Title

UNIVERZITET U TUZLI PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Nermin Okičić Teorija skupova - Skripta - Tuzla, 2019.

Sadržaj 1 Relacije i funkcije 1 1.1 Relacije..................................... 1 1.1.1 Osobine relacija............................. 6 1.1.2 Predstavljanje relacija......................... 7 1.1.3 Relacija ekvivalencije.......................... 9 1.1.4 Relacija poretka............................ 14 1.2 Funkcije..................................... 24 1.2.1 Osobine funkcija............................ 27 1.2.2 Inverzna funkcija............................ 33 1.2.3 Još o funkcijama............................ 37 1.3 Aksiom izbora................................. 42 Indeks pojmova 45 Bibliografija 47 i

1 Relacije i funkcije U teoriji skupova i relacije i funkcije definišemo kao skupove, naravno sa odredenim posebnim svojstvima. Iako možemo razmatrati relacije proizvoljne dužine(arnosti), ovdje ćemo se uglavnom baviti binarnim relacijama i njihovim svojstvima. Kao specijalnu vrstu relacija, definisat ćemo pojam funkcije i razmatrati najosnovnije njihove osobine. 1.1 Relacije U dosadašnjem učenju matematike često smo se susretali sa pojmovima jednako, podudarno, paralelno, normalno, slično, veće, manje, ispred, iza. To su pojmovi kojima uspostavljamo veze, odnose ili zavisnosti izmedu nekih objekata. Te veze nazivamo relacijama i potrebne su nam jer je često neophodno objekte uporedivati prema nekom zadatom kriteriju ili ih poredati po nekom odredenom principu, kao i uočiti sličnost izmedu njih i grupisati ih u grupe medusobno sličnih. Relacije su matematički alat za opisivanje veza izmedu elemenata skupa. Definicija 1.1.1 Neka je n N proizvoljan i neka su X 1,X 2,...,X n skupovi. n-arna relacija na skupovima X 1,X 2,...,X n je proizvoljan podskup skupa X 1 X 2... X n. Ako je X 1 = X 2 = = X n = X, govorimo o n-arnoj relaciji na skupu X. Specijalno, kada imamo dva skupa X i Y, govorimo o dvočlanoj ili binarnoj relaciji iz skupa X u skup Y. Dakle, binarna relacija iz skupa X u skup Y je proizvoljan skup ρ X Y. Ako je X = Y i ρ X X, kažemo da je ρ binarna relacija na X. Primjer 1.1. Neka je X skup svih ljudi i relacijaρneka opisuje ko se komesvida. Dakle, (x,y) ρ X X znači da se osobi x svida osoba y. Neka je X skup svih gradovajedne državei relacija R neka opisuje da li postoji direktna autobuska veza izmedu dva grada, tojest (x,y) R znači da od grada x postoji direktna autobuska veza do grada y. Primjer 1.2. U geometriji kao objekte koristimo prave i tačke. Posmatramo li jednu pravu, onda za bilo koje njene tri tačke A, B i C možemo posmatrati njihov odnos na pravoj naprimjer, da je tačka A izmedu tačaka B i C. Na ovaj način definišemo jednu ternarnu relaciju. U skupu R 3 elementi su uredene trojke (x,y,z). Jednu ternarnu relaciju na R možemo definisati sa: (x,y,z) ρ x 2 +y 2 z 2 = 0. 1

1.1. Relacije Za binarnu relaciju ρ osim oznake (x,y) ρ za pripadnost elementa (x,y) relaciji ρ, u literaturi se za to označavanje često koristi neka od sljedećih oznaka: ρ(x,y), xρy, x y(mod ρ), x ρ y. Jedna primjedba: U biti, binarne relacije u teoriji skupova su dvomjesni predikati u logici. Medutim, ne možemo svaki dvomjesni predikat smatrati relacijom. Zaista, na samom početku naše teorije skupova, dogovarajući alfabet, uveli smo novi znak, da bi smo obogatili mogućnosti zapisa atomarnih formula. Dakle, u pitanju je dvomjesni predikat koga za x y čitamo x pripada y. Ako su sada x i y proizvoljni skupovi, da li je {(x,y) x y} relacija? Označimo sa S = {(x,y) x y}. Kako za proizvoljan skup x vrijedi x {x}, zaključujemo da vrijedi ( x) (x,{x}) S. Iz definicije uredenog para imamo da je {a} (a,b) = {{a},{a,b}}, a odavde onda imamo a ovo opet znači, ( x) {x} S, ( x) x S. Kako je u posljednjem x proizvoljan skup, ovo znači ( y)( x) x y, a ovo bi značilo da je y = S skup svih skupova, što naravno prema ZF aksiomatici nije moguće. Dakle, ako je S skup onda je S skup (aksiom unije), a onda je i S skup (aksiom unije), a to je neodrživo, te S ne može biti skup. Dakle, pripadnost nije relacija. Definicija 1.1.2 Neka je ρ X Y proizvoljna binarna relacija. 1. Skup D 1 (ρ) = {x X ( y Y) (x,y) ρ}, nazivamo domen ili lijevo područje relacije ρ. 2. Skup D 2 (ρ) = {y Y ( x X) (x,y) ρ}, nazivamo kodomen ili desno područje relacije ρ. Primjer 1.3. Neka je X = {1,2,3,4,5} i Y = {a,b,c,d}. Skup ρ = {(1,a),(1,b),(2,b),(2,c),(3,c),(4,a)} X Y, predstavlja binarnu relaciju sa X u Y. Pri tome je D 1 (ρ) = {1,2,3,4} X, a D 2 (ρ) = {a,b,c} Y. Primjer 1.4. Neka je ρ = {(m,n) m,n N n = 2m} N N zadata relacija. Tada je D 1 (ρ) = N, a D 2 (ρ) = 2N, tojest desno područje je skup svih parnih prirodnih brojeva. Primjer 1.5. Neka je relacija ρ, biti duplo veći definisana na skupu neparnih prirodnih brojeva. Tada je D 1 (ρ) = D 2 (ρ) = jer ne postoji neparan broj koji je dva puta veći od nekog drugog neparnog broja. 2

1.1. Relacije Definicija 1.1.3 Neka su X,Y i Z proizvoljni skupovi. Neka je ρ 1 X Y i ρ 2 Y Z. Pod kompozicijom relacija ρ 1 i ρ 2, podrazumijevamo skup ρ 2 ρ 1 = {(x,z) ( y Y)((x,y) ρ 1 (y,z) ρ 2 )}. Primjer 1.6. Neka su X = {1,2,3,4}, Y = {a,b,c} i Z = {2,3,4,5} skupovi i relacije ρ X Y i R Y Z zadate sa ρ = {(1,a),(1,b),(2,b),(2,c),(3,c)}, R = {(a,2),(a,3),(b,3),(b,4),(c,2)}. Tada je kompozicija ove dvije relacije, R ρ, zadata sa R ρ = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(2,2),(3,2)}. Primjer 1.7. Neka je X skup svih ljudi i neka su na X definisane dvije relacije: x,y X, (x,y) ρ 1 def x je roditelj od y (biološki), x,y X, (x,y) ρ 2 def x je brat od y (biološki). Jasno je da ρ 1,ρ 2 X X, te su obje relacije. Neka su x,z X proizvoljni. Ako postoji osoba y X takva da je (x,y) ρ 1 i (y,z) ρ 2, premadefinicijikompozicijetoznačida(x,z) ρ 2 ρ 1. Podatakda(x,y) ρ 1 znači da je osoba x roditelj od y, a podatak (y,z) ρ 2 znači da je osoba y brat od z. Tada podatak (x,z) ρ 2 ρ 1 znači da je x roditelj od z. Neka su sada x,z X proizvoljni i neka postoji osoba y X takva da je (x,y) ρ 2 i (y,z) ρ 1. (x,y) ρ 2 znači da je osoba x brat od y, a (y,z) ρ 1 da je osoba y roditelj od z. Prema definiciji kompozicije relacija je (x,z) ρ 1 ρ 2, a sada ovo znači da je osoba x dajdža ili amidža od z. Šta će biti relacije ρ 1 ρ 1 i ρ 2 ρ 2? Iz definicije kompozicije dvije relacije, ρ 2 ρ 1, vidimo da bi kompozicija bila dobro definisana mora desno područje relacije ρ 1 biti jednako lijevom području relacije ρ 2, tojest korektnost definisane kompozicije diktirana je uslovom D 2 (ρ 1 ) = D 1 (ρ 2 ). Pri tome je kompozicija dvije relacije opet relacija jer ρ 2 ρ 1 X Z. Medutim, ako je ρ 1 X Y i ρ 2 Y Z i pri tome X Z, jasno je da neće biti uopšte moguće napraviti kompoziciju ρ 1 ρ 2. Ovo nam govori da kompozicija dvije relacije u opštem slučaju nije komutativna operacija, tojest u opštem slučaju ne vrijedi ρ 2 ρ 1 = ρ 1 ρ 2, a ovo nam potvrduje i Primjer 1.7. Lema 1.1.1 Neka su X,Y i Z proizvoljni skupovi, ρ 1 X Y i ρ 2 Y Z binarne relacije. Tada vrijedi D 1 (ρ 2 ρ 1 ) D 1 (ρ 1 ), D 2 (ρ 2 ρ 1 ) D 2 (ρ 2 ). 3

1.1. Relacije Dokaz : D 1 (ρ 2 ρ 1 ) = {x X ( z Z) (x,z) ρ 2 ρ 1 } definicija lijevog područja = {x X ( z Z)( y Y)((x,y) ρ 1 (y,z) ρ 2 )} definicija kompozicije {x X ( y Y)(x,y) ρ 1 ( y Y)( z Z)(y,z) ρ 2 } valjana formula ( x)(p(x) Q(x)) ( x)p(x) ( x)q(x) = {x X ( y Y)(x,y) ρ 1 } = D 1 (ρ 1 ). definicija lijevog područja Primjetimo da će vrijediti skupovna jednakosti ako je D 2 (ρ 1 ) D 1 (ρ 2 ). Dokaz druge skupovne nejednakosti ostavljen je za vježbu. Definicija 1.1.4 Neka je ρ X Y proizvoljna binarna relacija. Inverzna relacija relacije ρ, je relacija ρ 1 = {(y,x) (x,y) ρ} Y X. Primjer 1.8. Neka je ρ N N definisana sa n,m N, (n,m) ρ n 2 = m. Tada je ρ = {(n,n 2 ) n N} = {(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),...}. Prema definiciji inverzne relacije je onda ρ 1 = {(1,1),(4,2),(9,3),(16,4),...}= {(n 2,n) n N}, ili n,m N, (n,m) ρ 1 n = m Primjer 1.9. U Primjeru 1.7 koristili smo relacije ρ 1 ( biti roditelj od ) i ρ 2 ( biti brat od ). Ako (x,y) ρ 1, što znači da je osoba x roditelj od y, prema definiciji inverzne relacije tada (y,x) ρ 1 1, a ovo onda znači da je osoba y dijete (muško ili žensko) od x. Dakle, relacijaρ 1 1 je relacija biti dijete od. Isti tako, ako(x,y) ρ 2, tada(y,x) ρ 1 2, a to znači da je osoba y brat ili sestra od x, te je relacija ρ 1 2 biti brat ili sestra od. Šta su relacije ρ 1 2 ρ 1 1, ρ 1 1 ρ 1 2, ρ 1 1 ρ 1 1 i ρ 1 2 ρ 1 2? Očigledno iz same definicije slijedi idempotentnost inverznosti relacije, tojest za proizvoljnu relaciju vrijedi ( ρ 1) 1 = ρ. Takode, iz definicije inverzne relacije direktno imamo (X Y) 1 = Y X. Lema 1.1.2 Neka je ρ X Y proizvoljna relacija. Tada vrijedi: D 1 (ρ 1 ) = D 2 (ρ) i D 2 (ρ 1 ) = D 1 (ρ). Dokaz : Neka je ρ X Y proizvoljna relacija. Prema Definiciji 1.1.2 je D 1 (ρ 1 ) = {y Y ( x X)(y,x) ρ 1 }, 4

1.1. Relacije a ovo je na osnovu definicije inverzne relacije ekvivalentno sa D 1 (ρ 1 ) = {y Y ( x X)(x,y) ρ}. Skup na desnoj strani posljednje jednakosti nije ništa drugo do D 2 (ρ), te je D 1 (ρ 1 ) = D 2 (ρ). Dokaz druge skupovne jednakosti je ostavljen za vježbu. Lema 1.1.3 Neka su zadate relacije ρ 1 X Y, ρ 2 Y Z i ρ 3 Z W. Tada vrijedi Dokaz : 1. (ρ 2 ρ 1 ) 1 = ρ 1 1 ρ 1 2. 2. (ρ 3 ρ 2 ) ρ 1 = ρ 3 (ρ 2 ρ 1 ). 1. Neka je (z,x) (ρ 2 ρ 1 ) 1 proizvoljan. Tada vrijedi niz ekvivalencija, (z,x) (ρ 2 ρ 1 ) 1 (x,z) ρ 2 ρ 1 ( y Y)((x,y) ρ 1 (y,z) ρ 2 ) ( y Y)((y,x) ρ 1 1 (z,y) ρ 1 2 ) definicija inverzne relacije definicija kompozicije definicija inverzne relacije ( y Y)((z,y) ρ 1 2 (y,x) ρ 1 1 ) komutativnost (z,x) ρ 1 1 ρ 1 2. definicija kompozicije Na osnovu Aksioma 1 zaključujemo jednakost skupova (ρ 2 ρ 1 ) 1 i ρ 1 1 ρ 1 2. 2. Dokaz druge tvrdnje ostavljen je za vježbu. Lema 1.1.4 Neka su zadate relacije ρ 1,ρ 2 X Y. Tada vrijedi Dokaz : 1. (ρ 1 ρ 2 ) 1 = ρ 1 1 ρ 1 2. 2. (ρ 1 ρ 2 ) 1 = ρ 1 1 ρ 1 2. 1. Neka je (x,y) (ρ 1 ρ 2 ) 1 proizvoljan. Tada imamo, (x,y) (ρ 1 ρ 2 ) 1 (y,x) ρ 1 ρ 2 definicija inverzne relacije (y,x) ρ 1 (y,x) ρ 2 definicija unije (x,y) ρ 1 1 (x,y) ρ 1 2 definicija inverzne relacije (x,y) ρ 1 1 ρ 1 2. definicija unije Na osnovu Aksioma 1 zaključujemo jednakost skupova (ρ 1 ρ 2 ) 1 i ρ 1 1 ρ 1 2. 5

1.1. Relacije 2. Dokaz druge tvrdnje ostavljen je za vježbu. 1.1.1 Osobine relacija Sljedećom definicijom uvodimo jednu specijalnu binarnu relaciju na proizvoljnom skupu, pomoću koje ćemo okarakterisati mnoge osobine relacija. Definicija 1.1.5 Neka je X neprazan skup. Relaciju X X, definisanu sa nazivamo dijagonalna relacija skupa X. = {(x,x) x X}, Relacije kao specijalna vrsta skupova, imaju neke svoje važne osobine. Uvodimo neke najvažnije od tih osobina za binarne relacije. Definicija 1.1.6 Neka je ρ X X. 1. Za ρ kažemo da je refleksivna, ako vrijedi ρ. 2. Za ρ kažemo da je antirefleksivna, ako vrijedi ρ =. 3. Za ρ kažemo da je simetrična, ako vrijedi ρ 1 = ρ. 4. Za ρ kažemo da je antisimetrična, ako vrijedi ρ ρ 1. 5. Za ρ kažemo da je asimetrična, ako vrijedi ρ ρ 1 =. 6. Za ρ kažemo da je tranzitivna, ako vrijedi ρ ρ ρ. 7. Za ρ kažemo da je povezana, ako vrijedi X X = ρ ρ 1. Osobine relacija u gornjoj definiciji su iskazane u skupovnom smislu. One se mogu iskazati i na drugačiji, formalno-logički način. Tako imamo, ( x X) xρx ( refleksivnost ) ( x X) (xρx) ( antirefleksivnost ) ( x,y X)(xρy yρx) ( simetričnost ) ( x,y X)(xρy yρx x = y) ( antisimetričnost ) ( x,y X)(xρy (yρx)) ( asimetričnost ) ( x,y,z X)(xρy yρz xρz) ( tranzitivnost ) ( x,y X)(x y xρy yρx) ( povezanost ) Primjer 1.10. Neka je X = {1,2,3,4} i na njemu definisana relacija: ρ = {(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,4)}. Dijagonalna relacija na skupu X je = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}. Očigledno je ρ te je relacija ρ refleksivna. 6

1.1. Relacije Jasno je da ona tada nije antirefleksivna, što naravno vidimo i iz uslova ρ =. Kako je ρ 1 = {(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,4)}= ρ, relacija je simetrična. Relacija nije antisimetrična jer ρ ρ 1 = ρ i nije podskup od. To naravno vidimo i iz činjenice (2,3) ρ i (3,2) ρ, a pri tome 2 3. Relacija nije ni asimetrična jer ρ ρ 1. Kako je ρ ρ = ρ ρ, relacija je tranzitivna. ρ ρ 1 = ρ X X, pa relacija nije povezana. Primjer 1.11. U Primjeru 1.7 koristili smo relaciju ρ 1 biti roditelj od. Kako niti jedna osoba fizički ne može biti roditelj samog sebe, jasno je da =. Dakle, jeste zadovoljen uslov = ρ 1, ali zbog = relacija ρ 1 nije refleksivna. Činjenicu da je dijagonalna relacija prazan skup iskoristit ćemo da konstatujemo antirefleksivnost relacije ρ 1, tojest niti jedna osoba nije roditelj samog sebe. Kao štosmo vidjeli, relacija ρ 1 1 bila je biti dijete od te kao takva nije jednaka sa ρ 1, pa relacija nije simetrična. Posmatrajmo uslov antisimetričnosti, ( x, y X)(xρy yρx x = y). Njegovom negacijom (relacija nije antisimetrična) imamo uslov ( x,y X)(xρy yρx x y), tojest da postoje dvije različite osobe tako da je svaka od njih roditelj one druge, a što je očigledno nemoguće. Dakle, naša relacija je antisimetrična. Ovo smo mogli zaključiti i iz sljedećeg, ρ 1 ρ 1 1 = =! Kako je ρ 1 ρ 1 1 =, relacija je i asimetrična. Iz činjenice da je osba x roditelj od y (xρ 1 y) i da je y roditelj od z (yρ 1 z) zaključujemo da je osoba x djed ili nana od osobe z, tojest ne možemo zaključiti xρ 1 z. Dakle, ne vrijedi ρ 1 ρ 1 ρ 1, te relacija nije tranzitivna. Za bilo koje dvije različiteosobe x i y ne morani jedna od njih biti roditelj onomdrugom, a kako ni jedna osoba nije roditelj samog sebe zaključujemo da ne vrijedi X X = ρ 1 ρ 1 1. Dakle, relacija ρ 1 nije povezana. Za izučavanje daljih pojmova teorije skupova, spomenimo još jednu važnu osobinu relacija. Definicija 1.1.7 Ako relacija ρ X Y zadovoljava osobinu x 1 ρy x 2 ρy x 1 = x 2, kažemo da je relacija ρ jednokorijena relacija. 1.1.2 Predstavljanje relacija U radu sa relacijama korisno je imati i nekakav grafički način njihovog prikazivanja. Naravno, ta predstavljanja su u mnogome diktirana oblikom skupova na kojima je relacija zadata. Navedimo tri takva načina. Neka je X = {x 1,x 2,...,x n } i ρ X X. Tada elemente skupa X možemo prestaviti na nekoj zamišljenoj pravoj. Predstavljajući elemente skupa X na jednoj takvoj 7

1.1. Relacije horizontalnoj i vertikalnoj pravoj, uredene parove dobijamo u presjeku horizontalnih i vertikalnih linija kroz tačke skupa predstavljene na osama. Jasno, skup svih tih presječnih tačaka tada predstavlja direktni produkt X X. x n x j. x 3 x iρx j x n x j. x 3 x iρx j x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 3 x i x n (a) Direktni produkt X X x 1 x 2 x 3 x i x n (b) Relacija ρ X X Slika 1.1: Grafičko predstavljanje relacije. Kako je relacija ρ podskup od X X, izdvajanjem nekih tačaka presjeka dobijamo relaciju ρ. Primjer 1.12. Na skupu X = {1,2,3,4,5} zadata je relacija, Tada zadata relacija predstavlja skup x,y X, xρy def x+y je neparan broj. ρ = {(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4)}. Držeći se gore opisanog načina, grafički prikaz zadate relacija dat je na slici 1.2. 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 Slika 1.2: Relacija ρ iz Primjera 1.12. Relacije možemo predstavljati i pomoću grafova (pojam grafa uzimamo čisto intuitivno, a njihovim izučavanjem se bavi čitava grana matematike, Teorija grafova). Neka je zadat skup X = {x 1,x 2,...,x n }. Ako njegove elemente predstavimo jednostavnim tačkama (čvorovima) u ravni, tada se veze (relacija) izmedu njegovih elemenata mogu prikazati jednostavnim spajanjem odgovarajućih tačaka usmjerenim linijama (granama) kojima naglašavamo veze tih elemenata (slika 1.3). Primjer 1.13. Neka je zadat skup X = {2,3,4,5,6} i relacija ρ na njemu, definisana sa x,y X, x ρ y def x+y 9. ρ = {(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}. Predstavljanje ove relacije grafom dato je narednom slikom. 8

1.1. Relacije x i x i ρ x j x j ρ x i x j x i x j x ρ x x Slika 1.3: Predstavljanje veza grafom. 4 5 3 2 6 Slika 1.4: Graf relacije ρ iz primjera 1.13 Treći način predstavljanja relacija je pomoću Boolovih matrica. Pri tome pretpostavljamo da je relacija definisana na konačnom skupu X = {x 1,x 2,...,x n }. Tada Boolova matrica relacije ρ X X je matrica a 1,1 a 1,2 a 1,n M ρ = a 2,1 a 2,2 a 2,n, a n,1 a n,2 a n,n gdje su { 0 ; xi nije u relaciji sa x a i,j = j 1 ; x i je u relaciji sa x j Matricu nazivamo Boolovomjer se sastoji samo od 1 (postoji veza) ili 0 (ne postoji veza). Primjer 1.14. Neka je X = {1,2,3,4} i ρ = {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,4)} X X. Tada je matrica ove relacije, M ρ = 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1. 1.1.3 Relacija ekvivalencije Definicija 1.1.8 Neka je X proizvoljan neprazan skup. Binarnu relaciju ρ na X nazivamo relacija 9

1.1. Relacije ekvivalencije, ako i samo ako je ona refleksivna, simetrična i tranzitivna. Primjer 1.15. Na skupu prirodnih brojeva (N) definišimo relaciju m,n N, m ρ n def m+n paran broj. Parnost prirodnog broja n okarakterisana je time da postoji prirodan broj k, takav da je n = 2k. Za proizvoljno n N imamo da je n + n = 2n, tojest vrijedi nρn, te je relacija ρ refleksivna. Neka su m,n N proizvoljni i neka je mρn. To znači da je m+n = 2k, za neko k N, a na osnovu osobine komutativnosti sabiranja onda je m+n = n+m = 2k, te je i n+m paran broj, odnosno vrijedi nρm. Dakle ρ je i simetrična relacija. Neka su sada m,n,k N proizvoljni, takvi da je mρn i nρk. Znači, postoje l,s N, tako da je m+n = 2s i n+k = 2l. Odavde onda imamo da vrijedi m = 2s n i k = 2l n. Tada je m+k = 2s n+2l n = 2s+2l 2n = 2(s+l n). Dakle, m+k je paran broj, te vrijedi i mρk, a to znači da je naša relacija i tranzitivna. Na osnovu svega rečenog, pozivajući se na Definiciju 1.1.8, zaključujemo da je ρ relacija ekvivalencije. Primjer 1.16. Zadat je skup A = {b,c,d,e} i binarna relacija na njemu, ρ = {(b,b),(b,c),(b,d)(c,b),(c,c),(c,d),(d,d),(d,b),(d,c)}. Data relacija nije refleksivna! Iako jeste bρb, cρc i dρd, nije zadovoljeno eρe, a zahtjev u refleksivnosti jeste da je za svako x A zadovoljeno xρx. Relacija ρ jeste simetrična! Zaista, u simetričnosti imamo zahtjev da kad god jeste xρy, onda mora biti i yρx. Pojedinačnim provjerama vidimo da naša relacija to zadovoljava: bρc onda cρb, bρd onda dρb, cρd onda dρc. Primjetimo da je istinitosna vrijednost implikacije bρe eρb,, te je ona tačna. Isto zaključujemo za cρe eρc i dρe eρd, te je predikat ( x,y A)(xρy yρx) valjana formula. Relacija ρ je i tranzitivna, ali uobičajeno treba malo više posla za pokazati to. Naime, moramo pokazati da za sve x,y,z A istinita je tvrdnja xρy yρz xρz. Naprimjer, neka je x = b, y = c i z = d. Tada imamo bρc c ρd bρc, a ovo je tačan iskaz jer se svodi na ( ). Neka je sada x = b, y = e i z = c, te dobijamo iskaz bρe eρc bρc, koji se svodi na ( ), a koji je opet tačan iskaz. Provjerom ostalih kombinacija bi utvrdili da je naš uslov tranzitivnosti valjana formula, tojest relacija je tranzitivna. Dakle, posmatrana relacija jeste simetrična i tranzitivna, ali nije refleksivnam, a time nije relacija ekvivalencije. Primjer 1.17. Neka je p N. Oznakom x y mod p označavamo da je x y = kp za neki cijeli broj k. Za zadato p N definišimo na skupu cijelih brojeva (Z) relaciju R = {(x,y) Z Z x y mod p}. 10

1.1. Relacije e d c b b c d e (a) Grafik relacije ρ e b c d (b) Graf relacije ρ Slika 1.5: Relacija ρ iz Primjera 1.16. Kako je x x = 0 = 0p za proizvoljno x Z, zaključujemo da je relacija R refleksivna. Neka je za x,y Z, x y mod p, tojest x y = kp za neko k Z.Tada je y x = ( k)p, te je y x mod p. Dakle, relacija R je simetrična. Neka za x,y,z Z vrijedi x y mod p i y z mod p, tojest x y = k 1 p i y z = k 2 p za neke k 1,k 2 Z. Tada je x z = (x y)+(y z) = k 1 p+k 2 p = kp, gdje je k = k 1 +k 2 Z. Dakle vrijedi x z mod p, te je relacija R tranzitivna. Iz svega rečenog zaključujemo da je relacija R jedna relacija ekvivalencije na skupu Z. Uobičajeno se za relacije ekvivalencije koristi simbol, koga čitamo tilda. Jedna od osnovnih ideja pomoću koje se koristi relacija ekvivalencije jeste razbijanje ili dekompozicija skupa. Definicija 1.1.9 Neka je zadat proizvoljan neprazan skup X. Familiju skupova {A i i I}, koja zadovoljava osobine 1. ( i,j I)(i j A i A j = ), 2. X = i IA i, nazivamo dekompozicija ili particija skupa X. Ako je familija {A i i I} proizvoljna particija skupa X, tada na X možemo definisati relaciju x,y X ; x y def x,y A i, za neko i I. Nije teško provjeriti da je ovako definisana relacija upravo relacija ekvivalencije na X. Zaista, na osnovu druge osobine dekompozicije imamo da za proizvoljno x X, postoji i I, takodaje x A i, tojestzaproizvoljnox X je x x, atojeosobinarefleksivnosti relacije. Ako su x,y X proizvoljni, za koje vrijedi x y, to znači da postoji i I, takav da x,y A i, a to je isto kao da kažemo da y,x A i, što je opet ekvivalentno sa tim da je y x, tojest imamo osobinu simetričnosti. Na kraju, ako za proizvoljne x,y,z X vrijedi x y i y z, to znači da postoje i,j I, takvi da je x,y A i i y,z A j. Zbog prve osobine dekompozicije, element y može pripadati samo jednom 11

1.1. Relacije skupu date familije, pa zaključujemo da mora biti A i = A j, iz čega onda opet imamo da x,z A i, tojest x z, a to je osobina tranzitivnosti relacije. Dakle, svaka particija skupa odreduje jednu relaciju ekvivalencije na tom skupu. Vrijedi i obrnuta situacija, tojest svaka relacija ekvivalencije će odredivati neku particiju skupa, a da bi to pokazali definišimo sljedeći pojam. Definicija 1.1.10 Neka je na nepraznom skupu X definisana relacija ekvivalencije. Za proizvoljno x X skup [x] = {y X x y}, nazivamo klasa ekvivalencije elementa x. Skup svih klasa ekvivalencija u odnosu na relaciju nazivamo količnički skup skupa X i označavamo ga sa X/ = { [x] x X}. Jasno je, zbog osobine refleksivnosti relacije ekvivalencije, da je svaka klasa ekvivalencije neprazan skup. Osim toga, ako je x [x] proizvoljan, klasu [x] takode možemo označiti i sa [x ], pri tome proizvoljan element klase nazivamo predstavnikom klase. Primjer 1.18. U Primjeru 1.15 definisali smo relaciju ρ i pokazali da je ona relacija ekvivalencije. Odredimo klasu ekvivalencije broja 5 N. [5] = {n N 5ρn} = {n N 5+n paran broj} = {n N n neparan broj}. U gornjem smo se poslužili činjenicama da je broj 5 neparan, da je zbir dva neparna broja paran broj i da je zbir neparnog i parnog broja neparan broj. Sada naprimjer vrijedi 3 [5], 101 [5], ali 2 / [5]. Ako sa 2N označimo skup parnih brojeva, a sa 2N+1 skup neparnih brojeva, lahko se uvjeravamo da će za proizvoljan paran broj n N biti [n] = 2N, a za proizvoljan neparan m N, [m] = 2N + 1. Ovime opravdavamo činjenicu da ako je k [n] da tada klasu ekvivalencije [n] možemo pisati i sa [k]. Naprimjer, kako je 3 [5], tada je [3] = [5]. Kako prirodan broj može biti ili paran ili neparan, jasno je da na skupu N, u odnosu na relaciju ρ, postoje samo dvije klase ekvivalencije i to su skupovi 2N i 2N+1. Pri tome očigledno vrijedi N = 2N (2N+1) Posljednja iskazana činjenica u gornjem primjeru predstavlja osnovnu karakteristiku klasa ekvivalencije, a iskazujemo je sljedećim tvrdenjem. Teorem 1.1.5 Neka je na nepraznom skupu X definisana relacija ekvivalencije. Za proizvoljne x,y X vrijedi ili [x] = [y] ili [x] [y] =. Dokaz : Neka su x,y X proizvoljni i neka je x y. Pretpostavimo prvo da vrijedi [x] [y] =, tojest da niti jedan element klase [x] ne pripada klasi [y]. To znači da 12

1.1. Relacije x [x] i x / [y], a iz ovoga, na osnovu aksioma ekstenzionalnosti zaključujemo da je [x] [y]. Neka je sada [x] [y]. Dakle, postoji z X, takav da z [x] i z [y], a to onda znači da je x z i y z. Na osnovu simetričnosti i tranzitivnosti relacije, sada bi imali da vrijedi x y, tojest x i y pripadaju istoj klasi, a kako su oni proizvoljni predstavnici svojih klasa, zaključujemo da vrijedi [x] = [y]. Na osnovu ove tvrdnje sada imamo sljedeće razmatranje: ako je na X definisana relacija ekvivalencije, tada su svake dvije različite klase medusobno disjunktne i svaki element skupa X nalazi se u tačno jednoj klasi ekvivalencije, a sve ovo nam onda na osnovu Definicije 1.1.10 govori da je familija X/ jedna particija skupa X. Dakle, kao što rekosmo ranije, vrijedi i obrat, tojest svaka relacija ekvivalencije na skupu, definiše jednu particiju tog skupa. Primjer 1.19. Na skupu Q = { m n m Z,n N} (racionalni brojevi) uvedimo relaciju q 1 = m 1 n 1,q 2 = m 2 n 2 Q, q 1 q 2 def = m 1 n 2 m 2 n 1 = 0. Za proizvoljan q = m n Q je mn mn = 0, tojest q q, te je relacija refleksivna. Neka su q 1 = m1 n 1,q 2 = m2 n 2 Q takvi da je q 1 q 2, tojest neka je m 1 n 2 m 2 n 1 = 0. Tada je m 2 n 1 m 1 n 2 = 0, te je q 2 q 1. Dakle, relacija je simetrična. Neka su q 1 = m1 n 1,q 2 = m2 n 2,q 3 = m3 n 3 Q, takvi da je q 1 q 2 i q 2 q 3. Prema definiciji relacije ovo znači da vrijedi m 1 n 2 m 2 n 1 = 0 i m 2 n 3 m 3 n 2 = 0 ili što je ekvivalentno m 1 n 1 = m2 n 2 i m2 n 2 = m3 n 3 iz čegazaključujemoda je onda i m1 n 1 = m3 n 3, tojestm 1 n 3 m 3 n 1 = 0. Dakle vrijedi q 1 q 3 te je relacija tranzitivna. Iz svega navedenog imamo da je uvedena relacija, relacija ekvivalencije. Za proizvoljan q Q je [q] = {p Q q p}. Tako je naprimjer [ ] { 1 1 = 2 2, 2 4, 3 } { 100 1,..., 6 200,..., ili [1] = 1, 2 2, 3 } 200,..., 3 200,.... Očigledno klasa ekvivalencije nekog racionalnog broja predstavlja sve moguće načine zapisa tog broja kao razlomka. Ako sada posmatramo količnički skup Q/, on će predstavljati sve racionalne brojeve, ali sa jedinstvenim zapisom. Korištenje grafičkog predstavljanja relacija demonstrirajmo sljedećim primjerom. Primjer 1.20. Neka je zadata relacija ρ = {(2,2),(4,1),(4,3),(5,3)}, na skupu X = {1,2,3,4,5}. Odrediti najmanju relaciju ekvivalencije na X koja sadrži relaciju ρ! Predstavimo relaciju ρ grafom. 2 3 4 1 5 Slika 1.6: Graf relacije ρ Kako zahtjevamo relaciju ekvivalencije, želimo da relacija bude refleksivna, simetrična i tranzitivna. Te zahtjeve ćemo ispuniti u tri koraka. 13

1.1. Relacije (I Korak) Dopunimo relaciju do refleksivnosti. U predstavljanju relacije grafom, refleksivnost (xρx) interpretiramo tako da svaki element ima vezu sa samim sobom. Dakle, na svaki čvor dodajmo petlju. (II Korak) Simetričnost (xρy yρx) interpretiremo tako da gdje god imamo vezu (liniju) sa elementa x na element y, moramo imati i obratnu vezu, sa y na x. (III Korak) Dopunjavanje do tranzitivnosti (xρy yρz xρz) vršimo tako što zatvaramo sve trouglove u relaciji, tojest ako relaciji pripadaju parovi (x,y) i (y,z) dodajemo i par (x,z), ali i (z,x) (ako ih nije bilo) da bi održali simetričnost. U našem zadatku to su parovi (1,3) i (3,1) te (4,5) i (5,4). 3 4 3 4 3 4 2 2 2 1 5 1 5 1 5 (a) Dopunjenje do refleksivnosti (b) Dopunjenje do simetričnosti (c) Dopunjenje do tranzitivnosti Novodobijena relacija ρ ={(1,3),(1,4),(2,2),(3,1),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,3),(4,4), (4,5),(5,3),(5,4),(5,5)}, je minimalno zatvorenje relacije ρ do relacije ekvivalencije, te ona sama predstavlja relaciju ekvivalencije. 1.1.4 Relacija poretka Druga važna relacija je relacija poretka ili relacija uredenja. Definicija 1.1.11 Neka je na skupu X definisana binarna relacija ρ. Za relaciju ρ kažemo da je relacija parcijalnog poretka ako i samo ako zadovoljava uslove refleksivnosti, antisimetričnosti i tranzitivnosti. Uredeni par (X,ρ) tada nazivamo parcijalno ureden skup. Ove relacije nam služe da na nekom skupu vršimo uredivanje njegovih elelemata, ili da elemente tog skupa uporedujemo, a jasno je da iz takvih uloga i potiče naziv ovih relacija. Za relacije parcijalnog poretka uobičajeno koristimo simbol ili i čitamo ga biti ispred, ne podrazumijevajući uvijek značenje ovoga u običnom govoru. Primjer 1.21. Na svakom od skupova prirodnih, cijelih, racionalnih i realnih brojeva, relacija definisa sa x y def ( z nenegativan) x+z = y, predstavljaju relaciju parcijalnog uredenja. Dakle, (N, ), (Z, ), (Q, ) i (R, ) su uredeni skupovi (preciznije, parcijalno uredeni skupovi). Pokažimo to za skup R. 14

1.1. Relacije Neka je x R proizvoljan. Postoji 0 R (0 je nenegativna), takav da je x+0 = x, a što prema definisanoj relaciji znači x x. Zbog proizvoljnosti x R, relacija je refleksivna. Neka su sada x,y R takvi da je x y i y x. To znači da postoje nenegativni z 1,z 2 R, takvi da je x+z 1 = y i y+z 2 = x. Uvrštavajući y iz prve jednakosti u drugu jednakost imamo (x+z 1 )+z 2 = x, tojest x+(z 1 +z 2 ) = x. Kako u skupu realnih brojeva postoji jedinstven neutralni element u odnosu na sabiranje, mora biti z 1 +z 2 = 0, a kako su još z 1 i z 2 nenegativni, zaključujemo da je z 1 = z 2 = 0. Ovo onda znači da je x = y, pa zbog proizvoljnosti elemenata imamo antisimetričnost relacije. Neka su sada x,y,z R proizvoljni takvi da je x y i y z. Tada postoje t 1,t 2 R takvi da je x+t 1 = y (1) y +t 2 = z (2) Stavljajući y iz (1) u (2) dobijamo x+(t 1 +t 2 ) = z. Kako su t 1,t 2 nenegativni takav je i t = t 1 +t 2, odakle zaključujemo da postoji nenegativan t R, takav da je x+t = z, a što je ekvivalentno sa tvrdnjom x z. Dakle, relacija je tranzitivna. Iz svega rečenog vidimo da je definisana relacija, relacija poretka. Primjer 1.22. Na skupu N uvedimo relaciju n,m N, n m def ( q N) m = n q. Relaciju tumačimo kao dijeljenje bez ostatka, tojest izraz n m čitamo n dijeli m bez ostatka. Jasno je da je svaki prirodan broj djeljiv sa samim sobom, tojest vrijedi n n, za proizvoljno n N, a to znači da je uvedena relacija refleksivna. Neka su m,n N takvi da vrijedi n m i m n. To znači da postoje prirodni brojevi q 1 i q 2, takvi da je m = n q 1 i n = m q 2. Zamjenjujući n iz druge jednakosti u prvu jednokost imamo da je m = m q 1 q 2 iz čega je jasno da mora biti q 1 = q 2 = 1, odnosmo vrijedi n = m, što pretstavlja osobinu antisimetričnosti. Neka su sada m,n,k N takvi da je m n i n k. Tada vrijedi n = m q 1 i k = n q 2. Zamjenjujući n iz prve jednakosti u drugu jednakost i stavljajući da je q 1 q 2 = q N, dobijamo k = m q, tojest m k, pa je naša relacija i tranzitivna. Iz svega navedenog, na osnovu Definicije 1.1.11 zaključujemo da je relacija, relacija parcijalnog poretka na skupu N. Primjetimo da ista ova relacija na skupu cijelih brojeva nije relacija poretka jer za proizvoljan n Z je n n i n n, ali jasno ne vrijedi n = n, tojest na skupu Z ova relacija nije antisimetrična. Primjer 1.23. Za proizvoljan skup X, (P(X), ) primjer je parcijalno uredenog skupa. Ovo se ima na osnovu Teorema??. Pomoću relacije parcijalnog poretka uvijek možemo da definišemo i relaciju biti strogo ispred, u oznaci < ili, na sljedeći način x < y def x y x y, 15

1.1. Relacije i nazivamo je relacija striktnog ili strogog uredenja. Ovako uvedena relacija je antirefleksivna i tranzitivna i nije antisimetrična, pa dakle nije relacija poretka. Takode, možemo definisati i sljedeću relaciju x y def y x, i sve tri ove relacije su medusobno definabilne (iz proizvoljne se mogu dobiti ostale). Za relaciju parcijalnog poretka, definisanu na skupu X, pravilnije bi bilo koristiti oznaku X koju čitamo relacija parcijalnog poretka na X, ali kad god to ne izaziva zabunu mi ćemo pisati jednostavno. Definicija 1.1.12 Neka je (X, ) parcijalno ureden skup. Za elemente x,y X kažemo da su uporedivi ako i samo ako vrijedi x y ili y x, u suprotnom kažemo da su x i y neuporedivi. Prefiks parcijalno u definiciji relacije poretka koristimo da naglasimo činjenicu da ne moraju svi elementi datog skupa na kome je uvedena relacija poretka, biti uredeni ili biti uporedivi tom relacijom. Za skupove na kojima je moguće definisati relaciju poretka u odnosu na koju su svi elementi skupa uporedivi imamo poseban termin. Definicija 1.1.13 Neka je(x, ) parcijalnouredenskup. ZaskupA X kažemodajelanac(linearno ili totalno ureden skup) ako i samo ako su svaka dva različita elementa tog skupa uporediva. Primjer 1.24. Ako posmatramo skup X = {1,2,3,4,5} sa relacijom (biti manji ili jednak), jasno je da je X tada parcijalno ureden skup jer je posmatrana relacija relacija poretka. Kako za proizvoljna dva elementa iz tog skupa tačno znamo ko je od koga veći, tojest za proizvoljne x,y X znamo da je x y ili y x, to je on totalno ureden skup. Ako na istom skupu definišemo relaciju (dijeli), tada naprimjer za proizvoljno x X imamo da je 1 x, tojest 1 je uporediva sa svakim elementom skupa X. Medutim, to ne možemo reći za element 3 jer 2 3 i 3 2, tojest 3 nije uporediv sa elementom 2. Šta više, element 3 nije uporediv datom relacijom niti sa jednim elementom skupa X\{1,3}, te je X sa ovom relacijom parcijalno ureden skup. Osim već navedenih načina (grafičkog i pomoću grafa) predstavljanja relacija, predstavljanje relacija poretka se izvodi uobičajeno i poznatim Hasseovim 1 dijagramom. Da objasnimo i ovaj način, definišimo sljedeći pojam. 1 Helmut Hasse (1898-1979) - njemački matematičar 16

1.1. Relacije Definicija 1.1.14 Neka je (X,ρ) parcijalno ureden skup. Za element x X kažemo da je neposredni prethodnik elementa y X ako i samo ako vrijedi ( z X)(xρz zρy z = x z = y). Prosto rečeno, element x je neposredni prethodnik elementa y ako se niti jedan element skupa ne može smjestiti izmedu njih. Sada pomoću pojma neposrednog prethodnika, na uredenom skupu možemo odrediti nivo svakog elementa tog skupa, u odnosu na relaciju uredenja. Neka je (X, ρ) parcijalno ureden skup. Za element x X kažemo da je na nivou 0 u odnosu na relaciju ρ ako nema niti jednog neposrednog prethodnika (za elemente koji se nalaze na nivou 0 kažemo da su atomi). U suprotnom, element x je na nivou k (k N) ako ima bar jednog neposrednog prethodnika na nivou k 1, a svi ostali njegovi neposredni prethodnici imaju nivo ne veći od k 1. Hasseov dijagram uredenog skupa (X, ρ) konstruišemo na sljedeći način. Svakom elementu iz X pridružujemo jedan čvor dijagrama. Sve čvorove u dijagramu redamo prema njihovom nivou, od 0-tog na dnu, do najvišeg nivoa na vrhu. Svaki čvor spajamo (orijentisanom ili neorijentisanom) linijom sa svakim njegovim neposrednim prethodnikom. Ako se koriste orijentisane linije, onda orijentacija ide od čvora sa manjim nivoom do čvora sa višim nivoom. Primjer 1.25. Neka je dat skup X = {a,b,c}. Posmatrajmo parcijalno uredeni skup (P(X), ). Elementi partitivnog skupa su P(X) = {,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}. Prazan skup je nultog nivoa jer nema niti jednog neposrednog prethodnika (prazan skup nije nadskup niti jednog skupa iz P(X), osim samog sebe). U odnosu na relaciju, skupovi{a},{b}i {c}su prvognivoajerje prazanskup podskup svakogod njih, a nemaju drugih prethodnika. Skupovi {a,b},{a,c} i {b,c} su drugog nivoa jer svaki od njih ima bar jednog neposrednog prethodnika (skupovi iz prvog nivoa) i skup {a, b, c} je trećeg (najvišeg) nivoa. Hasseov dijagram sada izgleda, 3 nivo 1 nivo {a,b,c} {a,c} {a,b} {b,c} {a} {c} {b} Slika 1.7: Hasseov diagram sa prikazanim nivoima. 2 nivo 0 nivo Primjer 1.26. Zadat je uredeni skup ({1,2,3,4,5,6,7,8,9}, ). Hasseov dijagram je, 17

1.1. Relacije 8 4 6 9 2 3 5 7 1 Jedinicu ne dijeli niti jedan element skupa pa je ona 0-tog nivoa. Ona je takode prethodnik svih ostalih elemenata, ali je neposredni prethodnik elemenata 2, 3, 5 i 7 koji su onda prvog nivoa. 1 jeste prthodnik broja 4, ali 2 je njegov neposredni prethodnik te je 4 drugog nivoa, a isto važi za elemente 6 i 9. Na kraju, neposredni prethodnik 8 je 4, te je 8 trećeg nivoa. Primjer 1.27. Neka je X skup svih muškaraca neke familije sa zajedničkim pretkom (porodično stablo) naprimjer, skup svih sinova, unuka i praunuka jednog pradjeda. Adem Mujo Huso Mustafa Mehmed Amir Samir Bekir Oćigledno da ovako porodično stablo nije ništa drugo do Hasseov dijagram relacije biti potomak na skupu X (obrnuto postavljen po nivoima). Primjer 1.28. KonstruisatiHasseovdijagramza relaciju, na skupu X = {1,2,3,4}. 5 4 3 2 1 Iz same konstrukcije Hasseovog dijagrama se vidi da su elementi na istom nivou dijagrama medusobno neuporedivi. Iz ovoga je jasno onda da u totalno uredenom skupu (lancu), kod koga su svaka dva elementa uporediva, na svakom nivou može biti samo po jedan element, što imamo u Primjeru 1.28, a to opravdava i naziv lanac za ovakve skupove. 18

1.1. Relacije Definicija 1.1.15 Neka je (X, ) parcijalno ureden skup. 1. Za element x X kažemo da je maksimalan ako i samo ako ne postoji y X, takav da je x < y. 2. Za element x X kažemo da je minimalan ako i samo ako ne postoji y X, takav da je y < x. Definicija 1.1.16 Neka je (X, ) parcijalno ureden skup. 1. Za element x X kažemo da je najveći ako i samo ako za sve elemente y X vrijedi y x. 2. Za element x X kažemo da je najmanji ako i samo ako za sve elemente y X vrijedi x y. Dakle, najveći element nekog skupa je veći od svih elemenata tog skupa, tojest svi elementi tog skupa su uporedivi sa najvećim i svi su ispred njega. Proizvoljan skup može imati najviše jedan najveći i najviše jedan najmanji element. Zaista, ako bi skup X imao dva najveća elementa x i x, tada bi posmatrajući prvo x kao najveći imali da je x x, a opet posmatrajući x kao najveći bi imali x x. Iz ove dvije veze, na osnovu antisimetričnosti relacije poretka, zaključujemo da mora vrijediti x = x, tojest najveći element je jedinstven. Maksimalan je onaj element od koga nema većeg, ali ovdje nije eksplicitno zahtjevana uporedivost svih elemenata skupa sa maksimalnim elementom. Upravo ovo nezahtijevanje dovodi do toga da u nekom skupu može postojati i više od jednog maksimalnih, odnosno više od jednog minimalnih elemenata. Primjer 1.29. Posmatrajmo skup A = {1,2,3,4,5,6,7}. Definišimo na njemu relaciju x y ako i samo ako x dijeli y bez ostatka. Kao što smo već imali u ranijim primjerima, ovako definisana relacija jeste relacija parcijalnog poretka na A. Jasnojedabroj4nedijeli niti jedanbrojskupaa(osimsamogsebe), padaklenemaniti jednog elementa skupa koji je veći od njega, te ja kao takav on maksimalan element. Ali to isto vrijedi i za elemente 5,6 i 7, te su i oni takode maksimalni elementi skupa A. Primjetimo da je 1 najmanji element ovog skupa (Slika 1.8). 19

1.1. Relacije Maksimalni elementi 4 6 2 3 5 7 1 Najmanji element Slika 1.8: Hasseov dijagram sa prikazom najmanjeg i maksimalnih elemenata. AkobismoposmatraliskupA = {2,3,4,5,6,7}saistomrelacijom,maksimalnielementi ostaju isti, ali sada ne postoji najmanji element, već imamo minimalne elemente 2,3,5 i 7 (slika 1.9). Maksimalni elementi 4 6 2 3 5 7 Minimalni elementi Slika 1.9: Promjena skupa uzrokuje promjenu minimalnosti i maksimalnosti elemenata. Primjer 1.30. Posmatrajmo skup A = N 0 { 1 3}. Neka je na ovom skupu definisana relacija biti ispred, na sljedeći način. Za x,y A x y def ( z A) x+z = y. Jasno je sada da broj 1 3 nije uporediv ni sa jednim elementom skupa A osim sa samim sobom. Zaista, ako bi za neko n N 0 vrijedilo 1 3 n, jasno je da niti za jedno m A ne može biti 1 3 + m = n. Isto tako ne može biti n 1 3 niti za jedno n A. Dakle, ne postoji element skupa A koji je ispred njega, te je prema gornjoj definiciji on maksimalan element skupa A. Ali on nije najveći element jer najveći element mora biti uporediv sa svim elementima posmatranog skupa i pri tome svi moraju biti ispred njega. Po istom principu možemo zaključiti da je 0 jedini minimalan element skupa A, ali on je i najmanji element jer je uporediv sa svim elementima skupa A. Za razmatranje ovakvih primjera od koristi su sljedeća jednostavna tvrdenja. 20

1.1. Relacije Lema 1.1.6 Ako je x najmanji (najveći) element skupa X, tada je on i minimalni (maksimalni) element tog skupa. Dokaz : Neka je na skupu X definisana relacija parcijalnog uredenja i neka je x 0 X najmanji element skupa X, tojest ( x X) x 0 x. Najmanji element Minimalni element Slika 1.10: Kad postoji najmanji element on je i minimalan element. Ako bi za neko x X vrijedilo x x 0, tada zbog pretpostavke da je x 0 najmanji element, vrijedio bi i obrat x 0 x, a onda bi zbog antisimetričnosti imali da je x = x 0. Dakle, niti jedan element skupa X nije ispred x 0, a to znači da je x 0 minimalni element. Slika 1.10 ilustruje tvrdnju gornje leme. Obrat ove tvrdnje u opštem slučaju nije tačan, tojest minimalnost elementa ne znači i da je on najmanji element, što smo mogli vidjeti i u primjeru 1.30. Ipak vrijedi Lema 1.1.7 Ako je X totalno ureden skup, onda ako postoji minimalni (maksimalni) element tog skupa, on je i najmanji (najveći) element tog skupa. Dokaz :Nekaje skupx totalnouredenrelacijomporetka inekajex 0 njegovminimalni elemet. Izaberimo proizvoljan x X. Kako je X totalno ureden sakup, svaka dva njegova elementa su uporediva, tojest vrijedi x x 0 ili x 0 x. Pretpostavimo da je x x 0. Kako je x 0 minimalni element, na osnovu antisimetričnosti relacije poretka, zaključujemo da vrijedi x = x 0. Dakle, uslov uporedivosti se svodi na x = x 0 ili x 0 x, pa zbog proizvoljnosti elementa x onda zaključujemo ( x X) x 0 x, odnosno, x 0 je najmanji element skupa X. 21

1.1. Relacije Minimalni element Najmanji element Slika 1.11: Na lancu je minimalan element i najmanji element. Dokaze sljedećih jednostavnih, ali korisnih tvrdenja ostavljamo čitaocu za vježbu. Lema 1.1.8 Ako u skupu X nema maksimalnih (minimalnih) elemenata, tada X nema ni najvećeg (najmanjeg) elementa. U Primjeru 1.29 elementi 4,5,6 i 7 su maksimalni elementi, pa u odnosu na uvedenu relaciju ne postoji najveći element skupa. Ovu činjenicu okarakterišimo sa, Lema 1.1.9 Ako u skupu X postoji više od jednog maksimalnih (minimalnih) elemenata, tada u X ne postoji najveći (najmanji) element. Primjedba 1.1.1. Ako skup X ima jedinstven maksimalan (minimalan) element, on opet ne mora biti najveći (najmanji) element tog skupa. U Primjeru 1.30 smo vidjeli da je 1 3 maksimalan element. Šta više, to je jedini maksimalni element jer za bilo koji n N, postoji m = n+1 N takav da je n ispred m, tojest niti jedan n N nije maksimalan element skupa N { 1 3 }. Medutim, ovaj skup nema najvećeg elementa iako ima jedinstven maksimalan element. Svi do sada uvedeni pojmovi ograničenja skupa su imali karakteristiku da su oni sami elementi posmatranog skupa. Sada ćemo definisati još četiri jako važna pojma za mnoge oblaste matematike, ali koji ovu karakteristiku pripadnosti skupu ne moraju imati. Definicija 1.1.17 Neka je (X, ) parcijalno ureden skup. Za element x 0 X kažemo da je donja meda ili minoranta skupa A X ako i samo ako vrijedi ( a A) x 0 a. Za element x 0 X kažemo da je gornja meda ili majoranta skupa A X ako i samo ako vrijedi ( a A) a x 0 22

1.1. Relacije Primjer 1.31. Za skup (0,1] = {x R 0 < x 1}, svaki realan broj veći ili jednak 1 je gornja meda datog skupa jer ( M 1)( x (0,1]) x M, dakle gornjih meda možebiti više. Analogno, svaki realan brojmanji ili jednak 0 je donja meda posmatranog skupa jer ( m 0)( x (0,1]) m x, pa i minoranti može biti više. Definicija 1.1.18 Najmanju majorantu skupa X nazivamo supremum skupa X i obilježavamo je sa supx. Najveću minorantu skupa X nazivamo infimum skupa X i obilježavamo je sa infx. Uobičajeno u dokazivanju da je neki element infimum skupa, prvo pokazujemo da je taj element donja meda skupa, a onda i da je on najveća donja meda. Analogno za supremum, pokazujemo prvo da je taj element gornja meda skupa, a potom da je i najmanja donja meda. Primjer 1.32. Neka je skup A = (0,2] {3} R. Jedna donja meda ovog skupa je x = 1 jer za svako a A je 1 a. Medutim, to vrijedi onda i za bilo koji broj manji od 1. Šta više, skup svih donjih meda skupa A je skup (,0], a onda najveća od svih donjih meda je broj 0, te je 0 = infa. Brojx=2.5nije gornjameda skupaajer za element 3 A nije tačno3 2.5. Medutim, 3 jeste majoranta skupa A jer za proizvoljno a A je a 3 (i 3 3). Izaberemo li ε > 0 proizvoljno maleno, tada 3 ε neće biti gornja meda jer neće vrijediti 3 3 ε. Dakle, najmanja gornja meda jeste broj 3, tojest 3 = supa. Primjer 1.33. Neka je X = {1,2,3,4,5} N i na njemu neka je definisana binarna relacija (biti djeljiv). Kako je 1 najmanji element skupa X onda je 1 i donje ograničenje, šta više i najveće donje ograničenje skupa X. Broj 6 N nije gornje ograničenje skupa X jer nisu svi elementi skupa X ispred 6 (naprimjer nije 5 6). Broj 120 jeste gornje ograničenje posmatranog skupa. Zaista, 120 = 1 120 ili 1 120, 120 = 2 60 ili 2 120, 120 = 3 40 ili 3 120, 120 = 4 30 ili 4 120 i 120 = 5 24 ili 5 120. Najmanje gornje ograničenje skupa će biti najmanji zajednički sadržalac elemenata našeg skupa, a to je 1 2 2 3 5 = 60. Dakle, supx = 60. Kao što smo vidjeli u gornjim primjerima, minoranti i majoranti može biti više za zadati skup, ali na osnovu definicije najmanjeg i najvećeg elementa, infimum i supremum skupa, ako postoje, su jedinstveni. Pored toga, za minimalne i maksimalne elemente kao i za najmanji i najveći element nekog skupa, jasno je da svi oni pripadaju datom skupu. Medutim, to nije slučaj sa infimumom i supremumom. 23

1.2. Funkcije Primjer 1.34. Za skup A = {x R 0 < x < 1} = (0,1), infimum skupa je 0, ali 0 / A. Isto tako, supremum skupa je 1, ali 1 / A. Zaista, za svako x A vrijedi 0 < x, te je 0 donje ograničenje skupa A. A da je to i najveće donje ograničenje vidimo iz sljedećeg. Neka je ε proizvoljno malen pozitivan broj, 0 < ε. Tada je element 0 < x 0 = ε 2 < 1, a time x 0 A i pri tome vrijedi ε 2 < ε. Ovo znači da ε nije donje ograničenje skupa A, odnosno 0 je najveće donje ograničenje, te vrijedi 0 = infa. Teorem 1.1.10 Neka je (X, ) parcijalno ureden skup. Ako je x 0 najmanji element skupa A X, tada je x 0 = infa. Ako je x 0 najveći element skupa A X, tada je x 0 = supa. Dokaz : Dokazat ćemo tvrdnju za najmanji element, a dokaz za najveći, koji je potpuno analogan ovome, ostavljamo za vježbu. Neka je x 0 najmanji element skupa A X. Dokažimo prvo da je x 0 minoranta skupa A. Kako je x 0 najmani element, to vrijedi ( a A) x 0 a. Na osnovu Definicije 1.1.17 zaključujemo da je x 0 donja meda skupa A. Pokažimo još da je to i najveća donja meda. Neka je x X proizvoljna donja meda skupa A, tojest neka vrijedi ( a A) x a, ali to onda vrijedi i za x 0 jer x 0 A, tojest x x 0. Zbog proizvoljnosti donje mede, zaključujemo da je x 0 najveća donja meda. Dakle, x 0 = infa. Jasno je da obrati u gornjem tvrdenju u opštem slučaju ne vrijede jer kao što smo spomenuli ranije supremum i infimum skupa u opštem slučaju ne moraju biti elementi skupa. 1.2 Funkcije Matematička veza u kojoj jedna veličina (zavisna varijabla) zavisi o ili je odredena nekom drugom veličinom (nezavisna varijabla) je centralni objekat izučavanja u većini oblasti moderne matematike. Za zavisnu varijablu tada kažemo da je funkcija nezavisne varijable. I pojam preslikavanja (funkcije) je predmetom izučavanja teorije skupova. Kao što ćemo vidjeti, funkcije su specijalne vrste relacija, a kao takve i one su skupovi. Definicija 1.2.1 Za relaciju f X Y, koja zadovoljava osobine 1. ( x X)( y Y) (x,y) f, 2. (x,y 1 ) f (x,y 2 ) f = y 1 = y 2, 24

1.2. Funkcije kažemo da je funkcija ili preslikavanje, definisana na skupu X sa vrijednostima u skupu Y. Za funkciju f kažemo da preslikava skup X u skup Y i to zapisujemo sa f : X Y. Umjesto (x,y) f, uobičajeno pišemo y = f(x), y = fx ili f : x y. Pri tome, element x X nazivamo original, a element y = f(x) Y nazivamo slika. Skup X = D 1 (f) nazivamo domen ili područje originala i označavamo ga sa D f, a skup D 2 (f) Y nazivamo kodomen ili područje slika funkcije ili rang funkcije i označavamo ga sa Im(f) ili R f. Dakle, funkcija je specijalan slučaj relacije, i jasno je da onda nije svaka relacija funkcija. Uslov 1. iz gornje definicije zahtjeva da svaki original ima svoju sliku, a uslov 2. nam govori da jedan original može imati najviše jednu sliku. X Y X Y x f(x) x Slika 1.12: Jednom originalu jedna slika, jeste funkcija (lijevo). Jednom originalu više slika, nije funkcija (desno). Primjer 1.35. Posmatrajmo pridruživanje f : R R, zadato sa f(x) = x 2 1. Ovo nije funkcija jer za x = 0 pridruživanje nije definisano, tojest ne znamo koliko je f(0). Medutim ako domen promjenimo na (1, + ), tojest ako posmatramo pridruživanje f : (1,+ ) R, zadatona isti način, onda bi to moglo biti funkcija jer svakomelementu x (1,+ ) (zahtjev 1. Definicije 1.2.1)pridružujemoneki element iz R, ali jošne znamo da li je zadovoljen uslov 2. Definicije 1.2.1. Primjer 1.36. Neka su A = {1,2,3} i B = {a,b} i g : A B zadato sa g(1) = a i g(2) = b. g nije funkcija jer nije definisano šta je g(3). NekajeX = {1,2,3,4}i Y = {2,5,7,9}. Relacijaφ = {(1,5),(2,2),(2,7)}nijefunkcija, a relacija ρ = {(1,5),(2,2),(3,5),(4,7)} jeste funkcija! Ako je zadovoljena osobina 2. Definicije 1.2.1 kažemo da je funkcija dobro definisana, odnosno da nije dobro definisana ako taj uslov nije ispunjen. Uslov 2. za preslikavanje α : A B znači da za a 1,a 2 A, ako je a 1 = a 2 onda je α(a 1 ) = α(a 2 ) ili ( a 1,a 2 A)(a 1 = a 2 α(a 1 ) = α(a 2 )). Ovu činjenicu iskazujemo običnim riječima da jednake stvari mogu biti zamjenjene jednakim stvarima. Primjer 1.37. Pokazati da je preslikavanje α : Q Q, zadato sa: x = m n Q, f(x) = m+3n 2n 25,

1.2. Funkcije dobro definisano. Neka su m1 n 1, m2 n 2 Q proizvoljni i neka je m1 n 1 = m2 n 2. Tada je m 1 n 2 = m 2 n 1 iz čega onda dobijamo 2m 1 n 2 + 6n 1 n 2 = 2m 2 n 1 + 6n 1 n 2. Faktorizacijom lijeve i desne strane dobijamo 2n 2 (m 1 + 3n 1 ) = 2n 1 (m 2 + 3n 2 ), odnosno m1+3n1, a ovo znači ( m2 2n 1 = m2+3n2 2n 2 ( ) f m1 n 1 = f n 2 ). Zbog proizvoljnosti izabranih elemenata zaključujemo da je f dobro definisana funkcija. Pokazati da neka funkcija f : X Y nije dobro definisana svodi se na ispitivanje, odnosno pokazivanje u logičkoj formi da ( x 1,x 2 X)(x 1 = x 2 f(x 1 ) f(x 2 )). Primjer 1.38. Posmatrajmo preslikavanje f : Q Z, gdje argumentu x = m n Q (m Z, n N), pridružujemo vrijednost f(x) = m+n. Da f nije dobro definisana vidimo iz konkretne situacije ako uzmemo x 1 = 1 2 i x 2 = 2 4. Tada je očigledno x 1 = 1 2 = 2 4 = x 2 i f(x 1 ) = 1+2 = 3 6 = 2+4 = f(x 2 ). Definicija 1.2.2 Neka je f : X Y funkcija, A X i B Y. Skup f(a) = {f(a) a A} Y, nazivamo slika skupa A u preslikavanju f. Specijalno, f(x) nazivamo slika od f i označavamo ga sa Im(f). Skup f 1 (B) = {x X f(x) B} X, nazivamo predslika skupa B u preslikavanju f. Zazadatufunkcijuf oznakaf 1 ugornjojdefiniciji predstavlja samo inverznurelaciju od relacije (funkcije) f. Naime, kao što smo naglasili na početku, ne mora svaka relacija biti funkcija. I narednim primjerom oslikavamo zašto svaka relacija ne mora biti funkcija. Primjer 1.39. Na skupu svih ljudi uvedimo binarnu relaciju na sljedeći način: xρy def x je biološka majka od y. Jasno je da relacija ρ nije funkcija jer jedna majka može imati više djece, ali je interesantno primjetiti da relacija ρ 1 jeste funkcija jer svaka osoba ima i to samo jednu biološku majku. Definicija 1.2.3 Neka je f : X Y funkcija. Skup G f = {(x,y) x D f y = f(x)}, 26