Динамика крутог тела. Задаци за вежбу 1. Штап масе m и дужине L се крајем А наслања на храпаву хоризонталну раван, док на другом крају дејствује сила F константног интензитета и правца нормалног на штап. Одредити потребан интензитет силе F да би се штап кретао тако да је угао који образује са хоризонталом константан. Колика је промена момента количине кретања за центар штапа током овог кретања? Oдредити кретање центра штапа. Такође, одредити колика је промена кинетичке енергије штапа када се крај А штапа помери за величину d? 2. Хомогени цилиндар полупречника R и масе m се креће низ храпаву стрму раван нагиба. Коефицијент трења клизања је. Одредити растојање h од стрме равни на ком треба да дејствује константна сила F паралелно са стрмом равни, да би се цилиндар кретао тако да правац CD на диску остаје током кретања нормалан на стрму раван. Одредити и кретање центра масе цилиндра. За колико се промени кинетичка енергија цилиндра, када се центар диска C помери за величину b дуж стрме равни. 3. Хомогени штап AB масе m и дужине L се креће у вертикалној равни у хомогеном пољу силе земљине теже. Отпор кретању штапа кроз ваздух занемарити. Кретање штапа се разматра у приказаном Декартовом координатном систему. Ако центар штапа C у почетном тренутку има брзину v 0 и налази се на y оси ( y C L ), док му је почетна угаона брзина једнака нули, одредити за два различита почетна положаја приказана на сликама а и б: а) Кретање штапа у оба случаја; б) За који случај ће центар штапа C пре доспети на x осу? в) Укупну механичку енергију штапа када центар C доспе на x осу.
4. Штап масе m и дужине L је крајем А везан за подлогу помоћу непокретног цилиндричног зглоба (Слика 11.4 а). У почетном тренутку штап је у вертикалном положају и започиње кретање из стања мировања. а) Како гласи момент количине кретања за осу цилиндричног зглоба, ако је момент инерције за осу која пролази кроз центар 1 2 масе штапа JC ml? 12 б) Како гласи кинетичка енергија штапа? в) Колика је укупна механичка енергија штапа када дође у хоризонтални положај? г) Одредити реакцију цилиндричног зглоба у функцији угла ; д) Одредити реакцију цилиндричног зглоба (у функцији угла ) у случају да се маса штапа замемари, а на његов крај постави материјална тачка исте масе m. (Слика 11.4 б). Упоредити та два решења (за случај тешког штапа и случај лаког штапа са концентрисаном масом на крају) када штап пролази кроз хоризонтални положај. 5. Штап масе m и дужине L је у тачки O за подлогу везан помоћу непокретног цилиндричног зглобa. За штап је на крају О везана торзиона опруга крутости k. У положају равнотеже штап је хоризонталан, одакле штап започиње кретање са почетном угаоном брзином 0. а) Одредити диференцијалну једначину кретања штапа у односу на приказани (хоризонтални) положај равнотеже. За координату која описује кретање усвојити угао. б) Колика је промена кинетичке енергије штапа између почетног и положаја дефинисаног углом ; в) Одредити закон кретања штапа за случај малих вредности угла. О каквом кретању се ради и колика је сопствена кружна фреквенција овог система. Упоредити добијене резултате са резултатима из задатка 8.4 (лаки штап са масом m на његовом крају, приказан на Слици 11.5 б)
6. Терет масе М који је постављен на храпаву хоризонталну раван је везан за крај нерастегљивог ужета које се намотава на цилиндар полупречника R. Са другог цилиндра полупречника r који је аксијално и круто везан са већим цилиндром, намотано је друго уже које се одмотава и на чијем крају је окачен терет масе m. Ова два цилиндра чине једно круто тело (добош) које је у свом средишту везано за подлогу помоћу непокретног цилиндричног зглоба. Момент инерције добоша за осу која пролази кроз цилиндрични зглоб и управна је на раван кретања је познат и износи J. Ако систем започиње кретање из стања мировања, одредити: d а) Момент количине кретања овог материјалног система за осу цилиндричног зглоба; б) Укупну кинетичку енергију овог система; в) угаону брзину терета добоша након што се терет II спусти за висину h. Колике су брзине тела и у том тренутку; г) Силе у ужадима. 7. Штап масе m и дужине L се у приказаном равнотежном положају одржава помоћу непокретног цилиндричног зглоба и вертикалног идеалног ужета везаног за крај B. У једном тренутку је уже пукло. Одредити реакцију цилиндричног зглоба непосредно након пуцања ужета. Упоредити добијени резултат са реакцијом зглоба пре пуцања ужета (у равнотежном положају). а) Диференцијалну једначину кретања; 8. Тело произвољног облика масе m је за подлогу везано само у тачки О помоћу непокретног цилиндричног зглоба. Након извођења из равнотежног положаја (у којем је центар масе C на истој вертикали са тачком О) тело се обрће (клати) око осе цилиндричног зглоба, која је у правцу нормале на раван цртежа. Одредити: б) Једначину кретања у случају да је угао мали ( sin ). Одредити кружну фреквенцију и период;
в) положај lr на којем је потребно поставити материјалну тачку исте масе као и тело, тако да период осциловања (математичког клатна) буде исти као у случају кретања тела које је одређено под б) (Слика 11.8 б). 9. Штап масе m и дужине L се креће у вертикалној равни у хомогеном пољу силе земљине теже. Потребно је одредити кретање штапа у задатом декартовом координатном систему xoy. Познато је да је у почетном тренутку штап на y оси ( y C L ) и да је интензитет v0 почетне брзине његовог средишта C. Такође је познато да је почетна угаона брзина штапа 0. 10.. Штап масе m и дужине L се одржава у приказаном равнотежном положају (угао између штапа и равни је познат и износи ) тако што се крајем А ослања на глатку хоризонталну раван, док је помоћу ужета закачен за непокретну тачку. Ако уже у једном тренутку пукне, одредити колика је у том тренутку реакција подлоге. 11. Штап масе m и дужине L је у тачки C везан зглобно за лаки клизач. Лаки клизач се може кретати по храпавој хоризонталној вођици. На штап дејствује сила F чији је правац увек нормалан на осу штапа. Одредити кретање штапа. 12. Одредити кинетичку енергију у случају кретања тела на Слици 4 а и б, ако је познат интензитет брзине средишта тела v 0 a) диска масе m и полупречника R који се котрља без клизања по непокретној хоризонталној равни б) штапа AB којем крајеви клизе по непокретној хоризонталној, односно вертикалној подлози.
13. Одредити силу трења између диска и хоризонталне равни, уколико се ради о котрљању без клизања, за два различита начина дејства силе F, како је приказано на сликама а) и б). 14. Диск масе m и полупречника R, започиње кретање по хоризонталној равни котрљањем без клизања из стања мировања. На центар диска дејствује хоризонтална сила, сталног смера, чији се интензитет током времена мења по закону F k t, где је k const 0. Одредити тренутак t 1 у коме ће диск почети да проклизава и пут S који ће центар диска прећи до тог тренутка. 15 Диск масе m и полупречника r се креће по хоризонталној равни. У почетном тренутку је свим тачкама диска саопштена у хоризонталном правцу иста брзина, интензитета v 0. Одредити тренутак t1 у коме ће диск почети да се котрља без клизања. Колики пут S пређе центар диска до тог тренутка. Коефицијент трења између диска и пода је. 16. Диск масе m и полупречника R започиње кретање из стања мировања низ стрму раван нагибног угла. Одредити како се у функцији положаја мења брзина центра диска, ако се он котрља без клизања. Који услов треба да задовољава коефицијент трења између диска и стрме равни да би котрљање без клизања било остварено.
17. Штап масе m и дужине L се у приказаном равнотежном положају одржава помоћу два покретна лежишта и вертикалног идеалног ужета везаног за крај B. У једном тренутку је уже пукло. Одредити реакцију лежишта А непосредно након пуцања ужета. Упоредити добијени резултат са реакцијом зглоба пре пуцања ужета (у равнотежном положају). 18. За обод диска масе m и полупречника R је обмотано уже чији је други крај непокретан. Слободан део ужета је паралелан стрмој равни на којој је постављен диск. Ако се диск пусти из стања мировања да се слободно креће низ стрму раван, одредити а) убрзање центра диска; б) силу у ужету; в) угаону брзину диска када се центар диска током кретања нађе у положају који је на растојању b од почетног. 19. На диск масе m и полупречника R дејствује спрег константног интензитета и приказаног смера. Диск је постављен на хоризонталну храпаву раван. За центар диска је зглобно везан лаки крути штап CD чији је други крај везан за непокретни зид. Ако су познати статички и динамички коефицијент трења и d, одредити: а) Силу у штапу у случају да се диск не обрће око свог центра; б) Силу у штапу у случају да се диск обрће око свог центра. У том случају одредити закон промене угаоне брзине диска са временом. s 20 Хомогена крута греда (штап) AB масе m и дужине L је за непокретну подлогу везана зглобно у тачки D ( BD L/ 4 ). У приказаном равнотежном положају се одржава помоћу вертикалног лаког и крутог штапа ЕК. У тренутку када се штап уклони, греда започиње кретање. а) Одредити угаоно убрзање греде непосредно након уклањања штапа. Како угао α утиче на вредност тог убрзања? б) Одредити у том тренутку реакцију у зглобу D; в) Колика је кинетичка енергија греде када доспе у вертикални положај?
21 Хомогена крута греда (штап) AB масе m и дужине L је за непокретну подлогу везана зглобно у тачки D ( BD L/ 3). Штап започиње кретање из приказаног равнотежног положаја из стања мировања. Одредити брзину краја А у положају када штап са хоризонталним правцем образује угао од 30º. Одредити и компоненту реакције зглоба D у правцу осе штапа, у том положају. 22 Диск масе M и полупречника R је својим центром B везан зглобно за лаки штап BD. Лаки штап BD је такође зглобно везан крајем D за непокретну подлогу. По ободу диска је обмотано уже на чијем је другом крају окачен терет масе m. Осим тога, диск се ослања на глатку вертикалну раван, како је приказано на слици. Систем започиње кретање из стања мировања. Одредити убрзање терета a m 0 у почетном тренутку. Колико то убрзање износи уколико се занемари маса диска? 23 Диск масе m и полупречника R котрља се без клизања по хоризонталној конзоли која је уклештена за зид. На диск дејствује спрег константног интензитета M и приказаног смера. Одредити реакцију уклештења А (тј., одредити одговарајуће компоненте реакције уклештења) током кретања (у функцији од времена). Положај центра диска је дефинисан координатом x. У почетном тренутку је диск мировао, а почетна вредност x 0 b. координате x је била. 24 ЗАДАТАК Тешка греда масе m и дужине L је за подлогу везана лаким штапом ОА. Греда се у вертикалној равни креће транслаторно под дејством силе F чији је правац увек под углом од 60 у осносу на правац греде. Одредити колико износи убрзање центра масе греде у функцији од угла φ којег лаки штап (дужине l) образује са вертикалом. Интензитет силе F сматрати познатим. 25 ЗАДАТАК Штап AB масе m и дужине l се својим крајевима наслања на хоризоналну и
вертикалну раван, како је приказано на слици. Претпоставити да нема трења између крајева штапа и равни. На слици а) је приказан равнотежни положај. Одредити, у том положају деформацију опруге за коју је позната крутост која износи k. Слика б) приказује положај током кретања које се одвија под дејством константне силе F. Одредити промену кинетичке енергије штапа када се крај B помери за величину x. Колика је брзина центра масе штапа при проласку кроз тај положај?.