No Slide Title

Транскрипт

1 OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROVATNOĆE Teorija vjerovatnoće se bavi izučavanjem eksperimenata sa sučajnim ishodima (rezutatima eksperimenta). Uvedimo oznake: - skup svih mogućih ishoda nekog eksperimenta - eementi skupa (ishodi ii eementarni događaji). DEFINICIJA: A je sučajni događaj. Svaki podskup A skupa Ω je događaj. Događaj A se reaizuje ako se ostvari neki ishod koji pripada podskupu A. Nemoguć događaj je događaj koji se nikada ne ostvaruje. Njemu odgovarajući skup povojnih ishoda je prazan skup. Siguran događaj je događaj koji se uvijek ostvaruje. Njemu odgovara.

2 OSNOVNE OPERACIJE NAD DOGAĐAJIMA SUPROTAN DOGAĐAJ A (kompement skupa A) događaj koji se reaizuje samo ukoiko se A ne reaizuje. PRESJEK DOGAĐAJA A B (često ćemo pisati samo AB) događaj koji se ostvaruje ako se ostvare i A i B UNIJA DOGAĐAJA A B (ostvaruje se ako se ostvari bar jedan od događaja A, B). A A B A B A A B A B 2

3 OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROVATNOĆE Reacija među događajima DISJUNKCIJA (ISKLJUČIVANJE) DOGAĐAJA - događaji su disjunktni (iskjučuju se) ako ne mogu istovremeno da se ostvare. A B Za uniju disjunktnih događaja često ćemo pisati IMPLIKACIJA DOGAĐAJA - A impicira (povači) B ako se pri pri reaizaciji događaja A uvijek reaizuje i događaj B. A B 3

4 DEFINICIJA VJEROVATNOĆE Kasična (Lapasova) definicija vjerovatnoće događaja A: p( A) M N M broj povojnih ishoda N broj svih mogućih ishoda Primjer: Koika je vjerovatnoća da pri bacanju novčića padne grb? A G P, G p( A) 2 4

5 KOMBINATORIKA DEFINICIJA: Neka je dat skup. Kombinacije bez ponavjanja kase k od n eemenata su bio koji podskupovi sa k eemenata od n datih. C k n n k n( n ) ( n k k! ) 2. Varijacije bez ponavjanja kase k od n eemenata su uređeni podskupovi k eemenata od n datih. V V k n 0 n 3. Permutacije bez ponavjanja od n eemenata su varijacije (bez ponavjanja) gdje je k = n. A a, a 2,, a n n( n ) ( n k n! k!( n k)! ) 5 P n n! n( n ) 2

6 OSNOVNI KOMBINATORNI MODELI. Ako imamo r konačnih skupova A,..., Ar koji imaju n,..., nr eemenata respektivno i ako se bira r eemenata, iz svakog po jedan, predmete (njih r) je moguće odabrati na N = n...nr načina. 2. Izbor sa vraćanjem Ako biramo jedan po jedan eement iz skupa A = {a, a2,..., an}i izabrani eement registrujemo, a zatim vratimo, tada je broj mogućih izbora (varijacija sa ponavjanjem - poredak je bitan). 3.Izbor bez vraćanja a) Ako imamo situaciju iz 2., ai bez vraćanja eemenata, tada je broj mogućih izbora: (varijacije bez ponavjanja). n( n ) ( n r ) b) Ako tih r eemenata biramo iz skupa A (koji ima n eemenata) odjednom, tada je riječ o kombinacijama bez ponavjanja, jer poredak izvačenja nije bitan, tj. njihov broj je n. r n r 6

7 OSOBINE VJEROVATNOĆE. 2. TEOREMA. 0 p( A) p( ), p( ) 0 3. Za A B je p( A B) p( A) p( B) Za A, B,..., C koji su međusobno disjunktni važi p( A B C) p( A) p( B) p( C) 4. Ako je A B tada je p( A) p( B) 5. p( A) p( A) 6. p( A B) p( A) p( B) p( A B) 7. p( A B) p( A) p( B) 7

8 USLOVNA VJEROVATNOĆA NEZAVISNOST DOGAĐAJA Usovna vjerovatnoća događaja A, pod usovom da se desio događaj B, je broj, koji označavamo sa p( A/ B) definisan sa p( A/ B) p( AB) p( B) uz usov da je p( B) 0 i da su A i B događaji iz istog prostora događaja. Iz definicije dobijamo tzv. formuu množenja vjerovatnoća: p( AB) p( B) p( A / B) p( A) p( B/ A) Njeno uopštenje na sučaj n događaja je: p( A A2 An) p( A) p( A2 / A) p( A3 / AA2) p( An / AA2 An ) Događaji A i B su nezavisni ako je p( AB) p( A) p( B) 8

9 FORMULA POTPUNE VJEROVATNOĆE BAJESOVA FORMULA Neka su A,A2,...,An međusobno disjunktni događaji sa pozitivnim vjerovatnoćama. Ako je njihova unija, tada za njih kažemo da obrazuju potpun sistem događaja (razbijanje sigurnog događaja). TEOREMA: Za B A A n važi tzv. formua potpune vjerovatnoće: n p( B) p( A ) p( B / A ) i i i DOKAZ: Kako je po pretpostavci B A A n to je B BA BA n Primjenjujući osobinu aditivnosti i formuu množenja vjerovatnoća imamo: p( B) n i p( BA ) i n i p( A ) i p( B / A i ) 9

10 BERNULIJEVA ŠEMA Neka se izvodi niz od n nezavisnih eksperimenata za koje važi da se svaki od njih završava sa jednim od dva moguća ishoda; uspjehom, sa vjerovatnoćom p i neuspjehom, sa vjerovatnoćom q=-p. Ako je Ak, k=0,,...,n događaj, da se tačno k od n izvedenih eksperimenata završi uspješno, tada je: n k p( A k ) p q k nk 0

11 SLUČAJNE VELIČINE Presikavanje X:R je sučajna veičina. Sučajna veičina X je diskretnog tipa ako skup ishoda sika na konačan ii prebrojiv skup vrijednosti (reaizacija te sučajne veičine) R,, Diskretne sučajne veičine kod kojih je R konačan skup vrijednosti su proste sučajne veičine. Sučajna veičina diskretnog tipa je određena ako poznajemo skup njenih vrijednosti R i vjerovatnoće sa kojima ona uzima te vrijednosti, pi p: X( ) i i=,2,... Raspodjea sučajne veičine se označava sa 2 X: p p 2 2 p 3 3

12 MATEMATIČKO OČEKIVANJE Neka je X diskretna sučajna veičina sa konačnim skupom reaizacija i raspodjeom: X 2 n n : p p p p i 2 n Matematičko očekivanje (srednja vrijdnost) sučajne veičine je broj, koji označavamo sa EX, definisan sa: EX p 2 p2... n pn i pi Disperzija (varijansa) sučajne veičine X, u oznaci DX, se definiše sa: DX E( X EX) 2 Kvadratni korijen iz disperzije se zove standardna devijacija ii standardno odstupanje, u oznaci (X). i 2

13 Neprekidne sučajne veičine Očekivanje u neprekidnom sučaju EX f ( ) d f ( ) d F`()=f() F( ) p( X ) f ( t) dt 3

14 OSIGURANJE ŽIVOTA UVODNE NAPOMENE Aktuarska matematika je grana matematike koja se primjenjuje u osiguranju. Osiguranje je ekonomska institucija čiji je cij nadoknada štete, fizičkom ii pravnom icu ii društvu, prouzrokovane eementarnim nepogodama, nesrećnim sučajem i dr. Poisa osiguranja je isprava kojom se osiguravač obavezuje da će osiguraniku ispatiti ugovorenu sumu, tj. to je isprava o zakjučenom ugovoru o osiguranju. Premija je iznos koji osiguranik paća osiguravajućem društvu za određeno osiguranje. 4

15 OSIGURANJE ŽIVOTA UVODNE NAPOMENE Sa aspekta predmeta osiguranje može biti: Osiguranje imovine Osiguranje ica koje se vrši kao osiguranje života i osiguranje za sučaj nezgode Predmet razmatranja će biti osiguranje života. 5

16 Aktuarske osnove tarifa U osiguranju ica ih čine: Tabice smrtnosti Obračunska kamatna stopa Troškovi sprovođenja osiguranja 6

17 Tabice smrtnosti Konstruišu se na dva načina: Direktnom i/ii Indirektnom metodom Tabice sastavjene po direktnoj metodi predstavjaju red izumiranja jedne stvarne generacije. Ova je metoda dopuna indirektnoj, po kojoj se statističkom procedurom, uzima uzorak iz grupa ica razne starosti, pa se za raspodjeu na popuaciji progašava raspodjea na uzorku. Tabice sastavjene po noj predstavjaju red izumiranja jedne fiktivne grupe ica. 7

18 Određivanje vjerovatnoće smrti Svaki čan grupe iz uzorka, po indirektnoj metodi, prati se u toku godine. Jedinica vremena može biti godina starosti (vrijeme od jednog do drugog rođendana), godina osiguranja (vrijeme od dana stupanja u odnos osiguranja do istog dana naredne godine) ii kaendarska godina. Opšte tabice smrtnosti osiguranih ica formirane su na osnovu vjerovatnoće smrti cjeokupnog stanovništva, a tabice smrtnosti osiguranih ica, kao materija iz koga će se odrediti tražena vjerovatnoća, uzimaju samo osigurana ica. 8

19 Vjerovatnoća smrti je koičnik broja reaizovanih smrtnih sučajeva d grupe ica iste starosti, u toku jedne godine, i cjeokupnog broja ica koji sačinjavaju grupu. Konačno gdje je d= - +. q = d/, 9

20 Izravnavanje tabica smrtnosti je postupak prerade i zamjene drugim vrijednostima onih vrijednosti koje u nizu dovode do nagih promjena, kako bi niz dobio veću pravinost. To je posebno izraženo kad se posmatra nedovojno veiki broj osoba, ai i used drugih nedostataka metode i materijaa. Najčešće se koriste Tabice smrtnosti 7 engeskih društava, jugosovenske iz i iz god. 20

21 Kamatna stopa Pretpostavjamo da je konstantna i nešto niža od aktuene kamatne stopa na tržištu novca. Izbor stope je važan zbog kakuativnih i finansijskih razoga. Ona je kod nas obično 5%, a na zapadu od 3-4%. Osiguranje života je dugoročan posao pa se sredstva prikupjena na ime premija pasiraju na finansijskom tržištu.označimo sa Bn veičinu fonda za osiguranje neophodnu za ispate osiguranih suma u određenom trenutku, a sa A- iznos osiguravajućeg fonda na početku roka osiguranja (sadašnja vrijednost). Važi: A=Bn/(+i)^n 2

22 Troškovi sprovođenja osiguranja Troškovi pribavjanja osiguranja (akvizicioni troškovi α), koji postoje jednokratno i odmjeravaju se proporcionano osiguranoj sumi Inkaso troškovi (β troškovi)- troškovi napate osiguranja (u procentima bruto premije) Tekući upravni (administrativni) troškovi (γ troškovi)- obračunavaju se na sumu osiguranja i ukjučuju sve unutrašnje administrativne troškove koji se neposredno ne odnose na zakjučivanje osiguranja. Bruto premija = neto (tehnička) pr. + troškovi 22

23 Neto premija kod osig. života Vjerovatnoća života i smrti jednog ica Komutativni brojevi (određuju se pomoću broja živih- i umrih ica- d): D, N, S, C, M, R Osiguranje ične rente Osiguranje kapitaa Osiguranje premijama Primjeri 23

24 BIOMETRIJSKE FUNKCIJE Funkciju, koja starosnom dobu pridružuje broj živih ica tog starosnog doba, označavamo sa i zovemo FUNKCIJA DOŽIVLJENJA : N, w N, ( ) w - oznaka za najdubju starost (0)- broj čanova poazne grupe osoba starih 0 godina I I(0) 0 w 24

25 BIOMETRIJSKE FUNKCIJE p vjerovatnoća da će ice staro godina doživjeti narednu (+)-vu godinu q p vjerovatnoća da ice staro godina neće doživjeti narednu (+)-vu godinu n p n vjerovatnoća da će ice staro godina doživjeti +n godina n nq n p vjerovatnoća da ice staro godina neće doživjeti +n godina 25

26 INTEZITET SMRTNOSTI INTENZITET SMRTNOSTI μ je trenutna stopa smrtnosti ica starih godina). ' Ukoiko nije dat anaitički izraz za funkciju, pošto znamo njenu vrijednost iz tabica smrtnosti, možemo odrediti pribižnu vrijednost intenziteta smrtnosti : primijetimo : ~ 2 ~ 2 26

27 SREDNJE TRAJANJE ŽIVOTA - Neka je T - numerička funkcija koja sučajno izabranoj osobi pridružuje trajanje života od -te godine do smtri (broj godina života još preostaje osobi koja ima godina). - Srednje trajanje života se definiše kao očekivanje pomenute neprekidne sučajne veičine T. - Funkcija raspodjee sučajne veičine T je: F(t) p( T t) vjerovatnoća da će ice staro godina F(t) t q umrijeti do (+t) godine ' Gustina raspodjee je : f( t) F ( t) ( q ) t ' Očekivanje od T je : ET w 0 t ' ( t q) dt 27

28 28 SREDNJE TRAJANJE ŽIVOTA Kako je izvod po t funkcije gustine: t t ' ' Posije primjene parcijane integracije (u=t, dv= ) dobijamo ( w =0): ET dt p dt t w t w 0 0 Ukoiko nije dat anaitički izraz za funkciju doživjenja, srednje trajanje života je: w ET 2 2 ~ 28 dt t '

29 VJEROVATNO TRAJANJE ŽIVOTA Vjerovatno trajanje života se definiše kao broj k, kojeg određujemo iz reacije:, tj. kp 2 k 2 Kako funkcija tp opada od do 0 kada t raste od 0 do w- to će takvo k ( 0, w ) postojati. I vjerovatnoća suprotnog događaja je 0,5. U opštem sučaju k se određuje interpoacijom uz upotrebu mortaitetnih tabica. 29

30 OSIGURANJE LIČNE RENTE JEDNOKRATNOM PREMIJOM - MIZOM Lična renta je iznos koji osigurano ice prima ično, sve dok je u životu. Lična renta može biti: neposredna (teče odmah po osiguranju) ii odožena; anticipativna (ispaćuje se početkom perioda) ii dekurzivna (krajem perioda) godišnja renta (prima se jednom godišnje ) ii renta u ratama; konstantna ii promjenjiva rentu; Prema trajanju renta može biti: neposredna doživotna ična renta, odožena doživotna ična renta, neposredna privremena ična renta i odožena privremena ična renta

31 NEPOSREDNA DOŽIVOTNA LIČNA RENTA Razmotrimo probem određivanja mize anticipativne rente od, tj. sume koju treba da upati ice staro godina osiguravajućem društvu, da bi mu ono od dana osiguranja do smrti ispaćivao, početkom godine, rentu od. Označimo sa: a premiju; Xi - diskretnu sučajnu veičinu koja predstavja vrijednost i-te ispate (koja je diskontovana na dan osiguarnja), i 0,, 2,, w (w-najdubja starost), za osobu staru godina. p ako je p kamatna stopa važi q 00 3

32 NEPOSREDNA DOŽIVOTNA LIČNA RENTA Raspodjea sučajne veičine: 0 i q X i :, i 0,,2,, w i i Očekivanja tih diskretnih sučajnih veičina su EX i i i 0( ) i 0,, 2,, w i i q q Dijejenjem brojioca i imenioca prethodne reacije sa dobijamo: i i q D i EXi, gdje je D (diskontovani broj živih ica starih god) D q q q 32

33 NEPOSREDNA DOŽIVOTNA LIČNA RENTA Kako je a jednako sumi očekivanja sučajnih veičina Xi, važi: a EX0 EX EX2 EX 2 w 2 q q q w i i i0 q D D D2 D D D D D w w w D D D 2 D D w N D gdje je: N D D D D 2 w zbir diskontovanih brojeva živih ica starih,, godina. 33

34 NEPOSREDNA DOŽIVOTNA LIČNA RENTA Miza anticipativne rente od pri neposrednom doživotnom osiguranju ične rente iznosi: a N D osiguranik mora upatiti (odjednom) iznos a da bi mu osiguravač, godišnje (početkom godine), ispaćivao rentu od. M R a miza anticipativne rente od R N b D miza dekurzivne rente od b a veza između dekurzivne i anticipativne rente od 34

35 ODLOŽENA DOŽIVOTNA LIČNA RENTA Ako ispate rente počinju m godina posije izvršene upate osiguranja (prvih m godina ispate se ne vrše), imamo da je miza anticipativne rente od : m a N D m EXm EXm EXw ( ) m b N D m miza dekurzivne rente od Ova vrsta rente se koristi npr. kod osiguranja penzija. Ukoiko osiguranik umre u toku prvih m godina ii u toku ispaćivanja, miza ostaje u korist onih osiguranika koji dožive ispaćivanje. 35

36 NEPOSREDNO PRIVREMENA LIČNA RENTA Ona se ispaćuje najviše n godina od dana osiguranja (što zavisi od dužine života osiguranika). Miza neposredne privremene n godina anticipativne ične rente od je: a, n EX 0 EX EX n n n q q N N n a, n D Očigedno važi reacija: a, n a na b, n N N n miza dekurzivne rente D 36

37 ODLOŽENA PRIVREMENA LIČNA RENTA Ovo je mode osiguranja ične rente kod kojeg je prva ispata posije m godina (ako je osiguranik živ) a posjednja ispata (ako bude u životu) kad osiguranik bude imao +m+n- godina. Miza anticipativne odožene privremene ične rente od u ovom sučaju je jednaka: ma, n EXm EXm EXm2 EXmn m m mn m m mn q q q N N D m mn Važi reacija: m, n m m n m b, n N N m mn D a a a miza dekurzivne odožene privremene rente od 37

38 OSIGURANJE KAPITALA Ovo je vid osiguranja upatom mize gdje se, za raziku od osiguranja ične rente, osigurana suma ispaćuje korisniku poise jednom (ii najviše dva puta). Osnovna podjea je na: osiguranje kapitaa za sučaj doživjenja, osiguranje kapitaa za sučaj smrti mješovito osiguranje 38

39 OSIGURANJE KAPITALA ZA SLUČAJ DOŽIVLJENJA X Osiguravajuće društvo vrši ispatu osigurane sume samo icima koja dožive ugovoreni rok. n B 0 : n q n n EX q n n B D D n n Xn diskretna sučajna veičina (koja predstavja vrijednosti diskontovane ispate) n - broj godina počev od -te posije čijeg isteka će se izvršiti ugovorena ispata (ako osiguranik bude u životu) tj. n je trajanje osiguranja. B miza osiguranja kapitaa za sučaj doživjenja (+n)-te godine ukoiko osiguramo iznos od Ako umjesto osiguramo R miza će biti jednaka RB 39

40 40 DOŽIVOTNO OSIGURANJE KAPITALA ZA SLUČAJ SMRTI Osiguravač ispaćuje (jednom) ugovorenu sumu nasjedniku osiguranika, krajem godine u kojoj osiguranik umre. w w w q q q X : Raspodjea sučajne veičine X- diskontovane ispate od : Po principu ekvivaencije, miza A je u ovom sučaju jednaka očekivanju sučajne veičine X, tj.: 0 w i i i i q EX A 40

41 4 DOŽIVOTNO OSIGURANJE KAPITALA ZA SLUČAJ SMRTI Sijedi da je miza doživotnog osiguranja kapitaa za sučaj smrti Za komutacione brojeve d, C i M važe sedeće reacije:, w C C C M q d C d A D C M D i i w 0 4

42 42 ODLOŽENO DOŽIVOTNO OSIGURANJE KAPITALA ZA SLUČAJ SMRTI Sijedi da je miza odoženog doživotnog osiguranja kapitaa za sučaj smrti Osiguravajuće društvo se obavezuje da će ugovoreni kapita, oderđenom korisniku (iz ugovora), ispatiti krajem godine u kojoj osiguranik umre, pod usovom da smrt nastupi posije m godina od dana osiguranja. w w m m m m m w m m q q q X : m m A EX M D 42

43 PRIVREMENO NEPOSREDNO OSIGURANJE KAPITALA ZA SLUČAJ SMRTI Osiguravač ispaćuje osiguranu sumu nasjedniku samo ako osiguranik umre u toku n godina od osiguranja. Miza privremenog neposrednog osiguranja kapitaa za sučaj smrti A, n M M D n 43

44 MJEŠOVITO OSIGURANJE KAPITALA. MJEŠOVITO OSIGURANJE KAPITALA SA JEDNOM ISPLATOM - Obik osiguranja kapitaa pri kome se ispata vrši ii osiguraniku, ako ostane u životu, ii nasjedniku, ako osiguranik umre u toku trajanja osiguranja. - Ako se ice osigura na ovaj način ono paća dvije premije: premiju za osiguranje kapitaa za sučaj doživjenja i premiju za privremeno neposredno osiguranje kapitaa za sučaj smrti. Miza ovog vida osiguranja je: A B A, n D n M D M m 44

45 MJEŠOVITO OSIGURANJE KAPITALA 2. MJEŠOVITO OSIGURANJE KAPITALA SA DVIJE ISPLATE - Mješovito osiguranje se može ugovoriti i tako da budu predviđene dvije ispate: jedne osiguraniku, ako doživi +n godina i druge nasjednicima na kraju godine u kojoj umire. - Ako osiguranik umre prije isteka n godina tada se ispaćuje samo jedan iznos (nasjedniku) inače se ispaćuju dva iznosa (jedan osiguraniku, jedan nasjedniku). - Jednokratna premija je suma premija onih osiguranja iz kojih se sastoji: osiguranja kapitaa za sučaj doživjenja i doživotnog osiguranja kapitaa za sučaj smrti: A ' B A D n M D Mješovito osiguranje sve više preovadava u savremenom osiguranju života. 45

46 OSIGURANJE PREMIJAMA Kod ove vrste osiguranja osigurano ice ne upaćuje mizu (jednokratnu premiju) već upaćuje određene sume (premije P) više puta. Premija može biti: doživotna ii privremena godišnja ii u ratama Pretpostavimo da za određeno osiguranje osiguranik treba da pati jednokratnu premiju A, ai ne raspoaže toikim novcem, pa će umjesto toga paćati godišnje premije P. Shvatimo godišnje premije kao ičnu rentu koju osigurano ice paća osiguravajućem društvu. Ako se godišnje premije počinju paćati od trenutka osiguranja do smrti, tada one predstavjaju doživotnu neposrednu ičnu rentu. Sično je i za ostae vrste premija (odožena, privremena). 46

47 OSIGURANJE PREMIJAMA U sučaju da aticipativna renta ima vrijednost jedan njena miza bi bia a. Kako renta ima vrijednost jednaku visini premije P, njena miza je P a. Primjenjujući princip ekvivaencije dobijamo jednakost: Pa A A- visina jednokratne premije P A a P- visina premije za jedinicu osigurane sume Sično, ako se premija P upaćuje neposredno privremeno: Pa, n A P A a, n 47

48 Veza između A i P- izvođenje A P P q P 2 q 2... P a A P a, n A 48

49 OSIGURANJE ODLOŽENE DOŽIVOTNE LIČNE RENTE PREMIJAMA - Ispate se vrše posije n godina od dana osiguranja do kraja života. Ako osiguranik ne doživi (+n) -tu godinu renta se neće ni ispaćivati. Ako smrt ne nastupi ranije, vrijeme trajanja upata godišnje premije je najviše do godinu dana pred početak ispate rente, tj. do (+n)-te godine. - Zbir diskontovanih ispata je: EX EX EX n n w - Zbir diskontovanih upata: P ( EX EX EX EX ), t n 0 2 t - Po principu jednakosti upata i ispata imamo da važi: EX EX EX P ( EX EX EX ), t n n n w 0 t na P a, t 49

50 P P n a a, t OSIGURANJE ODLOŽENE DOŽIVOTNE, N n D N N D t n t LIČNE RENTE PREMIJAMA N n N N t, t n godišnja premija odožene doživotne anticipativne ične rente Ako se prva renta primi krajem (+) -ve godine godišnja premija je: P N n N N t 50

51 OSIGURANJE ODLOŽENE PRIVREMENE LIČNE RENTE PREMIJAMA Renta se prima po isteku n godina od dana osiguranja i traje m godina (m n). Godišnja premija kod ove vrste osiguranja je: P N N N N n nm, t t n 5

52 OSIGURANJE KAPITALA, DOŽIVOTNO, DOŽIVOTNIM PREMIJAMA Godišnja premija kod ove vrste osiguranja je: P A a M N 52

53 53 LIČNA RENTA U RATAMA Ako se radi o renti u ratama, tj. ako se ispate vrše u razmacima kraćim od jedne godine (k puta godišnje), ubiraćemo rentu od /k k puta godišnje, umjesto kao kod modea godišnje rente. Miza odožene privremene anticipativne rente u ratama je: k n m k n m k m k m m m k n m q k q k q k a ) (, Miza neposredne privremene anticipativne rente u ratama: a k k q k q k q n k k k k k n k n k, ( )

54 LIČNA RENTA U RATAMA a b ( k), n ( k), n k a, n ( EX0 EXn ) 2k k b, n ( EX0 EXn ) 2k anticipativna privremena neposredna renta u ratama dekurzivna privremena neposredna renta u ratama ( k k a ) a 2k ( k k b ) b 2k anticipativna neposredna doživotna renta u ratama dekurzivna neposredna doživotna renta u ratama 54

55 LIČNA RENTA U RATAMA m m a b ( k), n ( k), n k ma, n ( EXm EXmn ) 2k k mb, n ( EXm EXmn ) 2k odožena privremena anticipativna renta u ratama odožena privremena dekurzivna renta u ratama m m ( k a ) k a 2k EX m m ( k b ) k b 2k EX m m anticipativna odožena doživotna renta u ratama dekurzivna odožena doživotna renta u ratama 55

56 OSIGURANJE PREMIJAMA U sučaju da aticipativna renta ima vrijednost jedan njena miza bi bia a. Kako renta ima vrijednost jednaku visini premije P, njena miza je P a. Primjenjujući princip ekvivaencije dobijamo jednakost: Pa A A- visina jednokratne premije P A a P- visina premije za jedinicu osigurane sume Sično, ako se premija P upaćuje neposredno privremeno: Pa, n A P A a, n 56

57 PREMIJA U RATAMA Neka se premije paćaju k puta u toku godine dana, i neka je Godišnja rata rente u ratama je k Npr. ako se premija paća n godina neposredno privremeno, tada važi: ( A k P k ) a odnosno ( k), n Ako je P godišnja premija tada je: P ( k) A k a ( k), n P (k ) (k ) P - premija u ratama. pougodišnja premija kvartana premija mjesečna premija ( ) P P, 02 0, 5 P 2 2 ( ) P P, 03 0, 2575 P 4 4 ( ) P P, 04 0, 087 P

58 OBRAČUN BRUTO PREMIJE Troškovi osiguravajućeg društva obuhvataju:. akvizicione troškove troškove pribavjanja osiguranja 2. inkaso troškove troškove napate premije i 3. administrativne (upravne) troškove. 58

59 Visina jednokratne bruto premije za jedinicu osiguranog kapitaa iznosi JB JN y zjb odake dobijamo da je JB JN y z 59

60 Na osnovu principa ekvivaencije, suma diskontovanih godišnjih iznosa d (na t=0, dan zakjučenja ugovora), mora biti jednaka -visini akvizicionih troškova, tj. d a ii d a, n u zavisnosti od toga da i godišnje premije paćamo doživotno ii za n godina. Daje je d d a a, n d D N d N D N n 60

61 Za upravne troškove y, sično prethodnom, imamo da je e njihov aikvotni dio: e D y ii e N N N n za doživotno ii privremeno paćanje premija, respektivno. Sada je PB PN d e z PB odake je PB PN d e Dake, gornja reacija (*) predstavja visinu godišnje bruto premije potrebne da bi se osiguraa jedinica kapitaa ii renta od godišnje. Iznosi d i e određeni su prethodnim reacijama. D y z 6 (*)

62 Primjer. Lice staro godina je osigurao kapita za sučaj doživjenja k godina (k>) ), tj. sa trajanjem od k- godina. Akvizicioni troškovi su =20, upravni y=45 od osigurane sume, a inkaso troškovi su z=4% od bruto premije. Odrediti, pa izraziti u promiima: jednokratnu bruto premiju, godišnju, za 20 godina, bruto premiju za ovu vrstu osiguranja. Rješenje: Dk 0,02 0,045 JN y D a) JB.000 z 0,04 62

63 b) PB PN d z e.000 Ovdje je PN visina godišnje neto premije za osiguranje kapitaa za sučaj doživjenja, a premije se paćaju neposredno privremeno za 20 godina. Primjer 2. Lice staro 30 godina osigurao je kapita za sučaj doživjenja 50-te godine i paća bruto premiju od 500 za 20 godina. Akvizicioni troškovi su jednokratno 2%, upravni troškovi su godišnje 5 osigurane sume, a inkaso troškovi su 2,5% od bruto premije. Koiki je kapita? Koika je neto premija? 63

64 Rješenje: Sično kao u Primjeru b) izračunamo PN, 0, 02 d D30 e 0, 005 N N pa iz (*) dobijamo PB - visinu bruto premije za jedinicu osiguranog kapitaa. Iz proporcije PB : 500: K dobijamo da je K 500 PB Neto premija y, koja odgovara bruto premiji od 500 se dobija iz razmjere: y : 500 PN: PB pa je y 500 PN PB Račun, uz upotrebu tabica, samostano. 64