Аутоматско претварање троугаоних површинских модела у четвороугаоне површинске моделе, погодне за електромагнетску анализу Automatic conversion of tri

Транскрипт

1 Аутоматско претварање троугаоних површинских модела у четвороугаоне површинске моделе, погодне за електромагнетску анализу Automatic converion of triangular urface model into quadrilateral urface model, uitable for electromagnetic analyi Миодраг Тасић, Бранко Колунџија Електротехнички факултет у Београду Садржај Површински модели за електромагнетску анализу обично су сачињени од градивних елемената истог типа, најчешће троугаоних или четвороугаоних плочица. У општем случају, структуру је једноставније описати троугаоним моделом, док је електромагнетска анализа ефикаснија за четвороугаоне моделе. У овом раду приказан је поступак за аутоматско претварање троугаоних површинских модела у површинске моделе сачињене од четвороугаоних билинеарних површи. Abtract Surface model for electromagnetic analyi are uually made of the building element of the ame tye motly triangular or quadrilateral atche. Generally, it i eaier to decribe the tructure uing triangular model, wherea electromagnetic analyi i more efficient with quadrilateral model. In thi aer we reent the rocedure for automatic converion of triangular model into model made of quadrilateral bilinear urface. 1. Увод При електромагнетској анализи заснованој на решавању површинских интегралних једначина електромагнетског поља методом момената, геометријско моделовање обично се изводи градивним елементима истог типа, најчешће троугаоним или четвороугаоним површинским елементима ( плочицама) [1]. При моделовању закривљених површи ( какве поседује већина реалних структура) троугаоне плочице омогућавају знатно већу флексибилност од четвороугаоних. Стога су алати за моделовање коришћењем троуглова знатно заступљенији, а неки од тих алата су бесплатни [2]. С друге стране, поменута електромагнетска анализа може се, под одређеним условима, рачунарски ефикасније применити на четвороугаоне површинске елементе (него на троугаоне), тј. омогућава краће време решавања и мање меморијско заузеће [1]. Услов је да се користе електрички довољно велике четвороугаоне плочице другим речима, потребно је да модел садржи што је могуће мањи број (великих) плочица. Једно такво решење имплементирано је у софтверу за електромагнетско моделовање и анализу WIPL-D [3]. Корисници ове врсте софтвера често имају потребу да увезу модел израђен у неком другом софтверу, а који је представљен преко троугаоних површинских елемената. Тада је потребно аутоматски претварити троугаони површински модел у одговарајући четвороугаони. Ми ћемо у наставку приказати један могући начин за аутоматско претварање троугаоног модела у модел сачињен од билинеарних четвороугаоних површи, које се користе у софтверу WIPL-D. Поступак се састоји у погодном спајању парова троуглова у четвороуглове, формирању полигоналног модела сачињеног од тако добијених четвороуглова и неспојених троуглова и сегментацији тог полигоналног модела у четвороугаони. Сегментација полигоналног модела заснива се на поступку описаном у [4]. Поступак за претварање троугаоног модела у четвороугаони, сличан овом, раније је приказан у [5]. Он је такође заснован на спајању троуглова у четвороуглове, али нема завршни корак са полигоналном сегментацијом. Уместо тога, неспојене троуглове дели на четвороуглове уношењем малог отвора у њихову површ, што је известан недостатак. 2. Претварање троугаоног модела у одговарајући четвороугаони модел Полазимо од тзв. повезаног троугаоног модела, код којег се површ моделује мрежом уклопљених троуглова троуглови се не преклапају и спојени су искључиво преко заједничких страница. (Троуглове са заједничким страницама зваћемо суседним.) Један такав троугаони модел, израђен у алату [2] и преузет са интернета, приказан је на сликама 1а (поглед с лица) и 1б (поглед с леђа). Реч је о фигури жене, сачињеној од 2228 троуглова. Циљ је добијање повезаног четвороугаоног модела. Као четвороугаоне површинске елементе користићемо билинеарне површи, које су у општем случају описане параметарском једначином 206

2 1 r(, ) 4 2 i 1 2 j 1 r ij [1 ( 1) ][1 ( 1) ]. (1) 1, 1 У претходном изразу вектори r 11, r 12, r21 и r 22 су положаји чворова четвороугла у глобалном (Декартовом) координатном систему, као на слици 2. Тачке билинеарне површи добијају се интерполацијом између чворова, према изразу (1). Поступак претварања троугаоног модела у четвороугаони укључује следеће кораке: 1) спајање одређеног броја суседних троуглова у четвороуглове, 2) формирање полигоналне структуре од новонасталих четвороуглова и преосталих (у четвороуглове неспојених) троуглова. 3) корекција свих полигона полигоналне структуре чије су контуре са непарним бројем страница, 4) пројекција сваког полигона у 2D, његова сегментација и повратна пројекција у 3D. i j где је почетка, rc вектор положаја локалног координантог r r и су вектори положаја средишњих тачака страница четвороугла у односу на локални координатни систем, а r вектори помераја чворова четвороугла у односу на положај који би имали у случају паралелограма, као на слици 2. Ако је четвороугао раван, r се може разложити на компоненте у правцима вектора где су r r r, r r r и r r r (3) r r. (4) r r Основни фактор квалитета облика дефинишемо као 1 Q O. (5) 1 Ова дефиниција додељује максималан фактор квалитета, 1, паралелограмима, позитивне вредности конвексним четвороугловима, вредност 0 четвороугловима чији је један угао 180 и негативне вредности конкавним четвороугловима. Слика 1. Троугаони површински модел женске фигуре, са 2228 троуглова, а) поглед с лица и б) поглед с леђа Корак 1. Спајање два суседна троугла у четвороугао обавља се уклањањем заједничке странице. При томе, две су нам ствари важне: да не нарушимо превише оригинални облик (описан троугловима) и да новонастали четвороугао (билинеарна површ) буде погодног облика за електромагнетску анализу. Да бисмо увели фактор квалитета облика, параметарску једначину билинеарног четвороугла исказаћемо у облику Слика 2. Билинеарна површ Ако троуглови нису копланарни, њиховим спајањем доћи ће до промене облика тог дела површи. Величина промене зависиће од угла између јединичних вектора нормалних на троуглове, n1 и n 2. Стога ћемо основни фактор квалитета облика, Q O, модификовати тако да у обзир узмемо и угао између троуглова n 4 1 n 2 QO Q. (6) r(, ) r r r r (2) c 207

3 Изразом (6) дат је фактор облика који ћемо користити као меру квалитета четвороугла (насталог спајањем два троугла). Спајање троуглова обавља се у итеративном поступку. У свакој итерацији тражимо троугао са најмање суседних троуглова са којима би се могао спојити, а са највећим фактором облика потенцијалног четвороугла (који мора бити већи од задатог граничног фактора облика, Q ). Поступак завршавамо када нема више троуглова који би могли бити спојени (било зато што смо већ спојили све њима суседне троуглове, било зато што не обезбеђују фактор облика већи од Q ). Четвороуглови које смо gr добили спајањем троуглова спремни су за електромагнетску анализу, али не и преостали неспојени троуглови њих некако треба претворити у четвороуглове. Један троугао се може поделити на једноставан начин: спајањем средишта сваке ивице троугла са његовим тежиштем, добијамо три четвороугла. Нажалост, тако смо убацили три нова чвора на ивице троугла (онај четврти, убачен у тежиште троугла, не представља сметњу) и тиме нарушили повезаност модела. Ако, пак, додамо те чворове и на ивице суседних четвороуглова (да бисмо очували повезаност модела), они ће формално престати да буду четвороуглови (тј. постаће петоуглови, шестоуглови, итд.). Ову потешкоћу превазићићемо модификацијом опште методе [4] за претварање полигоналног модела у четвороугаони. gr Корак 4. Свака полигонална линија се пројектује у 2D (ако је површ полигона дефинисана једним троуглом, у раван тог троугла; ако је површ полигона дефинисана са два троугла, у раван нормалну на збир њихових нормалних ортова), представља се мрежом четвороуглова на начин приказан у [4], затим се тако добијени четвороуглови пројектују назад у 3D (пројекцијом чворова у раван троугла под којим се чвор налази). На тај начин добијамо четвороугаони повезани модел. Коришћењем описаног поступка, троугаони модел са слике 1 претворен је у одговарајући четвороугаони модел, за две различите вредности граничног фактора облика: Qgr 0, 01 и Q gr 0, 2. Према [1], прва вредност је минимално прописана при електромагнетској анализи софтвером [3], док је друга довољна за задовољавајућу анализу. Полигоналне линије за ова два случаја приказане су на сликама 3а и 3б. На први поглед, не примећују се битне разлике. Корак 2. Под полигоном ћемо овде подразумевати затворену сегментну (полигоналну) линију у простору, која дефинише контуру полигона, и троугаоне елементе, који дефинишу површ елемента. За сваки новонастали четвороугао и сваки неспојени троугао формирамо по један полигон. Контурне линије ових полигона задате су ивицама троуглова и четвороуглова, док су површине тих полигона дефинисане троугловима: једним код троугаоног полигона и два код четвороугаоног полигона. Корак 3. Корекција полигоналних линија са непарним бројем страница (непарних полигона) одвија се на начин приказан у [4]. У принципу, најпре се коригују троуглови, додавањем по три чвора на ивице троугла (и на ивице свих суседних полигоналних линија, ради очувања повезаности). Затим се, за сваки преостали непарни полигон, тражи путања до другог непарног полигона, и убацује по један чвор на сваки полигон дуж те путање. На тај начин се непарним полигонима (првом и последњем полигону путање) додаје само по један чвор, чиме постају парни, док се свим осталим полигонима додају по два чвора, па остају парни. Резултат је повезани полигонални модел чији су сви полигони парни. Ово је значајно јер се тада сваки полигон може делити на четвороуглове независно наиме, непарни полигон не може се представити мрежом четвороуглова (без убацивања тачака на ивице полигона, што би нарушило повезаност модела).. Слика 3. Полигоналне линије добијене на основу облика а) 0,01 и б) 0,2 Те разлике долазе до изражаја код готових четвороугаоних модела, приказаних на сликама 4а и 4б (поглед с л еђа). У случају мање граничне вредности фактора облика (0,02), дозвољено је спајање троуглова чији нормални ортови заклапају прилично велике углове (теоријски, све до 71,5 ), што се очито одражава на облик модела са слике 4а (непосредно испод струка). С друге стране, модел са слике 4б сасвим добро прати облик оригиналног 208

4 троугаоног модела са слике 1б. На сликама 4а и 4б затамњени су троуглови који су на поделу прослеђени самостално, јер нису могли бити спојени са другим троугловима. Таквих је троуглова за модел са слике 4а било 88, а за модел са слике 4б чак 340 (јер је услов за спајање био строжији, оличен у знатно већем граничном фактору облика). Ти су троуглови били претежно на лицу фигуре, па се из ове визуре (с леђа) чини да их је знатно мање. Већи број неспојених троуглова природно резултује и већим бројем новоунетих чворова приликом корекције непарних полигона, па самим тим и већим бројем плочица у четвороугаоном моделу. Конкретно, за Q gr 0, 01 добијамо модел са 1940 четвороуглова, а за Q gr 0, 2 добијамо модел са 3199 четвороуглова. Ова разлика у броју четвороуглова приметна је ако се добијени четвороугаони модели погледају с лица, као на сликама 5а и 5б. Јасно се види знатно гушћа мрежа четвороуглова код модела са слике 5б (у пределу лица, рамена и груди). Као и при погледу с леђа, за мањи гранични фактор приметно је слабије праћење облика оригиналног троугаоног модела. доприносе укупном броју троуглова у моделу. Четвороугаони модел, добијен за Q gr 0, 1, приказан је на слици 7. Број четвороуглова у моделу је За разлику од модела фигуре жене, овде је код свих добијених модела тенка (за Q gr 0, 01 број четвороуглова је 11513, а за Qgr 0, 2 број четвороуглова је 14286) број четвороуглова мањи од броја троуглова у оригиналном моделу. Разлог је већи број равних или приближно равних површина, што резултује већим процентом иницијално спојених троуглова (за Qgr 0, 2 остало је неспојено 15,2 % троуглова у моделу фигуре жене, али само 6,6 % у моделу тенка). Преложени поступак погодан је за конверзију троугаоних модела који или немају много равних површи, или те равне површи моделују минимално потребним бројем троуглова. У противном, резултујући четвороугаони модел имао би непотребно велики број четвороуглова, што би значајно умањило ефикасност електромагнетске анализе. Слика 4. Четвороугаони модел добијен на основу облика а) 0,01 и б) 0,2 (поглед с леђа) На слици 6 приказан је троугаони модел тенка сачињен од троуглова. Модел је сачињен из неколико целина које међусобно нису повезане, али то не утиче на претварање овог модела у четвороугаони (повезаност је очувана на целинама које су повезане и у оригиналном моделу). Такође, у троугаоном моделу моделована је и дебљина појединих површи, на пример куполе. Стога је знатан број троуглова изнутра - не могу се видети, али Слика 5. Четвороугаони модел добијен на основу облика а) 0,01 и б) 0,2 (поглед с лица) 4. Закључак У овом раду приказано је аутоматско претварање троугаоних површинских модела у моделе сачињене од билинеарних четвороугаоних површи. Програмска имплементација поступка овде је примењена на два реална модела: женске фигуре и тенка. Поступак се може користи за увоз троугаоних модела у софтвер за електромагнетско моделовање и анализу WIPL-D. 209

5 Слика 6. Троугаони површински модел тенка, са троуглова Литература [1] Kolundzija, B. and Djordjevic, A., Electromagnetic modeling of comoite metallic and dielectric tructure, Norwood, USA: Artech Houe, [2] The Blender [Online], htt:// [3] WIPL-D Pro v10.0, 3D EM olver, htt:// Слика 7. Четвороугаони модел добијен на основу троугаоног модела са слике 6, са четвороугла [4] Taić, M., and Kolundžija, B., Efficient electromagnetic modeling baed on automated quadrilateral mehing of olygon, Elvier Science Proc., Eng. Analyi with Boundary Element 27, , [5] Kolundzija, B. M., Kotic, M. M., Mrdakovic, B. Lj., and Sumic, D. S., Efficient EM Modeling Baed on Converion of Triangular Meh into Quadrilateral Meh, Int. Conf. on Electromagnetic in Adv. Al. (ICEAA), Torino, Setember 14-18,