Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14

Слични документи
vjezbe-difrfv.dvi

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJE.doc

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Karolina Novaković Derivacija funkcije i prim

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler

Microsoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo

3. Neprekinute funkcije U ovoj to ki deniramo neprekinute funkcije. Slikovito, graf neprekinute funkcije moºemo nacrtati a da ne diºemo olovku s papir

2.7 Taylorova formula Teorem 2.11 Neka funkcija f : D! R; D R m ; ima na nekoj "-kugli K(T 0 ; ; ") D; T 0 x 0 1; :::; x 0 m neprekidne derivacije do

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.

Newtonova metoda za rješavanje nelinearne jednadžbe f(x)=0

Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

MATEMATIČKA ANALIZA I primjeri i zadaci Ante Mimica 8. siječnja 2010.

Microsoft Word - predavanje8

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Dokažite da vrijedi: (a) (A \ B) (B \ A) = (A B) (A C B C ), (b) A \ (B \ C) = (A C) (A \ B), (c) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C). 2.

Seminar 13 (Tok funkcije) Obavezna priprema za seminar nalazi se na drugoj stranici ovog materijala. Ove materijale obražujemo na seminarima do kraja

Microsoft Word - 15ms261

Vektorske funkcije i polja Mate Kosor / 23

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Elma Daferović HIJERARHIJA KONVEKSNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

MATEMATIKA Preddiplomski studij molekularne biologije Damir Bakić

Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor

My_ST_FTNIspiti_Free

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Malo kompleksne analize i osnovni teorem algebre Ljiljana Arambašić, Maja Horvat Saže

(Microsoft Word - 1. doma\346a zada\346a)

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Igor Sušić LOKALNA IZRAČUNLJIVOST Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc.

Osnovni pojmovi teorije verovatnoce

Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. p

Diferenciranje i integriranje pod znakom integrala math.e Vol math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Diferenciranje i integriranje pod

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lara Čigir PRIMJENA TEORIJE EKSTREMNIH VRIJEDNOSTI NA REZULTATE U ATLETICI

07jeli.DVI

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler

UNIVERZITET U ZENICI

Konacne grupe, dizajni i kodovi

Skripte2013

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Posavčević IZRAČUNLJIVOST NA SKUPOVIMA Z, Q, R I C Diplomski rad Zagr

Grupiranje podataka: pristupi, metode i primjene, ljetni semestar 2013./ Standardizacija podataka Predavanja i vježbe 8 Ako su podaci zadani

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 5. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n

knjiga.dvi

10_Perdavanja_OPE [Compatibility Mode]

MAT KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XX (2)(2014), PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORIN

0255_Uvod.p65

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Margareta Tvrdy Banachovi prostori Završni rad Osijek, 2013

UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJA.doc

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 20 bodova) MJERA I INTEGRAL Popravni ispit 7. rujna (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori

Microsoft Word - 12ms101

Teorija skupova - blog.sake.ba

75 Bolyai - Gerwienov teorem Margita Pavleković Sažetak.Bolyai-Gerwienov teorem ima veliku primjenu u nastavi geometrije u osnovnoj školi. Ovaj teorem

Rokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {

Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskaz pogledati u predavanjima (Teorem 21.7.) Zadatak 1 Izračunajte ukupni fluks funkcije F kroz plohu D,

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Generalizirani trag i normalne forme za logiku interpretabilnosti Vedran Čačić PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu Dubrovnik radiona Sustavi

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja

Optimizacija

Matematika 1 - izborna

Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Elementarne funkcije i preslikavanja u analizi Master rad Mentor: dr Miodrag Mateljević Student: Marija Vu

Neodreeni integrali - Predavanje III

Matematika 2 za kemi are tre i kolokvij, 16. lipnja Napomene. Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisan

Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 28. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

Title

6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe

EНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 јануар Трофазни једнострани исправљач прикључен је на круту мрежу 3x380V, 50Hz преко трансформатора у спрези Dy, као

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature

Maksimalni protok kroz mrežu - Ford-Fulkerson, Edmonds-Karp

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

Linearna algebra Mirko Primc

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Elizabeta Borovec ALGEBARSKA PROŠIRENJA POLJA Diplomski rad Voditelj rada:

QS3-KOVIU-DI-R1-GM Detaljni izvedbeni plan kolegija 1. OPĆE INFORMACIJE 1.1. Naziv kolegija Gospodarska matematika Semestar I Nosi

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Natjecanje 2016.

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Aleksandar Bulj DOKAZ CARLESONOVOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: iz

2015_k2_z12.dvi

Programiranje 1 3. predavanje prošireno Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2018, 3. predava

Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

Problemi zadovoljavanja ogranicenja.

s2.dvi

Verovatnoća - kolokvijum 17. decembar Profesor daje dva tipa ispita,,,težak ispit i,,lak ispit. Verovatnoća da student dobije težak ispit je

3. КРИВОЛИНИЈСКИ ИНТЕГРАЛ

Процена максималних вредности годишње температуре ваздуха у Бањалуци

Транскрипт:

Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14

Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14

Definicija. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14

Definicija. Neka je f : X R funkcija, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14

Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14

Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14

Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14

Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 U suprotnom kažemo da f ima prekid u x 0 X. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14

Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 U suprotnom kažemo da f ima prekid u x 0 X. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14

Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 U suprotnom kažemo da f ima prekid u x 0 X. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14

Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 U suprotnom kažemo da f ima prekid u x 0 X. Napomena. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14

Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 U suprotnom kažemo da f ima prekid u x 0 X. Napomena. Funkcija može imati prekid samo u točkama domene. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14

Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 U suprotnom kažemo da f ima prekid u x 0 X. Napomena. Funkcija može imati prekid samo u točkama domene. Treba razlikovati prekid domene od prekida funkcije. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14

Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 U suprotnom kažemo da f ima prekid u x 0 X. Napomena. Funkcija može imati prekid samo u točkama domene. Treba razlikovati prekid domene od prekida funkcije. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14

Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 U suprotnom kažemo da f ima prekid u x 0 X. Napomena. Funkcija može imati prekid samo u točkama domene. Treba razlikovati prekid domene od prekida funkcije. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14

Definicija. Neka je f : X R funkcija, te x 0 X. Kažemo da je f neprekidna u x 0 ako vrijedi lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 U suprotnom kažemo da f ima prekid u x 0 X. Napomena. Funkcija može imati prekid samo u točkama domene. Treba razlikovati prekid domene od prekida funkcije. D(f ) =, + D(f ) =, x 0 x 0, + Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14

Kažemo da funkcija f ima: Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14

Kažemo da funkcija f ima: uklonjivi prekid u x 0 ako vrijedi lim x x + 0 f (x) = lim x x 0 f (x) = L = f (x 0 ). Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14

Kažemo da funkcija f ima: uklonjivi prekid u x 0 ako vrijedi lim x x + 0 f (x) = lim x x 0 f (x) = L = f (x 0 ). Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14

Kažemo da funkcija f ima: uklonjivi prekid u x 0 ako vrijedi lim x x + 0 f (x) = lim x x 0 f (x) = L = f (x 0 ). prekid prve vrste u x 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u točki x 0 konačni, ali međusobno različiti. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14

Kažemo da funkcija f ima: uklonjivi prekid u x 0 ako vrijedi lim x x + 0 f (x) = lim x x 0 f (x) = L = f (x 0 ). prekid prve vrste u x 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u točki x 0 konačni, ali međusobno različiti. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14

Kažemo da funkcija f ima: uklonjivi prekid u x 0 ako vrijedi lim x x + 0 f (x) = lim x x 0 f (x) = L = f (x 0 ). prekid prve vrste u x 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u točki x 0 konačni, ali međusobno različiti. prekid druge vrste u točki x 0 ako su jedan (ili oba) jednostrana limesa u točki x 0 beskonačni ili ne postoje. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14

Kažemo da funkcija f ima: uklonjivi prekid u x 0 ako vrijedi lim x x + 0 f (x) = lim x x 0 f (x) = L = f (x 0 ). prekid prve vrste u x 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u točki x 0 konačni, ali međusobno različiti. prekid druge vrste u točki x 0 ako su jedan (ili oba) jednostrana limesa u točki x 0 beskonačni ili ne postoje. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14

Zadatak. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14

Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14

Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, lim f (x) = 2 x 1 + Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14

Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, lim f (x) = 2 x 3 + Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14

Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14

Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Je li funkcija neprekidna u istaknutoj točki? Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14

Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Je li funkcija neprekidna u istaknutoj točki? Ako funkcija ima prekid, koje je prekid vrste? Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14

Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Je li funkcija neprekidna u istaknutoj točki? Ako funkcija ima prekid, koje je prekid vrste? Rješenje. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14

Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Je li funkcija neprekidna u istaknutoj točki? Ako funkcija ima prekid, koje je prekid vrste? Rješenje. a) Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14

Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Je li funkcija neprekidna u istaknutoj točki? Ako funkcija ima prekid, koje je prekid vrste? Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14

Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Je li funkcija neprekidna u istaknutoj točki? Ako funkcija ima prekid, koje je prekid vrste? Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1. b) Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14

Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Je li funkcija neprekidna u istaknutoj točki? Ako funkcija ima prekid, koje je prekid vrste? Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1. b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14

Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Je li funkcija neprekidna u istaknutoj točki? Ako funkcija ima prekid, koje je prekid vrste? Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1. b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3. c) Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14

Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi: a) f (1) = 2 lim f (x) = x 1, b) lim f (x) = 2 x 1 + f (3) = 3 lim f (x) = 1 x 3, c) lim f (x) = 2 x 3 + f (2) = 3 lim f (x) = 1 x 2. lim f (x) = 1 x 2 + Je li funkcija neprekidna u istaknutoj točki? Ako funkcija ima prekid, koje je prekid vrste? Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1. b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3. c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14

Definicija. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 6 / 14

Definicija. Kažemo da je funkcija f : X R neprekidna Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 6 / 14

Definicija. Kažemo da je funkcija f : X R neprekidna ako je neprekidna u svakoj točki domene X. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 6 / 14

Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, možemo: Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14

Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, možemo: 1 neprekidnost funkcije utvrđivati po definiciji; Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14

Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, možemo: 1 neprekidnost funkcije utvrđivati po definiciji; 2 neprekidnost funkcije utvrđivati koristeći strukturu klase elementarnih funkcija: Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14

Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, možemo: 1 neprekidnost funkcije utvrđivati po definiciji; 2 neprekidnost funkcije utvrđivati koristeći strukturu klase elementarnih funkcija: 1 utvrdimo neprekidnost svih osnovnih elementarnih funkcija, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14

Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, možemo: 1 neprekidnost funkcije utvrđivati po definiciji; 2 neprekidnost funkcije utvrđivati koristeći strukturu klase elementarnih funkcija: 1 utvrdimo neprekidnost svih osnovnih elementarnih funkcija, 2 utvrdimo da svih 5 računskih operacija čuvaju neprekidnost, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14

Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, možemo: 1 neprekidnost funkcije utvrđivati po definiciji; 2 neprekidnost funkcije utvrđivati koristeći strukturu klase elementarnih funkcija: 1 utvrdimo neprekidnost svih osnovnih elementarnih funkcija, 2 utvrdimo da svih 5 računskih operacija čuvaju neprekidnost, iz čega možemo zaključiti da su sve elementarne funkcije neprekidne. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14

Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14

Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14

Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14

Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14

Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14

Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x 0. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14

Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x 0. Tada su u x 0 neprekidne i funkcije f + g, f g, f g i f g (uz uvjet g(x 0) = 0). Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14

Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x 0. Tada su u x 0 neprekidne i funkcije f + g, f g, f g i f g (uz uvjet g(x 0) = 0). Teorem. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14

Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x 0. Tada su u x 0 neprekidne i funkcije f + g, f g, f g i f g (uz uvjet g(x 0) = 0). Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x 0, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14

Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x 0. Tada su u x 0 neprekidne i funkcije f + g, f g, f g i f g (uz uvjet g(x 0) = 0). Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x 0, a funkcija g neprekidna u y 0 = f (x 0 ), Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14

Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x 0. Tada su u x 0 neprekidne i funkcije f + g, f g, f g i f g (uz uvjet g(x 0) = 0). Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x 0, a funkcija g neprekidna u y 0 = f (x 0 ), onda je kompozicija g f neprekidna u x 0. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14

Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x 0. Tada su u x 0 neprekidne i funkcije f + g, f g, f g i f g (uz uvjet g(x 0) = 0). Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x 0, a funkcija g neprekidna u y 0 = f (x 0 ), onda je kompozicija g f neprekidna u x 0. Zaključujemo: Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14

Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x 0. Tada su u x 0 neprekidne i funkcije f + g, f g, f g i f g (uz uvjet g(x 0) = 0). Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x 0, a funkcija g neprekidna u y 0 = f (x 0 ), onda je kompozicija g f neprekidna u x 0. Zaključujemo: Teorem. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14

Za osnovne elementarne funkcije vrijedi: Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne. Za računske operacije vrijedi: Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x 0. Tada su u x 0 neprekidne i funkcije f + g, f g, f g i f g (uz uvjet g(x 0) = 0). Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x 0, a funkcija g neprekidna u y 0 = f (x 0 ), onda je kompozicija g f neprekidna u x 0. Zaključujemo: Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14

Zadatak. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1 x za x 1, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1 x za x 1, b) f (x) = { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 lim f (x) = x 1 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 1 lim f (x) = lim x 1 x 1 x 1 = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 1 lim f (x) = lim x 1 x 1 x 1 = [ 1 1 0 + 1 = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 1 lim f (x) = lim x 1 x 1 x 1 = [ 1 1 0 + 1 = 1 0 ] = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 1 lim f (x) = lim x 1 x 1 x 1 = [ 1 1 0 + 1 = 1 0 ] = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 1 lim f (x) = lim x 1 x 1 x 1 = [ 1 1 0 + 1 = 1 0 ] = lim f (x) = x 1 + Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 lim f (x) x 1 = 1 lim x 1 x 1 = [ 1 1 0 + 1 = 1 0 ] = lim f (x) x 1 + = 1 lim x 1 + x = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 lim f (x) x 1 = 1 lim x 1 x 1 = [ 1 1 0 + 1 = 1 0 ] = lim f (x) x 1 + = 1 lim x 1 + x = [1 1 ] = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 lim f (x) x 1 = 1 lim x 1 x 1 = [ 1 1 0 + 1 = 1 0 ] = lim f (x) x 1 + = 1 lim x 1 + x = [1 1 ] = 1 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. a) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f (1) = 1 1 = 1 lim f (x) x 1 = 1 lim x 1 x 1 = [ 1 1 0 + 1 = 1 0 ] = lim f (x) x 1 + = 1 lim x 1 + x = [1 1 ] = 1 Funkcija u x 0 = 1 ima prekid druge vrste. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = 2 2 1 = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = 2 2 1 = 3 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = 2 2 1 = 3 lim f (x) = x 2 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = 2 2 1 = 3 lim f (x) = lim x 2 x 2 (x 2 1) = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = 2 2 1 = 3 lim f (x) = lim x 2 x 2 (x 2 1) = [4 1] = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = 2 2 1 = 3 lim f (x) = lim x 2 x 2 (x 2 1) = [4 1] = 3 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = 2 2 1 = 3 lim f (x) x 2 = lim x 2 (x 2 1) = [4 1] = 3 lim x 2 + = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = 2 2 1 = 3 lim f (x) x 2 = lim x 2 (x 2 1) = [4 1] = 3 f (x) + = lim +(3 x) = lim x 2 x 2 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = 2 2 1 = 3 lim f (x) x 2 = lim x 2 (x 2 1) = [4 1] = 3 f (x) + = lim +(3 x) = [3 2] = lim x 2 x 2 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = 2 2 1 = 3 lim f (x) x 2 = lim x 2 (x 2 1) = [4 1] = 3 f (x) + = lim +(3 x) = [3 2] = 1 lim x 2 x 2 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. b) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 2. f (2) = 2 2 1 = 3 lim f (x) x 2 = lim x 2 (x 2 1) = [4 1] = 3 f (x) + = lim +(3 x) = [3 2] = 1 lim x 2 x 2 Funkcija u x 0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok). Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 lim f (x) = x 1 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 lim f (x) = lim x 1 x 1 2 x = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 lim f (x) = lim x 1 x 1 2 x = [2 ( 1) ] = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 lim f (x) = lim x 1 x 1 2 x = [2 ( 1) ] = 2 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 lim f (x) x 1 = lim x 1 2 x = [2 ( 1) ] = 2 lim x 1 + = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 lim f (x) x 1 = lim x 1 2 x = [2 ( 1) ] = 2 lim f (x) x 1 + = lim x 1 +(3 x 2 ) = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 lim f (x) x 1 = lim x 1 2 x = [2 ( 1) ] = 2 lim f (x) x 1 + = lim x 1 +(3 x 2 ) = [3 ( 1) 2 ] = Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 lim f (x) = lim x 1 x 1 2 x = [2 ( 1) ] = 2 lim f (x) = lim x 1 + x 1 +(3 x 2 ) = [3 ( 1) 2 ] = 2 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14

Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija: a) f (x) = c) f (x) = { 1 x 1 za x < 1 1, b) f (x) = x za x 1 { 2 x za x 1 3 x 2 za x > 1. { x 2 1 za x 2 3 x za x > 2, Rješenje. c) Funkcija može imati prekid jedino u x 0 = 1. f ( 1) = 2 ( 1) = 2 1 = 2 lim f (x) = lim x 1 x 1 2 x = [2 ( 1) ] = 2 lim f (x) = lim x 1 + x 1 +(3 x 2 ) = [3 ( 1) 2 ] = 2 Funkcija je neprekidna u x 0 = 1. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Napomena. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval bude zatvoren, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval bude zatvoren, su jako važni Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval bude zatvoren, su jako važni jer bez njih tvrdnja Teorema općenito ne vrijedi. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval bude zatvoren, su jako važni jer bez njih tvrdnja Teorema općenito ne vrijedi. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval bude zatvoren, su jako važni jer bez njih tvrdnja Teorema općenito ne vrijedi. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Posljedica: Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Posljedica: ako za neprekidnu funkciju f vrijedi Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Posljedica: ako za neprekidnu funkciju f vrijedi da su f (a) i f (b) brojevi suprotnog predznaka, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Posljedica: ako za neprekidnu funkciju f vrijedi da su f (a) i f (b) brojevi suprotnog predznaka, onda postoji x [a, b] takav da je f (x) = 0. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14

Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]. Tada f postiže maksimalnu i minimalnu vrijednost. Štoviše, f postiže sve vrijednosti između minimuma i maksimuma. Posljedica: ako za neprekidnu funkciju f vrijedi da su f (a) i f (b) brojevi suprotnog predznaka, onda postoji x [a, b] takav da je f (x) = 0. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14

Teorem. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14

Teorem. Ako je lim x x 0 f (x) = y 0 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14

Teorem. Ako je lim x x 0 f (x) = y 0 i ako je funkcija g neprekidna u točki y 0, Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14

Teorem. Ako je lim x x 0 f (x) = y 0 i ako je funkcija g neprekidna u točki y 0, onda vrijedi ( ) lim g (f (x)) = g lim f (x) = g(y 0 ). x x 0 x x 0 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14

Teorem. Ako je lim x x 0 f (x) = y 0 i ako je funkcija g neprekidna u točki y 0, onda vrijedi ( ) lim g (f (x)) = g lim f (x) = g(y 0 ). x x 0 x x 0 Kažemo da limes i neprekidna funkcija g komutiraju. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14

2024 © DocPlayer.rs Правила о приватности | Правила коришћења | Фидбек