3. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ КереШго та1ег зги/иогит ез1 (Обнављање је мајка наука) Латинска сентенца (изрека) Линеарна једначина по х је свака једначина са непознатом х која се еквивалентним трансформацијама своди на једначину облика где су а и 6 реални бројеви. ах = 6, 1 За а ф 0 3 добијамо еквивалентну једначину х = - која има јединствено решење. 2 За а = 0, 6 ф 0 једначина нема решења, јер не постоји реалан број х0 за који је истинит исказ 0 = 6. За такву једначину кажемо да је немогућа. 3 За а = 0, 6 = 0 сваки реалан број је решење једначине, за сваки х0 е К је 0 х0 = 0. За такву једначину кажемо да је неодређена. Линеарна неједначина по х је неједначина која се еквивалентним трансформацијама своди на неки од облика где су а и 6 реални бројеви. ах < 6, ах ^ 6, ах ^ 6, ах > 6,
3. Линеарне једначине и неједначине 17 3.1. Р Е Ш А В А Њ Е Л И Н Е А Р Н Е ЈЕ Д Н А Ч И Н Е С ЈЕ Д Н О М Н Е П О ЗН А Т О М 103. Решити усмено једначине: <Ј$)Х 3 = 5; 2 + 4 = 6 ; в) 2 + 2 = 1 ; г) 2 3 = 5; х + 7 = 2; ђ) 2 + 6 = 4; е) 7 2 = 5; ж) 3 2 = 5; ( 3)Ј2 2 = 1; и) 1 2-2 = - 3 ; ј) 22 + 1 = 5; к) 3 2-1 = 8 ; 2-32 = 4; љ) 4-22 = - 2 ; м) 6 = 4-32; 104. Решити једначине: ( &} 42 5 + 32 = 22; в) 6-82 = 7 2-3 0 2 ;». Решити једначине: М 1кз 001в II 32 Т = 7; (, 7 1 + Р б 1 = - 6 ; ђ)? = 6 ; X >. Решити усмено једначине: ч Х X а> 2 = 2; з =5; 112 + 1 2-132 = 42; г) 7 2-1 1 22+4 = 32 + 18+ 2-2. в) 2 5 7 х. ~ ~6~ г) е) 8 2 = - 5 ; ж) в) 2 3 1 ~~ 2 г) 7х ~2 ~~ ~~ 3 5 2 6 2 7 = ' 107. Које од следећих једначина су немогуће (немају решења): а) 2 + 1 = 2 ; 0-2 = 1 ; в) 2 + 2 = 2 + 2 ; г) л/ж2 = 2 ; д) 2-2 = 2 2-7 ; ђ) - = 1? 2 108. Које од следећих једначина су међусобно еквивалентне: Л 3 2 а) 2 Ж~ 4 = 5 ;. в) 22 = 16; г) Дате су једначине: а) 2 2 = 2 ; г тг II (М см 1 2 4 2 2 _ 32 г) ~2 ~ Две од њих су међусобно еквивалентне. Одредити те две једначине. 7 2 4 ^ I ОЈ
18 Текстови задатака 110. Доказати да су једначине: а) 5х 2(х + 5) = х 20 и х = 5; х2 + 1 = (х + I )2 и х = 0 еквивалентне, а једначине в) Зх 6 = 2 и х = 1 нису еквивалентне. 111. Да ли су еквивалентне једначине: 1 1 а) х 2 = 0 и х + х 2 = 2 + х 2. (х I )2 ^ = 0 и х - 1 = 0 ; х 1 в) (х 1)(х 4) = х 1 и х 1? 112. Дате су једначине 2х 5 = 13 и Зх2 6 = 21. Како се назива прва, а како друга једначина (у односу на степен променљиве)? Решити обе једначине. 113. Које од следећих једначина су идентитети (тј. важе за све х е К): а) 0 х = 0 ; (х - I )2 = х2-2х + 1 ; в) ( х + - 1 х д) 5 + 2х = 7х; 9 г) 2(г - 3 ) = 3; 5 ) ^ = 7. 114. Проверити да ли је број 0 решење једначине: а) х 1 = 2х 1 ; в) Ј х 1 х = х; 115. Решити једначине: г) х 2 = 0 ; [х 1 + х + 1 = 2. а);1 = 12; 116. Решити једначину:. 3 7 13 8.) -ј- --- --- ј } х 10 1 0 4 = = у/8-, V 2 I«1 ; 117. Решење једне од следећих једначина је број 3: 2х 5 а) - 1 4 5 В) %у/ђ: 12. 1 - = 1.
3/ Линеарне једначине и неједначине в) Зх - 1 = 2х + 3; Која једначина је у питању? 1 _ х 1 3 3 + 2 ' Решити једначине (задаци 118-127): 118.)а) 3 = (2 - х) = 6 - {2х + 1); 9 - (8 - х) = 7 - (х - 6) в) Зх - (15 + 2х - (5х + 11)) = 2ж - 8 ; г) 8(2х - (Зх + 2)) + 18 = 7ж - (Зж - 5(2х - 4)); д) бх - (4х - 5) - 28 = 2х - (5ж + (Зх - (2х - 3))). 119. а) 26х - (20 - (10 - Заг) - 7х) = 30 - (Зх + 7); 2х - 3(2х - 3(2х - 3(2х - 3))) = 1 ; г) х - (2х - (Зж - (4х 5))) = 1. ( 120. а) (4х - 3)(3х + 4) - (2х + 1)(6х - 1) = 1; @1 (Зх - 10) (х - 1) - (х + 1)(3* - 4 ) = 2; (в) (3-5х)2 + (1 + 12д)2 = (13ж - 2)2 + 6 ; ј К' 2(х - 1)(д + 3) + х(х 7) = Зж(5 + х) + 10; д),у(2 ж)(3 х) (1 х)(5 х) -= 0. 121. а) ( З а - 2 ) : 2 = (2а - 1) : 3; (х + 1) : (х + 3) = (х 3) : (х 2) ; в) (7х + 3) : (7х - 4) = 5(х + 1) : (5х ~ 2); г) у : (у + 1) = (2у + 1) : (2у - 1). 122. а) (ж + 3) : (1 ж) = - 2 ; (х + 7) : (13 - х) = (5 - х) : (5 + х ) ; х + 7 3 г) 0,35 : 0,7 = ; Х 3 2 'I ' ' X ђ) (2х + 1) : (Зх + 2) = (6х + 5) : (9аг + 8).. 2д + 12 123. а) = 2,5 ; х + 3, 2 х - 3.. х + 1 г ) д) х - 7 6 2х + 5 ~ ~ 7 Зх 1 2 х х + 2 1 3-2х ~ ~2-4.
20 Текстови задатака 124, а)јх - 2х - 5 = 4; 52ж х 3 125. ај Х + 2 о - ^ - 1 х. В-Х* 5 2 2х 3 а?+ 1 х - 11.д) / 5 10 в), 2 I Зх х 1> ^ - = 1 2 ; 0. / ^ ^ > + ^ 1, 1 2. 2 3 ж + З 2х - 1 4 - а : ( --- : Ј- ~ >1 ;( Р)ј 4 ( X + - з з - - 6 х + 1 2 2(х + 3) ^ >. 2 1 Д> * + 3 1 3 х +? х. 2х + 3 5х - 14 х + 1 е) - з ------------ \ 5 24 7 Г) 6 Ж" 8 (^ 4) = 5 Ж; х 1 х, 1 10 3 _ 2 ~ 4 + 2 х 1 х +1 1 х 1 + х п 126. а) ---------- Ђ----------Ђ----------+ 2 = 0, х + 1 2 127. а) - х - х 4 + 2(х + 1) _ ^ = 5(х - 3) + 2 х _ П а + 43 3 ' 4 2 4х + 4 Зх - 1 _ 5х + 1 3 4 _ 7 - ~ X - - ) т х - 1 Зх + 7 / х + 1 Л 5х + 7 / Зх + 1 х - 1 \ 8 V 2 Ј 16 V 4 8 Ј х 7х 7, с 1-4--- ---------- 1-4 --- р 6х 1 + 4 2 1 + 5х 2 в) - + 2 ' 6 24 12 6 х х 3 + х 1 2 3 г) - + X - = 3. 2 ' " 3 128. Користећи да је једначина А В = 0 еквивалентна са А В = 0, решити једначине: а) (х 1)(х + 1) = 0; 2(х 3)(х + 1) = 0; = 0 или в) (Зх - 1)(х + 2) = 0; г) 4 (3 х + 1)(х - 3) = 0; д) (х 2)(х 1)(х + 1) = 0; ђ) 5(х + 1)(х 2)(х 3) = 0.
3. Линеарне једначине и неједначине 21 129. Користећи да је једначина = 0 еквивалентна са Л = 0 и В / 0, решити једначине:. х - 1 а) ----- - = 0 ; ' ж + 1 в) х 2 = 0 ; (х + 1)(х + 2) д ) < ^ = 0 : х + 1 Решити једначине (задаци 130-133): = х + 1 б> ^ т = ; ч (х + 1)(ж - 2) х 1 = 0 ; ^ (х + 2)(ж 3)(х + 5) = ^ (х + 2)5 130. а) (2х - I)2 - (х + I)2 = 0; (Зх - 5)2 - (2х + I)2 = 0; 131. а) 132. в) (х + 5)2 - (х - I )2 = 48; г) (х - I )2 - (х + I )2 = 2,5 - Зх; д) (х + I)2 1 = х2 + 2х ; ђ) (2х + I )2 = 2х(2х - 1) + 6х; е) (2у З)2 А(у + 2)2 + 26г/ = 1. в ) Зх ч 2 0 Ч 1-0 Ч - Г (х 1)(х + 1) (2х + I )2 1 ---------т,------------------ т"т---- = 1- х; 12 х 1 х 2 2 ) \ 2 1 х; г) (х + 8)2 + (х + З)2 = (х + 12)2 + (х - 5)2, (х I )2 (х 3)(2х 5) 2 4 (х З)2 (6х 2)(х 1) 6 = 3 (х 2); = 4: в)ј(х+ I )2 + (х + 2)2 + (х + З)2 + (х + 4)2 = (2х + 5)2. 133. а) 1 - - ; 2 Зх + 2 ( - - 3 \(2х-1) х 4 (Зх - I )2 + ^4х - 0 = ^5х + ^ в) (х - 4)2 - (х + З)2 = 3(х - 9); г) ( + +2) ( + +3) ( + - 3 = 1.
22 Текстови задатака 134. а) У једначини (а 3)х + (а + 1)(3 х) х 7 одредити а тако да х - 5 х - 2 она оуде еквивалентна Једначини ----------- - = х 3. 3 2 х + 2 ш 2х т Решити једначину 4,5 ако је (т 2)2 = ш 2 + З т о - 17. в) Одредити к тако да једначине 7 = Зж + 10 и кх + 11 = 6 буду еквивалентне. 4 г) Одредити а у једначини 4а + - = х ако је х решење једначине 0 (.х + I )2 5х = (х + 3)(х + 1) 135. а) Одредити а у једначини (2а х)(3 х) = (5 + х)(а + х) 1 да би она била еквивалентна са једначином (х З)2 (х + I )2 = 2(х 6). Одредити т у једначини (5 + х)(т + х) = (2т х)(3 х) + 1 тако 2х 1 х + 1 Зж + 4 да је х решење једначине -------- = 1-9 12 136. Дате су једначине: 2а х х 5 у = - и \-V а = 1. 2 3 2 У а) Решити једначине по х, односно у. Одредити а тако да буде х = у. 137. Који елементи скупа А = ( 3, 2, 1,0,1, 2,3} су решења једначина: а) х + \х\ = 0 ; х 1 + \х 1 = 0 ; в) \х 1 + х + 1 = 0 ; г) ж 1 = \х + 1)? Решити једначине (задаци 138-141): 138. а) \2х 3 + 1 = 4; 2\х - 3 + 4 = 8 ; в) ж + 7 = 13-2\х\; г) јж Зј 3 = 2\х Зј; д) \2х 7\ + х = 5; ђ) \ х + 2 = 2х + 1; е) - х + 1 = 2 ; ж) 3х 2 + ж = 11. о 139. а) \х 1 + ж + 1 = 2; [ж - 2 + х - 3 + 2ж - 8 = 9. 140. а) 2\/ж2 4х + 4 = ж; а/9 6ж + ж2 + 8 = 2ж;, 7 в) л/9х2 6ж + 1 + ж = 15. 141. у/.ж2 4ж + 4 \/4ж2 + 12ж + 9 = 1.
3. ЈТинеарне једначине и неједначине 23 3.2. П Р И М Е Н А Л И Н Е А Р Н И Х ЈЕ Д Н А Ч И Н А С ЈЕ Д Н О М Н Е П О ЗН А Т О М 142. Збир четири узастопна природна броја је 866. Који су то бројеви? 143. Разлика квадрата два узастопна природна броја је 99. Који су то бројеви? 144. Разлика квадрата два узастопна природна броја је 167. Који су то бројеви? 145. Збир половине и трећине неког броја је за 5 мањи од тог броја. Који је то број? 146. Збир половине, трећине и седмине неког броја за 1 је мањи од тог броја. Који је то број? 147. Марко ће кроз 12 година бити три пута старији него што је био пре шест година. Колико година има Марко сада? 2 148. Нина је првог дана прочитала - једне књиге, а другог дана још 23 0 странице. Ако јој је преостало да прочита још половину књиге, колико та књига има страница? 149. Јован ће кроз 22 године бити четири пута старији него што је био пре осам година. Колико година има Јован сада? 3 150. Ученик је прочитао књиге и још 112 страница. Ако му је остала још половина књиге, колико књига има страница? 151. Отац има 28 година, а његов син 4 године. Кроз колико година ће отац бити четири пута старији од сина? 152. Отац има 30 година, а син 10 година. Када ће отац бити два пута старији од сина? 153. Мајка има 36 година, а кћи 16 година. Пре колико година је мајка била три пута старија од ћерке? 154. Који број има својство да помножен са 2 добија исту вредност као и када се подели са 2? 155. Брзине двају бициклиста се односе као 4:5. Ако први за четири часа пређе 12 к т мање од другог, одредити којим се брзинама они крећу. 156. Који број треба додати бројиоцу и имениоцу разломка - да би се 2 7 добио разломак једнак -? 3
24 Текстови задатака 157. Који број треба одузети од бројиоца и имениоца разломка да би се добио разломак једнак реципрочној вредности полазног разломка? 158. Ако четвртини једног парног броја додамо збир следећа два узастопна парна броја, добијамо 33. Који су то бројеви? 159. Ако једном броју допишемо са десне стране цифру 6, па тако добијени број поделимо са 9 и добијеном количнику допишемо са десне стране цифру 7, а затим тако настали број поделимо са 13, добићемо 19. Одредити полазни број. 160. Одредити четири узастопна природна броја за које је производ прва два за 38 мањи од производа трећег и четвртог. 161. Елементи скупа А су шест узастопних целих бројева чији је збир 9, а елементи скупа В шест узастопних целих бројева чији је збир 3. Одредити А П В. 3 162. У одељењу су - ученика девојчице. Ако би дошле још четири девојчице, број дечака и девојчица би био једнак. Одредити колико је ученика у том одељењу. 163. Половина ученика једног одељења има петицу из математике, четвртина четвроку, седмина тројку, а осим њих у одељењу су још три ученика. Колико је свега ученика у одељењу? 164. Ученици једне школе кренули су на екскурзију у 18 једнаких аутобуса, при чему је у сваки аутобус ушло 5 ученика више него што у аутобусу има седишта. Да је у сваки аутобус ушло онолико ученика колико је у њему седишта, била би потребна још три аутобуса, али би у једном од њих остало шест празних седишта. Колико ученика је кренуло на екскурзију? 165. Младен је ушао у берберницу са намером да се подшиша и планирао 6 Је да потроши новца који је понео. При уласку у берберницу сазнао је да је цена подшишивања снижена за 20%. После шишања, Младен части фризера са 5 динара и остане му још 6 динара. Колико је новца имао Младен? 2 2 166. Када је путник прешао 4 к т, остало му је још - пута до половине 5 5 пута. Колика је дужина целог пута? 167. Један човек је до десетог у месецу потрошио трећину своје уштеђевине; за следећих десет дана потрошио је две трећине остатка, да би му преостало још 720 динара. Колика је била његова уштеђевина?
3. Линеарне једначине и неједначине 25 168. Из града А у 12 ћ пошао је камион брзином 48кш /ћ. Кроз 45 т ш са истог места и у истом смеру креће аутобус брзином 80 к т /ћ. У колико часова аутобус стиже камион? 169. У 2040 ћ крене из станице путнички воз који прелази 87 к т за два часа. У 23 ћ крене за њим са исте станице експресни воз који прелази 232 к т за 3 часа. У које ће време експресни воз стићи путнички? 170. По кружној стази крећу се два бициклиста у супротним смеровима. Први бициклиста пређе цео круг за 60 з, а други за 40 з. Почетна удаљеност бициклиста је 100 т. Колики је обим те стазе ако се бициклисти сретну за 20 з? 171. Два брата истовремено полазе из места А у место В. Старији прелази 1 к т за 10 минута, а млађи 1 к т за 12 минута. Ако се зна да је старији стигао 36 минута раније на циљ, колика је удаљеност места А и В1 172. Пифра јединица двоцифреног броја је за 1 мања од цифре десетица, а њихов збир износи броја. Наћи тај број. 173. Ако неки број помножимо са 2, допишемо иза тог производа цифру 5, па настали број поделимо са 11 и количнику додамо 1, добићемо број два пута већи од полазног. Који је то број? 174. Цифра јединица једног двоцифреног броја је 4. Ако се тај број смањи за 9, добија се број написан истим цифрама у обрнутом поретку. Наћи тај број. 175. Последња цифра једног петоцифреног броја је 4. Када се ова цифра премести на прво место, добија се број за 16 већи од двоструког полазног броја. Који је то број? 176. Воз ј е поред непокретног посматрача прошао за 7 8, а поред станичне платформе дуге 378 т за 25 8. Колика је брзина и дужина воза? 177. Отац је 30 година старији од сина, а 25 година од ћерке. Колико година има свако од њих ако је отац три пута старији од оба детета заједно? 178. Колико воде треба додати у 150 12%-ног раствора сумпорне киселине да би се добио 4%-ни раствор? 179. У извесну количину 80%-ног алкохола додато је 121 воде и добијен је 60%-ни алкохол. Колика је првобитна количина алкохола?
2 Ј Текстови задатака 180. Мешањем алкохола јачине 60% са алкохолом јачине 90% добијено је 101 алкохола јачине 80%. Колико је узето од сваке врсте алкохола? 181. Странице правоугаоника разликују се за 5 с т. Ако већу од њих продужимо за 3 с т, а краћу смањимо за 1 с т, површина правоугаоника се неће променити. Израчунати дужине страница овог правоугаоника. 182. Једна катета правоуглог троугла има дужину 5 с т, а друга је за 1 с т краћа од хипотенузе. Колика је дужина хипотенузе? 183. Дужине двеју висина једног троугла су 8 с т и 6 с т, а једна од њима одговарајућих страница је 4 с т краћа од друге. Колика је површина тог троугла? 184. Дужина једне тетиве круга је 8 с т. Центар круга је на одстојању од те тетиве за 2 с т мањем од полупречника круга. Колика је дужина полупречника тог круга? 185. Дијагонале једног ромба разликују се за З с т. Ако се краћа дијагонала увећа за 2 с т, а дужа умањи за 4 с т, површина ромба се смањи за б с т 2. Наћи дијагонале ромба. 186. Ивице квадра се разликују за по 2 с т, а његова запремина је за 20 с т 3 мања од запремине коцке чија је ивица једнака средњој по величини ивици квадра. Колика је ивица те коцке? 187. Основица једнакокраког троугла је 14 с т. Ако је крак за 1 с т дужи од висине троугла, израчунати дужину висине. 188. Од две врсте робе по цени од 1,5 динара и 2,1 динар по килограму треба направити смесу од 32 к робе по цени од 1,65 динара по килограму. Колико треба узети од које врсте робе? 189. Колико воде чија је температура 10 треба измешати са 21 воде температуре 48 да би се добила смеса од 33? 190. Улазница за музеј стаје 1,50 динара. После снижења цене, број посетилаца се повећао за половину, а приходи су порасли за четвртину. Колико је снижење? 191. Три радника раде неки посао, који би први радник, радећи сам, завршио за 10 дана, други радник за 12 дана, а сва тројица, радећи заједно, за 4 дана. За које би време посао завршио трећи радник радећи сам? 192. Једна од две фабрике може да изврши неку наруџбину 4 дана брже него друга. За колико дана може свака од њих да изврши ту наруџбину ако се зна да при заједничком раду оне за 24 дана изврше пет пута већу наруџбину?
3. Линеарне једначине и неједначине 27 193. За израду неког предмета један радник утроши 7 минута мање него други. Колико предмета изради сваки од њих за 4 часа, ако први за то време изради 28 предмета више него други? 194. Плави и зелени аутобус крену истовремено из града А у град В који је на удаљености 60 к т. Плави аутобус вози просечном брзином 4 0 к т /ћ, а зелени 5 0 к т /ћ. Када зелени аутобус стигне у В, одмах пође натраг. На којој удаљености од града А ће срести плави аутобус? 195. Путник, идући од села ка железничкој станици и прешавши првог сата З к т, утврди да ће, ако буде ишао том брзином, закаснити на воз 40 минута. Због тога је остатак пута прелазио брзином 4 к т /ћ и стигао на станицу 45 минута пре поласка воза. Колико је село удаљено од железничке станице? 196. Два воза саобраћају између два града; први путује од једног до другог града 2 ћ и 48 минута, а други 4 ћ и 40 минута. Брзина првог воза је за 2 6 к т /ћ већа од брзине другог. Одредити растојање између ова два града. 3.3. Р Е Ш А В А Њ Е Л И Н Е А Р Н Е Н Е ЈЕ Д Н А Ч И Н Е С ЈЕ Д Н О М Н Е П О ЗН А Т О М 197. Проверити истинитост неједнакости: 198. Да ли су тачне неједнакости: а) З2 > 2 3; 25 < 52; в) 43 < 3 4 ; г) 7 62 ^ 8 72? 199. Који елементи скупа X = { 3, 2, 1,0,1,2,3,4} су решења неједначина: а) 5х 1 < 3; ~ + 2 < - 3 ; в) 1-2х > 3; ЗЗ/ г ) 3 - < 1 ; д ) х < 2 ; ђ) х > 3? 200. За које вредности х је: а) Зх + 1 > 2х; 2х Џ Зх?
28 Текстови задатака 201. У скупу негативних целих бројева решити неједначине:. 4х 1 5х 2 1 6) ^ ± 1-2 ( 1 + 3) < 1. ----------- 2 < ^5 202. Заменити дату неједначину еквивалентном неједначином најједноставнијег облика (тј. облика а, х > а, х < а или х < а, а Е К ):. х 3 < - 1 ; 2 х - 5 - ( х + 2) < - 5 ; в) 1 - ^ 2 ; г) - - 2 ( х + 1) < 0 ; д) Зх - 2 < 8(х + 1);. х 2 е) 3 ------- < 1 ; ђ) 2 ( ^ 2 х - - ј - 3 < 0 ; ж ). 2х ч х 1 203. Дате неједначине заменити еквивалентним неједначинама најједноставијег облика:. 2х 3 х. х 1 х б ) 4 - > з ' 204. Одредити скуп решења неједначине: а) Зх + 5 < Зх = 2; (х + I)2 < х(х - 3); в) х(2 Зх) ^ 3(х I)2 ; г) - > 0. 205. Одредити све природне бројеве који су решења неједначине: а) х + 9 > 4х 3; ^ х - 1 < 0,1х + - ; 4 2 2 в) - х 1 < 0,2х + 2. О 206. Одредити најмању целобројну вредност променљиве х за коју израз 5х - 10 има вредност већу од вредности израза Зх + 15. _2 Зз) ј 207. Одредити х тако да разлика вредности израза -------- и -------- није 3 2 мања од 1. 208. У скупу природних бројева решити неједначине: а) - п + 5 > 0; 4п - 1 < 15; в) -З п + 2 < 0; г) -З п < 5п+1.
3. Линеарне једначине и неједначине 29 Решити неједначине (задаци 209-214): 209. а) 5х - 3 < 4х 1; в) 6ж - 2 < 12х + 19; д) 6 ж < 8 2ж <4ж + 6; х + 3 < 4 + 2х; г) х - 2,5 > 2 - -. 2 ж - 3 4 х ђ). X Н~ 3 <С : е ) 5 2х 10 ~ х х + ^ < < 210. а) * - + - -џ - 5 _ I ; 3 3 ^ 6 2, х + 1 х 3 2х 2 3 х в) п-------------- < 5 211. а' 7 х 3 + 4х 3 < =-------4; 3(2х 1) < 4(3х 8) 7; 2 ' 5 в) х - (2х - (Зх - (4х - 5))) < 1. 212. а) (х - I)2 - (х + I)2 < 12 - х; (х - 4)2 - (х + З)2 < 3(х - 9); в) 3х(3х - 4) - (Зх + I)2 < -1 ; 213. а) г) (* + 2)(х + 5) - 3(4х - 3 ) џ ( х - 5)2 ; л) 4(х - 2) - (2х - 5)(х - 3) < 12-2(х - I)2. 1 + х - 6 х 3 + х 2 ^ 3 х; 15 10 7х 2 + х 2 х ------- ----- х + ^ - > 1-1 х; х 7 7х 1 + 7. - + 6х + 1, 4 1 + 5х 2 1 2 в ) -----------------------------------< ----------------- 2 24 12 3 6 ^ 20х - (10 - Зх) 26х - 51 2(1 - Зх) Г ) X ----- +. ---------------------- ------------------------ 156 ^ 52 13 214. а) (х + 4)(х - 3) + 10 < (х + 2)(х + 3); (х + 3)(2х - 1) - (2х + 1)(х - 4) > 0; в) (х - I)2 + 7 > (х + 4)2; г) (х + 1)(х + 2) + 3(1 - х) < (х - I)2.
30 Текстови задатака 215. Наћи највећи цео број х који задовољава неједначину 2х + 1 Зх 1 -----------------2 ~ > г ' 216. Наћи најмањи цео број х који задовољава систем неједначина 2 х 0,5(2д - 5) > ------1, 4х 0,2(3х - 2) + 3 > - 0,5(х - 1). 2ј О Наћи решења система неједначина: а) х < - 2, х < 1, -2,5 < х ^ 2; 1 < х < :2, 1,5 < х ^ 3, * ^ 2,7; в) х + 7, х > 3, 5 ^ х < 11 1 1 г) X + 2 < х < 0, -1 < х < 3 ~ 2 д) X > 2, х > 14, х А\ О 218. Решити следеће системе неједначина: а) х 5 > 0, Зх < 17; б )2 х 1 Јг 0, х 4 < 0 ; в ) х 1, 1 7 52х ј (1-4») > ј * јј, 5х 47х 13 х 11 Т + Т Г _ 21^3~ 21. Зх 5 4х 3,... о г) 3 - > ------- ----------------------, 2х(2х - 5) 27 (2х х + 1 х + 2 х х + 1 х + 2 2 3 6 2 3 ђ) 15х - > 2(х + 1), 4(х 4) ^ Зх 14. 0 219. Наћи све целе бројеве х за које важе неједначине: 1 Зх 14 а) 15х 2 > 2х Н и 2(х 4) < --- ----; 3 2 2(3х - 4) - 16 < 3(4х - 3) и 3(х + 1) < 2х + 4; 2х 13 2, Зх 20 х в) > 2 - Зх и - ( х - 7) < 11 9 6, х 1 2х + 3 х х + 5 х + 5 4 х х + 1 г>-г----------з 2 3 - + б <2- Д 2Г и1- ^ 8 + ^ 2 <31-
3. Линеарне једначине и неједначине 31 Решити неједначине (задаци 220-222): 220. а) х ^ 2; х > 3. 221. а) \х - 2 < 1; \2х 1 1; < 1; в) 3 х > 5; г) \5х - 1 5= 4; д) 3х 2,5 ^ 2; ђ) 5 2х\ < 1. 222. а) 2х + (ж 1 > 5; \х+ 1 - ^ х < 1; в) \2х - 6 ^ 9 х; г) х 1 > \2х 4 ; д) 2д - 4 < 2 - х. х 2 ~ / 100 223. Закоје природне бројеве х и у важи једнакост = - ако је у < 18? У 3 224. За које вредности непознате а је вредност израза 2а 5 између 3 и 17? 225. За које вредности променљиве у је израз (2у + 1)(у 2) 2(у + I)2 позитиван, једнак нули, односно негативан? 226. Дена књиге је део број динара. Укупна дена 9 књига је већа од 1100 динара, а мања од 1200 динара, док је укупна цена 13 књига већа од 1500 динара, а мања од 1600 динара. Колика је цена једне књиге? 3.4. Д О Д А Т А К У З Г Л А В У III 227. Дати су скупови реалних број ева: А = {х оо < х < 3 }, В = {х оо < х ^ 3 } С = {х 3 < х < +оо }, в = { х 3 < х < +оо } Е = {х I ^ х < 4 }, Е = (ж I~1 < V/ н С = {х < х < 5 }, Н = {х 3 ^ х ^ 5 }. а) Представити ове скупове графички на бројној оси. Одредити: 1 А џ В ; 2 А П В ; 3 А П Н ; 4 В Г) Н ; 5 СПВ', 6 С П Р ; 7 Е П С П Н ; 8 А п В п Н. 228. Које од следећих реченица важе за све реалне бројеве а, 6, с, Л\ а) ако је а < б, онда је а + с < 6 + с; ако је а < 6, онда је а с < ћ с; в) ако је а < 6, онда је а > 6;,,. 1 1 г) ако Је а < 6, онда Је - > - ;
32 Текстови задатака д) ако је а < 6 и с < <1, онда је а + с < 1>+ (1; ђ) ако је а < 6 и с < <1, онда је а с < 6 д, ; е) ако је а < ђ и с > <Ј, онда је а с > 5 (П 229. Одредити које од следећих реченица су тачне а које нетачне: а) Ако су а и 6 реални бројеви такви да је а < &, онда је а2 ^ 6. Ако су х и г/ позитивни реални бројеви такви да је х < у, онда је 1 1 X у в) Ако су и и V реални бројеви различити од нуле такви да је и ^ V, 1 1 онда је Џ. и V 230. За коју вредност променљиве х је: 2 3 а) збир израза - ( х 3) и - ( х 1) једнак 5; О I ч 11 /л оч 11х. разлика израза (2х 3) и Једнака 0; О Зж в) збир израза \/2х и -у= једнак 5; V 2 г) разлика квадрата израза х + 5 и х 1 једнака 48? 231. Решити једначине: а) 3х 2 х = 2; х 1 х + 2 = 3х 3. 232. Наћи решења једначина:! + Ј г! _ 1 ^ м., х + X + х X 233. Решити једначину: х - 1994 х - 1995 х - 1996 х - 1997 х - 1998 ----------- + ------ -------- 1--------------н-------- ------+ 3 2 х х 5 х 4 х 3 х 2 + 1994 1995 1996 + 1997 + 1998 234. Јелена има 24 године. Она има два пута више година него што је имала Снежана када је Јелена имала толико година колико Снежана има сада. Колико година има Снежана?
3. Линеарне једначине и неједначине 33 235. Зоран има два пута више година него што је имао Јован када је Зорану било толико година колико је сада Јовану. Заједно имају 35 година. Колико је стар свако од њих? 236. Иван сада има четири пута више година него што је имао Марко када је био три пута млађи од Ивана. Колико година сада има Марко, ако ће следеће године заједно имати 20 година? 237. Нина и Иван имају заједно 44 године. Нина има два пута више година него што је имао Иван када је Нини било упола толико година колико ће имати Иван када Нини буде три пута толико година колико је било Ивану. Колико година има Нина? 238. Казаљке сата показују: а) 9 сати; 4 сата. Када ће се казаљке први пут поклопити? 239. Отац полази од куће према школи у исто време када и син од школе према кући. Отац би цео пут прешао за 10 минута, а син за 15 минута. После колико минута ће се срести? 240. Неколико дечака скупља новац да купе кошаркашку лопту која стаје 720 динара. Када би у њиховој групи било три дечака мање, сваки би платио по 40 динара више. Колико има дечака? 241. Аутобус је прешао 300 к т. Да је возио 1 5 к т /ћ брже, на путу би провео 1 час мање. Којом брзином се кретао аутобус? 242. Један бициклиста кренуо је из града А у град В брзином 1 4 к т /ћ. Када му је остало да пређе 18 к т мање него што је прешао, повећао је брзину на 21 к т / ћ. Колика је удаљеност градова А и В ако је просечна брзина бициклисте на целом путу 1 6 к т /ћ? 243. Мајмуни деле кокосове орахе. Први мајмун је узео три ораха и десети део остатка; други мајмун - шест ораха и десети део преосталих ораха; трећи мајмун - девет ораха и десети део преосталих ораха итд, све док сви ораси нису подељени. Испоставило се да су сви мајмуни добили исти број ораха. Колико је било мајмуна? 244. Резервоар се напуни водом за 8 сати када су отворене све три 2 5 доводне цеви. Кроз другу цев утиче, а кроз трећу - оне количине 3 6 воде која утиче кроз прву цев. За које време би се резервоар напунио ако би се пунио само кроз прве две цеви? 245. Ката и Ната донеле су на пијацу укупно 300 комада јаја. Једна од њих је имала више јаја од друге, али су обе од продаје зарадиле једнаке
34 Текстови задатака суме новца. У повратку Ката је рекла: Да си ми дала своја јаја, ја бих их продавала по истој цени као своја и зарадила бих 15 динара више него што сам зарадила. На то је Ната одговорила: Да си ти мени дала своја јаја, ја бих их продавала по истој цени као своја и зарадила бих 20 динара више него што сам зарадила. Колико су јаја имале Ката и Ната? Решити неједначине (задаци 246-250): 246. а) \х + 2 \х 1 < х ~ ; \х + 1 + д - 4 > 7. 247. а) \Јх2-2х + 1 + \/9-6х + х2 ^ х + 2; 248. а) \Јх2 + 2х + 1 + \!х2 8х + 16 ^ 7. 2х - 5 х 1 > 0 ;. 2х 5 249. а) > 1; х + 3 х2 1 г) ( х - 1 ) { х - 2 ) 250. а) х2 х 2 х2 + 2х 5 6 ) ^ 0 ; х 4 < 2 ; д) 251. Одредити решења неједначина: а) х2 ^ х; х3 - ж ^ 0; ^ < 0 ; х + 2 г ) ^ + 1 > 0. х + 2 1 х г) х4 > х3 ; д) х3 + 1 < х2 + х. 252. Решити неједначину: \ ж - 3 в -------г С 1, 2ж 5 > 2. х2 9 х2 7х + 12 < в) х ^ ; х а) 113 х\ > 6 ; 253. Решити неједначине: х + 7 а) \/9 х 2 + 6х + 4 < 2; х2 + 4х + 4 9 6х + х2 < 2 ; \Јх2 4х + 4 ^ Д) (х - 2)(х - 3) " ' < 6 х јз х \Ј4х2 4х + 1 < 3 х ; г) >
3. Линеарне једначине и неједначине 35 254. Одредити најмању вредност израза: а) (х 2)2 + 4; а;2-2 2 : + 4; в) 3 1 3 5; г) х 2 - Зх + 2,251. 255. Одредити највећу вредност израза: 1 а) (ж + I)2 ; 3 х ---- 2 1 в) х2 + 6ж 10; г ) х2 8х + 20 ' \ а + 6 г г) > +ак- 256. Доказати да за позитивне бројеве а и 6 важе неједнакости:, а 5 а) Н џ 2 - а + - > 2; в) аг + 1 ^ 2а; о а а е) (а + 6)2 ^ 4а6. Д ) ^» 1 1 а I о., а2 1 ^ 1 + а4 ^ 2 ; 257. Доказати да за све реалне бројеве х, у, г важе неједнакости: х2 + у 2 + г2 + 3 а) х 2 + у2 + г2 ^ ху + уг + г х ; ^ а; + у + г. 258. Доказати да за све реалне бројеве а важи: а) а2 + 2а + 2 > 0; б ) а 2-4 а + 6 > 0 ; в) а2-6а + 11 > 0; г) а2 + а + 1 > 0; д) - а 2 + 2а 2 < 0. 259. За правоугли троугао важи: а) К + г ^ / 2 Р - - 3* 1 + ^/2 V (К - полупречник описаног, г - полупречник уписаног круга, Р - површина троугла). Доказати.