ПОГЛАВЉЕ V КАЛЕИДОСКОП ОВО је објашњење дискретних група изведених рефлексијама, укључујући као посебан случај симетријске групе правилних полиедара и

ПОГЛАВЉЕ V КАЛЕИДОСКОП ОВО је објашњење дискретних група изведених рефлексијама, укључујући као посебан случај симетријске групе правилних полиедара и правилних и квази правилних ханикомаба. Одговарајуће групе у вишим просторима биће установљене у поглављу XI. 5.. РЕФЛЕКСИЈЕ У ОДНОСУ НА ЈЕДНУ ИЛИ НА ДВЕ РАВНИ, ИЛИ ПРАВЕ, ИЛИ ТАЧКЕ. Кад се објект држи испред обичног огледала, онда се виде две ствари: објект и његова слика. И ако нас је Алиса одвела кроз огледало, ми ћемо још увек видети две исте ствари, слика слике је само оригинални објект. Другим речима, једна рефлексија изводи групу реда два, чији су операнди и. Не постоје други операнди, па како је 5. и због тога.уместо равног одраза у простору, ми можемо исто тако употребити одраз од праве у равни, или одраз од тачке на правој. Тачка дели праву на две полуправе или зрака, и служи као огледало да рефлектује један зрак на други. Али кад се објект држи између два паралелна огледала, онда не постоји теоретско ограничење броја слика; јер постоји слика слике, ад инфинитум (до у бесконачност). Сама огледала имају бесконачно много слика; виртуелна огледала која се појављују изгледају као стварна огледала. Другим речима, две паралелне рефлексије и, изводе бесконачну групу чији су операнди,,,,,,,.... Као апстрактна група, ова се зове "слободни производ" реда два; она има изведене релације,, или, кратко 5.. Можемо исто тако сматрати ове као рефлексије у односу на две паралелне праве равни, или у односу на две тачке на правој. Две тачке и њихове слике (виртуелна огледала) деле праву на бесконачно много једнаких дужи, које могу бити придружене операндима групе, на следећи начин. Дуж ограничена са две задате тачке (тј., област могућих објеката) је придружена идентичном операнду,; и свака друга од дужи је придружена оном операнду који трансформише дуж у ту дуж. (Видети Сл. 5. А.) Нека се било која тачка и све њене слике (или трансформати) зове скуп еквивалентних тачака. Тада је свака тачка на правој еквивалентна некој тачки на дужи (укључујући и њене крајње тачке), али две различите тачке дужи нису еквивалентне једна другој. Према томе, дуж је основна(фундаментална) област за групу изведену са и. (Видети страну 5, тј..) Слично, група изведена само са има полуправу за своју основну област, и две комплементарне полуправе су придружене двама операндима и.

66 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ 5 ] Два огледала која се секу чине прост калеидоскоп. Ово може бити врло лако направљено спајањем два квадратна, уоквирена огледала комадом лепљиве траке, тако да углови између њих могу да се мењају по вољи, и поставити их усправно на сто (са лепљеном ивицом вертикално). Узимајући Сл. 5. А пресек са равни нормалном на оба огледала (или посматрајући само горњу површ стола), ми сводимо калеидоскоп на његов дводимензионални облик, где рефлектујемо у односу на две пресечне праве. Како су слике било које тачке (осим тачке где се праве секу) распоређене около по кругу, то је онда група дискретна* само ако је угао између огледала пропорционалан са. Биће довољно да се размотре фактори од (прим прев.у ствари од 80 0 ); јер ако је угао од p, где су и p узајамно прости, ми можемо наћи умножак p који се разликује од p цели број пута, и према томе је виртуелно огледало нагнуто за према једном од задатих огледала. (Видети p 3. 5.) Ово може бити уочено и из чињенице да реална и виртуелна огледала чине скуп правих које се секу и који је симетричан рефлексијом у односу на сва-ку праву (из скупа), тако да углови између суседних правих морају бити је-днаки. Према томе, ми постављамо објект између два огледала нагнута међусобно за p, и посматрамо p слика (укључујући и објект), по једна у свакој угаоној области формираних реалним и виртуелним огледалима. (Случај кад је p 3 приказан је на Сл. 5. Б ) Овде је група реда p, и њена осно- вна област је угаона област величине одређена са две полуправе које p представљају огледала. Сваки операнд има два упоредна изражавања (на пример, и за операнде који нису означени на Сл. 5. Б ) према томе који смо генератор први употребили. Јер су ови изрази једнаки на основу изведених релација 5. p 3. Сматраћемо погодним да употребимо симбол p за означавање ове групе реда p изведене са две рефлексије, или одговарајућу апстрактну групу. Ово обележавање је довољно прилагодљиво да сугерише симболе и * Каже се да је геометријска група дискретна ако свака задата тачка има околину која не садржи ниједну другу тачку еквивалентну задатој тачки. У ствари, ми видимо само коначан број равномерних слика кад је угао у пропорционалности са ; ово је због тога што смо желели " слободну шетњу " да бисмо посматрали све слике које се теоретски јављају.

5 ] ДИЕДАРСКИ КАЛЕИДОСКОП 67 за одговарајуће групе 5. и 5.. (Релације 5. 3 за p подразумевају,и тако своде на ; али релација мора бити схваћена само тако да елемент није периодичан.) Сл.5. Б Сл. 5. Ц p се најјасније види кад узмемо пресек огледала са кругом чији је центар пресечна тачка огледала, и посматрамо ове као рефлексије у односу на тачке овог круга. Тада је основна област лук, као на Сл. 5. Ц. Слике једне од рефлектованих тачака (или једног краја лука) су темена правилног полигона p. (На Сл. 5. Ц, ово је троугао.) Свакако, p је потпуна симетријска група од p, тј.p је диедарска група реда, као она дефинисана на страни 39 и 0. Њена циклична подгрупа реда p је изведена ротацијом. Начин на који произилази као гранични случај од Кад је p релација 5. 3 се може изразити као,, Дакле, је директан производ две групе реда два (изведене редом рефлексијама, које су сад комутативне). Одговарајућа симболика је. 5. 5.. РЕФЛЕКСИЈЕ У ОДНОСУ НА ТРИ ИЛИ ЧЕТИРИ ПРАВЕ. Група изведена рефлексијама у односу на било који број правих једнака је потпуно изведеним рефлексијама у односу на ове праве и у односу на све њихове слике (виртуелна огледала).ако је група дискретна, тада читав скуп правих остварује партицију (разбијање) равни на коначан или бесконачан број подударних конвексних области, а група је изведена рефлексијама у односу на граничне праве сваке поједине области. Читалац ће вероватно желети да прихвати исказ која је од ових основна област,посебно ако је гледао на три или четири стварна огледала постављених вертикално на сто, са свећом као објектом. Очигледно је свака тачка равни еквивалентна некој тачки у почетној области, али није јасно да две различите тачке ове области не могу бити еквивалентне. (У елиптичкој равни, две такве тачке могу бити еквивалентне.) Ипак, ми ћемо потпун доказ одложити до 5. 3, где разматрамо општу теорију у три димензије, из које 3

68 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ 5 ] ова дводимензионална теорија може бити изведена као посебан случај. 0 Унутрашњи углови области морају бити фактори од 80, другим речима то ће бити потподела виртуелним огледалима. Дакле, могући углови 0 0 су 90, 60,..., ниједан од њих није туп. Ова примедба олакшава 3 стварно пребројавање случајева. Ово не узима у обзир могућност да област може имати више од четири странице. Троугаона област са угловима p, q, r задовољава. 3, па ( p q r ) мо- ра бити (3 3 3) или ( ) или ( 3 6) (или пермутација ових бројева). Према томе, имамо једнакостранични троугао, једнакокрако правоугли троугао, и један који је пола од једнакостраничног троугла (видети Сл. 5. А ). Одговарајуће групе су редом означене са 5.,,, 3,6. Последње две су потпуне симетријске групе правилних теселација (видети Сл.. 5 А ). Друге могуће области су: полураван, угао, трака (пруга), полутрака, и правоугаоник. Одговарајуће групе су., p,,, 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3, 3,6 Сл. 5. А

5 3] ПРИЗМАТИЧНИ КАЛЕИДОСКОП 69 Последње три групе се јављају кад имамо огледала на два зида обичне собе, или на три зида, или на сва четири. 5. 3. ОСНОВНА ОБЛАСТ И ИЗВЕДЕНЕ РЕЛАЦИЈЕ.Група изведена рефлексијама у односу на било који број равни једнака је изворно изведеним рефлексијама у односу на ове равни и све њихове слике. Ако је група дискретна, читав скуп равни остварује партицију простора на коначан или бесконачан број подударних конвексних области, а група је изведена рефлексијама у односу на граничне равни било које области. Нека су ове граничне равни или зидови означени са w, w,..., и нека означава рефлексије у односу на w. Угао диедра између два суседна зида, w и где је p p цели број већи од. Случај кад су w и може бити укључен допуштењем да p буду бесконачни. Рефлексије које се изводе очигледно задовољавају релације 5. 3 p,. где је период од посебно одређен за сваку ивицу области. w, је, p w паралелне равни Настојимо да докажемо да је област ограничена w овима основна област за групу, и да су релације 5. 3 довољне за апстрактну дефиницију. (Ово значи да је свака исправна релација изведена овима алгебарска последица ових једноставних релација.) Области могу бити назване по операндима групе, као у 5.. Другим речима, ако је оригинална област о, онда се изведена област о Ѕ може кратко назвати "област Ѕ". Наша једина недоумица је да ли се можда област Ѕ подудара са облашћу S за два различита операнда S и S. Правило за узастопно именовање различитих области је следеће: ми пролазимо кроз -ти зид области Ѕ у област S. Ово је правило оправдано чињеницом да Ѕ трансформише области и, са њиховим заједничким зидом, у области Ѕ и S, са њиховим заједничким зидом w.(другим речима, Ѕ трансформише о и o, са њиховим заједничким зидом w, у о Ѕ S и o са S њиховим заједничким зидом w. Рефлексија у односу на последњи зид је S S, која трансформише o S S S у o o.) На пример, ми достижемо област од области у три фазе: пролазимо кроз трећи зид области у 3 област 3, затим кроз други зид последње ( 3 ) у област 3, и коначно кроз први зид ове ( 3 ) у област 3. Дакле, различита имена за задату област су дата по различитим стазама ка њој од области. (Под стазом подразумевамо непрекидну криву која не садржи заједничке тачке ивица.) Две такве стазе ка истој области могу се комбиновати да се добије затворена стаза, која добија ново име, рецимо a b... k, S 5

70 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ 5 ] за област посебно. Ако можемо доказати да релације 5. 3 повлаче a b... k, то ће онда следити да је именовање области суштински јединствено, да је основна област, и да су релације 5. 3 су довољне. За ову намеру, размотримо шта се догађа у изразу a b... k кад се затворена стаза постепено сужава (слично еластичној траци) док не достигне да лежи читава у области. Кад год стаза изађе из једне области у другу и одмах се врати, ово скретање може бити уклоњено избацивањем поновљеног, у сагласности са. Једина друга врста промене која се може јавити у току повратног процеса је кад стаза тренутно прелази ивицу (заједничку за p области). Ово ће заменити... са... (или обрну- то) на основу релације p. Стезање стазе, дакле, одговара алгебарском свођењу израза a b... k посредством релација 5. 3. Могућност стезања стазе право доле према тачки (или према малом кружном путу унутар области ) је последица тополошке чињенице да је Еуклидов простор просто повезан. Па, онда следи да је a b... k, као што се и желело. Узгредно, свака рефлексија која се јавља у групи је коњугована једној изводној рефлексији. Јер, ако је то рефлексија у односу на ти зид области Ѕ, онда је она изражена као. S 5.. РЕФЛЕКСИЈЕ У ОДНОСУ НА ТРИ РАВНИ КОЈЕ СЕ СЕКУ. Ако су све равни рефлексије, чији је број произвољан, нормалне на једну раван, ми можемо узети њихов пресек са том равни, и извести теорију рефлексија у односу на праве равни ( 5. ). Слично, ако све равни рефлексије пролазе кроз једну тачку, ми можемо узети њихов пресек са сфером којој је центар у тој тачки, и извести теорију рефлексија у односу на велике кругове сфере. Основна област је сада сферни полигон (уместо рогља).као тривијалне случајеве морамо допустити полусферу (кад је група ) и месец (кад је она p ). У свим осталим случајевима основна област је сферни троугао. Јер, како је збир углова сферног n гона већи него код равног n гона, тј. n, онда бар један мора бити већи од n ; тако да за n бар n један угао мора бити туп. Пребројавање група изведених рефлексијама у односу на равни које се секу се, дакле, своди на пребројавање сферних троуглова са угловима p,,. Решавајући. 3, налазимо да су могуће вредности за ( p q r ) q r ( p ), ( 3 3), ( 3 ), ( 3 5). (Последња три су илустрована на Сл.. 5 А ) Групе су редом означене са 5. p,, 3,3, 3,, 3,5; јер, као што ћемо ускоро видети, њихове су потпуне симетријске групе ди- 6

5 ] ТРИЕДАРСКИ КАЛЕИДОСКОП 7 едра, тетраедра, октаедра (или коцке), и икосаедра (или додекаедра). Да би се разликовале од ротацијских група, оне се зову проширене полиедарске групе.* Основна област за p, је ограничена са два меридијана и екватором. Дакле, њен калеидоскоп чине два (спојена шаркама) вертикална огледала постављена на хоризонтално огледало.како су прве две рефлексије комутаса трећом, то је онда ова група директан производ: 5. p, p. Веза са диедром објашњена је на стр. 39 и 0 (овог превода). Комбиновањем 5. са 5., имамо,. Ова је група изведена са три узајамно комутативне рефлексије (тј. са три нормална огледала). Основна област за p, q(која је иста као и за q, p) је троугао са угловима,,, чија је површина (ако је нацртан на сфери јединичног полупре- p q чника). p q p q Ред од p, q је број таквих троуглова који ће потпуно покрити сферу (површине ), тј. 5. 8 pq 3 g. p q p q Према. 7, ово је четвороструки број ивица одp, q.у ствари, велики кругови који чине овај троугао су управо осе симетрије сферне теселације разматране у 5. Дакле, сви операнди од p, q су симетријски операнди од p, q;а како је њен ред два пута већи од ротацијске групе ( 3 5 ),то је онда p, q потпуна симетријска група од p, q. Сваки од три "триедарска калеидоскопа" сачињен је од три огледала (боље од углачаног метала) одсечених у облику кружног исечка (дужине полупречника како је погодно, рецимо стопе). Углови ових исечака су, свакако,,,. (Видети табелу I на крају књиге.) Криве ивице огледала чине троугао Р 0 Р Р из формула. 5, које дају повод сферној теселацији као на Сл.. 5 А. Објект постављен у темену Р 0 (где се састају q троуглова) има слике у свим тачкама 0, тј. теменима од p, q. Слично, објект у Р p или Р (где се састају или p троуглова) има слике у теменима од или q, p, редом. q 7

7 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ 5 5] Кад је p, q коцка, тако да је угао код Р, троугао Р0 Р Р може бити спојен са својом сликом у односу на Р Р да се добије правоугли троугао Р 0 Р 0` Р (Сл. 5. А ) који је основна област за 3,3. Рефлексије у односу на Р Р Р 0 3 3 Р 0` Р Р 0 Р Р 0` 3 6 6 3 Сл.5. А Сл.5. Б странице овог већег троугла трансформишу Р 0 и Р 0` у темена два реципрочна тетраедра.према томе,стела октангула настаје из чињенице да је основна област за 3, једна половина области за 3,3, која показује да група 3, садржи3,3 као подгрупу индекса два. Слично, бесконачна група 3,6 садржи као подгрупу индекса два. (Видети Слике. А и 5. Б.) 5. 5. РЕФЛЕКСИЈЕ У ОДНОСУ НА ЧЕТИРИ, ПЕТ, ИЛИ ШЕСТ РАВНИ. Употпунили смо пребројавање група изведених једном, две, или три рефлексије. Групе изведене са четири или више рефлексија биће разматране много моћнијим методама у поглављу XI. Тада ће се видети да је следећи списак исцрпљен. Можемо узети једно хоризонтално огледало са три или четири вертикална огледала постављена на то. Тада је основна област бесконачно висока призма, а групе су директни производи,,, 3,6,. (Последња се група јавља кад имамо огледала на сва четири зида собе, и на таваници исто тако.) Или, можемо узети два хоризонтална огледала (горње рефлектујућом страном наниже) са два или три или четири вертикална огледала између њих. Тада је основна област бесконачни клин, или тространа призма од три могућа случаја, или правоугли паралелопипед, а одговарајуће групе су директни производи p,,,, 3,6,. Кад је p, први од ових се разлаже на. Коначно, можемо да рефлектујемо у односу на све четири стране тетраедра (доказано је да су шест углова диедара фактори од 80 ). Основна 0 област може бити четворострано правоугли тетраедар 03 из. 7, или 8

5 6 ] ТЕТРАЕДАРСКИ КАЛЕИДОСКОП 73 тространо правоугли тетраедар 003, или тетрагонални дисфеноид 0033; а групе су обележене са 5. 3 5,3,, 3,,. 3 Прве две од ових су потпуне симетријске групе ханикомаба,3, и 3, Друга садржи трећу као подгрупу индекса два, а она сама је подгрупа индекса два у првој. 5. 6. ПРЕДСТАВЉАЊЕ ГРАФОВИМА. Различите могућности основних области врло погодно су класификоване према њиховим везама са неизбежним графовима (видети. ). Чворови графа представљају зидове основне области (или огледала калеидоскопа, или рефлексије које се изводе), а два чвора су спојена граном кад год одговарајући зидови (или огледала) нису нормална. Осим тога, ми означавамо гране бројевима p да укажемо на углове ( p 3 ). Због њеног честог појављивања, ознака 3 ће p обично бити изостављена (а лево ће бити подразумевано). Дакле, основна област за p је означена са или или или p према p или или 3 или више (укључујући p ). Случај кад је p (видети 5. ) илуструје чињеницу да је група директан производ једноставнијих група кад год је граф неповезан. Други примери неповезаних графова,, p,, представљају полутраку, правоугаоник, бесконачни клин, бесконачно високу правоугаону призму, и правоугли паралелопипед, који су основне области за,, p,,. Читалац може лако да нацрта графове за друге призматичне области у изразима графова 5. 6 5 који представљају равне троуглове који су основне области за бесконачне групе 5.. Слично, сферни троуглови који одговарају коначним групама 5. представљени су са 9

p 5 и тетраедри који одговарају бесконачној групи 5. 5 представљени су са 7 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ 5 6 ] 5. 6 Погодност оваквог представљања види се у следећој теореми: 5. 63. У случају повезаног графа без иједне парне ознаке (на пр. ако гране нису означене), све рефлексије у групи су коњуговане једна другој. Доказ ове теореме, нека су и две рефлексије представљене чворовима који завршавају грану са p m (на пр. грана је неозначена ако је m m ). Како је, имамо m m m. Дакле, и су коњуговани. Али је релација "коњугованости" транзитивна, па исти закључак важи и ако су ти и ти чвор повезани ланцем било којег броја таквих грана. У случају повезаног графа без иједне парне ознаке, ово значи да су све рефлексије које се изводе коњуговане. Дакле, примедбом на крају 5 3, све рефлексије су коњуговане. На пример, петнаест рефлексија у 3,5 су све коњуговане. Још општије, 5. 6. Ако уклонимо сваку грану која има парну ознаку (оствљајући њена два крајња чвора нетакнута), резултујући граф се састоји од броја комада једнаког броју класа коњугованих рефлексија у групи. Доказ ове теореме, размотримо геометријски шта се дешава кад су два генератора и коњуговани. То значи да се ти зид једне области поклапа тим зидом друге, тј. да та страна претходног лежи у истој равни као та страна следећег. Ове две стране могу бити повезане низом узастопних суседних страна у истој равни. Ако су такве две суседне стране a та једне области и b та друге, тада период производа a b мора бити непаран. (Јер, ако је a b две стране припадају "прамену" страна, p ab сваког типа, зракасто од њихове заједничке странице. Ако је a b, производ је идентитет, и две стране, за представљени циљ, могу бити схваћене као једна.) Такав низ страна одговара ланцу непарно означених (или неозначених) грана које повезују ти и ти чвор. Па следи да, ако су два чвора неповезана после одстрањивања свих парно означених грана, тада одговарајуће рефлексије не могу бити коњуговане. Дакле, 5. 6 је доказана. Овде смо употребили језик три димензије. За дводимензионални случај треба само заменити речи "страна" и "раван" са "страница" и "права". Већ смо запазили, у. 5, да равна или сферна теселација p, qима осе симетрије типова или или 3 према томе колико симбол p, qсадржи 0 или или као парних бројева. Други пример,,3, има равни симетрије од три 0

типа (видети стр. 6) зато што је граф подељен на три дела уклањањем две гране означене са. 5 7 ] ВАЈТХОФОВА КОНСТРУКЦИЈА 75 5. 7. ВАЈТХОФОВА КОНСТРУКЦИЈА. У графу p q за правоугли троугао, три чвора представљају три странице; прва и друга заклапају, а друга и трећа, док су прва и трећа (неће бити спојене граном) норp q малне. Ови чворови могу се исто тако посматрати као представници наспрамних темена: једног где је угао q, једног где је угао, а једног где је угао p. Цртањем прстена око једног чвора, добијамо погодан симбол за теселацију или полиедар чија су темена све слике одговарајућих темена основне области, тј. све тачке 0 или или на Сл.. 5 А. Ови модификовани графови p q p q p q који се исто тако могу нацртати као p p q q p q представљају редом теселације (или полиедре) p p, q,, q, p. q У ствари Шлефлијеви симболи могу бити посматрани као скраћенице за модификоване графове. Слично, је упоредни симбол за 3,6, p представља полигон p, и је одговарајућа једнодимензионална фигура дуж. На сваком графу 5. 6, четири чвора првобитно представљају четири стране тетраедра, али исто тако могу бити схваћени као представници наспрамних темена редом, наиме (у обележавању са. 7 А ) 0 3 0 0 0 3 3 3 0 Цртањем прстена око једног чвора, добијамо симбол за ханикомб чија су темена све слике одговарајућих темена основне области. Дакле, модификовани графови

или или 76 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ 5 6 ] представљају правилан ханикомб,3, ; слично или или представљају полуправилан ханикомб 3,, а 3 или или 3 представља квази правилан ханикомб 3,. У ствари симболи 3 3, могу бити схваћени као скраћеница за ова два графа, наиме 3, и 3 и Важно је приметити да графови за полиедре и ханикомбе аутоматски садрже графове за различите стране и ћелије. 5. 8. ПАПУСОВО РАЗМАТРАЊЕ ОДГОВАРАЈУЋИХ РЕЦИПРОЧНИХ ПРАВИЛНИХ ПОЛИЕДАРА. У четвртом веку после Христа, Папус је приметио да и икосаедар и додекаедар могу бити уписани у исту сферу на такав начин да дванаест темена првог леже по три на четири паралелна круга, док двадесет темена другог леже по пет на иста четири круга. Каква је општа теорија која подржава ово разматрање? У триедарском калеидоскопу који илуструје група p, q реда g (видети 5. 3), сваки објект издаће g слика, укључујући и сам објект. Кад је објект, који узимамо тачка, покренут према темену Р 0 или Р или Р основне области (или према правој међусобног пресека два од три огледала), слике се приближавају једна другој у скуповима од q или или p, око свих тачака 0 или или. Ово јасно показује да су бројеви елемената од p, q 5. g 8 N 0 q, g g N, N p (видети. 7). За сваку дискретну групу изометријских трансформација, и сваке две тачке P и Q, можемо доказати да су растојања од P до свих слика тачке Q једнака ( у неком редоследу) растојањима од Q до свих слика тачке P. У ствари, ако је Ѕ било која изометријска трансформација, пар тачака P, Q Ѕ је подударан пару тачака Р Ѕ, Q,од којег он може бити изведен применом Ѕ.

Допуштајући да Ѕ означава било који операнд у реду, уочавамо да су сви различити положаји од Q Ѕ слике тачке Q, док су сви различити положаји 5 8 ] РЕЦИПРОЧНИ ПОЛИЕДРИ 77 од Р Ѕ слике тачке Р. Посебно, ако је група p, q, а P, Q су Р, Р 0, тада се слике од Q у скуповима од q p, q, док се оне од Р поклапају у поклапају са теменима од p са теменима од p скуповима од q, ; и ми изводимо да се расподела темена од p, qпрема њиховим растојањима од једног темена реципрочног q, pслаже са расподелом темена од q, pпрема њиховим растојањима од једног темена њему реципрочног p, q. Другим речима, ако распоредимо темена од p, qна кругове, према њиховим различитим растојањима од центра једне стране, и тада то исто учинимо за q, p, наћи ћемо да су два система кругова слични, и да су бројеви темена која леже на одговарајућим круговима пропорционални (у односу p : q ). На пример, дванаест темена од 3,5 леже по три на четири круга у паралелним равнима, а двадесет темена од 5,3 леже по пет на четири круга у паралелним равнима; ове се равни могу узети тако да буду исте четири равни, ако су положај и величина два полиедра подешени да равни две наспрамне стране буду исте за оба. (Ово је случај где се два полиедра реципрочних врста разматрају заједно без постављања у њихов уобичајени реципрочни положај.) Одговарајући резултат за 3, и,3, где две наспрамне стране садрже сва темена, је непосредна последица чињенице да два реципрочна полиедра који имају исте полупречнике описаних сфера такође имају и исте полупречнике уписаних сфера (видети. ). Случај од 3,6 и 6,3, где темена распоређујемо на концентричне кругове, је још једноставнији, јер ове две теселације могу бити постављене тако да су темена прве наизменична темена друге (видети Сл.. Д ). Компликованији резултати исте природе се добијају узимањем да Р буде Р, док је Q још увек Р 0. Тада упоређујемо распоред темена од p, q, према њиховим различитим растојањима од средишта једне ивице, са распоредом темена од према њиховим различитим растојањима од це- p q нтра од q ; на пример, темена додекаедра, распоређених у скуповима ++++++, могу да леже на истих седам равни као темена икосаедра, распоређених у скуповима 3+6+3+6+3+6+3. Опет, можемо применити исту теорију на групу,3,, узимајући да Q буде теме од,3,, док је Р (рецимо) центар квадратне стране. Тада налазимо да темена од,3, распоређена у скуповима +8+8+6++8++... 3

78 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ 5 9] могу да леже на истом бесконачном низу концентричних сфера као темена 3, од, распоређених у скуповима 3 +++8+36++7+... M Q M Q N L L 3 P N K K 3 P O O, 3,5 Сл. 5. 9 А 5. 9. ПИТРИЈЕВ ПОЛИГОН И ЦЕНТРАЛНА СИМЕТРИЈА. Нека,, 3 означавају редом рефлексије у односу на странице P P, P P0, P 0P основне области за групу p, q, где су p и q већи од. (Било би можда природније да се означе са 0,,.) Да би се избегли збуњујући индекси, нека P0 и P буду преименовани у O и N. Група трансформише ове тачке у следеће тачке K, L, M, P, Q, као на Сл. 5. 9 А. У ствари рефлектује О у М, ротира MN на KL, а 3 ротира MN на QP. Сада је, KMOQ део Питријевог полигона за p, q (видети 6), а LNP део одговарајућег екваторијалног полигона за. Операнд p 3 трансформише KLMNO у q MNOPQ; тј. ово нам узима један корак Питријевог полигона, и један корак екваторијалног полигона. Овај корак се састоји од транслације или ротације која трансформише LN у NP, комбиноване са рефлексијом у односу на LNP. (Ово се слаже са 3. 3, где смо видели да је производ три рефлексије или клизајућа рефлексија или ротацијска рефлексија.) Како је екваторијални полигон h гон (видети. 33), то је онда операнд 3 периода h. Из. 3 и 5. 8, видимо да је овај период повезан са редом групе једноставним формулама 5. 9 g hh, g h, h g. Како је g увек паран, то је такав и h.

Кад је p, q коначна, 3 је ротацијска рефлексија која укључује ротацију за ; због тога је h 3 полуобртај или централна инверзија h 5 8 ] ЦЕНТРАЛНА ИНВЕРЗИЈА 79 према томе да ли је h паран или непаран број. У претходном случају група није могла да садржи централну инверзију ако не садржи и рефлексију у односу на LNP; а ова могућност је искључена нашом претпоставком да су p и q већи од. Дакле, централна инверзија припада групи p, q p, q ако и само ако је h непаран број, то се тада изражава као h 3. Први део ове теореме обезбеђује аритметичко објашњење за чињеницу да је 3,3 једино од Платонових тела чија се темена не јављају у дијаметрално супротним паровима. Имајући на уму разматрану везу између Питријевих полигона за p, q и операнда 3 од p, q, ми се природно питамо какав је тип просторног полигона аналогно изведен операндом 3 од,3,.како је 3 завојно кретање, ово ће сигурно бити хеликоидни полигон (видети стр. 39). Ако су његове странице ивице од,3,, ми ћемо то управо дотаћи у називу уопштени Питријев полигон за такав правилни ханикомб. Размотримо хеликоидни полигон KLMNOP... (Сл. 5. 9 Б ) који је дефинисан својством да сваке три његове узастопне странице, али не и четири, припадају Питријевом полигону ћелије(тј. коцке).ово ће послужити нашем циљу, ако дефинишемо уопштену рефлексију на следећи начин: је рефлексија у односу на нормалну располовну раван (симетралну раван) од NO, a, 3, рефлексије у односу на равни LMO, LNO, MNO редом. L L P L O N L 5

P P Сл. 5. 9 Б 80 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ 5 x ] Јер, ове четири равни одређују четворострано правоугли тетраедар, па имамо 3 L =M=M, M =N=N 3, N 3 =O=O, одакле следи да 3 трансформише L у M, M у N, N у O. 5. х. ИСТОРИЈСКИ ОСВРТ. Општу теорију геометријских група и њихових основних области развијали су Шварц (), Клајн, Дик (), и Поенкаре. Довољност апстрактне дефиниције 5. 3 установио је Вит (, стр.9). Триедарски калеидоскоп( 5 ), који приказује слике тачке групом изведеном рефлексијама, дао је Мебијус.* Као начин конструисања правилних и полуправилних фигура, његов значај се још јасније види у његовом проширењу на четири димензије, који је разматрао Вајтхоф. + Главна новина представљеног поступка је употреба графова ( 5. 6, 5. 7). Вит и Дајнкин их такође користе; у ствари, они се понекад зову "Дајнкинови симболи"! У 5. 8 смо видели зашто се и икосаедар и додекаедар могу уписати у исти скуп малих кругова сфере. Ову чињеницу разматрао је Папус из Александрије (Књига III, стране 5-58); она се појавила сасвим случајно док је Вајтхофова конструкција открила њен скривени значај. Ј. А. Тод (, стране 6-3) је одредио период производа свих генератора сваке коначне групе изведене рефлексијама. Њена повезаност са Питријевим полигонима и последичне формуле 5. 9 су вероватно нове. * Мебијус, стр. 37; 3, стр. 66, 677, 69 (Слике 7, 5, 5). Видети такође Хес 3 (стр. 36-365) и 5; Клајн, стр.; Коксетер 3, стр. 390. Оригинални "Калеидоскоп" пронашао је Сер Дејвид Брувстер око 86 год., и он је овде представљен графом који садржи два чвора повезана једном неозначеном граном. + Вајтхоф ; Робинсон ; Коксетер 7. ++ Хит, стр. 368-369; Бол, стр. 33; Коксетер 3, стр. 399. 6

7