovanih diferencijalnih jednačina. Za našu diskretizaciju koristimo mrežu opšteg tipa uvedenu u [10]. Sa σ označavamo tranzicioni parametar mreže definisanog sa σ = min { 0.5, 1 α εlnn}. (.1) Ako pravimo slabe pretpostavke da je σ = 1 εlnn i ε C α 0N 1, kao u opštem slučaju za singularno perturbovane probleme, to nam osigurava da slojni izraz e x ε je manji od N 1 α na [σ, 1]. Neka je naš diskretizacioni parametar N ceo broj N 4. Razmatraćemo mrežu 0 = x 0 < x 1 < < x N 1 < x N = 1, kao u [10]. Dakle, za tranzitivnu tačku biramo x N kao što Šiškin radi, odnosno x N = σ. Tačke u [x N, 1] su na jednakom rastojanju. Na [0, x N ] našu mrežu zadajemo generativnom funkcijom mreže ϕ, sa ϕ(0) = 0 i ϕ( 1 ) = lnn, koja je neprekidna, monotona svuda i po delovima neprekidno diferencijabilna. Tada je Ω N ε = x i x i = 1 α εϕ(t i), za t i = i N i = 0, 1,..., N, 1 (1 1 α i) εlnn)(n, za i = N N + 1,..., N. (.) gde je σ tranziciona tačka definisana u (.1), a Ω N ε je mreža Šiškinovog tipa. Kako postoje samo dva različita koraka, kao pogodnost smo dali { h, 1 i N h i =, N H, + 1 i N. Tako da je h fin, a H grub korak mreže. Definišemo karakterističnu funkciju mreže ψ sa ϕ = ln ψ.

17 Šiškinov tip mreže 11 Ova funkcija je monotono opadajuća sa ψ(0) = 1 i ψ( 1 ) = N 1. Primeri karakterističnih funkcija mreže ψ su standardna Šiškinova mreža : Bahvalov-Šiškinova mreža: ψ S (t) = e (lnn)t (.3) ψ BS (t) = 1 (1 N 1 )t. (.4) Još primera karakterističnih funkcija mreža u [6]. Šiškinovog tipa mogu se naći Može se po potrebi pretpostaviti da postoji konstanta C 1 takva da max ϕ ψ (t) (t) C 1 N ( max t [0, 1 ] t [0, 1 ] ψ(t) Oba i ψ S i ψ BS zadovoljavaju ovaj uslov. Sledeći rezultati za korak veličine h i će biti korišćeni C 1 N) (.5) h i = 1 α ε(ϕ(t i) ϕ(t i 1 )) 1 1 εn max α [t i 1,t i ] ϕ (t). (.6) Korišćenjem (.5), dobijamo h i Cε i e h i ε C za i = 1,,..., N. (.7) Iz [7] i [10] je poznato da osobine ψ za posebne veličine max ψ su od neposrednog značaja za ponašanje uniformne konvergencije nekih numeričkih postupaka. Za dve karakteristične funkcije mreže date u (.3) i (.4) imamo max ψ S ClnN i max ψ BS C (.8) Iz prethodnog zaključujemo da važi i h CεN 1 max ψ (.9) H CN 1. (.10)

18 Glava 3 Numeričko rešenje singularno perturbovanog problema sa Robinovim uslovima Razmatramo jednodimenzioni singularno-perturbovani problem sa Robinovim graničnim uslovima. Pokazujemo, kako teorijski tako i numeričkim eksperimentima, da numerička rešenja dobijena korišćenjem upwind konačne diferencne šeme na Šiškinovim mrežama su uniformno konvergentno u odnosu na perturbacioni parametar. Razmatramo singularno-perturbovani problem L ε u ε εu ε + a(x)u ε = f(x), x Ω = (0, 1) (3.1) sa Robinovim graničnim uslovima β 1 u ε (0) β εu ε(0) = A (3.) gde je γ 1 u ε (1) + γ u ε(1) = B (3.3) ε (0, 1], a, f C (Ω), a(x) α > 0, x Ω β 1, β 0, β 1 + β > 0, γ 0 i γ 1 > 0. 1

19 Numeričko rešenje S.P.P. sa Robinovim uslovima 13 Tražimo numerički postupak, koji je uniformno konvergentan u odnosu na perturbacioni parametar ε. Dobar pregled literature o numeričkim metodama za singularno perturbovane probleme može se naći u [11]. U [4], problam (3.1)-(3.3) je analiziran sa Dirihleovim uslovima: i sa Nojmanovim uslovima: β 1 = 1, β = 0, γ 1 = 1 i γ = 0 β 1 = 0, β = 1, γ 1 = 1 i γ = 0. Prisustvo parametra ε koji množi drugi izvod, ima za posledicu pojavu graničnog sloja u okolini x = 0. Granični sloj predstavlja oblast domena, u kom se rešenje naglo menja. Iz tog razloga ćemo koristiti slojno adaptivne mreže kao mreže diskretizacije singularno perturbovanog problema (3.1)- (3.). Doolan i saradnici u [3] dobijaju uniformno rešenje u ε za problem (3.1)-(3.3), koristeći fitovane operatorske metode na uniformnim mrežama. Andreyev i Savin u [1] rešavaju sličan problem koji ima Robinov granični uslov samo na levoj granici. Numerički postupak se sastoji od modifikovane Samarskii šeme sa Šiškinovom mrežom, a dokazana je uniformna konvergencija reda N ln N. Pri izvod enju svih ocena grešaka koristićemo L normu f = max x [0,1] f(x).

20 Neprekidan problem Neprekidan problem Prvo ćemo izvesti a priori granice za rešenje i njegove izvode. Diferencni operator L ε zadovoljava sledeći princip minimuma Teorema Neka je L ε diferencni operator definisan u (3.1) i v C (Ω). Ako β 1 v(0) β εv (0) 0, γ 1 v(1) + γ v (1) 0 i L ε v 0 za sve x Ω, onda v(x) 0 za sve x Ω. Dokaz. Počinjemo sa pretpostavkom da postoji tačka p Ω tako da v(p) = min Ω v(x) < 0. Primetimo da naša hipoteza implicira p 1. Razmatramo tri slučaja : γ = 0, γ 1 γ > α ε i γ 1 γ α ε. Ako je γ = 0, sledi v(1) 0. Definišimo pomoćnu funkciju w(x) = v(x)e αx ε. Biramo tačku q Ω, tako da w(q) = min Ω w(x) < 0 i primetimo da je q 1. Sada pretpostavimo da q Ω, onda w (q) = 0 i w (q) 0, tada L ε v(q) > 0, što je u kontradikciji sa našom hipotezom. Dakle jedina je mogućnost da je q = 0, što znači da je w (0) 0 i w(0) < 0. Koristeći pomoćnu funkciju zaključujemo da v(0) < 0 i v (0) > 0, što je takod e kontradikcija. Ako je γ 1 γ > α αx, uzimamo u obzir opet pomoćnu funkciju w(x) = v(x)e ε. ε Biramo q da minimizira w. Ponovo imamo u vidu da je q 1, jer ako je q = 1, onda je minimum w(x) u x = 1, tada je w(1) < 0 i w (1) 0. Odavde sledi da je v (1) α v(1) i iz γ 1 ε γ > α imamo ε v (1) < γ 1 γ v(1) što krši našu hipotezu. Ako q Ω onda L ε v(q) > 0 što je u kontradikciji sa našom hipotezom, onda je još jednom jedina mogućnost da w postane minimum u krajnjoj tački x = 0. Analognom analizom kao u prvom slučaju dolazimo do kontradikcije. Konačno, ako je γ 1 γ α γ1x γ, definišemo pomoćnu funkciju w(x) = v(x)e. ε Biramo q kao ranije i imamo u vidu da je, kao u poslednjem slučaju, q 1. Ako q Ω, onda L ε v(q) > 0 što daje kontradikciju sa našom hipotezom. Tada jedina preostala mogućnost je q = 0, što se može isključiti kao i ranije.

21 Neprekidan problem 15 Sada ćemo izračunati a priori granice za tačno rešenje i njegove izvode za problem (3.1)-(3.3) Lema Rešenje u ε problema (3.1)-(3.3) zadovoljava u ε 1 α (1 + γ C ) f + γ 1 β 1 + β α β 1u ε (0) β εu ε(0) + 1 γ 1 u ε (1) + γ u γ ε(1). 1 Dokaz. Razmatrajmo funkcije ψ ± β 1 u ε (0) β εu (x) = ε(0) (β 1 + β α) β 1 (1 γ α γ 1 ε )e α ε ( + 1 γ 1 u ε (1) + γ u γ ε(1) α f ( e αx ε 1 + γ γ 1 x ( ) 1 γ α) e α ε γ 1 ε ) ± u ε (x). Napominjemo da je β 1 ψ ± (0) β ε(ψ ± ) (0) 0 i γ 1 ψ ± (1) + γ (ψ ± ) (1) 0, štaviše za x Ω imamo L ε ψ ± (x) 0. Princip minimuma iz Teoreme sada daje ψ ± (x) 0 za sve x Ω, odakle dobijamo traženi rezultat. Granice za izvode su date u sledećoj lemi Lema Izvodi u (k) ε rešenja u ε problema (3.)-(3.3) zadovoljavaju ocene gde C zavisi samo od a i a. u (k) ε Cε k max{ f, u ε }, k = 1,, u (3) ε Cε 3 max{ f, f, u ε }, Dokaz. Dokažimo datu lemu. Integraleći po delovima dobijamo i takod e x au ε(t)dt = au ε x 0 x 0 0 (a u ε )(t)dt x gde C zavisi od a i a. z (0, ε) tako da važi 0 (f au ε)(t)dt f + C u ε (3.4) Iz teoreme srednje vrednosti, postoji tačka u ε(z) = u ε(ε) u ε (0) ε

22 Neprekidan problem 16 i odatle je εu ε(z) u ε. (3.5) Integraljenjem diferencijalne jednačine (3.1) dobijamo, za sve x Ω Iz (3.4)-(3.6), sledi εu ε(x) εu ε(0) = x 0 (f au ε)(t)dt. (3.6) Iz (3.6) i x = z dobijamo εu ε(0) f + C u ε. εu ε(x) f + C u ε za sve x Ω, pa sledi traženi rezultat za k = 1. jednačine (3.1), imamo da je Dalje iz diferencijalne εu ε = f au ε i εu ε = (f au ε) odakle sukcesivno dobijamo tražene ocene za drugi i treći izvod.

23 Dekompozicija rešenja Dekompozicija rešenja Naš cilj je da izvedemo procenu ε-uniformne greške, za koju tržimo oštrije ocene izvoda rešenja. To se postiže korišćenjem sledeće dekompozicije rešenja na glatku i singularnu komponentu gde je v ε rešenje problema u ε = v ε + w ε sa graničnim uslovima L ε v ε = f (3.7) β 1 v ε (0) β εv ε(0) = β 1 v 0 (0) β εv 0(0) + ε(β 1 v 1 (0) β εv 1(0)), (3.8) gde γ 1 v ε (1) + γ v ε(1) = γ 1 u ε (1) + γ u ε(1), (3.9) v ε = v 0 + εv 1 + ε v (3.10) i v 0, v 1 i v su definisani, respektivno, da budu rešenja problema av 0 = f, γ 1 v 0 (1) + γ v 0(1) = γ 1 u ε (1) + γ u ε(1) (3.11) av 1 = v 0, γ 1 v 1 (1) + γ v 1(1) = 0, (3.1) L ε v = v 1, β 1 v (0) β εv (0) = 0, γ 1 v (1) + γ v (1) = 0. (3.13) Napominjemo da v 0 i v 1 ne zavise od ε, i v je rešenja problema sličnog onom koji definiše u ε. Takod e imamo v 1 C (0) (Ω). Singularna komponenta w ε je rešenje homogenog problema

24 Dekompozicija rešenja 18 L ε w ε = 0 (3.14) β 1 w ε (0) β εw ε(0) = β 1 u ε (0) β εu ε(0) (β 1 v ε (0) β εv ε(0)), (3.15) γ 1 w ε (1) + γ w ε(1) = 0. (3.16) U narednoj lemi dobijamo granice komponenti rešenja i njihovih izvoda Lema Rešenje u ε problema (3.1)-(3.3) može se predstaviti kao u ε = v ε + w ε, gde v ε i w ε su definisani u (3.7),(3.8),(3.9), (3.14)-(3.16), respektivno. Pored toga, komponente v ε, w ε i njihovi izvodi zadovoljavaju granice: v (k) ε C(1 + ε k ), k = 0, 1,, 3, w ε (k) (x) Cε k e αx ε za sve x Ω, k = 0, 1,, 3. Dokaz. Konstatujući definicije u (3.10) i (3.11)-(3.13) imamo v C, i tako v ε C(1 + ε ). (3.17) v 0 i v 1 su nezavisni od ε kako je navedeno ranije. Otuda da bismo dobili granice izvoda v ε, treba razmotriti v. Kako je v rešenje problema sličnom (3.1) sa u ε, njegove ocene izvoda slede iz Leme Koristeći ovo sa ocenom (3.17), dakle imamo v (k) ε C(1 + ε k ), k = 0, 1,. Za k = 3, dokaz izvodimo korišćenjem diferencijalne jednačine (3.7) i dobijamo εv ε = f av ε i εv ε = (f av ε),

25 Dekompozicija rešenja 19 što dovodi do ocene v ε (3) Cε 1. Naš dokaz za v ε i njegove izvode je ovim kompletiran. Za granice od w ε i njegovih izvoda razmatramo funkciju [ αx e ψ ± ε (x) = C (1 γ α α γ 1 )e ε ε 1 (1 γ α α γ 1 )e ε ε ] ± w ε (x). Napominjemo da je β 1 ψ ± (0) β ε(ψ ± ) (0) 0, γ 1 ψ ± (1) + γ (ψ ± ) (1) = 0 i L ε ψ ± 0, tako da primenom principa minimuma u Teoremi imamo ψ ± 0 i potreban rezultat sledi, odnosno, w ε (x) Ce αx ε za sve x Ω. Granice izvoda od w ε se izvode kao u [4].

26 Diskretan problem 0 3. Diskretan problem Sada razmatramo diskretizaciju problema (3.1)-(3.3). Koristimo upwind konačnu diferencnu šemu L N ε U ε εδ U ε + a(x i )D + U ε = f(x i ), x i Ω N ε, (3.18) β 1 U ε (x 0 ) β εd + U ε (x 0 ) = A, (3.19) gde γ 1 U ε (x N ) + γ D U ε (x N ) = B, (3.0) D + V (x i ) V (x i+1) V (x i ) h i+1, δ V (x i ) 1 hi ( V (xi+1 ) V (x i ) h i+1 V (x i) V (x i 1 ) h i h i+1 = x i+1 x i h i = x i x i 1, hi = h i + h i+1 za proizvoljnu funkciju mreže V, i gde je mreža diskretizacije Ω N ε, je data u (.). ), 3..1 Teorema Neka je L N ε upwind konačano diferencni operator definisan u (3.18)-(3.0) i neka je Ω N proizvoljna mreža od N + 1 tačaka mreže. Ako je V bilo koja funkcija mreže definisana na ovoj mreži tako da β 1 V (x 0 ) β εd + V (x 0 ) 0, γ 1 V (x N ) + γ D V (x N ) 0 i L N ε V 0, tada V (x i ) 0 za svako x i Ω N. Dokaz. Počinjemo razmatranjem β = 0, tako da uslov s leva počinje sa V (x 0 ) 0. Neka je V k = min i {V i } < 0 tada k 0 što krši našu hipotezu. Otuda V k je minimalna vrednost, D + V k 0 i δ V k 0. Da se izbegne kontradikcija moramo imati V k = V k 1 = V k+1 < 0. Ponavljanje ovog argumenta dovodi do V 0 < 0 što je kontradikcija.

27 Diskretan problem 1 Zatim razmatramo situaciju kada je β 0. Neka je W i = (1 + h iβ 1 εβ )V (x i ). Dalje, neka je W k = min i {W i }. Sada pretpostavimo da je V k < 0 i otuda W k < 0. Imajmo u vidu da, ako k = N, onda D V N 0, takod e V N < 0 što je u kontradikciji sa našom hipotezom. Otuda, k N. Sada je potrebno razmotriti dve preostale mogućnosti: Prvo, pretpostavimo da je k = 0 onda W 0 = min i {W i } < 0. Koristeći uslov s leva imamo V (x 1 ) W 0, i konstatujući da W 0 = min i {W i } < 0 jedina mogućnost je W 1 = W 0. Sada koristimo uslov diferencnog operatora L N ε V 1 0 i L N ε W 1 0, što dovodi do D + W 1 0 i W W 1, što za uzvrat podrazumeva da je W = W 1 = W 0. Primenom istih argumenata u više navrata konačno zaključujemo da W N = W 0 što znači da V (x N ) < 0. Iz gornje analize sledi da D + V (x 1 ) = 0. Ponavljanje ovog procesa dovodi nas do D + V (x N 1 ) = 0, što zauzvrat podrazumeva da D V (x N ) = 0. Kombinovanjem ovih rezultata imamo γ 1 V (x N ) + γ D V (x N ) < 0, što je u kontradikciji sa hipotezom. Napokon, pretpostavimo 0 < k < N. Neka je V k = min i {V i } i da je V k < 0. Iz V k minimalno, sledi D + V k 0 i δ V k 0, što zajedno sa L N ε V 0, daje da važi D + V k = 0. Ovi rezultati su tačni za 0 k N, dakle γ 1 V (x N ) γ D V (x N ) 0 što je očigledno kontradikcija. Time je dokaz kompletiran. Sledeća lema će biti od koristi kasnije. 3.. Lema Rešenje problema sa konstantnim koeficijentima εδ Φ i + ωd + Φ i = 0, 1 i N 1, (3.1) gde je ω > 0, sa graničnim uslovima β 1 Φ 0 β εd + Φ 0 = 1, γ 1 Φ N + γ D Φ N = 0 (3.) na uniformnoj mreži ili na mreži Šiškinovog tipa ΩN ε zadovoljava D + Φ i 0 za sve 1 i N 1. Dokaz. Treba da razmotrimo odvojeno slučajeve σ = 1 i σ = ε ω lnn. Neka je σ = 1. Tada je to slučaj uniformne mreže, pa imamo

28 Diskretan problem i dakle Φ i = λ N i + ωγ γ 1 ε 1 [β 1 (λ N + ωγ γ 1 ε 1) + β ωλ N 1 ], λ = 1 + ωh ε (3.3) D + Φ i = 1 λ N i 1 (1 λ) h [β 1 (λ N + ωγ + β γ 1 ε ωλ N 1 ] = 1 h = N i 1 ωh λ ε [β 1 (λ N + ωγ γ 1 ε + β ωλ N 1 ] ωλ N i 1 ε[β 1 (λ N + ωγ γ 1 ε + β ωλ N 1 ]. Dakle važi D + Φ i = ωλ N i 1 ε[β 1 (λ N + ωγ γ 1 ε + β ωλ N 1 ] 0. (3.4) Neka je sada σ = ε lnn, počinjemo konstatujući da je rešenje problema ω (3.1) i (3.) Pri čemu je Φ i = Φ N Φ N + (1 β 1 Φ N )χ i, za i N, ζ i, i N + 1. (3.5) i Φ N zadovoljava χ i = λ N i 1 β 1 (λ N 1) + β ωλ N ζ i = ΛN i + γ ω 1 γ 1 ε Λ N + γ ω 1, γ 1 ε 1, λ = 1 + ωh ε Λ = 1 + ωh ε (3.6) (3.7) Važi (εδ + ωd + )Φ N = 0. (3.8)

29 Diskretan problem 3 +1 = ΛN N 1 + γ ω 1 γ 1 ε Λ N + γ ω 1 γ 1 ε ζ N = Λ N 1 + γ ω 1 γ 1 ε Λ N + γ ω 1, γ 1 ε odakle, imajući na umu Λ N > Λ N 1, sledi Takod e, imamo da važi ζ N +1 < 1. (3.9) χ N 1 = = = = β 1 (λ N β 1 (λ N λ N N ) + β ωλ N 1 λ 1 1) + β ωλ N 1 ωh ε β 1 (λ N 1) + β ωλ N 1 ωh ε[β 1 (λ N 1) + β ωλ N 1 ]. Dakle, važi χ N 1 = ωh ε[β 1 (λ N 1) + β ωλ N 1 1] Iz (3.8), i konstatujući (3.30) i (3.9) imamo 0. (3.30) Takod e, Φ N = εnχn 1 h (εn + ω)(1 ζ H N +1) + εnβ 0. (3.31) 1χ N 1

30 Diskretan problem 4 dakle važi 1 β 1 Φ N = 1 β 1 εnχn 1 h H (εn + ω)(1 ζ N +1) + εnβ 1χ N = = 1 h (εn + ω)(1 ζ H N +1) + εnβ 1χ N 1 β 1εNχN h (εn + ω)(1 ζ H N +1) + εnβ 1χ N h (εn + ω)(1 ζ H N +1) h (εn + ω)(1 ζ H N +1) + εnβ, 1χ N β 1 Φ N = h (εn + ω)(1 ζ H N +1) h (εn + ω)(1 ζ H N +1) + εnβ 0. (3.3) 1χ N 1 Primenom diferencnog operatora D +,u (3.6) imamo Dakle, važi D + χ i = 1 λ N i 1 (1 λ) h β 1 (λ N 1) + β ωλ N 1 λ N i 1 ωh ε = h[β 1 (λ N 1) + β ωλ N 1 ] λ N i 1 ω = ε[β 1 (λ N 1) + β ωλ N 1 ]. D + λ N i 1 ω χ i = ε[β 1 (λ N 1) + β ωλ N 1 ] 0, 1 i < N. (3.33) Pored toga imajmo u vidu D χ N = 1 λ 1 (λ 1) h β 1 (λ N 1) + β ωλ N 1 1 ωh λ ε = h[β 1 (λ N 1) + β ωλ N 1 ] λ 1 ω = ε[β 1 (λ N 1) + β ωλ N 1 ].

31 Diskretan problem 5 Dobili smo D χ N λ 1 ω = 0. (3.34) ε[β 1 (λ N 1) + β ωλ N 1 ] Osim toga primenom diferencnog operatora D + u (3.7) imamo D + ζ i = 1 Λ N i 1 (1 Λ) H Λ N + γ ω 1 γ 1 ε sledi da važi = ΛN i 1 ωh ε H[Λ N + γ ω 1] γ 1 ε Λ N i 1 ω = ε[λ N + γ ω 1], γ 1 ε D + ζ i = ε[λ N ωλ N i 1 Kombinovanjem (3.31)-(3.35) sledi željeni rezultat. + γ ω γ 1 ε 1] 0, i N. (3.35) 3..3 Posledica Rešenje problema sa konstantnim koeficijentima (3.1) i (3.) je ograničeno sa gde je C konstanta nezavisna od ε. Φ i C Diskretni princip minimum u Teoremi 3..1 dovodi do sledećih ocena rešenja U ε diskretnog analogona problema (3.1)-(3.3) Lema Rešenje U ε koje je dobijeno primenom numeričkog postupka (3.18)-( 3.0) i (.)problema (3.1)-(3.3) je ograničeno sa U ε (x i ) 1 ( 1+ γ ) f +C β 1 U ε (0) β εd + U ε (0) + 1 γ 1 U ε (1)+γ D U ε (1), α γ 1 γ 1 gde konstanta C ne zavisi od ε.

32 Diskretan problem 6 Dokaz. Razmatramo dve funkcije mreže ψ ± (x i ) = 1 α ( 1 + γ ) x i f + β 1 U ε (0) β εd + U ε (0) Φ i γ γ 1 γ 1 U ε (1) + γ D U ε (1) ± U ε (x i ), gde je Φ i rešenja problema sa konstantnim koeficijentima sa graničnim uslovima εδ Φ i + αd + Φ i = 0 β 1 Φ 0 β εd + Φ 0 = 1, γ 1 Φ N + γ D Φ N = 0. Upotrebom leme (3..) i podsećanjem da je a α, dobijamo L N ε ψ ± (x i ) 0. Štaviše, β 1 ψ ± (0) β εd + ψ ± (0) 0 i γ 1 ψ ± (1) + γ D ψ ± (1) 0. Tako sada važi princip minimuma, pa imamo traženi rezultat. Analogno neprekidnom slučaju, diskretno rešenje U ε može se dekomponovati u sumu U ε = V ε + W ε, gde su V ε i W ε, respektivno, rešenje problema L N ε V ε = f(x i ), x i Ω N ε, β 1 V ε (0) β εd + V ε (0) = β 1 v ε (0) β εv ε(0), (3.36) γ 1 V ε (1) + γ D V ε (1) = γ 1 v ε (1) + γ v ε(1)

33 Diskretan problem 7 L N ε W ε = 0, x i Ω N ε, β 1 W ε (0) β εd + W ε (0) = β 1 w ε (0) β εw ε(0) (3.37) γ 1 W ε (1) + γ D W ε (1) = 0.

34 Ocene greške rešenja Ocene greške rešenja Dobijamo posebne ocene greški za svaku komponentu numeričkog rešenja Lema Greška u glatkim komponentama numeričkog rešenja je ograničena na sledeći način (V ε v ε )(x i ) CN 1 za sve x i Ω N ε, gde je v ε rešenje (3.7) i (3.8)-(3.9) i V ε je rešenje (3.36). Dokaz. Razmatramo greške lokalnog odsecanja ( ) ( ) d L N ε (V ε v ε ) = (L ε L N d ε )v ε = ε dx δ v ε + a dx D+ v ε. Zatim, po standarnoj oceni greške lokalnog odsecanja [8] i Lemi imamo L N ε (V ε v ε )(x i ) ε 3 (x i+1 x i 1 ) v ε (3) + a(x i) (x i+1 x i ) v ε () CN 1. Koristimo funkcije mreže ψ ± (x i ) = CN 1 ( Φ i + 1 γ 1 ) ± (V ε v ε )(x i ), gde je Φ i rešenje problema sa konstantnim koeficijentima εδ Φ i + αd + Φ i = 0, β 1 Φ 0 β εd + Φ 0 = 1, γ 1 Φ N + γ D Φ N = 0. Nejednakosti β 1 (V ε v ε )(0) β εd + (V ε v ε )(0) CN 1, γ 1 (V ε v ε )(1) + γ D (V ε v ε )(1) CN 1, slede odmah iz (3.36) i Leme Tako koristeći Lemu 3.. sa ω = α možemo izabrati C dovoljno veliko tako da β 1 ψ 0 ± β εd + ψ 0 ± 0, γ 1 ψ ± N + γ D ψ ± N 0 i LN ε ψ ± (x i ) 0. Dakle princip minimuma važi i sledi traženi rezultat.

35 Ocene greške rešenja Lema Greška u singularnoj komponenti numeričkog rešenja je ograničena sa (W ε w ε )(x i ) CN 1 max ψ, za sve x i Ω N ε, gde je w ε rešenje (3.14)-(3.16) i W ε je rešenje (3.37). Dokaz. Prvo imajmo na umu nejednakosti β 1 (W ε w ε )(0) β εd + (W ε w ε )(0) CN 1 max ψ (3.38) γ 1 (W ε w ε )(1) + γ D (W ε w ε )(1) CN 1. (3.39) Nejednakost (3.39) sledi odmah iz (3.37) i Leme 3.1.4, dok (3.38) sledi opet korišćenjem (3.37) i Leme 3.1.4: β 1 (W ε w ε )(0) β εd + (W ε w ε )(0) = = (β 1 W ε β εd + W ε β 1 w ε + β εd + w ε )(0) = β 1 w ε (0) β εw ε(0) β 1 w ε (0) + β εd + w ε (0) = β ε(d + w ε w ε)(0) ε h h 0 (s h)w ε (s)ds Ch ε CN 1 max ψ. Prvo razmatrajmo slučaj uniformne mreže, kad je σ = 1 i h = H = N 1. Koristeći standardnu grešku lokalnog odescanja [8] i Lemu imamo L N ε (W ε w ε )(x i ) Cε (x i+1 x i 1 )e αx i 1 ε Cε N 1 e αx i 1 ε. (3.40) Koristimo funkcije mreže ψ ± (x i ) = τh ) Ce ε τ(α τ) ε 1 N (Y 1 i + 1γ1 ± (W ε w ε )(x i ),

36 Ocene greške rešenja 30 gde je τ konstanta 0 < τ < α i Y i je rešenje problema sa konstantnim koeficijentima (εδ + τd + )Y i = 0, β 1 Y 0 εβ D + Y 0 = 1, γ 1 Y N + γ D Y N = 0. (3.41) Upotrebom leme (3..) sa ω = τ možemo izabrati C dovoljno veliko da β 1 ψ 0 ± β εd + ψ 0 ± 0, γ 1 ψ ± N + γ D ψ ± N 0 i LN ε ψ ± (x i ) 0. Tako, primenom principa minimuma za L N ε, zaključujemo da ψ ± i 0. Dakle, koristeći ovaj rezultat i uz napomenu da je 0 Y i 1 imamo za sve x i Ω N ε, (W ε w ε )(x i ) τh Ce ε τ(α τ) ε 1 N 1 Y i Ce τh ε τ(α τ) ε 1 N 1 Ce τh ε ε 1 N 1 Dakle, (W ε w ε )(x i ) CN 1 max ψ. Sada razmatramo slučaj σ = ε lnn. Ovde treba uzeti u obzir fine i grube α mreže odvojeno. Prvo, pretpostavimo da x i [σ, 1]. Koristeći nejednakost trougla imamo Koristeći Lemu imamo (W ε w ε )(x i ) W ε (x i ) + w ε (x i ). w ε (x i ) Ce ασ ε = CN 1. Granica za W ε (x i ) je utvrd ena razmatranjem funkcije Y i koja je rešenje problema sa konstantnim koeficijentima Ovaj problem ima sledeće rešenje (εδ + αd + )Y i = 0, 1 i N 1 Y 0 = 1, γ 1 Y N + γ D Y N = 0. Y i = 1 + (Y N Y N 1)l i, za i N, r i, i N + 1. (3.4)

37 Ocene greške rešenja 31 Pri čemu je l i = 1 λ i, λ = 1 + αh 1 λ N ε (3.43) i Y N zadovoljava r i = ΛN i + γ α 1 γ 1 ε Λ N + γ α 1, γ 1 ε Λ = 1 + αh ε (3.44) (εδ + αd + )Y N Počinjemo ističući (.7) i odatle dobijamo = 0. (3.45) Koristeći činjenicu da H = (1 σ) N λ N 4N 1. (3.46) α vidimo da ε Λ N. (3.47) Konstatujući definiciju l i u (3.43), i kombinujući sa (3.46) dobijamo 0 ε α D l N Sada, iz definicije r i u (3.44), imamo = λ N 1 λ N 8N 1. (3.48) ε α D+ r N Dakle, dobili smo = Λ N Λ N 1 Λ N Λ 1 + γ α γ 1 ε 1 = Λ N (1 + γ α γ 1 ε Λ N ) = 1 Λ ε α D+ r N 1 Λ [ N Λ Λ 1 Λ N (1 + γ α γ 1 ε Λ N ) 1 [ ] γ α γ 1 ε Λ N γ α γ 1 ε Λ N ]

38 Ocene greške rešenja 3 i koristeći (3.47) imamo ε α D+ r N 1 [ ] 1 Λ 1 + γ = 1 [ γ 1 γ 1 Λ γ 1 + γ ]. (3.49) Sledeće treba izračunati vrednost Y N. Kombinujući (3.4) i (3.45) dobijamo Y N D l N Koristeći (3.47), (3.49) i (3.50) dobijamo = D l N 1(λ + Λ)D+ r N 0. (3.50) Y N 8N 1 1 (λ + Λ) [ 1 γ 1 ] 16N 1 Λ(γ 1 + γ ) Λ γ 1 +γ γ 1 (λ + Λ) Osim toga, napominjemo ( 16N γ ). γ 1 i konstatujući rezultate za i = N D + l i 0 i D + r i 0 iz (3.47), (3.49) i (3.50) imamo Sada razmatramo funkcije mreže D + Y i 0, 0 i N 1. Tada ψ ± i = β 1 W ε (0) β εd + W ε (0) Y i ± W ε (x i ). L N ε ψ ± i = β 1 W ε (0) β εd + W ε (0) (a(x i ) α)d + )Y i 0, i, pored toga β 1 ψ 0 ± β εd + ψ 0 ± 0, γ 1 ψ ± N + γ D ψ ± N 0. Tako primenom principa minimuma i Teoreme 3..1, ψ ± 0, i koristeći lemu (3.1.4), imamo za sve x i [σ, 1] W ε (x i ) β 1 W ε (0) β εd + W ε (0) Y i β 1 w ε (0) β εw ε(0) Y N CN 1. Sledeće treba dokazati rezultat za x i [0, σ). Dokaz sledi na sličan način kao slučaj σ = 1, osim što koristimo diskretni princip minimuma na [0, σ].

39 Ocene greške rešenja 33 Takod e ćemo morati koristiti ocenu W ε (x i ) CN 1 iz Leme U ovom slučaju imamo L N ε (W ε w ε )(x i ) Cε 1 N 1 max ψ e αx i 1 ε, za sve 0 i N (3.51) Analogno kao u ranijem slučaju, uvodimo funkciju mreže ψ ± (x i ) = τh Ce ε τ(α τ) max ψ N 1 Z i + C N 1 ± (W ε w ε )(x i ), gde je 0 < τ < α i Z i je rešenje problema sa konstantnim koeficijentima Tako (εδ + τd + )Z i = 0, β 1 Z 0 εβ D + Z 0 = 1, γ 1 Z N + γ D Z N = 0. Sada vidimo da Z i = λ N i + γ τ 1 γ 1 ε λ N + γ τ 1, λ = 1 + τh ε. γ 1 ε D + Z i = ε[λ N Sada,β 1 ψ 0 ± β εd + ψ 0 ± 0, γ 1 ψ ± N τλ N i γ τ γ 1 1] ε + γ D ψ ± N 0 i L N ε ψ ± i 0,dakle, primenom principa minimuma iz Teoreme 3..1, ψ ± i 0. Otuda, za x i [0, σ) imamo što je i trebalo pokazati. (W ε w ε )(x i ) CN 1 max ψ Gornje ocene grešaka za pojedine komponente numeričkog rešenja sada vode do sledeće teoreme o oceni greške numeričkog rešenja U ε, koja se dobija kombinujući ih i koristeći nejednakost trougla.

40 Ocene greške rešenja Teorema Ako je u ε rešenje problema (3.1)-(3.3), i U ε odgovarajuće numeričko rešenje metode (3.18)-(3.0), tada imamo sup U ε u ε ΩN ε CN 1 max ψ, za svako N 4, 0<ε 1 gde je konstanta C nezavisna od ε i N. Dokaz. Sledi direktno kombinovanje leme (3.3.1) i Leme Napomena Koristeći (.8), zaključujemo da na Šiškinovoj mreži važi sup U ε u ε ΩN ε CN 1 lnn, za svako N 4, 0<ε 1 dok na Bahvalov-Šiškinovoj mreži dobijamo sup U ε u ε ΩN ε CN 1, za svako N 4. 0<ε Teorema Ako je u ε rešenje problema (3.1)-(3.3), i U ε odgovarajuće numeričko rešenje dobijeno korišćenjem postupka navedenog u (3.18)-(3.0) imamo sup Ūε u ε ΩN ε CN 1 max ψ, za svako N 4, 0<ε 1 gde je Ūε po delovima linearan interpolant od U ε na Ω N ε, i C je konstanta nezavisna od N i ε. Dokaz. Neka je ū ε po delovima linearan interpolant od u ε na mreži Ω N ε, to je ū ε (x) = N u ε (x i )Φ i (x) i=0 gde je Φ i (x) po delovima linearna funkcija definisana sa Φ i (x j ) = δ i,j za sve i, j 0 i, j N. Koristeći nejednakost trougla imamo Ūε u ε Ūε ū ε + ū ε u ε (3.5) gde je prvi izraz s desne strane nejednakosti razlika izmed u dva interpolanta, a drugi je greška interpolacije. Za granicu prvog izraza sa desne strane nejednakosti u (3.5) imamo

41 Ocene greške rešenja 35 N Ū ε ū ε = (U ε u ε )(x i )Φ i Korišćenjem prethodne teoreme u svakoj tački x i imamo i=0 iz Φ i (x) 0 i N i=0 Φ i 1 sledi (U ε u ε )(x i ) CN 1 max ψ, Ūε ū ε CN 1 max ψ. (3.53) Za ocenu drugog izraza na desnoj strani nejednakosti (3.5) napominjemo da za svako i 0 i N 1 i svako f C (Ω i ) gde je Ω i = (x i, x i+1 ) i x Ω i imamo klasičnu ocenu za linearnu interpolaciju ( f f)(x) 1 (x i+1 x i ) f Ωi. (3.54) Koristeći dekompoziciju tačnog rešenja dekomponujemo grešku interpolacije u sumu od dve komponente ū ε u ε = v ε v ε + w ε w ε gde su v ε i w ε po delovima linearni interpolanti od v ε i w ε redom na mreži tačaka Ω N ε. Ograničimo svaku komponentu posebno. Iz leme (3.1.4) sledi i za sve x Ω N ε v ε v ε CN 1 (3.55) ( w ε w ε )(x) C(x i+1 x i ) ε (3.56) u slučaju uniformne mreže, imamo σ = 1. Iz (3.56) sledi w ε w ε C(N 1 max ψ ) S druge strane, ako je σ = ε lnn iz (3.55) sledi α w ε w ε [0,σ) Cε N max ψ ε C(N 1 max ψ )

42 Ocene greške rešenja 36 Iz Leme imamo Onda u svim slučajevima važi w ε w ε [σ,1] w ε [σ,1] Ce ασ ε = CN 1. w ε w ε CN 1 max ψ. (3.57) Korišćenjem (3.55), (3.57) i nejednakosti trougla dokaz je kompletiran.

43 Glava 4 Numerički eksperimenti U ovom poglavlju posmatramo kompjuterske rezultate primera problema (3.1)-(3.3). Predmet razmatranja je sa graničnim uslovima εu ε x u ε(1) = x + 1 (4.1) Rešenje je u ε (0) εu ε(0) = 1, u ε (1) + u ε = 1. (4.) u = (x + 1)3 3(ε + 1) + D[ (x + 1) 1 ε 1 1 ε ( 1 1 ε ε 1 + ε 1 ε )] [ 0 ] + 1, (4.3) 3(ε + 1) gde je D = ( ε ε ε 3(ε+1) 1 ε ε ) 1. Rešavamo primer (4.1)-(4.3) korišćenjem numericke metode (3.18)-(3.0) na Šiškinovoj mreži (.) sa konstantom α = 0.5, iz definicije tranzicione tačke σ. 37

44 Numerički eksperimenti 38 Na slikama (4.1) i (4.) je prikazano numeričko rešenje U ε na Šiškinovoj, odnosno Bahvalov-Šiškinovoj mreži, za N = 16, i ε = 1. Tabele (4.1)i (4.3) daju greške Eε N = U ε u ε ΩN na Šiškinovoj, odnosno Bahvalov-Šiškinovoj mreži, za različite vrednosti ε i N i takod e EN max = max ε Eε N. Jasno, za svako ε, kad se N povećava greška se smanjuje; a kad ε opada, greške se stabilizuju za bilo koje posebno N. Tabele (4.)i (4.4) daju ocene reda konvergencije R N,ep na Šiškinovoj, odnosno Bahvalov-Šiškinovoj mreži, izračunate iz grešaka u tabelama (4.1) i (4.3), korišćenjem formule Eε N R N,ep = log. Eε N Red konvergencije je u porastu kad se N povećava za bilo koje fiksirano ε i na kraju stabilizuje za bilo koje fiksirano N. Takod e su dati redovi uniformne konvergencije za svako N Runif N Emax N = log. Emax N Ove tabele na taj način verifikuju ε-uniformnu konvergenciju numeričkih rešenja i izračunavaju red kovergencije u saglasnosti sa teoremom (3.3.3) Slika 4.1: Tačno (sivi grafik) i numeričko (crni grafik) rešenje na Šiškinovoj mreži, za ε = 1 i N = 16

45 Numerički eksperimenti 39 Table 4.1: greške za različite vrednosti ε i N, na Šiškinovoj mreži ε Broj intervala N E N max

46 Numerički eksperimenti 40 Table 4.: red konvergencije za različite vrednosti ε i N, na Šiškinovoj mreži ε Broj intervala N R N unif

47 Numerički eksperimenti 41 Table 4.3: greške za različite vrednosti ε i N, na Bahvalov-Šiškinovoj mreži ε Broj intervala N E N max

48 Numerički eksperimenti 4 Table 4.4: red konvergencije za različite vrednosti ε i N, na Bahvalov- Šiškinovoj mreži ε Broj intervala N R N unif

49 Numerički eksperimenti Slika 4.: Tačno (sivi grafik) i numeričko (crni grafik) rešenje na Bahvalov- Šiškinovoj mreži, za ε = 1 i N = 16

50 Glava 5 Zaključak Naš cilj je bio da se reši singularno perturbovani problem (3.1)-(3.3), koristeći metodu koja je robusna u odnosu na perturbacioni parametar. Rešili smo problem koristeći standardne upwind konačne diferencne operatore na Šiškinovoj mreži i na Bahvalov-Šiškinovoj mreži. Pokazali smo da za numeričku aproksimaciju rešenja metod daje robusnost u odnosu na perturbacioni pararmetar. Teoretski dobijene ocene su verifikovane i eksperimentalno. Rezultati pokazani u ovom radu predstavljaju uopštenje analize date u [] na jednu klasu mreža diskretizacije. 44

51 GLAVA 5. ZAKLJUČAK 45

52 Prilog A Pregled definicija i teorema iz linearne algebre i analize U ovom delu ćemo navesti neke definicije i teoreme koje su korišćene u radu. A.1 Definicije i teoreme iz linearne algebre A.1.1 Definicija Matrica A = [a ij ] R n,n se naziva trakasta matrica sa širinom trake m + 1 ako je a ij = 0 za svako i j > m (m < n 1). Ako je m = 1 širina trake je 3, a matrica je tridijagonalna. A.1. Definicija Kvadratna matrica A je regularna ako i samo ako postoji matrica B takva da je AB = BA = E. Matrica B koja zadovoljava gornju jednakost naziva se inverzna matrica za matricu A. Kvadratna matrica koja nije regularna se naziva singularna. A.1.3 Teorema Kvadratna matica A je regularna ako i samo ako je det A 0. A.1.4 Definicija Realna simetrična n n matrica A je pozitivno definitna ako je x T Ax > 0 za sve 0 x R n. 46

53 Pregled bitnijih teorema i definicija 47 A.1.1 Inverzno monotone matrice A.1.5 Definicija Regularne matrice sa nenegativnom inverznom matricom nazivaju se inverzno monotone matrice. Neka je sa τ označen skup {1,,..., n}, pri čemu je n N fiksiran prirodan broj. Neka su za x R n definisani skupovi τ 0 (x) i τ + (x): τ 0 (x) = {i i τ, x i = 0}, τ + (x) = {i i τ, x i > 0}. A.1.6 Definicija Vektor x > 0, x R n naziva se majorirajući vektor matrice A = [a ij ] R n,n ako je Ax > 0, ili ako je Ax 0, a za svako i τ 0 (Ax) postoji konačno mnogo indeksa k j τ, j = 0, 1,,..., m, tako da važi k 0 = i, k m τ + (Ax), a kj 1 k j 0, j = 1,,..., m. Za matricu A koja ima majorirajući vektor x > 0 kažemo da povezuje τ 0 (Ax) sa τ + (Ax). A.1.7 Primer Neka je A = Proveravamo da li je vektor x = [1, 1, 1, 1] T majorirajući vektor matrice date matrice. Kako je Ax = [1, 0, 0, 1] T, sledi da je. τ 0 (Ax) = {, 3} i τ + (Ax) = {1, 4}. Za i = neka je k 0 = i k 1 = 1. Važi k 1 τ + (Ax) i a k0 k 1 = 1 0. Za i = 3 neka je k 0 = 3, k 1 =, k = 1. Važi k τ + (Ax), a k0 k 1 = 3 0 i a k1 k = 0. Dakle, vektor x je majorirajući vektor matrice A. A.1.8 Definicija Matrica A R n,n je L 0 -matrica ako su njeni vandijagonalni elementi nepozitivni. A.1.9 Definicija Matrica A R n,n je L-matrica ako je L 0 -martica i ako su elementi njene glavne dijagonale pozitivni. A.1.10 Definicija Matrica A R n,n se naziva M-matrica ako i samo ako je inverzno monotona L 0 -matrica.

54 Pregled bitnijih teorema i definicija 48 Sledeća teorema pokazuje pod kojim uslovima je neka L 0 -matrica inverzno monotona matrica, tj. M-matrica. A.1.11 Teorema M-kriterijum [5] Neka za matricu A = [a ij ] R n,n važi a ij 0, i j, i, j τ. Tada je A inverzno monotona matrica ako i samo ako ima majorirajući vektor. A. Definicije i teoreme iz analize A..1 Teorema (Teorema srednje vrednosti) Ako je funkcija f : [a, b] R R neprekidna na [a, b] i diferencijabilna na (a, b), onda postoji t (a, b) takvo da je f(b) f(a) = f (t)(b a). A.. Definicija Neka je X vektorski prostor nad R. Preslikavanje : X [0, ) je norma na X ako važi (N1) x = 0 x = 0, (N) λx = λ x za sve λ R i sve x X, (N3) x + y x + y za sve x, y X. Ured en par (X, ) se naziva normiran prostor. A..3 Definicija Neka je X vektorski prostor nad R. Preslikavanje : X [0, ) je seminorma na X ako važi (N1) x = 0 x = 0, (N) λx = λ x za sve λ R i sve x X, (N3) x + y x + y za sve x, y X. A..4 Definicija Kompletan normiran prostor (X, ) se naziva Banahov prostor, tj. Banahov prostor je normiran prostor u kome je svaki Košijev niz konvergentan. A..5 Definicija Neka je X vektorski prostor nad R. Preslikavanje (, ) : X X R sa sledećim osobinama (S1) (x, x) 0 za sve x X, (S) (x, x) = 0 x = 0,

55 Pregled bitnijih teorema i definicija 49 (S3) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) za sve x, y, z X, (S4) (λx, y) = λ(x, y) za sve λ R i sve x, y X, (S5) (x, y) = (y, x) za sve x, y X, se naziva skalarni proizvod. Ured en par (X, (, )) se naziva prostor sa skalarnim proizvodom ili pred-hilbertov prostor ili unitaran prostor. A..6 Lema Sa x := (x, x) je definisana norma na pred-hilbertovom prostoru (X, (, )) A..7 Definicija Kompletan pred-hilbertov prostor (X, (, )) se naziva Hilbertov prostor.

56 Prilog B Mathematica programi U ovom delu ćemo navesti programe koji su korišćeni za izvod enje numeričkih eksperimenata u radu. Programi su urad eni u programskom paketu Mathematica. B.1 Programi za numeričke eksperimente na Šiškinovoj mreži B.1.1 Program za rešavanje sistema Ax = v LU-dekompozicijom TriLUSolve[{a_List, b_list, c_list}, v_list] := Module[{i, j, l, u, f, x, n = Length[b]}, (*LU dekompozicija*) l = {}; u = {b[[1]]}; Do[ u = Append[u, b[[i]] - c[[i-1]]a[[i-1]]/u[[i-1]]]; l = Append[l, a[[i-1]]/u[[i-1]], {i,, n}]; (*resavanje LU sistema*) f = {v[[1]]}; Do[f = Append[f, v[[i]]-l[[i-1]]f[[i-1]]], {i,, n}]; x = {f[[n]]/u[[n]]}; Do[x = Prepend[x, (f[[i]]-c[[i]]x[[1]])/u[[i]]], {i, n-1, 1, -1}]; x ] 50

57 Mathematica programi 51 B.1. Šiškinova mreža Shiskin[n_,ε_,α_]:= If[Min[1/, ε/α * Log[n]]== 1/, Table[i/n,i,0,n]//N, σ=min[1/, ε/α * Log[n]]; ψ[s_]:=exp[-*(log[n])*s]; φ[s_]:=-log[ψ[s]]; Join[ Table[1/α * ε * φ[i/n],i,0,n/], Table[1-(1-σ) *(n-i)/n, i,n/ + 1,n] ]//N ]];

58 Mathematica programi 5 B.1.3 Program za dobijanje približnog rešenja Program za dobijanje približnog rešenja primera datog u delu (4) za postupak (3.18)-(3.19) na mreži (.). Upwind[n_,ε_,α_]:= Module[mreza,h,f,p,u,v,w,r, mreza=shishkin[n,ε,α]; h=table[mreza[[i+1]]-mreza[[i]],i,n]; f=table[mreza[[i]]+1,i,n]; p=table[1/(1+mreza[[i]]), i,n]; u=prepend[table[ ε/(h[[i]]+h[[i+1]]) * 1/h[[i+1]] + p[[i]]/h[[i+1]], i,n-1],-ε/h[[i]]]; v=append[prepend[table[-ε/(h[[i]]+h[[i+1]]) * 1/h[[i+1]] - ε/(h[[i]]+h[[i+1]]) * 1/h[[i]] - p[[i]]/h[[i+1]],i,1,n-1],1+ε/h[[1]]],1+1/h[[n]]]; w=append[table[ε/(h[[i]]+h[[i+1]]) * 1/h[[i]],i,1,n-1],-1/h[[n]]]; r=append[prepend[table[f[[i]],i,1,n-1],1],1]; TriLUSolve[w,v,u,r]];

59 Mathematica programi 53 B.1.4 Program za dobijanje tačnog rešenja Program za dobijanje tačnog rešenja primera datog u delu (4). tacno[x_]:=(x+1)^3 /(3*(*ε+1)) + (19+3*ε)/(3*(*ε+1)*((1-^(1-1/ε))/ε-^(-1/ε)/ε) * ((x+1)^(1-1/ε)/(ε-1)-(^(1-1/ε)/(ε-1)+^(-1/ε)/ε)) +(1-0/(3*(*ε+1))); mreza=shiskin[n,ε,α]; tacnoresenje=table[tacno[mreza[[i]]],i,n+1] B.1.5 Program za odred ivanje greške rešenja Program za odred ivanje greške rešenja primera datog u delu (4). Table[n=^k; mreza=shishkin[n,ε,α]; tacnoresenje=table[tacno[mreza[[i]]],i,n+1]; pribliznoresenje=upwind[n,ε,α]; ^k, MaxAbs[pribliznoresenje-tacnoresenje]],k,5,1]

60 Mathematica programi 54 B.1.6 Program za odred ivanje reda konvergencije Program za odred ivanje reda konvergencije primera datog u delu (4). greska=; Table[n=^k; mreza=shishkin[n,ε,α]; tacnoresenje=table[tacno[mreza[[i]]],i,n+1]; pribliznoresenje=upwind[n,ε,α greska=append[greska,max[abs[pribliznoresenje-tacnoresenje]]],k,5,1]; Table[Log[greska[[i]]/greska[[i+1]]]/Log[],i,Length[greska]-1]

61 Mathematica programi 55 B. Programi za numeričke eksperimente na Bahvalov-Šiškinovoj mreži Program za tačno resenje i za rešavanje sistema Ax = v LU-dekompozicijom je isti bez obzira na mrežu, tako da ga nećemo ponovo navoditi. B..1 Bahvalov-Šiškinova mreža BahvalovShiskin[n_,ε_,α_]:= If[Min[1/, ε/α * Log[n]]== 1/, Table[i/n,i,0,n]//N, σ=min[1/, ε/α * Log[n]]; ψ[s_]:=1-*(1-n^(-1))*s; φ[s_]:=-log[ψ[s]]; Join[ Table[1/α * ε * φ[i/n],i,0,n/], Table[1-(1-σ) *(n-i)/n, i,n/ + 1,n] ]//N ]];

62 Mathematica programi 56 B.. Program za dobijanje približnog rešenja Upwind[n_,ε_,α_]:= Module[mreza,h,f,p,u,v,w,r, mreza=bahvalovshishkin[n,ε,α]; h=table[mreza[[i+1]]-mreza[[i]],i,n]; f=table[mreza[[i]]+1,i,n]; p=table[1/(1+mreza[[i]]), i,n]; u=prepend[table[ ε/(h[[i]]+h[[i+1]]) * 1/h[[i+1]] + p[[i]]/h[[i+1]], i,n-1],-ε/h[[i]]]; v=append[prepend[table[-ε/(h[[i]]+h[[i+1]]) * 1/h[[i+1]] - ε/(h[[i]]+h[[i+1]]) * 1/h[[i]] - p[[i]]/h[[i+1]],i,1,n-1],1+ε/h[[1]]],1+1/h[[n]]]; w=append[table[ε/(h[[i]]+h[[i+1]]) * 1/h[[i]],i,1,n-1],-1/h[[n]]]; r=append[prepend[table[f[[i]],i,1,n-1],1],1]; TriLUSolve[w,v,u,r]];

63 Mathematica programi 57 B..3 Program za odred ivanje greške rešenja Table[n=^k; mreza=bahvalovshishkin[n,ε,α]; tacnoresenje=table[tacno[mreza[[i]]],i,n+1]; pribliznoresenje=upwind[n,ε,α]; ^k, MaxAbs[pribliznoresenje-tacnoresenje]],k,5,1] B..4 Program za odred ivanje reda konvergencije greska=; Table[n=^k; mreza=bahvalovshishkin[n,ε,α]; tacnoresenje=table[tacno[mreza[[i]]],i,n+1]; pribliznoresenje=upwind[n,ε,α greska=append[greska,max[abs[pribliznoresenje-tacnoresenje]]],k,5,1]; Table[Log[greska[[i]]/greska[[i+1]]]/Log[],i,Length[greska]-1]

64 Literatura [1] V. B. Andreyev, I. A. Savin, The computation of boundary flow with uniform accuracy with respect to a small parameter. Comput. Math. Math. Phys. 36(1997), [] A. R. Ansari, A. F. Hagerty, Numerical solution of a convection diffusion problem with Robin boundary conditions. Journal of Comput. and Appl. Math., 156(003), 1-38 [3] E. P. Doolan, J. J. H. Miller, W. H. A. Schilders, Uniform Numerical Methods for Problems with Initial and Boundary Layers. Boole Press, Dun Laoghaire, [4] P.A. Farrell, A.F. Hegarty, J.J.H. Miller, E. O Riordan, G.I. Shishkin, Robust Computational Techniques for Boundary Layers. Applied mathematics and mathematical computation, New York, 000. [5] D. Herceg, N. Krejić, Numerička Analiza. Univerzitet u Novom Sadu, Prirodno-matematički fakultet, [6] T. Linβ, Layer-adapted meshes for convection-diffusion problems. Institut fü Numerische Mathematik, Technische Universitä Dresden, Habilitationsscrift, 006. [7] Linβ T., Roos H.-G., Vulanović R., Uniform pointwise convergence on Shiskin-type meshes for quasilinear convection-diffusion problems. SIAM J. Numer. Anal [8] J.J.H. Miller, E. O Riordan, G.I. Shishkin, Fitted numerical methods for singularly perturbation problems. Error estimates in the maximum norm for linear problems in one and two dimensions. World Scientific, Singapore, [9] M. Miloradović, Specijalne mreže za numeričko rešvanje singularno perturbovanih problema. Univerzitet u Novom Sadu, Prirodnomatematički fakultet,

65 LITERATURA 59 [10] H.-G. Roos, T. Linβ, Sufficient conditions for uniform convergence on a layer-adapted grids. Computing 63, 1999., pages [11] H.-G. Roos, M. Stynes, L. Tobiska, Numerical Methods for Singularly Perturbed Differential Equations. Springer, Berlin, [1] G. I. Shishkin, A difference scheme for a singurarly pertrbed parabolic equation with a discontinuous boundary condition. Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., [13] K. Surla, -D. Herceg, S. Rapajić, Mathematica za fizičare i hemičare, Univerzitet u Novom Sadu, Prirodno-matematički fakultet, Novi Sad, 1998.

66 Biografija Rod ena sam 4. juna godine u Novom Sadu. Završila sam Osnovnu školu,,jovan Popović u Novom Sadu, a potom Gimnaziju,,Isidora Sekulić u Novom Sadu. Po završetku gimnazije upisala sam osnovne studije na Prirodno-matematičkom fakultetu Univerziteta u Novom Sadu, smer diplomirani matematičar-profesor matematike. Diplomirala sam godine sa prosečnom ocenom Tema diplomskog rada bila je,,slučajni hod. Nakon završetka osnovnih studija upisala sam master studije matematike na Prirodno-matematičkom fakultetu Univerziteta u Novom Sadu. Položila sam sve ispite predvid ene nastavnim planom i programom master studija sa prosečnom ocenom Novi Sad Krstanović Lidija 60