Univerzitet u Nišu Prirodno-Matematički fakultet Departman za matematiku MASTER RAD JEDNOSTAVNIJI POPULACIONI PROCESI MARKOVA Mentor: Prof. dr Miljana

Транскрипт

1 Univerzitet u Nišu Prirodno-Matematički fakultet Departman za matematiku MASTER RAD JEDNOSTAVNIJI POPULACIONI PROCESI MARKOVA Mentor: Prof. dr Miljana Jovanović Student: Dušan D. -Dord ević Niš, 2015.

2 2

3 Sadržaj Uvod 5 1 Uvodni pojmovi 7 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova Jednostavan Puasonov proces Vreme do naredne imigracije jedinke u populaciju Broj dolazaka Opšti momenti Generalizacije Da li momenti jedinstveno odred uju raspodelu? Procesi čistog umiranja Stohastički model Verovatnoće suprotnog prelaza Verovatnoće mosta Procesi čistog rad anja Stohastički model Rešenje Laplasovom transformacijom Rešenje dobijeno pomoću funkcije generatrise verovatnoća Vreme do zadatog stanja Jednostavniji procesi rad anja i umiranja Stohastički model Istrebljenje Vreme do zadatog stanja Proces dominantnog lidera Jednostavan proces imigracija-rad anje-umiranje

4 4 SADRŽAJ Stohastički model (λ = 0) Stohastički model (λ 0) Verovatnoće ekvilibrijuma Jednostavni imigraciono-emigracioni procesi Raspodela ekvilibrijuma Biografija 76 Literatura 77

5 SADRŽAJ 5 Uvod Teorija verovatnoća predstavlja veoma značajno i sadržajno područje savremene matematike. Njenoj velikoj popularnosti doprinisi izuzetna primena u oblastima koje nisu vezane samo za matematiku, već se odnose i na realne probleme. Disciplina teorije verovatnoća koja odlično opisuje prirodne pojave jeste teorija slučajnih procesa. U ovom radu posmatraće se problemi vezani za brojnost i trajanje posmatrane populacije u vezi sa procesima Markova. Master rad se sastoji od dve glave. U prvoj glavi izloženi su neki osnovni pojmovi teorije verovatnoća: definicije slučajnih promenljivih, matematičkog očekivanja, disperzije, momenata, funkcije generatrise verovatnoće. Navedene su najbitnije osobine matematičkog očekivanja i disperzije, centralna granična teorema kao i poznate raspodele slučajnih promenljivih diskretnog i apsolutno neprekidnog tipa, koje se koriste u radu. U drugoj glavi posmatra se populacija kao glavni objekat koji se izučava. Ispituje se veličina populacije, kao i vreme proteklo do nekog opisanog dogad aja. Uvedene su pojedine pretpostavke koje uprošćavaju situacije u realnim problemima u cilju jednostavnijeg matematičkog opisa odgovarajućih procesa. Korektnim rezonovanjem dolazi se do običnih i parcijalnih diferencijalnih jednačina, čija rešenja daju tražene odgovore. Izuzetnu zahvalnost dugujem svom mentoru, profesorki Miljani Jovanović, na predloženoj aktuelnoj i interesantnoj temi. Njena nesebična pomoć kada je to bilo potrebno, kao i konstruktivni dobronamerni saveti, doprineli su konačnoj formi master rada. Hvala! Zahvaljujem se profesorkama Mariji Milošević i Mariji Krstić na nesebičnom trudu, pomoći i predlozima koji su poboljšali kvalitet rada. Takod e se zahvaljujem profesorki Jasmini -Dord ević na dobronamernim savetima.

6 6 SADRZ AJ

7 Glava 1 Uvodni pojmovi Neophodno je najpre upoznati se sa nekim osnovnim činjenicama iz teorije verovatnoća i slučajnih procesa bez kojih bi bilo gotovo nemoguće razumevanje ovog rada. Teorija verovatnoća se bavi proučavanjem slučajnih dogad aja, odnosno dogad ajima u prirodi i društvu koji pod istim uslovima mogu imati različite ishode. Skup svih mogućih ishoda nekog eksperimenta se označava sa Ω, a njegovi elemnti - elementarni dogad aji, sa w. Slučajan dogad aj A je podskup skupa Ω i čine ga ishodi koji imaju svojstvo kojim je definisan dogad aj A. Definicija Neka je Ω neprazan skup elementarnih dogad aja. Klasa F dogad aja, podskupova od Ω, čini σ-algebru ako i) Ω F ii) A F A C F iii) A 1, A 2, F + A n F. n=1 Osobina iii) naziva se σ-aditivnost. Ako je F σ-algebra, onda se ured en par (Ω, F) naziva merljiv prostor. Definicija Neka je C = {[a, b) a < b} familija podskupova realnih brojava. Tada je minimalna σ-algebra B 1 generisana familijom C Borelova σ-algebra, a njeni elementi su Borelovi skupovi. Definicija Neka je (Ω, F) merljiv prostor. Funkcija P : F R koja ima osobine i) nenegativnost: ( A F)(P (A) 0) 7

8 8 Glava 1 Uvodni pojmovi ii) normiranost: P (Ω) = 1 iii) σ-aditivnost: ( A 1, A 2,... F)( i, j N) ((i j A i Aj = ) P ( + A i ) = + P (A i )) i=1 naziva se verovatnoća. Ured ena trojka (Ω, F, P ) se naziva prostor verovatnoća. Definicija Preslikavanje X : Ω R je slučajna promenljiva ako je finitno i F-merljivo, tj. ako važi i=1 P {w X(w) = + X(w) = } = 0, ( S B 1 )(X 1 (S) = {w X(w) S} F). Definicija Neka je (Ω, F, P ) prostor verovatnoća. Indikator I A dogad aja A F je slučajna promanljiva definisana na sledeći način I A (w) = { 1, w A 0, w / A. Definicija Neka je (Ω, F, P ) prostor verovatnoća, dogad aji A, B F, pri čemu je P (A) > 0. Uslovna verovatnoća dogad aja B pri uslovu A je broj P (B A) koji je definisan pomoću jednakosti P (B A) = P (AB) P (A). Definicija Funkcija raspodele slučajne promenjive X je realna funkcija definisana sa F X (x) = P {X x}, x R. Definicija Slučajna promenljiva X definisana sa X = prosta slučajna promenljiva. k i=1 x i A i je Definicija Slučajna promenljiva X je diskretnog tipa ako postoji neki najviše prebrojiv skup R X = {x 1, x 2,...} tako da je P {X R X } = 1.

9 Glava 1 Uvodni pojmovi 9 Definicija Slučajna promenljiva X je apsolutno neprekidnog tipa ako postoji nenegativna integrabilna funkcija φ : R R tako da je F X (x) = x φ(u)du, x R. Funkcija φ je gustina raspodele slučajne promenljive X. Definicija Slučajni dogad aji A 1, A 2,... su (stohastički) nezavisni ako ( n N)( 1 i 1 <... < i n )(P (A i1 A i2 A in ) = P (A i1 )P (A i2 ) P (A in )). Definicija Slučajne promenljive X 1, X 2,... su (stohastički) nezavisne ako ( S 1, S 2,... B 1 )(X 1 1 (S 1 ), X 1 2 (S 2 ),... su nezavisni dogad aji). Definicija Matematičko očekivanje proste slučajne promenljive X je n EX = x k P {X = x k }. k=1 Definicija Matematičko očekivanje diskretne slučajne promenljive X je EX = k=1 x k P {X = x k }, i ono postoji ako je + x k P {X = x k } < +. k=1 Definicija Niz slučajnih promenljivih (X n ) n N uniformno konvergira ka slučajnoj promenljivoj X kada n +, u oznaci X n X, ako sup X n (w) X(w) 0, n +. w Ω Definicija Neka je (X n ) n N niz diskretnih slučajnih promenljivih koji konvergira ka slučajnoj promenljivoj X. Tada je matematičko očekivanje slučajne promenljive X EX = lim EX n. n +

10 10 Glava 1 Uvodni pojmovi Teorema Za prozvoljnu slučajnu promenljivu X postoji niz diskretnih slučajnih promenljivih (X n ) n N koji uniformno konvergira ka X. Teorema Ako nizovi diskretnih slučajnih promenljivih (X n ) n N i (Y n ) n N uniformno konvergiraju ka slučajnoj promenljivoj X kada n +, tada je lim EX n = lim EY n. n + n + Definicija Matematičko očekivanje slučajne promenljive X je Lebegov integral na Ω F-merljive slučajne promenljive X po aditivnoj meri P, tj. EX = X(w)P (dx). Ω Teorema Neka je (Ω, F, P ) prostor verovatnoća i X i Y slučajne promenljive na ovom prostoru verovatnoća. Osnovne osobine matematičkog očekivanja su: i) EX E X ; ii)e(1) = 1; iii)e(ax) = aex, gde je a neslučajna konstanta; iv) ako postoje EX i EY, onda je E(X + Y ) = EX + EY ; v) ako je ( w Ω)(X(w) 0), onda je EX 0; vi) ako je ( w Ω)(X(w) Y (w)), onda je EX EY ; vii) ako su X i Y nezavisne i ako postoje EX i EY, onda je E(XY ) = EX EY. Teorema Ako je f : R R Borelova funkcija (B 1 -merljiva) i X diskretna slučajna promenljiva na datom prostoru verovatnoća (Ω, F, P ), onda je matematičko očekivanje Ef(X) = k=1 f(x k )P {X = x k }. Teorema (Osnovna teorema o matematičkom očekivanju) Ako je f : R R Borelova funkcija (B 1 -merljiva) i X slučajna promenljiva na datom prostoru verovatnoća (Ω, F, P ), onda je matematičko očekivanje Lebeg-Stiltjesov integral funkcije f po meri odred enoj funkcijom raspodele F X + Ef(X) = f(x)df X (x).

11 Glava 1 Uvodni pojmovi 11 Definicija Neka je X slučajna promenljiva na prostoru verovatnoća (Ω, F, P ) i neka je m N. Tada je: EX m moment reda m, E X m apsolutni moment reda m, E(X EX) m centralni moment reda m. Teorema Neka je X slučajna promenljiva na prostoru verovatnoća (Ω, F, P ) i neka je m N. Tada EX m postoji onda i samo onda ako postoji E X m. Teorema Ako postoji moment reda m N, onda postoje i momenti reda k m iste slučajne promenljive. Definicija Centralni moment drugog reda slučajne promenljive X je disperzija DX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2, a standardna devijacija je DX. Teorema Neka je (Ω, F, P ) prostor verovatnoća i X i Y slučajne promenljive na tom prostoru verovatnoća. Osnovne osobine disperzije su: i)dx 0; ii)dx = 0 ako i samo ako je X = c, gde je c neslučajna konstanta; iii)d(ax) = a 2 DX, gde je a neslučajna konstanta; iv)d(x + a) = DX, gde je a neslučajna konstanta; vii) ako su X i Y nezavisne i ako postoje DX i DY, onda je D(X + Y ) = DX + DY. Definicija Karakteristična funkcija f : R R slučajne promenljive X je matematičko očekivanje kompleksne slučajne promenljive e itx, tj. f(t) = Ee itx = + e itx df (x), t R. Teorema Karakteristične funkcije dveju slučajnih promenljivih su jednake ako i samo ako su jednake njihove funkcije raspodela.

12 12 Glava 1 Uvodni pojmovi Definicija Neka je X slučajna promenljiva diskretnog tipa koja može imati samo nenegativne celobrojne vrednosti, i neka je P {X = k} = p k, k = 0, 1, 2,... Funkcija generatrise verovatnoće G X slučajne promenljive X je funkcija kompleksne promenljive definisana sa G X (z) = k=0 p k z k. Definicija Neka je X slučajna promenljiva diskretnog tipa koja može imati samo nenegativne celobrojne vrednosti, i neka je P {X = k} = p k, k = 0, 1, 2,... Funkcija generatrise momenata M X slučajne promenljive X je funkcija kompleksne promenljive definisana sa H X (w) = G X (e w ) = k=0 p k e wk. Teorema (Centralna granična teorema) Ako su (X n ) n N nezaivsne i jednako raspodeljene slučajne promenljive, sa disperzijom DX n = σ 2 i očekivanjem EX n = a, n N, tada za S n = nσ 2 ; n k=1 X k ; ES n = na; DS n = X : N (0; 1) važi { } Sn na P σ n < x P {X < x}, n +, x R. U ovom radu su od značaja neke poznate raspodele slučajnih promenljivih apsolutno neprekidnog i diskretnog tipa. (1) Normalna (Gausova 1 ) raspodela X : N (m, σ 2 ), m R, σ 2 > 0 Gustina slučajne promenljive X je f(x) = 1 (x m)2 e 2σ 2, x R. 2πσ 2 Funkcija raspodele slučajne promenljive X je F X (x) = 1 2πσ 2 x e (t m)2 2σ 2 dt. 1 Carl Friedrich Gauss ( ), nemački matematičar

13 Glava 1 Uvodni pojmovi 13 Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su EX = m i DX = σ 2. (2) Uniformna raspodela X : U(a, b), a, b R, a < b Gustina slučajne promenljive X je f(x) = { 1, x (a, b) b a 0, inače. Funkcija raspodele slučajne promenljive X je 0, x < a x a F X (x) = b a, a x < b 1, x b. Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su EX = a + b 2 i DX = (b a)2. 12 (3) Eksponencijalna raspodela X : E(λ), λ > 0 Gustina slučajne promenljive X je { λe λx, x > 0 f(x) = 0, x 0. Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su EX = 1 λ i DX = 1 λ 2. (1.1) (4) Gama raspodela X : Γ(α, β), α 0, β > 0

14 14 Glava 1 Uvodni pojmovi Gustina slučajne promenljive X je f(x) = { 1 β α Γ(α) xα 1 e x β, x > 0 0, x 0. Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su EX = αβ i DX = αβ 2. (5) Binomna raspodela X : B(n, p), n N, 0 < p < 1 ( ) n P {X = k} = p k (1 p) n k, k 0 k n Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su EX = np i DX = np(1 p). (6) Negativna binomna raspodela X : N B(r, p), r N, 0 < p < 1 ( ) r + k 1 P {X = k} = p r (1 p) k, k = 0, 1, 2,... (1.2) k Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su EX = r(1 p) p i DX = r(1 p) p 2. (7) Puasonova raspodela X : P(λ), λ > 0 P {X = k} = λk k! e λ, k = 0, 1, 2,... Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su EX = λ i DX = λ.

15 Glava 1 Uvodni pojmovi 15 (8) Geometrijska raspodela X : G(p), 0 < p < 1 P {X = k} = (1 p) k 1 p, k = 1, 2,... Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su EX = 1 p i DX = 1 p 2.

16 16 Glava 1 Uvodni pojmovi

17 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova Da bi se upoznali osnovni principi stohastičke populacione dinamike, uzeće se u obzir neki jednostavniji tipovi populacionih struktura. Pretpostavka je da se jedinke razvijaju potpuno nezavisno jedne od drugih, i mogu jedino da se pridruže populaciji (imigriraju) nasumično, sa stopom (parametrom) α > 0, napuste populaciju (emigriraju) sa stopom β > 0, razmožavaju se sa stopom λ i umiru sa stopom µ. Kombinujući ove različite tipove ponašanja mogu se dobiti mnogi interesantni procesi. Svaki od tih procesa ima neke svoje karakteristike koje će biti istaknute. Posmatraće se šest specifičnih kombinacija, od najelementarnijih do najkomplikovanijih, u matematičkom smislu. 2.1 Jednostavan Puasonov proces Kod konstrukcije najjednostavnijeg stohastičkog populacionog modela pretpostavka je da se jedinke pridružuju razmatranoj populaciji slučajno, sa konstantnim udelom α, i potom ne napuštaju populaciju, ne razmnožavaju se i ne umiru. Definicija Neka je sa N(t) označen broj jedinki koji se nalazi u populaciji u trenutku t i neka je t kratak vremenski interval. Jednostavan Puasonov 1 proces N = {N(t) t 0} ima sledeće osobine (za svaki nenega- 1 Siméon Denis Poisson ( ), francuski matematičar i fizičar 17

18 18 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova tivan ceo broj n): i) P {N(t + t) N(t) = 1 N(t) = n} = α t + o( t) ii) P {N(t + t) N(t) = 0 N(t) = n} = 1 α t + o( t), iii) P {N(t + t) N(t) > 1 N(t) = n} = o( t), iv) nezavisnost priraštaja, gde je α > 0. Ovakva uprošćenost Puasonovog procesa pruža odličnu mogućnost za uvod enje teorijske metode za konstruisanje funkcija gustine slučajnih promenljivih i njenih momenata, kao i povećavanje veza izmed u njih. U istraživanjima složenijih procesa pokazaće se da takve analize postaju matematički neukrotive, zbog čega se napredak zasniva na konstrukciji aproksimacionih tehnika i simuliranja stohastičkih realizacija. Za populacione modele, a samim tim i jednostavan Puasonov proces, veoma je važno odrediti dužinu vremenskog intervala do sledećeg dolaska jedinke u populaciju, kao i za broj jedinki koji dod u, odnosno imigriraju u populaciju u nekom datom vremenskom intervalu Vreme do naredne imigracije jedinke u populaciju Neka je t 0 početni fiksirani trenutak od koga se razmatra odred ena populacija, pri čemu je evolucija broja elemenata te populacije opisana jednostavnim Puasonovim procesom N. Uslov iv) Definicije omogućava da bilo šta što će se desiti sa procesom N nakon trenutka t 0 bude u potpunosti nezavisno od bilo kog dešavanja pre t 0, odnosno da imigracija jedinki u populaciju nakon trenutka t 0 ne zavisi od imigracija pre trenutka t 0. Neka slučajna promenljiva Z predstavlja vreme proteklo od početnog trenutka t 0 do prvog dolaska jedinke u populaciju, a t 0 + Z vreme prvog pristizanja jedinke nakon trenutka t 0. Slučajna promenljiva Z je nezavisna od dolaska u t 0 i od ma kog dolaska u populaciju koji se desio pre t 0. Potrebno je odrediti raspodelu slučajne promenljive Z. Neka je F funkcija raspodele slučajne promenljive Z i neka je funkcija G definisana sa G(t) = 1 F (t) = P {Z > t}, t 0. Posmatra se mali priraštaj vremena t > 0. Podelom dolazaka jedinki u populaciju koji su se dogodili u intervalu (t 0, t 0 +t+ t) na one koji su se desili

19 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova 19 u velikom intervalu (t 0, t 0 +t) i na one u narednom intervalu (t 0 +t, t 0 +t+ t) može se zaključiti G(t + t) = P {Z > t + t} = P {Z > t N(t 0 + t + t) N(t 0 + t) = 0} = P {Z > t} P {N(t 0 + t + t) N(t 0 + t) = 0 Z > t}, a primenom uslova iv) definicije Puasonovog procesa dobija se G(t + t) = G(t) P {N(t 0 + t + t) N(t 0 + t) = 0}. Prema osobini ii) Puasonovog procesa važi odakle je G(t + t) = G(t)(1 α t + o( t)), G(t + t) G(t) t = αg(t) + G(t) o( t). t Posmatrajući prethodni izraz kada t 0, dobija se linearna diferencijalna jednačina dg(t) = αg(t), dt koja ima rešenje G(t) = G(0)e αt. Kako je G(0) = P {Z > 0} = 1, zaključuje se da je funkcija raspodele slučajne promenljive Z jednaka F (t) = P {Z t} = 1 G(t) = 1 e αt. Gustina raspodele slučajne promenljive Z je f(t) = F (t) = αe αt, t > 0. (2.1) Znači, slučajna promenljiva Z ima eksponencijalnu raspodelu sa parametrom α. Bez gubljenja opštosti može se pretpsotaviti da je t 0 = 0. Neka Z n predstavlja vremenski interval izmed u (n 1). i n. dolaska jedinke u populaciju, a sami dolasci se dešavaju u trenucima: Z 1, Z 1 + Z 2, Z 1 + Z 2 + Z 3,... Kao što je dokazano, slučajna promenljiva Z 1

20 20 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova ima eksponencijalnu raspodelu sa parametrom α. Analogno, za t 0 = Z 1, t 0 = Z 1 + Z 2,... ponavljajući postupak dobija se da Z 2, Z 3,... imaju istu raspodelu kao slučajna promenljiva Z 1. Dakle, (Z n ) n N je niz nezavisnih, jednako raspodeljenih slučajnih promenljivih sa eksponencijalnom raspodelom sa parametrom α. Neka slučajna promenljiva T r = Z 1 + Z Z r predstavlja vreme do pristizanja r-te jedinke u populaciju, r N. Da bi se odredila njena gustina raspodele, potrebno je odrediti respodelu slučajnih promenljivih Z i, i N. Funkcija generatrise momenata slučajne promenljive Z i je M i (θ) E(e θz i ) = + 0 = α e θt f(t)dt = + 0 e (θ+α)t dt = + 0 e θt αe αt dt α α + θ. Kako je (Z i ) i N niz nezavisnih slučajnih promenljivih, to je M(θ) = E ( e θ r i=1 Z i ) r = Ee θz i = i=1 ( α ) r, α + θ što predstavlja funkciju generatrise momenata slučajne promenljive reda r sa gama raspodelom sa parametrom 1/α, čija je gustina raspodele verovatnoća f(t) = α(αt)r 1 e αt, t > 0. (r 1)! Zaista, funkcija generatrise momenata slučajne promenljive T r je M(θ) Ee θt r = + 0 α(αt) r 1 e ( α θ)t dt (r 1)! + ) r ( α = α + θ ( α ) r, = α + θ 0 (α + θ)[(α + θ)t] r 1 e (α+θ)t dt (r 1)!

21 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova 21 jer je podintegralna funkcija gustina neke slučajne promenljive sa gama raspodelom reda r sa parametrom 1/(α + θ). Kako su uzastopni intervali nezavisni, očekivanje i disperzija slučajne promenljive T r sa gama raspodelom reda r sa parametrom α su, primenom Teoreme i Teoreme 1.0.8, jednaki E(T r ) = r α i D(T r) = r α 2. (2.2) Ako r neograničeno raste, primenom centralne granične teoreme pokazuje se da raspodela slučajne promenljive T r asimptotski teži ka normalnoj raspodeli, N (r/α, r/α 2 ). Slika 1: Gustina slučajne promenljive sa Γ(r, 1) raspodelom: r = 1 (levo), r = 2 (desno) Slika 2: Gustina slučajne promenljive sa Γ(r, 1) raspodelom: r = 4 (levo), r = 10 (desno)

22 22 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova Slika 3: Gustina slučajne promenljive sa Γ(r, 1/2) raspodelom: r = 3 (levo), r = 10 (desno) Broj dolazaka Uzimajući u obzir raspodelu vremena izmed u svaka dva dolaska jedinki u populaciju, posmatraće se broj dolazaka jedinki N(t) u intervalu (0, t), fiksirane dužine. Naravno, ukupni brojevi pristizanja u disjunktnim vremenskim intervalima su med usobno nezavisni, prema definiciji Puasonovog procesa. Neka je za svaki broj i N 0 označeno p i (t) = P {N(t) = i}. Biće konstruisan niz diferencijalnih jednačina za verovatnoće {p i (t) i N 0 }. Ta procedura je jednostavna ilustracija opšte tehnike za analiziranje diskretnih stanja prostora procesa u neprekidnom vremenu. Podelom intervala (0, t + t) na interval (0, t) i interval (t, t + t), pri čemu N(t) i N(t + t) N(t) predstavljaju broj pristizanja jedinki u datim intervalima, dobija se p i (t + t) = P {N(t + t) = i} (2.3) = P {[N(t) = i, N(t + t) N(t) = 0] [N(t) = i 1, N(t + t) N(t) = 1] [( r {2, 3,..., i})(n(t) = i r, N(t + t) N(t) = r)]} = P {N(t) = i}p {N(t + t) N(t) = 0 N(t) = i} + P {N(t) = i 1}P {N(t + t) N(t) = 1 N(t) = i 1} + i P {N(t) = i r}p {N(t + t) N(t) = r N(t) = i r}. r=2

23 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova 23 Nije teško primetiti da prethodna jednačina važi za svaki proces kod koga promena nikada ne dovodi do smanjenja broja jedinki u populaciji. Koristeći Puasonove osobine i) iv), (2.3) postaje p i (t + t) = p i (t)(1 α t + o( t)) + p i 1 (t)(α t + o( t)) i + p i r (t)o( t), i N 0. (2.4) r=2 Deljenjem svake od jednačina iz (2.4) sa t > 0, kada t 0 dobijaju se diferencijalne jednačine dp 0 (t) = αp 0 (t), (2.5) dt dp i (t) = αp i (t) + αp i 1 (t), i = 1, 2,... (2.6) dt Kako nema imigracija u intervalu dužine nula, to su početni uslovi ovih diferencijalnih jednačina p 0 (0) = 1 i p i (0) = 0, i = 1, 2,... (2.7) Postoji nekoliko mogućih metoda za rešavanje jednačina ovakvog tipa. Jedan od najjednostavnijih je rešavanje rekurzijom. Iz (2.5) se dobija da je p 0 (t) = e αt, odakle se zamenom u (2.6) dobija pa zatim p 1 (t) = (αt)e αt, p 2 (t) = (αt) 2 e αt /2,... Matematičkom indukcijom se jednostavno dolazi do rezultata p i (t) = (αt)i e αt, i = 0, 1, 2,... (2.8) i! Alternativni pristup, koji je matamtički zahtevniji, podrazumeva prelazak sa beskonačnog skupa jednačina vezanih sa {p i i N 0 } na jednu jednačinu

24 24 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova u kojoj se koristi funkcija generatrise verovatnoće G(z; t) p i (t)z i. (2.9) Tada će verovatnoće p i (t) biti odred ene kao koeficijenti uz z i (i N 0 ) u funkciji od G(z; t), za svako t > 0. Množenjem diferencijalnih jednačina (2.5) i (2.6) sa z 0, z 1, z 2,... redom, i njihovim sumiranjem dobija se d p i (t)z i = α p i (t)z i + αz p i 1 (t)z i 1, dt i=1 odakle je dg(z; t) = αg(z; t) + αzg(z; t). (2.10) dt Iz početnih uslova (2.7) sledi početni uslov za diferencijalnu jednačinu (2.10) G(z; 0) = p i (0)z i = p 0 (0)z 0 = 1. (2.11) Za svako fiksirano z, jednačina (2.10) je zapravo obična linearna diferencijalna jednačina po promenljivoj t, čije je rešenje G(z; t) = A(z)e αt(1 z), gde je A(z) proizvoljna konstanta intagracije. Iz početnog uslova (2.11) sledi da je 1 = G(z; 0) = A(z), tako da je Na osnovu (2.9), (2.12) se može predstaviti u obliku G(z; t) = e αt(1 z). (2.12) + G(z; t) = e αt e αtz = e αt (αt) i z i. i! Izolovanjem svakog koeficijenta uz z i, za i N 0, primenom (2.9) dobijaju se verovatnoće p i (t) date sa (2.8).

25 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova 25 Momenti ovog procesa N se jednostavno odred uju iz generalizovane funkcije verovatnoće. Kako je ( + ) p i (t)z i = z G(z; t) z = z (e αt(1 z) ), za z = 1 se dobija matematičko očekivanje µ(t) = EN(t), koje je jednako µ(t) i=1 ip i (t) = αt, (2.13) dok je disperzija D(t) = = 2 i 2 p i (t) [µ(t)] 2 i(i 1)p i (t) + ip i (t) [µ(t)] 2 ( + ) p z 2 i (t)z i z=1 + µ(t) [µ(t)] 2 = 2 G(z; t) z=1 + µ(t) [µ(t)] 2 z ( 2 ) = 2 e αt(1 z) z=1 + µ(t) [µ(t)] 2 z 2 = (αt) 2 + αt (αt) 2 = αt. Ako t neograničeno raste, na osnovu centralne granične teoreme sledi da N(t) ima asimptotski normalnu raspodelu sa matematčkim očekivanjem i disperzijom koji su jednaki αt Opšti momenti Dalje će biti uvedena tri tipa momenata koji će se koristiti, zajedno sa tri odgovarajuća tipa funkcija generatrisa.

26 26 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova I Faktorijelni momenti Slično matematičkom očekivanju za N(t), datom sa (2.13), kako momentom prvog reda, mogu se definisati faktorijelni momenti r-og reda µ (r) (t) E[N(t)(N(t) 1) (N(t) r + 1)] (2.14) = i=r i(i 1) (i r + 1)p i (t) = r G(z; t) z r z=1. Prvih r verovatnoća p 0 (t),..., p r 1 (t) ne figuriše u prethodnoj formuli. Dakle, za Puasonovu raspodelu (2.8), primenom (2.12), iz (2.14) sledi µ (r) (t) = (αt) r e αt(1 z) z=1 = (αt) r. (2.15) Alternativno, može se z zameniti sa y + 1 da bi se dobio faktorijelni moment generatorske funkcije. Zaista, H(y; t) G(1 + y; t) = = = j=0 p i (t) y j j! i j=0 i=j ( i j p i (t)(1 + y) i ) y j = j=0 y j + i=j ( ) i p i (t) j i(i 1) (i j + 1)p i (t), odakle se, primenom (2.14) dobija H(y; t) = j=0 y j j! µ (j)(t). (2.16) Na osnovu ovoga (2.15) dobija se jednostavan oblik Pusaonove raspodele H(y; t) = j=0 y j j! (αt)j = e αyt,

27 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova 27 iz koje se zaključuje, na osnovu (2.16), da su koeficijenti uz y j /j! jednaki µ (j) (t) = (αt) j. II Momenti Za razliku od r-tog faktorijelnog momenta, r-ti moment µ r(t) E[N r (t)] i=1 i r p i (t), se jednostavnije izračunava. Jedan od načina za odred ivanje µ r(t) je uvod enje smene z = e θ u funkciju generatrise verovatnoće G(z; t), odakle se dobija funkcija generatrise momenata M(θ; t) e iθ p i (t) = r=0 θ r r! i r p i (t) = r=0 µ r(t)θ r. (2.17) r! Prema tome, r-ti moment µ r(t) je koeficijent uz θ r /r! u razvoju funkcije M(θ; t). Ekvivalentno, diferenciranjem M(θ; t) se dobija r M(θ; t) θ r θ=0 = µ r(t). (2.18) Puasonova funkcija generatrise verovatnoće (2.12) povlači da je M(θ; t) = e αt(1 eθ). (2.19) Funkcija generatrise momenata M(θ; t) se ne može jednostavnije predstaviti, ni ako se razvije u red po θ, ni ako se nad u njeni r-ti izvodi, tako da je momente µ r(t) teže izračunati i složeniji su od jednostavne reprezentacije (2.15) za faktorijelne momente µ (r) (t). Na dalje će, radi jednostavinijeg zapisa, biti izostavljan argument t kod nekih funkcija koje zavise od vremena.

28 28 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova Nekoliko prvih momenata se jednostavno odred uje uspostavljanjem veze sa faktorijelnim momentima, a zatim primenom (2.15). Zaista, µ 1 = µ (1) = µ µ 2 = µ 3 = [i(i 1) + i]p i (t) = µ (2) + µ (1) (2.20) [i(i 1)(i 2) + 3i(i 1) + i]p i (t) = µ (3) + 3µ (2) + µ (1), i slično se može nastaviti postupak. III Centralni momenti Na osnovu momenata reda r jednostvno se mogu odrediti centralni momenti reda r, na sledeći način tako da je µ r E[(N µ) r ] = µ 1 = 0 µ 2 = µ 2 (µ) 2 (i µ) r p i (t) = r s=0 ( ) r ( µ) r s µ s s, µ 3 = µ 3 3µµ 2 + 2(µ) 3 (2.21) µ 4 = µ 4 4µµ 3 + 6(µ) 2 µ 2 3(µ) 4,... U praksi se teorijski momenti reda višeg od četiri retko zahtevaju. Ocene momenata µ r (t), r > 4 su veoma osetljive na promene uzorka tako da realizovane vrednosti tih ocena na osnovu uzorka manjeg obima mogu dovesti do velikih grešaka. Zbog toga su momenti µ(t), µ 2 (t), µ 3 (t) i µ 4 (t) obično dovoljni za većinu praktičnih potreba. Direktan način ne koji se mogu izračunati centralni momenti je primenom kumulativne funkcije generatrise i=1 k i (t)θ i K(θ; t) = ln[g(e θ ; t)] = ln[m(θ; t)]. (2.22) i!

29 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova 29 Zamenom M(θ; t) iz (2.17) dobija se k 1 θ 1! i=1 + k 2θ 2 2! + = ln i=1 [ ] 1 + µ 1θ + µ 2θ ! 2! Razvojem logaritamske funkcije u Tejlorov red dobija se ( ) ( µ ln 1 + i(t)θ i ( 1) k 1 + ) k µ = i(t)θ i = i! k! i! i=1 k=1 i=1 [ ( µ = i(t)θ i 1 1 µ i(t)θ i ) 2 ] µ i(t)θ i +, i! 2 i! 3 i! tako da se izjednačavanjem koeficijenata uz θ r /r!, za r = 1, 2,... dobija k 1 = µ 1 k 2 = µ 2 µ 1 2 i=1 k 3 = µ 3 3µ 2µ 1 + 2µ 1 k 4 = µ 4 4µ 3µ 1 3µ µ 2µ 12 6µ 14,... Zamenom momenata µ r preko centralnih momenata µ r, na osnovu (2.20) dobija se k 1 = µ k 2 = µ 2 k 3 = µ 3 k 4 = µ 4 3µ 2 2,... Dakle, prva tri kumulanta su jednaka očekivanju, disperziji i meri asimetrije, dok se mera spljoštenosti µ 4, može izraziti preko četvrtog kumulanta u obliku k 4 + 3µ 2 2. Primenom Puasonove funkcije generatrise momenata (2.19) u definiciji (2.22) i razlaganjem funkcije θ e θ u Tejlorov red dobija se K(θ; t) = αt(1 e θ ) = αt tako da se, upored ujući sa (2.22) može zaključiti da je k r (t) αt za svako r 1, odnosno, svi kumultanti Puasonove raspodele su jednaki. 3 r=1 θ r r!,

30 30 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova Generalizacije Jednostavan Puasonov proces je pristupačan za teorijsku analizu, ali i najmanje uopštenje tog procesa otežaće tu analizu. U tom smislu, proučavaće se četiri moguća uopštenja ovog procesa koja se mogu javiti u realnom životu. 1. Parametar koji zavisi od vremena U praksi, parametar dolaska jedinki u populaciju α ne mora biti konstanta već može zavisiti od vremena (npr. dnevni ili sezonski uticaji koji odred uju da li će doći do imigracije jedinki u populaciju i u kom broju). Time je opravdana pretpostavka da je parametar α zamenjen funkcijom vremena, α = α(t). Kako ova pretpostavka ne menja osnovno svojstvo da je broj dolazaka u vremenskom intervalu (t, t + t) nezavisan od broja dolazaka N(t) u (0, t), jednačine (2.5) i (2.6) ostaju nepromenjene. Zbog toga je jednačina funkcije generatrise verovatnoće (2.10) sa početnim uslovom (2.11) takod e nepromenjena, i ima rešenje G(z; t) = e (z 1) t α(u)du 0. Razvijanjem funkcije G = G(z; t) u Tejlorov red po z dobija se G(z; t) = e t α(u)du + 0 ( t 0 α(u)du) iz i /i!, što pokazuje da N(t) ima vremenski-zavisnu Puasonovu raspodelu i očekivanje τ(t) = t 0 α(u)du. Funkcija τ = τ(t) se može shvatiti kao nelinearna transformacija vremenske ose. Zaista, kako je dt/dτ = 1/α, jednačine (2.5) i (2.6) se transformišu u diferencijalne jednačine dp 0 (τ) dτ = p 0 (τ) i čija su rešenja oblika dp i (τ) dτ = p i (τ) + p i 1 (τ), i = 1, 2,..., p i (τ) = τ i e τ, i = 0, 1, 2,..., i!

31 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova 31 što odgovara Puasonovom procesu sa konstantnim jediničnim parametrom. Dakle, na ovaj način se heterogeni Pusaonovi procesi mogu svesti na homogene. Ipak, efektivna primena u opštijim problemima sa više parametara zavisi od toga da li transformacije vremenske (ili prostorne) ose imaju mogućnost da uklone sve vremenske (ili prostorne) zavisnosti. Često tako nešto nije moguće. 2. Proces sa više parametara Sledeći tip generalizacije jednostavnog Puasonovog procesa se opisuje pomoću k nezavisnih Puasonovih procesa sa parametrima α 1, α 2,..., α k. To znači da se razmatra stanište sa k različitih populacija koje egzistiraju nezavisno jedna od druge, pri čemu je N i (t + t) N i (t) broj jedinki koje imigriraju u i- tu populaciju u vremenskom intervalu t, i = 1,..., k, a N(t + t) N(t) je ukupan broj jedinki koje imigriraju u stanište u intervalu t. Kako je pretpostavljeno da k populacija imigrira nezavisno jedna od druge, važi P {N(t + t) N(t) = 0} = = k P {N i (t + t) N i (t) = 0} i=1 k ( 1 αi t + o( t) ) i=1 = 1 α t + o( t), (2.23) prema dobro poznatim osobinama funkcije o, gde je α = k α i. Slično je P {N(t + t) N(t) = 1} = k [ k ] = P {N i (t + t) N i (t) = 1} P {N j (t + t) N j (t) = 0} = i=1 k [ (αi t + o( t) ) i=1 j=1 j i k ( 1 αj t + o( t) )] j=1 j i = α t + o( t). (2.24) Koristeći (2.23) i (2.24) dobija se P {N(t + t) N(t) > 1} = o( t). i=1

32 32 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova Broj jedinki koje imigriraju u stanište u vremenskom intervalu (t, t + t) ne zavisi od imigracije u bilo koju od k populacija u periodu [0, t]. Prema tome, prema Definiciji 2.1.1, broj elemenata u staništu ima Puasonovu raspodelu sa parametrom α = k α i. i=1 Iz (2.1) sledi da vreme Z i za koje prva jedinka imigrira u populaciju i ima eksponencijalnu raspodelu, tako da je gustina slučajne promenljive Z i, f i (t) = α i e αit, i = 1,..., k. Slučajna promenljiva Z = min{z 1,..., Z k } predstavlja vreme imigracije prve jedinke bilo koje od k populacija u stanište i ima gustinu f(t) = αe αt. Ako je poznato da je Z = t, uslovna verovatnoća da ja imigrirala jedinka u populaciju i je P { Z k i = t, {Z j > t} } j i { P Z i = t, j=1 j i } {Z j > t} Z = t = P {Z = t} = (α ie α it t)(e α 1t ) (e α i 1t )(e α i+1t ) (e α kt ) αe αt t = α i α. Kako prethodni izraz ne zavisi od t, zaključuje se da je skup nezavisnih Puasonovih procesa dobro opisan. Intervali dužine z izmed u dva susedna dolaska jedinki u stanište su nezavisno raspodeljeni i imaju gustinu αe αz, a verovatnoća da u stanište imigrira baš jedinka populacije j je α j /α, j = 1,..., k. Sada se navodi jedan elementaran primer. U jednom nacionalnom parku se posmatraju tri različite vrste insekata, koji su predstavljeni Puasonovim procesima sa parametrima 0.1, 0.15 i 0.25, redom. Tada vreme do naredne imigracije nekog insekta u nacionalni park ima eksponencijalnu raspodelu sa parametrom = 0.5, dok se tri vrste javljaju nezavisno jedna od druge, sa verovatnoćama 0.2, 0.3 i 0.5. Ovakva dekompozicija na parove imigracija-vreme igra centralnu ulogu u simulaciji stohastičkih procesa. 3. Istovremena pojavljivanja Uslov da je P {N(t + t) N(t) > 1} = o( t), iz definicije Puasonovog procesa, ne važi kada su u pitanju višestruka pojavljivanja, kao što su, na primer, masovna imigracija, istovremeno rad anje blizanaca i tako dalje. Ilustracije radi, neka avioni sleću na aerodrom prema Puasonovom procesu sa parametrom α. Neka i-ti avion sadrži V i putnika, gde su slučajne promenljive V i uzajamno nezavisne i jednako raspodeljene. Neka je raspodela data sa

33 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova 33 P {V i = j} = w j, j = 0, 1, 2,..., a odgovarajuća funkcija generatrise verovatnoće Π(z) j=0 w j z j. (2.25) Da bi se odredila verovatnoća sa kojom N(t) putnika stiže u fiksiranom vremenskom segmentu [0, t], potrebno je primeniti sledeće opšte rezultate. Teorema Neka su slučajne promenljive X 1, X 2,..., X p med usobno nezavisne i neka su G 1 = G 1 (z), G 2 = G 2 (z),..., G p = G p (z) njihove funkcije generatrise verovatnoće, redom. Tada je G(z) = p G i (z) (2.26) i=1 funkcija generatrise slučajne promenljive X = X 1 + X X p, za svaki prirodan broj p. i=1 Dokaz. Tvrd enje se može dokazati matematičkom indukcijom. Funkcija G = G 1 je funkcija generatrise verovatnoće slučajne promenljive X = X 1. Neka je H(z) = p 1 G i (z) funkcija generatrise verovatnoće slučajne promenljive Y = X X p 1. Radi lakšeg zapisa, neka je slučajna promenljiva X p označena V, i neka su y i = P {Y = i}, v i = P {V = i}, i = 0, 1, 2,... Funkcija generatrise verovatnoće slučajne promenljive X = Y + V = X X p 1 + X p iznosi G(z) = (y 0 v i + y 1 v i y i v 0 )z i = y 0 (v 0 + v 1 z + ) + y 1 z(v 0 + v 1 z + ) + = (y 0 + y 1 z + y 2 z 2 + )(v 0 + v 1 z + v 2 z 2 + ) p = H(z)G p (z) = G i (z). i=1 Direktna posledica ove teoreme je sledeća.

34 34 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova Posledica Neka su X 1, X 2,..., X p med usobno nezavisne i jednako raspodeljene slučajne promenljive sa funkcijom generatrise verovatnoće Π = Π(z). Tada je Π p (z) = (Π(z)) p (2.27) funkcija generatrise verovatnoće slučajne promenljive X 1 + X X p, za svaki prirodan broj p. Kumulativna funkcija generatrise omogućava jednostavnije izvod enje zaključaka. Iz (2.22) se vidi da se proizvodi u (2.26) i (2.27) mogu zameniti sumama k j (t)z j p p p kj(t)z i j K(z) = = ln G(e z ) = ln G i (e z ) = j! j! = j=1 j=1 z j j! p kj(t), i i=1 i=1 tako da je j-ti kumulant slučajne promenljive X X p suma j-tih kumulanata slučajnih promenljivih X 1,..., X p. U ovoj ilustraciji, neka broj pristiglih aviona u periodu [0, t] bude M(t) = m, tako da je N(t) suma m nezavisnih Puasonovih procesa, jer predstavlja ukupan broj putnika u svakom od m aviona. Primenom Posledice dobija se da N(t) ima funkciju generatrise verovatnoće Π m (z). Pošto je {M(t), t 0} Puasonov proces sa parametrom α, funkcija generatrise verovatnoće za proces N(t) je G N (z; t) = m=0 m=0 i=1 i=1 j=1 [ ] P {M(t) = m} P {N(t) = i M(t) = m}z i (αt) m e αt ( ) m Π(z) = e αt[π(z) 1] m! + = e αt (Π(z)) i (αt) i + = e αt (αt) i ( + ) i. w j z j i! i! Izdvajanjem koeficijenata uz z i dobija se P {N(t) = i} = (αt) i e αt j 0 +j 1 + =i j=0 w j 0 0 w j 1 1 j 0!j 1!. (2.28)

35 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova 35 Naravno, ova suma je konačna za svako i N 0, jer su j 0, j 1,... nenegativni celi brojevi. Ako je w 1 = 1 i w i = 0, i 1, onda se dobija jednostavan Puasonov proces. Kumulativna funkcija generatrise se lako odred uje na osnovu (2.28) i (2.25) jer je K N (θ; t) ln[g N (e θ ; t)] = αt = αt r=0 θ r r! j=1 w j j r, j=1 w j e θj = αt j=1 + (θj) r w j = r! usled čega, izdvajanjem koeficijenata uz θ r /r! sledi da je r-ti kumulant k r (t) = αt j=1 w j j r Da li momenti jedinstveno odred uju raspodelu? Svaka raspodela verovatnoća {p r (t)} ima jedinstven skup momenata. primer, suma kojom je definisan r-ti moment µ r(t) = i r p i (t) može imati samo jednu jedinu vrednost. Zato je normalno postaviti pitanje da li važi i obrat, odnosno da li je za dati skup momenata {µ r(t) r N} jedinstveno definisana raspodela verovatnoća {p r (t)}? Da bi se moglo odgovoriti na ovo pitanje poželjno je uzeti u obzir četvrti tip generalizacije jednostavnog Puasonovog procesa. 4. Definisanje Puasonove raspodele pomoću stepena broja dva U ovom slučaju Puasonova raspodela se ne definiše preko nenegativnih celih brojeva, već preko stepena broja 2, kao r=0 Na p 2 i = 2i e 2, za i = 0, 1, 2, 3,... (2.29) i! i p j = 0 za j 2 0, 2 1, 2 2, 2 3,.... Tada su odgovarajući momenti reda r jednaki µ r = 2 ri 2i e 2 i! = e 2(2r 1). (2.30)

36 36 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova Da bi se konstruisala familija raspodela koja ima momente reda r jednake (2.30), potrebno je posmatrati funkcju h(z) i razviti je u okolini nule + k=1 Na osnovu (2.31) se dobija da je h(qz) = (1 zq k ), za q = 2, 3,... (2.31) h(z) ( 1 qz ) q + k=2 Korišćenjem (2.32) i (2.33) dobija se odnosno m=0 m=0 m=0 c m q m z m = (1 z) c m (1 q m )z m = c m z m. (2.32) ( 1 z ) = (1 z)h(z). (2.33) q k 1 m=0 m=0 c m z m, c m z m+1. (2.34) Upored ivanjem (2.31) i (2.32), za z = 0 dobija se koeficijent c 0 = 1. Izjednačavanjem koeficijenata uz z m, m = 1, 2,... u (2.34) dobija se odnosno Dakle, važi da je c m = Za c m = a m /m! dobija se c m (1 q m ) = c m 1, c m = c m 1 1 q m. 1 (1 q)(1 q 2 ) (1 q m ). a m = 1 q 1 2 q 2 1 m q m 1 1 (2.35)

37 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova 37 za svako m = 0, 1, 2,... i q = 2, 3,.... Neka se sada definiše p θ 2 = p m 2 m(1 + θa m) = e 2 2 m (1 + θa m ), m! za svako θ [ 1, 1]. Na osnovu (2.35), za svako θ [ 1, 1] je a m θ 1, a kako je p 2 m 0, primenom (2.29), (2.31) i (2.32) za q = 2 dobija se Odatle je + θa m p 2 m = θe 2 a m 2 m m=0 m=0 m! = θe 2 h(2) = θe 2 + k=1 ( k ) = 0. m=0 p θ 2 = + p m 2 m(1 + θa m ) = m=0 m=0 + p 2 m = e 2 2 m /m! = 1, što znači da su p θ 2 korektno definisane verovatnoće. Pre izračunavanja momenata µ rθ, može se uočiti da je za q = 2 m 2 m(r+1) a + m m! = + ) c m 2 m(r+1) = h(2 r+1 ) = (1 2r+1 = 0, 2 k m=0 m=0 m=0 k=1 jer je za k = r + 1 vrednost 1 2 r+1 /2 k = 0. Zbog toga je µ rθ = = = m=0 m=0 m=0 (2 m ) r p θ 2 m (2 m ) r 2 m e θa m m! m(r+1) e 2 2 m! + θe 2 2 m(r+1) a m m! m=0 = e 2(2r 1) + 0 = µ r, na osnovu (2.30). Da bi se videlo kako raspodela {p θ 2m} varira za različite vrednosti 1 θ 1, mogu se uporediti raspodele verovatnoća za θ = 1 i θ = 1, dakle p 1 2 m = (1 a m)p 2 m i p 1 2 m = (1 + a m)p 2 m

38 38 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova sa srednjom Puasonovom raspodelom za θ = 0 p 0 2 = p m 2 m = 2m e 2 /m!. Prvih osam vrednosti verovatnoća su (za q = 2) m i = 2 m a m p 1 i p i p 1 i < e 2 < 2e e 2 > 2e 2 > e 2 < 2e 2 10 < 3 e e 2 > 4 3 e 2 > e e 2 < 2 3 e < 315 e e 2 > 4 15 e > 9765 e e 2 < 4 45 e < e e 2 > e > e e 2 < e 2 < e 2

39 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova 39 Dramatično testerasto ured enje p 1 i i p 1 i u odnosu na p i je evidentno. Med utim, iz (2.35) je očigledno da je a m vrlo blizu nuli kada m raste, i zato sve tri raspodele imaju iste strukture repa. Ovaj primer služi da bi se naglasila opasnost u proizvoljnom odabiru odgovarajuće raspodele bazirane jedino na poznatim momentima. Slika 4: Raspodele verovatnoća {p θ 2m}: θ = 1 (žuta), θ = 0 (plava) i θ = 1 (ljubičasta) Slika pokazuje vrednosti p 1 i, p i i p 1 i za i = 1, 2, 4,..., 256, i očiglednu veliku razliku izmed u tri verovatnosne strukture za male vrednosti i, i skoro identične vrenosti za velike vrednosti i. Familija raspodela {p θ 2m} je samo jedna iz velike klase raspodela koje imaju jednake momente svakog reda, ali različite strukture verovatnoće. 2.2 Procesi čistog umiranja Dugovečnost svake jedinke u mnogome varira, od sekundi za neke čestice i nekoliko sati za zdrave bakterije, sve do nekoliko milenijuma za

40 40 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova spororastući bor. Pitanje od velikog interesa je odrediti informacije vezane za smrtnost na osnovu dužine života jedinke. Zbog toga, neka se prati istorija života n 0 različitih jedinki. Kako u ovom modelu nije od interesa proučavanje razmnožavanja i dolazak novih članova, najjednostavnije pretpostavke su: i) jedinke se razvijaju potpuno nezavisno jedne od drugih; ii) stopa smrtnosti µ je ista za sve jedinke i ne menja se tokom vremena. Poslednja pretpostavka je ekvivalentna činjenici da jedinke ne stare. U biološkim situacijama, na primer, to znači da je stopa smrtnosti odred ena sklonostima vrste da zbog nekog slučajnog uzroka nastupi smrt, a ne zbog nekog prirodnog uzroka. Početni uvid u ovakav proces omogućuje deterministički pristup. Neka je u malom vremenskom intervalu (t, t + t) pad broja jedinki u populaciji µ tn(t), pri čemu je N(t) ukupan broj jedinki u trenutku t, tako da je N(t + t) = N(t) µ tn(t). Deljenjem ovog izraza sa t dobija se N(t + t) N(t) t = µn(t), a ako t 0 dobija se diferencijalna jednačina čije je rešenje dn(t) dt = µn(t), (2.36) N(t) = N(0)e µt, t 0, (2.37) gde je N(0) početna veličina populacije u trenutku t = Stohastički model Vreme smrti odred ene jedinke se može posmatrati kao vreme do prvog dogad aja u Puasonovom procesu sa parametrom µ. Neka je M slučajna promenljiva koja predstavlja vreme smrti jedinke. Tada se, kao što je dokazano u Poglavlju 2.1.1, na osnovu (2.5), dobija G(t) = P {M > t} = e µt, (2.38) dok je F (t) = P {M < t} = 1 G(t) = 1 e µt.

41 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova 41 Ako se u trenutku t = 0 populacija sastoji od N(0) = n 0 jedinki, od kojih se sve ponašaju nezavisno jedna od druge, onda N(t) predstavlja broj onih koje su još uvek žive u trenutku t > 0 i ima binomnu raspodelu sa verovatnoćama da jedinka preživi vreme t iznosi e µt, tako da je N(t) : B(n 0, e µt ), i P {N(t) = N} = p N (t), gde je ( ) n0 p N (t) = e Nµt (1 e µt ) n0 N, N = 0, 1,..., n 0. (2.39) N Matematičko očekivanje i disperzija su jednaki m(t) = n 0 e µt i D(t) = n 0 e µt (1 e µt ). Kada svih n 0 članova populacije umre, kaže se da je populacija istrebljena. Iz (2.39) se vidi da vreme istrebljenja T 0 ima funkciju raspodele P {T 0 t} = p 0 (t) = (1 e µt ) n 0, t 0. (2.40) Diferenciranjem (2.40) dobija se gustina slučajne promenljive T 0 f 0 (t) = n 0 µe µt (1 e µt ) n 0 1, t 0. (2.41) Iako se očekivanje, disperzija i momenti višeg reda mogu odrediti direktno na osnovu gustine (2.41), poželjno je primeniti alternativni pristup koji se ne oslanja na gustinu f 0. Neka slučajna promenljiva Z N predstavlja dužinu vremenskog perioda dok populacija ima N članova. Kako se jedinke razvijaju nezavisno, na osnovu (2.38) je P {Z N t} = 1 P {Z N > t} = 1 e Nµt, tako da Z N ima eksponencijalnu raspodelu sa parametrom Nµ, odnosno Z N : E(Nµ). Kako su uzastopna vremena Z N za N = n 0, n 0 1,..., 1 nezavisna, i kako je T 0 = Z n0 + Z n Z 1, sledi da je očekivana vrednost za T 0, na osnovu (1.1) jednaka ET 0 = n 0 N=1 EZ N = n 0 N=1 1 Nµ. (2.42)

42 42 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova Nije teško numerički izračunati ET 0 na osnovu (2.42), ali se za velike brojeve n 0 računanje otežava, tako da je jednostavnije iskoristiti poznatu graničnu vrednost lim n + ( ) n ln n = γ, (2.43) gde γ = označava Ojlerovu 2 konstantu. Za velike vrednosti n 0 primenom aproksimacije (2.43) dobija se Slično, primenom (1.1) dobija se Kako je DT 0 = ET 0 1 µ( γ + ln n0 ). (2.44) n 0 N=1 n=1 DZ N = n 0 N=1 1 (Nµ) 2. 1 n 2 = π2 6, (2.45) disperzija slučajne promenljive T 0 je aproksimativno jednaka DT 0 π2 6µ 2, za velike brojeve n 0. Iako je disperzija vremena isrebljenja ograničena odozgo brojem π2, nezavisno od broja n 6µ 2 0, očekivano vreme isrebljenja se logaritamski povećava sa povećavanjem broja n 0, na osnovu (2.44). Činjenica da je DT 0 ograničena nagoveštava da se proces efektivno razvija deterministički sve dok N ne postane dovoljno malo. Upored ivanjem (2.37) i (2.44) zaključuje se da je deterministička veličina populacije koja dovodi do istrebljenja data sa N ext = n 0 e µt 0 n 0 e µet 0 n 0 e γ ln n 0 = n 0 e γ n 1 0 = e γ Sa determinističke tačke gledišta, može se smatrati da je populacija izumrla onda kada N(t) postane približno 0.5. Ovakvo posmatranje ima smisla jer je stohastička priroda veličine populacije N(t) celobrojna, pa je 0 N(t) 0.5 efektivno ekvivalentno sa time da je N(t) = 0. 2 Leonhard Euler ( ), švajcarski matematičar i fizičar

43 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova Verovatnoće suprotnog prelaza Označavanjem n 0 = i i N = j, verovatnoće veličine populacije (2.39) se mogu prikazati kao verovatnoće prelaza ( ) i p i,j (t) P {N(t) = j N(0) = i} = e µjt (1 e µt ) i j, (2.46) j za j = 0, 1,..., i. Neka važi pretpostavka da je poznata vrednost j i da se treba odrediti broj i. Tada se binomne raspodele verovatnoće za j = 0, 1,..., i prevode u negativni binomni oblik za i = j, j + 1,... i inverzne verovatnoće prelaza p i,j (t). Intuitivno, može se očekivati da u nedostatku bilo kakvih informacija o p i (0) bude p i,j (t) = P {N(0) = i N(t) = j} = k(t)( i j ) e µjt (1 e µt ) i j, (2.47) za i = j, j + 1,... i za neku odgovarajuću funkciju k = k(t). Standardna negativna binomna raspodela predstavljena sa (1.2) je ( ) x 1 p m (1 p) x m, x = m, m + 1,..., m 1 tako da smenom x = i + 1, j = m 1 i p = e µt postaje oblika ( ) i e µ(j+1)t (1 e µt ) i j, j odakle se direktnim upored ivanjem sa (2.47) dobija da je k(t) = e µt. Da bi se to opravdalo traba najpre primetiti da, kako je P {N(t) = j N(0) = i}p {N(0) = i} = P {N(0) = i N(t) = j}p {N(t) = j}, važi opšti rezultat p i,j (t) = p i(0)p i,j (t), (2.48) p i (0)p i,j (t) pri čemu je, za jednostavan smrtni proces p i,j (t) 0 za i = 0, 1,..., j 1. Neka se pretpostavi da je početna veličina populacije u trenutku t = 0 geometrijski raspodeljena p i (0) = θ i (1 θ), i = 0, 1,... (2.49)

44 44 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova Iz (2.48) i (2.46) se tada dobijaju verovatnoće suprotnog prelaza ( ) i p i,j (t) = θ i j (1 e µt ) i j[ 1 [θ(1 e µt )] ] j+1. (2.50) j Kada θ 1 raspodela {p i (0)} teži ka uniformnoj raspodeli na nenegativnim celim brojevima, koja je u skladu sa činjenicom da nije unapred poznato koliko jedinki ima populacija u početnom trenutku. Koristeći ovu graničnu vrednost u (2.50), dobija se gore pomenut negativni binomni oblik, tj. ( ) i p i,j (t) = e µ(j+1)t (1 e µt ) i j = e µt p i,j (t). (2.51) j Verovatnoće mosta Do sada se dogad aj N(0) = i ili N(t) = j javlja kao uslov za izračunavanje verovatnoća prelaza. Med utim, moguće je ova dva dogad aja usloviti istovremeno. Ako se definiše onda je p i,n,j (s; t) P {N(s) = n N(0) = i, N(t) = j}, 0 < s < t, P {N(t) = j, N(s) = n, N(0) = i} p i,n,j (s; t) = P {N(t) = j, N(0) = i} P {N(t) = j N(s) = n, N(0) = i} = P {N(t) = j, N(0) = i}p {N(0) = i} P {N(s) = n N(0) = i}p {N(0) = i} P {N(t s) = j N(0) = n}p {N(s) = n N(0) = i} = P {N(t) = j N(0) = i} = p n,j(t s)p i,n (s). p i,j (t) Kako su (0, s) i (s, t) disjunktni vremenski intervali, sledi opšti rezultat p i,n,j (s; t) = p i,n(s)p n,j (t s), n = 0, 1, 2,... (2.52) p i,j (t)

45 2.3. PROCESI ČISTOG RAD ANJA 45 Zamenom verovatnoća (2.39) za p n0,n(t), gde je (n 0, N; t) zamenjeno sa (i, n; s), (n, j; t s) i (i, j; t) u (2.52), dobijaju se verovatnoće mosta ( ) ( ) i j 1 e µs i n ( ) e µs e µt n j p i,n,j (s; t) = (2.53) i n 1 e µt 1 e µt ( ) ( ) i j 1 e µs i n = (1 1 ) n j e µs, i n 1 e µt 1 e µt za n = j, j +1,..., i. Skup binomnih verovatnoća (2.53) zavisi samo od razlika i j i i n, a ne posebno od vrednosti i i j. Primećuje se da iako su izrazi (2.51) i (2.53) za verovatnoće suprotnog prelaza i verovatnoće mosta vezani za čisto smrtne procese, opšti rezultati (2.48) i (2.52) iz kojih se oni dobijaju mogu biti primenjeni na bilo koji stohastički proces za koji su poznate verovatnoće prelaza {p i,j (t)}. 2.3 Procesi čistog rad anja Svako rad anje generiše novu jedinku. Kod isključivo umirućih procesa, u svakom trenutku je zbir živih i umlih jedinki konstantan. Kod procesa koji se sastoje isključivo od rad anja to nije slučaj, čime se povećava kompleksnost ovih procesa. Neka se pretpostavi da se jedinke razvijaju relativno brzo (u odnosu na njihov životni vek) i da imaju sve uslove za svoj razvoj. Neka važi još: i) jedinke ne umiru; ii) jedinke se razvijaju bez interakcije sa drugim jedinkama; iii) stopa rad anja λ je ista za sve jedinke, bez obzira na njihovu starost, i ne menja se tokom vremena. Poslednja pretpostavka je tačna za jednoćelijske organizme koji se razmnožavaju deobom. Jednačina (2.36) za procese čistog umiranja za procese rad anja postaje čije je rešenje dn(t) dt = λn(t), (2.54) N(t) = N(0)e λt, t 0. (2.55) Ovaj rezultat je deterministički jer podrazumeva da se svaki organizam razmnožava na predvidiv način sa konstantnim priraštajem. U ralnom životu

46 46 Glava 2 Jednostavniji populacioni procesi Markova je, pak, rast populacije slučajan. Na primer, neka je data populacija ćelija koje se razmnožavaju deobom. Ne može se tvrditi da će se odred ena ćelija podeliti u odred enom vremenskom intervalu, jedino se može govoriti o verovatnoći da se dogodi deoba. Osim toga, populacija može da sadrži samo ceo broj članova dok izraz (2.55) obezbed uje sve realne brojeve veće ili jednake od N(0). Oba nedostatka se mogu prevazići obzirom na stohastičku prirodu procesa čistog rad anja Stohastički model Osnovna pretpostavka je da je verovatnoća da se odred ena jedinka rodi u kratkom vremenskom intervalu (t, t + t) jednaka λ t + o( t). Tada je za populaciju koja u trenutku t ima i članova, sledeće rad anje odred eno superpozicijom i nezavisnih Puasonovih procesa sa parametrima λ. Dakle i P {A N(t) = i} = λi t + o( t), P {A C N(t) = i} = 1 λi t + o( t), gde je A dogad aj da se desilo rad anje u intervalu (t, t + t). Upored ivanjem (2.3) i (2.4) za proces čistog umiranja dobijaju se diferencijalne jednačine Kolmogorova 3 p i (t + t) = P {N(t) = i ni jedno rad anje u (t, t + t)} + odakle je + P {N(t) = i 1 tačno jedno rad anje u (t, t + t)} + + P {N(t) = i r tačno r rad anja u (t, t + t); r = 2,..., i} = p i (t)(1 λi t) + p i 1 (t)λ(i 1) t + o( t), p i (t + t) p i (t) t = λip i (t) + λ(i 1)p i 1 (t) + o(1), pa kada t 0 dobijaju se diferencijalne jednačine dp i (t) dt = λip i (t) + λ(i 1)p i 1 (t), i = n 0, n 0 + 1,..., (2.56) 3 Andrey Nikolaevich Kolmogorov ( ), ruski matematičar