Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Departmant za fiziku MASTER RAD Prostiranje laserskih pulseva pri uslovima elektromagnetno indukovane

Транскрипт

1 Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Departmant za fiziku MASTER RAD Prostiranje laserskih pulseva pri uslovima elektromagnetno indukovane transparentnosti u kvantnim tačkama oblika kvadra Student: Željko Lazić Mentor: dr Vladan Pavlović Niš, 2019.

2 Прилог 5/1 ПРИРОДНO - MАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ НИШ КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА Редни број, РБР: Идентификациони број, ИБР: Тип документације, ТД: Тип записа, ТЗ: Врста рада, ВР: Аутор, АУ: Ментор, МН: Наслов рада, НР: Језик публикације, ЈП: Језик извода, ЈИ: Земља публиковања, ЗП: Уже географско подручје, УГП: монографска текстуални / графички мастер рад Жељко Лазић Владан Павловић српски ПРОСТИРАЊЕ ЛАСЕРСКИХ ПУЛСЕВА ПРИ УСЛОВИМА ЕЛЕКТРОМАГНЕТНО ИНДУКОВАНЕ ТРАНСПАРЕНТНОСТИ У КВАНТНИМ ТАЧКАМА ОБЛИКА КВАДРА енглески Р. Србија Р. Србија Година, ГО: Издавач, ИЗ: ауторски репринт Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33. Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога) Научна област, НО: Научна дисциплина, НД: 5 поглавља, 50 страна, 16 слика и графичких приказа, 1 табела. физика квантна оптика Предметна одредница/кључне речи, ПО: УДК 537.8: Чува се, ЧУ: библиотека Важна напомена, ВН: Извод, ИЗ: Датум прихватања теме, ДП: Датум одбране, ДО: електромагнетно индукована транспарентност, квантна тачка облика квадра, простиранје ласерских пулсева У овом раду дат је теоријски преглед простирања ласерских пулсева кроз средину у којој је реализован феномен електромагнетно индуковане транспарентности. Разматран је систем конфинираног електрона у квантној тачки облика квадра са три енергијска нивоа која формирају каскадну или V конфигурацију. Добијене су оптичке Блохове једначине за обе поменуте конфигурације, а затим решене коришћењем пертурбационог метода. Коришћењем Фуријеовог метода изведене су и диференцијалне једначине за пропагацију амплитуде пробног поља. Приказана је зависност апсорпционих и дисперзионих особина средине од раздешености пробног поља како на криогеним, тако и на собним и вишим температурама. Размотрен је утицај спектралне полуширине пробног пулса као и утицај коефицијената распада на облик пробног пулса приликом његовог простирања кроз средину. Чланови комисије, КО: Председник: Члан: Члан, ментор: Др Ана Манчић Др Љиљана Стевановић Др Владан Павловић Образац Q Издање 1

3 ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ НИШ Прилог 5/2 KEY WORDS DOCUMENTATION Accession number, ANO: Identification number, INO: Document type, DT: Type of record, TR: Contents code, CC: Author, AU: Mentor, MN: Title, TI: monograph textual / graphic master thesis Željko Lazić Vladan Pavlović LASER PULSES PROPAGATION IN THE REGIME OF THE ELECTROMAGNETICALLY INDUCED TRANSPARENCY THROUGH THE CUBOID QUANTUM DOT Language of text, LT: Language of abstract, LA: Country of publication, CP: Locality of publication, LP: Serbian English Republic of Serbia Serbia Publication year, PY: 2019 Publisher, PB: author s reprint Publication place, PP: Niš, Višegradska 33. Physical description, PD: (chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes) Scientific field, SF: Scientific discipline, SD: Subject/Key words, S/KW: 5 chapters, 50 pages, 16 graphic representations, 1 table physics quantum optics UC 537.8: Holding data, HD: Note, N: Abstract, AB: electromagnetically induced transparency, cuboid quantum dot, laser pulses propagation. library Accepted by the Scientific Board on, ASB: Defended on, DE: Defended Board, DB: President: Dr Ana Mančić The thesis theoretically investigated the propagation of laser pulses through the medium in which electromagnetically induced transparency is achieved. The three lowest energy levels of the confined electron in a cuboid quantum dot that form ladder and V configuration were chosen. Optical Bloch equations for each of these configurations were written down and solved using the perturbation method. Maxwell-Bloch differential equations for the propagation of the amplitude of the probe field are obtained using Fourier transform methods. The dependence of absorption and dispersion properties of the systems on detunings of the probe field is discussed in detail for both cases, at cryogenic temperatures and at room or higher temperatures. The influence of the spectral halfwidth of the probe pulse and dephasing rates on the probe pulse shape during its the propagation through the media is investigated. Member: Member, Mentor: Dr Ljiljana Stevanović Dr Vladan Pavlović Образац Q Издање 1

4

5 Zahvaljujem se svima koji su mi na bilo koji način pomogli pri izradi ovog master rada. Pogotovo se zahvaljujem mentoru dr Vladanu Pavloviću na nesebičnoj pomoći i strpljenju prilikom pisanja ovog rada, kao i prof. dr Ljiljani Stevanović na korisnim savetima koji su pomogli da rad dobije svoj konačan oblik. Posebno se zahvaljujem i porodici na podršci i razumevanju tokom studiranja.

6 Sadržaj 1 Uvod 4 2 Teorijske postavke Kratak pregled Master jednačine Hamiltonijan za kaskadnu i V konfiguraicju Rešavanje master jednačina Susceptibilnost Svojstveni problem Hamiltonijana. Koeficijenti spontane emisije Propagacija svetlosnog pulsa Grupna brzina, distorzija i raspad probnog pulsa Rezultati Realizacija EIT fenomena Uticaj dimenzije kvantne tačke na koeficijente raspada i svojstvene energije elektrona Uticaj dimenzije kvantne tačke na optičku susceptibilnost sistema Uticaj koeficijenata raspada na EIT Analiza propagacije svetlosnog pulsa Kaskadna konfiguracija V konfiguracija Propagacija pulsa pri kriogenim temperaturama Zaključak 48

7 4 1 Uvod Značajan napredak u oblasti nanotehnologije tokom poslednjih decenija doveo je do usavršavanja procesa izrade različitih oblika poluprovodničkih nanostruktura. Jedna od najznačajnijih takvih struktura jeste kvantna tačka. Osnovna osobina kvantne tačke ogleda se u konfiniranju kretanja čestice u sva tri nezavisna pravca [1]. Dimenzije kvantne tačke moraju biti dovoljno male tako da ona ispoljava odredene kvantne efekte što podrazumeva da njene specifične dimenzije variraju od nekoliko nm do 100 nm [2]. Pored dimenzije, konkretne osobine kvantne tačke zavise i od njenog oblika, strukture, kao i od prisustva odredenih nečistoća. Sve ovo za posledicu ima da se u savremenim tehnološkim procesima izraduju kvantne tačke vrlo različitih osobina, a njihova primena je raznovrstna i sve više rasprostranjena u oblastima kao što su elektronika, fotonika, medicina, laserska spektroskopija, magnetometrija, kvantno računarstvo i sličnim oblastima. Oblast fizike koja se uopšteno bavi proučavanjem kvantnih aspektata interakcije svetlosti i materije, naziva se kvantna optika. Navedimo neke od fenomena koje proučava kvantna optika, to su: elektromagnetno indukovana transparentnost [3], laserovanje bez inverzije naseljenosti [4], gašenje spontane emisije i superluminalna propagacija svetlosti [5]. Svi pomenuti fenomeni su kvantne prirode i u njihovoj osnovi jeste koncept kvantne interferencije, koji je povezan sa fenomenom neraspletenosti u kvantno-mehaničkim pojavama [3]. U ovom radu ćemo detaljno obraditi fenomen elektromagnetno indukovane transparentnosti u kvantnoj tački oblika kvadra sa konfiniranim elektronom. Ovakav sistem ćemo modelirati kao kvantni sistem sa tri (relevantna) diskretna energijska nivoa. Elektromagnetno indukovana transparentnost - EIT, je primer koherentne interakcije izmedu lasera (elektromagnetnog polja) i sredine, koji se karakteriše pojavom transparentnog prozora u apsorpcionom spektru [6]. U osnovi elektromagnetno indukovane transparentnosi nalazi se fenomen destruktivne interferencije amplituda verovatnoća prelaza izmedu atomskih stanja koji za posledicu ima da sredina postane transparentna za polje sa frekvencom bliskom ili jednakom frekvenci atomskog prelaza. Drugim rečima, korišćenjem EIT fenomena optičke osobine sredine se mogu drastično izmeniti na taj način da sredina koja je za laser odredene frekvence bila potpuno neprozračna postane transparentna samo izlaganjem date sredine još jednim dodatnim laserom odredene frekvence. Pored indukovane transparentnosti sredine, EIT fenomen je usko povezan i sa promenom indeksa prelamanja sredine tako da on postoje značajno veći za odredene frekvence. S obzirom da je grupna brzina svetlosti odredena indeksom prelamanja ovo za posledicu ima vrlo interesantne efekte kao što je drastično smanjenje brzine svetlosti - čak za sedam redova veličina, odnoso do 90m/s [7], 17m/s [8], i 8m/s [9],

8 ili potpuno zaustavljanje svetlosti [10]. EIT efekat se često izučava na sistemima sa tri energijska nivoa, koji se karakterišu postojanjem dva dipolno dozvoljena prelaza i trećim, dipolno zabranjenim prelazom. Interakcija ovog sistema sa laserskim poljem kružne frekvence ω c (kontrolno polje) i još jednim poljem kružne frekvence ω p (probno polje) dovodi do koherentne superpozicije amplitude verovatnoće i čini kvantnu interferenciju mogućom. Fenomen EIT je prvi put predviden u teorijskim radovima Arkhipkin-a i Hellera godine [11], dok je kasnije dodatno teorijski unapreden i razjašnjen u radu S.E. Harris-a godine [12]. Prva eksperimentalna potvrda EIT fenomena je demonstrirana godine od strane K. J. Boller-a, A. Imamoglu-a, i S. E. Harrisa na atomskim parama stroncijuma [13]. Fenomen EIT, kao i drugi fenomeni koji u osnovi imaju koncept kvantne interferencije sve do danas ostaju u fokusu naučnih istraživanja. Motivacija za takva istraživanja se pre svega može naći u tome da su pomenuti fenomeni vrlo interesantni sa stanovišta teorijske analize kao i zbog sve rasprostranjenije primene nanokristala u električnim i optoelektričnim uredajima, u kvantom računarstvu i kvantnom procesuiranju informacija [14]. Ovaj rad je koncipiran tako da se u prvom poglavlju čitalac najpre upoznaje sa bitnim teorijskim osnovama interakcije sistema sa tri energijska nivoa i elektromagnetnog zračenja. Prikazane su konfiguracije koje se u sistemu sa tri energijska nivoa mogu formirati, pri čemu su detaljno razmotrene kaskadna i V konfiguracija. To podrazumeva nalaženje Hamiltonijana koji opisuje pomenute konfiguracije kao i primenu formalizma matrice gustine kako bi se došlo do master jednačina koje opisuju dinamiku sistema. Nakon toga je u drugom poglavlju analiziran uticaj kvantnih tačaka na prostiranje probnog polja. Koristeći ranije dobijene master jednačine kao i Maksvel-Lorencove jednačine za supstancijalnu sredinu, kao rezultat je dobijena jednačina za amplitudu probnog polja pri njegovom prostiranju kroz sredinu kvantnih tačaka. U trećem poglavlju dat je prikaz realizacije EIT efekta kao i način propagacije pulsa pri variranju specifičnih spoljašnjih parametara. Na kraju je u četvrtom poglavlju data retrospektiva šta je sve u radu obradeno, kao i pregled najbitnijih zaključaka. 5

9 6 2 Teorijske postavke Kao što je u uvodnom poglavlju navedeno, elektromagnetno indukovana transparentnost predstavlja kvantni fenomen i on se kao takav ne može predvideti, niti teorijski analizirati sa stanovišta klasične fizike. Za njegovo potpuno opisivanje potrebno je da i sistem koji razmatramo i samo polje tretiramo kao kvantne objekte. Medutim, takav pristup, iako moguć, u ovom radu neće biti razmatran, već ćemo usvojiti znatno jednostavniji semiklasičan model. Semiklasičan model predstavlja izvesni kompromis izmedu klasičnog modela i punog kvantnog modela, te podrazumeva da se sistem (atom, elektron, jon) tretira kao kvantni objekat, dok samo elektromagnetno polje zadržava klasične osobine. Ovakav pristup na vrlo dobar način opisuje mehaniku EIT fenomena kao i njegove efekte. 2.1 Kratak pregled U cilju razumevanja fizike koja se krije u samom fenomenu EIT analiziraćemo sistem sa tri relevantna energijska nivoa koji je opisan Hamiltonijanom H 0. Neka su svojstvena stanja ovog sistema označena sa 1, 2 i 3, a njima pridružene svojstvene energije sa E 1, E 2 i E 3 (pretpostavićemo još i da je E 1 < E 2 < E 3 ). Neka je ovaj sistem, kao što je navedeno u Uvodu ovog rada, kuplovan sa dva elektromagnetna polja koja se nazivaju kontrolno i probno. Za ova polja ćemo radi jednostavnosti pretpostaviti da su monohromatska tako da se mogu prikazati na sledeći način: E c = 1 2 (E ce iωct + E ce iωct ), (2.1a) E p = 1 2 (E pe iωpt + E pe iωpt ). (2.1b) Veličine E c i E p u sebi nose informaciju o polarizaciji i amplitudi kontrolnog, odnosno probnog polja, dok su sa ω c i ω p označene pripadajuće im kružne frekvence. Kako bismo dalje razmatrali pomenuti sistem sa tri energijska nivoa, korisno je još i uvesti kružne frekvence koje odgovaraju razlikama energija odredenih nivoa, i koje su definisane na sledeći način: ω 32 = (E 3 E 2 )/ odgovara prelazu 3 2, ω 21 = (E 2 E 1 )/ odgovara prelazu 2 1, ω 31 = (E 3 E 1 )/ odgovara prelazu 3 1.

10 2.2 Master jednačine 7 Г 32 Г 32 Г 31 Г 31 Г 21 Г 21 Slika 1: Šematski prikaz konfiguracija koje ćemo razmatrati: kaskadne i V konfiguracije. Radi kvantitativne analize, a s obzirom na postojanja spontane emisije, pridružićemo svakom od tri moguća prelaza u ovom sistemu odredeni koeficijent, koji se naziva koeficijent spontane emisije. Označićemo te koeficijente sa Γ 21, Γ 32 i Γ 31 i pridružiti ih prelazima 2 1, 3 2 i 3 1, respektivno. U sistemu sa tri energijska nivoa, kakav je sistem koji mi razmatramo, moguće je ukupno formirati tri različite konfiguracije. Konkretna konfiguracija koja je formirana odreduje se na osnovu toga koje prelaze indukuju kontrolno i probno polje, ili konkretnije, kojim kružnim frekvencama prelaza odgovaraju kružne frekvence lasera ω c i ω p. Prema tome, zavisno od konkretnih vrednosti kružnih frekvenca lasera ω c i ω p, mogu se razlikovati sledeće konfiguracije: kaskadna odnosno lestvičasta, se formira kada probno i lasersko polje indukuju prelaze 1 2 i 2 3, respektivno. V konfiguracija, nastaje kada kontrolni laser indukuje prelaz 1 2, a probni laser prelaz 1 3. Λ konfiguraciju se formira kada probni i kontrolni laser indukuju prelaze 1 3 i 2 3, respektivno. U ovom radu nećemo detaljno razmatrati Λ konfiguracija, već će sva naša pažnja biće usmerena samo na V i kaskadnu konfiguraciju, prikazane na Slici Master jednačine Sistem koji mi razmatramo možemo okarakterisati kao otvoreni, jer dolazi do interakcije sistema - konfiniran elektron u kvantnoj tački, sa špoljašnjim- elektromagnetnim poljem. Treba imati na umu da sama evolucija polja za sada nije od interesa proučavanja (te se stoga i naziva,,spoljašnje ). Ono što nas zanima jeste

11 2.2 Master jednačine 8 evolucija sistema kao posledica interakcije istog sa spoljašnjim poljem. Drugim rečima, proučavaćemo kako jedan veliki sistem - elektromagnetno polje, utiče na mali sistem - konfinirani elektron. Za opisivanje takvog kvantnog sistema, jedan od pristupa bi mogao biti i korišćenje formalizma talasnih funkcija, gde bismo sistem reprezentovali vektorom stanja Ψ, te njegovu evoluciju dobili rešavanjem vremenski zavisne Šredingerove jednačine. Pored takve reprezentacije kvantnog sistema, isti sistem (odnosno njegovu evoluciju) je moguće proučavati korišćenjem formalizma matrice gustine. Takav pristup naročito je koristan kod razmatranja,,otvorenih sistema kao što je naš, te ćemo ga zato i koristiti u ovom radu. Prema tome, ako se kvantno stanje može reprezentovati vektorom Ψ, matrica gustine je definisana kao: ρ = Ψ Ψ. (2.2) Ukoliko sada vektor stanja Ψ razvijemo po svojstvenim stanjima nekog operatora, ψ n, jednačinu (2.2) možemo zapisati na sledeći način: ρ = α P α ψ α ψ α, (2.3) gde je P α verovatnoća nalaženja sistema u čistom stanju ψ α. Diferenciranjem jednačine (2.2), uz korišćenje vremenski zavisne Šredingerove jednačine, možemo naći jednačinu evolucije operatora gustine: t ρ = Ψ Ψ + Ψ Ψ t t (2.4) = 1 (Hρ ρh) i (2.5) = 1 [H, ρ]. i (2.6) Dobijena jednačina evolucije matrice gustine naziva se Šredinger-Nojmanova ili Liuliouva jednačina. I pored toga što ova jednačina ima oblik Hajzenbergove jednačine za evoluciju operatora, treba imati na umu da su operatori koji se u njoj pojavljuju zapravo operatori u Šredingerovoj slici. Medutim, ovako zapisana Liuvilova jednačina ne može opisivati sistem koji razmatramo jer uvidamo da u sebi ne sadrži nijedan član koji bi se odnosio na spontanu emisiju. Prema tome, za naš problem biće potrebno pomenutu jednačinu izmeniti tako da se u njoj nade i član spontane emisije. Takva jednačina se onda naziva modifikovana Liuvilova jednačina i ima sledeći oblik oblik: t ρ = 1 [H, ρ] + Λρ. (2.7) i Kao što vidimo, jednačina je modifikovana dodavanjem operatora Λ koji opisuje procese spontane emisije i čiji će oblik biti dat u nastavku rada.

12 2.2 Master jednačine 9 Vratimo se sad na konkretan problem koji razmatramo i potražimo oblik ukupnog Hamiltonijana koji opisuje sistem pri interakciji sa spoljašnjim poljem. Njega možemo napisati kao zbir tri člana H = H 0 + H R + H I, pri čemu je H 0 Hamiltonijan sistema, H R je Hamiltonijan elektromagnetnog polja dok je H I Hamiltonijan interakcije sistema sa poljem. Ukoliko pretpostavimo da je samo polje nezavisno od sistema, onda Liuvilovu jednačinu možemo rešavati tako da Hamiltonijan H koju u njoj figuriše obuhvata samo Hamiltonijan sistema i njegove interakcije sa poljem, H = H 0 + H I. Kako sistem ima tri energijska nivoa, pokazaćemo da se Hamiltonijan H može u bazisu svojstvenih stanja 1, 2 i 3 predstaviti na kompaktan način u vidu 3 3 matrice Hamiltonijan za kaskadnu i V konfiguraicju Potražimo sada konkretne oblike Hamiltonijana za konfiniran elektron u kvantnoj tački oblika kvadra sa tri energijska nivoa koji je kuplovan sa dva elektromagna polja kružnih frekvenci ω p i ω c. Kao što je već opisano, u zavisnosti od prelaza koji probni i kontrolni laser indukuju mogu se razlikovati više konfiguracja, te će se i konkretni Hamiltonijan za svaku konfiguraciju razlikovati. Kako ćemo u ovom radu razmatrati samo V i kaskadnu konfiguraciju, izvodenje Hamiltonijana za treću, Λ konfiguraciju, neće biti razmatrano. Već smo pomenuli da je usled prisustva probnog i kontrolnog polja, Hamiltonijanu atomskog sistema sa tri nivoa H 0, potrebno dodati i interakcioni član H I koji je posledica interakcije konfiniranog elektrona sa elektromagnetnim zračenjem probnog i kontrolong polja. Podimo od toga da se Hamiltonijan H 0 može napisati pomoću svojstvenih stanja 1, 2 i 3 na sledeći način: H 0 = ω ω ω (2.8) Onda će ukupni Hamiltonijan sistema imati sledeći oblik: H = H 0 + H I. (2.9) Da bismo konkretnije odredili oblik za interakcioni Hamiltonijan H I, uvedimo najpre operator prelaza izmedu dva nivoa, i i j, koji se definiše na sledeći način: pri čemu je operator: A ij = i j, (2.10) I = , (2.11) jedinični operator, uz opravdanu pretpostavku da su svojstvena stanja ortonormirana.

13 2.2 Master jednačine 10 S obzirom da na konfiniran elektron deluju dva elektromagnetna polja, Hamiltonijan interakcije ćemo podeliti na onaj deo koji se odnosi na interakciju usled postojanja probnog polja E p, i indukuje prelaz 1 2 (odnosno 1 3 za V konfiguraciju), i na onaj koji se odnosi na interakciju usled postojanja kontrolnog polja E c i indukuje prelaz 2 3 (odnosno 1 2 ), tako se može zapisati: H I = d E p d E c, (2.12) gde d = er predstavlja dipolni operator prelaza koji se uz korišćenje osobina jediničnog operatora I može zapisati na sledeći način: d = IdI = [ ]d[ ]. (2.13) Množenjem svih operatora u gornjem izrazu uz uzimanje u obzir koje prelaze indukuju probni i kontrolni laser, iz gornje jednačine dobijamo sledeće izraze za dipolne momente kaskadne i V konfiguracije: d v = d 12 A 12 + d 21 A 21 + d 13 A 13 + d 31 A 31, (2.14a) d Ξ = d 12 A 12 + d 21 A 21 + d 23 A 23 + d 32 A 32, (2.14b) Sada možemo zapisati ukupni Hamiltonijan za V i kaskadnu konfiguraciju zamenom konkretnih dipolnih operatora prelaza (2.14a) i (2.14b) u relaciju (2.12) uz korišćenje izraza za polja datih jednačinama (2.1), čiji je oblik isti za obe konfiguracije. Da bismo dobili što jednostavniji oblik Hamiltonijana, opravdano je još i za referentni nivo uzeti energijski nivo 1, tako da je njegova energija jednaka nuli, odnosno ω 1 = 0. Shodno tome, energije nivoa 2 i 3 ćemo levelovati u odnosu na referentni nivo, te ćemo izvršiti zamenu konstanti: ω 2 ω 21 i ω 3 ω 31. Za Hamiltonijane koji odgovaraju V i kaskadnoj konfiguraciji dobijamo: H V = ω 21 A 22 + ω 31 A 33 1 [ d12 E c A 12 e iωct + d 12 E 2 ca 12 e iωct + d 21 E c A 21 e iωct + d 21 E ca 21 e iωct] 1 [ d13 E p A 13 e iωpt + d 13 E 2 pa 13 e iωpt + d 31 E p A 31 e iωpt + d 31 E pa 31 e iωpt] (2.15) H Ξ = ω 21 A 22 + ω 31 A 33 1 [ d12 E p A 12 e iωpt + d 12 E 2 pa 12 e iωpt + d 21 E p A 21 e iωpt + d 21 E pa 21 e iωpt] 1 [ d23 E c A 23 e iωct + d 23 E 2 ca 23 e iωct + d 32 E c A 32 e iωct + d 32 E ca 32 e iωct] (2.16)

14 2.2 Master jednačine 11 Napravimo sad jednu digresiju i razmotrimo unitarnu transformaciju U koja deluje na vektor stanja Ψ, tako da važi Ψ = U Ψ. S obzirom da i početni i transformisani vektor stanja moraju zadovoljavati vremenski zavisnu Šredingerovu jednačinu, možemo napisati da važi: i t Ψ = HΨ; i t Ψ = H Ψ, (2.17) gde je H novi (transformisani) Hamiltonijan. Kako je je U unitarna transformacija, vektor Ψ se može zapisati kao Ψ = U ψ, što zamenom u prvu jednačinu u (2.17) daje: i t [U Ψ ] = H[U Ψ ]; (2.18) Razvijanjem vremenskog izvoda i delovanjem operatorom U sa leve strane dobijamo: i t Ψ + i U t U Ψ = UHU Ψ (2.19) Što se može zapisati na sledeći način: i [ ( ) ] U t Ψ = UHU + i U Ψ (2.20) t Poredenjem sa drugom od jednačina u sistemu (2.17) zaključujemo da se Hamiltonijan transformiše prema: ( ) U H = UHU + i U (2.21) t Kako sada imamo zakon transformacije Hamiltonijana pri delovanju untirane transformacije, razmotrimo novi oblik Hamiltonijana za V konfiguraciju. Pokazaćemo da on dobija relativno jednostavan oblik kada se za oblik transformacije U uzme: U = e iωct e iωpt 3 3. (2.22) Direktnim računom se može pokazati da se sabirci u Hamiltonijanu za V konfiguraciju (2.16) pri delovanju gore napisane unitarne transformacije U, transformišu na sledeći način: A 22 A 22, A 33 A 33, A 21 e iωct A 21, A 12 e iωct A 12, A 31 e iωpt A 31, A 13 e iωpt A 13, A 12 e iωct A 12 e 2iωct, A 21 e iωct A 21 e 2iωct, A 13 e iωpt A 13 e 2iωpt, A 31 e iωpt A 31 e 2iωpt, (2.23)

15 2.2 Master jednačine 12 pri čemu je uzeta u obzir pomenuta ortonormiranost bazisnih vektora stanja. Dalje možemo pokazati da za član koji sadrži vremenski izvod unitarne transformacije važi: ( ) U i U = ω c 2 2 ω p 3 3, t te sada imamo sve potrebne članove transformisanog Hamiltonijana. Medutim, pre nego što zamenimo ovako transformisane članove u konačni Hamiltonijan za V konfiguraciju, izvršimo najpre analognu proceduru i za kaskadnu konfiguraciju. U slučaju kaskadne konfiguracije, unitarna transformacija koju ćemo koristiti kako bismo transformisali trenutni Hamiltonijan ima nešto drugačiji oblik u odnosu na analognu transformaciju koja je korišćena kod V konfiguracije: U = e iωpt e i(ωp+ωc)t 3 3, (2.24) tako da nakon delovanja unitarnog operatora dobijamo da se sabirci u Hamiltonijanu za kaskadnu konfiguraciju transformišu na sledeći način: A 22 A 22, A 33 A 33, A 21 e iωpt A 21, A 12 e iωpt A 12, A 32 e iωct A 32, A 23 e iωct A 23, A 12 e iωpt A 12 e 2iωpt, A 21 e iωpt A 21 e 2iωpt, A 23 e iωct A 23 e 2iωct, A 32 e iωct A 32 e 2iωct, (2.25) dok je drugi član u jednačini (2.21) jednak: ( ) U i U = ω c 2 2 (ω p + ω c ) 3 3 t Konačno pojednostavljenje Hamiltonijana dobijamo njegovim usrednjavanjem po vremenu. U tom slučaju srednja vrednost svih članova koji sadrže vremenski oblik e ±2iω c(p)t, (članovi u desnoj koloni u sistemima (2.23) i (2.25)) postaju jednaki nuli jer osciluju oko srednje vrednosti nula. Ovakav postupak naziva se aproksimacija rotirajućih talasa. Dakle, odbacivanjem svih članova koji sadrže e ±2iω c(p)t dobijamo konačni Hamiltonijan za V i kaskadnu konfiguraciju: H V = A 22 (ω 21 ω c ) + A 33 (ω 31 ω p ) Ω c A 21 Ω ca 12 Ω p A 31 Ω pa 13, H Ξ = A 22 (ω 21 ω p ) + A 33 (ω 13 ω p ω c ) Ω c A 32 Ω ca 23 Ω p A 21 Ω pa 12, (2.26a) (2.26b)

16 2.2 Master jednačine 13 gde smo uveli tzv. Rabijeve frakvence koje se za V konfiguraciju definišu na sledeći način: ( ) Ω p = Epd 31 Ω 2 p = E p d 13 (2.27a) 2 ( ) Ω c = Ecd 21 Ω 2 c = E cd 12, (2.27b) 2 dok su za kaskadnu konfiguraciju date sa: Ω p = Epd 21 2 Ω c = Ecd 32 2 ( ) Ω p = E pd 12 (2.28a) 2 ( ) Ω c = E cd 23. (2.28b) 2 Ove veličine su karakteristične po tome što u sebi sadrže prozivod dveju komponenti, pri čemu prva, E p, odnosno E c, nosi samo informaciju o spoljašnjem EM polju dok druga, d ij karakteriše sam sistem (atom, jon, konfinirani elektron itd.). Pored Rabijevih frekvenci, uvešćemo još i detjuninge (razdešenosti) kontrolnog i probnog polja koje se za V konfiguraciju definisane kao: c = ω 21 ω c, p = ω 31 ω p, (2.29a) (2.29b) dok su za kaskadnu konfiguraciju date sa: p = ω 21 ω p, c = ω 32 ω c. (2.30a) (2.30b) Zamenom ovako uvedenih veličina u (2.26) uz uzimanje u obzir da važi: ω 31 = ω 32 + ω 21, možemo Hamiltonijane zapisati u pogodnijem, matričnom zapisu u bazisu svojstvenih funkcija Hamiltonijana H 0 na sledeći način: 0 Ω c Ω p 0 Ω p 0 H V = Ω c c 0 ; H Ξ = Ω p p Ω c (2.31) Ω p 0 p 0 Ω c c + p Rešavanje master jednačina Kako sada imamo konačne oblike Hamiltonijana koji opisuje naš sistem u V i kaskadnoj konfiguraciji, potrebno je ispisati eksplicitan oblik master jednačina

17 2.2 Master jednačine 14 za obe konfiguracije koristići jednačinu (2.7). Za tu namenu operator gustine predstavićemo u matričnom zapisu u bazisu svojstvenih stanja hamiltonijana H 0, tako da je ρ nm = n ρ m, odakle zaključujemo da ukupno imamo devet matričnih elemenata matrice gustine. Korišćenjem eksplicitnog izraza za operator spontane emisije Λ, iz jednačine (2.7) za evoluciju elemenata matrice gustine dobijamo [15]: ρ nn = i [H, ρ] nn + E m>e n Γ nm ρ mm E m<e n Γ mn ρ nn, (2.32a) ρ mn = i [H, ρ] mn γ mn ρ mn, (2.32b) pri čemu se prva u gore napisanim jednačinama koristi za dijagonalne elemente dok se druga odnosi na nedijagonalne elemente. Koeficijenti Γ ij označavaju radijativne raspade usled spontane emisije iz stanja i u stanje j dok su koeficijenti γ 13 = 1(Γ Γ 32 ) + Γ dph 13, γ 12 = 1Γ Γ dph 12 i γ 23 = 1(Γ Γ 31 + Γ 21 ) + Γ dph 23 ukupni koeficijenti raspada odgovarajućih prelaza. Koeficijenti Γ dph ij (i j) odnose se na raspade usled kvantne koherencije prelaza i j i njihovo postojanje ima korena u elektron-fononskoj interakciji. Pre nego što napišemo eksplicitne jednačine za evoluciju elementa matrice gustine, navedimo dve njene bitne karakteristike. Naime, iako to ovde nećemo dokazivati, može se pokazati da je matrica gustine ermitska [16], odnosno da važi ρ nm = ρ mn. Pored toga, važi i da je njen trag jednak jedinici, odnosno ρ 11 + ρ 22 + ρ 33 = 1 [16]. Ovo za posledicu ima da se ukupan broj medusobno nezavisnih elemenata matrice gustine smanjuje sa devet na samo pet. Prema tome, dovoljno je rešiti sistem od samo pet, umesto od devet, linearnih diferencijalnih jednačina prvog reda po vremenu kako bismo u potpunosti odredili matricu gustine. Navedimo najpre diferencijalne jednačine za evoluciju elemenata matrice gustine za kaskadnu konfiguraciju. Zamenom Hamiltonijana za tu konfiguraciju iz (2.31) u (2.32), dobijamo sledeći sistem jednačina (pri čemu smo odabrali sledećih pet elemenata: ρ 11, ρ 33, ρ 12, ρ 13 i ρ 23, mada izbor nije jednoznačan): ρ 11 = iω pρ 21 iω p ρ 12 + Γ 21 ρ 22 + Γ 31 ρ 33, ρ 33 = iω c ρ 23 iω cρ 32 Γ 32 ρ 33 Γ 31 ρ 33, ρ 12 = iω p(ρ 22 ρ 11 ) iω c ρ 13 + (i p γ 12 )ρ 12, ρ 13 = iω pρ 23 iω cρ 12 + [i( p + c ) γ 13 ]ρ 13, ρ 23 = iω c(ρ 33 ρ 22 ) + iω p ρ 13 + (i c γ 23 )ρ 23. (2.33a) (2.33b) (2.33c) (2.33d) (2.33e) Pre nego što se pozabavimo rešavanjem ovog sistema diferencijalnih jednačina, napisaćemo odmah i analogne jednačine za V konfiguraciju. Odnosno, zame-

18 2.2 Master jednačine 15 nom Hamiltonijana za V konfiguraciju iz sistema (2.31) u (2.32) za elemente ρ 22, ρ 33, ρ 12, ρ 13 i ρ 23 dobijamo: ρ 22 = iω c ρ 12 iω cρ 21 Γ 21 ρ 22 + Γ 32 ρ 33, ρ 33 = i(ω p ρ 13 Ω pρ 31 ) Γ 31 ρ 33 Γ 32 ρ 33, ρ 12 = iω c (ρ 22 ρ 11 ) + ρ 12 (i c γ 12 ) + iω pρ 32, ρ 13 = iω p (ρ 33 ρ 11 ) + ρ 13 (i p γ 13 ) + iω cρ 23, ρ 23 = ρ 23 [i ( p c ) γ 23 ] + i ( ) Ω c ρ 13 Ω pρ 21. (2.34a) (2.34b) (2.34c) (2.34d) (2.34e) Kako sada imamo jednačine koje opisuju kretanje matrice gustine za konfiguracije koje razmatramo, sledeći logičan korak jeste njihovo rešavanje. Medutim, kako se radi o sistemima medusobno spregnutih diferencijalnih jednačina, nećemo tražiti njihovo opšte analitičko rešenje već ćemo pretpostaviti da su zadovoljeni odredeni uslovi koji omogućavaju da se gornji sistemi svedu na sisteme običnih, algebarskih linearnih jednačina. Za početak ćemo pretpostaviti da je kontrolno polje daleko većeg intenziteta u odnosu probno polje. To znači da se probno polje može tretirati kao perturbacija i zapisati kao Ω p λω p, gde je λ parametar po kome ćemo vršiti razvoj matričnih elemenata tako da važi ρ ij = k=0 λk ρ (k) ij, pri čemu smo pretpostavili da suma sa desne strane zaista konvergira ka stvarnoj vrednosti odgovarajućeg matričnog elementa. Korišćenjem ovih pretpostavki može se pokazati da iz sistema (2.33) slede sledeće rekurzivne jednačine za kaskadnu konfiguraciju: ρ (n+1) 11 = iω pρ (n) 21 iω p ρ (n) 12 + Γ 21 ρ (n+1) 22 + Γ 31 ρ (n+1) 33, (2.35a) ρ (n+1) 33 = iω c ρ (n+1) 23 iω cρ (n+1) 32 Γ 32 ρ (n+1) 33 Γ 31 ρ (n+1) 33, (2.35b) ρ (n+1) 12 = iω p(ρ (n) 11 ρ (n) 22 ) iω cρ (n+1) 13 + (i p γ 12 )ρ (n+1) 12, (2.35c) ρ (n+1) 13 = iω pρ (n) 23 iω cρ (n+1) 12 + [i( p + c ) γ 13 ]ρ (n+1) 13, (2.35d) ρ (n+1) 23 = iω c(ρ (n+1) 33 ρ (n+1) 22 ) + iω p ρ (n) 13 + [i c γ 23 )]ρ (n+1) 23. (2.35e) Kako iste pretpostavke važe i kada je u pitanju V konfiguracija, možemo odmah napisati i analogne jednačine za tu konfiguraciju: ρ (n+1) 22 = iω c ρ (n+1) 12 iω cρ (n+1) 21 Γ 21 ρ (n+1) 22 + Γ 32 ρ (n+1) 33, ( ) (2.36a) ρ (n+1) 33 = i Ω p ρ (n) 13 Ω pρ (n) 31 Γ 31 ρ (n+1) 33 Γ 32 ρ (n+1) 33, ( ) (2.36b) ρ (n+1) 12 = iω c ρ (n+1) 22 ρ (n+1) 11 ( ) + ρ (n+1) 12 (i c γ 12 ) + iω pρ (n) 32, (2.36c) ρ (n+1) 13 = iω p ρ (n) 33 ρ (n) 11 + ρ (n+1) 13 (i p γ 13 ) + iω cρ (n+1) 23, ( ) (2.36d) ρ (n+1) 23 = ρ (n+1) 23 [i ( p c ) γ 23 ] + i Ω c ρ (n+1) 13 Ω pρ (n) 21. (2.36e)

19 2.2 Master jednačine 16 Pretpostavimo dalje da je nakon uključivanja probnog i kontrolong lasera uspostavljeno ravnotežno stanje odnosno da se matrični elementi ne menjaju sa vremenom. Takav režim naziva se stacionarni. To za posledicu ima iščezavanje svih izvoda oblika ρ ij sa leve strane jednačina, tako da se gornji sistemi diferencijalnih jednačina svode na sisteme algebarskih jednačina i moguće ih je analitički rešiti po ρ (n+1) ij. To znači da ako su nam poznate inicijalne vrednosti matričnih elemenata ρ (0) ij, koje predstavljaju vrednosti pre stupanja sistema u interakciju sa probnim i kontrolnim poljem, možemo lako dobiti svaki naredni član u razvoju ρ ij = k=0 λk ρ (k) ij, te u potpunosti odrediti matrične elemente u stacionarnom režimu. Konačno, rešavanjem gore napisanog sistema rekurzivnih jednačina u stacionarnom režimu po ρ (n+1) ij, dobijamo sledeća rešenja za kaskadnu konfiguraciju: [ ] 2Ω p C 2 Im ρ (n) 12 + F (n) 1 Ω c (Γ 21 Γ 31 ) gde je ρ (n+1) 11 = [ ] 2Ω p C 2 Im ρ (n) ρ (n+1) 12 F (n) 1 Γ 31 Ω c 22 = [ ( ) iω p C 1 ρ (n) 11 ρ (n) 22 iω c ρ (n) 23 ρ (n+1) 23 = C 2 Γ 21, (2.37a), (2.37b) C 2 Γ 21 ] ρ (n+1) 12 =, (2.37c) C 1 (i p γ 12 ) + Ω 2 c [ ( ) ] Ω p Ω c ρ (n) ρ (n+1) 22 ρ (n) 11 + ρ (n) 23 ( p + iγ 12 ) 13 = 2 p + p ( c + iγ 12 + iγ 13 ) Ω 2 c + γ 12 (i c γ 13 ), (2.37d) [ ( ) ] iω p C 2 Γ 21 ρ (n) Ω c Im ρ (n) 12 2F (n) 1 Ω 2 c (Γ 21 + Γ 31 ) C 1 = i( c + p ) γ 13, C 2 Γ 21 (γ 23 i c ) ( C 2 = Γ 21 2 c + γ23) 2 (Γ31 + Γ 32 ) + 2Ω 2 cγ 23 (Γ 21 + Γ 31 ), ( ) F (n) 1 = γ 23 Γ 21 Re ρ (n) Ω c Im ρ (n) 12 c Γ 21 Im ρ (n) 13.,(2.37e)

20 2.3 Susceptibilnost 17 Dok su analogne jednačine za V konfiguraciju date sa: ( ) Ω p Ω c ΓF (n) ρ (n+1) 2 2D 3 Im ρ (n) =, (2.38a) D 2 Γ ρ (n+1) 33 = 2Ω p Im ρ (n) 13 (2.38b) gde je:, Γ 31 + Γ [ 32 ( Ω p D 2 Γρ (n) ρ (n+1) Ω c Ω c ΓF (n) 2 (D 2 + 2D 3 ) Im ρ (n) = D 2 Γ ( c + iγ 12 ) [( ) ] iω p ρ (n) 11 ρ (n) 33 (D 1 Ω 2 c) if (n) 3 ρ (n+1) 13 = ρ (n+1) 23 = D 1 (i p γ 13 ) [ ( ) ] Ω p Ω c ρ (n) 11 ρ (n) 33 + if (n) 3 Ω 2 c (i p γ 13 ) (i c i p + γ 23 ), D 1 = Ω 2 c (i p γ 13 )(i c i p + γ 23 ), D 2 = 2 cγ 21 + Γ 21 γ Ω 2 cγ 12, D 3 = 2 cγ 32 + Γ 32 γ Ω 2 cγ 12, δ 1 = i c γ 12, δ 2 = i c + γ 12, Γ = Γ 31 + Γ 32, F (n) 2 = ρ (n) 23 δ 1 ρ (n) 32 δ 2, F (n) 3 = ρ (n) 21 (i p γ 13 ). )],(2.38c), (2.38d) (2.38e) Sprovodenjem ovog postupka možemo smatrati da smo u potpunosti odredili matrične elemente za slučaj kaskadne i V konfiguracije ukoliko su nam date njihove inicijalne vrednosti i ukoliko su sve načinjene pretpostavke opravdane. 2.3 Susceptibilnost Kao što je napomenuto, matrica gustine odredena je sa pet medusobno nezavisnih elemenata, medutim za ovaj rad neće biti potrebno davati eksplicitne oblike za sve te matrične elemente. Naime, pokazaćemo da će od interesa pre svega biti razmatranje matričnih elemenata ρ 21 za kaskadnu i ρ 31 za V konfiguraciju zbog njihovog konkretnog fizičkog značaja. Taj značaj ogleda se u njihovoj povezanosti sa susceptibilnošću sredine na prostiranje probnog polja. Pomenuta povezanost može se dobiti sledećim razmatranjem. Razmotrimo najpre slučaj V konfiguracije

21 2.3 Susceptibilnost 18 i podimo od toga da se polarizacija sredine definiše kao električni dipolni moment jedinice zapremine sredine i da se može zapisati na sledeći način: P = N d = N Tr( ρd) (2.39) ρ 11 ρ 12 ρ 13 0 d 12 d 13 = N Tr ρ 21 ρ 22 ρ 23 d (2.40) ρ 31 ρ 32 ρ 33 d d 21 ρ 12 + d 31 ρ 13 d 12 ρ 11 d 13 ρ 11 = N Tr d 21 ρ 22 + d 31 ρ 23 d 12 ρ 21 d 13 ρ 21 (2.41) d 21 ρ 32 + d 31 ρ 33 d 12 ρ 31 d 13 ρ 31 = N(d 21 ρ 12 + d 12 ρ 21 + d 31 ρ 13 + d 13 ρ 31 ), (2.42) gde je ρ matrica gustine u originalnom sistemu (pre izvršene unitarne transformacije), tako da za polarizaciju končano dobijamo: P = N(d 21 ρ 12 e iωct + d 12 ρ 21 e iωct + d 13 ρ 31 e iωpt + d 31 ρ 13 e iωpt ). (2.43) Podsetimo se još da se polarizacija sredine definiše i pomoću jačine električnog polja na sledeći način: P = ɛ 0 χe. (2.44) Kako se susceptibilnost sredine u gore napisanoj jednačini odnosi i na probno i na kontrolno polje, električno polje u njoj ćemo zameniti zbirom polja datih izrazom (2.1), tako da izjednačavanjem sa desnom stranom jednačine (2.43) dobijamo: 1 2 ɛ 0χ(E p e iωpt + E pe iωpt ) ɛ 0χ(E c e iωct + E ce iωct ) = (2.45) = N(d 21 ρ 12 e iωct + d 12 ρ 21 e iωct + d 13 ρ 31 e iωpt + d 31 ρ 13 e iωpt ). Daljim izjednačavanjem članova sa istim vremenski zavisnim eksponentima za susceptibilnost sredine u odnosu na probno polje za V konfiguraciju dobijamo: χ p = 2N d 31 ɛ 0 E p ρ 31, (2.46) dok je susceptibilnost sredine u odnosu na kontrolno polje data sa: χ c = 2N d 21 ɛ 0 E c ρ 21. (2.47) Analogan postupak se može sprovesti i za slučaj kaskadne konfiguracije, tako da se za susceptibilnost sredine u odnosu na probno polje i kontrolno polje kod kaskadne konfiguracije dobija: χ p = 2N d 21 ɛ 0 E p ρ 21, χ c = 2N d 32 ɛ 0 E c ρ 32. (2.48)

22 2.4 Svojstveni problem Hamiltonijana. Koeficijenti spontane emisije. 19 Značaj nalaženje susceptibilnosti sistema ogleda se u tome da je odgovor razmatranog sistema na probno zračenje odreden njegovom susceptibilnošću, tako da je njegov realni deo Re χ povezan sa indeksom prelamanja sredine, dok imaginarni deo Im χ odreduje apsorpciju sredine. Veza izmedu koeficijenta apsorpcije i indeksa prelamanja sa susceptibilnošću data je sledećim izrazima [17]: α = ω Im χ, (2.49a) c n = 1 + Re χ. (2.49b) Dakle, nalaženje matričnih elementa ρ 21 za kaskadnu i ρ 31 za V konfiguraciju je od velikog fizičkog značaja. Zbog toga ćemo ovde naći njihove eksplicitne oblike do prvog reda po Ω p sledećim rezonovanjem. Pretpostavimo da su svi elektroni pre stupanja u interakciju sa probnim i kontrolnim poljem bili u osnovnom stanju. Kako dijagonalni matrični elementi ρ 11, ρ 22 i ρ 33 imaju smisao verovatnoće nalaženja sistema u stanju 1, 2 i 3, zaključujemo da u početnom trenutku važi ρ (0) 11 = 1 i ρ (0) 22 = ρ (0) 33 = 0. Pored toga, opravdano je pretpostaviti da su i svi drugi matrični elementi u početnom trenutku jednaki nuli, odnosno ρ (0) 12 = ρ (0) 13 = ρ (0) 23 = 0. Zamenom ovih vrednosti u (2.37c) i (2.38d), lako dobijamo sledeće izraze za ρ (1) 21 za kaskadnu i ρ (1) 31 za V konfiguraciju: ρ (1) 21 = ρ (1) 31 = iω p, Ω 2 c +i i( c+ p)+γ p+γ iω p, Ω 2 c +i i( p c)+γ 23 p+γ 13 (2.50a) (2.50b) gde smo koristili osobinu da je matrica gustine ermitska matrica. Iako su gore napisani izrazi tek prvi nenulti članovi u razvoju za ρ 21 i ρ 31, pokazaćemo u nastavku ovog rada da su naredni članovi u razvoju nekoliko redova veličine manji po intenzitetu od njih te da je opravdano pretpostaviti da važi: ρ 21 ρ (1) 21 i ρ 31 ρ (1) Svojstveni problem Hamiltonijana. Koeficijenti spontane emisije. Posmatrajmo trodimenzionalnu kvantnu jamu (kvantna tačka) sa dimenzijama L 1, L 2 i L 3 unutar koje se nalazi konfiniran elektron. Hamiltonijan takvog elektrona se može zapisati kao: H 0 = 2 2m e 2 + V (x, y, z), (2.51) gde je m e efektivna masa elektrona. U slučaju GaAs (galijum-arsenid) kvantne tačke, za efektivnu masu konfiniranog elektrona uzećemo m e = 0.067m 0, gde je

23 2.4 Svojstveni problem Hamiltonijana. Koeficijenti spontane emisije. 20 m 0 masa slobodnog elektrona. Za potencijal V (x, y, z) možemo izabrati da unutar kvantne tačke bude jednak nuli (0 x L 1, 0 y L 2, 0 z L 3 ), dok je van kvantne tačke potencijal beskonačan. Unutar kvantne tačke svojstveni problem Hamiltonijana, odnosno vremenski nezavisna Šredingerova jednačina, koju treba rešiti ima oblik: ( 2 2 2m x y z 2 ) Ψ(x, y, z) = EΨ(x, y, z). (2.52) Kako se radi o homogenoj diferencijalnoj jednačini drugog reda po prostornim koordinatama, jednačina se lako rešava razdvajanjem promenljivih, tako da dobijemo tri nezavisne diferencijalne jednačine: 2 2 ψ 1 (x) 2m 2 2m = E x 2 1 ψ 1 (x), (2.53a) 2 ψ 2 (y) = E y 2 2 ψ 2 (y), (2.53b) 2 2 ψ 3 (z) 2m z 2 = E 3 ψ 3 (z), (2.53c) (2.53d) pri čemu je Ψ(x, y, z) = ψ 1 (x)ψ 2 (y)ψ 3 (z) i E = E 1 + E 2 + E 3. Uzimanjem još u obzir da je potrencijal van jame beskonačan, odnosno da na granicama važi ψ 1 (0) = ψ 2 (0) = ψ 3 (0) = 0 kao i ψ 1 (L 1 ) = ψ 2 (L 2 ) = ψ 3 (L 3 ) = 0, sledi: k x L 1 = n 1 π, k y L 2 = n 2 π, k z L 3 = n 3 π, gde je n 1, n 2, n 3 Z +, gde je kx 2 = 2mE 1 / 2, ky 2 = 2mE 2 / 2 i kz 2 = 2mE 3 / 2, tako da za talasnu funkciju Ψ(x, y, z) dobijamo: ( ) ( ) ( ) n1 π n2 π n3 π Ψ n1 n 2 n 3 (x, y, z) = C sin x sin y sin z, (2.54) L 1 L 2 L 3 Zahtevanjem da verovatnoća nalaženja elektrona u jami bude jednaka jedinici, odnosno Ψ(x, y, z)dv = 1, možemo odrediti normalizacionu konstantu C tako V da konačno dobijamo: ( ) 1/2 ( ) ( ) ( ) 8 n1 π n2 π n3 π Ψ n1 n 2 n 3 (x, y, z) = sin x sin y sin z. (2.55) L 1 L 2 L 3 L 1 L 2 L 3 Prema tome, stanje konfiniranog elektrona u kvantnoj tački odredeno je sa tri kvantna broja n 1, n 2 i n 3, pri čemu je svojstvena energija takvog stanja data sa: ( ) E n1,n 2,n 3 = 2 π 2 n n2 2 + n2 3 (2.56) 2m L 2 1 L 2 2 L 2 3

24 2.4 Svojstveni problem Hamiltonijana. Koeficijenti spontane emisije. 21 Nalaženjem jednačina (2.55) i (2.56) možemo smatrati da smo egzaktno rešili svojstveni problem Hamiltonijana konfiniranog elektrona u kvantnoj tački oblika kvadra. Razmotrimo sada detaljnije smisao koeficijenata raspada uvedenih u jednačini (2.32). Kao što je rečeno, koeficijenti Γ 21, Γ 32 i Γ 31 opisuju spontanu emisiju odgovarajućih prelaza. Konkretni izrazi za pomenute koeficijente raspada moguće je naći korišćenjem formalizma Ajnštajnovih koeficijenata (za spontanu emisiju, stimulisanu emisiju i apsorpciju) uz pretpostavku da se popunjenost nivoa pokorava Bolcmanovoj raspodeli. U tom slučaju, može se pokazati da je koeficijent raspada nivoa i na nivo j, usled spontane emisije odreden izrazom[16]: Γ ij = E3 ij d ij 2 3πɛ 0 4 c 3, (2.57) gde E ij označava razliku svojstvenih energija izmedu stanja i i stanja j. Na vrlo niskim temperaturama (kriogenske temperature) može se, zbog odsustva elektronfononske interakcije, smatrati da spontana emisija dominira kao relaksacioni mehanizam. Pod takvim okolnostima, ukupne koeficijente raspada možemo odrediti egzaktno korišćenjem jednačine (2.57), pri čemu ćemo odredeni prelaz smatrati zabranjenim ukoliko je njemu odgovarajući dipolni element prelaza (a time i odgovarajući koeficijent raspada Γ ij ) jednak nuli. Sa druge strane, na višim temperaturama (većim od 7 K), elektron-fononska interakcija se ne može zanemariti. Štaviše, ona dominira kao relaksacioni mehanizam i u tom slučaju se vrednosti relaksacionih koeficijenata odreduju eksperimentalno i nalaze se u širokom domenu od 10 9 Hz do Hz [18][19].

25 22 3 Propagacija svetlosnog pulsa U ovom poglavlju pozabavićemo se aspektima propagacije probnog polja kroz sredinu koja se sastoji iz pravougaonih kvantnih tačaka GaAs u kojima je konfiniran elektron. Probno polje će u ovom slučaju biti pulsni laser sa centralnom frekvencom ω p čiji je konkretni oblik dat sa: E p = 1 2 [E p(r, t)e i(ωpt kpr) + E p(r, t)e i(ωpt kpr) ]. (3.1) Pored probnog polja, sredina je kuplovana i kontrolnim poljem mnogo većeg intenziteta tako da su ostvareni uslovi za pojavu EIT fenomena. Kontrolno polje je sa druge strane kontinuirani laserski zrak, centriran oko frekvence ω c, odnosno: E c = 1 2 [E ce i(ωct kcr) + E ce i(ωct kcr) ]. (3.2) U prethodnom poglavlju su date jednačine (2.37) i (2.38), koje opisuju dinamiku konfiniranog elektrona kuplovanog probnim i kontrolnim poljem, dok se uticaj sredine na polje nije razmatrao. U ovom poglavlju će, sa druge strane, biti razmatrane jednačine koje opisuju propagaciju probnog polja datog jednačinom (3.1). S obirom da elektromagnetno polje tretiramo na klasičan način, da bismo odredili propagaciju probnog pulsa poći ćemo od Maksvelovih jednačina za supstancijalnu sredinu (poznate kao Maksvel-Lorencove jednačine) za probno polje koje u opštem slučaju imaju oblik: D p = ρ, E p = B t, B = 0, (3.3a) (3.3b) (3.3c) H = j + D p t, (3.3d) gde su sa D p i H označene električna i magnetna indukcija, dok je B jačina magnetnog polja. Veza ovih veličina sa vektorom polarizacijom sredine P i vektorom magnetizacije M, uvedena je fenomenološki i data jednačina: D p = ɛ 0 E p + P, H = 1 µ 0 B M. (3.4) Kako sistem (3.3) nije moguće rešiti analitički u opštem slučaju jer se opet susrećemo sa medusobno spregnutim diferencijalnim jednačinama, napravićemo nekoliko opravdanih aproksimacija. Za početak, možemo smatrati da je magnetizacija sredine M zanemarljiva tj. da se magnetne sile mogu zanemariti u odnosu na

26 23 električne. Pored toga, pretpostavićemo da u sredini nema slobodnih naelektrisanja, te je ρ = 0 i j = 0. Ove pretpostavke značajno uprošćavaju sistem (3.3) tako da se on svodi na: D p = 0, E p = B t, B = 0, B = µ 0 D p t. (3.5a) (3.5b) (3.5c) (3.5d) Dalje se uzimanjem rotora druge jednačine iz sistem (3.5) pokazuje da važi: ( E p ) = ( E p ) 2 E p = ( = B ) = t t ( B) = t ( ) D p 2 D p µ 0 = µ 0 t t 2 Kako iz prve jednačine sistema (3.5) takode sledi E p = 1/ɛ 0 P, pri čemu je opravdano smatrati da nema prostorne varijacije polarziacije P (odnosno P = 0). Konačno iz gore napisane jednačine dobijamo: odnosno zamenom konkretnog izraza za D: 2 E p = µ 0 2 D p t 2 (3.6) E p 1 c 2 2 E p t 2 = 1 ɛ 0 c 2 2 P t 2. (3.7) Jednačina (3.7) predstavlja osnovnu nelinearnu diferencijalnu jednačinu za propagaciju probnog lasera. Ukoliko pretpostavimo da se probno polje prostire duž z-ose, onda možemo smatrati da je ono samo funkcija vremena i z prosotrne koordinate. Pored toga, s obzirom da razmatramo samo polarizaciju P indukovanu probnim poljem, opravdano je pretpostaviti da je njen oblik, odnosno zavisnost od prostornih koordinata i vremena ista kao i u slučaju probnog polja. Zbog toga, uzimamo da probno polje i polarizacija imaju sledeći oblik: E p (z, t) = 1 2 [E p(z, t)e i(ωpt kpz) + E p(z, t)e i(ωpt kpz) ], (3.8) P(z, t) = 1 2 [P(z, t)e i(ωpt kpz) + P (z, t)e i(ωpt kpz) ]. (3.9)

27 24 Zamenom ovih izraza u jednačinu (3.7) dobija se da njen realni deo zadovoljava jednačinu: 1 2 E p 2 z + ik E p 2 p z 1 2 E pkp E p 1 E p + iω 2c 2 t 2 p c 2 t + ω2 p 2c E 2 p = = ω2 p 2ɛ 0 c 2 P Uglavnom je opravdano da envelopu E p = E p (z, t) smatramo sporo promenljivom funkcijom vremena i prostorne koordinate z, što znači da je moguće primeniti aproksimaciju sporo promenljive envelope koja za posledicu ima važenje sledećih nejednakosti: kp E p 2 E p z 2 2 E p t 2 z ωp E p t,. (3.10a) (3.10b) Kako je pored toga elektromagnetni talas dat sa (3.8) monohromatski, on mora zadovoljavati i disperzionu jednačinu oblika: ω p = ck p, tako da se jednačina propagacije konačno svodi na: ( Ep z + 1 c ) E p = i ω p t 2ɛ 0 c P (3.11) Ranije je navedeno da se polarzacija sredine P u odnosu na probno polje može dobiti usrednjavanjem kvantnog dipolnog momenta, i da je za slučaj kaskadne konfiguracije data sa: dok je za V konfiguraciju: P = N d 21 = N Tr(ρd) = Nd 21 ρ 21, (3.12) P = N d 31 = N Tr(ρd) = Nd 31 ρ 31, (3.13) gde je N gustina kvantnih tačaka. Korišćenjem ovako napisanih izraza za polarizaciju, konačne jednačine za propagaciju probnog polja, koje se nazivaju Maksvel- Blohove jednačine, dobijaju sledeći oblik: ( Ep z + 1 ) E p = i ω pnd 21 c t 2ɛ 0 c ρ 21, (3.14a) ( Ep z + 1 ) E p = i ω pnd 31 c t 2ɛ 0 c ρ 31, (3.14b)

28 25 Dakle, propagacija svetlosnog pulsa kroz sredinu u kojoj je formirana kaskadna ili V konfiguracija pokorava se jednačini (3.14a) odnosno (3.14b). Medutim, kako su matrični elementi ρ 21 i ρ 31 koji stoje sa desne strane spregnuti sa sistemima (2.33) i (2.34), jasno je da će propagaciju probnog lasera kroz sredinu u kojoj je formirana kaskadna konfiguracija odredivati sistem (2.33) zajedno sa jednačinom (3.14a) dok će se propagacija kroz V konfiguraciju pokoravati sistemu (2.34) i jednačini (3.14b). Nadimo sada rešenja Maksvel-Blohovih jednačina po E p = E p (z, t). Kao što je ranije rečeno, pri rešavanju sistema (2.33) i (2.34), dovoljno je razmatrati samo članove matrice gustine do prvog reda tačnosti. Pozabavimo se najpre propagacijom polja kroz sredinu u kojoj je formirana kaskadna konfiguracija i pretpostavimo ponovo da je sistem pre stupanja u interakciju sa zračenjem prepariran tako da se svi elektroni nalaze u osnovnom stanju, tako da ćemo pretpostaviti da važi ρ (0) 11 = 1 i ρ (0) 22 = ρ (0) 33 = ρ (0) 32 = 0. U tom slučaju se jednačine (2.35c) i (2.35d) svode na: ρ (1) 21 = iω p + iω c ρ (1) 31 (i p + γ 12 )ρ (1) 21 (3.15a) ρ (1) 31 = iω c ρ (1) 21 [γ 13 + i( p + c )] ρ (1) 31 (3.15b) Kako su jednačine (3.14) parcijalne diferencijalne jednačine prvog reda po vremenu i po prostornoj koordinati z, za njihovo rešavanje se može koristiti metoda Furijeovih transformacija. Pomenuta metoda se sastoji u tome da se članovi ρ (1) 21, ρ (1) 31, Ω p i E p (z, t) zapišu preko svojih Furijeovih transforma ρ (1) 21, ρ (1) 31, Ω p i Ẽp(z, ω) na sledeći način: ρ 21 (t) = 1 2π ρ 31 (t) = 1 2π Ω p (t) = 1 2π E p (z, t) = 1 2π ρ 21 (ω)e iωt dt, ρ 31 (ω)e iωt dt, Ω p (ω)e iωt dt, Ẽ p (z, ω)e iωt dt, (3.16a) (3.16b) (3.16c) (3.16d) gde smo radi jednostavnosti izostavili gornje indekse. Korišćenjem ovih Furijeovih transformacija, odnosno njihovom zamenom u (3.15), dobija se da važe sledeće relacije: iω ρ 21 = i Ω p + iω c ρ 31 (i p + γ 12 ) ρ 21 iω ρ 31 = iω c ρ 21 [γ 13 + i( p + c )] ρ 31 (3.17a) (3.17b) Napisani sistam sada predstavlja običan sistem algebarskih jednačina sa dve ne-

29 26 poznate i lako se rešava po ρ 21, tako da dobijamo: ρ 21 = i Ω p (i c + i p iω + γ 13 ) Ω 2 c + (i p iω + γ 12 ) (i c + i p iω + γ 13 ) (3.18) = i Ω p f(ω) = if(ω) d 21Ẽp(ω), (3.19) 2 gde je Ẽp(ω) Furijeov transform probnog polja, dok je f Ξ (ω): f Ξ (ω) = i ( c + p ) iω + γ 13 Ω 2 c + (i p iω + γ 12 ) [i( c + p ) iω + γ 13 ]. (3.20) Ukoliko sada još izvršimo Furijeovu transformaciju jednačine (3.14a) tako da dobijemo: ( ) dẽp dz iω c Ẽp = i ω pnd 21 ρ 21, (3.21) 2ɛ 0 c i zamenom ρ 21 u (3.21), konačno dobijamo diferencijalnu jednačinu za [ Ẽp: d dz iω ] c + g Ξ(ω) Ẽ p (z, ω) = 0, (3.22) gde je g Ξ (ω) = Nω p d 21 2 f Ξ (ω)/(4ɛ c). Kako ova diferncijlna jednačina razdvaja promenljive, ona se lako rešava po Ẽp(z, ω): Ẽ p (z, ω) = Ẽp(0, ω)e [ iω c g Ξ(ω)]z, (3.23) gde Ẽp(0, ω) predstavlja Furijeov transform amplitude polja pri ulasku u sredinu. Zamenom gornjeg izraza za Ẽp(z, ω) u jednačinu (3.16d) konačno dobijamo traženo polje: E p (z, t) = 1 Ẽ p (0, ω)e iω(t z c) g Ξ (ω)z dω. (3.24) 2π Analogna procedura se može sprovesti i u slučaju V konfiguracije. Podimo u tom slučaju od jednačina (2.36d) i (2.36e), i uzmimo sada da je ρ (0) 11 = 1 i ρ (0) 22 = ρ (0) 33 = ρ (0) 21 = 0, tako da dobijamo: ρ (1) 31 = iω p ρ (1) 31 (i p + γ 13 ) iω c ρ (1) 32 (3.25a) ρ (1) 32 = ρ (1) 32 [i( p c ) + γ 23 ] iω cρ (1) 31 (3.25b) Jednačina propagacije u Furijeovom prostoru kao i samo polje za V konfiguraciju imaju isti oblik kao i za kaskadnu i dati su jednačinama: Ẽ p (z, ω) = Ẽp(0, ω)e [ iω c g V (ω)]z, (3.26) E p (z, t) = 1 Ẽ p (0, ω)e iω(t z c) g V (ω)z dω, (3.27) 2π

30 3.1 Grupna brzina, distorzija i raspad probnog pulsa 27 gde je g V (ω) dato sa g V (ω) = Nω p d 31 2 f V (ω)/(4ɛ c) dok je f V (ω): f V (ω) = i ( p c ) iω + γ 23 Ω 2 c + (i p iω + γ 12 ) [i( p c ) iω + γ 23 ]. (3.28) Na ovaj način smo u potpunosti odredili amplitudu probnog polja pri njegovom prostiranju kroz sredinu u kojoj je formirana kaskadna ili V konfiguracija. 3.1 Grupna brzina, distorzija i raspad probnog pulsa Razmotrimo sada detaljnije jednačinu propagacije pulsa u Furijeovom prostoru datu sa (3.23), odnosno sa (3.26), tako što ćemo je najpre napisati u obliku ravnog elektromagnetnog talasa: gde je k(ω) dato sa: Ẽ p (z, ω) = Ẽp(0, ω)e ik(ω)z, (3.29) k(ω) = ω c + ig Ξ(ω) = ω c + iα Ξf Ξ (ω) za kaskadnu konfiguraciju, (3.30a) k(ω) = ω c + ig V (ω) = ω c + iα V f V (ω) za V konfiguraciju. (3.30b) Navedene jednačine nazivaju se disperzione jer daju zavisnost talasnog broja k od kružne frekvence ω, odnosno uticaj disperzije sredine na propagaciju pulsa. Razvojem funkcije k(ω) u Tejlorov red oko centralne frekvence probnog polja (odnosno za ω = 0) i zadržavanjem prvih četiri člana za k(ω) dobijamo: k(ω) = k 0 + k 1 ω + k 2 ω 2 + k 3 ω 3. (3.31) Konkretni oblici koeficijenata u gore napisanoj jednačini nalazimo direktnim izračunavanjem, i dati su sa: a k 0 = k(0) = iα ab + Ω c, 2 (3.32a) k 1 = dk dω ω=0 = 1 c + α Ω c 2 a 2 [ab + Ω c 2 ] 2, (3.32b) k 2 = 1 d 2 k 2 dω 2 ω=0 = iα Ω c 2 (2a + b) a 3 [ab + Ω 2 c] 3, (3.32c) k 3 = 1 d 3 k 6 dω ω=0, = α a4 Ω c 2 (3a 2 + 2ab + b 2 ) + Ω c 4 3 [ab + Ω c 2 ] 4. (3.32d)